Izrek o sistemu implicitnih funkcij. Izpeljanke višjega reda

Izvode višjega reda najdemo z zaporedno diferenciacijo formule (1).

Primer. Poiščite in če (x ²+y ²)³-3(x ²+y ²)+1=0.

rešitev. Določitev leva stran podana enačba skozi f(x,y) poiščite delne odvode

f"x(x,y)=3(x²+y²)²∙2x-3∙2x=6x[(x²+y²)-1],

f"y(x,y)=3(x²+y²)²∙2y-3∙2y=6y[(x²+y²)-1].

Od tu z uporabo formule (1) dobimo:

Če želite najti drugo izpeljanko, diferencirajte glede na X prva najdena izpeljanka, ob upoštevanju, da pri obstaja funkcija x:

2°. Primer več neodvisnih spremenljivk. Podobno, če enačba F(x, y, z)=0, Kje F(x, y, z) - diferenciabilna funkcija spremenljivk x, y in z, definira z kot funkcija neodvisnih spremenljivk X in pri in Fz(x, y, z)≠ 0, potem lahko delne odvode te implicitno dane funkcije, na splošno gledano, najdemo z uporabo formul

Drug način za iskanje odvodov funkcije z je naslednji: z diferenciranjem enačbe F(x, y, z) = 0, dobimo:

Od tu lahko določimo dz, in zato .

Primer. Poiščite in če x² - 2y²+3z² -yz +

y =0. 1. metoda. Označimo levo stran te enačbe z F(x, y, z) , poiščimo delne odvode.

F"x(x,y,z)=2x, F"y(x,y,z)=-4y-z+1, F"z(x,y,z)=6z-y

Z uporabo formul (2) dobimo:

2. metoda. Če diferenciramo to enačbo, dobimo:2xdx -4ldy +6zdx -4zdy +6dz-dy +

dy =0 Od tu določamo dz

, tj. skupni diferencial implicitne funkcije: Primerjava s formulo

, to vidimo 3°. Sistem implicitne funkcije

. Če je sistem dveh enačb opredeljuje in u v

kot funkcije spremenljivk x in y ter jakobina

potem lahko diferenciale teh funkcij (in s tem njihove parcialne odvode) najdemo iz sistema enačb Primer: Enačbe u+v=x+y, xu+yv=1 opredeljuje in u določiti X in pri kot funkcije .

; najti

rešitev. 1. metoda. Če razlikujemo obe enačbi glede na x, dobimo:

Na podoben način ugotovimo: 2. metoda. Z diferenciacijo najdemo dve enačbi, ki povezujeta diferenciale vseh štirih spremenljivk:du +dv =dx +dy,2. metoda. Z diferenciacijo najdemo dve enačbi, ki povezujeta diferenciale vseh štirih spremenljivk:xdv =dx -4udv+v

dy =0. Reševanje tega sistema za diferenciale in du dv

, dobimo: 4°. Parametrična specifikacija funkcije X in pri. Če funkcija r spremenljivk je parametrično podana z enačbami x=x(u,v), y=y(u,v), z=z(u,v)

potem lahko diferencial te funkcije najdemo iz sistema enačb Poznavanje razlike, najdemo delne odvode in .

Primer. z funkcija X in pri argumenti podane z enačbami (x=u+v, y=u²+v², z=u²+v²).

u≠v

Poiščite in.

rešitev. 1. metoda. Z diferenciacijo najdemo tri enačbe, ki povezujejo diferenciale vseh petih spremenljivk: Reševanje tega sistema za diferenciale in du:

Iz prvih dveh enačb določimo Najdene vrednosti nadomestimo v tretjo enačbo in du:

2. metoda. Iz tretje dane enačbe lahko ugotovimo: Razlikujmo prvi dve enačbi glede na X, pri:

nato z .

Iz prvega sistema najdemo: .

Iz drugega sistema najdemo:

Z zamenjavo izrazov in v formulo (5) dobimo:

Zamenjava spremenljivk Pri zamenjavi spremenljivk v diferencialnih izrazih je treba vanje vključene izpeljanke izraziti z drugimi izpeljankami v skladu s pravili diferenciacije.

kompleksna funkcija

1°. Zamenjava spremenljivk v izrazih, ki vsebujejo navadne izpeljanke.

pri verjeti . X Avtor: pri verjeti . prek derivatov t

. Imamo: X Zamenjava najdenih izpeljanih izrazov v to enačbo in zamenjava

skozi, dobimo:

Primer. pri Pretvori enačbo

vzeti kot argument pri verjeti . X Avtor: X verjeti . , in za funkcijo x.

rešitev. Izrazimo izpeljanke

Če zamenjamo te izvedene izraze v to enačbo, bomo imeli:

ali končno, Primer. Pretvori enačbo

premikati se na

polarne koordinate x=r cos φ, y=r cos φ. rešitev. Upoštevajoč φ r

kot funkcija

, iz formul (1) dobimo:

dх = сosφ dr – r sinφ dφ, dy=sinφ+r cosφ dφ,

Kot je znano, je implicitno podana funkcija ene spremenljivke definirana takole: funkcija y neodvisne spremenljivke x se imenuje implicitna, če je podana z enačbo, ki ni razrešena za y:

Primer 1.11.

Enačba

implicitno določa dve funkciji:

In enačba

ne določa nobene funkcije.

Izrek 1.2 (obstoj implicitne funkcije).

Naj sta funkcija z =f(x,y) in njeni delni odvodnici f"x in f"y definirani in zvezni v neki okolici UM0 točke M0(x0y0). Poleg tega je f(x0,y0)=0 in f"(x0,y0)≠0, potem enačba (1.33) definira v okolici UM0 implicitno funkcijo y= y(x), zvezno in diferenciabilno v nekem intervalu D s središčem v točki x0 in y(x0)=y0.

Nobenega dokaza.

Iz izreka 1.2 sledi, da je na tem intervalu D:

to pomeni, da obstaja identiteta v

kjer je "celotni" derivat najden v skladu z (1.31)

To pomeni, da (1.35) daje formulo za iskanje odvoda implicitno dane funkcije ene spremenljivke x.

Podobno je definirana implicitna funkcija dveh ali več spremenljivk.

Na primer, če v neki regiji V prostora Oxyz velja enačba:

Primer 1.12. Ob predpostavki, da enačba

implicitno definira funkcijo

najdi z"x, z"y.

torej po (1.37) dobimo odgovor.

11.Uporaba parcialnih odvodov v geometriji.

12. Ekstremumi funkcije dveh spremenljivk.

Koncepti maksimuma, minimuma in ekstrema funkcije dveh spremenljivk so podobni ustreznim konceptom funkcije ene neodvisne spremenljivke (glejte razdelek 25.4).

Naj bo funkcija z = ƒ(x;y) definirana v neki domeni D, točka N(x0;y0) О D.

Točka (x0;y0) se imenuje maksimalna točka funkcije z=ƒ(x;y), če obstaja d-soseščina točke (x0;y0), taka da je za vsako točko (x;y), ki je drugačna od (xo;yo), iz te soseske velja neenakost ƒ(x;y).<ƒ(хо;уо).

A Minimalno točko funkcije določimo na podoben način: za vse točke (x; y), razen (x0; y0), iz d-soseščine točke (xo; yo) velja neenakost: ƒ(x ; y)>ƒ(x0; y0).

Na sliki 210: N1 je največja točka, N2 pa najmanjša točka funkcije z=ƒ(x;y).

Vrednost funkcije v točki maksimuma (minimuma) imenujemo maksimum (minimum) funkcije. Maksimum in minimum funkcije imenujemo njeni ekstremi.

Upoštevajte, da je po definiciji ekstremna točka funkcije znotraj domene definicije funkcije; maksimum in minimum imata lokalni (lokalni) značaj: vrednost funkcije v točki (x0; y0) se primerja z njenimi vrednostmi v točkah, ki so dovolj blizu (x0; y0). V območju D ima lahko funkcija več ekstremov ali nobenega.

46.2. Potrebno in zadostni pogoji ekstrem

Razmislimo o pogojih za obstoj ekstrema funkcije.

Izrek 46.1 (nujni pogoji za ekstrem). Če ima v točki N(x0;y0) diferenciabilna funkcija z=ƒ(x;y) ekstrem, potem so njeni delni odvodi v tej točki enaki nič: ƒ"x(x0;y0)=0, ƒ" y(x0;y0 )=0.

Popravimo eno od spremenljivk. Postavimo na primer y=y0. Nato dobimo funkcijo ƒ(x;y0)=φ(x) ene spremenljivke, ki ima ekstrem pri x = x0. Zato je v skladu z nujnim pogojem za ekstrem funkcije ene spremenljivke (glej razdelek 25.4) φ"(x0) = 0, tj. ƒ"x(x0;y0)=0.

Podobno se lahko pokaže, da je ƒ"y(x0;y0) = 0.

Geometrijsko gledano enakosti ƒ"x(x0;y0)=0 in ƒ"y(x0;y0)=0 pomenita, da je v ekstremni točki funkcije z=ƒ(x;y) tangentna ravnina na površino, ki predstavlja funkcija ƒ(x;y) ), je vzporedna z ravnino Oxy, saj je enačba tangentne ravnine z=z0 (glej formulo (45.2)).

Z Opomba. Funkcija ima lahko ekstrem v točkah, kjer vsaj eden od delnih odvodov ne obstaja. Na primer funkcija ima maksimum v točki O(0;0) (glej sliko 211), vendar na tej točki nima parcialnih odvodov.

Točka, v kateri so parcialni odvodi prvega reda funkcije z ≈ ƒ(x; y) enaki nič, to je f"x=0, f"y=0, se imenuje stacionarna točka funkcije z.

Stacionarne točke in točke, v katerih ne obstaja vsaj en delni odvod, imenujemo kritične točke.

Na kritičnih točkah ima lahko funkcija ekstrem ali pa tudi ne. Enakost parcialnih odvodov nič je nujen, a ne zadosten pogoj za obstoj ekstrema. Upoštevajte na primer funkcijo z = xy. Zanj je točka O(0; 0) kritična (v njej z"x=y in z"y - x izničita). Vendar pa funkcija z=xy v sebi nima ekstrema, saj so v dovolj majhni okolici točke O(0; 0) točke, za katere velja z>0 (točki prve in tretje četrtine) in z< 0 (точки II и IV четвертей).

Tako je za iskanje ekstremov funkcije v določenem območju potrebno vsako kritično točko funkcije dodatno raziskati.

Izrek 46.2 (zadostni pogoj za ekstrem). Spustiti noter stacionarna točka(xo;y0) in nekaterih njenih sosesk ima funkcija ƒ(x;y) zvezne parcialne odvode do vključno drugega reda. Izračunajmo v točki (x0;y0) vrednosti A=f""xx(x0;y0), B=ƒ""xy(x0;y0), C=ƒ""yy(x0;y0) . Označimo

1. če je Δ > 0, ima funkcija ƒ(x;y) v točki (x0;y0) ekstrem: maksimum, če je A< 0; минимум, если А > 0;

2. če je Δ< 0, то функция ƒ(х;у) в точке (х0;у0) экстремума не имеет.

V primeru Δ = 0 lahko v točki (x0;y0) obstaja ekstrem ali pa tudi ne. Potrebnih je več raziskav.

NALOGE

Primer. Poiščite intervale naraščajoče in padajoče funkcije. rešitev. Prvi korak je iskanje domene definicije funkcije. V našem primeru izraz v imenovalcu ne sme iti na nič, torej . Pojdimo k funkciji izpeljave: Za določitev intervalov naraščanja in padanja funkcije na podlagi zadostnega kriterija rešujemo neenačbe na definicijski domeni. Uporabimo posplošitev intervalne metode. Edini pravi koren števca je x = 2, in imenovalec gre na nič pri x = 0. Te točke delijo definicijsko področje na intervale, v katerih odvod funkcije ohrani svoj predznak. Označimo te točke na številski premici. S plusi in minusi običajno označujemo intervale, v katerih je odvod pozitiven ali negativen. Spodnje puščice shematično prikazujejo povečanje ali zmanjšanje funkcije na ustreznem intervalu. torej in . Na točki x = 2 funkcija je definirana in zvezna, zato jo je treba dodati tako naraščajočim kot padajočim intervalom. Na točki x = 0 funkcija ni definirana, zato te točke ne vključujemo v zahtevane intervale. Predstavljamo graf funkcije za primerjavo z njo dobljenih rezultatov. odgovor: funkcija se poveča s , pada na intervalu (0; 2] .

Primeri.

Nastavite intervale konveksnosti in konkavnosti krivulje l = 2 – x 2 .

Bomo našli l"" in določi, kje je drugi odvod pozitiven in kje negativen. l" = –2x, l"" = –2 < 0 на (–∞; +∞), следовательно, функция всюду выпукла.

l = e x. Ker l"" = e x > 0 za katero koli x, potem je krivulja povsod konkavna.

l = x 3 . Ker l"" = 6x, To l"" < 0 при x < 0 и l"" > 0 pri x> 0. Torej, ko x < 0 кривая выпукла, а при x> 0 je konkaven.

4. Dana je funkcija z=x^2-y^2+5x+4y, vektor l=3i-4j in točka A(3,2). Poiščite dz/dl (kot jaz razumem, odvod funkcije v smeri vektorja), gradz(A), |gradz(A)|. Poiščimo delne odvode: z(glede na x)=2x+5 z(glede na y)=-2y+4 Poiščemo vrednosti odvodov v točki A(3,2): z(z glede na x)(3,2)=2*3+ 5=11 z(z y)(3,2)=-2*2+4=0 Od koder je gradz(A)=(11,0)= 11i |gradz(A)|=sqrt(11^2+0 ^2)=11 Odvod funkcije z v smeri vektorja l: dz/dl=z(in x)*cosa+z(in y)*cosb , a, b-kota vektorja l s koordinatnimi osemi. cosa=lx/|l|, cosb=ly/|l|, |l|=sqrt(lx^2+ly^2) lx=3, ly=-4, |l|=5. cosa=3/5, cosb=(-4)/5. dz/dl=11*3/5+0*(-4)/5=6,6.

Podan je sistem enačb

ali na kratkoF(x, l)=0 (1)

Opredelitev. Sistem (1) definira implicitno določeno funkcijol= f(x) vklopljenoD R n

če x D : F(x , f(x)) = 0.

Izrek (obstoj in edinstvenost preslikave, implicitno ki jih daje sistem enačbe). Pustiti

Potem v neki soseskiU (x 0 ) v tej soseski je definirana edinstvena funkcija (zemljevid).l = f(x), tako da

 x U (x 0 ) : F(x, f(x))=0 inl 0 = f(x 0 ).

Ta funkcija je zvezno diferenciabilna v neki okolici točkex 0 .

5. Računanje odvodov implicitnih funkcij, podanih s sistemom enačb

Glede na sistem

(1)

Predpostavili bomo, da so izpolnjeni pogoji izreka o obstoju in edinstvenosti implicitne funkcije, ki jo določa ta sistem enačb. Označimo to funkcijo l= f(x) . Potem v neki soseščini točke x 0 identitete so veljavne

(F(x, f(x))=0) (2)

Razlikovanje teh identitet po x j dobimo

=0 (3)

Te enakosti lahko zapišemo v matrična oblika

, (3)

ali v razširjeni obliki

Upoštevajte, da je prehod iz enakosti F(x, f(x))=0 Za
, ustreza pravilom razlikovanja za primer, ko x in l so točke enodimenzionalnega prostora. Matrix po pogoju ni degenerirana, zato matrična enačba
ima rešitev
. Na ta način lahko najdete delne odvode implicitnih funkcij prvega reda . Za iskanje diferencialov označimo

dy = ,dx = , razlikovanje enakosti (2) dobimo

=0 ,

ali v matrični obliki

. (4)

Razširjeno

Tako kot v primeru delnih odvodov, formula (4) imamo enako obliko kot za primer enodimenzionalnih prostorov n=1, str=1. Rešitev te matrične enačbe bo zapisana v obliki
. Za iskanje delnih odvodov drugega reda bo treba razlikovati identitete (3) (za izračun diferencialov drugega reda morate razlikovati identitete (4) ). Tako dobimo

kje skozi A navedeni so izrazi, ki ne vsebujejo zahtevanih
.

Koeficientna matrika tega sistema za določanje derivatov
služi kot Jakobova matrika .

Podobno formulo lahko dobimo za razlike. V vsakem od teh primerov se bo izkazalo matrična enačba z isto matriko koeficientov v sistemu enačb za določitev želenih odvodov ali diferencialov. Enako se bo zgodilo med naslednjimi diferenciacijami.

Primer 1. Najdi ,,na točki opredeljuje=1, u=1.

rešitev. Diferenciraj podane enačbe

(5)

Upoštevajte, da bi morali glede na formulacijo problema upoštevati neodvisne spremenljivke x, l. Potem bodo funkcije z, opredeljuje, u. Tako sistem (5) je treba rešiti glede neznank Reševanje tega sistema za diferenciale, du, Od tu določamo . V matrični obliki je videti takole

Rešimo ta sistem z uporabo Cramerjevega pravila. Determinanta matrike koeficientov

, Tretja "nadomestna" determinanta za Od tu določamo bo enako (izračunamo ga tako, da razširimo čez zadnji stolpec)

, Potem

Od tu določamo =
, in
,
.

Razlikujmo (5) ponovno ( x, l – neodvisne spremenljivke)

Matrika koeficientov sistema je enaka, tretja determinanta

Z reševanjem tega sistema dobimo izraz za d 2 z kjer lahko najdete želeno izpeljanko.

Implicitne funkcije, definirane s sistemom enačb

Podan je sistem enačb

ali na kratko F(x,y)= 0. (6.7)

Opredelitev. Sistem(6.7)določa implicitno dano funkcijo y=f(x)na DÌR n

če "xÎD:F(x, f(x)) = 0.

Izrek (obstoj in edinstvenost preslikave, implicitno definirane s sistemom enačb).Pustiti

1) F i(x,y)iz (6.4) so definirani in imajo zvezne parcialne odvode prvega reda, (i= 1,…,p, k= 1,…,n, j= 1,…,p) v bližini U(M 0)točke M 0 (x 0 ,y 0), x 0 = , y 0 =

2) F(M 0)=0,

3) det.

Potem pa v neki soseski U(x 0)v tej soseski je definirana edinstvena funkcija (zemljevid) y = f(x), tako da

"xO U(x 0) :F(x,f(x))=0in y 0 =f(x 0).

Ta funkcija je zvezno diferenciabilna v neki okolici točke x 0 .

Glede na sistem

Predpostavili bomo, da so izpolnjeni pogoji izreka o obstoju in edinstvenosti za implicitno funkcijo, podano s tem sistemom enačb. Označimo to funkcijo y=f(x) . Potem v neki soseščini točke x 0 identitete so veljavne

Razlikovanje teh identitet po x j dobimo

= 0.(6.9)

Te enačbe lahko zapišemo v matrični obliki

ali v razširjeni obliki

Upoštevajte, da je prehod iz enakosti F(x,f(x))=0k , ustreza pravilom razlikovanja za primer, ko x in l so točke enodimenzionalnega prostora. Po pogoju matrika ni singularna, zato ima matrična enačba rešitev. Na ta način je mogoče najti parcialne odvode implicitnih funkcij prvega reda. Za iskanje diferencialov označimo

dy = , dx =, diferenciramo enačbe (6.8), dobimo

ali v matrični obliki

Razširjeno

Enako kot v primeru parcialnih odvodov ima formula (6.10) enako obliko kot v primeru enodimenzionalnih prostorov n= 1, p= 1. Rešitev te matrične enačbe bo zapisana v obliki. Če želite najti delne odvode drugega reda, boste morali diferencirati identitete (6.9) (za izračun diferencialov drugega reda morate diferencirati identitete (6.10)). Tako dobimo

kje skozi A navedeni so izrazi, ki ne vsebujejo zahtevanih.

Koeficientna matrika tega sistema za določanje odvodov je Jacobijeva matrika.

Podobno formulo lahko dobimo za razlike. V vsakem od teh primerov bo matrična enačba pridobljena z isto matriko koeficientov v sistemu enačb za določitev želenih odvodov ali diferencialov. Enako se bo zgodilo med naslednjimi diferenciacijami.

Primer 1. Najdi, na točki u= 1,v= 1.

rešitev. Diferenciraj podane enačbe

Upoštevajte, da iz pogojev problema sledi, da moramo upoštevati neodvisne spremenljivke x, y. Potem bodo funkcije z, u, v. Tako je treba sistem (6.11) rešiti glede na neznanke du, dv, dz. V matrični obliki je videti takole

Rešimo ta sistem z uporabo Cramerjevega pravila. Determinanta matrike koeficientov

Tretja "nadomestna" determinanta za Od tu določamo bo enako (izračunamo ga tako, da razširimo čez zadnji stolpec)

dz = , In,.

Še enkrat ločimo (6.11) ( x, y – neodvisne spremenljivke)

Matrika koeficientov sistema je enaka, tretja determinanta

Z reševanjem tega sistema dobimo izraz za d 2 z kjer lahko najdete želeno izpeljanko.

6.3. Diferenciabilne preslikave

Izpeljane preslikave. Redni prikazi. Nujni in zadostni pogoji za funkcionalno odvisnost.

Naučili se bomo poiskati odvode funkcij, ki so podane implicitno, torej določene z določenimi enačbami, ki povezujejo spremenljivke. x in l. Primeri implicitno navedenih funkcij:

Izpeljanke implicitno podanih funkcij ali izpeljanke implicitnih funkcij najdemo precej preprosto. Zdaj pa poglejmo ustrezno pravilo in primer, nato pa ugotovimo, zakaj je to na splošno potrebno.

Če želite najti odvod implicitno podane funkcije, morate razlikovati obe strani enačbe glede na x. Tisti členi, v katerih je prisoten samo X, se bodo spremenili v običajno izpeljanko funkcije iz X. In izraze z igro je treba razlikovati z uporabo pravila za razlikovanje kompleksne funkcije, saj je igra funkcija X. Preprosto povedano, rezultat izpeljane člena z x bi moral biti: odvod funkcije iz y, pomnožen z odvodom iz y. Na primer, izpeljanka izraza bo zapisana kot , izpeljanka izraza bo zapisana kot . Nato morate iz vsega tega izraziti ta "takt igre" in želeni derivat implicitno navedene funkcije bo dobljen. Poglejmo si to na primeru.

Primer 1.

rešitev. Razlikujemo obe strani enačbe glede na x, ob predpostavki, da je i funkcija x:

Od tu dobimo izpeljanko, ki je zahtevana v nalogi:

Zdaj pa nekaj o dvoumni lastnosti implicitno navedenih funkcij in zakaj so potrebna posebna pravila za njihovo razlikovanje. V nekaterih primerih lahko preverite, ali je zamenjava v podana enačba(glej primere zgoraj) namesto y, njegov izraz skozi x vodi do dejstva, da ta enačba postane identiteta. torej. Zgornja enačba implicitno definira naslednje funkcije:

Po zamenjavi izraza za igro na kvadrat skozi x v izvirno enačbo dobimo identiteto:

Izraze, ki smo jih nadomestili, smo dobili z reševanjem enačbe za igro.

Če bi razlikovali ustrezno eksplicitno funkcijo

potem bi dobili odgovor kot v primeru 1 – iz implicitno navedene funkcije:

Vendar ni vsake implicitno podane funkcije mogoče predstaviti v obliki l = f(x) . Torej, na primer, implicitno določene funkcije

se ne izražajo skozi elementarne funkcije, kar pomeni, da teh enačb ni mogoče rešiti glede na igralca. Zato obstaja implicitno določeno pravilo za razlikovanje funkcije, ki smo ga že preučili in ga bomo v nadaljevanju dosledno uporabljali v drugih primerih.

Primer 2. Poiščite odvod implicitno podane funkcije: