Razdelek vsebuje referenčno gradivo o glavnih elementarnih funkcijah in njihovih lastnostih. Podana je klasifikacija elementarne funkcije. Spodaj so povezave do pododdelkov, ki razpravljajo o lastnostih določenih funkcij - grafi, formule, odvodi, protiodvodi (integrali), razširitve nizov, izrazi skozi kompleksne spremenljivke.
Referenčne strani za osnovne funkcije
Klasifikacija elementarnih funkcij
Algebraična funkcija je funkcija, ki zadošča enačbi:
,
kjer je polinom v odvisni spremenljivki y in neodvisni spremenljivki x. Lahko se zapiše kot:
,
kje so polinomi.
Algebraične funkcije delimo na polinome (celotne racionalne funkcije), racionalne funkcije in iracionalne funkcije.
Celotna racionalna funkcija, ki se imenuje tudi polinom oz polinom, dobimo iz spremenljivke x in končno število uporabo številk aritmetične operacije seštevanje (odštevanje) in množenje. Po odprtju oklepajev se polinom reducira na kanonično obliko:
.
Delna racionalna funkcija
, ali preprosto racionalna funkcija, dobimo iz spremenljivke x in končnega števila števil z uporabo aritmetičnih operacij seštevanja (odštevanja), množenja in deljenja. Racionalno funkcijo lahko reduciramo na formo
,
kjer in sta polinoma.
Iracionalna funkcija je algebraična funkcija, ki ni racionalna. Praviloma pod ir racionalna funkcija razumejo korenine in njihove sestave z racionalnimi funkcijami. Koren stopnje n je definiran kot rešitev enačbe
.
Označen je na naslednji način:
.
Transcendentalne funkcije imenujemo nealgebraične funkcije. To so eksponentne, trigonometrične, hiperbolične in njihove inverzne funkcije.
Pregled osnovnih elementarnih funkcij
Vse osnovne funkcije je mogoče predstaviti kot končno število operacij seštevanja, odštevanja, množenja in deljenja, izvedenih na izrazu oblike:
z t.
Inverzne funkcije lahko izrazimo tudi z logaritmi. Spodaj so navedene osnovne osnovne funkcije.
Funkcija moči:
y(x) = x p,
kjer je p eksponent. Odvisno je od osnove stopnje x.
Nazaj k funkcija moči je tudi potenčna funkcija:
.
Pri celoštevilski nenegativni vrednosti eksponenta p je to polinom. Za celoštevilsko vrednost p - racionalna funkcija. pri racionalni pomen - iracionalna funkcija.
Transcendentalne funkcije
Eksponentna funkcija:
y(x) = a x,
kjer je a osnova stopnje. Odvisno je od eksponenta x.
Inverzna funkcija je logaritem z osnovo a:
x = prijavite se.
Eksponent, e na potenco x:
y(x) = e x,
To je eksponentna funkcija, katere odvod je enak funkciji sami:
.
Osnova eksponenta je število e:
≈ 2,718281828459045...
.
Inverzna funkcija - naravni logaritem - logaritem na osnovo e:
x = ln y ≡ log e y.
Trigonometrične funkcije:
Sinus: ;
Kosinus: ;
Tangenta: ;
Kotangens: ;
tukaj sem - imaginarna enota, i 2 = -1 .
Inverzne trigonometrične funkcije:
Arkusinus: x = arcsin y,
;
Arkus kosinus: x = arccos y,
;
Arktangens: x = arctan y,
;
Arkus tangens: x = arcctg y,
.
1) Funkcijska domena in funkcijsko območje.
Domena funkcije je množica vseh veljavnih prave vrednosti prepir x(spremenljivka x), za katero je funkcija y = f(x) odločen. Območje funkcije je množica vseh realnih vrednosti l, ki jih funkcija sprejme.
IN elementarna matematika funkcije preučujemo le na množici realnih števil.
2) Funkcijske ničle.
Funkcija nič je vrednost argumenta, pri kateri je vrednost funkcije enaka nič.
3) Intervali konstantnega predznaka funkcije.
Intervali konstantnega znaka funkcije so nizi vrednosti argumentov, na katerih so vrednosti funkcije samo pozitivne ali samo negativne.
4) Monotonost funkcije.
Naraščajoča funkcija (v določenem intervalu) je funkcija, za katero višja vrednost argument iz tega intervala ustreza večji vrednosti funkcije.
Padajoča funkcija (v določenem intervalu) je funkcija, ki ji ustreza večja vrednost argumenta iz tega intervala. nižjo vrednost funkcije.
5) Soda (liha) funkcija.
Soda funkcija je funkcija, katere definicijska domena je simetrična glede na izvor in za poljubno X s področja definicije enakost f(-x) = f(x). Graf sode funkcije je simetričen glede na ordinato.
Liha funkcija je funkcija, katere domena definicije je simetrična glede na izvor in za poljubno X s področja definicije velja enakost f(-x) = - f(x). Graf lihe funkcije je simetričen glede na izvor.
6) Omejene in neomejene funkcije.
Funkcija se imenuje omejena, če obstaja pozitivno število M tako, da |f(x)| ≤ M za vse vrednosti x. Če taka številka ne obstaja, je funkcija neomejena.
7) Periodičnost funkcije.
Funkcija f(x) je periodična, če obstaja neničelno število T tako, da za vsak x iz domene definicije funkcije velja: f(x+T) = f(x). To najmanjše število imenujemo perioda funkcije. Vse trigonometrične funkcije so periodične. (Trigonometrične formule).
19. Osnovne elementarne funkcije, njihove lastnosti in grafi. Uporaba funkcij v ekonomiji.
Osnovne elementarne funkcije. Njihove lastnosti in grafi
1. Linearna funkcija.
Linearna funkcija se imenuje funkcija oblike , kjer je x spremenljivka, a in b sta realni števili.
številka A klical naklon naravnost, on enaka tangenti naklonski kot te premice glede na pozitivno smer osi x. Urnik linearna funkcija je ravna črta. Opredeljujeta ga dve točki.
Lastnosti linearne funkcije
1. Domena definicije - množica vseh realnih števil: D(y)=R
2. Množica vrednosti je množica vseh realnih števil: E(y)=R
3. Funkcija zavzame vrednost nič, ko oz.
4. Funkcija narašča (pada) na celotnem področju definicije.
5. Linearna funkcija je zvezna na celotnem definicijskem področju, diferenciabilna in .
2. Kvadratna funkcija.
Funkcija oblike, kjer je x spremenljivka, koeficienti a, b, c realna števila, se imenuje kvadratni.
Dolžina segmenta je koordinatna os se najde po formuli:
Dolžina segmenta je koordinatna ravnina se išče po formuli:
Če želite najti dolžino segmenta v tridimenzionalnem koordinatnem sistemu, uporabite naslednjo formulo:
Koordinate sredine segmenta (za koordinatno os se uporablja samo prva formula, za koordinatno ravnino - prvi dve formuli, za tridimenzionalni sistem koordinate - vse tri formule) se izračunajo po formulah:
funkcija– to je korespondenca obrazca l= f(x) med spremenljivimi količinami, zaradi česar vsaka obravnavana vrednost nekega spremenljiva velikost x(argument ali neodvisna spremenljivka) ustreza določeni vrednosti druge spremenljivke, l(odvisna spremenljivka, včasih se ta vrednost preprosto imenuje vrednost funkcije). Upoštevajte, da funkcija predpostavlja to eno vrednost argumenta X lahko ustreza le ena vrednost odvisne spremenljivke pri. Vendar pa enaka vrednost pri mogoče dobiti z različnimi X.
Domena funkcije– to so vse vrednosti neodvisne spremenljivke (argument funkcije, običajno this X), za katerega je definirana funkcija, tj. njen pomen obstaja. Označeno je območje definicije D(l). Avtor: na splošno Ta koncept že poznate. Domena funkcije se imenuje tudi domena sprejemljive vrednosti, ali ODZ, ki ste ga že dolgo lahko našli.
Območje delovanja- to je vse možne vrednosti odvisna spremenljivka te funkcije. Določeno E(pri).
Funkcija se poveča na intervalu, v katerem večja vrednost argumenta ustreza večji vrednosti funkcije. Funkcija se zmanjšuje na intervalu, v katerem večja vrednost argumenta ustreza manjši vrednosti funkcije.
Intervali konstantnega predznaka funkcije- to so intervali neodvisne spremenljivke, v katerih odvisna spremenljivka ohrani svoj pozitivni ali negativni predznak.
Funkcijske ničle– to so vrednosti argumenta, pri katerih je vrednost funkcije enaka nič. V teh točkah graf funkcije seka abscisno os (os OX). Zelo pogosto potreba po iskanju ničel funkcije pomeni potrebo po preprosti rešitvi enačbe. Prav tako pogosto potreba po iskanju intervalov konstantnosti predznaka pomeni potrebo po preprostem reševanju neenakosti.
funkcija l = f(x) se imenujejo celo X
To pomeni, da za katero koli nasprotni pomeni argument, so vrednosti sode funkcije enake. Urnik celo funkcijo vedno simetričen glede na ordinatno os operacijskega ojačevalnika.
funkcija l = f(x) se imenujejo Čuden, če je definirana na simetrični množici in za poljubno X iz domene definicije velja enakost:
To pomeni, da so za vse nasprotne vrednosti argumenta tudi vrednosti lihe funkcije nasprotne. Graf lihe funkcije je vedno simetričen glede na izvor.
Vsota korenin sodega in čudne funkcije(presečišča abscisne osi OX) vedno enaka nič, ker za vsakogar pozitivni koren X moram negativni koren –X.
Pomembno je opozoriti: ni nujno, da je neka funkcija soda ali liha. Obstaja veliko funkcij, ki niso niti sode niti lihe. Takšne funkcije imenujemo funkcije splošni pogled , in zanje ni izpolnjena nobena od zgoraj navedenih enakosti ali lastnosti.
Linearna funkcija je funkcija, ki jo je mogoče podati s formulo:
Graf linearne funkcije je ravna črta in splošni primer izgleda tako (naveden je primer za primer, ko k> 0, v tem primeru funkcija narašča; za to priložnost k < 0 функция будет убывающей, т.е. прямая будет наклонена в другую сторону - слева направо):
Graf kvadratne funkcije (parabola)
Graf parabole je podan s kvadratno funkcijo:
Kvadratna funkcija, tako kot katera koli druga funkcija, seka os OX v točkah, ki so njene korenine: ( x 1 ; 0) in ( x 2 ; 0). Če ni korenin, potem kvadratna funkcija ne seka osi OX; če obstaja samo ena korenina, potem na tej točki ( x 0 ; 0) kvadratna funkcija se samo dotika osi OX, vendar je ne seka. Kvadratna funkcija vedno seka os OY v točki s koordinatami: (0; c). Urnik kvadratna funkcija(parabola) lahko izgleda tako (slika prikazuje primere, ki ne izčrpajo vseh možnih vrst parabol):
pri čemer:
- če koeficient a> 0, v funkciji l = sekira 2 + bx + c, potem so veje parabole usmerjene navzgor;
- če a < 0, то ветви параболы направлены вниз.
Koordinate vrha parabole lahko izračunamo iz naslednje formule. X vrhovi (str- na zgornjih slikah) parabole (ali točka, v kateri kvadratni trinom doseže največjo ali najmanjšo vrednost):
Vrhovi Igrek (q- na zgornjih slikah) parabole ali največ, če so veje parabole usmerjene navzdol ( a < 0), либо минимальное, если ветви параболы направлены вверх (a> 0), vrednost kvadratni trinom:
Grafi drugih funkcij
Funkcija moči
Tu je nekaj primerov grafov funkcij moči:
Obratno sorazmeren pokličite funkcijo podana s formulo:
Odvisno od predznaka števila k urnik nazaj proporcionalna odvisnost ima lahko dve temeljni možnosti:
Asimptota je premica, ki se ji graf funkcije približa neskončno blizu, vendar je ne seka. Asimptote za grafe obratno sorazmernost na zgornji sliki so prikazane koordinatne osi, ki se jim graf funkcije neskončno približa, vendar jih ne seka.
Eksponentna funkcija z bazo A je funkcija, podana s formulo:
a urnik eksponentna funkcija lahko ima dve temeljni možnosti (navajamo tudi primere, glejte spodaj):
Logaritemska funkcija je funkcija, podana s formulo:
Odvisno od tega, ali je število večje ali manjše od ena a urnik logaritemska funkcija ima lahko dve temeljni možnosti:
Graf funkcije l = |x| kot sledi:
Grafi periodičnih (trigonometričnih) funkcij
funkcija pri = f(x) je poklican periodično, če kaj takega obstaja, ne enako nič, številka T, Kaj f(x + T) = f(x), za vsakogar X iz domene funkcije f(x). Če funkcija f(x) je periodična s periodo T, potem funkcija:
Kje: A, k, b – stalna števila, in k ni enako nič, tudi periodično s periodo T 1, ki je določena s formulo:
Večina primerov periodične funkcije- To so trigonometrične funkcije. Tukaj so grafi glavnega trigonometrične funkcije. Naslednja slika prikazuje del grafa funkcije l= greh x(celoten graf se nadaljuje v nedogled levo in desno), graf funkcije l= greh x klical sinusoid:
Graf funkcije l=cos x klical kosinus. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Ker se sinusni graf neomejeno nadaljuje vzdolž osi OX levo in desno:
Graf funkcije l= tg x klical tangentoid. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Tako kot grafi drugih periodičnih funkcij, ta urnik ponavlja v nedogled vzdolž osi OX v levo in desno.
In končno, graf funkcije l=ctg x klical kotangentoid. Ta graf je prikazan na naslednji sliki. Tako kot grafi drugih periodičnih in trigonometričnih funkcij se tudi ta graf neomejeno ponavlja vzdolž osi OX levo in desno.
Uspešno, vestno in odgovorno izvajanje teh treh točk vam bo omogočilo, da se boste izkazali na CT odličen rezultat, največ tega, kar ste sposobni.
Ste našli napako?
Če menite, da ste našli napako v izobraževalno gradivo, potem pa o tem pišite po e-pošti. Napako lahko prijavite tudi na socialno omrežje(). V pismu navedite predmet (fizika ali matematika), ime ali številko teme ali testa, številko naloge ali mesto v besedilu (stran), kjer je po vašem mnenju napaka. Opišite tudi, kaj je domnevna napaka. Vaše pismo ne bo ostalo neopaženo, napaka bo popravljena ali pa vam bo razloženo, zakaj ne gre za napako.
