Uporabimo vodilni vektor
do točke
. Razdalja od točke
na ravno črto je višina paralelograma, sestavljenega iz vektorjev in
. Poiščimo površino paralelograma s pomočjo navzkrižnega produkta:

Na drugi strani, . Iz enakosti desnih strani zadnjih dveh relacij sledi, da

. (3.27)

3.10. Elipsoid

Opredelitev. Elipsoid je površina drugega reda, ki jo v nekem koordinatnem sistemu definira enačba

. (3.28)

Enačbo (3.28) imenujemo kanonična enačba elipsoida.

Iz enačbe (3.28) sledi, da so koordinatne ravnine simetrijske ravnine elipsoida, izhodišče koordinat pa je simetrijsko središče. Številke
se imenujejo pol-osi elipsoida in predstavljajo dolžine segmentov od izhodišča do presečišča elipsoida s koordinatnimi osemi. Elipsoid je omejena ploskev, zaprta v paralelepiped
,
,
.

Določimo geometrijsko obliko elipsoida. Da bi to naredili, ugotovimo obliko črt presečišča njegovih ravnin, vzporednih s koordinatnimi osemi.

Če smo natančni, razmislite o črtah presečišča elipsoida z ravninami
, vzporedno z ravnino
. Enačba za projekcijo presečišča na ravnino
dobimo iz (3.28), če vanj vstavimo
. Enačba te projekcije je

. (3.29)

če
, potem je (3.29) enačba namišljene elipse in presečišč elipsoida z ravnino
št. Sledi, da
. če
, potem premica (3.29) degenerira v točke, tj. ravnine
dotaknite se elipsoida v točkah
in
. če
, To
in lahko uvedete notacijo

,
. (3.30)

Takrat dobi enačba (3.29) obliko

, (3.31)

torej projekcija na ravnino
presečišča elipsoida in ravnine
je elipsa s polosemi, ki jih določajo enačbe (3.30). Ker je presečišče površine z ravninami, vzporednimi s koordinatnimi ravninami, projekcija, "dvignjena" na višino , potem je sama presečišče elipsa.

Pri zmanjševanju vrednosti osi in povečajo in dosežejo največjo vrednost pri
, to je v prerezu elipsoida s koordinatno ravnino
dobimo največjo elipso s polosemi
in
.

Zamisel o elipsoidu je mogoče dobiti na drug način. Razmislite na letalu
družina elips (3.31) s polosemi in , definirana z razmerji (3.30) in odvisna od . Vsaka taka elipsa je ravninska črta, to je črta, na vsaki točki katere vrednost enako. Vsako takšno elipso »dvigniti« na višino , dobimo prostorski pogled na elipsoid.

Podobno sliko dobimo, če določeno ploskev sekamo z ravninami, vzporednimi s koordinatnimi ravninami
in
.

Tako je elipsoid zaprta eliptična površina. Kdaj
Elipsoid je krogla.

Presek presečišča elipsoida s katero koli ravnino je elipsa, saj je taka črta omejena črta drugega reda, edina omejena črta drugega reda pa je elipsa.

\(\blacktriangleright\) Kot med premico in ravnino je kot med premico in njeno projekcijo na to ravnino (tj. je kot \(0\leqslant \alpha\leqslant 90^\circ\)).

\(\blacktriangleright\) Če želite najti kot med premico \(a\) in ravnino \(\phi\) (\(a\cap\phi=B\)), potrebujete:

1. korak: iz neke točke \(A\in a\) narišite pravokotnico \(AO\) na ravnino \(\phi\) (\(O\) je osnova navpičnice);

2. korak: potem je \(BO\) projekcija nagnjene \(AB\) na ravnino \(\phi\) ;

3. korak: Potem je kot med premico \(a\) in ravnino \(\phi\) enak \(\kotu ABO\) .

Naloga 1 #2850

Raven naloge: Težje kot enotni državni izpit

Premica \(l\) seka ravnino \(\alpha\) . Na premici \(l\) je označena odsek \(AB=25\) in vemo, da je projekcija tega odseka na ravnino \(\alpha\) enaka \(24\) . Poiščite sinus kota med premico \(l\) in ravnino \(\alpha\)

Poglejmo sliko:

Naj bo \(A_1B_1=24\) projekcija \(AB\) na ravnino \(\alpha\), kar pomeni \(AA_1\perp \alpha\) , \(BB_1\perp \alpha\) . Ker dve premici, pravokotni na ravnino, ležita v isti ravnini, potem \(A_1ABB_1\) – pravokotni trapez. Naredimo \(AH\perp BB_1\) . Potem \(AH=A_1B_1=24\) . Zato po Pitagorovem izreku \ Upoštevamo tudi, da je kot med premico in ravnino kot med premico in njeno projekcijo na ravnino, torej je želeni kot kot med \(AB\) in \(A_1B_1 \) . Ker je \(AH\vzporednik A_1B_1\) , potem je kot med \(AB\) in \(A_1B_1\) enak kotu med \(AB\) in \(AH\) .
Potem \[\sin\kot BAH=\dfrac(BH)(AB)=\dfrac7(25)=0,28.\]

Odgovor: 0,28

Naloga 2 #2851

Raven naloge: Težje kot enotni državni izpit

\(ABC\) – navaden trikotnik s stranico \(3\) , \(O\) je točka, ki leži zunaj ravnine trikotnika, in \(OA=OB=OC=2\sqrt3\) . Poiščite kot, ki ga tvorijo premice \(OA, OB, OC\) z ravnino trikotnika. Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Narišimo pravokotno \(OH\) ​​​​na ravnino trikotnika.

Razmislimo \(\trikotnik OAH, \trikotnik OBH, \trikotnik OCH\). So pravokotne in enake po kateti in hipotenuzi. Zato \(AH=BH=CH\) . To pomeni, da je \(H\) točka, ki se nahaja na enaki razdalji od oglišč trikotnika \(ABC\) . Posledično je \(H\) središče kroga, ki je okoli njega opisan. Ker je \(\trikotnik ABC\) pravilen, je \(H\) točka presečišča median (so tudi višine in simetrale).
Ker je kot med premico in ravnino kot med premico in njeno projekcijo na to ravnino in je \(AH\) projekcija \(AO\) na ravnino trikotnika, potem je kot med \( AO\) in ravnina trikotnika je enaka \( \kot OAH\) .
Naj bo \(AA_1\) mediana v \(\trikotniku ABC\) , torej \ Ker sta mediani deljeni s presečiščem v razmerju \(2:1\) , šteto od oglišča, potem \ Nato od pravokotnika \(\trikotnik OAH\) : \[\cos OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac12\quad\Rightarrow\quad \angle OAH=60^\circ.\]

Upoštevajte, da iz enakosti trikotnikov \(OAH, OBH, OCH\) sledi, da \(\kot OAH=\kot OBH=\kot OCH=60^\krog\).

Odgovor: 60

Naloga 3 #2852

Raven naloge: Težje kot enotni državni izpit

Premica \(l\) je pravokotna na ravnino \(\pi\) . Premica \(p\) ne leži v ravnini \(\pi\) in z njo ni vzporedna, niti ni vzporedna s premico \(l\). Poiščite vsoto kotov med premicama \(p\) in \(l\) ter med premico \(p\) in ravnino \(\pi\) . Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Iz pogoja sledi, da premica \(p\) seka ravnino \(\pi\) . Naj \(p\cap l=O\) , \(l\cap \pi=L\) , \(p\cap\pi=P\) .

Potem je \(\angle POL\) kot med premicama \(p\) in \(l\) .
Ker je kot med premico in ravnino kot med premico in njeno projekcijo na to ravnino, potem je \(\angle OPL\) kot med \(p\) in \(\pi\) . Upoštevajte, da je \(\trikotnik OPL\) pravokoten z \(\angle L=90^\circ\) . Od zneska ostri koti pravokotni trikotnik je enako \(90^\circ\) , potem \(\kot POL+\kot OPL=90^\krog\).

Komentiraj.
Če premica \(p\) ne seka premice \(l\), potem narišemo premico \(p"\vzporedno p\), ki seka \(l\). Potem je kot med premico \(p\ ) in \(l\ ) bosta enaka kotu med \(p"\) in \(l\) . Podobno bo kot med \(p\) in \(\pi\) enak kotu med \(p"\) in \(\pi\). In za ravno črto \(p"\) prejšnja rešitev je že pravilna.

Odgovor: 90

Naloga 4 #2905

Raven naloge: Težje kot enotni državni izpit

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kubični. Točka \(N\) je razpolovna točka roba \(BB_1\) , točka \(M\) pa razpolovna točka odseka \(BD\) . Poiščite \(\mathrm(tg)^2\, \alpha\) , kjer je \(\alpha\) kot med premico, ki vsebuje \(MN\), in ravnino \((A_1B_1C_1D_1)\) . Podajte svoj odgovor v stopinjah.

\(NM\) – srednja črta v trikotniku \(DBB_1\) , potem je \(NM \vzporednik B_1D\) in \(\alpha\) enako kotu med \(B_1D\) in ravnino \((A_1B_1C_1D_1)\) .

Ker je \(DD_1\) pravokoten na ravnino \(A_1B_1C_1D_1\), potem je \(B_1D_1\) projekcija \(B_1D\) na ravnino \((A_1B_1C_1D_1)\) in kot med \(B_1D\ ) in ravnina \( (A_1B_1C_1D_1)\) je kot med \(B_1D\) in \(B_1D_1\) .

Naj bo rob kocke \(x\), potem po Pitagorovem izreku \ V trikotniku \(B_1D_1D\) je tangens kota med \(B_1D\) in \(B_1D_1\) enak \(\mathrm(tg)\,\angle DB_1D_1=\dfrac(DD_1)(B_1D_1) = \dfrac(1)(\sqrt(2))=\mathrm(tg)\,\alpha\), kje \(\mathrm(tg)^2\, \alpha = \dfrac(1)(2)\).

Odgovor: 0,5

Naloga 5 #2906

Raven naloge: Težje kot enotni državni izpit

\(ABCDA_1B_1C_1D_1\) – kubični. Točka \(N\) je sredina roba \(BB_1\) , točka \(M\) pa deli segment \(BD\) v razmerju \(1:2\) , šteto od oglišča \(B\) . Poiščite \(9\mathrm(ctg)^2\, \alpha\) , kjer je \(\alpha\) kot med premico, ki vsebuje \(MN\), in ravnino \((ABC)\) . Podajte svoj odgovor v stopinjah.

Ker je \(NB\) del \(BB_1\) in \(BB_1\perp (ABC)\), potem je tudi \(NB\perp (ABC)\). Zato je \(BM\) projekcija \(NM\) na ravnino \((ABC)\) . To pomeni, da je kot \(\alpha\) enak \(\angle NMB\) .

Naj bo rob kocke enak \(x\). Potem \(NB=0,5x\) . Po Pitagorovem izreku \(BD=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2x\) . Ker po pogoju \(BM:MD=1:2\) potem \(BM=\frac13BD\) , torej \(BM=\frac(\sqrt2)3x\) .

Nato iz pravokotnika \(\trikotnik NBM\): \[\mathrm(ctg)\,\alpha=\mathrm(ctg)\,\angle NMB=\dfrac(BM)(NB)=\dfrac(2\sqrt2)3 \quad\Rightarrow\quad 9\mathrm( ctg)^2\,\alpha=8.\]

Odgovor: 8

Naloga 6 #2907

Raven naloge: Težje kot enotni državni izpit

Čemu je enako \(\mathrm(ctg^2)\,\alpha\), če je \(\alpha\) kot naklona diagonale kocke na eno od njenih ploskev?

Želeni kot bo sovpadal s kotom med diagonalo kocke in diagonalo katere koli njene ploskve, ker V v tem primeru diagonala kocke bo nagnjena, diagonala ploskve bo projekcija te nagnjene ploskve na ravnino. Tako bo želeni kot enak, na primer, kotu \(C_1AC\) . Če označimo rob kocke kot \(x\), potem \(AC=\sqrt(x^2+x^2)=\sqrt2 x\), nato kvadrat kotangensa želenega kota: \[\mathrm(ctg^2)\,\alpha =(AC:CC_1)^2= (\sqrt2 x:x)^2 = 2.\]

Odgovor: 2

Naloga 7 #2849

Raven naloge: Težje kot enotni državni izpit

\(\kot BAH=\kot CAH=30^\krog\) .
Po Pitagorovem izreku \ torej \[\cos 30^\circ=\dfrac(AB)(AH)\quad\Rightarrow\quad AH=\dfrac(AB)(\cos 30^\circ)=2.\] Ker je \(OH\perp (ABC)\), potem je \(OH\) ​​pravokoten na katero koli premico iz te ravnine, kar pomeni, da je \(\trikotnik OAH\) pravokoten. Potem \[\cos \angle OAH=\dfrac(AH)(AO)=\dfrac25=0,4.\]

Odgovor: 0,4

Za srednješolce, ki se pripravljajo na enotni državni izpit iz matematike, bo koristno, da se naučijo obvladovati naloge iz razdelka "Geometrija v prostoru", v katerih morajo najti kot med ravno črto in ravnino. Pretekle izkušnje to kažejo podobne naloge diplomantom povzročajo določene težave. Hkrati veste osnovna teorija in razumeti, kako najti kot med ravno črto in ravnino, bi morali srednješolci s katero koli stopnjo usposabljanja razumeti. Le v tem primeru lahko računajo na dostojne točke.

Glavne nianse

Kot drugi stereometrični Naloge enotnega državnega izpita, naloge, pri katerih morate najti kote in razdalje med ravnimi črtami in ravninami, lahko rešite z dvema metodama: geometrijsko in algebraično. Učenci lahko izberejo možnost, ki jim najbolj ustreza. Po navedbah geometrijska metoda, morate najti primerno točko na premici, iz nje spustiti pravokotno na ravnino in sestaviti projekcijo. Po tem bo moral diplomant uporabiti le še osnovno teoretično znanje in rešiti planimetrično nalogo računanja kota. Algebraična metoda vključuje uvedbo koordinatnega sistema za iskanje želene količine. Določiti je treba koordinate dveh točk na premici, pravilno sestaviti enačbo ravnine in jo rešiti.

Učinkovita priprava s Shkolkovo

Da bo pouk enostaven in enakomeren težke naloge ni povzročalo težav, izberite našo izobraževalni portal. Vse je predstavljeno tukaj potreben material Za uspešen zaključek certifikacijski test. Pravega Osnovni podatki boste našli v razdelku “Teoretične informacije”. Če želite vaditi izpolnjevanje nalog, preprosto pojdite na "Katalog" na našem matematičnem portalu. Ta del vsebuje velik izbor vaj različne stopnje težave. Nove naloge se redno pojavljajo v katalogu.

Izvedite naloge iskanja kota med premico in ravnino ali na, Ruski šolarji lahko na spletu, ko ste v Moskvi ali drugem mestu. Če študent želi, lahko katero koli vajo shrani med »Priljubljene«. To vam bo omogočilo, da ga po potrebi hitro najdete in se z učiteljem pogovorite o napredku njegove rešitve.

KOT MED RAVNINAMI

Razmislite o dveh ravninah α 1 in α 2, definiranih z enačbama:

Spodaj kota med dvema ravninama bomo razumeli enega od diedrskih kotov, ki ju tvorita ti ravnini. Očitno je, da je kot med normalnima vektorjema in ravninama α 1 in α 2 enak enemu od navedenih sosednjih diedrskih kotov oz. . Zato . Ker in , To

.

Primer. Določite kot med ravninama x+2l-3z+4=0 in 2 x+3l+z+8=0.

Pogoj za vzporednost dveh ravnin.

Dve ravnini α 1 in α 2 sta vzporedni, če in samo če sta njuna normalna vektorja vzporedna, torej .

Torej sta dve ravnini med seboj vzporedni, če in samo če sta koeficienta ustreznih koordinat sorazmerna:

oz

Pogoj pravokotnosti ravnin.

Jasno je, da sta dve ravnini pravokotni, če in samo če sta njuna normalna vektorja pravokotna in torej ali .

Tako,.

Primeri.

NARAVNOST V VESELJU.

VEKTORSKA ENAČBA ZA PREMICO.

PARAMETRIČNE DIREKTNE ENAČBE

Položaj črte v prostoru je popolnoma določen z določitvijo katere koli njene fiksne točke M 1 in vektor, ki je vzporeden s to premico.

Vektor, ki je vzporeden s premico, se imenuje vodniki vektor te premice.

Torej naj bo ravna črta l poteka skozi točko M 1 (x 1 , l 1 , z 1), ki leži na premici, vzporedni z vektorjem .

Razmislimo poljubna točka M(x,y,z) na ravni liniji. Iz slike je razvidno, da.

Vektorja in sta kolinearna, zato obstaja takšno število t, kaj , kje je množitelj t lahko sprejme katero koli številčna vrednost odvisno od položaja točke M na ravni črti. Faktor t imenovan parameter. Po določitvi radijskih vektorjev točk M 1 in M oziroma, skozi in , Dobimo . Ta enačba se imenuje vektor enačba premice. Prikazuje, da je za vsako vrednost parametra t ustreza vektorju radija neke točke M, ki leži na ravni črti.

Zapišimo to enačbo v koordinatni obliki. Upoštevajte, da in od tukaj

Nastale enačbe imenujemo parametrični enačbe premice.

Pri spreminjanju parametra t spremembe koordinat x, l in z in pika M premika v ravni črti.

KANONIČNE ENAČBE DIREKT

Pustiti M 1 (x 1 , l 1 , z 1) – točka, ki leži na premici l, In je njegov smerni vektor. Ponovno vzemimo poljubno točko na premici M(x,y,z) in razmislite o vektorju.

Jasno je, da so tudi vektorji kolinearni, zato morajo biti njihove ustrezne koordinate sorazmerne, torej

– kanoničen enačbe premice.

Opomba 1. Upoštevajte, da bi kanonične enačbe premice lahko dobili iz parametričnih z izločitvijo parametra t. Dejansko iz parametričnih enačb, ki jih dobimo oz .

Primer. Zapišite enačbo premice v parametrični obliki.

Označimo , od tod x = 2 + 3t, l = –1 + 2t, z = 1 –t.

Opomba 2. Naj bo premica pravokotna na enega od koordinatne osi, na primer sekire Ox. Potem je smerni vektor premice pravokoten Ox, torej, m=0. Posledično bodo parametrične enačbe črte prevzele obliko

Izključitev parametra iz enačb t, dobimo enačbe premice v obliki

Vendar se tudi v tem primeru strinjamo, da kanonične enačbe premice formalno zapišemo v obliki . Če je torej imenovalec enega od ulomkov enak nič, to pomeni, da je premica pravokotna na ustrezno koordinatno os.

prav tako kanonične enačbe ustreza ravni črti, pravokotni na osi Ox in Oj ali vzporedno z osjo Oz.

Primeri.

SPLOŠNE ENAČBE RAVNE ČRTE KOT PREMICE PRESEČIŠČA DVEH RAVNIN

Skozi vsako premico v prostoru teče nešteto ravnin. Katera koli dva od njih, ki se sekata, ga določata v prostoru. Posledično enačbi katerih koli dveh takih ravnin, obravnavani skupaj, predstavljata enačbi te premice.

Na splošno katera koli dva nista vzporedne ravnine, podana s splošnimi enačbami

določite ravno črto njihovega presečišča. Te enačbe se imenujejo splošne enačbe naravnost.

Primeri.

Konstruirajte premico, podano z enačbami

Če želite zgraditi ravno črto, je dovolj, da poiščete kateri koli dve njeni točki. Najlažji način je, da izberete točke presečišča črte z koordinatne ravnine. Na primer, točka presečišča z ravnino xOy dobimo iz enačb premice ob predpostavki z= 0:

Ko rešimo ta sistem, najdemo bistvo M 1 (1;2;0).

Podobno, ob predpostavki l= 0, dobimo presečišče premice z ravnino xOz:

Iz splošnih enačb premice gre lahko do njene kanonične oz parametrične enačbe. Če želite to narediti, morate najti neko točko M 1 na premico in smerni vektor premice.

Koordinate točk M 1 dobimo iz tega sistema enačb, pri čemer eni od koordinat damo poljubno vrednost. Če želite najti smerni vektor, upoštevajte, da mora biti ta vektor pravokoten na oba normalna vektorja in . Zato zunaj smernega vektorja premice l lahko vzameš vektorski izdelek normalni vektorji:

.

Primer. Svinec splošne enačbe naravnost do kanonične oblike.

Poiščimo točko, ki leži na premici. Za to poljubno izberemo eno od koordinat, npr. l= 0 in reši sistem enačb:

Normalni vektorji ravnin, ki določajo premico, imajo koordinate Zato bo vektor smeri raven

. torej l: .

KOT MED RIVICAMI

Kot med premicami v prostoru bomo imenovali katerikoli od sosednjih kotov, ki ga tvorita dve premici, narisani skozi poljubno točko vzporedno s podatkom.

Naj sta v prostoru podani dve črti:

Očitno lahko kot φ med ravnimi črtami vzamemo kot med njihovimi smernimi vektorji in . Ker , potem z uporabo formule za kosinus kota med vektorji dobimo