Përkufizimi i funksionit linear thyesor. Funksioni linear thyesor

Funksioni racional thyesor

Formula y = k/ x, grafiku është një hiperbolë. Në Pjesën 1 GIA këtë funksion ofrohet pa zhvendosje përgjatë akseve. Prandaj ka vetëm një parametër k. Më së shumti dallim i madh në pamjen grafika varet nga shenja k.

Është më e vështirë të shihen dallimet në grafikë nëse k një personazh:

Siç e shohim, aq më shumë k, aq më e lartë shkon hiperbola.

Figura tregon funksionet për të cilat parametri k ndryshon ndjeshëm. Nëse ndryshimi nuk është aq i madh, atëherë është mjaft e vështirë të përcaktohet me sy.

Në këtë drejtim, detyra e mëposhtme, të cilën e gjeta në një manual përgjithësisht të mirë për përgatitjen për Provimin e Shtetit, është thjesht një “kryevepër”:

Jo vetëm kaq, në një pamje mjaft të vogël, grafikët e ndarë nga afër thjesht bashkohen. Gjithashtu, hiperbolat me k pozitive dhe negative përshkruhen në një plan koordinativ. E cila do të çorientojë plotësisht këdo që e shikon këtë vizatim. "Ylli i vogël i lezetshëm" thjesht ju bie në sy.

Faleminderit Zotit kjo është vetëm një detyrë stërvitore. NË opsionet reale u propozuan formulime më korrekte dhe vizatime të dukshme.

Le të kuptojmë se si të përcaktojmë koeficientin k sipas grafikut të funksionit.

Nga formula: y = k/x rrjedh se k = y x. Kjo do të thotë, ne mund të marrim çdo pikë të plotë me koordinata të përshtatshme dhe t'i shumëzojmë ato - marrim k.

k= 1·(- 3) = - 3.

Prandaj formula e këtij funksioni është: y = - 3/x.

Është interesante të merret në konsideratë situata me k thyesore. Në këtë rast, formula mund të shkruhet në disa mënyra. Kjo nuk duhet të jetë mashtruese.

Për shembull,

Aktiv këtë grafikështë e pamundur të gjesh një pikë të vetme numër të plotë. Prandaj vlera k mund të përcaktohet shumë afërsisht.

k= 1·0,7≈0,7. Megjithatë, mund të kuptohet se 0< k< 1. Если среди предложенных вариантов есть такое значение, то можно считать, что оно и является ответом.

Pra, le të përmbledhim.

k Hiperbola > 0 ndodhet në 1 dhe 3 kënde koordinative(kuadrante),

k < 0 - во 2-м и 4-ом.

Nëse k modul më i madh se 1 ( k= 2 ose k= - 2), atëherë grafiku ndodhet mbi 1 (poshtë - 1) përgjatë boshtit y dhe duket më i gjerë.

Nëse k modul më pak se 1 ( k= 1/2 ose k= - 1/2), atëherë grafiku ndodhet nën 1 (mbi - 1) përgjatë boshtit y dhe duket më i ngushtë, "i shtypur" drejt zeros:

1. Thyesore funksion linear dhe orarin e saj

Një funksion i formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome, quhet funksion racional thyesor.

Me konceptin numrat racionalë me siguri tashmë e njihni njëri-tjetrin. Po kështu funksionet racionale janë funksione që mund të paraqiten si herës i dy polinomeve.

Nëse një funksion racional thyesor është herësi i dy funksioneve lineare - polinomeve të shkallës së parë, d.m.th. funksioni i formës

y = (ax + b) / (cx + d), atëherë quhet lineare thyesore.

Vini re se në funksionin y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (përndryshe funksioni bëhet linear y = ax/d + b/d) dhe se a/c ≠ b/d (ndryshe funksioni është konstant). Funksioni linear thyesor përcaktuar për të gjithë numrat realë përveç x = -d/c. Grafikët e funksioneve lineare thyesore nuk ndryshojnë në formë nga grafiku y = 1/x që dini. Një kurbë që është grafik i funksionit y = 1/x quhet hiperbolë. Me një rritje të pakufizuar në x vlerë absolute funksioni y = 1/x zvogëlohet pafundësisht në vlerë absolute dhe të dy degët e grafikut i afrohen boshtit x: e djathta afrohet nga lart dhe e majta nga poshtë. Linjat me të cilat degët e një hiperbole afrohen quhen të saj asimptota.

Shembulli 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Zgjidhje.

Le të zgjedhim të gjithë pjesën: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: zhvendosja me 3 segment njësi në të djathtë, duke u shtrirë përgjatë boshtit Oy 7 herë dhe duke zhvendosur 2 segmente njësi lart.

Çdo thyesë y = (ax + b) / (cx + d) mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme, duke theksuar "pjesën e plotë". Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare thyesore janë hiperbola, të zhvendosura në mënyra të ndryshme përgjatë boshteve koordinative dhe të shtrira përgjatë boshtit Oy.

Për të ndërtuar një grafik të çdo funksioni thyesor-linear arbitrar, nuk është aspak e nevojshme të transformohet fraksioni që përcakton këtë funksion. Meqenëse e dimë se grafiku është një hiperbolë, do të mjaftojë të gjejmë drejtëzat të cilave u afrohen degët e tij - asimptotat e hiperbolës x = -d/c dhe y = a/c.

Shembulli 2.

Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit y = (3x + 5)/(2x + 2).

Zgjidhje.

Funksioni nuk është i përcaktuar, në x = -1. Kjo do të thotë se drejtëza x = -1 shërben asimptotë vertikale. Për të gjetur asimptotën horizontale, le të zbulojmë se çfarë afrohen vlerat e funksionit y(x) kur argumenti x rritet në vlerë absolute.

Për ta bërë këtë, ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Si x → ∞ thyesa do të priret në 3/2. Kjo do të thotë se asimptota horizontale është drejtëza y = 3/2.

Shembulli 3.

Grafikoni funksionin y = (2x + 1)/(x + 1).

Zgjidhje.

Le të zgjedhim "të gjithë pjesën" e thyesës:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: një zhvendosje me 1 njësi në të majtë, një shfaqje simetrike në lidhje me Ox dhe një zhvendosje me 2 njësi segmente lart përgjatë boshtit Oy.

Domeni D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Gama e vlerave E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Pikat e kryqëzimit me akset: c Oy: (0; 1); c Ka: (-1/2; 0). Funksioni rritet në çdo interval të fushës së përkufizimit.

Përgjigje: Figura 1.

2. Funksioni racional thyesor

Le të shqyrtojmë në mënyrë të pjesshme funksioni racional të formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome të shkallës më të lartë se i pari.

Shembuj të funksioneve të tilla racionale:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ose y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Nëse funksioni y = P(x) / Q(x) përfaqëson herësin e dy polinomeve të shkallës më të lartë se i pari, atëherë grafiku i tij, si rregull, do të jetë më kompleks dhe ndonjëherë mund të jetë i vështirë për ta ndërtuar atë me saktësi. , me te gjitha detajet. Megjithatë, shpesh mjafton të përdoren teknika të ngjashme me ato që kemi prezantuar tashmë më lart.

Le të jetë thyesa një thyesë e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы numër i fundëm thyesat elementare, forma e të cilave përcaktohet duke zbërthyer emëruesin e thyesës Q(x) në produktin e faktorëve realë:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Natyrisht, grafiku i një funksioni racional thyesor mund të merret si shuma e grafikëve të thyesave elementare.

Hartimi i grafikëve të funksioneve racionale thyesore

Le të shqyrtojmë disa mënyra për të ndërtuar grafikët e një funksioni racional thyesor.

Shembulli 4.

Grafikoni funksionin y = 1/x 2 .

Zgjidhje.

Ne përdorim grafikun e funksionit y = x 2 për të ndërtuar një grafik y = 1/x 2 dhe përdorim teknikën e “pjestimit” të grafikëve.

Domeni i përkufizimit D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Gama e vlerave E(y) = (0; +∞).

Nuk ka pika kryqëzimi me akset. Funksioni është i barabartë. Rritet për të gjitha x nga intervali (-∞; 0), zvogëlohet për x nga 0 në +∞.

Përgjigje: Figura 2.

Shembulli 5.

Grafikoni funksionin y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Zgjidhje.

Domeni D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Këtu kemi përdorur teknikën e faktorizimit, reduktimit dhe reduktimit në një funksion linear.

Përgjigje: Figura 3.

Shembulli 6.

Grafikoni funksionin y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Zgjidhje.

Fusha e përkufizimit është D(y) = R. Meqenëse funksioni është çift, grafiku është simetrik ndaj ordinatës. Përpara se të ndërtojmë një grafik, le të transformojmë përsëri shprehjen, duke theksuar të gjithë pjesën:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Vini re se izolimi i pjesës së plotë në formulën e një funksioni racional thyesor është një nga më kryesorët gjatë ndërtimit të grafikëve.

Nëse x → ±∞, atëherë y → 1, d.m.th. drejtëza y = 1 është asimptotë horizontale.

Përgjigje: Figura 4.

Shembulli 7.

Le të shqyrtojmë funksionin y = x/(x 2 + 1) dhe të përpiqemi të gjejmë saktë vlerën e tij më të madhe, d.m.th. më së shumti pikë e lartë gjysma e djathtë grafike. Për të ndërtuar me saktësi këtë grafik nuk mjaftojnë njohuritë e sotme. Natyrisht, kurba jonë nuk mund të "ngritet" shumë lart, sepse emëruesi shpejt fillon të "kapërcejë" numëruesin. Le të shohim nëse vlera e funksionit mund të jetë e barabartë me 1. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhim ekuacionin x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë reale. Kjo do të thotë se supozimi ynë është i pasaktë. Për të gjetur sa më shumë vlerë të madhe funksioni, duhet të zbuloni se në cilën A do të ketë zgjidhje ekuacioni A = x/(x 2 + 1). Ne do të zëvendësojmë ekuacioni origjinal katror: Ax 2 – x + A = 0. Ky ekuacion ka zgjidhje kur 1 – 4A 2 ≥ 0. Nga këtu gjejmë vlerën më të madhe A = 1/2.

Përgjigje: Figura 5, max y(x) = ½.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të grafikoni funksionet?
Për të marrë ndihmë nga një mësues, regjistrohu.
Mësimi i parë është falas!

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

1. Funksioni linear thyesor dhe grafiku i tij

Një funksion i formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome, quhet funksion racional thyesor.

Ju ndoshta tashmë jeni njohur me konceptin e numrave racionalë. Po kështu funksionet racionale janë funksione që mund të paraqiten si herës i dy polinomeve.

Nëse një funksion racional thyesor është herësi i dy funksioneve lineare - polinomeve të shkallës së parë, d.m.th. funksioni i formës

y = (ax + b) / (cx + d), atëherë quhet lineare thyesore.

Vini re se në funksionin y = (ax + b) / (cx + d), c ≠ 0 (përndryshe funksioni bëhet linear y = ax/d + b/d) dhe se a/c ≠ b/d (ndryshe funksioni është konstant). Funksioni thyesor linear është përcaktuar për të gjithë numrat realë përveç x = -d/c. Grafikët e funksioneve lineare thyesore nuk ndryshojnë në formë nga grafiku y = 1/x që dini. Një kurbë që është grafik i funksionit y = 1/x quhet hiperbolë. Me një rritje të pakufizuar të x në vlerë absolute, funksioni y = 1/x zvogëlohet në vlerë absolute të pakufizuar dhe të dy degët e grafikut i afrohen abshisës: e djathta afrohet nga lart dhe e majta nga poshtë. Linjat me të cilat degët e një hiperbole afrohen quhen të saj asimptota.

Shembulli 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Zgjidhje.

Le të zgjedhim të gjithë pjesën: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: zhvendosja me 3 segmente njësi në të djathtë, duke u shtrirë përgjatë boshtit Oy 7 herë dhe duke u zhvendosur me 2. segmentet e njësisë lart.

Çdo thyesë y = (ax + b) / (cx + d) mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme, duke theksuar "pjesën e plotë". Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare thyesore janë hiperbola, të zhvendosura në mënyra të ndryshme përgjatë boshteve koordinative dhe të shtrira përgjatë boshtit Oy.

Për të ndërtuar një grafik të çdo funksioni thyesor-linear arbitrar, nuk është aspak e nevojshme të transformohet fraksioni që përcakton këtë funksion. Meqenëse e dimë se grafiku është një hiperbolë, do të mjaftojë të gjejmë drejtëzat të cilave u afrohen degët e tij - asimptotat e hiperbolës x = -d/c dhe y = a/c.

Shembulli 2.

Gjeni asimptotat e grafikut të funksionit y = (3x + 5)/(2x + 2).

Zgjidhje.

Funksioni nuk është i përcaktuar, në x = -1. Kjo do të thotë se drejtëza x = -1 shërben si asimptotë vertikale. Për të gjetur asimptotën horizontale, le të zbulojmë se çfarë afrohen vlerat e funksionit y(x) kur argumenti x rritet në vlerë absolute.

Për ta bërë këtë, ndani numëruesin dhe emëruesin e thyesës me x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Si x → ∞ thyesa do të priret në 3/2. Kjo do të thotë se asimptota horizontale është drejtëza y = 3/2.

Shembulli 3.

Grafikoni funksionin y = (2x + 1)/(x + 1).

Zgjidhje.

Le të zgjedhim "të gjithë pjesën" e thyesës:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 - 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) - 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Tani është e lehtë të shihet se grafiku i këtij funksioni është marrë nga grafiku i funksionit y = 1/x nga transformimet e mëposhtme: një zhvendosje me 1 njësi në të majtë, një shfaqje simetrike në lidhje me Ox dhe një zhvendosje me 2 njësi segmente lart përgjatë boshtit Oy.

Domeni D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Gama e vlerave E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Pikat e kryqëzimit me akset: c Oy: (0; 1); c Ka: (-1/2; 0). Funksioni rritet në çdo interval të fushës së përkufizimit.

Përgjigje: Figura 1.

2. Funksioni racional thyesor

Konsideroni një funksion racional thyesor të formës y = P(x) / Q(x), ku P(x) dhe Q(x) janë polinome me shkallë më të lartë se e para.

Shembuj të funksioneve të tilla racionale:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) ose y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Nëse funksioni y = P(x) / Q(x) përfaqëson herësin e dy polinomeve të shkallës më të lartë se i pari, atëherë grafiku i tij, si rregull, do të jetë më kompleks dhe ndonjëherë mund të jetë i vështirë për ta ndërtuar atë me saktësi. , me te gjitha detajet. Megjithatë, shpesh mjafton të përdoren teknika të ngjashme me ato që kemi prezantuar tashmë më lart.

Le të jetë thyesa një thyesë e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Natyrisht, grafiku i një funksioni racional thyesor mund të merret si shuma e grafikëve të thyesave elementare.

Hartimi i grafikëve të funksioneve racionale thyesore

Le të shqyrtojmë disa mënyra për të ndërtuar grafikët e një funksioni racional thyesor.

Shembulli 4.

Grafikoni funksionin y = 1/x 2 .

Zgjidhje.

Ne përdorim grafikun e funksionit y = x 2 për të ndërtuar një grafik y = 1/x 2 dhe përdorim teknikën e “pjestimit” të grafikëve.

Domeni i përkufizimit D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Gama e vlerave E(y) = (0; +∞).

Nuk ka pika kryqëzimi me akset. Funksioni është i barabartë. Rritet për të gjitha x nga intervali (-∞; 0), zvogëlohet për x nga 0 në +∞.

Përgjigje: Figura 2.

Shembulli 5.

Grafikoni funksionin y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Zgjidhje.

Domeni D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3) (x – 1) / (-3 (x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Këtu kemi përdorur teknikën e faktorizimit, reduktimit dhe reduktimit në një funksion linear.

Përgjigje: Figura 3.

Shembulli 6.

Grafikoni funksionin y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).

Zgjidhje.

Fusha e përkufizimit është D(y) = R. Meqenëse funksioni është çift, grafiku është simetrik ndaj ordinatës. Përpara se të ndërtojmë një grafik, le të transformojmë përsëri shprehjen, duke theksuar të gjithë pjesën:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Vini re se izolimi i pjesës së plotë në formulën e një funksioni racional thyesor është një nga më kryesorët gjatë ndërtimit të grafikëve.

Nëse x → ±∞, atëherë y → 1, d.m.th. drejtëza y = 1 është një asimptotë horizontale.

Përgjigje: Figura 4.

Shembulli 7.

Le të shqyrtojmë funksionin y = x/(x 2 + 1) dhe të përpiqemi të gjejmë saktë vlerën e tij më të madhe, d.m.th. pika më e lartë në gjysmën e djathtë të grafikut. Për të ndërtuar me saktësi këtë grafik nuk mjaftojnë njohuritë e sotme. Natyrisht, kurba jonë nuk mund të "ngritet" shumë lart, sepse emëruesi shpejt fillon të "kapërcejë" numëruesin. Le të shohim nëse vlera e funksionit mund të jetë e barabartë me 1. Për ta bërë këtë, duhet të zgjidhim ekuacionin x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0. Ky ekuacion nuk ka rrënjë reale. Kjo do të thotë se supozimi ynë është i pasaktë. Për të gjetur vlerën më të madhe të funksionit, duhet të zbuloni se në cilën A do të ketë zgjidhje ekuacioni A = x/(x 2 + 1). Le të zëvendësojmë ekuacionin fillestar me një kuadratik: Ax 2 – x + A = 0. Ky ekuacion ka zgjidhje kur 1 – 4A 2 ≥ 0. Nga këtu gjejmë vlerën më të madhe A = 1/2.

Përgjigje: Figura 5, max y(x) = ½.

Ende keni pyetje? Nuk dini si të grafikoni funksionet?
Për të marrë ndihmë nga një mësues -.
Mësimi i parë është falas!

blog.site, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin origjinal.

Bashkiake institucioni arsimor

"Mesatare shkolla e mesme nr. 24"

problematike - punë abstrakte

mbi algjebrën dhe parimet e analizës

Grafikët e funksioneve racionale thyesore

Nxënësit e klasës së 11-të A Natalia Sergeevna Tovchegrechko mbikëqyrëse e punës Valentina Vasilievna Parsheva mësuese matematike, mësuese e arsimit të lartë kategoria e kualifikimit

Severodvinsk

Hyrje

N.A. Virchenko, I.I. Lyashko, K.I. Shvetsov. Drejtoria. Grafikët e funksioneve. Kyiv “Naukova Dumka” 1979 V.S. Kramor. Përsëriteni dhe sistematizoni kursi shkollor algjebra dhe fillimet e analizës. Moskë "Iluminizmi" 1990 Yu.N. Makarychev, N.G. Mindyuk. Algjebra - klasa e 8-të. Kapituj shtesë për tekst shkollor. Moskë "Iluminizmi", 1998 I.M. Gelfand, E.G. Glagoleva, E.E. Shnol. Funksionet dhe grafikët (teknikat bazë). Shtëpia botuese MCNMO, Moskë 2004 S.M. Nikolsky. M.K. Potapov, N.N. Reshetnikov, A.V. Shevkin. Algjebra dhe fillimet e analizës: Teksti mësimor për klasën e 11-të.
Pashë se grafikët funksione komplekse mund të ndërtohet pa përdorur një derivat, d.m.th. në mënyra elementare. Prandaj, zgjodha temën e esesë sime: "Grafikët e funksioneve racionale të pjesshme".

Pjesa kryesore. Grafikët e funksioneve racionale thyesore

1. Funksioni thyesor - linear dhe grafiku i tij

Oriz. 1

.

Le të paraqesim shprehjen në anën e djathtë të kësaj formule si një thyesë:

Kjo do të thotë se Figura 2 tregon një grafik të funksionit të dhënë nga formula

.

Kjo thyesë ka një numërues dhe emërues që janë binome lineare në lidhje me x. Funksione të tilla quhen funksione lineare thyesore.

Në përgjithësi, funksioni dhënë nga formula lloji
, Ku
x është një ndryshore, a,

.

Nëse bc-ad=0, c≠0, duke shprehur b nga kjo barazi përmes a, c dhe d dhe duke e zëvendësuar në formulën, marrim:

Pra, në rastin e parë kemi marrë një funksion linear pamje e përgjithshme
, në rastin e dytë - një konstante
. Le të tregojmë tani se si të vizatojmë një funksion thyesor linear nëse ai jepet nga një formulë e formës
Shembulli 2. Le të vizatojmë funksionin
, d.m.th. le ta paraqesim në formë
: zgjedhim të gjithë pjesën e thyesës, duke e pjesëtuar numëruesin me emëruesin, marrim:

Pra,
. Shohim se grafiku i këtij funksioni mund të merret nga grafiku i funksionit y=5/x duke përdorur dy ndërrime të njëpasnjëshme: zhvendosja e hiperbolës y=5/x djathtas me 3 njësi dhe më pas zhvendosja e hiperbolës që rezulton.
lart me 2 njësi, do të lëvizin edhe asimptotat e hiperbolës y = 5/x: boshti x 2 njësi lart dhe boshti y 3 njësi djathtas. Për të ndërtuar një grafik, vizatojmë asimptota në planin koordinativ me një vijë me pika: drejtëz y=2 dhe drejtë x=3. Meqenëse hiperbola përbëhet nga dy degë, për të ndërtuar secilën prej tyre do të përpilojmë dy tabela: një për x.<3, а другую для x>3 (d.m.th., e para është në të majtë të pikës së kryqëzimit të asimptotave, dhe e dyta është në të djathtë të saj):

Më pëlqen çdo fraksion
mund të shkruhet në mënyrë të ngjashme, duke theksuar të gjithë pjesën e tij. Rrjedhimisht, grafikët e të gjitha funksioneve lineare thyesore janë hiperbola, të zhvendosura paralelisht në mënyra të ndryshme boshtet koordinative dhe shtrihej përgjatë boshtit Oy.

Shembulli 3.

Le të vizatojmë funksionin
.Meqenëse e dimë se grafiku është hiperbolë, mjafton të gjejmë drejtëzat të cilave u afrohen degët (asimptotat) e tij dhe disa pika të tjera. Së pari, le të gjejmë asimptotën vertikale. Funksioni nuk është i përcaktuar ku 2x+2=0, d.m.th. në x=-1. Prandaj, asimptota vertikale është drejtëza x = -1. Për të gjetur asimptotën horizontale, duhet të shikoni se çfarë afrohen vlerat e funksionit kur argumenti rritet (në vlerë absolute), termat e dytë në numëruesin dhe emëruesin e thyesës
relativisht i vogël. Kjo është arsyeja pse

.

Prandaj, asimptota horizontale është drejtëza y=3/2. Le të përcaktojmë pikat e kryqëzimit të hiperbolës sonë me boshtet koordinative. Në x=0 kemi y=5/2. Funksioni është i barabartë me zero kur 3x+5=0, d.m.th. në x = -5/3 Pasi kemi shënuar pikat (-5/3;0) dhe (0;5/2) në vizatim dhe duke vizatuar asimptotat e gjetura horizontale dhe vertikale, do të ndërtojmë një grafik (Fig. 4). .

Në përgjithësi, për të gjetur asimptotën horizontale, duhet të ndani numëruesin me emëruesin, pastaj y=3/2+1/(x+1), y=3/2 është asimptota horizontale.

2. Funksioni racional thyesor

,

Në të cilin numëruesi dhe emëruesi janë polinome të n-së dhe shkalla e mth. Le të jetë thyesa një thyesë e duhur (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и при том единственным образом, в виде суммы конечного числа элементарных дробей, вид которых определяется разложением знаменателя дроби Q(x) в произведение действительных сомножителей:Если:

Ku k 1 ... k s janë rrënjët e polinomit Q (x), që kanë, përkatësisht, shumëfishime m 1 ... m s, dhe trinomet korrespondojnë me çiftet e konjugimit rrënjë komplekse Q (x) shumësia m 1 ... m t e një thyese të formës

I thirrur elementare thyesat racionale përkatësisht llojet e parë, të dytë, të tretë dhe të katërt. Këtu A, B, C, k - numra realë; m dhe m - numra natyrorë, m, m>1; një trinom me koeficientë realë x 2 +px+q ka rrënjë imagjinare. Grafiku i një funksioni

Marrim nga grafiku i funksionit 1/x m (m~1, 2, ...) duke përdorur transferim paralel përgjatë boshtit x me njësi të shkallës │k│ në të djathtë. Grafiku i një funksioni të formës

Është e lehtë për t'u ndërtuar nëse zgjidhni në emërues katror i përsosur, dhe më pas kryeni formimin përkatës të grafikut të funksionit 1/x 2. Grafiku i një funksioni

zbret në ndërtimin e produktit të grafikëve të dy funksioneve:

y= Bx+ C Dhe

Ku a d-b c 0 ,
,

ku n - numri natyror, mund të kryhet nga skema e përgjithshme kërkimi i një funksioni dhe vizatimi i një grafiku në disa shembuj specifikë Ju mund të ndërtoni me sukses një grafik duke kryer transformimet e duhura të grafikut; mënyra më e mirë japin metoda matematikë e lartë. Shembulli 1. Grafikoni funksionin

.

Duke e izoluar të gjithë pjesën, kemi

.

Fraksioni
Le ta paraqesim atë si një shumë të thyesave elementare:

.

Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve:

Pas shtimit të këtyre grafikëve marrim grafikun funksioni i dhënë:

Figura 6, 7, 8 paraqesin shembuj të ndërtimit të grafikëve të funksioneve
Dhe
. Shembulli 2. Grafikimi i një funksioni
:

(1);
(2);
(3); (4)

(1);
(2);
(3); (4)

konkluzioni

Ku n

Krijoi një algoritëm për vizatimin e grafikëve të këtyre funksioneve;

Përvoja e fituar në hartimin e funksioneve të tilla si:

;

Mësova të punoj me literaturë dhe materiale shtesë, të përzgjedh informacione shkencore - Kam fituar përvojë në kryerjen e punës grafike në kompjuter;

Shënim. Në prag të shekullit të 21-të, ne u bombarduam me një lumë të pafund bisedash dhe spekulimesh rreth autostradës së informacionit dhe epokës së teknologjisë që po afrohej.

Në prag të shekullit të 21-të, ne u bombarduam me një lumë të pafund bisedash dhe spekulimesh rreth autostradës së informacionit dhe epokës së teknologjisë që po afrohej.

Këtu janë koeficientët për X dhe termave të lirë në numërues dhe emërues jepen numra realë. Grafiku i një funksioni thyesor linear në rastin e përgjithshëm është hiperbolë.

Funksioni linear thyesor më i thjeshtë y = - ti-

goditjet marrëdhënie e anasjelltë proporcionale; hiperbola që e përfaqëson është e njohur nga kurset e shkollave të mesme (Fig. 5.5).

Oriz. 5.5

Shembull. 5.3

Paraqitni një grafik të një funksioni thyesor linear:

• 1. Meqenëse kjo thyesë nuk ka kuptim kur x = 3, Kjo domeni i funksionit X përbëhet nga dy intervale të pafundme:
• 3) dhe (3; +°°).

2. Për të studiuar sjelljen e një funksioni në kufirin e fushës së përkufizimit (d.m.th. kur X-»3 dhe në X-> ±°°), është e dobishme të konvertohet kjo shprehje në shumën e dy termave si më poshtë:

Meqenëse termi i parë është konstant, sjellja e funksionit në kufi përcaktohet në fakt nga termi i dytë, i ndryshueshëm. Duke studiuar procesin e ndryshimit të tij, kur X-> 3 dhe X->±°°, ne e bëjmë përfundimet e mëposhtme në lidhje me një funksion të caktuar:

• a) për x->3 drejtë(d.m.th. për *>3) vlera e funksionit rritet pa kufi: në-> +°°: në x->3 majtas(d.m.th. në x y - Kështu, hiperbola e dëshiruar i afrohet drejtëzës pa kufi me ekuacionin x = 3 (poshtë majtas Dhe lart djathtas) dhe kështu kjo vijë e drejtë është asimptotë vertikale hiperbolë;
• b) kur x ->±°° termi i dytë zvogëlohet pa kufi, kështu që vlera e funksionit i afrohet termit të parë, konstant pa kufi, d.m.th. për të vlerësuar y = 2. Në këtë rast, grafiku i funksionit afrohet pa kufi (poshtë majtas dhe lart djathtas) në drejtëzën e dhënë nga ekuacioni y = 2; kështu kjo linjë është asimptotë horizontale hiperbolë.

Komentoni. Informacioni i marrë në këtë seksion është më i rëndësishmi për karakterizimin e sjelljes së grafikut të një funksioni në pjesën e largët të planit (në kuptimin figurativ, në pafundësi).

• 3. Duke supozuar l = 0, gjejmë y = ~. Prandaj, hi-

perbola e pret boshtin Oh në pikën M x = (0;-^).

• 4. Funksioni zero ( në= 0) do të jetë në X= -2; prandaj, kjo hiperbolë e pret boshtin Oh në pikën M 2 (-2; 0).
• 5. Një thyesë është pozitive nëse numëruesi dhe emëruesi kanë të njëjtën shenjë, dhe negative nëse kanë shenja të ndryshme. Duke zgjidhur sistemet përkatëse të pabarazive, gjejmë se funksioni ka dy intervale pozitive: (-°°; -2) dhe (3; +°°) dhe një interval negativ: (-2; 3).
• 6. Paraqitja e një funksioni si një shumë e dy termave (shih pikën 2) e bën mjaft të lehtë zbulimin e dy intervaleve të uljes: (-°°; 3) dhe (3; +°°).
• 7. Natyrisht, ky funksion nuk ka ekstreme.
• 8. Vendosni Y të vlerave të këtij funksioni: (-°°; 2) dhe (2; +°°).
• 9. Gjithashtu nuk ka çift, tek ose periodicitet. Informacioni i mbledhur mjaftueshëm për të në mënyrë skematike

vizatoni një hiperbolë grafikisht duke pasqyruar vetitë e këtij funksioni (Fig. 5.6).

Oriz. 5.6

Funksionet e diskutuara deri në këtë pikë quhen algjebrike. Tani le të kalojmë në shqyrtim transcendentale funksionet.