Matricat ekuivalente. Transformimet e sistemit elementar

Matricat ekuivalente

Siç u përmend më lart, minorja e një matrice të rendit s është përcaktuesi i një matrice të formuar nga elementët e matricës origjinale të vendosura në kryqëzimin e çdo rreshti s dhe s kolonë të zgjedhur.

Përkufizimi. Në një matricë të rendit mn, një minor i rendit r quhet bazë nëse nuk është e barabartë me zero, dhe të gjitha minoret e rendit r+1 e më lart janë të barabarta me zero ose nuk ekzistojnë fare, d.m.th. r përputhet me më të voglin prej m ose n.

Kolonat dhe rreshtat e matricës mbi të cilat qëndron baza minor quhen gjithashtu bazë.

Një matricë mund të ketë disa të vogla bazë të ndryshme që kanë të njëjtin rend.

Përkufizimi. Rendi i bazës minor të një matrice quhet rangu i matricës dhe shënohet me Rg A.

Shumë pronë e rëndësishme transformimet elementare të matricës është se ato nuk e ndryshojnë rangun e matricës.

Përkufizimi. Matricat e marra si rezultat i një transformimi elementar quhen ekuivalente.

Duhet të theksohet se matricat e barabarta dhe matricat ekuivalente janë koncepte krejtësisht të ndryshme.

Teorema. Numri më i madh kolonat lineare të pavarura në një matricë janë të barabarta me numrin e rreshtave linearisht të pavarur.

Sepse transformimet elementare nuk e ndryshojnë rangun e matricës, atëherë procesi i gjetjes së renditjes së matricës mund të thjeshtohet ndjeshëm.

Shembull. Përcaktoni gradën e matricës.

2. Shembull: Përcaktoni rangun e matricës.

Nëse, duke përdorur transformimet elementare, nuk është e mundur të gjendet një matricë ekuivalente me atë origjinale, por me një madhësi më të vogël, atëherë gjetja e renditjes së matricës duhet të fillojë duke llogaritur minorët e rendit më të lartë të mundshëm. Në shembullin e mësipërm, këto janë minore të rendit 3. Nëse të paktën njëri prej tyre nuk është i barabartë me zero, atëherë rangu i matricës është i barabartë me rendin e kësaj minoreje.

Teorema mbi bazën e vogël.

Teorema. Në një matricë arbitrare A, çdo kolonë (rresht) është një kombinim linear i kolonave (rreshtave) në të cilat ndodhet baza e vogël.

Pra, grada matricë arbitrare A është e barabartë me numri maksimal rreshta (kolona) të pavarura në mënyrë lineare në një matricë.

Nëse A është një matricë katrore dhe det A = 0, atëherë të paktën një nga kolonat është një kombinim linear i kolonave të mbetura. E njëjta gjë vlen edhe për vargjet. Kjo deklaratë vjen nga prona varësia lineare me përcaktor të barabartë me zero.

Zgjidhja e sistemeve arbitrare të ekuacioneve lineare

Siç u tha më lart, metoda e matricës dhe metoda e Cramer-it janë të zbatueshme vetëm për ato sisteme ekuacionet lineare, në të cilën numri i të panjohurave është i barabartë me numrin e ekuacioneve. Më pas, ne konsiderojmë sisteme arbitrare të ekuacioneve lineare.

Përkufizimi. Sistemi i m ekuacioneve me n të panjohura në pamje e përgjithshme shkruhet si më poshtë:

ku aij janë koeficientë dhe bi janë konstante. Zgjidhjet e sistemit janë n numra, të cilët, kur zëvendësohen në sistem, e kthejnë secilin prej ekuacioneve të tij në një identitet.

Përkufizimi. Nëse një sistem ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet bashkim. Nëse një sistem nuk ka një zgjidhje të vetme, atëherë ai quhet jokonsistent.

Përkufizimi. Një sistem quhet i përcaktuar nëse ka vetëm një zgjidhje dhe i pacaktuar nëse ka më shumë se një.

Përkufizimi. Për një sistem ekuacionesh lineare matrica

A = quhet matrica e sistemit, dhe matrica

A*= quhet matrica e zgjeruar e sistemit

Përkufizimi. Nëse b1, b2, …,bm = 0, atëherë sistemi quhet homogjen. sistem homogjen gjithmonë të përbashkët, sepse gjithmonë ka një zgjidhje zero.

Transformimet e sistemit elementar

Transformimet elementare përfshijnë:

1) Shtimi në të dyja anët e njërit ekuacion të pjesëve përkatëse të tjetrit, të shumëzuara me të njëjtin numër, jo të barabartë me zero.

2) Rirregullimi i ekuacioneve.

3) Heqja nga sistemi ekuacionet që janë identitete për të gjitha x.

Teorema Kronecker-Kapeli (kushti i konsistencës për sistemin).

(Leopold Kronecker (1823-1891) matematikan gjerman)

Teorema: Një sistem është konsistent (ka të paktën një zgjidhje) nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së sistemit është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar.

Natyrisht, sistemi (1) mund të shkruhet në formë.

Le R Dhe S dy hapësira vektoriale dimensionet n Dhe m përkatësisht mbi fushën e numrave K, dhe le A operator linear duke shfaqur R V S. Le të zbulojmë se si ndryshon matrica e operatorit A kur ndërrohen bazat në hapësira R V S.

Le të zgjedhim baza arbitrare në hapësira R V S dhe shënojmë me dhe përkatësisht. Pastaj (shih operatorët linearë) barazia e vektorit

korrespondon me barazinë e matricës

Ku X Dhe në vektorët x Dhe y, të paraqitura në formën e kolonave koordinative në bazat dhe përkatësisht.

Tani le të zgjedhim në hapësirat R Dhe S baza të tjera Dhe . Në bazat e reja, barazia e vektorit (1) do të korrespondojë me barazinë e matricës

Pastaj, duke marrë parasysh (3) dhe (4), kemi

Përkufizim 1. Dy matrica drejtkëndore A dhe B të njëjtat madhësi thuhet se janë ekuivalente nëse ekzistojnë dy matrica katrore jo njëjës P Dhe T të tillë që barazia të mbahet

Vini re se nëse A-matrica e rendit m×n, Kjo P Dhe T matricat e rendit katror m Dhe n, respektivisht.

Nga (6) del se dy matrica që i korrespondojnë të njëjtit operator linear A për zgjedhje të ndryshme bazash në hapësira R Dhe S janë të barasvlershme me njëra-tjetrën. E kundërta është gjithashtu e vërtetë. Nëse matrica A i përgjigjet operatorit A, dhe matricës Bështë ekuivalente me matricën A, atëherë i përgjigjet të njëjtit operator linear A për bazat e tjera në R Dhe S.

Le të zbulojmë se në cilat kushte dy matrica janë ekuivalente.

Teorema. Në mënyrë që dy matrica me madhësi të njëjtë të jenë ekuivalente, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që ato të kenë të njëjtën rang.

Dëshmi. Domosdoshmëri. Meqenëse shumëzimi i një matrice me një matricë katrore jo njëjës nuk mund të ndryshojë renditjen e matricës, atëherë nga (7) kemi:

Përshtatshmëria. Le të jepet një operator linear A, që përfaqëson hapësirën R V S dhe le t'i përgjigjet këtij operatori matrica A madhësia m×n në bazat në R dhe në S, respektivisht. Le të shënojmë me r numri është linear vektorë të pavarur nga mesi Ae 1 , Ae 2 ,..., Aen. Të parat le të jenë linearisht të pavarur r vektorët Ae 1 , Ae 2 ,..., Aer. Pastaj pjesa tjetër n-r vektorët shprehen në mënyrë lineare në terma të këtyre vektorëve:

Le të përcaktojmë një bazë të re në hapësirë R:

Le t'i plotësojmë këta vektorë me disa vektorë të bazohet në S.

Pastaj matrica e operatorit A në baza të reja , sipas (9) dhe (10) do të ketë formën e mëposhtme:

ku në matricë E" - ata qëndrojnë në diagonalen kryesore r njësi, dhe elementët e mbetur janë zero.

Që nga matricat A Dhe E"përputhen me të njëjtin operator A, atëherë ato janë ekuivalente me njëra-tjetrën. Më sipër treguam se matricat ekuivalente kanë të njëjtën rang, pra renditja e matricës origjinale A barazohet r.

Nga sa më sipër del se arbitrare m×n matrica e rangut rështë ekuivalente me matricën E" - urdhëroj m×n. Por E" - përcaktohet në mënyrë unike duke specifikuar dimensionin m×n matricës dhe renditjes së saj r. Prandaj, të gjitha matricat drejtkëndore të rendit m×n dhe gradë r janë ekuivalente me të njëjtën matricë E" dhe, për rrjedhojë, janë të barasvlershme me njëra-tjetrën.■

Dokumenti: D.m.th. Renditja e matricës ruhet kur kryeni operacionet e mëposhtme:

1. Ndryshimi i renditjes së rreshtave.

2. Shumëzimi i një matrice me një numër të ndryshëm nga zero.

3. Transpozimi.

4. Eliminimi i një vargu zerosh.

5. Shtimi i një vargu tjetër në një varg, i shumëzuar me një numër arbitrar.

Transformimi i parë do të lërë të pandryshuar disa të mitur, por do t'ua ndryshojë shenjën disave në të kundërtën. Transformimi i dytë gjithashtu do të lërë të pandryshuar disa të mitur, ndërsa të tjerët do të shumëzohen me një numër të ndryshëm nga zero. Transformimi i tretë do të ruajë të gjithë të miturit. Prandaj, gjatë aplikimit të këtyre transformimeve do të ruhet edhe rangu i matricës (përkufizimi i dytë). Eliminimi i një rreshti zero nuk mund të ndryshojë renditjen e matricës, sepse një rresht i tillë nuk mund të hyjë në një minor jo zero. Le të shqyrtojmë transformimin e pestë.

Ne do të supozojmë se baza e vogël Δp është e vendosur në rreshtat e parë p. Le të shtohet një varg arbitrar b në vargun a, i cili është një nga këto vargje, i shumëzuar me një numër λ. Ato. vargut a i shtohet një kombinim linear vargjesh që përmbajnë bazën minor. Në këtë rast, baza e vogël Δp do të mbetet e pandryshuar (dhe e ndryshme nga 0). Të miturit e tjerë të vendosur në rreshtat e parë p mbeten gjithashtu të pandryshuara, e njëjta gjë vlen edhe për të gjithë të miturit e tjerë. Se. V në këtë rast rangu (sipas përkufizimit të dytë) do të ruhet. Tani merrni parasysh minoren Ms, e cila nuk i ka të gjitha rreshtat nga rreshtat e parë p (dhe ndoshta nuk ka asnjë).

Duke shtuar një varg arbitrar b në vargun ai, të shumëzuar me numrin λ, marrim një të re të vogël Ms‘, dhe Ms‘=Ms+λ Ms, ku

Nëse s>p, atëherë Ms=Ms=0, sepse të gjitha minoret e rendit më të madh se p të matricës origjinale janë të barabarta me 0. Por atëherë Ms‘=0, dhe rangu i transformimeve të matricës nuk rritet. Por as ajo nuk mund të zvogëlohej, pasi minorja bazë nuk pësoi asnjë ndryshim. Pra, rangu i matricës mbetet i pandryshuar.

Informacionin që ju intereson mund ta gjeni edhe në motorin e kërkimit shkencor Otvety.Online. Përdorni formularin e kërkimit:

Tre paragrafët e parë të këtij kapitulli i kushtohen doktrinës së ekuivalencës së matricave polinomiale. Bazuar në këtë, në tre paragrafët e ardhshëm ndërtojmë teorinë analitike të pjesëtuesve elementarë, d.m.th., teorinë e reduktimit të një matrice katrore konstante (me pak emërore) në formë normale. Dy paragrafët e fundit të kapitullit japin dy metoda për ndërtimin e një matrice transformimi.

§ 1. Shndërrimet elementare të një matrice polinomiale

Përkufizimi 1. Një matricë polinomiale ose -matricë është një matricë drejtkëndore, elementët e së cilës janë polinome në:

këtu është shkalla më e madhe e polinomeve.

ne mund të paraqesim një matricë polinomi si një polinom matricë në lidhje me , domethënë si një polinom me koeficientë matricë:

Le të marrim në konsideratë veprimet elementare të mëposhtme në një matricë polinomiale:

1. Shumëzimi i disa, për shembull, i rreshtit me një numër.

2. Shtimi i disave, për shembull th, rreshti një tjetër, për shembull th, drejtëza, e shumëzuar më parë me një polinom arbitrar.

3. Ndërroni çdo dy rreshta, për shembull rreshtat e th dhe të th.

Ne e ftojmë lexuesin të kontrollojë që veprimet 1, 2, 3 janë ekuivalente me shumëzimin e një matrice polinomiale në të majtë, përkatësisht, me matricat katrore të renditjes së mëposhtme:

(1)

d.m.th., si rezultat i aplikimit të operacioneve 1, 2, 3, matrica shndërrohet, përkatësisht, në matricat , , . Prandaj, operacionet e tipit 1, 2, 3 quhen operacione elementare të majta.

Veprimet e duhura elementare në një matricë polinomiale përcaktohen në një mënyrë krejtësisht të ngjashme (këto operacione kryhen jo në rreshta, por në kolonat e matricës polinomiale) dhe matricat përkatëse (të renditjes):

Si rezultat i aplikimit të operacionit të duhur elementar, matrica shumëzohet në të djathtë me matricën përkatëse.

Ne do t'i quajmë matrica të tipit (ose, çfarë është e njëjtë, tip ) matrica elementare.

Përcaktues çdo matricë elementare nuk varet dhe është i ndryshëm nga zero. Prandaj, për çdo operacion elementar majtas (djathtas) ekziston operacion i kundërt, që është gjithashtu një operacion elementar majtas (përkatësisht djathtas).

Përkufizimi 2. Dy matrica polinomiale quhen 1) ekuivalent i majtë, 2) ekuivalent i djathtë, 3) ekuivalent nëse njëra prej tyre fitohet nga tjetra duke zbatuar, përkatësisht, 1) veprimet elementare majtas, 2) veprimet elementare djathtas, 3) majtas dhe operacionet e drejta elementare.

Le të merret matrica nga përdorimi i operacioneve elementare të majta që korrespondojnë me matricat. Pastaj

. (2).

Duke treguar me produktin , shkruajmë barazinë (2) në formën

, (3)

ku , si secila prej matricave, ka një përcaktues konstante jozero.

Në paragrafin tjetër do të vërtetohet se secili matricë katrore me një përcaktor konstant jozero mund të paraqitet si produkt i matricave elementare. Prandaj, barazia (3) është ekuivalente me barazinë (2) dhe prandaj nënkupton ekuivalencën e majtë të matricave dhe .

Në rastin e ekuivalencës së drejtë matricat polinomiale dhe në vend të barazisë (3) do të kemi barazinë

, (3")

dhe në rastin e ekuivalencës (dypalëshe) – barazi

Këtu përsëri dhe janë matrica me përcaktorë jozero dhe të pavarur.

Kështu, Përkufizimi 2 mund të zëvendësohet nga një përkufizim ekuivalent.

Përkufizimi 2". Dy matricat drejtkëndore dhe quhen 1) ekuivalent i majtë, 2) ekuivalent i djathtë, 3) ekuivalent nëse, përkatësisht

1) , 2) , 3) ,

ku dhe janë matrica katrore polinomiale me përcaktorë konstante dhe jozero.

Ne ilustrojmë të gjitha konceptet e prezantuara më sipër duke përdorur shembullin e mëposhtëm të rëndësishëm.

Konsideroni një sistem homogjen linear ekuacionet diferenciale- renditja e funksioneve me argumente të panjohura me koeficientë konstante:

(4)

Mu ekuacioni i një funksioni të ri të panjohur; Operacioni i dytë elementar nënkupton futjen e një funksioni të ri të panjohur (në vend të ); Operacioni i tretë nënkupton ndryshimin e vendeve në ekuacionet e termave që përmbajnë dhe (d.m.th. ).

Qëllimi ynë i menjëhershëm është të vërtetojmë se çdo matricë mund të reduktohet në disa llojet standarde. Gjuha e matricave ekuivalente është e dobishme përgjatë kësaj rruge.

Le të jetë. Ne do të themi se një matricë është l_ekuivalente (n_ekuivalente ose ekuivalente) me një matricë dhe shënojmë (ose) nëse matrica mund të merret nga një matricë duke përdorur numër i kufizuar rreshti (kolona ose rreshti dhe kolona, ​​përkatësisht) transformimet elementare. Është e qartë se matricat l_ekuivalente dhe n_ekuivalente janë ekuivalente.

Së pari do të tregojmë se çdo matricë mund të reduktohet në lloj i veçantë, i quajtur i reduktuar.

Le të jetë. Një rresht jo zero i kësaj matrice thuhet se ka formën e reduktuar nëse përmban një element të barabartë me 1 të tillë që të gjithë elementët e kolonës përveçse të jenë të barabartë me zero, . Elementin e vetëm të shënuar të vijës do ta quajmë element kryesor të kësaj rreshti dhe do ta mbyllim në një rreth. Me fjalë të tjera, një rresht i një matrice ka formën e reduktuar nëse kjo matricë përmban një kolonë të formës

Për shembull, në matricën e mëposhtme

rreshti ka formën e mëposhtme, pasi. Le t'i kushtojmë vëmendje faktit që në këtë shembull një element pretendon të jetë edhe elementi kryesor i linjës. Në të ardhmen, nëse një linjë e llojit të dhënë përmban disa elementë që kanë veti drejtuese, ne do të zgjedhim vetëm njërin prej tyre në mënyrë arbitrare.

Një matricë thuhet se ka një formë të reduktuar nëse secila prej rreshtave të saj jo zero ka një formë të reduktuar. Për shembull, matricë

ka formën e mëposhtme.

Pohimi 1.3 Për çdo matricë ekziston një matricë ekuivalente e formës së reduktuar.

Në të vërtetë, nëse matrica ka formën (1.1) dhe, atëherë pas kryerjes së transformimeve elementare në të

marrim matricën

në të cilin vargu ka formën e mëposhtme.

Së dyti, nëse rreshti në matricë është zvogëluar, atëherë pas kryerjes së transformimeve elementare (1.20) rreshti i matricës do të zvogëlohet. Në të vërtetë, pasi është dhënë, ekziston një kolonë e tillë që

por më pas dhe, rrjedhimisht, pas kryerjes së transformimeve (1.20) kolona nuk ndryshon, d.m.th. . Prandaj, rreshti ka formën e mëposhtme.

Tani është e qartë se duke transformuar çdo rresht jozero të matricës me radhë në mënyrën e mësipërme, pas një numri të kufizuar hapash do të marrim një matricë të formës së reduktuar. Meqenëse vetëm transformimet elementare të rreshtave janë përdorur për të marrë matricën, ajo është l_ekuivalente me një matricë. >

Shembulli 7. Ndërtoni një matricë me formë të reduktuar, l_ekuivalente me matricën