Shembuj të reduktimit të matricave në formën Jordan

1°. . Rrënjët ekuacioni karakteristik: l 1, 2, 3 = 1. .

Vektorët e vet A nga λ = 1, d.m.th. bërthamë A 1:

, që do të thotë bazë N(A 1): .

Imazhi i operatorit A 1 M(A 1) gjejmë nga marrëdhëniet:

; bazë M(A 1) f 3 (1, 2, -1), etj. f 3 = 2f 1 – f 2, atëherë f 3 Оℒ( f 1 , f 2).

Pastaj: bazë do të jetë një vektor; vektor që plotëson bazën para bazës do të jetë ndonjë nga vektorët, për shembull vektori; dhe bazën Nuk ka asgjë për të shtuar në bazë, sepse .

Prototip A 1 në= (1, 2, –1) Þ në 1 – në 2 – në 3 = 1, për shembull (1, 0, 0).

Nga rruga: sistemi A 1 në= (1, 0, 0) nuk ka zgjidhje, d.m.th. nuk ka imazh të kundërt të shtresës së dytë për vektorin (1, 2, -1).

Prandaj, baza Jordan e operatorit A: .

Dhe, së fundi, kemi formën Jordan të matricës së operatorit A: .

2°. Gjeni formën normale Jordan të matricës operator linear A = dhe një bazë në të cilën matrica e operatorit ka formën Jordan.

Δ. Për një matricë operatori linear A = Le të hartojmë dhe zgjidhim ekuacionin karakteristik: det( A- l E) = 0 .

= .

Pastaj: = 0 dhe prandaj l 1, 2 = –1; l 3, 4 = 1.

a) Merrni parasysh operatorin A -1 = A-l E= A+E= A për l = - 1, pra bërthama e operatorit A-1. Për ta bërë këtë, ne zgjidhim një sistem prej katër lineare ekuacionet homogjene me matricë A-1. Nga e treta dhe ekuacionet e katërt sistemi është e qartë se . Atëherë mund të vërtetohet lehtësisht se. Vektor f 1 (1, 1, 0, 0) është i vetmi eigenvektor i operatorit A, që korrespondon me vlerën e vet l = -1 dhe përbën bazën e kernelit të operatorit A-1. Më pas, ne kërkojmë bazën e imazhit të operatorit A –1:

.

Duke vënë në dukje se për vektorët f 2 , f 3 , f 4 ekziston një marrëdhënie: f 3 + f 4 – f 2 = (0, 0, 0, 1), gjeni bazën e imazhit të operatorit A –1:

(j 1 (1, 1, 0, 0), j 2 (0, –1, 1, 1), j 3 (0, 0, 0, 1).

Duke vënë në dukje se vektorët f 1 dhe përkojnë, arrijmë në përfundimin se ky vektor përbën bazën për kryqëzimin e imazhit dhe bërthamës së operatorit A -1 .

Shumësia e rrënjës λ = -1 është dy, dhe eigenvektori që i korrespondon kësaj vlere vetjake është vetëm një. Prandaj, ne besojmë g 1 e barabartë me vektorin, dhe ne jemi duke kërkuar për një tjetër vektor bazë Jordan si imazhi i anasjelltë i shtresës së parë për . Le të vendosim sistem heterogjen ekuacionet lineare dhe gjeni vektorin e dytë g 2 (1, 3/4, 0, 0) Baza Jordan që korrespondon me vlerën vetjake l = -1 të shumëfishta dy. Në këtë rast, që është tipik, vektori nuk ka një imazh të anasjelltë të shtresës së dytë, sepse një sistem me një matricë të zgjeruar

nuk ka zgjidhje. Kjo nuk është e rastësishme, sepse eigenvlera l= -1 e shumëfishimit 2 duhet të korrespondojë me dy vektorë të bazës Jordan të operatorit A:

g 1 (1, 1, 0, 0); g 2 (1, 3/4, 0, 0).

Në të njëjtën kohë, vërejmë se:

b) Tani merrni parasysh vlerën e vet l = 1 dhe, në përputhje me rrethanat, operatorin A 1 =A+E:

.

Le të gjejmë bërthamën e këtij operatori, d.m.th. eigenvektorë operatori A në λ = 1.

.

Vektor f 1 (1, 1, 1, 1) formon bazën e kernelit të operatorit A 1 dhe është i vetmi vektor i vetëm i operatorit A, që korrespondon me vlerën vetjake l = 1.

Ne po kërkojmë bazën e imazhit M(A 1) operator A 1 .

.

Duke vënë në dukje se f 1 = f 2 + f 3 + f 4, konkludojmë: baza e kryqëzimit të kernelit dhe imazhi i operatorit A 1 është një vektor f 1 .

Meqenëse ekziston vetëm një vektor vetjak, dhe vlera e eigen ka një shumësi prej 2, ne duhet të gjejmë një vektor tjetër të bazës Jordan. Prandaj ne besojmë g 3 i barabartë me vektorin y 1 (1, 1, 1, 1), dhe ne kërkojmë për një tjetër vektor bazë Jordan si imazh i kundërt i shtresës së parë për y 1 (1, 1, 1, 1). Për ta bërë këtë, ne zgjidhim një sistem johomogjen ekuacionesh lineare A 1 g 4 = j 1 dhe gjeni vektorin g 4 (0, 1/2, 0, 1/2) Baza Jordani që korrespondon me vlerën e vet l = 1 të shumëfishta dy. Në këtë rast, vektori y 1 (1, 1, 1, 1) nuk ka një imazh të kundërt të shtresës së dytë, sepse sistemi A 1 y = g 4 me matricë të zgjeruar nuk ka zgjidhje. Dhe përsëri, kjo nuk është e rastësishme, sepse eigenvlera l= 1 e shumëfishimit 2 duhet të korrespondojë me dy vektorë të bazës Jordan, dhe ato tashmë janë gjetur:

g 3 (1, 1, 1, 1); g 4 (0, 1/2, 0, 1/2).

Në të njëjtën kohë, vërejmë se: Ag 3 = g 1 , Ag 4 = g 3 + g 4 . Për operatorin A gjendet baza e Jordanisë: . Ku A G= . ▲

3°. ; det( A- l E) = 0 l 1, 2 = 1; l 3, 4 = 2.

Δ a) Konsideroni operatorin A 1: A 1 -E= . Ne jemi duke kërkuar për eigenvektorët e operatorit A për l = 1, d.m.th. bërthama e operatorit A 1 .

. vektoret ( f 1 ,f 2) formojnë një bazë N(A 1).

Meqenëse vektorët f 1 , f 2 , f 3 , f 4 – pra, i pavarur në mënyrë lineare , dhe vektorët që plotësojnë bazën te baza – vektorë.

Dihet se matrica e një operatori linear në bazën e vetvektorëve mund të reduktohet në formë diagonale. Megjithatë, mbi një grup numrash realë, një operator linear mund të mos ketë vlera vetjake, dhe për rrjedhojë të mos ketë eigenvektorë. Mbi turmën numra komplekseçdo operator linear ka eigenvektorë, por ata mund të mos jenë të mjaftueshëm për një bazë. Ekziston një formë tjetër kanonike e matricës së operatorit linear, në të cilën çdo matricë mbi grupin e numrave kompleks mund të reduktohet.

Teorema 10.1.Çdo matricë me elemente komplekse mund të reduktohet në grupin e numrave kompleks C në formën normale Jordan 14.

Le të japim përkufizimet e nevojshme:

Përkufizimi 10.1. Matrica e rendit katror n, elementet e të cilit janë polinome me shkallë arbitrare në ndryshoren λ me koeficientë nga bashkësia e numrave kompleks C, quhet λ- matricë(ose matricë polinomiale, ose matricë polinomiale).

Një shembull i një matrice polinomiale është matrica karakteristike A – λ E arbitrare matricë katrore A. Në diagonalen kryesore ka polinome të shkallës së parë, jashtë saj ka polinome të shkallës zero ose zero. Le të shënojmë një matricë të tillë si A(λ).

Shembulli 10.1. Le të jepet matrica A= , atëherë A– λ E = =
= A(λ).

Përkufizimi 10.2. Transformimet elementare Matricat λ quhen transformimet e mëposhtme:

shumëzimi i çdo rreshti (kolone) të një matrice A(λ) për çdo numër jo të barabartë me zero;

shtesë në ndonjë i- ajo rresht ( i kolona e th) e matricës A(λ) ndonjë tjetër j- rreshti i ( j kolona e th) e shumëzuar me një polinom arbitrar (  ).

Vetitë e matricës λ

1) Përdorimi i këtyre transformimeve në matricë A(λ) çdo dy rresht ose çdo dy kolonë mund të riorganizohet.

2) Përdorimi i këtyre shndërrimeve në matricën diagonale A(λ) elementet diagonale mund të ndërrohen.

Shembulli 10.2. 1) 

  .

2)


.

Përkufizimi 10.3. Matricat A(λ) dhe B(λ) quhen ekuivalente, nëse nga A(λ) ne mund të shkojmë në B(λ) duke përdorur numër i kufizuar transformimet elementare.

Qëllimi është të thjeshtohet matrica sa më shumë që të jetë e mundur A(λ).

Përkufizimi 10.4. Kanonike λ- matricë quhet një matricë λ që ka këto veti:

matricë A(λ) diagonale;

çdo polinom e i (), i = 1, 2, …, nështë plotësisht i pjesëtueshëm me e i –1 ();

koeficienti kryesor i çdo polinomi e i (), i = 1, 2, …, nështë e barabartë me 1, ose ky polinom është i barabartë me zero.

A(λ) =
.

Koment. Nëse ndër polinomet e i() ndodhin zero, ato zënë diagonalen kryesore vendet e fundit(nga vetia 2), nëse ka polinome të shkallës zero, atëherë ata janë të barabartë me 1 dhe zënë vendet e para në diagonalen kryesore.

Matricat zero dhe identiteti janë λ-matrica kanonike.

Teorema10.2. Çdo matricë λ është ekuivalente me një matricë kanonike λ (d.m.th., ajo mund të reduktohet nga transformimet elementare në formë kanonike)

Shembulli 10.3. Reduktimi i matricës A(λ) =
në formën kanonike.

Zgjidhje. Ecuria e transformimeve është e ngjashme me transformimet në metodën e Gausit, ndërsa elementi i sipërm majtas i matricës, kur e redukton atë në formën kanonike, është jo zero dhe ka shkallën më të vogël.

A(λ) =
 (ndërroni kolonën e parë dhe të dytë) 
 (në kolonën e dytë shtojmë kolonën e parë të shumëzuar me ( – 2)) 
 (në rreshtin e dytë shtojmë rreshtin e parë të shumëzuar me ( – 2)) 
 (ndërroni kolonën e dytë dhe të tretë) 
 (në kolonën e tretë shtojmë kolonën e dytë të shumëzuar me ( – 2) 3) 
 (në rreshtin e tretë shtojmë rreshtin e dytë të shumëzuar me ( – 2)) 
.

1. Le të jepet disa polinom me koeficientë nga fusha

Konsideroni një matricë katrore të rendit të th

. (36)

Është e lehtë të kontrollohet që polinomi është një polinom karakteristik i matricës:

.

Nga ana tjetër, minori i elementit në përcaktorin karakteristik është i barabartë me . Kjo është arsyeja pse , .

Kështu, matrica ka një polinom invariant unik jo-njësi të barabartë me .

Matricën do ta quajmë matricë shoqëruese për polinomin.

Le të jepet një matricë me polinome invariante

Këtu janë të gjitha polinomet kanë një shkallë më të lartë se pika, dhe secili prej këtyre polinomeve, duke filluar nga i dyti, është pjesëtues i atij të mëparshmit. Ne shënojmë matricat shoqëruese për këto polinome me .

Pastaj matrica kuazi-diagonale e rendit të th

(38)

ka si polinome të pandryshueshme polinomet (37) (shih Teoremën 4 në faqen 145). Meqenëse matricat kanë të njëjtat polinome invariante, ato janë të ngjashme, d.m.th., ekziston gjithmonë një matricë josingulare e tillë që

Matrica quhet forma e parë normale natyrore për një matricë. Kjo formë normale karakterizohet nga: 1) një pamje pothuajse diagonale (38), 2) një strukturë e veçantë e qelizave diagonale (36) dhe 3) kusht shtesë: në një sërë polinomesh karakteristike të qelizave diagonale, secili polinom, duke filluar nga i dyti, është pjesëtues i atij të mëparshmit.

2. Le të shënojmë tani me

(39)

pjesëtuesit elementar të matricës në një fushë numerike. Matricat shoqëruese përkatëse i shënojmë me

.

Meqenëse është pjesëtuesi i vetëm elementar i matricës, atëherë, sipas Teoremës 5, matrica pothuajse diagonale

(40)

ka polinomet (39) si pjesëtues elementar.

Matricat dhe kanë të njëjtët pjesëtues elementar në fushë. Prandaj, këto matrica janë të ngjashme, d.m.th. ekziston gjithmonë një matricë jo njëjës e tillë që

Matrica quhet forma e dytë normale natyrore për një matricë. Kjo formë normale karakterizohet nga: 1) një formë pothuajse diagonale (40), 2) një strukturë e veçantë e qelizave diagonale (36) dhe 3) një kusht shtesë: polinomi karakteristik i secilës qelizë diagonale është shkalla e një polinomi të pareduktueshëm në fushë.

Koment. Pjesëtuesit e matricës elementare, ndryshe nga polinomet invariante, janë në thelb të lidhur me një fushë numerike të caktuar. Nëse në vend të fushës numerike origjinale marrim një fushë tjetër numerike (e cila zotëron edhe elementet e kësaj matrice), atëherë pjesëtuesit elementar mund të ndryshojnë. Së bashku me pjesëtuesit elementar, do të ndryshojë edhe forma e dytë normale natyrore e matricës.

Kështu, për shembull, le të na jepet një matricë me elementë realë. Polinomi karakteristik i kësaj matrice do të ketë koeficientë realë. Në të njëjtën kohë, ky polinom mund të ketë rrënjë komplekse. Nëse është një fushë me numra realë, atëherë midis pjesëtuesve elementar mund të ketë edhe fuqi të pakësueshme trinomet katrore me koeficientë realë. Nëse është fusha e numrave kompleks, atëherë çdo pjesëtues elementar ka formën .

3. Le të supozojmë tani se fusha e numrave përmban jo vetëm elementet e matricës, por edhe të gjithë numrat karakteristikë të kësaj matrice. Atëherë pjesëtuesit elementar të matricës kanë formën

. (41)

Le të shqyrtojmë një nga këta pjesëtues elementar

dhe shoqëroni atë me matricën e rendit të mëposhtëm:

. (42)

Është e lehtë të kontrollohet nëse kjo matricë ka vetëm një pjesëtues elementar. Ne do ta quajmë matricën (42) një qelizë Jordan që korrespondon me pjesëtuesin elementar .

Qelizat Jordan që korrespondojnë me pjesëtuesit elementar (41) shënohen me

Pastaj matrica kuazi-diagonale

ka si pjesëtues të fuqisë elementare (41).

Matrica mund të shkruhet edhe kështu:

Meqenëse matricat dhe kanë të njëjtët pjesëtues elementar, ato janë të ngjashme me njëra-tjetrën, d.m.th., ekziston një matricë jo njëjës e tillë që

Një matricë quhet një formë normale Jordan ose thjesht një formë Jordan e një matrice. Forma Jordan karakterizohet nga një pamje pothuajse diagonale dhe një strukturë e veçantë (42) e qelizave diagonale.

Vini re gjithashtu se nëse , atëherë secila prej matricave

,

ka vetëm një pjesëtues elementar: . Prandaj, për një matricë jo njëjës që ka pjesëtues elementar (41), së bashku me (III) dhe (IV), përfaqësimet e mëposhtme vlejnë:

Dërgoni punën tuaj të mirë në bazën e njohurive është e thjeshtë. Përdorni formularin e mëposhtëm

Studentët, studentët e diplomuar, shkencëtarët e rinj që përdorin bazën e njohurive në studimet dhe punën e tyre do t'ju jenë shumë mirënjohës.

Dëshmi: Sepse Reduktueshmëria e një matrice në formë diagonale është e barabartë me reduktueshmërinë në një formë Jordan në të cilën të gjitha qelizat Jordan janë të rendit 1. Të gjithë pjesëtuesit elementar të matricës A duhet të jenë polinome të shkallës së parë. Sepse të gjithë faktorët invariantë të matricës A - lE janë pjesëtues të polinomit e n (l), atëherë kushti i fundit është i barabartë me faktin që të gjithë pjesëtuesit elementarë të e n (l) kanë shkallën 1, që është ajo që duhej vërtetuar.

1.6 Polinom minimal

Konsideroni një matricë katrore A të renditjes n me elementë nga fusha P. Nëse

f (l) = b 0 l k + b 1 l k -1 + ... + b k -1 l + b k

Një polinom arbitrar nga unaza P[l], pastaj matrica

f(A) = b 0 A k + b 1 A k-1 + … + b k-1 A + b k E

do të quhet vlera e polinomit f (l) me l = A; Le t'i kushtojmë vëmendje faktit që anëtar i lirë polinom f (k) shumëzohet me shkallën zero të matricës A, d.m.th. në matricën e identitetit E.

Le të përcaktojmë një rrënjë matrice.

Nëse një polinom f (k) anulohet nga matrica A, d.m.th. f (A) = 0, atëherë do të thirret matrica A rrënja e matricës ose, ku kjo nuk mund të shkaktojë konfuzion, thjesht rrënja e polinomit f (l) .

Matrica A është gjithashtu një rrënjë për polinome të tillë, koeficientët kryesorë të të cilëve janë të barabartë me një - merrni çdo polinom jozero që anulohet nga matrica A dhe ndajeni këtë polinom me koeficientin e tij kryesor.

Përkufizimi: Polinomi i shkallës më të vogël me koeficientin kryesor 1 që anulohet nga matrica A quhet polinomi minimal i matricës A dhe shënohet m A .

Teorema:Çdo matricë A ka vetëm një polinom minimal.

Dëshmi: Le të supozojmë se do të kishte dy polinome minimale, për shembull m 1 (l) dhe m 2 (k), atëherë diferenca e tyre do të ishte një polinom jozero i shkallës më të ulët, rrënja e të cilit ishte përsëri matrica A. Duke e pjesëtuar këtë ndryshim me koeficientin kryesor të tij, do të merrnim një polinom me një koeficient kryesor prej 1, rrënja e cila do të ishte matrica A dhe e cila do të kishte një shkallë më të ulët se polinomet minimale m 1 (l) dhe m 2 (l), e cila bie ndesh me përkufizimin e polinomeve minimale.

Teorema:Çdo polinom f(l), rrënja e së cilës është matrica A, është e ndashme pa mbetje me polinomin minimal m(k) të kësaj matrice.

Dëshmi: Le f(k) i papjesëtueshëm me m(l). Le të shënojmë me q(k) private, nëpërmjet r(l) pjesa e mbetur e pjesëtimit f(l) në m(l), do të kemi

f(l) = m(l) q(l) + r(l).

Duke zëvendësuar l = A këtu dhe duke përdorur faktin se

m(l) = f(l) = 0,

r(l) = 0.

Por shkalla e mbetjes r(k) më pak se fuqia e pjesëtuesit m(l). Kjo është arsyeja pse r(k) është një polinom jo zero, rrënja e të cilit është matrica A dhe shkalla e të cilit është më e vogël se shkalla e polinomit minimal m(l), e cila është kontradiktore. Deklarata është vërtetuar.

Dihet se matricat e ngjashme do të kenë të njëjtin polinom karakteristik. Edhe polinomi minimal ka këtë veti: matricat e ngjashme kanë të njëjtat polinome minimale. Por barazia e polinomeve minimale nuk është gjendje e mjaftueshme ngjashmëria e matricës.

Për të vërtetuar teoremën vijuese japim përkufizimi matrica e lidhur.

Le të A ij(1) - plotësimet algjebrike të matricës A. Ne përcaktojmë matricën e bashkuar me A, në shënimin A v, si të transpozuar në matricë shtesat algjebrike për A. Kështu

A v = .

Teorema: Pjesëtuesi i fundit elementar e n(l) matricë karakteristike A -lE është polinomi minimal m A.

Dëshmi: Le të shkruajmë barazinë

(-1)n | A - lE | = d n -1 (l) e n (l).

Nga kjo rrjedh se d n -1 (l) dhe e n (l) nuk do të jenë zero. Le të shënojmë B(l) matricën e bashkuar me matricën A - lE.

B(l) = (A - lE) (1)

Barazia është e drejtë

(A - lE) B(l) = | A - lE | E. (2)

Nga ana tjetër, sepse elementet e matrices B(l) jane minoret e renditjes (n - 1) te matrices A - lE te marra me shenja plus ose minus dhe vetem ata, dhe polinomet d n -1 (l) jane te pergjithshme pjesëtuesi më i madh të gjithë këta të mitur, pra

B(l) = d n -1 (l) C(l), (3)

dhe më i madhi pjesëtues i përbashkët elementet e matricës C(n) është e barabartë me 1.

Barazitë (3), (2) dhe (1) nënkuptojnë barazinë

(A - lE) d n -1 (l) C (l) = (-1) n d n -1 (l) e n (l) E.

Ne e zvogëlojmë këtë barazi me një faktor jozero d n -1 (l). Vini re se nëse μ(n) është një polinom jozero,

D(l) = (d ij (l))

Matricë l jozero, dhe le të jetë d st (l) ? 0, atëherë në matricën c(l) D(l) në vendin (s, t) do të ketë një element jozero c(l) d st (l). Se.

(A - lE) C(l) = (-1) n e n (l) E,

e n (l) E = (lE - A) [(-1) n+1 C(l)]. (4)

Nga kjo barazi është e qartë se pjesa e mbetur e pjesëtimit të majtë të matricës l në të majtë me binomin lE - A është e barabartë me zero. Nga lema e provuar në seksionin 3, rrjedh se kjo mbetje është e barabartë me matricën

e n (A) E = e n (A).

Në fakt, matrica e n (n) E mund të shkruhet si një matricë n-polinom koeficientët e së cilës janë matrica skalare, d.m.th. udhëtoni me matricën A.

ato. polinomi e n (n) me të vërtetë anulohet nga matrica A. Kjo do të thotë se polinomi e n (n) është plotësisht i pjesëtueshëm me polinomin minimal m (l) matrica A,

e (l) = m (l) q (l). (5)

është e qartë se koeficienti prijës i polinomit q(-1) n +1 (n) është e barabartë me një.

Sepse m (A) = 0, pastaj përsëri, duke pasur parasysh të njëjtën lemë nga paragrafi 3, pjesa e mbetur e ndarjes së majtë të matricës n m (l) E në binomin lE - A është e barabartë me zero, d.m.th.

m (l) E = (lE - A) Q(l). (6)

Barazimet (5), (4) dhe (6) reduktohen në barazi

(lE - A) [(-1) n+1 C(l)] = (lE - A) .

Të dyja anët e kësaj barazie mund të reduktohen me shumëzues i përbashkët(lE - A), sepse koeficienti kryesor E i kësaj matrica l-polinomështë një matricë jo njëjës. Se.,

C(l) = (-1) n +1 Q(l) q(l).

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i elementeve të matricës C(n) është i barabartë me 1. Prandaj, polinomi q(n) duhet të ketë shkallën zero, dhe meqenëse koeficienti kryesor i tij është 1, atëherë

Kështu, duke pasur parasysh (5),

e n (l) = m (l),

Q.E.D.

Kapitulli 2. Zgjidhja e problemit

Shembulli 1. Reduktoni matricën l në formë kanonike

Zgjidhja: Le ta reduktojmë këtë matricë A(n) në formë kanonike duke kryer transformime elementare.

1) Shtoni rreshtin e dytë në të parën, pastaj shumëzojeni rreshtin e parë me (-l) dhe (-l 2 -1) dhe shtoni me rreshtat e dytë dhe të tretë, përkatësisht. Shtoni kolonën e parë dhe të dytë, duke shumëzuar kolonën e parë me (-l 2 -l). Në matricën që rezulton, ndërroni kolonën e dytë dhe të tretë. Le të shumëzojmë rreshtin e dytë me (-l) dhe ta shtojmë atë në të tretën. Më pas, shtoni kolonën e dytë të shumëzuar me (-l 2 -l + 1). Shumëzoni rreshtat e dytë dhe të tretë me (-1).

A(l) = ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ = A(l).

Matrica që rezulton është kanonike, sepse ka një formë diagonale dhe çdo polinom i mëpasshëm në diagonalen kryesore ndahet me atë të mëparshëm.

Përgjigje:

Shembulli 2. Vërtetoni ekuivalencën e matricave l

Zgjidhja: Le ta reduktojmë matricën A(n) në formën kanonike.

1) Në matricën A(l), ndërroni kolonën e parë dhe të tretë:

2) Zbrisni të dytën nga rreshti i parë:

3) Shumëzojeni rreshtin e parë me (l+1) dhe zbritni të tretën prej tij:

4) Shumëzoni kolonën e parë me () dhe me () dhe zbritni kolonën e dytë dhe të tretë, përkatësisht:

5) Ndërroni rreshtin e dytë dhe të tretë:

6) Shumëzoni rreshtin e tretë me () dhe zbritni rreshtin e dytë prej tij:

7) Shumëzoni rreshtin e tretë me (-1):

A(l) ~ = B(l).

Përgjigju: A(l) ~ B(l).

Vini re se matrica B(n) është kanonike.

Shembulli 3. Vërtetoni këtë matrica e dhënë A(l) është jomodular. Redukto në pamje diagonale.

Përcaktori i një matrice jomodulare nuk është i barabartë me zero dhe nuk varet nga l. Le të llogarisim? A:

Shumëzo kolonën e parë me (- l 2) dhe e shtojmë me të dytin, marrim:

A(l) ~~ ~ ~ ~ ~ ~

Përgjigje: matrica A(n) është njëmodulare.

Shembulli 4. Duke përdorur faktorë të pandryshueshëm, gjeni matricën Jordan

a) matrica A:

b) matrica B:

c) matrica C:

Zgjidhja: Për matricën A përpilojmë një tabelë pjesëtuesish elementar. Në kolonën e parë të tabelës shkruajmë pjesëtuesit elementar të faktorit të fundit invariant: .

Duke përdorur tabelën e pjesëtuesve elementarë, ne hartojmë një matricë Jordan. Për çdo pjesëtues elementar shkruajmë qelizën përkatëse Jordan: J 1 (1), J 1 (2), J 1 (3), J 1 (4). Duke vendosur këto qeliza në diagonalen kryesore të matricës, marrim matricën e dëshiruar Jordan:

Për matricën B, ne përpilojmë një tabelë të pjesëtuesve elementarë. Në kolonën e parë të tabelës shkruajmë të vetmin pjesëtues elementar të faktorit të fundit invariant, në kolonën e dytë - faktorin e parafundit invariant:

Faktorët e pandryshueshëm

Për matricën C përpilojmë një tabelë pjesëtuesish elementar. Në kolonën e parë të tabelës shkruajmë të vetmin pjesëtues elementar të faktorit të fundit të pandryshueshëm, kolonën e dytë - të faktorit të parafundit, në kolonën e tretë -

Duke përdorur tabelën e pjesëtuesve elementarë, ne hartojmë një matricë Jordan. Për çdo pjesëtues elementar shkruajmë qelizën përkatëse Jordan J 2 (1), J 1 (1), J 1 (1). Duke vendosur këto qeliza në diagonalen kryesore të matricës, marrim matricën e dëshiruar Jordan:

Përgjigje:

Shembulli 5. Reduktoni matricat e mëposhtme në formën normale të Jordanisë:

Zgjidhja: 1. Për matricën A, gjejmë një matricë normale Jordan, duke e sjellë atë në formën kanonike. Përpilimi i një matrice karakteristike

matrica forma Jordan

2. Le ta reduktojmë matricën A - lE në formën kanonike.

1) Ndërroni kolonën e parë dhe të dytë

2) Shumëzoni rreshtin e parë me (l - 4) dhe me (-1) dhe mblidhni me rreshtin e dytë dhe të tretë, përkatësisht

3) Shtoni kolonën e tretë dhe të dytë

4) Shtoni kolonën e parë në të dytën, duke shumëzuar kolonën e parë me (l).

5) Shumëzoni rreshtin e dytë dhe të tretë me (-1), më pas ndërroni kolonën e dytë dhe të tretë dhe rreshtin e dytë dhe të tretë

Faktorët e matricës invariante

e 1 (l) = 1, e 2 (l) = l - 2

e 3 (l) = = = .

3. Duke përdorur faktorët e pandryshueshëm të fituar e 1 (l) dhe e 2 (l), përpilojmë një tabelë të pjesëtuesve elementarë, dhe pjesëtuesit elementar të barabartë me një nuk përfshihen në tabelë.

Për çdo pjesëtues elementar shkruajmë qelizën përkatëse Jordan J 1 (2), J 2 (2). Duke vendosur këto qeliza në diagonalen kryesore të matricës, marrim matricën e dëshiruar Jordan:

J A = .

Le ta reduktojmë matricën B në formën normale të Jordanisë përmes të miturve.

1. Hartoni matricën karakteristike

2. Le të gjejmë faktorë të pandryshueshëm. Të miturit e rendit të parë kanë pjesëtuesin më të madh

Le të gjejmë të gjithë të miturit e rendit të dytë:

Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i këtyre polinomeve

Minorja e rendit të tretë përkon me përcaktorin e matricës

det (B - lE) = =.

Le të marrim pjesëtuesin më të madh të përbashkët me koeficientin kryesor të barabartë me 1.

Le të gjejmë faktorët e pandryshueshëm:

e 1 (l) = d 1 (l) =1, e 2 (l) = =

3. Duke përdorur faktorët e pandryshueshëm të fituar e 2 (l) dhe e 3 (l), hartojmë një tabelë pjesëtuesish elementar.

4. Për çdo pjesëtues elementar shkruajmë qelizën përkatëse Jordan J 1 (-1), J 2 (-1). Duke vendosur këto qeliza në diagonalen kryesore të matricës, marrim matricën e dëshiruar Jordan:

J B = .

Përgjigje:

J A =

J B = .

Shembulli 6. Tregoni se polinomi karakteristik i matricës

është e pavlefshme për të.

Zgjidhje. Gjetja e përcaktorit polinom karakteristik matricat A.

Duke zëvendësuar matricën A në vend të ndryshores l, marrim

A = 3 A 2 - A 3 = 3 = 3 = 0,

që është ajo që duhej treguar.

Shembulli 7. Gjeni polinomin minimal të një matrice

Zgjidhje. Mënyra e parë. 1. Hartoni matricën karakteristike

2. Ne e zvogëlojmë këtë matricë l në formë diagonale normale. Le të shkëmbejmë rreshtin e parë dhe të tretë. Le të zgjedhim si element kryesor njësinë që është në të majtë këndi i sipërm matricat. Duke përdorur elementin kryesor ne bëjmë e barabartë me zero elementët e mbetur të rreshtit të parë dhe kolonës së parë:

Marrim elementin kryesor (-l) dhe i bëjmë të gjithë elementët e tjerë të rreshtit të dytë dhe kolonës së dytë të barabartë me zero. Pastaj shumëzojmë rreshtin e dytë dhe të tretë me (-1) në mënyrë që koeficientët kryesorë të elementeve diagonale të jenë e barabartë me një. Ne marrim pamjen normale diagonale:

Polinomi minimal i matricës

m A (l) =e 3 (l) =.

Mënyra e dytë. 1. Përpilojmë një matricë karakteristike;

2. gjeni polinomin karakteristik

A (l) = 3l 2 - l 3.

3. gjeni minoret e rendit të dytë të matricës karakteristike (A - lE). Le të kufizohemi tek të miturit e vendosur në dy rreshtat e parë:

M 12 12 = =, M 13 12 = = -l, M 23 12 = = l.

Shprehja për të miturit e mbetur përkon me ato të gjetura. Pjesëtuesi më i madh i përbashkët i polinomeve, (-l), l është i barabartë me l, d.m.th.

4. Sipas formulës

marrim:

Për të kontrolluar, le të llogarisim

m A (A) =A 2 -3A =

Vini re se polinomi minimal m A (A) është asgjësues, d.m.th.

Përgjigju: .

Shembulli 8. Popullsia e vendit. Le ta ndajmë popullsinë e vendit në katër grupmosha:

(0.20], (20.40], (40.60], (60,) vjet. (1)

X(t) = (x 1 (t), x 2 (t), x 3 (t), x 4 (t))

Numri i njerëzve në këto grupe në kohën t. ne jemi të interesuar për numrin e popullsisë në këto nëngrupe (d.m.th. strukturën moshore të popullsisë së vendit) në 20, 40, 60,... vjet (d.m.th. X(20), X(40), X(60)... ). Këtë do ta llogarisim nga koordinatat e vektorit X(0) dhe nga vlerat e shkallës së lindjeve dhe vdekjeve, të cilat do t'i marrim sa më afër jetës.

Le të krijojmë një ekuacion për të ardhmen.

Në 20 vjet, pothuajse të gjithë njerëzit nga grupi i parë do të kalojnë në të dytin. Disa do të vdesin nga sëmundje, aksidente, etj. Le të kalojnë 0,95 persona nga grupi i parë në grupin e dytë gjatë 20 viteve. Ky është koeficienti i grupit të parë në të dytin:

x 2 (t + 20) = 0,95 x 1 (t). (2)

Gjithashtu, një pjesë e vogël e të rinjve të këtij grupi do të kenë kohë të martohen dhe të kenë fëmijë para moshës 20 vjeç, gjë që bën kontributin e grupit të parë në grupin e parë (pas 20 vjetësh). Le të jetë ky kontribut 0,01 e popullsisë së grupit të parë. Dhe grupi i dytë dhe i tretë do të kontribuojnë gjithashtu në grupin e parë (në formën e fëmijëve). Vlera e kontributit nga grupi i dytë le të jetë 0,5 e numrit të tij (të gjithë janë të martuar dhe në çdo familje ka nga një fëmijë), dhe kontributi i grupit të tretë = 0,02 të numrit të tij. Pastaj

X 1 (t + 20) = 0,01 x 1 (t) + 0,5 x 2 (t) + 0,02 x 3 (t). (3)

Le të vendosim shkallën e mbijetesës në grupin e dytë në 0.8, d.m.th.

X 3 (t + 20) = 0,8 x 2 (t). (4)

Dhe në grupet 3 dhe 4, përkatësisht, 0.7 dhe 0.4:

X 4 (t + 20) = 0,7 x 3 (t) + 0,5 x 4 (t). (5)

Marrëdhëniet që kemi dhënë (2, 3, 4, 5) i rishkruajmë në formë matrice:

X(t + 20) = AX(t). (6)

Ku matrica A e koeficientëve të ndikimit është:

Është përpiluar sipas parimit:

numri i hyrjes = numri i kolonës,

numri i daljes = numri i linjës.

Pra, koeficienti i ndikimit të grupit të parë në të dytin duhet të shkruhet në kolonën e parë, rreshti i dytë.

Sipas formulës (6), nëse operatori A vepron në përbërjen e popullsisë X(t) në kohën t, atëherë përbërja e popullsisë X(t + 20) do të merret pas 20 vjetësh. Prandaj, operatori A quhet operatori i ndërrimit (në këtë problem, një ndërrim prej 20 vjetësh).

Nga formula (6) rezulton se

X(t + 40) = AX(t + 20) = AAX(t) = A 2 X(t)

X(t + 60) = AX(t + 40) = AA 2 X(t) = A 3 X(t)

X(t + 20n) = A n X(t) (8)

Pra, duam të llogarisim popullsinë pas 20, 40, 60,... (duke supozuar se nuk ndryshon as lindshmëria dhe as vdekshmëria) - d.m.th. llogarit AX(0), A 2 X(0), A 3 X(0),… Produkt

A n X(0) = AAAA…AX(0)

Mund të llogaritet në sekuenca të ndryshme. Ti mund ta besh kete:

A(A…(AX(0))). (9)

Ose mund ta bëni këtë: së pari A n pastaj

Në këtë problem, nëse duhet të llogarisni popullsinë e ardhshme vetëm për disa momente në kohë (për shembull, 200 vjet përpara), atëherë për të zvogëluar numrin e operacioneve ne do të përdorim formulën (9). Por nëse duam të zgjedhim elementet numerike matrica A (për shembull, gjeni shkallën e lindjeve në të cilën popullsia e vendit stabilizohet në të njëjtin nivel), atëherë metoda (10) është më e përshtatshme. Pra, le të jetë popullsia sot:

X 1 (0) = 30, x 2 (0) = 40, x 3 (0) = 30, x 4 (0) = 25 (milion njerëz).

Tani le të bëjmë llogaritjet për n= 2, 3…10 sipas (9) në cilindo nga programet kompjuterike matematikore (për shembull, Mathematics, MathCAD, Maple V). Unë përdor disa program kompjuterik, marrim rezultatet, të cilat i futim në tabelë.

Shohim që në 200 vjet një vend me një popullsi të ngjashme me Rusia moderne, u tkurr në popullsi Rajoni i Leningradit. Le t'i kushtojmë vëmendje mënyrës se si po plaket popullsia (proporcioni i të moshuarve po bëhet më i madh). Ky është një shoqërues i detyrueshëm i rënies së popullsisë. Në realitet, gjithçka është shumë më keq: një rënie e popullsisë brenda të njëjtit territor e bën të vështirë për të rinjtë takimin dhe martesën, zvogëlon pasurinë e vendit dhe, si rezultat, përkeqësohet. shërbim mjekësor etj. e kështu me radhë. etj. Me fjalë të tjera, një rënie e popullsisë do të sillte gjithashtu një ulje të numrave në tabelën A.

Për krahasim, le ta vendosim ndryshe lindshmërinë në grupin 2, në nivelin 4 fëmijë për familje.

Pastaj të njëjtat llogaritje na japin:

Në 140 vjet, Rusia e sotme do të ishte kapur me popullsinë miliardashe të Kinës dhe gjysma do të përbëhej nga të rinj.

Natyrisht, nëse do të na interesonte vetëm një parashikim kaq i thjeshtë, ne mund të kufizoheshim llogaritje e thjeshtë nga (9) dhe teoria e formës së Jordanit nuk do të ishte e nevojshme. Por ne jemi të interesuar për aftësinë për të menaxhuar procesin pa lejuar vdekjen e vendit ose një rritje katastrofike të popullsisë. Prandaj, ne jemi të interesuar për tre pyetje:

· A është e mundur të stabilizohet popullsia duke zgjedhur shkallën e lindshmërisë (është më e lehtë për ta rritur atë sesa për të ulur vdekshmërinë);

· sa duhet të jetë lindshmëria në mënyrë që popullsia e vendit të stabilizohet;

· si do të vendoset struktura e popullsisë (raporti midis të rinjve dhe të moshuarve) me një madhësi të qëndrueshme të popullsisë (ky raport përcakton se sa pensionistë duhet të ushqejë secili punëtor dhe, për rrjedhojë, së bashku me produktivitetin e punës, përcakton standardin e jetesës. ).

Eksperimenti numerik, domethënë, llogaritja e tabelave të tilla në madhësive të ndryshme shkalla e lindjeve sipas (9), ndoshta, do t'ju lejojë të zgjidhni vlerën e normës së lindjeve. Por do të marrim rezultatin me një gabim të panjohur për ne për shkak të pamundësisë së kryerjes së llogaritjeve për një kohë të pacaktuar dhe për shkak të vështirësive në të kuptuarit e sjelljes së numrave grupe të veçanta. Në të vërtetë: vlerat x 3 (t) dhe x 4 (t) in tavolina e fundit hezitoni. Nëse ndryshoni pak parametrin e fertilitetit, luhatjet do të ndryshojnë disi.

Sipas (8), popullsia e vendit tonë në 20n vjet është e barabartë me

X(20n)=A n X(0), (12)

Ku matrica A është dhënë në (7). Ne e dimë atë

A n = S J n S -1 (13)

Ku S është matrica e tranzicionit në një bazë të re, e përbërë nga numra konstante, dhe J është forma normale Jordan e matricës A.

Për të llogaritur J, na duhen eigenvlerat e matricës A. Ne përdorim një kompjuter për llogaritjet. Maple V për matricën tonë A jep katër vlera të veçanta:

l 1 = 0,7095891332

l 2 = - 0,667497875

l 4 = - 0,0320912582

Meqenëse numri i vlerave eigen të dallueshme = 4, kjo do të thotë që të gjitha qelizat Jordan në matricën J kanë rendin 1, d.m.th. matrica J është thjesht diagonale dhe fuqia e saj n ka formën:

Kështu, marrim për (12):

X(20n) = l 1 n V + l 2 n V + l 3 n V + l 4 n V, (14)

ku shkronjat V tregojnë disa vektorë kolonë numerikë (konstantë).

Struktura e formulës (14) tregon sjelljen e X me rritje n. Të gjithë termat zvogëlohen për faktin se eigenvlerat janë më pak se 1 në vlerë absolute, d.m.th. X tenton në vektorin 0. Tre mandatet e fundit janë në rënie më shpejt se i pari. Për mjaftueshëm të mëdha n mandati i parë do të jetë termi kryesor në këtë shumë. Termi i dytë zvogëlohet më shpejt se i pari, por për shkak të negativitetit të vlerës së dytë, ai ose i shtohet të parës (për madje n), ose zbritet prej tij (për tek n), pra krijon lëkundjet e amortizuara në sjelljen e X. Këto luhatje korrespondojnë me realitetin, sepse cikli i këtyre luhatjeve përcaktohet nga një interval i zgjedhur në mënyrë arbitrare (20 vjet). Kur ndahet popullsia në numër më i madh grupmoshat Eigenvlerat negative do të prodhonin lëkundje me një periudhë më të shkurtër.

Nëse ka një shkallë të lartë të lindjeve, atëherë formula për X(20n) ka ende formën (14), por do të përmbajë vlera të tjera më të mëdha eigen. Me një normë të lartë lindjeje, eigenvlera e parë rezulton të jetë më e madhe se një, dhe për këtë arsye ne vëzhgojmë rritje eksponenciale popullatë.

Nga ajo që u shkrua më lart, mund të konkludojmë: nëse duam të stabilizojmë popullsinë e vendit, duhet të zgjedhim shkallën e lindjeve në mënyrë që vlera e parë të jetë e barabartë me 1, dhe të gjitha vlerat e tjera të jenë më pak se 1 në absolute. vlera Kjo do të sigurojë që tre termat e fundit në ekuacion të priren në 0 formulën (14), dhe më pas V 1 do të rezultojë të jetë gjendja e dëshiruar e qëndrueshme e popullatës.

Më pas do të zgjedhim shkallën e lindjeve. Le të kthehemi te matrica A e dhënë në (7). Nataliteti i fëmijëve në grupin 2 (rreshti i parë, kolona e dytë) do të zëvendësohet me shkronjën g. Siç dihet, eigenvlera e matricës A duhet të jetë rrënja e ekuacionit të saj karakteristik. Meqenëse na duhet l = 1, ne llogarisim përcaktorin det(A - E).

marrim

det = 0,584880 - 0,57006 g

dhe nga barazia det = 0 gjejmë g = 1,026. Ne e zëvendësojmë këtë vlerë të normës së lindjeve në matricën A (rreshti 1, kolona e dytë) dhe përsëri llogarisim popullsinë e vendit në një interval prej 200 vjetësh duke përdorur (9).

Ata e rregulluan natalitetin për 200 vjet në mënyrë të tillë që të siguronin stabilitetin e popullsisë së vendit. Ai është rreth 130 milionë. Luhatjet në numrin e grupeve individuale janë mjaft domethënëse. Arsyeja e këtyre luhatjeve është se matrica A tani ka dy eigenvalues, modulë afër njërës, dhe njëra prej tyre është negative. Kjo do të thotë, ne kemi një rezultat diçka të tillë

X(20n) = V 1 + (-1) n V 2 + l 3 n V 3 + l 4 n V 4, (15)

Dy termat e fundit zbehen me rritjen n për shkak të faktit se vlerat absolute të eigenvaleve të tretë dhe të katërt janë më pak se 1. Dhe termi i dytë siguron që X të lëkundet nga vlera V 1 - V 2 në vlerë V 1 + V 2 dhe mbrapa.

Duke pasur parasysh vlerën e përafërt të g, matrica A nuk ka një vlerë vetjake saktësisht të barabartë me 1. Prandaj, madhësia e grupeve ndryshon ngadalë në sfondin e këtyre luhatjeve të mëdha. Sigurisht, mund të përpiqeni të rregulloni pjellorinë për të arritur një vlerë eigen që është edhe më saktë e barabartë me 1, dhe më pas të zbuloni se sa afër është vlera e veçantë e dytë me (-1). Por, sigurisht, sqarimi i vlerave eigen në këtë problem nuk ka kuptim, pasi vlerat fillestare dhe vetë matrica A jepet me një gabim të madh (dhe matja e saktë e fertilitetit dhe vdekshmërisë, në parim, nuk na jep bazën për llogaritjet e sakta, pasi është e pamundur t'i rregullojmë ato). Përsosja e këtij modeli duhet të ndjekë rrugën e marrjes parasysh të varësive të tjera në shoqëri. Por nga një këndvështrim thjesht teorik, ne kemi zgjidhur çështjen e ekzistencës së kufirit (14): nëse një nga vlerat e veta është e barabartë me 1, dhe pjesa tjetër është më pak në vlerë absolute, atëherë kufiri ekziston.

konkluzioni

Matricat u përmendën për herë të parë në Kinën e lashtë, më pas u quajt "sheshi magjik". Aplikimi kryesor i matricave ishte zgjidhja e ekuacioneve lineare. Gjithashtu, sheshet magjike u njohën pak më vonë nga matematikanët arabë, rreth atëherë u shfaq parimi i shtimit të matricave. Pas zhvillimit të teorisë përcaktuese në fund të shekullit të 17-të, Gabriel Cramer (1704 - 1752) filloi të zhvillonte teorinë e tij në shekullin e 18-të dhe publikoi sundimin e Cramer-it në 1751. Rreth të njëjtës periudhë kohore, u shfaq "metoda Gauss". Teoria e matricës filloi në mesin e shekullit të 19-të me punën e William Hamilton dhe Arthur Cayley. Rezultatet themelore në teorinë e matricës i përkasin Karl Weierstrass (1815 - 1897), Jordan, Frobenius (1849 - 1917). Termi matricë u krijua nga James Sylvester në 1850.

Matricat gjenden kudo. Për shembull, një tabelë shumëzimi është një produkt i matricave. Në fizikë apo të tjera Shkencat e aplikuara matricat janë një mjet për regjistrimin dhe transformimin e të dhënave. Në programim - në shkrimin e programeve. Ata quhen gjithashtu vargje. Përdoret gjerësisht në teknologji. Për shembull, çdo fotografi në ekran është një matricë dydimensionale, elementët e së cilës janë ngjyrat e pikave. Në psikologji, kuptimi i termit është i ngjashëm me këtë term në matematikë, por në vend të kësaj objekte matematikore i caktuar" objekte psikologjike" - për shembull, testet. Përveç kësaj, matricat përdoren gjerësisht në ekonomi, biologji, kimi dhe madje edhe marketing. Ekziston edhe një model abstrakt - teoria e martesave në shoqëri primitive, ku me ndihmën e matricave u shfaqën opsionet e lejuara të martesës për përfaqësuesit dhe madje edhe pasardhësit e një fisi të caktuar.

Në matematikë, matricat përdoren gjerësisht për të shkruar në mënyrë kompakte SLAE ose sisteme ekuacionet diferenciale. Aparati i matricës mundëson reduktimin e zgjidhjes së SLAE-ve në operacione në matrica.

Forma normale Jordan e matricës përdoret kur llogaritet popullsia që do të jetë në një vend, rajon ose botë pas një periudhe të caktuar kohore. Një matricë e tillë jep një ide të ndryshimeve të popullsisë në varësi të kushteve specifike: lindshmërisë dhe vdekshmërisë, pa lejuar as vdekjen e vendit ose një rritje katastrofike të popullsisë.

Teoria e matricës nuk kërkohet kurrikula shkollore duke studiuar matematikën. Në shkollat ​​që kanë klasa të avancuara të matematikës, konceptet bazë të teorisë së matricës mësohen sipërfaqësisht. Matricat diskutohen më në detaje gjatë studimit të matematikës së lartë.

Puna mund t'u rekomandohet studentëve që të zgjerojnë njohuritë në fushën e teorisë së matricës, nxënësve të shkollave të mesme dhe mësuesve të matematikës për t'u njohur me konceptet e përgjithshme teoria e matricës si pjesë e zgjerimit të horizontit të tyre matematikor.

Detyrat e vendosura në punë janë zgjidhur, qëllimi është arritur.

Lista e literaturës së përdorur

1. Kvashko, L. P. Bazat e algjebrës lineare: Libër mësuesi. shtesa / L. P. Kvashko. - Khabarovsk: Shtëpia botuese DVGUPS, 2012. - 78 f. : i sëmurë.

2. Shkruar, D. T. Shënime leksioni mbi matematikë e lartë: [në ora 2]. Pjesa 1 / D. T. Shkruar. - Ed. 6. - M.: Iris-press, 2006. - 288 f.: ill.

3. Mishina, A. P. Algjebra e lartë. / I. V. Proskuryakov. - M., Fizmatlit, 1962. - 300 f.

4. Romannikov, A.N. Algjebra lineare: Libër mësuesi. manual // Moskë Universiteti Shtetëror ekonomi, statistikë dhe shkenca kompjuterike. - M., 2003. - 124 f.

5. Okunev, L. Ya. / L. Ya. - M.: Arsimi, 1966. - 335 f.

6. Faddeev, D.K. Ligjërata për algjebër: Proc. shtesa./ D.K. Faddeev.-Bot. 4, fshirë..- Shën Petersburg: Lan, 2005.- 416 f. - (Libra shkollorë për universitete. Literaturë e veçantë. Tekstet më të mira klasike. Matematikë).

7. Butuzov, V.F. Algjebra lineare në pyetje dhe probleme: tekst shkollor. ndihmë për nxënësit universitetet/ V.F. Butuzov - botimi i 3-të, i rishikuar - Shën Petersburg: Lan, 2008. - 256 f. - (Tekste shkollore për universitete. Literaturë speciale).

8. Voevodin, V.V. Algjebra lineare: Libër mësuesi. shtesa/ V.V. Voevodin.-Bot. 4, fshirë..- Shën Petersburg: Lan, 2008.- 416 f. -( Tekste shkollore për universitete. Literaturë speciale)

9. Kurosh, A. G. Kursi i algjebrës së lartë: Libër mësuesi. shtesa./ A.G. Kurosh. Botimi i 17-të, - Shën Petersburg: Shtëpia Botuese Lan, 2008. - 432 f.: ill. - (Tekste shkollore për universitete. Literaturë speciale).

10. Gelfand, I.M. Ligjërata mbi algjebër lineare./ ATA. Gelfand. - Botimi i 5-të, rev. - M.: Dobrosvet, Qendra e Moskës për vazhdimësi edukimi matematikor, 1998. - 320 f.

11. Maltsev, A.I. Bazat e algjebrës lineare: Libër mësuesi. shtesa./A.I. Maltsev. Botimi i 5-të, i fshirë. - Shën Petersburg: Shtëpia Botuese Lan, 2009. - 480 f.: ill. - (Tekste shkollore për universitete. Literaturë speciale).

12. Gantmakher, F. R. Teoria e matricave. Libër mësuesi manual për universitetet./ F.R. Gantmakher, - M. Science. 1967. - 576 f.

13. Ligjërata për algjebër. Semestri 2. Çështja II. Jordan forma normale e matricës: Manual edukativo-metodologjik/ S.N. Tronin. -- Kazan: Kazansky (Privolzhsky) universiteti federal, 2012. - 78 f.

14. Van der Waerden B.L. van der Waerden; Per. me të. A.A. Belsky.-3rd ed., ster.- Shën Petersburg: Lan, 2004.- 624 f.

15. Alferova, Z.V. Algjebra dhe teoria e numrave. Kompleksi i trajnimit dhe metodologjisë/ Z.V. Alferova, E.L. Balyukevich, A.N. Romannikov. - M.: Instituti i Hapur Euroaziatik, 2011. - 279 f.

16. Lancaster, P., Theory of matrices / P. Lancaster - M.: “Science” 1973, 280 f.

17. Schreyer O. Teoria e matricave / E. Sperner. - L.: ONTI, 1936. - 156 f.

18. Shneperman, L.B. Përmbledhje problemash në algjebër dhe teoria e numrave: Libër mësuesi. shtesa./ L.B. Shneperman.-Botimi 3, fshirë..- Shën Petersburg: Lan, 2008.- 224 f. -( Tekste shkollore për universitete. Literaturë speciale).

19. Proskuryakov, I. V. Mbledhja e problemeve në algjebër lineare. Libër mësuesi shtesa / I.V. Proskuryakov. - Botimi i 13-të, i fshirë. - Shën Petersburg: Shtëpia Botuese "Lan", 2010. - 480 f. -- (Tekste shkollore për universitete. Literaturë speciale).

20. Përmbledhje problemash në algjebër: libër me probleme / bot. A.I. Kostrikina. - M.: MTsNMO, 2009. - 404 f.

21. Sushkova M. V. Matematika në Universitetin / Revista në Internet e Universitetit Shtetëror Politeknik të Shën Petersburgut. - 2002. - Nr. 2. - URL: https://www.spbstu.ru/publications/m_v/N_002/Sushkova/par_02.html.

Postuar në Allbest.ru

Dokumente të ngjashme

Veprimet bazë mbi matricat dhe vetitë e tyre. Produkti i matricave ose shumëzimi i matricave. Matricat e bllokut. Koncepti i një përcaktori. Shiriti i veglave të matricës. Transpozimi. Shumëzimi. Përcaktori i një matrice katrore. Moduli vektorial.

abstrakt, shtuar 04/06/2003


Përdorimi i matricave dhe llojet e tyre (të barabarta, katrore, diagonale, njësi, zero, vektor rreshti, vektor kolone). Shembuj të veprimeve mbi matricat (shumëzimi me numër, mbledhja, zbritja, shumëzimi dhe transpozimi i matricave) dhe vetitë e matricave rezultuese.

prezantim, shtuar 21.09.2013


Forma e regjistrimit dhe metodat për zgjidhjen e sistemit ekuacionet algjebrike me n të panjohura. Shumëzimi dhe normat e vektorëve dhe matricave. Vetitë e përcaktorëve të matricës. Eigenvlerat dhe eigenvektorët. Shembuj të përdorimit karakteristikat numerike matricat

abstrakt, shtuar 08/12/2009


Koncepti, llojet dhe algjebra e matricave. Përcaktuesit e një matrice katrore dhe vetitë e tyre, teorema dhe anulimi i Laplace. Koncepti matricë e anasjelltë dhe veçantinë e tij, algoritmin e ndërtimit dhe vetitë. Përkufizimi i matricës së identitetit vetëm për matricat katrore.

abstrakt, shtuar 06/12/2010


Interpretimi i ortogonaleve dhe matricë unitare. Përcaktuesit kryesorë të matricave. Përkufizimi i katrorit kompleks jo të degjeneruar dhe matricat njëjës. Metodat për gjetjen e përcaktorit. Metoda e kondensimit Dodgson. Funksioni i rreshtit polilinear anim-simetrik.

puna e kursit, shtuar 06/04/2015


Llogaritja e kostove monetare të një ndërmarrje për prodhimin e produkteve, kur shprehet vlera e tyre duke përdorur matricat. Kontrollimi i përputhshmërisë së një sistemi ekuacionesh dhe zgjidhja e tyre duke përdorur formulat e Cramer-it dhe duke përdorur matricën e kundërt. Zgjidhja e ekuacioneve algjebrike duke përdorur metodën e Gausit.

test, shtuar 28.09.2014


Shembuj të grupeve të matricës algjebrike, grupeve matricore klasike: të përgjithshme, të veçanta, simpletike dhe ortogonale. Përbërësit e një grupi algjebrik. Rangu i matricës, kthimi në ekuacione, përputhshmëria. Hartëzimi linear, operacione me matrica.

puna e kursit, shtuar 22.09.2009


Matricat e kthyeshme mbi fushën Zp. Formula për numërimin e matricave të kthyeshme të rendit 2. Formula për numërimin e matricave të kthyeshme të rendit 3. Formula e përgjithshme duke numëruar matricat e kthyeshme mbi fushën Zp. Matricat e kthyeshme mbi Zn.

tezë, shtuar 08/08/2007


Mënyra e llogaritjes produkt me pika vektorë të dhënë. Llogaritja e përcaktorëve dhe e rangjeve të matricave, gjetja e matricave të anasjellta. Zgjidhja e ekuacioneve duke përdorur metodën Cramer, matricën e anasjelltë dhe funksionin e integruar lsolve. Analiza e rezultateve të marra.

punë laboratorike, shtuar 13.10.2014


Veprimet themelore mbi matricat. Zgjidhje ekuacionet e matricës duke përdorur matricën e kundërt dhe duke përdorur transformimet elementare. Konceptet e matricave të anasjellta dhe të transpozuara. Zgjidhja e ekuacioneve të matricës lloje të ndryshme: AX=B, HA=B, AXB=C, AX+XB=C, AX=HA.