Dokumenti: D.m.th. Renditja e matricës ruhet kur kryeni operacionet e mëposhtme:
1. Ndryshimi i renditjes së rreshtave.
2. Shumëzimi i një matrice me një numër të ndryshëm nga zero.
3. Transpozimi.
4. Eliminimi i një vargu zerosh.
5. Shtimi i një vargu tjetër në një varg, i shumëzuar me një numër arbitrar.
Transformimi i parë do të lërë të pandryshuar disa të mitur, por do t'ua ndryshojë shenjën disave në të kundërtën. Transformimi i dytë gjithashtu do të lërë të pandryshuar disa të mitur, ndërsa të tjerët do të shumëzohen me një numër të ndryshëm nga zero. Transformimi i tretë do të ruajë të gjithë të miturit. Prandaj, gjatë aplikimit të këtyre transformimeve do të ruhet edhe rangu i matricës (përkufizimi i dytë). Eliminimi i një rreshti zero nuk mund të ndryshojë renditjen e matricës, sepse një rresht i tillë nuk mund të hyjë në një minor jo zero. Le të shqyrtojmë transformimin e pestë.
Ne do të supozojmë se baza e vogël Δp është e vendosur në rreshtat e parë p. Le të shtohet një varg arbitrar b në vargun a, i cili është një nga këto vargje, i shumëzuar me një numër λ. ato. vargut a i shtohet një kombinim linear i vargjeve që përmbajnë bazën minor. Në këtë rast, baza e vogël Δp do të mbetet e pandryshuar (dhe e ndryshme nga 0). Të miturit e tjerë të vendosur në rreshtat e parë p mbeten gjithashtu të pandryshuara, e njëjta gjë vlen edhe për të gjithë të miturit e tjerë. Se. V në këtë rast rangu (sipas përkufizimit të dytë) do të ruhet. Tani merrni parasysh minoren Ms, e cila nuk i ka të gjitha rreshtat nga rreshtat e parë p (dhe ndoshta nuk ka asnjë).
Duke shtuar një varg arbitrar b në vargun ai, të shumëzuar me numrin λ, marrim një të re të vogël Ms‘, dhe Ms‘=Ms+λ Ms, ku
Nëse s>p, atëherë Ms=Ms=0, sepse të gjitha minoret e rendit më të madh se p të matricës origjinale janë të barabarta me 0. Por atëherë Ms‘=0, dhe rangu i transformimeve të matricës nuk rritet. Por as ajo nuk mund të zvogëlohej, pasi minorja bazë nuk pësoi asnjë ndryshim. Pra, rangu i matricës mbetet i pandryshuar.
Ju gjithashtu mund të gjeni informacionin për të cilin jeni të interesuar në motorin e kërkimit shkencor Otvety.Online. Përdorni formularin e kërkimit:
Qëllimi ynë i menjëhershëm është të vërtetojmë se çdo matricë mund të reduktohet në disa lloje standarde. Gjuha e matricave ekuivalente është e dobishme përgjatë kësaj rruge.
Le të jetë. Ne do të themi se një matricë është l_ekuivalente (n_ekuivalente ose ekuivalente) me një matricë dhe shënojmë (ose) nëse matrica mund të merret nga një matricë duke përdorur numër i kufizuar rreshti (kolona ose rreshti dhe kolona, përkatësisht) transformimet elementare. Është e qartë se l_ekuivalent dhe n_ matricat ekuivalente janë ekuivalente.
Së pari do të tregojmë se çdo matricë mund të reduktohet në lloj i veçantë, i quajtur i reduktuar.
Le të jetë. Një rresht jo zero i kësaj matrice thuhet se ka një formë të reduktuar nëse përmban një element të barabartë me 1 në mënyrë që të gjithë elementët e kolonës përveçse të jenë të barabartë me zero, . Elementin e vetëm të shënuar të vijës do ta quajmë element kryesor të kësaj rreshti dhe do ta mbyllim atë në një rreth. Me fjalë të tjera, një rresht i një matrice ka formën e reduktuar nëse kjo matricë përmban një kolonë të formës
Për shembull, në matricën e mëposhtme
rreshti ka formën e mëposhtme, pasi. Le t'i kushtojmë vëmendje faktit që në këtë shembull një element pretendon të jetë edhe elementi kryesor i linjës. Në të ardhmen, nëse një linjë e llojit të dhënë përmban disa elementë që kanë veti drejtuese, ne do të zgjedhim vetëm njërin prej tyre në mënyrë arbitrare.
Një matricë thuhet se ka një formë të reduktuar nëse secila prej rreshtave të saj jo zero ka një formë të reduktuar. Për shembull, matricë
ka formën e mëposhtme.
Pohimi 1.3 Për çdo matricë ekziston një matricë ekuivalente e formës së reduktuar.
Në të vërtetë, nëse matrica ka formën (1.1) dhe, atëherë pas kryerjes së transformimeve elementare në të
marrim matricën
në të cilin vargu ka formën e mëposhtme.
Së dyti, nëse rreshti në matricë është zvogëluar, atëherë pas kryerjes së transformimeve elementare (1.20) rreshti i matricës do të zvogëlohet. Në të vërtetë, pasi është dhënë, ekziston një kolonë e tillë që
por më pas dhe, rrjedhimisht, pas kryerjes së transformimeve (1.20) kolona nuk ndryshon, d.m.th. . Prandaj, rreshti ka formën e mëposhtme.
Tani është e qartë se duke transformuar çdo rresht jozero të matricës me radhë në mënyrën e mësipërme, pas një numri të kufizuar hapash do të marrim një matricë të formës së reduktuar. Meqenëse vetëm transformimet elementare të rreshtave janë përdorur për të marrë matricën, ajo është l_ekuivalente me një matricë. >
Shembulli 7. Ndërtoni një matricë me formë të reduktuar, l_ekuivalente me matricën
Tre paragrafët e parë të këtij kapitulli i kushtohen doktrinës së ekuivalencës së matricave polinomiale. Bazuar në këtë, në tre paragrafët e ardhshëm ndërtojmë teorinë analitike të pjesëtuesve elementarë, d.m.th., teorinë e reduktimit të një matrice katrore konstante (me pak emërore) në formë normale. Dy paragrafët e fundit të kapitullit japin dy metoda për ndërtimin e një matrice transformimi.
§ 1. Shndërrimet elementare të një matrice polinomiale
Përkufizimi 1. Një matricë polinomiale ose -matricë është një matricë drejtkëndore, elementët e së cilës janë polinome në:
këtu është shkalla më e madhe e polinomeve.
ne mund të paraqesim një matricë polinomi si një polinom matricë në lidhje me , domethënë si një polinom me koeficientë matricë:
Le të marrim në konsideratë veprimet elementare të mëposhtme në një matricë polinomiale:
1. Shumëzimi i disa, për shembull, i rreshtit me një numër.
2. Shtimi i disave, për shembull th, rreshti një tjetër, për shembull vargu i th, i shumëzuar më parë me një polinom arbitrar.
3. Ndërroni çdo dy rreshta, për shembull rreshtat e th dhe të th.
Ne e ftojmë lexuesin të kontrollojë që veprimet 1, 2, 3 janë ekuivalente me shumëzimin e një matrice polinomiale në të majtë, përkatësisht, me matricat katrore të renditjes së mëposhtme:
(1)
d.m.th., si rezultat i aplikimit të operacioneve 1, 2, 3, matrica shndërrohet, përkatësisht, në matricat , , . Prandaj, operacionet e tipit 1, 2, 3 quhen operacione elementare të majta.
Veprimet e duhura elementare në një matricë polinomiale përcaktohen në një mënyrë krejtësisht të ngjashme (këto operacione kryhen jo në rreshta, por në kolonat e matricës polinomiale) dhe matricat përkatëse (të renditjes):
Si rezultat i aplikimit të operacionit të duhur elementar, matrica shumëzohet në të djathtë me matricën përkatëse.
Ne do t'i quajmë matrica të tipit (ose, çfarë është e njëjtë, tip ) matrica elementare.
Përcaktori i çdo matrice elementare nuk varet dhe është i ndryshëm nga zero. Prandaj, për çdo operacion elementar majtas (djathtas) ekziston operacion i kundërt, që është gjithashtu një operacion elementar majtas (përkatësisht djathtas).
Përkufizimi 2. Dy matrica polinomiale quhen 1) ekuivalent i majtë, 2) ekuivalent i djathtë, 3) ekuivalent nëse njëra prej tyre fitohet nga tjetra duke zbatuar, përkatësisht, 1) veprimet elementare majtas, 2) veprimet elementare djathtas, 3) majtas dhe operacionet e drejta elementare.
Le të merret matrica nga përdorimi i operacioneve elementare të majta që korrespondojnë me matricat. Pastaj
. (2).
Duke treguar me produktin , shkruajmë barazinë (2) në formën
, (3)
ku , si secila prej matricave, ka një përcaktues konstante jozero.
Në pjesën tjetër do të vërtetojmë se çdo matricë katrore me një përcaktor konstant jozero mund të përfaqësohet si produkt i matricave elementare. Prandaj, barazia (3) është ekuivalente me barazinë (2) dhe prandaj nënkupton ekuivalencën e majtë të matricave dhe .
Në rastin e ekuivalencës së drejtë matricat polinomiale dhe në vend të barazisë (3) do të kemi barazinë
, (3")
dhe në rastin e ekuivalencës (dypalëshe) – barazi
Këtu përsëri dhe janë matrica me përcaktorë jozero dhe të pavarur.
Kështu, Përkufizimi 2 mund të zëvendësohet nga një përkufizim ekuivalent.
Përkufizimi 2". Dy matrica drejtkëndëshe dhe quhen 1) ekuivalent i majtë, 2) ekuivalent i djathtë, 3) ekuivalent nëse, përkatësisht
1)
, 2) , 3) ,
ku dhe janë matrica polinomiale katrore me përcaktorë konstante dhe jozero.
Ne ilustrojmë të gjitha konceptet e paraqitura më sipër duke përdorur shembullin e mëposhtëm të rëndësishëm.
Konsideroni një sistem homogjen linear ekuacionet diferenciale- renditja e funksioneve me argumente të panjohura me koeficientë konstante:
(4)
Mu ekuacioni i një funksioni të ri të panjohur; Operacioni i dytë elementar nënkupton futjen e një funksioni të ri të panjohur 
(në vend të ); Operacioni i tretë nënkupton ndryshimin e vendeve në ekuacionet e termave që përmbajnë dhe (d.m.th. 
).
1. Le të jepen dy hapësira vektoriale dhe, në përputhje me rrethanat, matjet mbi një fushë numerike, dhe një operator linear që hartohet në . Në këtë seksion do të zbulojmë se si matrica që korrespondon me një operator të caktuar linear ndryshon kur bazat hyjnë dhe ndryshojnë.
Le të zgjedhim baza arbitrare dhe . Në këto baza, operatori do të korrespondojë me matricën. Barazi vektoriale
korrespondon me barazinë e matricës
ku dhe janë kolonat koordinative për vektorë dhe në baza dhe .
Le të zgjedhim tani në dhe baza të tjera dhe . Në bazat e reja, në vend të , , do të kemi: , , . Në të njëjtën kohë
Le të shënojmë me dhe matricat katrore josingulare të urdhrave dhe, përkatësisht, që kryejnë transformimin e koordinatave në hapësira dhe gjatë kalimit nga bazat e vjetra në ato të reja (shih § 4):
Pastaj nga (27) dhe (29) marrim:
Duke supozuar, nga (28) dhe (30) gjejmë:
Përkufizimi 8. Dy matrica drejtkëndëshe dhe të njëjtat madhësi thuhet se janë ekuivalente nëse ekzistojnë dy matrica katrore jo njëjës të tilla që
Nga (31) rrjedh se dy matrica që i korrespondojnë të njëjtit operator linear me zgjedhje të ndryshme bazash në dhe janë gjithmonë ekuivalente me njëra-tjetrën. Është e lehtë të shihet se, anasjelltas, nëse një matricë korrespondon me një operator për disa baza në dhe, matrica është ekuivalente me një matricë, atëherë ajo korrespondon me të njëjtin operator linear për disa baza të tjera në dhe.
Kështu, çdo operator linear harton dhe korrespondon me një klasë matricash ekuivalente me njëra-tjetrën me elementë nga fusha.
2. Teorema e mëposhtme vendos një kriter për ekuivalencën e dy matricave:
Teorema 2. Që dy matrica drejtkëndëshe të së njëjtës madhësi të jenë ekuivalente, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që këto matrica të kenë të njëjtin rang.
Dëshmi. Kushti është i nevojshëm. Kur shumëzohet një matricë drejtkëndore me ndonjë jo njëjës matricë katrore(majtas ose djathtas) rangu i matricës origjinale drejtkëndore nuk mund të ndryshojë (shih Kapitullin I, faqe 27). Prandaj, nga (32) rrjedh
Gjendja është e mjaftueshme. Lë të jetë një matricë drejtkëndëshe e madhësisë . Ai përcakton një operator linear që harton një hapësirë me një bazë në një hapësirë me një bazë. Le të shënojmë me numër në mënyrë lineare vektorë të pavarur midis vektorëve 
. Pa humbur përgjithësinë, mund të supozojmë se vektorët janë linearisht të pavarur 
, dhe pjesa tjetër shprehet në mënyrë lineare përmes tyre:
. (33)
Le të përcaktojmë një bazë të re si më poshtë:
(34)
Pastaj në bazë të (33)
. (35)
Vektorët janë linearisht të pavarur. Le t'i plotësojmë ato me disa vektorë në një bazë në .
Pastaj matrica që i korrespondon të njëjtit operator në baza të reja; , sipas (35) dhe (36) do të ketë formën
. (37)
Në matricë, ato shkojnë përgjatë diagonales kryesore nga lart poshtë; të gjithë elementët e tjerë të matricës janë të barabartë me zero. Meqenëse matricat korrespondojnë me të njëjtin operator, ato janë ekuivalente me njëra-tjetrën. Sipas asaj që është vërtetuar, matricat ekuivalente kanë të njëjtën rang. Prandaj, rangu i matricës origjinale është i barabartë me .
Ne kemi treguar se një matricë arbitrare e renditjes drejtkëndore është ekuivalente me matricën "kanonike". Por matrica përcaktohet plotësisht duke specifikuar dimensionet dhe numrat. Prandaj, të gjitha matricat drejtkëndore të madhësive të dhëna dhe renditjes së dhënë janë ekuivalente me të njëjtën matricë dhe, për rrjedhojë, ekuivalente me njëra-tjetrën. Teorema është vërtetuar.
3. Le të jepet një operator linear që përfaqëson -hapësirë dimensionale në -dimensionale. Një grup vektorësh të formës , ku , formon hapësirë vektoriale. Këtë hapësirë do ta shënojmë me ; është pjesë e hapësirës ose, siç thonë ata, është një nënhapësirë në hapësirë.
Së bashku me nënhapësirën in, ne konsiderojmë grupin e të gjithë vektorëve që plotësojnë ekuacionin
Këta vektorë gjithashtu formojnë një nënhapësirë në ; Këtë nënhapësirë do ta shënojmë me .
Përkufizimi 9. Nëse një operator linear përshtatet me , atëherë numri i dimensioneve të hapësirës quhet rang i operatorit, dhe numri i dimensioneve të hapësirës që përbëhet nga të gjithë vektorët që plotësojnë kushtin (38) quhet defekt i operatorit. .
Ndër të gjitha ekuivalentët matrica drejtkëndëshe, duke përcaktuar këtë operator në baza të ndryshme, ekziston matricë kanonike[shih (37)]. Le të shënojmë me dhe bazat përkatëse në dhe . Pastaj
, 
.
Nga përkufizimi dhe rrjedh se vektorët formojnë një bazë në , dhe vektorët krahasojnë bazën në . Nga kjo rezulton se është grada e operatorit dhe
Nëse është një matricë arbitrare që korrespondon me operatorin, atëherë ajo është ekuivalente dhe për këtë arsye ka të njëjtën rang. Kështu, rangu i operatorit përkon me gradën e matricës drejtkëndore
,
duke përcaktuar operatorin në disa baza 
Dhe 
.
Kolonat e matricës përmbajnë koordinatat e vektorëve . Meqenëse rrjedh se rangu i operatorit, d.m.th., numri i dimensioneve, është i barabartë me numri maksimal vektorë linearisht të pavarur ndër . Kështu, rangu i matricës përkon me numrin e kolonave linearisht të pavarura të matricës. Meqenëse gjatë transpozimit, rreshtat e matricës bëhen në kolona, dhe rangu nuk ndryshon, numri i rreshtave linearisht të pavarur të matricës është gjithashtu i barabartë me gradën e matricës.
4. Le të jepen dy operator linear, dhe punën e tyre.
Lejo që operatori të hartojë në , dhe operatori të hartojë në . Pastaj operatori harton në:
Le të prezantojmë matricat , , që korrespondojnë me operatorët , , për një zgjedhje të caktuar të bazave , dhe . Atëherë barazia e operatorit do të korrespondojë me barazinë e matricës ., d.m.th. në, .
