Shembuj të funksionit të dy argumenteve të rastit. Ligjet e shpërndarjes së funksioneve të ndryshoreve të rastit

Çdo ndryshore e rastësishme përcaktohet plotësisht nga ajo funksioni i shpërndarjes.

Nëse x është një ndryshore e rastësishme, atëherë funksioni F(x) = Fx(x) = P(x< x) quhet funksioni i shpërndarjes ndryshorja e rastësishme x. Këtu P(x<x) - probabiliteti që ndryshorja e rastësishme x të marrë një vlerë më të vogël se x.

Është e rëndësishme të kuptohet se funksioni i shpërndarjes është "pasaporta" e një ndryshoreje të rastësishme: ai përmban të gjithë informacionin rreth ndryshores së rastësishme dhe për këtë arsye studimi i një ndryshoreje të rastësishme konsiston në studimin e funksionit të shpërndarjes së tij, që shpesh quhet thjesht shpërndarja.

Funksioni i shpërndarjes i çdo ndryshoreje të rastësishme ka vetitë e mëposhtme:

funksioni i dy argumente të rastësishme: Nëseçdo çift vlerash të mundshme variabla të rastit dhe një vlerë e mundshme e ndryshores së rastësishme korrespondon, atëherë thirret funksioni i dy argumenteve të rastit dhe dhe shkruani:

Nëse dhe janë variabla të rastësishme të pavarura diskrete, atëherë për të gjetur shpërndarjen e funksionit, është e nevojshme të gjenden të gjitha vlerat e mundshme, për të cilën mjafton të shtoni çdo vlerë të mundshme me të gjitha vlerat e mundshme; probabilitetet e vlerave të gjetura janë të barabarta me produktet e probabiliteteve të mbledhura nga vlerat Dhe.

19. Ligji i numrave të mëdhenj. Teoremat e ligjit të numrave të mëdhenj vendosin marrëdhënien midis rastësisë dhe domosdoshmërisë.

Ligji i numrave të mëdhenj është një emër i përgjithësuar për disa teorema, nga i cili rrjedh se me një rritje të pakufizuar të numrit të testeve, vlerat mesatare priren në konstante të caktuara.

Pabarazia e Chebyshev.

Lema: Nëse një ndryshore e rastësishme X ka pritshmëri të fundme M(X) dhe variancë D(X), atëherë për çdo e pozitive pabarazia është e vërtetë

Teorema e Chebyshev: Për një numër mjaftueshëm të madh të ndryshoreve të rastësishme të pavarura X 1, X 2, X 3, ..., X n, varianca e secilës prej të cilave nuk e kalon të njëjtin numër konstant B, për një numër të vogël arbitrar arbitrar e vlen pabarazia e mëposhtme:

Nga teorema rezulton se mesatarja aritmetike e ndryshoreve të rastësishme, me rritjen e numrit të tyre, shfaq vetinë e qëndrueshmërisë, d.m.th., priret sipas probabilitetit në një vlerë jo të rastësishme, e cila është mesatarja aritmetike e pritjeve matematikore të këtyre madhësive, d.m.th. probabiliteti i devijimit sipas vlere absolute mesatarja aritmetike e ndryshoreve të rastësishme nga mesatarja aritmetike e pritjeve të tyre matematikore është më e vogël se e ndërsa n rritet pafundësisht, priret në 1, d.m.th. bëhet një ngjarje pothuajse e sigurt.

një rast i veçantë i teoremës së Chebyshev: Le në n prova, vërehen n vlera të një ndryshoreje të rastësishme X, duke pasur një pritshmëri matematikore M(X) dhe variancë D(X). Vlerat e marra mund të konsiderohen si variabla të rastit X 1, X 2, X 3, ..., X n,. Duhet kuptuar kështu. Seria e P testet kryhen në mënyrë të përsëritur. Prandaj, si rezultat i testit të i-të, i=l, 2, 3, ..., P, në çdo seri testesh do të shfaqet një ose një vlerë tjetër e një ndryshoreje të rastësishme X, nuk dihet paraprakisht. Prandaj, i-e vlera xi e ndryshores së rastësishme e marrë në testin e i-të ndryshon në mënyrë të rastësishme kur kalon nga një seri testesh në tjetrën. Kështu, çdo vlerë x i mund të konsiderohet një ndryshore e rastësishme Xi.

Teorema e Bernulit. Teorema e Bernulit: Nëse probabiliteti i ngjarjes A në secilën prej n provave të pavarura është konstante dhe e barabartë me p, atëherë për n mjaftueshëm të madh për e arbitrare>0 pabarazia është e vërtetë

Duke kaluar në kufi, ne kemi Teorema e Bernulit vendos një lidhje midis probabilitetit të ndodhjes së një ngjarjeje dhe probabilitetit të saj frekuencë relative pamjen dhe lejon që dikush të parashikojë afërsisht se në çfarë do të jetë kjo frekuencë P testet. Nga teorema është e qartë se raporti t/n ka vetinë e qëndrueshmërisë me një rritje të pakufizuar të numrit të testeve.

Ndonjëherë (kur vendoset probleme praktike) kërkohet të vlerësohet probabiliteti që devijimi i numrit m të ndodhjes së një ngjarjeje në n prova nga rezultati i pritur pr nuk do të kalojë një numër të caktuar e. Për këtë vlerësim, pabarazia rishkruhet si

20. Teorema e kufirit qendror (C.L.T.)- një klasë teoremash në teorinë e probabilitetit që deklaron se shuma është e mjaftueshme sasi e madhe Variablat e rastësishme të varura dobët që kanë përafërsisht të njëjtat shkallë (asnjë term nuk dominon ose nuk jep një kontribut përcaktues në shumë) ka një shpërndarje afër normales.

Meqenëse shumë variabla të rastësishëm në aplikacione formohen nën ndikimin e disa faktorëve të rastësishëm të varur dobët, shpërndarja e tyre konsiderohet normale. Në këtë rast duhet të plotësohet kushti që asnjë nga faktorët të mos jetë dominues. Qendrore teorema kufizuese në këto raste justifikohet përdorimi i shpërndarjes normale.

Formula e konvolucionit. Stabiliteti i shpërndarjes normale.

o Nëse çdo çift vlerash të mundshme të ndryshoreve të rastësishme X dhe Y korrespondon me një vlerë të mundshme të ndryshores së rastit Z, atëherë Z quhet funksioni i dy argumenteve të rastësishëm X dhe Y:

Shembuj të mëtejshëm do të tregojnë se si të gjejmë shpërndarjen e një funksioni nga shpërndarjet e njohura të termave. Ky problem shpesh shfaqet në praktikë. Për shembull, nëse gabimi X i leximeve të një pajisjeje matëse është (i shpërndarë në mënyrë uniforme), atëherë lind detyra për të gjetur ligjin e shpërndarjes së shumës së gabimeve.

Rasti 1. Le të X dhe Y- variabla të rastësishme të pavarura diskrete. Për të hartuar ligjin e shpërndarjes për funksionin Z=X+Y, është e nevojshme të gjenden të gjitha vlerat e mundshme të Z dhe probabilitetet e tyre. Me fjalë të tjera, përpilohet një seri shpërndarjeje e ndryshores së rastësishme Z.

Shembulli 1. Ndryshoret diskrete të rastësishme të pavarura X dhe Y, të specifikuara nga shpërndarjet

Krijoni një shpërndarje të ndryshores së rastësishme Z=X+Y.

Vlerat e mundshme të Z janë shuma e secilës vlerë të mundshme të X me të gjitha vlerat e mundshme të X.

Le të gjejmë probabilitetin e këtyre vlerave të mundshme. Në mënyrë që për Z=4 mjafton që vlera X të marrë vlerat x 1 =1 dhe vlerën Y-vlera y 1 =3. Probabilitetet e këtyre vlerave të mundshme, siç del nga këto ligje të shpërndarjes, janë përkatësisht të barabarta me 0.4 dhe 0.2.

Meqenëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë të pavarur, ngjarjet X=1 dhe Y=3 janë të pavarura dhe, rrjedhimisht, probabiliteti i ndodhjes së përbashkët të tyre (d.m.th. probabiliteti i ngjarjes Z=1+3=4) sipas shumëzimit teorema është e barabartë me 0,4 0, 2=0,08.

Në mënyrë të ngjashme mund të gjejmë

Le të shkruajmë shpërndarjen e kërkuar duke mbledhur së pari probabilitetet ngjarje të papajtueshme Z=z 2 dhe Z=z 3. (0,32+0,12=0,44)

Kontrolli: 0,08+0,44+0,48=1.

Le të shqyrtojmë rast i përgjithshëm:

Le të jenë X dhe Y ndryshore të rastësishme të pavarura që marrin vlera. Le të shënojmë me, .

Z=X+H. Le të shënojmë me

Kështu, - formula e konvolucionit.

Rasti 2. Le të jenë X dhe Y variabla të rastësishme të vazhdueshme.

Teorema. Nëse X dhe Y janë variabla të rastësishme të pavarura të vazhdueshme, atëherë ndryshorja e rastësishme Z=X+Y është gjithashtu e vazhdueshme dhe dendësia e shpërndarjes së ndryshores së rastësishme Z është formula e konvolucionit.

o Dendësia e shpërndarjes së shumës quhen ndryshore të pavarura të rastësishme përbërjen.

Koment. Nëse vlerat e mundshme të X dhe Y janë jo negative, atëherë formula e konvolucionit .

o Ligji i shpërndarjes së probabilitetit quhet të qëndrueshme , nëse përbërja e ligjeve të tilla është i njëjti ligj i shpërndarjes (i ndryshëm, në përgjithësi, në parametra). Ligji normal ka veti stabiliteti, d.m.th. edhe përbërja e ligjeve normale ka shpërndarje normale, dhe pritshmëria dhe varianca matematikore e kësaj përbërje janë të barabarta me shumat e pritjeve matematikore dhe variancat e termave, përkatësisht:

Në veçanti, nëse X~N(0,1) dhe Y~N(0,1), atëherë Z=X+Y~N(0,2).

Shembulli 2. Lërini variablat e rastësishëm X 1,...,X k të jenë të pavarura dhe të kenë shpërndarja eksponenciale me parametër λ>0, d.m.th. .

Gjeni dendësinë e shpërndarjes.

Nëse x≤0, atëherë.

Duke kryer arsyetime të ngjashme, marrim:

Karakteristikat numerike të sistemit

Dy ndryshore të rastësishme.

Për të përshkruar një sistem me dy ndryshore të rastësishme, përveç pritjeve dhe variancave matematikore, përdoren karakteristika të tjera. Këto përfshijnë kovariancën dhe faktorin e korrigjimit.

o Kovarianca ndërmjet ndryshoreve të rastësishme X dhe Y quhet numër, ku.

Për ndryshoret e vazhdueshme të rastësishme X dhe Y, përdorni formulën.

Le të tregojmë se nëse variablat e rastësishëm X dhe Y janë të pavarur, atëherë. Le të jenë X dhe Y variabla të rastësishme të vazhdueshme

o Koeficienti i korrelacionit ndërmjet ndryshoreve të rastësishme X dhe Y quhet numër.

Vetitë e korrelacionit.

Prona 1. Vlera absolute e koeficientit të korrelacionit nuk e kalon unitetin, d.m.th. .

Prona 2. Në mënyrë që të jetë e nevojshme dhe e mjaftueshme që variablat e rastësishëm X dhe Y të lidhen me një marrëdhënie lineare. ato. me probabilitet 1.

Prona 3. Nëse ndryshoret e rastësishme janë të pavarura, atëherë ato janë të pakorreluara, d.m.th. r=0.

Le të jenë X dhe Y të pavarura, atëherë nga vetia e pritjes matematikore

o Quhen dy ndryshore të rastësishme X dhe Y të ndërlidhura, nëse koeficienti i korrelacionit të tyre është i ndryshëm nga zero.

o Variablat e rastësishëm X dhe Y quhen të pakorreluara nëse koeficienti i korrelacionit të tyre është 0.

Koment. Korrelacioni i dy variablave të rastësishëm nënkupton varësinë e tyre, por varësia nuk nënkupton ende korrelacion. Nga pavarësia e dy variablave të rastësishëm rezulton se ato janë të pakorreluara, por nga jokorrelacioni është ende e pamundur të konkludohet se këto variabla janë të pavarur.

Koeficienti i korrelacionit karakterizon tendencën e variablave të rastësishëm për varësia lineare. Sa më e madhe të jetë vlera absolute e koeficientit të korrelacionit, aq më e madhe është tendenca drejt varësisë lineare.

Nëse çdo çift i vlerave të mundshme të ndryshoreve të rastit X Dhe Y korrespondon me një vlerë të mundshme të ndryshores së rastësishme Z, Se Z thirrur funksioni i dy argumenteve të rastit X Dhe Y:

Z= j ( X, Y).

Shembuj të mëtejshëm do të tregojnë se si të gjeni shpërndarjen e funksionit Z = X + Y sipas shpërndarjeve të njohura të termave. Ky problem shpesh shfaqet në praktikë. Për shembull, nëse X- gabimi i leximeve të pajisjes matëse (normalisht i shpërndarë), Y- gabimi në rrumbullakimin e leximeve në ndarjen më të afërt të shkallës (shpërndarë në mënyrë uniforme), atëherë lind detyra - të gjesh ligjin e shpërndarjes së shumës së gabimeve Z=X+Y.

1. Le X Dhe Y-variabla të rastësishme të pavarura diskrete. Për të hartuar ligjin e shpërndarjes së funksionit Z = X + Y, ne duhet të gjejmë të gjitha vlerat e mundshme Z dhe probabilitetet e tyre.

Shembulli 1. Variabla të rastësishme të pavarura diskrete specifikohen nga shpërndarjet:

Krijoni një shpërndarje të një ndryshoreje të rastësishme Z = X+Y.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme Z ka shuma të secilës vlerë të mundshme X me të gjitha vlerat e mundshme Y:

z 1 = 1+ 3= 4; z 2 = 1+ 4= 5; z 3 = 2+ 3= 5; z 4 = 2+ 4= 6.

Le të gjejmë probabilitetet e këtyre vlerave të mundshme. Në mënyrë që Z= 4, mjafton që vlera X mori kuptimin x 1 = 1 dhe vlera Y- kuptimi y 1 = 3. Probabilitetet e këtyre vlerave të mundshme, siç del nga këto ligje të shpërndarjes, janë përkatësisht të barabarta me 0.4 dhe 0.2.

Argumentet X Dhe Y janë të pavarura, pra ngjarjet X= 1i Y= 3 janë të pavarura dhe, për rrjedhojë, probabiliteti i ndodhjes së tyre të përbashkët (d.m.th., probabiliteti i ngjarjes Z= 1+3 = 4) nga teorema e shumëzimit është e barabartë me 0,4*0,2 = 0,08.

Në mënyrë të ngjashme gjejmë:

P(Z= 1+ 4= 5) = 0, 4* 0, 8= 0, 32;

R(Z= 2 + 3 = 5) = 0, 6* 0, 2 = 0, 12;

R(Z= 2 + 4 = 6)= 0, 6* 0, 8 = 0, 48.

Le të shkruajmë shpërndarjen e kërkuar duke mbledhur së pari probabilitetet ngjarje të papajtueshme Z = z 2 , Z = z 3 (0,32+0,12 = 0,44):

Kontrolli: 0,08 + 0,44 + 0,48 = 1.

2. Le X Dhe Y- variabla të rastësishme të vazhdueshme. E vërtetuar: nëse X Dhe Y pavarur, pastaj dendësia e shpërndarjes g(z) shumat Z = X + Y(me kusht që dendësia e të paktën një prej argumenteve të specifikohet në intervalin() me një formulë) mund të gjendet duke përdorur barazinë

(*)

ose duke përdorur barazinë ekuivalente

(**)

Ku f 1 , f 2 - dendësia e shpërndarjes së argumenteve.

Nëse vlerat e mundshme të argumenteve janë jonegative, atëherë g(z) gjenden duke përdorur formulën

(***)

ose me një formulë ekuivalente

(****)

Dendësia e shpërndarjes së shumës së ndryshoreve të rastësishme të pavarura quhet përbërjen.

Ligji i shpërndarjes së probabilitetit quhet të qëndrueshme, nëse përbërja e ligjeve të tilla është i njëjti ligj (që ndryshojnë, në përgjithësi, në parametra). Ligji normal ka vetinë e qëndrueshmërisë: përbërja e ligjeve normale ka edhe shpërndarje normale (pritja dhe varianca matematikore e kësaj përbërje janë të barabarta me shumat e pritjeve matematikore dhe variancat e termave, përkatësisht). Për shembull, nëse X Dhe Y- variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara normalisht me pritshmëri dhe varianca matematikore përkatësisht të barabarta A 1 = Z, a 2 = 4, D 1 =1, D 2 = 0, 5, atëherë përbërja e këtyre sasive (d.m.th., dendësia e probabilitetit të shumës Z = X+ Y) gjithashtu shpërndahet normalisht, dhe pritshmëria matematikore dhe varianca e përbërjes janë përkatësisht të barabarta A = 3 + 4 = 7; D=l +0,5=1,5.

Shembulli 2. Variabla të rastësishme të pavarura X Dhe Y jepen nga dendësia e shpërndarjes:

f(x)= ;

f(y)= .

Gjeni përbërjen e këtyre ligjeve, pra densitetin e shpërndarjes së ndryshores së rastit Z = X+Y.

Zgjidhje. Vlerat e mundshme të argumenteve janë jonegative Prandaj, ne do të përdorim formulën (***).

Vini re se këtu z 0 sepse Z=X+Y dhe, sipas kushteve, vlerat e mundshme X Dhe Y jo negative.

Shpërndarja e katrorit Chi

Le X i(i = 1, 2, ..., P) janë variabla normale të rastësishme të pavarura, dhe pritshmëria matematikore e secilës prej tyre është e barabartë me zero, dhe devijimi standard është i barabartë me një. Pastaj shuma e katrorëve të këtyre sasive

shpërndahet sipas ligjit chi katror me k = n shkallët e lirisë; nëse këto sasi janë të lidhura me një lidhje lineare, për shembull , pastaj numri i shkallëve të lirisë k=n- 1.

Dendësia e kësaj shpërndarjeje

Ku - funksioni gama; veçanërisht,

(n+ 1)=n!.

Kjo tregon se shpërndarja e katrorit chi përcaktohet nga një parametër - numri i shkallëve të lirisë k.

Ndërsa numri i shkallëve të lirisë rritet, shpërndarja ngadalë i afrohet normales.

Shpërndarja e nxënësve

Le Zështë një ndryshore normale e rastësishme, dhe M(Z) = 0, s( Z)= 1, a V-i pavarur nga Z një sasi që shpërndahet sipas ligjit me k shkallët e lirisë. Pastaj vlera

ka një shpërndarje të quajtur t- shpërndarja ose shpërndarja Studentore (pseudonim i statisticienit anglez W. Gosset), me k shkallët e lirisë.

Pra, raporti i të normalizuarve madhësi normale te rrenja katrore nga një ndryshore e pavarur e rastësishme e shpërndarë sipas ligjit chi-katror me k shkallët e lirisë të ndarë me k, shpërndahet sipas ligjit të Studentit me k shkallët e lirisë.

Ndërsa numri i shkallëve të lirisë rritet, shpërndarja e Studentëve i afrohet shpejt normales. informacion shtese në lidhje me këtë shpërndarje janë dhënë më poshtë (shih Kapitullin XVI, § 16).

§ 15. Shpërndarja F Fischer - Snedecor

Nëse U Dhe V-variabla të rastësishme të pavarura të shpërndara sipas ligjit me shkallë lirie k 1 dhe k 2 , pastaj vlera

ka një shpërndarje të quajtur shpërndarje F Fischer-Snedecor me shkallë lirie k 1 dhe k 2 (nganjëherë shënohet me V 2).

Dendësia e kësaj shpërndarjeje

Ne shohim se shpërndarja F përcaktohet nga dy parametra - numri i shkallëve të lirisë. Informacion shtesë për këtë shpërndarje jepet më poshtë (shih Kapitullin XIX, § 8).

Detyrat

1. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe variancën e një ndryshoreje të rastësishme X, duke ditur densitetin e shpërndarjes së tij:

A) për vlera të tjera x;

b) f(x)= 1/ 2l në A- l x a+l, f(x)= 0 për vlerat e tjera X.

Reps. a)M(X)= 0, D(X) = l/2; b) M(X)= a, D(X)= l 2 / 3.

2. Vlera e rastësishme X shpërndahet normalisht. Pritshmëria matematikore dhe devijimi standard i kësaj vlere janë përkatësisht të barabarta me 6 dhe 2 Gjeni probabilitetin që si rezultat i testit X do të marrë vlerën që përmban intervali (4,8).

Reps. 0,6826.

3. Ndryshorja e rastësishme shpërndahet normalisht. Devijimi standard i kësaj vlere është 0.4. Gjeni probabilitetin që devijimi i një ndryshoreje të rastësishme nga pritshmëria e saj matematikore në vlerë absolute të jetë më e vogël se 0.3.

Reps. 0,5468.

4. Gabimet e rastësishme të matjes i nënshtrohen ligj normal me mesatare devijimi katror s=1 mm dhe pritje matematikore A= 0. Gjeni probabilitetin që nga dy vëzhgime të pavarura gabimi i të paktën njërit prej tyre të mos kalojë 1,28 mm në vlerë absolute.

Reps. 0,96.

5. Rolet e prodhuar nga një makinë automatike konsiderohen standarde nëse devijimi i diametrit të rulit nga madhësia e projektimit nuk kalon 2 mm. Devijimet e rastësishme diametrat e rrotullës i binden ligjit normal me devijimin standard s = 1.6 mm dhe pritshmëri matematikore a = 0. Sa përqind e rrotullave standarde prodhon makina?

Reps. Përafërsisht 79%.

6. Ndryshore diskrete e rastësishme X jepet nga ligji i shpërndarjes: