Nëse jeni të interesuar për pyetjen e titullit, ndoshta jeni një student ose nxënës shkolle që po përballet me një temë të re. Problemet e teorisë së probabilitetit tani po zgjidhen nga nxënësit e klasave të pesta në shkollat e avancuara, nxënësit e shkollave të mesme para Provimit të Unifikuar të Shtetit dhe studentët e fjalë për fjalë të të gjitha specialiteteve - nga gjeografët te matematikanët. Çfarë lloj objekti është ky dhe si t'i qasemi?
Probabiliteti. Çfarë është kjo?
Teoria e probabilitetit, siç sugjeron emri, merret me probabilitetet. Jemi të rrethuar nga shumë gjëra dhe dukuri për të cilat, sado e zhvilluar të jetë shkenca, është e pamundur të bëhen parashikime të sakta.
Ne nuk e dimë se cilën kartë do të nxjerrim nga kuverta rastësisht ose sa ditë do të bjerë shi në maj, por kemi pak Informacion shtese, ne mund të bëjmë parashikime dhe llogarit probabilitetet këto ngjarje të rastësishme.
Kështu, ne jemi përballur me konceptin bazë ngjarje e rastësishme- një fenomen, sjellja e të cilit nuk mund të parashikohet, një eksperiment, rezultati i të cilit nuk mund të llogaritet paraprakisht, etj. Janë probabilitetet e ngjarjeve që llogariten në problemat tipike.
Probabiliteti- ky është një, në mënyrë rigoroze, funksion që merr vlera nga 0 në 1 dhe karakterizon një ngjarje të caktuar të rastësishme. 0 - ngjarja është praktikisht e pamundur, 1 - ngjarja është pothuajse e sigurt, 0.5 (ose "50 deri në 50") - me probabilitet të barabartë ngjarja do të ndodhë apo jo.
Algoritmi për zgjidhjen e problemeve të probabilitetit
Ju mund të mësoni më shumë rreth bazave të teorisë së probabilitetit, për shembull, në librin shkollor në internet.
Tani le të mos rrahim rreth shkurret, dhe le të formulojmë diagramë, i cili duhet të përdoret për të zgjidhur standardin Objektivat e mësimit për të llogaritur probabilitetin e një ngjarjeje të rastësishme, dhe më pas më poshtë Le të ilustrojmë me shembuj aplikimin e saj.
- Lexoni me kujdes detyrën dhe kuptoni se çfarë po ndodh saktësisht (çfarë po nxirret nga cila kuti, çfarë ishte shtrirë ku, sa pajisje funksionojnë, etj.)
- Gjeni pyetjen kryesore të një problemi si "llogarit gjasat që, se..." dhe shkruani këtë elipsë në formën e një ngjarjeje, probabiliteti i së cilës duhet gjetur.
- Ngjarja është e regjistruar. Tani duhet të kuptojmë se cilës "skemë" të teorisë së probabilitetit i përket problemi në mënyrë që të zgjedhim saktë formulat për zgjidhjen. Ti përgjigjeni pyetjet e testit lloji:
- ka një provë (për shembull, hedhja e dy zare) ose disa (për shembull, kontrollimi i 10 pajisjeve);
- nëse ka disa teste, a varen rezultatet e njërit nga tjetri (varësia apo pavarësia e ngjarjeve);
- një ngjarje ndodh në një situatë të vetme ose një detyrë flet për disa hipoteza të mundshme(për shembull, topi merret nga njëra prej tre kutive, ose nga një e veçantë).
- Një formulë (ose disa) është zgjedhur për zgjidhjen. Ne shkruajmë të gjitha të dhënat e detyrës dhe i zëvendësojmë në këtë formulë.
- Voila, probabiliteti është gjetur.
Si të zgjidhen problemet: probabiliteti klasik
Shembulli 1. Në një grup prej 30 studentësh, në test, 6 studentë morën "5", 10 studentë morën "4", 9 studentë morën "3", pjesa tjetër morën "2". Gjeni probabilitetin që 3 studentë të thirrur në tabelë të kenë marrë "2" në test.
Ne fillojmë zgjidhjen sipas pikave të përshkruara më sipër.
- Në problem po flasim për rreth përzgjedhjes së 3 nxënësve nga një grup që plotësojnë disa kushte.
- Futni ngjarjen kryesore $X$ = (Të 3 studentët e thirrur në tabelë morën një "2" në test).
- Meqenëse vetëm një test ndodh në detyrë dhe shoqërohet me përzgjedhje/zgjedhje në një kusht të caktuar, flasim për përkufizimin klasik të probabilitetit. Le të shkruajmë formulën: $P=m/n$, ku $m$ është numri i rezultateve të favorshme për ndodhjen e ngjarjes $X$, dhe $n$ është numri i të gjithave njësoj të mundshme rezultatet elementare.
- Tani duhet të gjejmë vlerat e $m$ dhe $n$ për këtë problem. Së pari, le të gjejmë numrin e të gjitha rezultateve të mundshme - numrin e mënyrave për të zgjedhur 3 studentë nga 30. Meqenëse radha e zgjedhjes nuk ka rëndësi, ky është numri i kombinimeve 30 me 3: $$n=C_(30 )^3=\frac(30{3!27!}=\frac{28\cdot 29 \cdot 30}{1\cdot 2 \cdot 3}=4060.$$ Найдем число способов вызвать только студентов, получивших "2". Всего таких студентов было $30-6-10-9=5$ человек, поэтому $$m=C_{5}^3=\frac{5!}{3!2!}=\frac{4 \cdot 5}{1\cdot 2}=10.$$!}
- Marrim probabilitetin: $$P(X)=\frac(m)(n)=\frac(10)(4060)=0.002.$$ Problemi i zgjidhur.
Nuk ka kohë për të vendosur? Gjeni një problem të zgjidhur
Zgjidhje të gatshme për problemet për çdo seksion të teorisë së probabilitetit, më shumë se 10,000 shembuj! Gjeni detyrën tuaj.
Në Kur vlerësojmë probabilitetin e ndodhjes së ndonjë ngjarjeje të rastësishme, është shumë e rëndësishme të kuptojmë mirë nëse probabiliteti () i ndodhjes së ngjarjes që na intereson varet nga mënyra se si zhvillohen ngjarjet e tjera.
Në rastin e skemës klasike, kur të gjitha rezultatet janë njëlloj të mundshme, ne tashmë mund të vlerësojmë vlerat e probabilitetit të ngjarjes individuale me interes për ne në mënyrë të pavarur. Ne mund ta bëjmë këtë edhe nëse ngjarja është një koleksion kompleks i disa rezultateve elementare. Po sikur disa ngjarje të rastësishme të ndodhin njëkohësisht ose në vazhdimësi? Si ndikon kjo në gjasat e ngjarjes që ne jemi të interesuar të ndodhë?
Nëse hedh një kupë disa herë dhe dua që të dalë një gjashtë, dhe vazhdoj të jem i pafat, a do të thotë kjo që duhet të rris bast sepse, sipas teorisë së probabilitetit, do të kem fat? Mjerisht, teoria e probabilitetit nuk thotë diçka të tillë. Pa zare, pa letra, pa monedha nuk mbaj mend çfarë na treguan Herën e fundit. Për ta nuk ka fare rëndësi nëse është hera e parë apo e dhjetë që provoj fatin sot. Sa herë që përsëris rrotullën, di vetëm një gjë: dhe këtë herë probabiliteti për të marrë një gjashtë është përsëri një e gjashta. Sigurisht, kjo nuk do të thotë që numri që më nevojitet nuk do të dalë kurrë. Kjo do të thotë vetëm se humbja ime pas gjuajtjes së parë dhe pas çdo gjuajtjeje tjetër janë ngjarje të pavarura.
Ngjarjet A dhe B quhen të pavarur, nëse zbatimi i njërës prej tyre nuk ndikon në asnjë mënyrë në probabilitetin e një ngjarjeje tjetër. Për shembull, mundësitë për të goditur një objektiv me të parën nga dy armët nuk varen nga fakti nëse objektivi është goditur nga arma tjetër, kështu që ngjarjet "arma e parë goditi objektivin" dhe "arma e dytë goditi objektivin" janë të pavarur.
Nëse dy ngjarje A dhe B janë të pavarura, dhe probabiliteti i secilës prej tyre është i njohur, atëherë probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të ngjarjes A dhe ngjarjes B (që shënohet AB) mund të llogaritet duke përdorur teoremën e mëposhtme.
Teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura
P(AB) = P(A)*P(B)- probabiliteti të njëkohshme fillimi i dy të pavarur ngjarjet është e barabartë me puna gjasat e këtyre ngjarjeve.Shembull.Mundësitë e goditjes së objektivit gjatë gjuajtjes së armës së parë dhe të dytë janë përkatësisht të barabarta: p 1 =0,7; p 2 =0,8. Gjeni mundësinë e një goditjeje me një salvo nga të dy armët njëkohësisht.
Zgjidhja: siç e kemi parë tashmë, ngjarjet A (goditja nga arma e parë) dhe B (goditja nga arma e dytë) janë të pavarura, d.m.th. P(AB)=P(A)*P(B)=p 1 *p 2 =0,56.
Çfarë ndodh me vlerësimet tona nëse ngjarjet fillestare nuk janë të pavarura? Le të ndryshojmë pak shembullin e mëparshëm.
Shembull.Dy gjuajtës qëllojnë objektivat në një garë dhe nëse njëri prej tyre gjuan me saktësi, kundërshtari fillon të nervozohet dhe rezultatet e tij përkeqësohen. Si ta shndërroni këtë situatë të përditshme në problem matematike dhe përshkruani mënyrat për ta zgjidhur atë? Është intuitivisht e qartë se ne duhet t'i ndajmë disi të dy opsionet zhvillimet, krijoni në thelb dy skenarë, dy detyra të ndryshme. Në rastin e parë, nëse kundërshtari humbi, skenari do të jetë i favorshëm për sportistin nervoz dhe saktësia e tij do të jetë më e lartë. Në rastin e dytë, nëse kundërshtari e shfrytëzoi me dinjitet shansin e tij, probabiliteti për të goditur objektivin për atletin e dytë zvogëlohet.
Për ndarje skenarë të mundshëm(ato shpesh quhen hipoteza) për zhvillimin e ngjarjeve, shpesh do të përdorim diagramin "pema e probabilitetit". Ky diagram është i ngjashëm në kuptim me pemën e vendimeve me të cilën ndoshta keni trajtuar tashmë. Çdo degë përfaqëson një skenar të veçantë për zhvillimin e ngjarjeve, vetëm tani ka eigenvalue të ashtuquajturat kushtëzuar probabilitetet (q 1, q 2, q 1 -1, q 2 -1).
Kjo skemë është shumë e përshtatshme për analizimin e ngjarjeve të rastësishme të njëpasnjëshme.
Mbetet për të sqaruar një pyetje më të rëndësishme: nga vijnë vlerat fillestare të probabiliteteve? situata reale ? Në fund të fundit, teoria e probabilitetit nuk funksionon vetëm me monedha dhe zare? Zakonisht këto vlerësime merren nga statistikat dhe kur informacioni statistikor nuk është i disponueshëm, ne kryejmë kërkimin tonë. Dhe shpesh duhet ta fillojmë jo me mbledhjen e të dhënave, por me pyetjen se çfarë informacioni na nevojitet në të vërtetë.
Shembull.Le të themi se duhet të vlerësojmë në një qytet me një popullsi prej njëqind mijë banorësh vëllimin e tregut për një produkt të ri që nuk është një artikull thelbësor, për shembull, për një balsam për kujdesin e flokëve të lyer. Le të shqyrtojmë diagramin "pema e probabilitetit". Në këtë rast, ne duhet të vlerësojmë përafërsisht vlerën e probabilitetit në secilën "degë". Pra, vlerësimet tona të kapacitetit të tregut:
1) nga të gjithë banorët e qytetit, 50% janë gra,
2) nga të gjitha gratë, vetëm 30% i lyejnë flokët shpesh,
3) prej tyre, vetëm 10% përdorin balsam për flokë të lyer,
4) prej tyre, vetëm 10% mund të marrin guximin për të provuar një produkt të ri,
5) 70% e tyre zakonisht blejnë gjithçka jo nga ne, por nga konkurrentët tanë.
Zgjidhja: Sipas ligjit të shumëzimit të probabiliteteve, ne përcaktojmë probabilitetin e ngjarjes që na intereson A = (një banor i qytetit e blen këtë balsam të ri nga ne) = 0,00045.
Le ta shumëzojmë këtë vlerë probabiliteti me numrin e banorëve të qytetit. Si rrjedhojë kemi vetëm 45 klientë potencialë dhe duke pasur parasysh që një shishe e këtij produkti zgjat disa muaj, tregtimi nuk është shumë i gjallë.
E megjithatë ka disa përfitime nga vlerësimet tona.
Së pari, ne mund të krahasojmë parashikimet e ideve të ndryshme të biznesit, ato do të kenë "pirunë" të ndryshëm në diagrame, dhe, natyrisht, vlerat e probabilitetit do të jenë gjithashtu të ndryshme.
Së dyti, siç kemi thënë tashmë, vlerë e rastësishme Nuk quhet e rastësishme sepse nuk varet fare nga asgjë. Vetëm ajo saktë kuptimi nuk dihet paraprakisht. Ne e dimë se numri mesatar i blerësve mund të rritet (për shembull, duke reklamuar një produkt të ri). Pra, ka kuptim t'i përqendrojmë përpjekjet tona në ato "pirunë" ku shpërndarja e probabilitetit nuk na përshtatet veçanërisht, në ata faktorë që ne jemi në gjendje të ndikojmë.
Le të shohim edhe një shembull sasior hulumtim mbi sjelljen blerëse.
Shembull. Mesatarisht, 10,000 njerëz vizitojnë tregun ushqimor në ditë. Probabiliteti që një vizitor tregu të hyjë në një pavijon produktet e qumështit, është e barabartë me 1/2. Dihet se ky pavijon shet mesatarisht 500 kg produkte të ndryshme në ditë.
A mund të themi se blerja mesatare në pavijon peshon vetëm 100 g?
Diskutim. Sigurisht që jo. Është e qartë se jo të gjithë ata që hynë në pavijon përfunduan duke blerë diçka atje.
Siç tregohet në diagram, për t'iu përgjigjur pyetjes për peshën mesatare të një blerjeje, duhet të gjejmë një përgjigje për pyetjen, sa është probabiliteti që një person që hyn në pavijon të blejë diçka atje. Nëse nuk kemi në dispozicion të dhëna të tilla, por na duhen, do të duhet t'i marrim vetë duke vëzhguar vizitorët në pavijon për disa kohë. Le të themi se vëzhgimet tona treguan se vetëm një e pesta e vizitorëve të pavijonit blejnë diçka.
Pasi të kemi marrë këto vlerësime, detyra bëhet e thjeshtë. Nga 10,000 personat që vijnë në treg, 5,000 do të shkojnë në pavionin e produkteve të qumështit, vetëm 1,000 do të blejnë. Pesha mesatare blerja është e barabartë me 500 gram. Është interesante të theksohet se për të ndërtuar foto e plotë duke ndodhur, logjika e “degëzimit” të kushtëzuar duhet të përcaktohet në çdo fazë të arsyetimit tonë aq qartë sikur të punonim me një situatë “konkrete” dhe jo me probabilitete.
Detyrat e vetë-testimit
1. Le të jetë qark elektrik, i përbërë nga n elementë të lidhur me seri, secili prej të cilëve funksionon në mënyrë të pavarur nga të tjerët.
Probabiliteti p i dështimit të secilit element është i njohur. Përcaktoni probabilitetin e funksionimit të duhur të të gjithë seksionit të qarkut (ngjarja A).
2. Nxënësi di 20 nga 25 pyetjet e provimit. Gjeni probabilitetin që studenti t'i dijë tre pyetjet që i janë bërë nga ekzaminuesi.
3. Prodhimi përbëhet nga katër faza të njëpasnjëshme, në secilën prej të cilave funksionon pajisja, për të cilat gjasat e dështimit gjatë muajit të ardhshëm janë përkatësisht të barabarta me p 1, p 2, p 3 dhe p 4. Gjeni probabilitetin që nuk do të ketë ndërprerje të prodhimit për shkak të dështimit të pajisjeve brenda një muaji.
Le të flasim për problemet në të cilat shfaqet fraza "të paktën një". Me siguri keni hasur detyra të tilla në shtëpi dhe testet, dhe tani do të mësoni se si t'i zgjidhni ato. Së pari do të flas për rregull i përgjithshëm, dhe më pas merrni parasysh një rast të veçantë dhe shkruani formula dhe shembuj për secilin.
Metodologjia e përgjithshme dhe shembuj
Teknika e përgjithshme për të zgjidhur problemet në të cilat shfaqet fraza "të paktën një" është si më poshtë:
Tani le ta shohim me shembuj. Përpara!
Shembulli 1. Kutia përmban 25 pjesë standarde dhe 6 pjesë me defekt të të njëjtit lloj. Sa është probabiliteti që nga tre pjesë të zgjedhura rastësisht, të paktën një të jetë me defekt?
Ne veprojmë drejtpërdrejt pikë për pikë.
1.
Ne shkruajmë një ngjarje, probabiliteti i së cilës duhet të gjendet drejtpërdrejt nga deklarata e problemit:
$A$ =(Nga 3 pjesë të zgjedhura të paktën një me defekt).
2. Pastaj ngjarja e kundërt formulohet si më poshtë: $\bar(A)$ = (Nga 3 detaje të zgjedhura asnje me defekt) = (Të 3 pjesët e zgjedhura do të jenë standarde).
3. Tani duhet të kuptojmë se si të gjejmë probabilitetin e ngjarjes $\bar(A)$, për të cilën do të shikojmë përsëri problemin: po flasim për objekte të dy llojeve (pjesë me defekt dhe jo), nga të cilat një nxirren dhe studiohen numri i objekteve (me ose jo). Ky problem zgjidhet duke përdorur përkufizimin klasik të probabilitetit (më saktë, duke përdorur formulën e probabilitetit hipergjeometrik, lexoni më shumë rreth tij në artikull).
Për shembullin e parë, do ta shkruajmë zgjidhjen në detaje, më pas do ta shkurtojmë (dhe do të gjeni udhëzime të plota dhe kalkulatorë në lidhjen e mësipërme).
Së pari, le të gjejmë numrin total të rezultateve - ky është numri i mënyrave për të zgjedhur çdo 3 pjesë nga një grup prej 25+6=31 pjesësh në një kuti. Meqenëse rendi i zgjedhjes është i parëndësishëm, ne zbatojmë formulën për numrin e kombinimeve të 31 objekteve prej 3: $n=C_(31)^3$.
Tani le të kalojmë te numri i rezultateve të favorshme për ngjarjen. Për ta bërë këtë, të 3 pjesët e zgjedhura duhet të jenë standarde, ato mund të zgjidhen në mënyrat $m = C_(25)^3$ (pasi ka saktësisht 25 pjesë standarde në kuti).
Probabiliteti është:
$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(C_(25)^3 )(C_(31)^3) = \frac(23 \cdot 24\cdot 25) (29\cdot 30\cdot 31) =\frac(2300)(4495)= 0,512. $$
4. Atëherë probabiliteti i dëshiruar:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0,512 = 0,488. $$
Përgjigje: 0.488.
Shembulli 2. Nga një kuvertë me 36 letra, 6 letra merren në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që midis letrave të marra të ketë të paktën dy lopata.
1. Ne regjistrojmë ngjarjen $A$ =(Nga 6 kartat e zgjedhura do të ketë të paktën dy majat).
2. Pastaj ngjarja e kundërt formulohet si më poshtë: $\bar(A)$ = (Nga 6 letra të zgjedhura do të ketë më pak se 2 lopata) = (Nga 6 letra të zgjedhura do të jenë saktësisht 0 ose 1 lopata, pjesa tjetër një kostum ndryshe).
Komentoni. Do të ndalem këtu dhe do të bëj shënim i vogël. Edhe pse në 90% të rasteve teknika “shko në ngjarjen e kundërt” funksionon në mënyrë perfekte, ka raste kur është më e lehtë të gjesh probabilitetin e ngjarjes origjinale. NË në këtë rast, nëse kërkoni drejtpërdrejt probabilitetin e ngjarjes $A$, do t'ju duhet të shtoni 5 probabilitete, dhe për ngjarjen $\bar(A)$ - vetëm 2 probabilitete. Por nëse problemi ishte "nga 6 letra të paktën 5 janë maja", situata do të ndryshonte dhe do të ishte më e lehtë për të zgjidhur problemin fillestar. Nëse përpiqem të jap përsëri udhëzime, do ta them këtë. Në detyrat ku shihni "të paktën një", mos ngurroni të kaloni në ngjarjen e kundërt. Nëse po flasim për "të paktën 2, të paktën 4, etj.", atëherë duhet të kuptoni se çfarë është më e lehtë për t'u numëruar.
3. Ne i kthehemi problemit tonë dhe gjejmë probabilitetin e ngjarjes $\bar(A)$ duke përdorur përkufizimin klasik të probabilitetit.
Numri total i rezultateve (mënyrat për të zgjedhur çdo 6 letra nga 36) është $n=C_(36)^6$ (kalkulator).
Le të gjejmë numrin e rezultateve të favorshme për ngjarjen. $m_0 = C_(27)^6$ - numri i mënyrave për të zgjedhur të 6 letrat e një kostumi jo-pik (ka 36-9=27 prej tyre në kuvertë), $m_1 = C_(9)^1 \cdot C_(27)^5$ - mënyra me numra për të zgjedhur 1 kartë të kostumit me lopatë (nga 9) dhe 5 kostume të tjera (nga 27).
$$ P(\bar(A))=\frac(m_0+m_1)(n)=\frac(C_(27)^6+C_(9)^1\cdot C_(27)^5 )(C_( 36)^6) =\frac(85215)(162316)= 0,525. $$
4. Atëherë probabiliteti i dëshiruar:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- 0,525 = 0,475. $$
Përgjigje: 0.475.
Shembulli 3. Në urnë ka 2 topa të bardhë, 3 të zinj dhe 5 të kuq. Tre topa janë tërhequr në mënyrë të rastësishme. Gjeni probabilitetin që midis topave të tërhequr të jenë të paktën dy ngjyra të ndryshme.
1. Regjistrojmë ngjarjen $A$ =(Ndër 3 topa të tërhequr të paktën dy ngjyra të ndryshme). Kjo është, për shembull, "2 topa të kuq dhe 1 të bardhë", ose "1 i bardhë, 1 i zi, 1 i kuq", ose "2 i zi, 1 i kuq" dhe kështu me radhë, ka shumë opsione. Le të provojmë rregullin e kalimit në ngjarjen e kundërt.
2. Më pas, ngjarja e kundërt formulohet si më poshtë: $\bar(A)$ = (Të tre topat janë të njëjtën ngjyrë) = (Zgjodhen 3 topa të zinj ose 3 topa të kuq) - ka vetëm 2 opsione, që do të thotë se kjo metodë e Zgjidhja thjeshton llogaritjet. Nga rruga, të gjitha topat të bardhë nuk mund të zgjidhet, pasi janë vetëm 2 prej tyre dhe janë tërhequr 3 topa.
3. Numri total i rezultateve (mënyrat për të zgjedhur 3 topa nga 2+3+5=10 topa) është $n=C_(10)^3=120$.
Le të gjejmë numrin e rezultateve të favorshme për ngjarjen. $m = C_(3)^3+C_(5)^3=1+10=11$ - numri i mënyrave për të zgjedhur ose 3 topa të zinj (nga 3) ose 3 topa të kuq (nga 5).
$$ P(\bar(A))=\frac(m)(n)=\frac(11)(120). $$
4. Probabiliteti i kërkuar:
$$ P(A)=1-P(\bar(A))=1- \frac(11)(120)=\frac(109)(120) = 0,908. $$
Përgjigje: 0.908.
Një rast i veçantë. Ngjarjet e pavarura
Le të shkojmë më tej dhe të vijmë te një klasë problemesh ku disa ngjarje të pavarura(shigjetat godasin, llambat digjen, makinat nisin, punëtorët sëmuren me probabilitet të ndryshëm, etj.) dhe ju duhet "gjeni probabilitetin që të paktën një ngjarje të ndodhë". Në variacione, kjo mund të tingëllojë si kjo: "gjeni probabilitetin që të paktën një nga tre gjuajtës të godasë objektivin", "gjeni probabilitetin që të paktën një nga dy autobusë të arrijë në stacion në kohë", "gjeni probabiliteti që të paktën një element në një pajisje të përbërë nga katër elementë të dështojë brenda një viti, etj.
Nëse në shembujt e mësipërm po flisnim për përdorimin e formulës klasike të probabilitetit, këtu vijmë te algjebra e ngjarjeve, përdorim formulat për mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve (një teori e vogël).
Pra, merren parasysh disa ngjarje të pavarura $A_1, A_2,...,A_n$, probabilitetet e secilës ndodhi janë të njohura dhe të barabarta me $P(A_i)=p_i$ ($q_i=1-p_i$). Pastaj probabiliteti që të paktën një nga ngjarjet të ndodhë si rezultat i eksperimentit llogaritet me formulë
$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. \katër(1) $$
Në mënyrë rigoroze, kjo formulë fitohet edhe duke zbatuar teknikën bazë "shkoni në ngjarjen e kundërt". Në të vërtetë, le të ndodhë $A$=(të paktën një ngjarje nga $A_1, A_2,...,A_n$ do të ndodhë), atëherë $\bar(A)$ = (Asnjë nga ngjarjet nuk do të ndodhë), që do të thotë:
$$ P(\bar(A))=P(\bar(A_1) \cdot \bar(A_2) \cdot ... \bar(A_n))=P(\bar(A_1)) \cdot P(\ shirit (A_2)) \cdot ... P(\bar(A_n))=\\ =(1-P(A_1)) \cdot (1-P(A_2)) \cdot ... (1-P( A_n))=\\ =(1-p_1) \cdot (1-p_2) \cdot ... (1-p_n)=q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n,\\ $$ nga ku ne merrni formulën tonë $$ P(A)=1-P(\bar(A))=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n. $$
Shembulli 4. Njësia përmban dy pjesë që funksionojnë në mënyrë të pavarur. Probabiliteti i dështimit të pjesëve është përkatësisht 0.05 dhe 0.08. Gjeni probabilitetin e dështimit të njësisë nëse mjafton që të paktën një pjesë të dështojë.
Ngjarja $A$ =(Nyja ka dështuar) = (Të paktën një nga dy pjesët ka dështuar). Le të prezantojmë ngjarje të pavarura: $A_1$ = (Pjesa e parë dështoi) dhe $A_2$ = (Pjesa e dytë dështoi). Sipas kushtit $p_1=P(A_1)=0,05$, $p_2=P(A_2)=0,08$, pastaj $q_1=1-p_1=0,95$, $q_2=1-p_2=0, $92. Le të zbatojmë formulën (1) dhe të marrim:
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2 = 1-0,95\cdot 0,92=0,126. $$
Përgjigje: 0,126.
Shembulli 5. Studenti kërkon formulën që i nevojitet në tre libra referencë. Probabiliteti që formula të përmbahet në drejtorinë e parë është 0.8, në të dytën - 0.7, në të tretën - 0.6. Gjeni probabilitetin që formula të përfshihet në të paktën një libër referimi.
Ne vazhdojmë në të njëjtën mënyrë. Konsideroni ngjarjen kryesore
$A$ =(Formula gjendet në të paktën një libër referimi). Le të prezantojmë ngjarje të pavarura:
$A_1$ = (Formula është në librin e parë të referencës),
$A_2$ = (Formula është në librin e dytë të referencës),
$A_3$ = (Formula është në librin e tretë të referencës).
Sipas kushtit $p_1=P(A_1)=0,8$, $p_2=P(A_2)=0,7$, $p_3=P(A_3)=0,6$, pastaj $q_1=1-p_1=0 ,2$, $q_2 =1-p_2=0,3$, $q_3=1-p_3=0,4$. Le të zbatojmë formulën (1) dhe të marrim:
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 = 1-0,2\cdot 0,3\cdot 0,4=0,976. $$
Përgjigje: 0,976.
Shembulli 6. Një punëtor mban 4 makina që funksionojnë të pavarur nga njëra-tjetra. Probabiliteti që gjatë një ndërrimi makina e parë të kërkojë vëmendjen e një punonjësi është 0,3, e dyta - 0,6, e treta - 0,4 dhe e katërta - 0,25. Gjeni probabilitetin që gjatë një ndërrimi të paktën një makinë të mos kërkojë vëmendjen e një punonjësi.
Unë mendoj se ju e keni kuptuar tashmë parimin e zgjidhjes, pyetja e vetme është numri i ngjarjeve, por kjo nuk ndikon në kompleksitetin e zgjidhjes (ndryshe nga detyrat e përbashkëta mbi mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve). Vetëm ki kujdes, probabilitetet tregohen për "do të kërkojnë vëmendje", por pyetja e problemit është "të paktën një makinë NUK do të kërkojë vëmendje". Duhet të futni ngjarje të njëjta me ato kryesore (në këtë rast, me NOT) për t'i përdorur formulë e përgjithshme (1).
Ne marrim:
$A$ = (Gjatë ndërrimit të paktën një makinë NUK do të kërkojë vëmendjen e një mbikëqyrësi),
$A_i$ = (makina $i$-të NUK do të kërkojë vëmendjen e masterit), $i=1,2,3,4$,
$p_1 = 0,7$, $p_2 = 0,4$, $p_3 = 0,6$, $p_4 = 0,75$.
Probabiliteti i kërkuar:
$$ P(A)=1-q_1\cdot q_2\cdot q_3 \cdot q_4= 1-(1-0,7)\cdot (1-0,4)\cdot (1-0,6)\cdot ( 1-0,75)=0,982 . $$
Përgjigje: 0,982. Pothuajse me siguri mjeshtri do të pushojë për të gjithë turnin;)
Një rast i veçantë. Teste të përsëritura
Pra, ne kemi $n$ ngjarje të pavarura (ose përsëritje të ndonjë përvoje) dhe probabilitetet e ndodhjes së këtyre ngjarjeve (ose ndodhjen e një ngjarjeje në secilin prej eksperimenteve) tani janë të njëjta dhe janë të barabarta me $p$. Pastaj formula (1) thjeshtohet në formën:
$$ P=1-q_1\cdot q_2 \cdot ...\cdot q_n = 1-q^n. $$
Në fakt, ne po ngushtohemi në një klasë problemesh të quajtura "të përsëritura teste të pavarura"ose "Skema Bernoulli", kur kryhen eksperimente $n$, probabiliteti që një ngjarje të ndodhë në secilën prej tyre është e barabartë me $p$. Ne duhet të gjejmë probabilitetin që ngjarja të ndodhë të paktën një herë nga $ n$ përsëritje:
$$ P=1-q^n. \katër(2) $$
Mund të lexoni më shumë rreth skemës së Bernoulli në librin shkollor në internet, si dhe të shikoni artikujt e kalkulatorit për zgjidhjen e nënllojeve të ndryshme të problemeve (rreth goditjeve, biletave të lotarisë, etj.). Më poshtë, do të diskutohen vetëm problemet me "të paktën një".
Shembulli 7. Le të jetë e barabartë me 0.9 probabiliteti që televizori të mos kërkojë riparime gjatë periudhës së garancisë. Gjeni probabilitetin që gjatë periudhës së garancisë të paktën një nga 3 televizorët të mos kërkojë riparim.
Me pak fjalë, nuk e keni parë ende zgjidhjen.
Thjesht shkruajmë nga kushti: $n=3$, $p=0.9$, $q=1-p=0.1$.
Pastaj probabiliteti që gjatë periudhës së garancisë të paktën një nga 3 TV të mos kërkojë riparim, sipas formulës (2):
$$ P=1-0,1^3=1-0,001=0,999 $$
Përgjigje: 0,999.
Shembulli 8. Janë 5 të shtëna të pavarura në një objektiv të caktuar. Probabiliteti i një goditjeje me një goditje është 0.8. Gjeni probabilitetin që do të ketë të paktën një goditje.
Përsëri, ne fillojmë duke zyrtarizuar problemin, duke shkruar sasitë e njohura. $n=5$ gjuajtje, $p=0.8$ - probabiliteti i goditjes me një goditje, $q=1-p=0.2$.
Dhe atëherë probabiliteti që do të ketë të paktën një goditje nga pesë të shtëna është e barabartë me: $$ P=1-0.2^5=1-0.00032=0.99968 $$
Përgjigje: 0,99968.
Unë mendoj se duke përdorur formulën (2) gjithçka është më se e qartë (mos harroni të lexoni për probleme të tjera të zgjidhura në kuadrin e skemës së Bernoulli, lidhjet ishin më lart). Dhe më poshtë do të jap pak më shumë detyrë e vështirë. Probleme të tilla ndodhin më rrallë, por duhet mësuar edhe mënyra e zgjidhjes së tyre. Shkoni!
Shembulli 9. Kryhen N eksperimente të pavarura, në secilën prej të cilave shfaqet ndonjë ngjarje A me probabilitet 0,7. Sa eksperimente duhen bërë për të garantuar të paktën një ndodhje të ngjarjes A me probabilitet 0,95?
Ne kemi një skemë Bernoulli, $n$ është numri i eksperimenteve, $p=0.7$ është probabiliteti i ndodhjes së ngjarjes A.
Atëherë probabiliteti që të paktën një ngjarje A të ndodhë në eksperimentet $n$ është e barabartë me formulën (2): $$ P=1-q^n=1-(1-0.7)^n=1-0, 3^ n $$ Sipas kushtit, kjo probabilitet duhet të jetë jo më pak se 0.95, prandaj:
$$ 1-0,3^n \ge 0,95,\\ 0,3^n \le 0,05, \\ n \ge \log_(0,3) 0,05 = 2,49. $$
Duke përmbledhur, marrim se ju duhet të kryeni të paktën 3 eksperimente.
Përgjigje: Ju duhet të bëni të paktën 3 eksperimente.
Nevoja për të vepruar sipas probabiliteteve ndodh kur dihen probabilitetet e disa ngjarjeve dhe është e nevojshme të llogariten probabilitetet e ngjarjeve të tjera që lidhen me këto ngjarje.
Mbledhja e probabiliteteve përdoret kur duhet të llogaritni probabilitetin e një kombinimi ose shumën logjike të ngjarjeve të rastësishme.
Shuma e ngjarjeve A Dhe B tregojnë A + B ose A ∪ B. Shuma e dy ngjarjeve është një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ndodh të paktën një nga ngjarjet. Do të thotë se A + B- një ngjarje që ndodh nëse dhe vetëm nëse ngjarja ka ndodhur gjatë vëzhgimit A ose ngjarje B, ose njëkohësisht A Dhe B.
Nëse ngjarjet A Dhe B janë reciprokisht jokonsistente dhe jepen probabilitetet e tyre, atëherë probabiliteti që një nga këto ngjarje të ndodhë si rezultat i një prove llogaritet duke përdorur shtimin e probabiliteteve.
Teorema e shtimit të probabilitetit. Probabiliteti që një nga dy gjërat të ndodhë është reciprokisht ekskluzive ngjarje të përbashkëta, është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve:
Për shembull, gjatë gjuetisë, bëhen dy të shtëna. Ngjarje A– goditja e rosës me goditjen e parë, ngjarje NË– goditja nga gjuajtja e dytë, ngjarje ( A+ NË) – një goditje nga gjuajtja e parë ose e dytë ose nga dy të shtëna. Pra, nëse dy ngjarje A Dhe NË – ngjarje të papajtueshme, Kjo A+ NË– ndodhja e të paktën një prej këtyre ngjarjeve ose dy ngjarjeve.
Shembulli 1. Ka 30 topa në një kuti të njëjtat madhësi: 10 të kuqe, 5 blu dhe 15 të bardha. Llogaritni probabilitetin që një top me ngjyrë (jo i bardhë) të merret pa shikuar.
Zgjidhje. Le të supozojmë se ngjarja A- “Topi i kuq merret”, dhe ngjarja NË- "Topi blu u mor". Pastaj ngjarja është "merret një top me ngjyrë (jo i bardhë). Le të gjejmë probabilitetin e ngjarjes A:
dhe ngjarjet NË:
Ngjarjet A Dhe NË– e papajtueshme reciprokisht, pasi nëse merret një top, atëherë është e pamundur të merren topa me ngjyra të ndryshme. Prandaj, ne përdorim shtimin e probabiliteteve:
Teorema për shtimin e probabiliteteve për disa ngjarje të papajtueshme. Nëse ngjarjet përbëjnë një grup të plotë ngjarjesh, atëherë shuma e probabiliteteve të tyre është e barabartë me 1:
Shuma e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta është gjithashtu e barabartë me 1:
Ngjarjet e kundërta formojnë një grup të plotë ngjarjesh, dhe probabiliteti i një grupi të plotë ngjarjesh është 1.
Probabilitetet e ngjarjeve të kundërta zakonisht tregohen me shkronja të vogla fq Dhe q. Veçanërisht,
çfarë vijon formulat e mëposhtme probabilitetet e ngjarjeve të kundërta:
Shembulli 2. Objektivi në poligonin e qitjes është i ndarë në 3 zona. Probabiliteti që një gjuajtës i caktuar të gjuajë në objektiv në zonën e parë është 0.15, në zonën e dytë - 0.23, në zonën e tretë - 0.17. Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin dhe probabilitetin që ai të humbasë objektivin.
Zgjidhja: Gjeni probabilitetin që gjuajtësi të godasë objektivin:
Le të gjejmë probabilitetin që gjuajtësi të humbasë objektivin:
Problemet më komplekse, në të cilat duhet të përdorni si mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, mund të gjenden në faqen "Probleme të ndryshme që përfshijnë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".
Mbledhja e probabiliteteve të ngjarjeve reciproke të njëkohshme
Dy ngjarje të rastësishme quhen të përbashkëta nëse ndodhja e një ngjarjeje nuk përjashton ndodhjen e një ngjarjeje të dytë në të njëjtin vëzhgim. Për shembull, kur hedh zare ngjarje A Numri 4 konsiderohet të dalë, dhe ngjarja NË- braktisja numër çift. Meqenëse 4 është një numër çift, të dy ngjarjet janë të pajtueshme. Në praktikë, ka probleme të llogaritjes së probabiliteteve të ndodhjes së një prej ngjarjeve reciproke të njëkohshme.
Teorema e shtimit të probabilitetit për ngjarje të përbashkëta. Probabiliteti që të ndodhë një nga ngjarjet e përbashkëta është e barabartë me shumën e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve, nga e cila zbritet probabiliteti ofensivë e përgjithshme të dyja ngjarjet, pra produkt i probabiliteteve. Formula për probabilitetet e ngjarjeve të përbashkëta ka formën e mëposhtme:
Që nga ngjarjet A Dhe NË i përputhshëm, ngjarje A+ NË ndodh nëse ndodh një nga tre ngjarjet e mundshme: ose AB. Sipas teoremës së mbledhjes së ngjarjeve të papajtueshme, ne llogarisim si më poshtë:
Ngjarje A do të ndodhë nëse ndodh një nga dy ngjarjet e papajtueshme: ose AB. Sidoqoftë, probabiliteti i ndodhjes së një ngjarjeje nga disa ngjarje të papajtueshme është e barabartë me shumën e probabiliteteve të të gjitha këtyre ngjarjeve:
Po kështu:
Duke zëvendësuar shprehjet (6) dhe (7) në shprehjen (5), marrim formulën e probabilitetit për ngjarjet e përbashkëta:
Gjatë përdorimit të formulës (8), duhet pasur parasysh se ngjarjet A Dhe NË mund te jete:
- të pavarur reciprokisht;
- të varur reciprokisht.
Formula e probabilitetit për ngjarje të pavarura reciprokisht:
Formula e probabilitetit për ngjarjet e varura reciprokisht:
Nëse ngjarjet A Dhe NË janë të paqëndrueshme, atëherë rastësia e tyre është një rast i pamundur dhe, kështu, P(AB) = 0. Formula e katërt e probabilitetit për ngjarjet e papajtueshme është:
Shembulli 3. Në garat me automobila, kur drejtoni makinën e parë, keni një shans më të mirë për të fituar, dhe kur drejtoni makinën e dytë. Gjej:
- probabiliteti që të dyja makinat të fitojnë;
- probabiliteti që të paktën një makinë të fitojë;
1) Probabiliteti që makina e parë të fitojë nuk varet nga rezultati i makinës së dytë, kështu që ngjarjet A(makina e parë fiton) dhe NË(makina e dytë do të fitojë) - ngjarje të pavarura. Le të gjejmë probabilitetin që të dyja makinat të fitojnë:
2) Gjeni probabilitetin që një nga dy makinat të fitojë:
Problemet më komplekse, në të cilat duhet të përdorni si mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, mund të gjenden në faqen "Probleme të ndryshme që përfshijnë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".
Zgjidheni vetë problemin e shtimit të probabiliteteve dhe më pas shikoni zgjidhjen
Shembulli 4. Hidhen dy monedha. Ngjarje A- humbja e stemës në monedhën e parë. Ngjarje B- humbja e stemës në monedhën e dytë. Gjeni probabilitetin e një ngjarjeje C = A + B .
Shumëzimi i probabiliteteve
Shumëzimi i probabilitetit përdoret kur duhet të llogaritet probabiliteti i një produkti logjik të ngjarjeve.
Ku ngjarje të rastësishme duhet të jetë i pavarur. Dy ngjarje quhen reciprokisht të pavarura nëse ndodhja e njërës ngjarje nuk ndikon në probabilitetin e ndodhjes së ngjarjes së dytë.
Teorema e shumëzimit të probabilitetit për ngjarje të pavarura. Probabiliteti i ndodhjes së njëkohshme të dy ngjarjeve të pavarura A Dhe NËështë e barabartë me produktin e probabiliteteve të këtyre ngjarjeve dhe llogaritet me formulën:
Shembulli 5. Monedha hidhet tri herë radhazi. Gjeni probabilitetin që stema të shfaqet të tria herë.
Zgjidhje. Probabiliteti që stema të shfaqet në hedhjen e parë të monedhës, herën e dytë dhe herën e tretë. Le të gjejmë probabilitetin që stema të shfaqet të tre herë:
Zgjidhini vetë problemet e shumëzimit të probabilitetit dhe më pas shikoni zgjidhjen
Shembulli 6. Ka një kuti me nëntë topa të rinj tenisi. Për të luajtur, merren tre topa dhe pas lojës ata vendosen përsëri. Kur zgjidhni topa, topat e luajtur nuk dallohen nga topat e paluajtur. Sa është probabiliteti që pas tre ndeshje A ka mbetur ndonjë top i paluajtur në kuti?
Shembulli 7. 32 shkronja të alfabetit rus janë shkruar në kartat e prera të alfabetit. Pesë letra tërhiqen në mënyrë të rastësishme njëra pas tjetrës dhe vendosen në tryezë sipas renditjes së paraqitjes. Gjeni probabilitetin që shkronjat të formojnë fjalën "fund".
Shembulli 8. Nga një kuvertë e plotë letrash (52 fletë), nxirren katër letra menjëherë. Gjeni probabilitetin që të katër këto letra të jenë me kostume të ndryshme.
Shembulli 9. E njëjta detyrë si në shembullin 8, por çdo kartë pasi hiqet kthehet në kuvertë.
Problemet më komplekse, në të cilat duhet të përdorni si mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve, si dhe llogaritjen e produktit të disa ngjarjeve, mund të gjenden në faqen "Probleme të ndryshme që përfshijnë mbledhjen dhe shumëzimin e probabiliteteve".
Probabiliteti që do të ndodhë të paktën një nga ngjarjet reciprokisht të pavarura mund të llogaritet duke zbritur nga 1 produktin e probabiliteteve të ngjarjeve të kundërta, domethënë duke përdorur formulën:
Shembulli 10. Transporti i ngarkesave kryhet me tre mënyra transporti: transport lumor, hekurudhor dhe rrugor. Probabiliteti që ngarkesa të dorëzohet transporti lumor, është 0.82, me hekurudhë 0,87, me automobil 0,90. Gjeni probabilitetin që ngarkesa të dorëzohet nga të paktën një prej tyre tre lloje transporti.
Është e qartë se çdo ngjarje ka një shkallë të ndryshme të mundësisë së ndodhjes së saj (zbatimit të saj). Për të krahasuar në mënyrë sasiore ngjarjet me njëra-tjetrën sipas shkallës së mundësisë së tyre, padyshim, është e nevojshme të lidhen me secilën ngjarje numër të caktuar, e cila është më e madhe sa më e mundur të jetë ngjarja. Ky numër quhet probabiliteti i një ngjarjeje.
Probabiliteti i ngjarjes– është një masë numerike e shkallës mundësi objektive ndodhjen e kësaj ngjarje.
Konsideroni një eksperiment stokastik dhe një ngjarje të rastësishme A të vëzhguara në këtë eksperiment. Le ta përsërisim këtë eksperiment n herë dhe le të jetë m(A) numri i eksperimenteve në të cilat ndodhi ngjarja A.
Lidhja (1.1)
thirrur frekuencë relative ngjarjet A në serinë e eksperimenteve të kryera.
Është e lehtë të verifikohet vlefshmëria e vetive:
nëse A dhe B janë jokonsistente (AB= ), atëherë ν(A+B) = ν(A) + ν(B) (1.2)
Frekuenca relative përcaktohet vetëm pas një sërë eksperimentesh dhe, në përgjithësi, mund të ndryshojë nga seria në seri. Megjithatë, përvoja tregon se në shumë raste, me rritjen e numrit të eksperimenteve, frekuenca relative i afrohet një numri të caktuar. Ky fakt i stabilitetit relativ të frekuencës është verifikuar në mënyrë të përsëritur dhe mund të konsiderohet i vërtetuar eksperimentalisht.
Shembulli 1.19.. Nëse hedh një monedhë, askush nuk mund të parashikojë se në cilën anë do të zbresë në krye. Por nëse hidhni dy ton monedha, atëherë të gjithë do të thonë se rreth një ton do të bjerë me stemën, domethënë, frekuenca relative e rënies së stemës është afërsisht 0.5.
Nëse, me një rritje të numrit të eksperimenteve, frekuenca relative e ngjarjes ν(A) tenton në një numër të caktuar fiks, atëherë thuhet se ngjarja A është statistikisht e qëndrueshme, dhe ky numër quhet probabiliteti i ngjarjes A.
Probabiliteti i ngjarjes A thirret një numër fiks P(A), tek i cili priret frekuenca relative ν(A) e kësaj ngjarjeje me rritjen e numrit të eksperimenteve, d.m.th. 
Ky përkufizim quhet përkufizim statistikor probabilitetet .
Le të shqyrtojmë një eksperiment të caktuar stokastik dhe të lëmë hapësirën e tij ngjarje elementare përbëhet nga një grup i fundëm ose i pafundëm (por i numërueshëm) i ngjarjeve elementare ω 1, ω 2, …, ω i, …. Le të supozojmë se çdo ngjarje elementare ω i i është caktuar një numër i caktuar - р i , duke karakterizuar shkallën e mundësisë së ndodhjes së një ngjarje të caktuar elementare dhe të kënaqshme vetitë e mëposhtme:
Ky numër p i quhet probabiliteti i një ngjarjeje elementareωi.
Le të jetë tani A një ngjarje e rastësishme e vëzhguar në këtë eksperiment dhe le të korrespondojë me një grup të caktuar
Në këtë mjedis probabiliteti i një ngjarjeje A quaj shumën e probabiliteteve të ngjarjeve elementare që favorizojnë A(përfshirë në grupin përkatës A):
(1.4)
Probabiliteti i paraqitur në këtë mënyrë ka të njëjtat veti si frekuenca relative, përkatësisht:
Dhe nëse AB = (A dhe B janë të papajtueshme),
atëherë P(A+B) = P(A) + P(B)
Në të vërtetë, sipas (1.4)
Në relacionin e fundit ne përfituam nga fakti se asnjë ngjarje e vetme elementare nuk mund të favorizojë dy ngjarje të papajtueshme në të njëjtën kohë.
Vërejmë veçanërisht se teoria e probabilitetit nuk tregon metoda për përcaktimin e p i ato duhet të kërkohen për arsye praktike ose të merren nga një eksperiment statistikor përkatës.
Si shembull, merrni parasysh skema klasike teoria e probabilitetit. Për ta bërë këtë, merrni parasysh një eksperiment stokastik, hapësira e ngjarjeve elementare të të cilit përbëhet nga një numër i kufizuar (n) elementësh. Le të supozojmë gjithashtu se të gjitha këto ngjarje elementare janë njësoj të mundshme, domethënë, probabilitetet e ngjarjeve elementare janë të barabarta me p(ω i)=p i =p. Nga kjo rrjedh se
Shembulli 1.20. Kur hedhni një monedhë simetrike, marrja e kokave dhe bishtave është po aq e mundshme, probabiliteti i tyre është i barabartë me 0.5.
Shembulli 1.21. Kur hedhni një kërpudhë simetrike, të gjitha fytyrat janë njësoj të mundshme, probabilitetet e tyre janë të barabarta me 1/6.
Tani le të favorizohet ngjarja A nga m ngjarje elementare, ato zakonisht quhen rezultate të favorshme për ngjarjen A. Pastaj
Mora përkufizimi klasik i probabilitetit: probabiliteti P(A) i ngjarjes A është i barabartë me raportin e numrit të rezultateve të favorshme për ngjarjen A me numrin total të rezultateve
Shembulli 1.22. Urna përmban m topa të bardhë dhe n topa të zinj. Sa është probabiliteti për ta nxjerrë atë? top i bardhë?
Zgjidhje. Numri i përgjithshëm i ngjarjeve elementare është m+n. Ata janë të gjithë njëlloj të mundshëm. Ngjarja e favorshme A nga e cila m. Prandaj, 
.
Karakteristikat e mëposhtme rrjedhin nga përkufizimi i probabilitetit:
Prona 1. Probabiliteti ngjarje e besueshme e barabartë me një.
Në të vërtetë, nëse ngjarja është e besueshme, atëherë çdo rezultat elementar i testit favorizon ngjarjen. Në këtë rast t=p, prandaj,
P(A)=m/n=n/n=1.(1.6)
Prona 2. Probabiliteti i një ngjarje të pamundur është zero.
Në të vërtetë, nëse një ngjarje është e pamundur, atëherë asnjë nga rezultatet elementare të testit nuk e favorizon ngjarjen. Në këtë rast T= 0, pra, P(A)=m/n=0/n=0. (1.7)
Prona 3.Ekziston një probabilitet i një ngjarjeje të rastësishme numër pozitiv, i mbyllur midis zeros dhe njës.
Në të vërtetë, një ngjarje e rastësishme favorizohet vetëm nga disa prej tyre numri i përgjithshëm rezultatet elementare të testit. Kjo do të thotë, 0≤m≤n, që do të thotë 0≤m/n≤1, prandaj, probabiliteti i çdo ngjarjeje plotëson pabarazinë e dyfishtë 0≤ P(A) ≤1. (1.8)
Duke krahasuar përkufizimet e probabilitetit (1.5) dhe frekuencës relative (1.1), arrijmë në përfundimin: përkufizimi i probabilitetit nuk kërkon kryerjen e testeve në fakt; përkufizimi i frekuencës relative supozon se në fakt janë kryer teste. Me fjale te tjera, probabiliteti llogaritet para eksperimentit, dhe frekuenca relative - pas eksperimentit.
Megjithatë, llogaritja e probabilitetit kërkon të kesh informacion paraprak për numrin ose probabilitetet e favorshme këtë ngjarje rezultatet elementare. Në mungesë të një informacioni të tillë paraprak, të dhënat empirike përdoren për të përcaktuar probabilitetin, domethënë, frekuenca relative e ngjarjes përcaktohet bazuar në rezultatet e një eksperimenti stokastik.
Shembulli 1.23. Departamenti i kontrollit teknik zbuluar 3 pjesë jo standarde në një grumbull prej 80 pjesësh të zgjedhura rastësisht. Frekuenca relative e shfaqjes së pjesëve jo standarde r(A)= 3/80.
Shembulli 1.24. Sipas qëllimit.prodhuar 24 qëlluan dhe u regjistruan 19 goditje. Shkalla relative e goditjes së objektivit. r(A)=19/24.
Vëzhgimet afatgjata kanë treguar se nëse eksperimentet kryhen në kushte identike, në secilën prej të cilave numri i testeve është mjaft i madh, atëherë frekuenca relative shfaq vetinë e stabilitetit. Kjo pronë është çfarë në përvoja të ndryshme frekuenca relative ndryshon pak (sa më pak, aq më shumë kryhen teste), duke u luhatur rreth një numri të caktuar konstant. Doli se kjo numër konstant mund të merret si një vlerë e përafërt probabiliteti.
Marrëdhënia midis frekuencës relative dhe probabilitetit do të përshkruhet më në detaje dhe më saktë më poshtë. Tani le të ilustrojmë vetinë e stabilitetit me shembuj.
Shembulli 1.25. Sipas statistikave suedeze, frekuenca relative e lindjeve të vajzave për vitin 1935 sipas muajve karakterizohet nga numrat e mëposhtëm (numrat janë renditur sipas muajve, duke filluar nga janar): 0,486; 0,489; 0,490; 0.471; 0,478; 0,482; 0.462; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473
Frekuenca relative luhatet rreth numrit 0.481, i cili mund të merret si vlerë e përafërt probabiliteti për të pasur vajza.
Vini re se të dhënat statistikore nga vende të ndryshme japin afërsisht të njëjtën vlerë të frekuencës relative.
Shembulli 1.26. Shumë herë u kryen eksperimente të hedhjes së monedhave, në të cilat numërohej numri i paraqitjeve të "stemës". Rezultatet e disa eksperimenteve janë paraqitur në tabelë.
