Si të vërtetoni se një grup është i mbyllur. Komplete të mbyllura dhe të hapura

Një nga detyrat kryesore të teorisë së grupeve të pikave është studimi i vetive lloje të ndryshme grupe pikash. Le të njihemi me këtë teori duke përdorur dy shembuj dhe të studiojmë vetitë e të ashtuquajturave grupe të mbyllura dhe të hapura.

Një grup quhet i mbyllur nëse përmban të gjitha pikat e tij kufitare. Nëse një grup nuk ka një pikë të vetme kufiri, atëherë ai gjithashtu konsiderohet i mbyllur. Përveç pikave të tij kufitare, një grup i mbyllur mund të përmbajë edhe pika të izoluara. Një grup quhet i hapur nëse secila nga pikat e tij është e brendshme e tij.

Le të japim shembuj të grupeve të mbyllura dhe të hapura. Çdo segment  është një grup i mbyllur dhe çdo interval $(a,b)$ është një grup i hapur. Gjysmë intervale të papërshtatshme $(-\infty,b]$ dhe  , që nuk përmbajnë pika të grupit $F$ , dhe ose $a=-\infty$ ose $a\in F$ Tani është e qartë se intervali $(a,b)$ përmban pikën $x$ dhe është një interval fqinj i grupit $F$ Është e lehtë të shihet se nëse $. (a_1,b_1)$ dhe $ (a_2,b_2)$ janë dy intervale ngjitur të grupit $F$, atëherë këto intervale ose përkojnë ose nuk kryqëzohen.

Nga e mëparshmja rrjedh se çdo grup i mbyllur në një linjë fitohet duke hequr një numër të caktuar intervalesh nga rreshti, përkatësisht intervalet ngjitur të grupit $F$ . Meqenëse çdo interval përmban të paktën një pikë racionale dhe ekziston një grup i numërueshëm i të gjitha pikave racionale në një vijë, është e lehtë të verifikohet se numri i të gjitha intervaleve ngjitur është maksimumi i numërueshëm. Nga këtu marrim përfundimin përfundimtar. Çdo grup i mbyllur në një vijë fitohet duke hequr nga rreshti maksimumi një grup të numërueshëm intervalesh të shkëputura.

Në bazë të propozimit 4, rrjedh menjëherë se çdo grup i hapur në një vijë nuk është gjë tjetër veçse një shumë e numërueshme e intervaleve të shkëputura. Në bazë të propozimeve 1 dhe 2, është gjithashtu e qartë se çdo grup i rregulluar siç tregohet më sipër është me të vërtetë i mbyllur (i hapur).

Siç mund të shihet nga shembulli i mëposhtëm, grupet e mbyllura mund të kenë një strukturë shumë komplekse.

Set perfekt Cantor

Le të ndërtojmë një grup të veçantë të mbyllur me serinë veti të jashtëzakonshme. Para së gjithash, le të heqim intervalet e papërshtatshme $(-\infty,0)$ dhe $(1,+\infty)$ nga rreshti. Pas këtij operacioni do të na mbetet segmenti  . Më pas, hiqni intervalin nga ky segment $\majtas(\frac(1)(3),\frac(2)(3)\djathtas)$, duke përbërë të tretën e mesme të saj. Nga secili prej dy segmenteve të mbetura $\majtas$ Dhe $\majtas[\frac(2)(3),1\djathtas]$ Le të heqim të tretën e saj të mesme. Ne do të vazhdojmë këtë proces të heqjes së të tretave të mesme nga segmentet e mbetura për një kohë të pacaktuar. Bashkësia e pikave në vijën e mbetur pas heqjes së të gjitha këtyre intervaleve quhet bashkësia e përsosur Cantor; do ta shënojmë me shkronjën $P$ .

Le të shqyrtojmë disa veti të këtij grupi. Kompleti $P$ është i mbyllur, pasi formohet duke hequr nga rreshti një grup të caktuar intervalesh të shkëputura. Kompleti $P$ nuk është bosh; në çdo rast, ai përmban skajet e të gjitha intervaleve të hedhura.

Quhet grupi i mbyllur $P$. perfekte, nëse nuk përmban pika të izoluara, pra nëse secila nga pikat e saj është një pikë kufi. Le të tregojmë se grupi $P$ është i përsosur. Në të vërtetë, nëse do të ishte një pikë $x$. pikë e izoluar set $P$, atëherë do të shërbente si fundi i përbashkët i dy intervaleve ngjitur të këtij grupi. Por, sipas konstruksionit, intervalet ngjitur të grupit $P$ nuk kanë skaje të përbashkëta.

Seti $P$ nuk përmban një interval të vetëm. Në fakt, le të supozojmë se një interval $\delta$ i përket tërësisht grupit $P$ . Pastaj i përket tërësisht njërit prej segmenteve të përftuara në hapin $n$ -të të ndërtimit të grupit $P$ . Por kjo është e pamundur, pasi në $n\to\infty$ gjatësitë e këtyre segmenteve priren në zero.

Mund të tregohet se grupi $P$ ka kardinalitetin e një vazhdimësie. Në veçanti, rrjedh se grupi i përsosur Cantor përmban, përveç skajeve të intervaleve ngjitur, edhe pika të tjera. Në të vërtetë, skajet e intervaleve ngjitur formojnë vetëm një grup të numërueshëm.

Lloje të ndryshme grupesh pikash hasen vazhdimisht në degë të ndryshme të matematikës dhe njohja e vetive të tyre është absolutisht e nevojshme kur studiohen shumë problemet matematikore. Sidomos rëndësi të madhe ka teorinë e grupeve të pikave për analiza matematikore dhe topologji.

Le të japim disa shembuj të paraqitjes së grupeve të pikave në seksionet klasike të analizës. Le të jetë $f(x)$ një funksion i vazhdueshëm i përcaktuar në intervalin  . Le të rregullojmë numrin $\alfa$ dhe të shqyrtojmë grupin e atyre pikave $x$ për të cilat $f(x)\geqslant\alpha$ . Është e lehtë të tregohet se ky grup mund të jetë arbitrar komplet i mbyllur, i vendosur në segmentin  . Në të njëjtën mënyrë, bashkësia e pikave $x$ për të cilat $f(x)>\alpha$ mund të jetë çdo grup i hapur $G\nënbashkësi$ . Nëse $f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x),\ldots$ ka një sekuencë funksionet e vazhdueshme, e dhënë në segmentin , atëherë grupi i atyre pikave $x$ ku kjo sekuencë konvergjon nuk mund të jetë arbitrare, por i përket një lloji shumë specifik.

Disiplina matematikore që studion strukturën e bashkësive të pikave quhet teoria përshkruese e grupeve. I përkasin arritje shumë të mëdha në zhvillimin e teorisë përshkruese të grupeve Matematikanët sovjetikë- N. N. Luzin dhe studentët e tij P. S. Alexandrov, M. Ya Suslin, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrentiev, P. S. Novikov, L. V. Keldysh, A. A. Lyapunov etj.

Hulumtimet nga N. N. Luzin dhe studentët e tij treguan se ekziston një lidhje e thellë midis teorisë përshkruese të grupeve dhe logjika matematikore. Vështirësitë që lindin kur merren parasysh një sërë problemesh të teorisë përshkruese të grupeve (në veçanti, problemet e përcaktimit të kardinalitetit të grupeve të caktuara) janë vështirësi të një natyre logjike. Përkundrazi, metodat logjika matematikore na lejojnë të depërtojmë më thellë në disa çështje të teorisë përshkruese të grupeve.

Javascript është i çaktivizuar në shfletuesin tuaj.
Për të kryer llogaritjet, duhet të aktivizoni kontrollet ActiveX!

Komplete të hapura dhe të mbyllura

Shtojca 1 . Komplete të hapura dhe të mbyllura

Një tufë me M në vijë të drejtë quhet hapur, nëse secila nga pikat e saj përmbahet në këtë grup së bashku me një interval të caktuar. Mbyllurështë një grup që përmban të gjitha pikat e tij kufitare (d.m.th., i tillë që çdo interval që përmban këtë pikë e pret grupin të paktën në një pikë më shumë). Për shembull, një segment është një grup i mbyllur, por nuk është i hapur, dhe një interval, përkundrazi, është një grup i hapur, por nuk është i mbyllur. Ka grupe që nuk janë as të hapura as të mbyllura (për shembull, një gjysmë interval). Ka dy grupe që janë të mbyllura dhe të hapura - kjo është bosh dhe kaq Z(vërtetoni se nuk ka të tjerë). Është e lehtë të shihet se nëse M hapur, pastaj [` M] (ose Z \ M- shtesë në grup M para Z) eshte mbyllur. Në të vërtetë, nëse [` M] nuk është i mbyllur, atëherë nuk përmban asnjë pikë kufi të vetin m. Por pastaj m RRETH M, dhe çdo interval që përmban m, kryqëzohet me bashkësinë [` M], d.m.th. ka një pikë që nuk shtrihet M, dhe kjo bie ndesh me faktin se M– hapur. Po kështu, edhe drejtpërdrejt nga përkufizimi, vërtetohet se nëse Mështë e mbyllur, atëherë [` M] hap (kontrollo!).

Tani do të vërtetojmë teoremën e rëndësishme të mëposhtme.

Teorema. Çdo grup i hapur M mund të përfaqësohet si një bashkim i intervaleve me skajet racionale (d.m.th., me skajet në pikat racionale).

Dëshmi . Merrni parasysh bashkimin U të gjitha intervalet me skajet racionale që janë nënbashkësi të grupit tonë. Le të vërtetojmë se ky bashkim përkon me të gjithë grupin. Në të vërtetë, nëse m- një pikë nga M, atëherë ka një interval ( m 1 , m 2) M M që përmban m(kjo rrjedh nga fakti se M- hapur). Në çdo interval mund të gjeni një pikë racionale. lere ( m 1 , m) - Kjo m 3, në ( m, m 2) - kjo është m 4 . Pastaj tregoni m mbuluar nga sindikata U, domethënë, intervali ( m 3 , m 4). Kështu, ne kemi vërtetuar se çdo pikë m nga M mbuluar nga sindikata U. Për më tepër, siç del qartë nga ndërtimi U, asnjë pikë nuk përfshihet në M, jo i mbuluar U. Do të thotë, U Dhe M përputhen.

Një pasojë e rëndësishme e kësaj teoreme është fakti se çdo bashkësi e hapur është të numërueshme duke kombinuar intervale.

Askund grupe të dendura dhe grupe matëse zero. Set kantor>

Shtojca 2 . Askund grupe të dendura dhe grupe matëse zero. Set Cantor

Një tufë me A thirrur askund i dendur, nëse për ndonjë pikë të ndryshme a Dhe b ka një segment [ c, d] M [ a, b], që nuk kryqëzohet me A. Për shembull, grupi i pikave në sekuencë a n = [ 1/(n)] nuk është askund i dendur, por një grup numrat racionalë- Jo.

Teorema e Baire. Një segment nuk mund të përfaqësohet si një bashkim i numërueshëm i grupeve askund të dendura.

Dëshmi . Supozoni se ka një sekuencë A k askund vendosje të dendura të tilla që Dhe i A i = [a, b]. Le të ndërtojmë sekuencën e mëposhtme të segmenteve. Le I 1 – disa segmente të ngulitura në [ a, b] dhe nuk kryqëzohet me A 1 . Sipas përkufizimit, një grup askund i dendur në një interval I 1 ka një segment që nuk kryqëzohet me grupin A 2. Le ta thërrasim atë I 2. Më tej, në segment I 2, merrni në mënyrë të ngjashme segmentin I 3, nuk kryqëzohen me A 3, etj. Sekuenca I k ka segmente të mbivendosur pikë e përbashkët(kjo është një nga pronat kryesore numra realë). Nga ndërtimi, kjo pikë nuk qëndron në asnjë nga grupet A k, që do të thotë se këto grupe nuk mbulojnë të gjithë segmentin [ a, b].

Le ta quajmë grupin M me masë zero, nëse për ndonjë e pozitive ka një sekuencë I k intervale me gjatësi totale më të vogël se e, duke mbuluar M. Natyrisht, çdo grup i numërueshëm ka masën zero. Megjithatë, ka edhe grupe të panumërueshme që kanë masën zero. Le të ndërtojmë një, shumë të famshëm, të quajtur Cantor's.

Oriz. njëmbëdhjetë

Le të marrim një segment. Le ta ndajmë në tre pjesë të barabarta. Le të hedhim segmentin e mesëm (Fig. 11, A). Do të ketë dy segmente me gjatësi totale [2/3]. Ne do të kryejmë saktësisht të njëjtin operacion me secilën prej tyre (Fig. 11, b). Do të mbeten katër segmente me gjatësi totale [4/9] = ([ 2/3]) \ B 2 . Duke vazhduar kështu (Fig. 11, V–e) deri në pafundësi, marrim një grup që ka një masë më të vogël se çdo masë pozitive e paracaktuar, d.m.th., masë zero. Është e mundur të krijohet një korrespodencë një-për-një midis pikave të këtij grupi dhe sekuencave të pafundme të zerove dhe njësheve. Nëse gjatë "hedhjes" së parë pika jonë bie në segmentin e djathtë, ne do të vendosim 1 në fillim të sekuencës, nëse në të majtë - 0 (Fig. 11, A). Më pas, pas "hedhjes" së parë, marrim një kopje të vogël të segmentit të madh, me të cilin bëjmë të njëjtën gjë: nëse pika jonë pas hedhjes bie në segmentin e djathtë, vendosim 1, nëse është në të majtë. – 0, etj. (kontrolloni marrëdhënien një me një) , oriz. njëmbëdhjetë, b, V. Meqenëse grupi i sekuencave të zerove dhe njësheve ka vazhdimësi kardinaliteti, grupi Cantor ka gjithashtu vazhdimësi kardinaliteti. Për më tepër, është e lehtë të vërtetohet se nuk është e dendur askund. Megjithatë, nuk është e vërtetë që ka masën strikte zero (shih përkufizimin e masës strikte). Ideja për të vërtetuar këtë fakt është si më poshtë: merrni sekuencën a n, duke u prirë në zero shumë shpejt. Për shembull, sekuenca a n = [ 1/(2 2 n)]. Atëherë do të vërtetojmë se kjo sekuencë nuk mund të mbulojë grupin Cantor (bëjeni!).

Shtojca 3 . Detyrat

Vendosni operacionet

Komplete A Dhe B quhen të barabartë, nëse çdo element i grupit A i përket grupit B, dhe anasjelltas. Përcaktimi: A = B.

Një tufë me A thirrur nëngrup grupe B, nëse çdo element i grupit A i përket grupit B. Përcaktimi: A M B.

1. Për secilën nga dy grupet e mëposhtme, tregoni nëse njëra është nëngrupe e tjetrës:

{1}, {1,2}, {1,2,3}, {{1},2,3}, {{1,2},3}, {3,2,1}, {{2,1}}.

2. Vërtetoni se grupi A nëse dhe vetëm nëse është një nënbashkësi e grupit B, kur çdo element nuk i përket B, nuk i përkasin A.

3. Vërtetoni se për grupe arbitrare A, B Dhe C

A) A M A; b) nëse A M B Dhe B M C, Kjo A M C;

V) A = B, nese dhe vetem nese A M B Dhe B M A.

Kompleti quhet bosh, nëse nuk përmban asnjë element. Emërtimi: F.

4. Sa elementë ka secila nga grupet e mëposhtme:

F , (1), (1,2), (1,2,3), ((1),2,3), ((1,2),3), (F), ((2,1) )?

5. Sa nëngrupe ka një grup prej tre elementësh?

6. A mundet një grup të ketë saktësisht a) 0; b*) 7; c) 16 nënbashkësi?

Shoqata grupe A Dhe B x, Çfarë x RRETH A ose x RRETH B. Përcaktimi: A DHE B.

Duke kaluar grupe A Dhe B quhet një bashkësi e përbërë nga të tilla x, Çfarë x RRETH A Dhe x RRETH B. Përcaktimi: A Z B.

Nga dallimi grupe A Dhe B quhet një bashkësi e përbërë nga të tilla x, Çfarë x RRETH A Dhe x P B. Përcaktimi: A \ B.

7. Komplete të dhëna A = {1,3,7,137}, B = {3,7,23}, C = {0,1,3, 23}, D= (0,7,23,1998). Gjeni grupet:

A) A DHE B;	b) A Z B;	V) ( A Z B) DHE D;
G) C Z ( D Z B);	d) ( A DHE B)Z ( C DHE D);	e) ( A DHE ( B Z C)) Z D;
dhe) ( C Z A) DHE (( A DHE ( C Z D)) Z B);	h) ( A DHE B) \ (C Z D);	Dhe) A \ (B \ (C \ D));
te) (( A \ (B DHE D)) \ C) DHE B.

8. Le Aështë bashkësia e numrave çift, dhe B– bashkësi numrash të pjesëtueshëm me 3. Gjeni A Z B.

9. Vërtetoni këtë për çdo grup A, B, C

A) A DHE B = B DHE A, A Z B = B Z A;

b) A DHE ( B DHE C) = (A DHE B) DHE C, A Z ( B Z C) = (A Z B) Z C;

V) A Z ( B DHE C) = (A Z B) DHE ( A Z C), A DHE ( B Z C) = (A DHE B)Z ( A DHE C);

G) A \ (B DHE C) = (A \ B)Z ( A \ C), A \ (B Z C) = (A \ B) DHE ( A \ C).

10. A është e vërtetë që për ndonjë grup A, B, C

A) A Z ZH = F, A I F = A;	b) A DHE A = A, A Z A = A;	V) A Z B = A Y A M B;
G) ( A \ B) DHE B = A; 7 d) A \ (A \ B) = A Z B;	e) A \ (B \ C) = (A \ B) DHE ( A Z C);
dhe) ( A \ B) DHE ( B \ A) = A DHE B?

Vendosni hartografi

Nëse çdo element x grupe X saktësisht një element përputhet f(x) vendos Y, pastaj thonë se është dhënë shfaqja f nga shumë X në turmë Y. Në të njëjtën kohë, nëse f(x) = y, pastaj elementi y thirrur mënyrë element x kur shfaqet f, dhe elementi x thirrur prototip element y kur shfaqet f. Përcaktimi: f: X ® Y.

11. Vizatoni të gjitha pasqyrimet e mundshme nga grupi (7,8,9) në grupin (0,1).

Le f: X ® Y, y RRETH Y, A M X, B M Y. Prototipi i plotë i elementit y kur shfaqet f quhet grup ( x RRETH X | f(x) = y). Përcaktimi: f - 1 (y). Imazhi i turmës A M X kur shfaqet f quhet grup ( f(x) | x RRETH A). Përcaktimi: f(A). Prototipi i kompletit B M Y quhet grup ( x RRETH X | f(x) RRETH B). Përcaktimi: f - 1 (B).

12. Për të shfaqur f: (0,1,3,4) ® (2,5,7,18), dhënë nga figura, gjeni f({0,3}), f({1,3,4}), f - 1 (2), f - 1 ({2,5}), f - 1 ({5,18}).

a B C)

13. Le f: X ® Y, A 1 , A 2 M X, B 1 , B 2 M Y. A është gjithmonë e vërtetë kjo

A) f(X) = Y;

b) f - 1 (Y) = X;

V) f(A 1 I A 2) = f(A 1) Dhe f(A 2);

G) f(A 1 W A 2) = f(A 1) Z f(A 2);

d) f - 1 (B 1 I B 2) = f - 1 (B 1) Dhe f - 1 (B 2);

e) f - 1 (B 1 W B 2) = f - 1 (B 1) Z f - 1 (B 2);

g) nëse f(A 1 milion f(A 2), atëherë A 1 milion A 2 ;

h) nëse f - 1 (B 1 milion f - 1 (B 2), atëherë B 1 milion B 2 ?

Përbërja hartografike f: X ® Y Dhe g: Y ® Z quhet një hartë që lidh një element x grupe X element g(f(x)) vendos Z. Përcaktimi: g° f.

14. Vërtetoni se për pasqyrimet arbitrare f: X ® Y, g: Y ® Z Dhe h: Z ® W bëhet e mëposhtme: h° ( g° f) = (h° g)° f.

15. Le f: (1,2,3,5) ® (0,1,2), g: (0,1,2) ® (3,7,37,137), h: (3,7,37,137) ® (1,2,3,5) – pasqyrat e paraqitura në figurë:

f: g: h:

Vizatoni figura për ekranet e mëposhtme:

A) g° f; b) h° g; V) f° h° g; G) g° h° f.

Ekrani f: X ® Y thirrur bijektiv, nëse për secilën y RRETH Yështë pikërisht një x RRETH X sikurse f(x) = y.

16. Le f: X ® Y, g: Y ® Z. A është e vërtetë se nëse f Dhe g janë bijektive, pra g° f bijektivisht?

17. Le f: (1,2,3) ® (1,2,3), g: (1,2,3) ® (1,2,3), – hartat e paraqitura në figurë:

18. Për secilën nga dy grupet e mëposhtme, zbuloni nëse ka një bijeksion nga e para në të dytën (duke supozuar se zero është një numër natyror):

a) shumë numrat natyrorë;

b) bashkësinë e numrave natyrorë çift;

c) bashkësinë e numrave natyrorë pa numrin 3.

Hapësira metrike quajtur një grup X me një të dhënë metrikë r: X× X ® Z

1) " x,y RRETH X r ( x,y) i 0, dhe r ( x,y) = 0 nëse dhe vetëm nëse x = y (jonegativiteti ); 2) " x,y RRETH X r ( x,y) = r ( y,x) (simetri ); 3) " x,y,z RRETH X r ( x,y) + r ( y,z) Unë jam ( x,z) (pabarazia e trekëndëshit ). 19 19. X

A) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

b) X = Z 2, r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[a,ba,b] funksione,

Ku D

Hapur(përkatësisht, mbyllur) top me rreze r në hapësirë X të përqendruar në një pikë x quhet një grup U r (x) = {y RRETH x:r ( x,y) < r) (përkatësisht, B r (x) = {y RRETH X:r ( x,y) Ј r}).

Pika e brendshme grupe U M X U

hapur rrethinat këtë pikë.

Pika kufitare grupe F M X F.

mbyllur

20. Vërtetoni këtë

21. Vërtetoni këtë

b) bashkimi i një bashkësie A qark i shkurtër A

Ekrani f: X ® Y thirrur të vazhdueshme

22.

23. Vërtetoni këtë

F (x) = inf y RRETH F r ( x,y

24. Le f: X ® Y– . A është e vërtetë që anasjellta e tij është e vazhdueshme?

Hartë e vazhdueshme një-për-një f: X ® Y homeomorfizmi. Hapësirat X, Yhomeomorfike.

25.

26. Për cilat çifte? X, Y f: X ® Y, e cila nuk ngjitet së bashku pikat (d.m.th. f(x) № f(y) në x № y investimet)?

27*. homeomorfizmi lokal(dmth në çdo pikë x aeroplan dhe f(x) torus ka lagje të tilla U Dhe V, Çfarë f hartat në mënyrë homeomorfike U në V).

Hapësirat metrike dhe pasqyrimet e vazhdueshme

Hapësira metrike quajtur një grup X me një të dhënë metrikë r: X× X ® Z, duke plotësuar aksiomat e mëposhtme:

A) X = Z, r ( x,y) = | x - y| ;

b) X = Z 2, r 2 (( x 1 ,y 1),(x 2 ,y 2)) = C (( x 1 - x 2) 2 + (y 1 - y 2) 2 };

V) X = C[a,b] – grup i vazhdueshëm në [ a,b] funksione,

Ku D– një rreth me rreze njësi me qendër në origjinë.

Pika e brendshme grupe U M Xështë një pikë që përmbahet në U së bashku me një top me rreze jo zero.

Një grup, të gjitha pikat e të cilit janë të brendshme quhet hapur. Një grup i hapur që përmban këtë pikë, thirri rrethinat këtë pikë.

Pika kufitare grupe F M Xështë një pikë e tillë që çdo lagje e së cilës përmban pafundësisht shumë pika të grupit F.

Një grup që përmban të gjitha pikat kufitare quhet mbyllur(krahasojeni këtë përkufizim me atë të dhënë në Shtojcën 1).

29. Vërtetoni këtë

a) një grup është i hapur nëse dhe vetëm nëse komplementi i tij është i mbyllur;

b) bashkimi i fundëm dhe kryqëzimi i numërueshëm i bashkësive të mbyllura është i mbyllur;

c) bashkimi i numërueshëm dhe kryqëzimi i fundëm i bashkësive të hapura janë të hapura.

30. Vërtetoni këtë

a) grupi i pikave kufitare të çdo grupi është një grup i mbyllur;

b) bashkimi i një bashkësie A dhe grupi i pikave kufitare të tij ( qark i shkurtër A) është një grup i mbyllur.

Ekrani f: X ® Y thirrur të vazhdueshme, nëse imazhi i kundërt i çdo grupi të hapur është i hapur.

31. Vërtetoni se ky përkufizim është në përputhje me përkufizimin e vazhdimësisë së funksioneve në një linjë.

32. Vërtetoni këtë

a) distanca për të vendosur r F (x) = inf y RRETH F r ( x,y) është një funksion i vazhdueshëm;

b) bashkësia e zerove të funksionit në pikën a) përkon me mbylljen F.

33. Le f: X ® Y

Hartë e vazhdueshme një-për-një f: X ® Y, anasjellta e së cilës është gjithashtu e vazhdueshme quhet homeomorfizmi. Hapësirat X, Y, për të cilat ekziston një hartë e tillë, quhen homeomorfike.

34. Për çdo çift të grupeve të mëposhtme, përcaktoni nëse ato janë homeomorfe:

35. Për cilat çifte? X, Y ekzistojnë hapësira nga problemi i mëparshëm shfaqja e vazhdueshme f: X ® Y, e cila nuk ngjitet së bashku pikat (d.m.th. f(x) № f(y) në x № y– të tilla hartografi quhen investimet)?

36*. Dilni me një hartë të vazhdueshme nga një aeroplan në një torus që do të ishte homeomorfizmi lokal(dmth në çdo pikë x aeroplan dhe f(x) torus ka lagje të tilla U Dhe V, Çfarë f hartat në mënyrë homeomorfike U në V).

Plotësia. Teorema e Baire

Le X – hapësirë metrike. Pasoja x n quhen elementet e tij themelore, Nëse

" e > $0 n " k,m > n r ( x k ,x m) < e .

37. Vërtetoni se sekuenca konvergjente është themelore. A është e vërtetë deklarata e kundërt?

Hapësira metrike quhet i plotë, nëse ndonjë sekuencë themelore ajo konvergon.

38. A është e vërtetë që një hapësirë homeomorfe ndaj një të plotë është e plotë?

39. Vërtetoni se një nënhapësirë e mbyllur e një hapësire të plotë është në vetvete e plotë; në të mbyllet nënhapësira e plotë e një hapësire arbitrare.

40. Vërtetoni se në një hapësirë të plotë metrike një sekuencë topash të mbyllura të mbivendosur me rreze që priren në zero ka një element të përbashkët.

41. A është e mundur në detyrë e mëparshme të hiqet kushti i plotësisë së hapësirës apo prirja e rrezeve të topave në zero?

Ekrani f hapësirë metrike X thirri në vetvete ngjeshëse, Nëse

$ c (0 Ј c < 1): " x,y RRETH X r ( f(x),f(y)) < c r ( x,y).

42. Vërtetoni se harta e tkurrjes është e vazhdueshme.

43. a) Vërtetoni se një hartë tkurrje e një hapësire të plotë metrike në vetvete ka saktësisht një pikë fikse.

b) Vendosni një hartë të Rusisë në shkallën 1:20.000.000 në një hartë të Rusisë në shkallën 1:5.000.000 Vërtetoni se ekziston një pikë, imazhet e së cilës në të dyja hartat përkojnë.

44*. A ka një hapësirë metrike jo të plotë në të cilën pohimi i problemit eh është i vërtetë?

Një nëngrup i një hapësire metrike quhet të dendura kudo, nëse mbyllja e tij përkon me të gjithë hapësirën; askund i dendur– nëse mbyllja e tij nuk ka nënbashkësi të hapura jo bosh (krahasoni këtë përkufizim me atë të dhënë në Shtojcën 2).

45. a) Le a, b, a , b O Z Dhe a < a < b < b. Vërtetoni se bashkësia e funksioneve të vazhdueshme në [ a,b], monoton në , askund i dendur në hapësirën e të gjitha funksioneve të vazhdueshme në [ a,b] me metrikë uniforme.

b) Le a, b, c, e O Z Dhe a < b, c> 0, e > 0. Pastaj grupi i funksioneve të vazhdueshme në [ a,b], sikurse

$ x RRETH [ a,b]: " y (0 < | x - y| < e ) Ю

| f(x) - f(y)| | x - y|

Ј c,

askund i dendur në hapësirën e të gjitha funksioneve të vazhdueshme në [ a,b] me metrikë uniforme.

46. (Teorema e përgjithësuar e Baire .) Vërtetoni se një hapësirë e plotë metrike nuk mund të përfaqësohet si bashkim i një numri të numërueshëm të bashkësive askund të dendura.

47. Vërtetoni se bashkësia e funksioneve të vazhdueshme, jo monotone në çdo interval jo bosh dhe të funksioneve askund të diferencueshëm të përcaktuar në interval është kudo i dendur në hapësirën e të gjithë funksioneve të vazhdueshme me një metrikë uniforme.

48*. Le f– funksion i diferencueshëm në interval. Vërtetoni se derivati i tij është i vazhdueshëm kudo grup i dendur pikë. Ky është përkufizimi Lebesgue masa zero. Nëse numri i numërueshëm i intervaleve zëvendësohet me një të fundëm, marrim përkufizimin Jordanova masa zero.

Një nga detyrat kryesore të teorisë së grupeve të pikave është studimi i vetive të llojeve të ndryshme të grupeve të pikave. Le të njihemi me këtë teori duke përdorur dy shembuj dhe të studiojmë vetitë e të ashtuquajturave grupe të mbyllura dhe të hapura.

Kompleti quhet mbyllur , nëse përmban të gjitha pikat e tij kufitare. Nëse një grup nuk ka një pikë të vetme kufiri, atëherë ai gjithashtu konsiderohet i mbyllur. Përveç pikave të tij kufitare, një grup i mbyllur mund të përmbajë edhe pika të izoluara. Kompleti quhet hapur , nëse secila pikë e saj është e brendshme për të.

Le të japim shembuj të grupeve të mbyllura dhe të hapura .

Çdo segment është një grup i mbyllur dhe çdo interval (a, b) është një grup i hapur. Gjysmë-intervale jo të duhura dhe mbyllur, dhe intervale të pahijshme dhe hapur. E gjithë linja është një grup i mbyllur dhe i hapur. Është e përshtatshme që grupi bosh të jetë i mbyllur dhe i hapur në të njëjtën kohë. Çdo grup i kufizuar pikat në një vijë është e mbyllur, pasi nuk ka pika kufitare.

Një grup i përbërë nga pika:

mbyllur; ky grup ka një pikë kufitare unike x=0, e cila i përket grupit.

Detyra kryesore është të zbuloni se si është strukturuar një grup arbitrar i mbyllur ose i hapur. Për ta bërë këtë, do të na duhen një sërë faktesh ndihmëse, të cilat do t'i pranojmë pa prova.

1. Kryqëzimi i çdo numri grupesh të mbyllura është i mbyllur.
2. Shuma e çdo numri grupesh të hapura është një grup i hapur.
3. Nëse një grup i mbyllur kufizohet më lart, atëherë ai përmban supremin e tij. Në mënyrë të ngjashme, nëse një grup i mbyllur kufizohet më poshtë, atëherë ai përmban infimumin e tij.

Le të jetë E një grup arbitrar pikash në një vijë. Komplementin e bashkësisë e quajmë E dhe shënojmë me CE bashkësinë e të gjitha pikave të drejtëzës jo që i përket shumë E. Është e qartë se nëse x është një pikë e jashtme e E, atëherë është pikë e brendshme për grupin e CE-ve dhe anasjelltas.

4. Nëse një bashkësi F është e mbyllur, atëherë komplementi i tij CF është i hapur dhe anasjelltas.

Propozimi 4 tregon se ka mjaft ndryshim midis grupeve të mbyllura dhe të hapura. lidhje e ngushtë: disa janë plotësues të të tjerëve. Për shkak të kësaj, mjafton të studiohen disa të mbyllura ose disa grupe të hapura. Njohja e vetive të grupeve të një lloji ju lejon të zbuloni menjëherë vetitë e grupeve të një lloji tjetër. Për shembull, çdo grup i hapur fitohet duke hequr një grup të mbyllur nga një linjë.

Le të fillojmë të studiojmë vetitë e grupeve të mbyllura. Le të paraqesim një përkufizim. Le të jetë F një grup i mbyllur. Një interval (a, b) që ka veçorinë që asnjë nga pikat e tij nuk i përket bashkësisë F, por pikat a dhe b i përkasin F, quhet një interval fqinj i bashkësisë F.

Ne do të përfshijmë gjithashtu intervale të pahijshme midis intervaleve ngjitur, ose nëse pika a ose pika b i përket grupit F, dhe vetë intervalet nuk kryqëzohen me F. Le të tregojmë se nëse një pikë x nuk i përket një bashkësie të mbyllur F, atëherë ajo i përket një prej intervaleve të saj ngjitur.

Le të shënojmë me pjesën e bashkësisë F që ndodhet në të djathtë të pikës x. Meqenëse pika x në vetvete nuk i përket grupit F, ajo mund të përfaqësohet në formën e kryqëzimit:

Secili nga grupet është F dhe i mbyllur. Prandaj, me propozimin 1, grupi mbyllet. Nëse grupi është bosh, atëherë i gjithë gjysmëintervali nuk i përket grupit F. Le të supozojmë tani se grupi nuk është bosh. Meqenëse ky grup është i vendosur tërësisht në një gjysmë interval, ai kufizohet më poshtë. Le ta shënojmë kufirin e poshtëm të tij me b. Sipas propozimit 3, që do të thotë. Më tej, pasi b është buza e poshtme grup, atëherë gjysmë-intervali (x, b) i shtrirë në të majtë të pikës b nuk përmban pika të grupit dhe, për rrjedhojë, nuk përmban pika të grupit F. Pra, ne kemi ndërtuar një gjysmë-interval ( x. Tani është e qartë se intervali (a, b) përmban pikën x dhe është një interval fqinj i grupit F. Është e lehtë të shihet se nëse dhe janë dy intervale fqinje të grupit F, atëherë këto intervale ose përkojnë ose bëjnë nuk kryqëzohen.

Nga e mëparshmja rrjedh se çdo grup i mbyllur në një vijë fitohet duke hequr një numër të caktuar intervalesh nga rreshti, përkatësisht intervalet ngjitur të grupit F. Meqenëse çdo interval përmban të paktën një pikë racionale, dhe ekziston një grup i numërueshëm i të gjitha pikat racionale në vijë, është e lehtë të siguroheni që numri i të gjitha intervaleve ngjitur të jetë maksimumi i numërueshëm. Nga këtu marrim përfundimin përfundimtar. Çdo grup i mbyllur në një vijë fitohet duke hequr nga rreshti maksimumi një grup të numërueshëm intervalesh të shkëputura.

Siç mund të shihet nga shembulli i mëposhtëm, grupet e mbyllura mund të kenë një strukturë shumë komplekse.

Një nga detyrat kryesore të teorisë së grupeve të pikave është studimi i vetive të llojeve të ndryshme të grupeve të pikave. Ne do ta njohim lexuesin me këtë teori duke përdorur dy shembuj. Domethënë, këtu do të studiojmë vetitë e të ashtuquajturave grupe të mbyllura dhe të hapura.

Le të japim shembuj të grupeve të mbyllura dhe të hapura. Çdo segment është një grup i mbyllur dhe çdo interval është një grup i hapur. Gjysmë-intervale të pahijshme

janë të mbyllura dhe intervalet e papërshtatshme janë të hapura. E gjithë linja është një grup i mbyllur dhe i hapur. Është e përshtatshme që grupi bosh të jetë i mbyllur dhe i hapur në të njëjtën kohë. Çdo grup i kufizuar pikash në një vijë është i mbyllur, pasi nuk ka pika kufitare. Një grup i përbërë nga pika

mbyllur; ky grup ka një pikë të vetme kufi e cila i përket grupit.

Detyra jonë është të zbulojmë se si është strukturuar një grup arbitrar i mbyllur ose i hapur. Për ta bërë këtë, do të na duhen një sërë faktesh ndihmëse, të cilat do t'i pranojmë pa prova.

1. Kryqëzimi i çdo numri grupesh të mbyllura është i mbyllur.

2. Shuma e çdo numri grupesh të hapura është një grup i hapur.

3. Nëse një grup i mbyllur kufizohet më lart, atëherë ai përmban supremin e tij. Në mënyrë të ngjashme, nëse një grup i mbyllur kufizohet më poshtë, atëherë ai përmban infimumin e tij.

Le të jetë E një grup arbitrar pikash në një vijë. Le ta quajmë plotësues të bashkësisë E dhe ta shënojmë me bashkësinë e të gjitha pikave në vijë që nuk i përkasin bashkësisë E. Është e qartë se nëse x është një pikë e jashtme për E, atëherë ajo është një pikë e brendshme për vendosur dhe anasjelltas.

4. Nëse një bashkësi F është e mbyllur, atëherë komplementi i tij është i hapur dhe anasjelltas.

Propozimi 4 tregon se ekziston një lidhje shumë e ngushtë midis grupeve të mbyllura dhe të hapura: disa janë plotësues të të tjerëve. Për shkak të kësaj, mjafton të studiohen vetëm grupe të mbyllura ose vetëm të hapura. Njohja e vetive të grupeve të një lloji ju lejon të zbuloni menjëherë vetitë e grupeve të një lloji tjetër. Për shembull, çdo grup i hapur fitohet duke hequr një grup të mbyllur nga një linjë.

Le të fillojmë të studiojmë vetitë e grupeve të mbyllura. Le të paraqesim një përkufizim. Le të jetë F një grup i mbyllur. Një interval që ka vetinë që asnjë nga pikat e tij nuk i përket bashkësisë a dhe pikat a i përket, quhet interval fqinj i bashkësisë. Ne gjithashtu do të përfshijmë intervale të pahijshme si intervale ngjitur, ose nëse pika a ose pika i përket grupit a, vetë intervalet nuk kryqëzohen me F. Le të tregojmë se nëse një pikë x nuk i përket një bashkësie të mbyllur, atëherë ajo i përket një prej intervaleve të saj ngjitur.

Le të shënojmë me pjesën e bashkësisë që ndodhet në të djathtë të pikës x. Meqenëse pika x në vetvete nuk i përket grupit, ajo mund të përfaqësohet në formën e kryqëzimit

Secila nga grupet F është e mbyllur. Prandaj, me propozimin 1, grupi mbyllet. Nëse grupi është bosh, atëherë i gjithë gjysmë-intervali i takon grupit. Meqenëse ky grup është i vendosur tërësisht në një gjysmë interval, ai kufizohet më poshtë. Le ta shënojmë me skajin e saj të poshtëm. Sipas propozimit dhe prandaj . Më tej, meqenëse ekziston një infimum i grupit, gjysmë-intervali që shtrihet në të majtë të pikës nuk përmban pika të grupit dhe, për rrjedhojë, nuk përmban pika të grupit Pra, ne kemi ndërtuar një gjysmë-interval që nuk përmban pika të grupit dhe ose ose pika i përket grupit Në mënyrë të ngjashme, një gjysmë-interval që nuk përmban pika të grupit dhe ose ose a Tani është e qartë se intervali përmban pikën x dhe është një interval fqinj i grupit. set Është e lehtë të shihet se nëse - dy intervale ngjitur me grupin, atëherë këto intervale ose përkojnë ose nuk kryqëzohen.

Nga paraardhësi rrjedh se çdo grup i mbyllur në një vijë fitohet duke hequr një numër të caktuar intervalesh nga rreshti, përkatësisht intervalet fqinje të grupit Meqenëse çdo interval përmban të paktën një pikë racionale, dhe të gjitha pikat racionale në vijë janë një grup i numërueshëm, është e lehtë të verifikohet se numri i të gjitha intervaleve ngjitur është më se i numërueshëm. Nga këtu marrim përfundimin përfundimtar. Çdo grup i mbyllur në një vijë fitohet duke hequr nga rreshti maksimumi një grup të numërueshëm intervalesh të shkëputura.

Siç mund të shihet nga shembulli i mëposhtëm, grupet e mbyllura mund të kenë një strukturë shumë komplekse.

Set perfekt Cantor. Le të ndërtojmë një grup të veçantë të mbyllur që ka një numër karakteristikash të jashtëzakonshme. Para së gjithash, le të heqim intervalet e pahijshme dhe nga rreshti. Pas këtij operacioni do të na mbetet një segment. Më pas, le të heqim nga ky segment intervalin që përbën të tretën e mesme të tij.

Nga secili prej dy segmenteve të mbetura, hiqni të tretën e mesme të saj. Ne do të vazhdojmë këtë proces të heqjes së të tretave të mesme nga segmentet e mbetura për një kohë të pacaktuar. Bashkësia e pikave në vijën e mbetur pas heqjes së të gjitha këtyre intervaleve quhet bashkësia e përsosur Cantor; do ta shënojmë me shkronjën R.

Le të shqyrtojmë disa veti të këtij grupi. Bashkësia P është e mbyllur, pasi formohet duke hequr nga një rresht një grup të caktuar intervalesh të shkëputura. Kompleti P nuk është në asnjë rast bosh, ai përmban skajet e të gjitha intervaleve të hedhura.

Një grup i mbyllur F quhet i përsosur nëse nuk përmban pika të izoluara, domethënë nëse secila prej pikave të tij është një pikë kufi. Le të tregojmë se bashkësia P është e përsosur. Në të vërtetë, nëse një pikë x do të ishte një pikë e izoluar e bashkësisë P, atëherë ajo do të shërbente si fundi i përbashkët i dy intervaleve ngjitur të këtij grupi. Por, sipas konstruksionit, intervalet ngjitur të grupit P nuk kanë skaje të përbashkëta.

Bashkësia P nuk përmban një interval të vetëm. Në fakt, le të supozojmë se një interval i caktuar i përket tërësisht grupit P. Atëherë ai i përket tërësisht njërit prej segmenteve të fituar në hapin e ndërtimit të grupit P. Por kjo është e pamundur, pasi kur gjatësitë e këtyre segmenteve priren të plumbi.

Mund të tregohet se bashkësia P ka kardinalitetin e një vazhdimësie. Në veçanti, rrjedh se grupi i përsosur Cantor përmban, përveç skajeve të intervaleve ngjitur, edhe pika të tjera. Në të vërtetë, skajet e intervaleve ngjitur formojnë vetëm një grup të numërueshëm.

Lloje të ndryshme grupesh pikash ndeshen vazhdimisht në degë të ndryshme të matematikës dhe njohja e vetive të tyre është absolutisht e nevojshme kur studiohen shumë probleme matematikore. Teoria e grupeve të pikave është veçanërisht e rëndësishme për analizën matematikore dhe topologjinë.

Le të japim disa shembuj të paraqitjes së grupeve të pikave në seksionet klasike të analizës. Le të jetë një funksion i vazhdueshëm i përcaktuar në segmentin Le të fiksojmë numrin a dhe të marrim parasysh bashkësinë e atyre pikave për të cilat është e lehtë të tregohet se ky grup mund të jetë një grup i mbyllur në të njëjtën mënyrë. bashkësia e pikave x për të cilat mund të jetë çdo bashkësi e hapur Nëse ekziston një sekuencë funksionesh të vazhdueshme të përcaktuara në një interval, atëherë bashkësia e atyre pikave x ku kjo sekuencë konvergjon nuk mund të jetë arbitrare, por i përket një lloji shumë specifik.

Disiplina matematikore që studion strukturën e grupeve të pikave quhet teoria përshkruese e grupeve. Arritje shumë të mëdha në zhvillimin e teorisë përshkruese të grupeve u përkasin matematikanëve sovjetikë - N. N. Luzin dhe studentëve të tij P. S. Aleksandrov, M. Ya Suslin, A. N. Kolmogorov, M. A. Lavrentiev, P. S. Novikov, L. V. Keldysh, A. A. Lyapunov dhe të tjerë.

Hulumtimet nga N. N. Luzin dhe studentët e tij treguan se ekziston një lidhje e thellë midis teorisë përshkruese të grupeve dhe logjikës matematikore. Vështirësitë që lindin kur merren parasysh një sërë problemesh të teorisë përshkruese të grupeve (në veçanti, problemet e përcaktimit të kardinalitetit të grupeve të caktuara) janë vështirësi të një natyre logjike. Përkundrazi, metodat e logjikës matematikore na lejojnë të depërtojmë më thellë në disa çështje të teorisë përshkruese të grupeve.

Le të japim shembuj të grupeve të mbyllura dhe të hapura. Çdo segment është një grup i mbyllur dhe çdo interval është një grup i hapur. Gjysmë-intervalet e pahijshme janë gjithashtu të mbyllura, dhe intervalet e pahijshme janë të hapura. E gjithë linja është një grup i mbyllur dhe i hapur. Është e përshtatshme që grupi bosh të jetë i mbyllur dhe i hapur në të njëjtën kohë. Çdo grup i kufizuar pikash në një vijë është i mbyllur, pasi nuk ka pika kufitare. Një grup i përbërë nga pika

mbyllur; ky grup ka një pikë kufi unike, e cila i përket grupit.

1. Kryqëzimi i çdo numri grupesh të mbyllura është i mbyllur.

2. Shuma e çdo numri grupesh të hapura është një grup i hapur.

Lë të jetë një grup arbitrar pikash në një vijë. Le ta quajmë plotësues të një bashkësie dhe ta shënojmë me bashkësinë e të gjitha pikave në vijë që nuk i përkasin grupit. Është e qartë se nëse ka një pikë të jashtme për , atëherë ajo është një pikë e brendshme për grupin dhe anasjelltas.

4. Nëse një grup është i mbyllur, atëherë komplementi i tij është i hapur dhe anasjelltas.

Le të fillojmë të studiojmë vetitë e grupeve të mbyllura. Le të paraqesim një përkufizim. Le të jetë një grup i mbyllur. Një interval që ka vetinë që asnjë nga pikat e tij nuk i përket grupit, por pikat i përkasin, quhet një interval fqinj i grupit. Ne do të përfshijmë gjithashtu intervale të pahijshme ose midis intervaleve ngjitur nëse pika ose pika i përket grupit dhe vetë intervalet nuk kryqëzohen. Le të tregojmë se nëse një pikë nuk i përket një grupi të mbyllur, atëherë ajo i përket një prej intervaleve të saj ngjitur.

Le të shënojmë me pjesën e grupit që ndodhet në të djathtë të pikës. Meqenëse pika në vetvete nuk i përket grupit, ajo mund të përfaqësohet në formën e kryqëzimit

Secili nga grupet është i mbyllur. Prandaj, me propozimin 1, grupi mbyllet. Nëse grupi është bosh, atëherë i gjithë gjysmëintervali nuk i përket grupit. Le të supozojmë tani se grupi nuk është bosh. Meqenëse ky grup është plotësisht i vendosur në gjysmëinterval, ai kufizohet më poshtë. Le ta shënojmë me skajin e saj të poshtëm. Sipas propozimit 3, , dhe prandaj . Më tej, duke qenë se ekziston një infimum i grupit, gjysmë-intervali i shtrirë në të majtë të pikës nuk përmban pika të grupit dhe, për rrjedhojë, nuk përmban pika të grupit. Pra, ne kemi ndërtuar një gjysmë-interval që nuk përmban pika të grupit, dhe ose , ose pika i përket grupit. Në mënyrë të ngjashme, ndërtohet një gjysmë-interval që nuk përmban pika të grupit, dhe ose , ose . Tani është e qartë se intervali përmban një pikë dhe është një interval ngjitur i grupit. Është e lehtë të shihet se nëse dhe janë dy intervale ngjitur të grupit, atëherë këto intervale ose përkojnë ose nuk kryqëzohen.

Nga ai i mëparshmi rrjedh se çdo grup i mbyllur në një linjë fitohet duke hequr një numër të caktuar intervalesh nga rreshti, përkatësisht intervalet ngjitur të grupit. Meqenëse çdo interval përmban të paktën një pikë racionale dhe ekziston një grup i numërueshëm i të gjitha pikave racionale në një vijë, është e lehtë të verifikohet se numri i të gjitha intervaleve ngjitur është maksimumi i numërueshëm. Nga këtu marrim përfundimin përfundimtar. Çdo grup i mbyllur në një vijë fitohet duke hequr nga rreshti maksimumi një grup të numërueshëm intervalesh të shkëputura.

Siç mund të shihet nga shembulli i mëposhtëm, grupet e mbyllura mund të kenë një strukturë shumë komplekse.

Set perfekt Cantor

Le të ndërtojmë një grup të veçantë të mbyllur që ka një numër karakteristikash të jashtëzakonshme. Para së gjithash, le të heqim intervalet e pahijshme dhe nga rreshti. Pas këtij operacioni do të na mbetet një segment. Më pas, le të heqim nga ky segment intervalin që përbën të tretën e mesme të tij. Nga secili prej dy segmenteve të mbetura, hiqni të tretën e mesme të saj. Ne do të vazhdojmë këtë proces të heqjes së të tretave të mesme nga segmentet e mbetura për një kohë të pacaktuar. Bashkësia e pikave në vijën e mbetur pas heqjes së të gjitha këtyre intervaleve quhet bashkësia e përsosur Cantor; do ta shënojmë me shkronjën .

Le të shqyrtojmë disa veti të këtij grupi. Kompleti është i mbyllur, pasi formohet duke hequr nga një rresht një grup të caktuar intervalesh të shkëputura. Kompleti nuk është bosh; në çdo rast, ai përmban skajet e të gjitha intervaleve të hedhura.

Një grup i mbyllur quhet perfekte, nëse nuk përmban pika të izoluara, pra nëse secila nga pikat e saj është një pikë kufi. Le të tregojmë se kompleti është i përsosur. Në të vërtetë, nëse një pikë do të ishte një pikë e izoluar e grupit, atëherë ajo do të shërbente si fundi i përbashkët i dy intervaleve ngjitur të këtij grupi. Por, sipas konstruksionit, intervalet ngjitur të kompletit nuk kanë skaje të përbashkëta.

Seti nuk përmban një interval të vetëm. Në fakt, le të supozojmë se një interval i caktuar i përket tërësisht grupit. Pastaj i përket tërësisht njërit prej segmenteve të marra në hapin e th të ndërtimit të grupit. Por kjo është e pamundur, pasi gjatësitë e këtyre segmenteve priren në zero.

Mund të tregohet se grupi ka kardinalitetin e një vazhdimësie. Në veçanti, rrjedh se grupi i përsosur Cantor përmban, përveç skajeve të intervaleve ngjitur, edhe pika të tjera. Në të vërtetë, skajet e intervaleve ngjitur formojnë vetëm një grup të numërueshëm.

Le të japim disa shembuj të paraqitjes së grupeve të pikave në seksionet klasike të analizës. Le të jetë një funksion i vazhdueshëm i përcaktuar në segment. Le të rregullojmë numrin dhe të shqyrtojmë grupin e atyre pikave për të cilat . Është e lehtë të tregohet se ky grup mund të jetë një grup i mbyllur arbitrar i vendosur në segment. Në të njëjtën mënyrë, grupi i pikave për të cilat , mund të jetë çdo grup i hapur. Nëse ka një sekuencë funksionesh të vazhdueshme të përcaktuara në segment, atëherë grupi i pikave ku kjo sekuencë konvergon nuk mund të jetë arbitrare, por i përket një lloji shumë specifik.

Disiplina matematikore që studion strukturën e bashkësive të pikave quhet teoria përshkruese e grupeve. Arritjet shumë të mëdha në zhvillimin e teorisë përshkruese të grupeve u përkasin matematikanëve sovjetikë - N.N. Luzin dhe studentët e tij P.S. Alexandrov, M.Ya. Suslin, A.N. Kolmogorov, M.A. Lavrentiev, P.S. Novikov, L.V. Keldysh, A.A. Lyapunova dhe të tjerët.

Hulumtimi nga N.N. Luzin dhe studentët e tij treguan se ekziston një lidhje e thellë midis teorisë së grupeve përshkruese dhe logjikës matematikore. Vështirësitë që lindin kur merren parasysh një sërë problemesh të teorisë përshkruese të grupeve (në veçanti, problemet e përcaktimit të kardinalitetit të grupeve të caktuara) janë vështirësi të një natyre logjike. Përkundrazi, metodat e logjikës matematikore na lejojnë të depërtojmë më thellë në disa çështje të teorisë përshkruese të grupeve.