Llogaritja e vëllimeve të figurave hapësinore është një nga detyra të rëndësishme stereometria. Në këtë artikull do të shqyrtojmë çështjen e përcaktimit të vëllimit të një poliedri të tillë si një piramidë, dhe gjithashtu do të japim një të rregullt gjashtëkëndor.
Piramida gjashtëkëndore
Së pari, le të shohim se cila është figura që do të diskutohet në artikull.
Le të kemi një gjashtëkëndësh arbitrar, anët e të cilit nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me njëra-tjetrën. Le të supozojmë gjithashtu se kemi zgjedhur një pikë në hapësirë që nuk është në rrafshin e gjashtëkëndëshit. Duke lidhur të gjitha cepat e kësaj të fundit me pikën e përzgjedhur, marrim një piramidë. Dy piramida të ndryshme që kanë bazë gjashtëkëndore, janë paraqitur në figurën e mëposhtme.
Mund të shihet se përveç gjashtëkëndëshit, figura përbëhet nga gjashtë trekëndësha, pika lidhëse e të cilave quhet kulm. Dallimi midis piramidave të përshkruara është se lartësia h e së djathtës nuk e kryqëzon bazën gjashtëkëndore në të. qendra gjeometrike, dhe lartësia e figurës së majtë bie pikërisht në këtë qendër. Falë këtij kriteri, piramida e majtë quhej e drejtë, dhe piramida e djathtë quhej e prirur.
Meqenëse baza e figurës së majtë në figurë është e formuar nga një gjashtëkëndësh me brinjë dhe kënde të barabarta, ajo quhet e rregullt. Më tej në artikull do të flasim vetëm për këtë piramidë.
Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, ne kemi formulën e mëposhtme:
Këtu h është gjatësia e lartësisë së figurës, S o është zona e bazës së saj. Le të përdorim këtë shprehje për të përcaktuar vëllimin e një piramide të rregullt gjashtëkëndore.
Meqenëse baza e figurës në fjalë është një gjashtëkëndësh barabrinjës, për të llogaritur sipërfaqen e tij mund të përdorni sa vijon shprehje e përgjithshme për n-gon:
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Këtu n është një numër i plotë i barabartë me numrin e brinjëve (këndeve) të shumëkëndëshit, a është gjatësia e brinjës së tij, funksioni kotangjent llogaritet duke përdorur tabelat përkatëse.
Duke aplikuar shprehjen për n = 6, marrim:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Tani gjithçka që mbetet është të zëvendësohet kjo shprehje me formulë e përgjithshme për vëllimin V:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Kështu, për të llogaritur vëllimin e piramidës në fjalë, është e nevojshme të njihen dy të saj parametri linear: gjatësia e anës së bazës dhe lartësia e figurës.
Shembull i zgjidhjes së problemit
Le të tregojmë se si shprehja rezultuese për V 6 mund të përdoret për të zgjidhur problemin e mëposhtëm.
Dihet se vëllimi i saktë është 100 cm 3 . Është e nevojshme të përcaktohet ana e bazës dhe lartësia e figurës nëse dihet se ato janë të lidhura me njëra-tjetrën me barazinë e mëposhtme:
Meqenëse formula për vëllimin përfshin vetëm a dhe h, ju mund të zëvendësoni cilindo nga këto parametra në të, të shprehur në terma të tjetrit. Për shembull, duke zëvendësuar a, marrim:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Për të gjetur lartësinë e një figure, duhet të merrni rrënjën e tretë të vëllimit, e cila korrespondon me dimensionin e gjatësisë. Zëvendësojmë vlerën e vëllimit V 6 të piramidës nga kushtet e problemit, marrim lartësinë:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Meqenëse ana e bazës, në përputhje me gjendjen e problemit, është dy herë më e madhe se vlera e gjetur, marrim vlerën për të:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm
Vëllimi piramidë gjashtëkëndore mund të gjendet jo vetëm përmes lartësisë së figurës dhe vlerës së anës së bazës së saj. Mjafton të dimë dy parametra të ndryshëm linearë të piramidës për ta llogaritur atë, për shembull, apotemën dhe gjatësinë e skajit anësor.
Data: 2015-01-19
Nëse keni nevojë udhëzime hap pas hapi Si të ndërtoni një skanim piramidale, atëherë ju kërkoj të bashkoheni në mësimin tonë. Së pari, vlerësoni nëse piramida juaj është vendosur në një mënyrë të ngjashme si në Figurën 1.
Nëse e keni rrotulluar 90 gradë, atëherë skaji i shënuar në figurë si "vlera reale të njohura" në rastin tuaj mund të gjendet në projeksionin e profilit që do t'ju duhet të ndërtoni. Në rastin tim, kjo nuk kërkohet, ne tashmë i kemi të gjitha sasitë e nevojshme për ndërtim. Është e rëndësishme të mos harroni se në këtë vizatim vetëm skajet SA dhe SD në projeksionin e përparmë shfaqen në madhësi të plotë. Të gjitha të tjerat janë projektuar me shtrembërim të gjatësisë. Përveç kësaj, në pamjen e sipërme, të gjitha anët e gjashtëkëndëshit janë projektuar gjithashtu në madhësi të plotë. Bazuar në këtë, le të vazhdojmë.
1. Për bukuri më të madhe, le të vizatojmë vijën e parë horizontalisht (Figura 1). Pastaj, le të vizatojmë një hark të gjerë me rreze R=a, d.m.th. rreze e barabartë me gjatësinë buza anësore e piramidës. Le të marrim pikën A. Duke përdorur një busull, do të bëjmë një prerje në hark prej saj, me rreze r=b (gjatësia e anës së bazës së piramidës). Le të marrim pikën B. Tashmë kemi fytyrën e parë të piramidës!
2. Nga pika B bëjmë një prerje tjetër me të njëjtën rreze - marrim pikën C dhe duke e lidhur me pikat B dhe S marrim faqen e dytë anësore të piramidës (Figura 2).
3. Përsëritja e këtyre hapave sasia e kërkuar një herë (gjithçka varet nga sa fytyra ka piramida juaj) do të marrim një tifoz si ky (Figura 3). Nëse janë ndërtuar si duhet, duhet të merrni të gjitha pikat bazë dhe ato ekstreme duhet të përsëriten.
4. Kjo nuk kërkohet gjithmonë, por është ende e nevojshme: shtoni bazën e piramidës në zhvillimin e sipërfaqes anësore. Unë besoj se të gjithë ata që kanë lexuar deri tani e dinë se si të vizatojnë një pesëkëndësh gjashtë-tetë (si të vizatoni një pesëkëndësh përshkruhet në detaje në mësim). dhe në këndin e duhur. Ne tërheqim një bosht përmes mesit të çdo fytyre. Nga pika e kryqëzimit me vijën e drejtë të bazës, ne grafikojmë distancën m, siç tregohet në figurën 4. 
Duke tërhequr një pingul përmes kësaj pike, marrim boshtet e gjashtëkëndëshit të ardhshëm. Nga qendra që rezulton ne nxjerrim një rreth, siç bëtë kur ndërtoni pamjen e sipërme. Ju lutemi vini re se rrethi duhet të kalojë nëpër dy pika në faqen anësore (në rastin tim këto janë F dhe A)
5. Figura 5 tregon pamjen përfundimtare të zhvillimit të një prizmi gjashtëkëndor. 
Kjo përfundon ndërtimin e piramidës. Ndërtoni zhvillimet tuaja, mësoni të gjeni zgjidhje, jini të përpiktë dhe mos u dorëzoni kurrë. Faleminderit që ndaluat. Mos harroni të na rekomandoni miqve tuaj :) Gjithë të mirat!
ose shkruani numrin tonë të telefonit dhe tregojuni miqve tuaj për ne - dikush me siguri po kërkon një mënyrë për të përfunduar vizatimet
ose Krijoni një shënim në faqen ose blogun tuaj për mësimet tona - dhe dikush tjetër do të jetë në gjendje të zotërojë vizatimin.
Piramidat janë: trekëndëshe, katërkëndëshe etj., varësisht se cila është baza - trekëndëshi, katërkëndëshi etj.
Një piramidë quhet e rregullt (Fig. 286, b) nëse, së pari, baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe, së dyti, lartësia e saj kalon nga qendra e këtij shumëkëndëshi.
Përndryshe, piramida quhet e parregullt (Fig. 286, c). Gjithçka është në piramidën e duhur brinjë anësore të barabarta me njëri-tjetrin (siç priret me projeksione të barabarta). Prandaj gjithçka fytyrat anësore piramida e rregullt ka trekëndësha të barabartë dykëndësh.
Analiza e elementeve të një piramide të rregullt gjashtëkëndore dhe përshkrimi i tyre në një vizatim kompleks (Fig. 287).
A) Vizatim kompleks piramida e rregullt gjashtëkëndore. Baza e piramidës ndodhet në rrafshin P 1; dy anët e bazës së piramidës janë paralele me rrafshin e projeksionit P 2.
b) Baza ABCDEF është një gjashtëkëndësh i vendosur në rrafshin e projeksionit P 1.
c) Faqja anësore e ASF është një trekëndësh i vendosur në rrafshin e përgjithshëm.
d) Faqja anësore e FSE është një trekëndësh i vendosur në rrafshin e projektimit të profilit.
e) Buza SE është një segment në pozicionin e përgjithshëm.
f) Brinjë SA - segment frontal.
g) Maja S e piramidës është një pikë në hapësirë.
Figura 288 dhe 289 tregojnë shembuj të operacioneve grafike të njëpasnjëshme kur kryeni një vizatim kompleks dhe imazhe vizuale (aksonometri) të piramidave.
E dhënë:
1. Baza ndodhet në rrafshin P 1.
2. Njëra nga anët e bazës është paralele me boshtin x 12.
I. Vizatim kompleks.
Unë, a. Ne hartojmë bazën e piramidës - një poligon, sipas këtë gjendje
i shtrirë në aeroplanin P1.
Ne hartojmë një kulm - një pikë e vendosur në hapësirë. Lartësia e pikës S është e barabartë me lartësinë e piramidës. Projeksioni horizontal S 1 i pikës S do të jetë në qendër të projeksionit të bazës së piramidës (sipas kushteve).
Unë, b. Ne projektojmë skajet e piramidës - segmente; Për ta bërë këtë, ne lidhim projeksionet e kulmeve të bazës ABCDE me projeksionet përkatëse të kulmit të piramidës S me vija të drejta. Ne përshkruajmë projeksionet ballore S 2 C 2 dhe S 2 D 2 të skajeve të piramidës me vija të ndërprera, si të padukshme, të mbyllura nga skajet e piramidës (SА dhe SAE). Unë, c. Duke pasur parasysh një projeksion horizontal K 1 të pikës K në faqen anësore të SBA, ju duhet të gjeni projeksionin e saj ballor. Për ta bërë këtë, vizatoni një vijë ndihmëse S 1 F 1 përmes pikave S 1 dhe K 1, gjeni projeksionin e saj ballor dhe përdorni
vijë vertikale lidhjen, ne përcaktojmë vendndodhjen e projeksionit të dëshiruar ballor K 2 të pikës K. II. Zhvillimi i sipërfaqes së piramidës - figurë e sheshtë
, i përbërë nga faqe anësore - trekëndësha identikë dykëndësh, njëra anë e të cilave është e barabartë me anën e bazës, dhe dy të tjerat janë të barabarta me skajet anësore, dhe nga
shumëkëndëshi i rregullt 1
- bazat. Dimensionet natyrore të anëve të bazës zbulohen në projeksionin e saj horizontal. Dimensionet natyrore të brinjëve nuk u zbuluan në projeksione. Hipotenuza S 2 ¯A 2 (Fig. 288, , b) trekëndësh kënddrejtë
S 2 O 2 ¯A 2, e cila ka një këmbë të madhe e barabartë me lartësinë S 2 O 2 e piramidës, dhe e vogla është projeksioni horizontal i skajit S 1 A 1 është madhësia natyrore e skajit të piramidës. Ndërtimi i fshirjes duhet të kryhet në rendin e mëposhtëm: a) nga pikë arbitrare
S (kulmet) vizatojnë një hark me rreze R, e barabartë me buzën piramidat;
b) në harkun e vizatuar vizatojmë pesë korda me madhësi R 1 e barabartë me anën bazat;
d) ne lidhim bazën e piramidës - një pesëkëndësh - në çdo fytyrë duke përdorur metodën e trekëndëshit, për shembull në faqen DSE.
Transferimi i pikës K në skanim kryhet nga një vijë e drejtë ndihmëse duke përdorur dimensionin B 1 F 1 të marrë në projeksionin horizontal dhe dimensionin A 2 K 2 të marrë në madhësinë natyrale të brinjës.
III.
Një paraqitje vizuale e një piramide në izometri. 1
III, a.
Ne përshkruajmë bazën e piramidës duke përdorur koordinatat sipas (Fig. 288, 1
III, a.
, A).
Ne përshkruajmë majën e piramidës duke përdorur koordinatat sipas (Fig. 288,
III, b.
E dhënë:
Ne përshkruajmë skajet anësore të piramidës, duke lidhur majën me kulmet e bazës. Skaji S"D" dhe anët e bazës C"D" dhe D"E" përshkruhen me vija të ndërprera, si të padukshme, të mbyllura nga skajet e piramidës C"S"B", B"S"A" dhe A"S"E".
III, e.
Ne përcaktojmë pikën K në sipërfaqen e piramidës duke përdorur dimensionet y F dhe x K. Për një imazh dimetrik të një piramide, duhet të ndiqet e njëjta sekuencë.
Imazhi i një piramide të parregullt trekëndore. 1. Baza ndodhet në rrafshin P 1. 2. Ana BC e bazës është pingul me boshtin X.
I. Vizatim kompleks
Unë, a.
Projektimi i bazës së piramidës -
trekëndëshi dykëndësh , i shtrirë në rrafshin P 1, dhe kulmi S është një pikë e vendosur në hapësirë, lartësia e së cilës është e barabartë me lartësinë e piramidës. Unë, b.
Ne projektojmë skajet e piramidës - segmente, për të cilat lidhim vija të drejta të projeksioneve me të njëjtin emër të kulmeve bazë me projeksionet me të njëjtin emër të majës së piramidës. Ne përshkruajmë projeksionin horizontal të anës së bazës së avionit me një vijë të ndërprerë, si të padukshme, të mbuluar nga dy faqet e piramidës ABS, ACS.
a) vizatoni një trekëndësh dykëndësh - faqe CSB, baza e të cilit është e barabartë me anën e bazës së piramidës CB, dhe anët- madhësia natyrale e brinjës SC;
b) ne lidhim dy trekëndësha në anët SC dhe SB të trekëndëshit të ndërtuar - faqet e piramidës CSA dhe BSA, dhe në bazën CB të trekëndëshit të ndërtuar - bazën CBA të piramidës, si rezultat marrim një të plotë zhvillimi i sipërfaqes së kësaj piramide.
Transferimi i pikës D në skanim kryhet në rendin e mëposhtëm: së pari, në skanimin e faqes anësore ASC, vizatojmë një vijë horizontale duke përdorur dimensionin R 1 dhe më pas përcaktojmë vendndodhjen e pikës D në vijën horizontale duke përdorur dimensioni R 2 .
III. Një paraqitje vizuale e piramidës dhe projeksionit dimetrik ballor
III, a. Ne përshkruajmë bazën A"B"C dhe majën S" të piramidës, duke përdorur koordinatat sipas (
Një vizatim është hapi i parë dhe shumë i rëndësishëm në zgjidhje problem gjeometrik. Si duhet të duket vizatimi i një piramide të rregullt?
Së pari le të kujtojmë vetitë e projektimit paralel:
- janë paraqitur segmente paralele të figurës segmente paralele;
— ruhet raporti i gjatësive të segmenteve të drejtëzave paralele dhe segmenteve të një drejtëze.
Vizatimi i një piramide të rregullt trekëndore
Së pari vizatojmë bazën. Që kur dizajn paralel këndet dhe raportet e gjatësisë nuk janë segmente paralele nuk ruhen, trekëndëshi i rregullt në bazën e piramidës përshkruhet si një trekëndësh arbitrar.
Qendra trekëndëshi i rregulltështë pika e prerjes së ndërmjetësve të trekëndëshit. Meqenëse medianat në pikën e kryqëzimit ndahen në një raport 2:1, duke llogaritur nga kulmi, ne lidhim mendërisht kulmin e bazës me mesin e anës së kundërt, e ndajmë afërsisht në tre pjesë dhe vendosim një pikë në një distancë prej 2 pjesësh nga kulmi. Nga kjo pikë lart ne vizatojmë një pingul. Kjo është lartësia e piramidës. Ne vizatojmë një pingul me gjatësi të tillë që buza anësore të mos mbulojë imazhin e lartësisë.
Vizatimi i saktë piramidë katërkëndore
Ne gjithashtu fillojmë të vizatojmë një piramidë të rregullt katërkëndore nga baza. Meqenëse paralelizmi i segmenteve është ruajtur, por madhësitë e këndeve nuk janë, katrori në bazë përshkruhet si një paralelogram. Mundësisht kënd akut bëje këtë paralelogram më të vogël, atëherë faqet anësore do të jenë më të mëdha. Qendra e një katrori është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Ne tërheqim diagonale dhe rivendosim një pingul nga pika e kryqëzimit. Kjo pingul është lartësia e piramidës. Ne zgjedhim gjatësinë e pingulit në mënyrë që brinjët anësore të mos bashkohen me njëra-tjetrën.
Vizatimi i një piramide të rregullt gjashtëkëndore
Meqenëse gjatë projektimit paralel, paralelizmi i segmenteve ruhet, baza e një piramide të rregullt gjashtëkëndore - një gjashtëkëndësh i rregullt - përshkruhet si një gjashtëkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele dhe të barabarta. Qendra e një gjashtëkëndëshi të rregullt është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Për të mos rrëmuar vizatimin, ne nuk vizatojmë diagonale, por e gjejmë këtë pikë afërsisht. Prej saj rivendosim pingulin - lartësinë e piramidës - në mënyrë që brinjët anësore të mos bashkohen me njëra-tjetrën.
