Udhëzimet
Duke pasur parasysh një bazë piramidale katrore me një gjatësi të njohur të anës (a) dhe një vëllim të caktuar (V), zëvendësoni sipërfaqen në formulën e llogaritjes nga hapi i mëparshëm me gjatësinë e anës në katror: H = 3*V/a².
Formula nga hapi i parë mund të transformohet për të llogaritur lartësinë (H) të një piramide të rregullt me një bazë të çdo forme. Të dhënat fillestare që duhet të përfshihen në të janë vëllimi (V) i poliedrit, gjatësia e skajit në bazën (a) dhe numri i kulmeve në bazën (n). Sheshi shumëkëndëshi i rregullt përcaktohet nga një e katërta e prodhimit të numrit të kulmeve nga katrori i gjatësisë së brinjës dhe kotangjentja e këndit, e barabartë me raportin 180° dhe numrin e kulmeve: ¼*n*a²*ctg(180° /n). Zëvendësoni këtë shprehje në formulën nga hapi i parë: H = 3*V/(¼*n*a²*ctg(180°/n)) = 12*V/(n*a²*ctg(180°/n)) .
Nëse zona e bazës është e panjohur nga kushtet e problemit, dhe jepet vetëm vëllimi (V) dhe gjatësia e skajit (a), atëherë ndryshorja që mungon në formulën nga hapi i mëparshëm mund të zëvendësohet. nga ekuivalenti i tij, i shprehur në terma të gjatësisë së skajit. Sipërfaqja (ajo, siç e mbani mend, shtrihet në bazën e piramidës së llojit në fjalë) është e barabartë me një të katërtën e produktit rrënjë katrore nga tre në gjatësinë katrore të anës. Zëvendësoni këtë shprehje në vend të sipërfaqes së bazës në formulën nga hapi i mëparshëm dhe merrni rezultatin e mëposhtëm: H = 3*V*4/(a²*√3) = 12*V/(a²*√3 ).
Meqenëse vëllimi i një tetraedri mund të shprehet edhe përmes gjatësisë së një skaji, të gjitha variablat mund të hiqen nga formula për llogaritjen e lartësisë së një figure, duke lënë vetëm anën e faqes së saj. Vëllimi i kësaj piramide llogaritet duke pjesëtuar me 12 produktin e rrënjës katrore të dy me gjatësinë në kub të fytyrës. Zëvendësoni këtë shprehje në formulën nga hapi i mëparshëm dhe merrni rezultatin: H = 12*(a³*√2/12)/(a²*√3) = (a³*√2)/(a²*√3) = a* √⅔ = ⅓*a*√6.
Prizma e saktë mund të futet në një sferë dhe duke ditur vetëm rrezen e saj (R) mund të llogaritet tetraedri. Gjatësia e skajit është e barabartë me katërfishin e raportit të rrezes dhe rrënjës katrore prej gjashtë. Zëvendësoni variablin a në formulën nga hapi i mëparshëm me këtë shprehje dhe merrni barazinë: H = ⅓*√6*4*R/√6 = 4*r/3.
Një formulë e ngjashme mund të merret duke ditur rrezen (r) të rrethit të gdhendur në tetraedron. Në këtë rast, gjatësia e skajit do të jetë e barabartë me dymbëdhjetë raporte midis rrezes dhe katrorit prej gjashtë. Zëvendësoni këtë shprehje në formulën nga hapi i tretë: H = ⅓*a*√6 = ⅓*√6*12*R/√6 = 4*R.
Piramida është një nga figurat më mistike në gjeometri. Rrjedhat janë të lidhura me të energji kozmike, shumë popuj të lashtë zgjodhën këtë formë të veçantë për ndërtimin e ndërtesave të tyre fetare. Megjithatë, nga pikëpamja matematikore, një piramidë është vetëm një shumëkëndësh, me një shumëkëndësh në bazë, dhe fytyrat janë trekëndësha me maja e zakonshme. Le të shohim se si të gjejmë katrore skajet V piramidale.
Do t'ju duhet
- kalkulator.
Udhëzimet
Llojet e piramidave: të rregullta (në bazë është një shumëkëndësh i rregullt dhe kulmet në qendër), arbitrare (në bazë është çdo shumëkëndësh dhe projeksioni i kulmit nuk përkon domosdoshmërisht me qendrën e tij), drejtkëndëshe (një nga skajet anësore bëjnë një kënd të drejtë me bazën) dhe . Në varësi të anëve të shumëkëndëshit në bazën e piramidës, ai quhet tre-, katër-, pesë- ose, për shembull, dhjetëkëndor.
Për të gjitha llojet e piramidave, përveç atyre të cunguara: Shumëzoni gjatësitë e bazës së trekëndëshit dhe lartësinë e ulur mbi të nga maja e piramidës. Ndani produktin që rezulton me 2 - kjo do të jetë e dëshiruar katrore anësor skajet piramidat.
Piramida e cunguar Palosni të dy bazat e trapezit, i cili është faqja e një piramide të tillë. Ndani shumën që rezulton me dy. Shumëzoni vlerën që rezulton me lartësinë skajet-trapez. Vlera që rezulton është katrore anësor skajet piramidat të këtij lloji.
Video mbi temën
Zona e sipërfaqes anësore dhe bazës, perimetri i bazës së piramidës dhe vëllimi i saj janë të ndërlidhura formula të caktuara. Kjo ndonjëherë bën të mundur llogaritjen e vlerave të të dhënave që mungojnë të nevojshme për të përcaktuar sipërfaqen e një fytyre në piramidë.
Vëllimi i çdo piramide jo të cunguar është i barabartë me një të tretën e produktit të lartësisë së piramidës dhe sipërfaqes së bazës. Për një piramidë të rregullt, është e vërtetë: sipërfaqja e sipërfaqes anësore është e barabartë me gjysmën e perimetrit të bazës shumëzuar me lartësinë e njërës prej fytyrave. Kur llogaritni vëllimin e një piramide të cunguar, në vend të sipërfaqes së bazës, zëvendësoni vlerën e barabartë me shumën zonat e bazave të sipërme dhe të poshtme dhe rrënja katrore e produktit të tyre.
Burimet:
- Stereometria
- Si të gjeni faqen anësore të një piramide
Një piramidë quhet drejtkëndëshe nëse një nga skajet e saj është pingul me bazën e saj, domethënë qëndron në një kënd prej 90˚. Ky skaj është edhe lartësia piramidë drejtkëndëshe. Formula për vëllimin e një piramide është nxjerrë për herë të parë nga Arkimedi.
Do t'ju duhet
- - stilolaps;
- - letër;
- - kalkulator.
Udhëzimet
NË lartësi drejtkëndëshe do të jetë buza e saj, e cila qëndron në një kënd prej 90˚ me bazën. Si, zona e bazës drejtkëndore shënohet si S, dhe lartësia, e cila është gjithashtu piramidat, − h. Pastaj, për të gjetur vëllimin e kësaj piramidat, është e nevojshme të shumëzohet sipërfaqja e bazës së saj me lartësinë e saj dhe të pjesëtohet me 3. Kështu, vëllimi i një drejtkëndëshi piramidat llogaritur duke përdorur formulën: V=(S*h)/3.
Ndërtoni në vijim parametrat e dhënë. Etiketoni bazën e saj me latinisht ABCDE dhe majën e saj piramidat- S. Meqenëse vizatimi do të jetë në një plan në projeksion, për të mos u ngatërruar, tregoni të dhënat që tashmë i dini: SE = 30cm; S(ABCDE)=45 cm².
Llogaritni vëllimin e një drejtkëndëshi piramidat, duke përdorur formulën. Duke zëvendësuar të dhënat dhe duke bërë llogaritjet, rezulton se vëllimi i një drejtkëndëshi piramidat do të jetë e barabartë me: V=(45*30)/3=cm³.
Nëse deklarata e problemit nuk përmban të dhëna mbi dhe lartësinë piramidat, atëherë duhet të kryeni llogaritjet shtesë për të marrë këto vlera. Sipërfaqja e bazës do të llogaritet në varësi të faktit nëse poligoni shtrihet në bazën e tij.
Lartësia piramidat zbuloni nëse e dini hipotenuzën e ndonjë prej EDS ose EAS drejtkëndëshe dhe këndin në të cilin faqja anësore SD ose SA është e prirur në bazën e saj. Llogaritni këmbën SE duke përdorur teoremën e sinusit. Do të jetë lartësia e drejtkëndëshit piramidat.
Ju lutemi vini re
Kur llogaritni sasi të tilla si lartësia, vëllimi, sipërfaqja, duhet të mbani mend se secila prej tyre ka njësinë e vet të matjes. Pra, sipërfaqja matet në cm², lartësia në cm dhe vëllimi në cm³.
centimetër kubështë një njësi vëllimi që është e barabartë me vëllimin e një kubi me gjatësi buzë 1 cm. Nëse i zëvendësojmë të dhënat në formulën tonë, marrim: cm³= (cm²*cm)/3.
Këshilla të dobishme
Si rregull, nëse problemi kërkon gjetjen e vëllimit të një piramide drejtkëndore, atëherë dihen të gjitha të dhënat e nevojshme - të paktën për të gjetur sipërfaqen e bazës dhe lartësinë e figurës.
Një vizatim është hapi i parë dhe shumë i rëndësishëm në zgjidhje problemi gjeometrik. Si duhet të duket vizatimi i një piramide të rregullt?
Së pari le të kujtojmë vetitë e projektimit paralel:
- janë paraqitur segmente paralele të figurës segmente paralele;
— Ruhet raporti i gjatësive të segmenteve të drejtëzave paralele dhe segmenteve të një drejtëze.
Vizatimi i saktë piramidë trekëndore
Së pari vizatojmë bazën. Që kur dizajn paralel këndet dhe raportet e gjatësisë nuk janë segmente paralele nuk ruhen, trekëndëshi i rregullt në bazën e piramidës përshkruhet si një trekëndësh arbitrar.
Qendra e një trekëndëshi të rregullt është pika e prerjes së ndërmjetësve të trekëndëshit. Meqenëse medianat në pikën e kryqëzimit ndahen në një raport 2:1, duke llogaritur nga kulmi, ne lidhim mendërisht kulmin e bazës me mesin e anës së kundërt, e ndajmë afërsisht në tre pjesë dhe vendosim një pikë në një distancë prej 2 pjesësh nga kulmi. Nga kjo pikë ne tërheqim një pingul lart. Kjo është lartësia e piramidës. Vizatoni një pingul me gjatësi të tillë që brinjë anësore nuk e mbuloi imazhin e lartësisë.
Vizatimi i saktë piramidë katërkëndore
Ne gjithashtu fillojmë të vizatojmë një piramidë të rregullt katërkëndore nga baza. Meqenëse paralelizmi i segmenteve është ruajtur, por vlerat e këndeve nuk janë, katrori në bazë përshkruhet si një paralelogram. Mundësisht kënd akut bëje këtë paralelogram më të vogël, atëherë faqet anësore do të jenë më të mëdha. Qendra e një katrori është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Ne tërheqim diagonale dhe rivendosim një pingul nga pika e kryqëzimit. Kjo pingul është lartësia e piramidës. Ne zgjedhim gjatësinë e pingulit në mënyrë që brinjët anësore të mos bashkohen me njëra-tjetrën.
Vizatimi i saktë piramidë gjashtëkëndore
Meqenëse gjatë projektimit paralel, paralelizmi i segmenteve ruhet, baza e një piramide të rregullt gjashtëkëndore - një gjashtëkëndësh i rregullt - përshkruhet si një gjashtëkëndësh, anët e kundërta të të cilit janë paralele dhe të barabarta. Qendra e një gjashtëkëndëshi të rregullt është pika e kryqëzimit të diagonaleve të tij. Për të mos rrëmuar vizatimin, ne nuk vizatojmë diagonale, por e gjejmë këtë pikë afërsisht. Prej saj ne rivendosim pingulin - lartësinë e piramidës - në mënyrë që brinjët anësore të mos bashkohen me njëra-tjetrën.
Piramidat janë: trekëndëshe, katërkëndëshe etj., varësisht se cila është baza - trekëndëshi, katërkëndëshi etj.
Një piramidë quhet e rregullt (Fig. 286, b) nëse, së pari, baza e saj është një shumëkëndësh i rregullt dhe, së dyti, lartësia e saj kalon nga qendra e këtij shumëkëndëshi.
Përndryshe, piramida quhet e parregullt (Fig. 286, c). NË piramida e saktë të gjitha brinjët anësore janë të barabarta me njëra-tjetrën (siç janë të prirur me projeksione të barabarta). Prandaj, të gjitha faqet anësore të një piramide të rregullt janë trekëndësha të barabartë dykëndësh.
Analiza e elementeve të një piramide të rregullt gjashtëkëndore dhe përshkrimi i tyre në një vizatim kompleks (Fig. 287).
A) Vizatim kompleks piramida e rregullt gjashtëkëndore. Baza e piramidës ndodhet në rrafshin P 1; dy anët e bazës së piramidës janë paralele me rrafshin e projeksionit P 2.
b) Baza ABCDEF është një gjashtëkëndësh i vendosur në rrafshin e projeksionit P 1.
V) Buzë anësore ASF është një trekëndësh i vendosur në rrafshin e përgjithshëm.
d) Faqja anësore e FSE është një trekëndësh i vendosur në rrafshin e projektimit të profilit.
e) Buza SE është një segment në pozicionin e përgjithshëm.
f) Brinjë SA - segment frontal.
g) Maja S e piramidës është një pikë në hapësirë.
Figura 288 dhe 289 tregojnë shembuj të operacioneve grafike të njëpasnjëshme kur kryeni një vizatim kompleks dhe imazhe vizuale (aksonometri) të piramidave.
E dhënë:
1. Baza ndodhet në rrafshin P 1.
2. Njëra nga anët e bazës është paralele me boshtin x 12.
I. Vizatim kompleks.
Unë, a. Ne hartojmë bazën e piramidës - një poligon, sipas këtë gjendje
i shtrirë në aeroplanin P1.
Ne hartojmë një kulm - një pikë e vendosur në hapësirë. Lartësia e pikës S është e barabartë me lartësinë e piramidës. Projeksioni horizontal S 1 i pikës S do të jetë në qendër të projeksionit të bazës së piramidës (sipas kushteve).
Unë, b. Ne projektojmë skajet e piramidës - segmente; Për ta bërë këtë, ne lidhim projeksionet e kulmeve të bazës ABCDE me projeksionet përkatëse të kulmit të piramidës S me vija të drejta. Ne përshkruajmë projeksionet ballore S 2 C 2 dhe S 2 D 2 të skajeve të piramidës me vija të ndërprera, si të padukshme, të mbyllura nga skajet e piramidës (SА dhe SAE). Unë, c. Duke pasur parasysh një projeksion horizontal K 1 të pikës K në faqen anësore të SBA, ju duhet të gjeni projeksionin e saj ballor. Për ta bërë këtë, ne vizatojmë një vijë të drejtë ndihmëse S 1 F 1 përmes pikave S 1 dhe K 1, gjejmë projeksionin e saj ballor dhe mbi të duke përdorur
vijë vertikale lidhjen, ne përcaktojmë vendndodhjen e projeksionit të dëshiruar ballor K 2 të pikës K. II.
Zhvillimi i sipërfaqes së piramidës -
figurë e sheshtë 1
, i përbërë nga faqe anësore - trekëndësha identikë izosceles, njëra anë e të cilave është e barabartë me anën e bazës, dhe dy të tjerat - me skajet anësore, dhe nga një shumëkëndësh i rregullt - baza. Dimensionet natyrore të anëve të bazës zbulohen në projeksionin e saj horizontal. Dimensionet natyrore të brinjëve nuk u zbuluan në projeksione. Hipotenuza S 2 ¯A 2 (Fig. 288, , b) trekëndësh kënddrejtë
S 2 O 2 ¯A 2, e cila ka një këmbë të madhe e barabartë me lartësinë S 2 O 2 e piramidës, dhe e vogla është projeksioni horizontal i skajit S 1 A 1 është madhësia natyrore e skajit të piramidës. Ndërtimi i fshirjes duhet të kryhet në rendin e mëposhtëm: a) nga pikë arbitrare
S (kulmet) vizatojnë një hark me rreze R,
e barabartë me buzën piramidat;, që përbën zhvillimin e sipërfaqes anësore të kësaj piramide, të prerë përgjatë buzës SD;
d) ne lidhim bazën e piramidës - një pesëkëndësh - në çdo fytyrë duke përdorur metodën e trekëndëshit, për shembull në faqen DSE.
Transferimi i pikës K në skanim kryhet nga një vijë e drejtë ndihmëse duke përdorur dimensionin B 1 F 1 të marrë në projeksionin horizontal dhe dimensionin A 2 K 2 të marrë në madhësinë natyrale të brinjës.
III.
Një paraqitje vizuale e një piramide në izometri. 1
III, a.
Ne përshkruajmë bazën e piramidës duke përdorur koordinatat sipas (Fig. 288, 1
III, a.
, A).
Ne përshkruajmë majën e piramidës duke përdorur koordinatat sipas (Fig. 288,
III, b.
E dhënë:
Ne përshkruajmë skajet anësore të piramidës, duke lidhur majën me kulmet e bazës. Skaji S"D" dhe anët e bazës C"D" dhe D"E" përshkruhen me vija të ndërprera, si të padukshme, të mbyllura nga skajet e piramidës C"S"B", B"S"A" dhe A"S"E".
III, e.
Ne përcaktojmë pikën K në sipërfaqen e piramidës duke përdorur dimensionet y F dhe x K. Për një imazh dimetrik të një piramide, duhet të ndiqet e njëjta sekuencë.
Imazhi i një piramide të parregullt trekëndore. 1. Baza ndodhet në rrafshin P 1. 2. Ana BC e bazës është pingul me boshtin X.
I. Vizatim kompleks
Unë, a.
Projektimi i bazës së piramidës -
trekëndëshi dykëndësh , i shtrirë në rrafshin P 1, dhe kulmi S është një pikë e vendosur në hapësirë, lartësia e së cilës është e barabartë me lartësinë e piramidës. Unë, b.
Sekuenca e ndërtimit të zhvillimit të sipërfaqes së piramidës:
a) vizatoni një trekëndësh dykëndësh - faqe CSB, baza e të cilit është e barabartë me anën e bazës së piramidës CB, dhe anët- madhësia natyrale e brinjës SC;
b) ne lidhim dy trekëndësha në anët SC dhe SB të trekëndëshit të ndërtuar - faqet e piramidës CSA dhe BSA, dhe në bazën CB të trekëndëshit të ndërtuar - bazën CBA të piramidës, si rezultat marrim një të plotë zhvillimi i sipërfaqes së kësaj piramide.
Transferimi i pikës D në skanim kryhet në rendin e mëposhtëm: së pari, në skanimin e faqes anësore ASC, vizatojmë një vijë horizontale duke përdorur dimensionin R 1 dhe më pas përcaktojmë vendndodhjen e pikës D në vijën horizontale duke përdorur dimensioni R 2 .
III. Një paraqitje vizuale e piramidës dhe projeksionit dimetrik ballor
III, a. Ne përshkruajmë bazën A"B"C dhe majën S" të piramidës, duke përdorur koordinatat sipas (
Llogaritja e vëllimeve të figurave hapësinore është një nga detyra të rëndësishme stereometria. Në këtë artikull do të shqyrtojmë çështjen e përcaktimit të vëllimit të një poliedri të tillë si një piramidë, dhe gjithashtu do të japim një të rregullt gjashtëkëndor.
Piramida gjashtëkëndore
Së pari, le të shohim se cila është figura që do të diskutohet në artikull.
Le të kemi një gjashtëkëndësh arbitrar, anët e të cilit nuk janë domosdoshmërisht të barabarta me njëra-tjetrën. Le të supozojmë gjithashtu se kemi zgjedhur një pikë në hapësirë që nuk ndodhet në rrafshin e gjashtëkëndëshit. Duke lidhur të gjitha cepat e kësaj të fundit me pikën e përzgjedhur, marrim një piramidë. Dy piramida të ndryshme që kanë bazë gjashtëkëndore, janë paraqitur në figurën e mëposhtme.
Mund të shihet se përveç gjashtëkëndëshit, figura përbëhet nga gjashtë trekëndësha, pika lidhëse e të cilave quhet kulm. Dallimi midis piramidave të paraqitura është se lartësia h e së djathtës nuk e kryqëzon bazën gjashtëkëndore në të. qendra gjeometrike, dhe lartësia e figurës së majtë bie pikërisht në këtë qendër. Falë këtij kriteri, piramida e majtë quhej e drejtë, dhe piramida e djathtë quhej e prirur.
Meqenëse baza e figurës së majtë në figurë është e formuar nga një gjashtëkëndësh me brinjë dhe kënde të barabarta, ajo quhet e rregullt. Më tej në artikull do të flasim vetëm për këtë piramidë.
Për të llogaritur vëllimin e një piramide arbitrare, ne kemi formulën e mëposhtme:
Këtu h është gjatësia e lartësisë së figurës, S o është zona e bazës së saj. Le të përdorim këtë shprehje për të përcaktuar vëllimin e një piramide të rregullt gjashtëkëndore.
Meqenëse baza e figurës në fjalë është një gjashtëkëndësh barabrinjës, për të llogaritur sipërfaqen e tij mund të përdorni sa vijon shprehje e përgjithshme për n-gon:
S n = n/4 * a 2 * ctg(pi/n)
Këtu n është një numër i plotë i barabartë me numrin e brinjëve (këndeve) të shumëkëndëshit, a është gjatësia e brinjës së tij, funksioni kotangjent llogaritet duke përdorur tabelat përkatëse.
Duke aplikuar shprehjen për n = 6, marrim:
S 6 = 6/4 * a 2 * ctg(pi/6) = √3/2 * a 2
Tani gjithçka që mbetet është të zëvendësohet kjo shprehje me formulë e përgjithshme për vëllimin V:
V 6 = S 6 * h = √3/2 * h * a 2
Kështu, për të llogaritur vëllimin e piramidës në fjalë, është e nevojshme të njihen dy të saj parametri linear: gjatësia e anës së bazës dhe lartësia e figurës.
Shembull i zgjidhjes së problemit
Le të tregojmë se si shprehja rezultuese për V 6 mund të përdoret për të zgjidhur problemin e mëposhtëm.
Dihet se vëllimi i saktë është 100 cm 3 . Është e nevojshme të përcaktohet ana e bazës dhe lartësia e figurës nëse dihet se ato lidhen me njëra-tjetrën me barazinë e mëposhtme:
Meqenëse formula për vëllimin përfshin vetëm a dhe h, ju mund të zëvendësoni cilindo nga këto parametra në të, të shprehur në terma të tjetrit. Për shembull, duke zëvendësuar a, marrim:
V 6 = √3/2*h*(2*h) 2 =>
h = ∛(V 6 /(2*√3))
Për të gjetur lartësinë e një figure, duhet të merrni rrënjën e tretë të vëllimit, e cila korrespondon me dimensionin e gjatësisë. Zëvendësojmë vlerën e vëllimit V 6 të piramidës nga kushtet e problemit, marrim lartësinë:
h = ∛(100/(2*√3)) ≈ 3,0676 cm
Meqenëse ana e bazës, në përputhje me gjendjen e problemit, është dy herë më e madhe se vlera e gjetur, marrim vlerën për të:
a = 2*h = 2*3,0676 = 6,1352 cm
Vëllimi i një piramide gjashtëkëndore mund të gjendet jo vetëm përmes lartësisë së figurës dhe vlerës së anës së bazës së saj. Mjafton të dimë dy parametra të ndryshëm linearë të piramidës për ta llogaritur atë, për shembull, apotemën dhe gjatësinë e skajit anësor.
Probleme me piramidat. Në këtë artikull do të vazhdojmë të shqyrtojmë problemet me piramidat. Ato nuk mund t'i atribuohen asnjë klase ose lloji të detyrave dhe nuk mund të jepen rekomandime të përgjithshme (algoritmike) për zgjidhje. Vetëm se detyrat e mbetura që nuk u konsideruan më herët janë mbledhur këtu.
Unë do të rendis teorinë që ju duhet për të rifreskuar kujtesën tuaj përpara se të zgjidhni: piramidat, vetitë e ngjashmërisë së figurave dhe trupave, vetitë e piramidave të rregullta, teorema e Pitagorës, formula për sipërfaqen e një trekëndëshi (është e dyta). Le të shqyrtojmë detyrat:
Nga një piramidë trekëndore, vëllimi i së cilës është 80, një piramidë trekëndore shkëputet nga një aeroplan që kalon nëpër majën e piramidës dhe vijën e mesme të bazës. Gjeni vëllimin e piramidës trekëndore të prerë.
Vëllimi i një piramide është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së saj:
Këto piramida (origjinale dhe të prera) kanë një lartësi të përbashkët, kështu që vëllimet e tyre lidhen me sipërfaqet e bazave të tyre. Vija e mesme nga trekëndëshi origjinal, shkëput një trekëndësh, sipërfaqja e të cilit është katër herë më e vogël, domethënë:
Më shumë informacion rreth kësaj mund të gjeni këtu.
Kjo do të thotë se vëllimi i piramidës së prerë do të jetë katër herë më i vogël.
Pra do të jetë e barabartë me 20.
Përgjigje: 20
* një problem i ngjashëm, përdoret formula për sipërfaqen e një trekëndëshi.
Vëllimi i një piramide trekëndore është 15. Aeroplani kalon nëpër anën e bazës së kësaj piramide dhe kryqëzon buzën anësore të kundërt në një pikë duke e ndarë atë në një raport 1: 2, duke llogaritur nga maja e piramidës. Gjeni vëllimin më të madh të piramidave në të cilat rrafshi ndan piramidën origjinale.
Le të ndërtojmë një piramidë dhe të shënojmë kulmet.Le të shënojmë pikën E në skajin AS, në mënyrë që AE të jetë dy herë më e madhe se ES (kushti thotë që ES lidhet me AE sa 1 deri në 2), dhe të ndërtojmë rrafshin e treguar që kalon nëpër skajin AC dhe pikën E:
Le të analizojmë vëllimin e cilës piramidë do të jetë më i madh: EABC apo SEBC?
*Vëllimi i një piramide është i barabartë me një të tretën e produktit të sipërfaqes së bazës dhe lartësisë së saj:
Nëse marrim parasysh dy piramidat që rezultojnë dhe marrim fytyrën EBC si bazë në të dyja, bëhet e qartë se vëllimi i piramidës AEB do të jetë më i madh se vëllimi i piramidës SEBC. Pse?
Distanca nga pika A në rrafshin EBC është më e madhe se distanca nga pika S. Dhe kjo distancë luan rolin e lartësisë për ne.
Pra, le të gjejmë vëllimin e piramidës EABC.
Vëllimi i piramidës origjinale na është dhënë piramidat SABC dhe EABC kanë një bazë të përbashkët. Nëse vendosim raportin e lartësive, mund të përcaktojmë lehtësisht vëllimin.
Nga raporti i segmenteve ES dhe AE rezulton se AE është e barabartë me dy të tretat e ES. Lartësitë e piramidave SABC dhe EABC janë në të njëjtën marrëdhënie -lartësia e piramidës EABC do të jetë e barabartë me 2/3 e lartësisë së piramidës SABC.
Kështu, nëse
Se
Përgjigje: 10
Vëllimi i një piramide të rregullt gjashtëkëndore është 6. Ana e bazës është 1. Gjeni skajin anësor.
Në një piramidë të rregullt, kulmi është projektuar në qendër të bazës.Le të bëjmë ndërtime shtesë:
Ne mund të gjejmë skajin anësor nga trekëndëshi kënddrejtë SOC. Për ta bërë këtë ju duhet të dini SO dhe OS.
SO është lartësia e piramidës, ne mund ta llogarisim atë duke përdorur formulën e vëllimit:
Le të llogarisim sipërfaqen e bazës. është një gjashtëkëndësh i rregullt me anë të barabartë me 1. Sipërfaqja e një gjashtëkëndëshi të rregullt është e barabartë me sipërfaqen e gjashtë trekëndëshat barabrinjës me të njëjtën anë, më shumë për këtë (pika 6), pra:
Mjetet
OS = BC = 1, pasi në një gjashtëkëndësh të rregullt segmenti që lidh qendrën e tij me kulmin e barabartë me anën këtë gjashtëkëndësh.
Kështu, sipas teoremës së Pitagorës:
Përgjigje: 7
VëllimiVëllimi i një katërkëndëshi është 200. Gjeni vëllimin e një shumëkëndëshi, kulmet e të cilit janë mesi i skajeve të katërkëndëshit të dhënë.
Vëllimi i poliedrit të specifikuar e barabartë me diferencën vëllimet e tetraedrit origjinal V 0 dhe katër tetraedra të barabarta, secila prej të cilave përftohet duke prerë një rrafsh që kalon nëpër mes pikave të skajeve që kanë një kulm të përbashkët:
Le të përcaktojmë se çfarë e barabartë me vëllimin katërkëndësh i prerë.
Vini re se tetraedri origjinal dhe tetraedri "i prerë" janë trupa të ngjashëm. Dihet se raporti i vëllimeve trupa të ngjashëmështë e barabartë me k 3, ku k është koeficienti i ngjashmërisë. NË në këtë rastështë e barabartë me 2 (pasi të gjitha dimensionet lineare të tetraedrit origjinal janë dy herë më të mëdha se dimensionet përkatëse të atij të prerë):
Le të llogarisim vëllimin e katërkëndëshit të prerë:
Kështu, vëllimi i kërkuar do të jetë i barabartë me:
Përgjigje: 100
Sipërfaqja e katërkëndëshit është 120. Gjeni sipërfaqen e shumëkëndëshit, kulmet e të cilit janë mesi i skajeve të katërkëndëshit të dhënë.
Mënyra e parë:
Sipërfaqja e kërkuar përbëhet nga 8 trekëndësha barabrinjës me një anë sa gjysma e skajit të tetraedrit origjinal. Sipërfaqja e katërkëndëshit origjinal përbëhet nga 16 trekëndësha të tillë (në secilën nga 4 faqet e katërkëndëshit ka 4 trekëndësha), kështu që sipërfaqja e kërkuar është e barabartë me gjysmën e sipërfaqes së katërkëndëshit të dhënë dhe është e barabartë me 60.
Mënyra e dytë:
Meqenëse sipërfaqja e katërkëndëshit është e njohur, ne mund të gjejmë skajin e tij, më pas të përcaktojmë gjatësinë e skajit të shumëkëndëshit dhe më pas të llogarisim sipërfaqen e tij.
Sipërfaqja e një katërkëndëshi përbëhet nga katër zona të barabarta trekëndëshat e rregullt. Le të jetë brinja e një trekëndëshi të tillë (skaja e katërkëndëshit) e barabartë me a, atëherë mund të shkruajmë:
Kjo është e gjitha. Ju uroj fat!
Sinqerisht, Alexander Krutitskikh.
P.S: Do të isha mirënjohës nëse më tregoni për faqen në rrjetet sociale.
