Si të zgjidhni pabarazitë e fuqisë. Zgjidhja e ekuacioneve dhe pabarazive eksponenciale

Aktiv këtë mësim ne do të shikojmë pabarazitë e ndryshme eksponenciale dhe do të mësojmë se si t'i zgjidhim ato, bazuar në teknikën për zgjidhjen e më të thjeshtave pabarazitë eksponenciale

1. Përkufizimi dhe vetitë e një funksioni eksponencial

Le të kujtojmë përkufizimin dhe vetitë themelore funksioni eksponencial. Zgjidhja e të gjitha ekuacioneve dhe pabarazive eksponenciale bazohet në këto veti.

Funksioni eksponencialështë një funksion i formës , ku baza është shkalla dhe këtu x është variabla e pavarur, argumenti; y është ndryshorja e varur, funksioni.

Oriz. 1. Grafiku i funksionit eksponencial

Grafiku tregon eksponentë në rritje dhe në ulje, duke ilustruar funksionin eksponencial me një bazë më të madhe se një dhe më të vogël se një por më të madhe se zero, përkatësisht.

Të dy kthesat kalojnë nëpër pikën (0;1)

Vetitë e funksionit eksponencial:

Domeni: ;

Gama e vlerave: ;

Funksioni është monoton, rritet me, zvogëlohet me.

Një funksion monoton merr secilën nga vlerat e tij duke dhënë një vlerë të vetme argumenti.

Kur, kur argumenti rritet nga minus në plus pafundësi, funksioni rritet nga zero përfshirës në plus pafundësi, d.m.th., për vlerat e dhëna të argumentit kemi një funksion në rritje monotonike (). Përkundrazi, kur argumenti rritet nga minus në plus pafundësi, funksioni zvogëlohet nga pafundësia në zero përfshirëse, d.m.th., për vlerat e dhëna të argumentit kemi një funksion monotonik në rënie ().

2. Mosbarazimet më të thjeshta eksponenciale, metoda e zgjidhjes, shembull

Bazuar në sa më sipër, ne paraqesim një metodë për zgjidhjen e pabarazive të thjeshta eksponenciale:

Teknika për zgjidhjen e pabarazive:

Barazoni bazat e shkallëve;

Krahasoni metrikat duke i ruajtur ose ndryshuar në shenjë e kundërt pabarazitë.

Zgjidhja e pabarazive eksponenciale komplekse zakonisht konsiston në reduktimin e tyre në pabarazitë eksponenciale më të thjeshta.

Baza e shkallës është më e madhe se një, që do të thotë se shenja e pabarazisë është ruajtur:

Le të transformohemi anën e djathtë sipas vetive të shkallës:

Baza e shkallës është më e vogël se një, shenja e pabarazisë duhet të kthehet mbrapsht:

Për të zgjidhur pabarazinë kuadratike, zgjidhim atë përkatëse ekuacioni kuadratik:

Duke përdorur teoremën e Vietës gjejmë rrënjët:

Degët e parabolës janë të drejtuara lart.

Kështu, ne kemi një zgjidhje për pabarazinë:

Është e lehtë të merret me mend se ana e djathtë mund të përfaqësohet si një fuqi me një eksponent zero:

Baza e shkallës është më e madhe se një, shenja e pabarazisë nuk ndryshon, marrim:

Le të kujtojmë teknikën për zgjidhjen e pabarazive të tilla.

Merrni parasysh funksionin thyesor-racional:

Ne gjejmë domenin e përkufizimit:

Gjetja e rrënjëve të funksionit:

Funksioni ka një rrënjë të vetme,

Ne zgjedhim intervalet e shenjës konstante dhe përcaktojmë shenjat e funksionit në çdo interval:

Oriz. 2. Intervalet e qëndrueshmërisë së shenjës

Kështu e morëm përgjigjen.

Përgjigje:

3. Zgjidhja e pabarazive eksponenciale standarde

Le të shqyrtojmë pabarazitë me të njëjtët tregues, por për arsye të ndryshme.

Një nga vetitë e funksionit eksponencial është se për çdo vlerë të argumentit duhet rreptësisht vlerat pozitive, që do të thotë se mund të ndahet në një funksion eksponencial. Le ta ndajmë pabarazinë e dhënë me anën e djathtë të saj:

Baza e shkallës është më e madhe se një, shenja e pabarazisë ruhet.

Le të ilustrojmë zgjidhjen:

Figura 6.3 tregon grafikët e funksioneve dhe . Natyrisht, kur argumenti Mbi zero, grafiku i funksionit ndodhet lart, ky funksion është më i madh. Kur vlerat e argumentit janë negative, funksioni shkon më poshtë, është më i vogël. Kur argumenti është i barabartë, funksionet janë të barabarta, që do të thotë pikë e dhënëështë gjithashtu një zgjidhje për pabarazinë e dhënë.

Oriz. 3. Ilustrimi për shembull 4

Le ta transformojmë pabarazinë e dhënë sipas vetive të shkallës:

Këtu janë disa terma të ngjashëm:

Le t'i ndajmë të dyja pjesët në:

Tani vazhdojmë të zgjidhim në mënyrë të ngjashme me shembullin 4, ndajmë të dyja pjesët me:

Baza e shkallës është më e madhe se një, shenja e pabarazisë mbetet:

4. Zgjidhja grafike e mosbarazimeve eksponenciale

Shembulli 6 - Zgjidheni pabarazinë grafikisht:

Le të shohim funksionet në anën e majtë dhe të djathtë dhe të ndërtojmë një grafik për secilën prej tyre.

Funksioni është eksponencial dhe rritet në të gjithë domenin e tij të përkufizimit, d.m.th., për të gjithë vlerat reale argument.

Funksioni është linear dhe zvogëlohet në të gjithë domenin e tij të përkufizimit, d.m.th., për të gjitha vlerat reale të argumentit.

Nëse këto funksione kryqëzohen, domethënë sistemi ka një zgjidhje, atëherë një zgjidhje e tillë është unike dhe mund të merret me mend lehtësisht. Për ta bërë këtë, ne përsërisim mbi numrat e plotë ()

Është e lehtë të shihet se rrënja e këtij sistemi është:

Kështu, grafikët e funksioneve kryqëzohen në një pikë me një argument të barabartë me një.

Tani duhet të marrim një përgjigje. Kuptimi i pabarazisë së dhënë është se eksponenti duhet të jetë më i madh ose i barabartë me funksion linear, pra të jetë më i lartë ose të përkojë me të. Përgjigja është e qartë: (Figura 6.4)

Oriz. 4. Ilustrimi për shembull 6

Pra, ne shikuam zgjidhjen e pabarazive të ndryshme standarde eksponenciale. Më pas kalojmë në shqyrtimin e pabarazive eksponenciale më komplekse.

Bibliografi

Mordkovich A. G. Algjebra dhe parimet analiza matematikore. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algjebra dhe fillimet e analizës matematikore. - M.: Bustard. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn P. et al. - M.: Iluminizmi.

Math. md. Matematikë-përsëritje. com. Diffur. kemsu. ru.

Detyre shtepie

1. Algjebra dhe fillimet e analizës, klasat 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, Nr. 472, 473;

2. Zgjidh pabarazinë:

3. Zgjidh inekuacionin.

Ekuacionet dhe pabarazitë eksponenciale janë ato në të cilat e panjohura gjendet në eksponent.

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale shpesh zbret në zgjidhjen e ekuacionit a x = a b, ku a > 0, a ≠ 1, x është një e panjohur. Ky ekuacion ka një rrënjë të vetme x = b, pasi teorema e mëposhtme është e vërtetë:

Teorema. Nëse a > 0, a ≠ 1 dhe a x 1 = a x 2, atëherë x 1 = x 2.

Le të vërtetojmë deklaratën e konsideruar.

Le të supozojmë se barazia x 1 = x 2 nuk vlen, d.m.th. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а >1, atëherë funksioni eksponencial y = a x rritet dhe për këtë arsye pabarazia a x 1 duhet të plotësohet< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 >a x 2. Në të dyja rastet morëm një kontradiktë me kushtin a x 1 = a x 2.

Le të shqyrtojmë disa probleme.

Zgjidheni ekuacionin 4 ∙ 2 x = 1.

Zgjidhje.

E shkruajmë ekuacionin në formën 2 2 ∙ 2 x = 2 0 – 2 x+2 = 2 0, nga i cili marrim x + 2 = 0, d.m.th. x = -2.

Përgjigju. x = -2.

Zgjidheni ekuacionin 2 3x ∙ 3 x = 576.

Zgjidhje.

Meqenëse 2 3x = (2 3) x = 8 x, 576 = 24 2, ekuacioni mund të shkruhet si 8 x ∙ 3 x = 24 2 ose si 24 x = 24 2.

Nga këtu marrim x = 2.

Përgjigju. x = 2.

Zgjidheni ekuacionin 3 x+1 – 2∙3 x - 2 = 25.

Zgjidhje.

Duke e nxjerrë nga kllapat në anën e majtë shumëzues i përbashkët 3 x - 2, marrim 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) = 25 - 3 x - 2 ∙ 25 = 25,

prej nga 3 x - 2 = 1, d.m.th. x – 2 = 0, x = 2.

Përgjigju. x = 2.

Zgjidheni ekuacionin 3 x = 7 x.

Zgjidhje.

Meqenëse 7 x ≠ 0, ekuacioni mund të shkruhet si 3 x /7 x = 1, prej nga (3/7) x = 1, x = 0.

Përgjigju. x = 0.

Zgjidheni ekuacionin 9 x – 4 ∙ 3 x – 45 = 0.

Zgjidhje.

Duke zëvendësuar 3 x = a ekuacioni i dhënë redukton në ekuacionin kuadratik a 2 – 4a – 45 = 0.

Duke zgjidhur këtë ekuacion, gjejmë rrënjët e tij: a 1 = 9, dhe 2 = -5, prej nga 3 x = 9, 3 x = -5.

Ekuacioni 3 x = 9 ka rrënjë 2, dhe ekuacioni 3 x = -5 nuk ka rrënjë, pasi funksioni eksponencial nuk mund të marrë vlera negative.

Përgjigju. x = 2.

Zgjidhja e inekuacioneve eksponenciale shpesh zbret në zgjidhjen e pabarazive a x > a b ose a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Le të shohim disa probleme.

Zgjidhja e pabarazisë 3 x< 81.

Zgjidhje.

Le ta shkruajmë pabarazinë në formën 3 x< 3 4 . Так как 3 >1, atëherë funksioni y = 3 x po rritet.

Prandaj, për x< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Kështu, në x< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Përgjigju. X< 4.

Zgjidheni pabarazinë 16 x +4 x – 2 > 0.

Zgjidhje.

Le të shënojmë 4 x = t, atëherë marrim pabarazia kuadratike t2 + t – 2 > 0.

Kjo pabarazi vlen për t< -2 и при t > 1.

Meqenëse t = 4 x, marrim dy pabarazi 4 x< -2, 4 х > 1.

Pabarazia e parë nuk ka zgjidhje, pasi 4 x > 0 për të gjitha x € R.

Ne shkruajmë pabarazinë e dytë në formën 4 x > 4 0, prej nga x > 0.

Përgjigju. x > 0.

Zgjidh grafikisht ekuacionin (1/3) x = x – 2/3.

Zgjidhje.

1) Të ndërtojmë grafikë të funksioneve y = (1/3) x dhe y = x – 2/3.

2) Bazuar në figurën tonë, mund të konkludojmë se grafikët e funksioneve të konsideruara kryqëzohen në pikën me abshisën x ≈ 1. Kontrollimi vërteton se

x = 1 është rrënja e këtij ekuacioni:

(1/3) 1 = 1/3 dhe 1 – 2/3 = 1/3.

Me fjalë të tjera, ne kemi gjetur një nga rrënjët e ekuacionit.

3) Le të gjejmë rrënjë të tjera ose të vërtetojmë se nuk ka. Funksioni (1/3) x është në rënie, dhe funksioni y = x – 2/3 është në rritje. Prandaj, për x > 1, vlerat e funksionit të parë janë më pak se 1/3, dhe të dytit - më shumë se 1/3; në x< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х >1 dhe x< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Përgjigju. x = 1.

Vini re se nga zgjidhja e këtij problemi, në veçanti, rezulton se pabarazia (1/3) x > x – 2/3 plotësohet për x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

faqe interneti, kur kopjoni materialin plotësisht ose pjesërisht, kërkohet një lidhje me burimin.

dhe x = b është më e thjeshta ekuacioni eksponencial. Në të a më e madhe se zero dhe A nuk është e barabartë me një.

Zgjidhja e ekuacioneve eksponenciale

Nga vetitë e funksionit eksponencial e dimë se diapazoni i vlerave të tij është i kufizuar në pozitiv numra realë. Atëherë nëse b = 0, ekuacioni nuk ka zgjidhje. E njëjta situatë ndodh në ekuacionin ku b

Tani le të supozojmë se b>0. Nëse në funksionin eksponencial baza aështë më i madh se uniteti, atëherë funksioni do të rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Nëse në funksionin eksponencial për bazën A bërë kushti tjetër 0

Bazuar në këtë dhe duke zbatuar teoremën e rrënjës, gjejmë se ekuacioni a x = b ka një rrënjë të vetme, për b>0 dhe pozitive a Jo e barabartë me një. Për ta gjetur atë, ju duhet të përfaqësoni b në formën b = a c.
Atëherë është e qartë se Me do të jetë një zgjidhje e ekuacionit a x = a c.

Le të shqyrtojmë shembulli tjetër: zgjidh ekuacionin 5 (x 2 - 2*x - 1) = 25.

Le të imagjinojmë 25 si 5 2, marrim:

5 (x 2 - 2 * x - 1) = 5 2 .

Ose çfarë është ekuivalente:

x 2 - 2 * x - 1 = 2.

E zgjidhim ekuacionin kuadratik që rezulton me cilindo prej metodat e njohura. Marrim dy rrënjë x = 3 dhe x = -1.

Përgjigje: 3;-1.

Të zgjidhim ekuacionin 4 x - 5*2 x + 4 = 0. Të bëjmë zëvendësimin: t=2 x dhe të marrim ekuacionin kuadratik të mëposhtëm:

t 2 - 5 * t + 4 = 0.
Ne e zgjidhim këtë ekuacion duke përdorur ndonjë nga metodat e njohura. Marrim rrënjët t1 = 1 t2 = 4

Tani zgjidhim ekuacionet 2 x = 1 dhe 2 x = 4.

Përgjigje: 0; 2.

Zgjidhja e pabarazive eksponenciale

Zgjidhja e pabarazive më të thjeshta eksponenciale bazohet gjithashtu në vetitë e funksioneve rritëse dhe zvogëluese. Nëse në një funksion eksponencial baza a është më e madhe se një, atëherë funksioni do të rritet në të gjithë domenin e përkufizimit. Nëse në funksionin eksponencial për bazën A plotësohet kushti i mëposhtëm 0, atëherë ky funksion do të jetë në rënie në të gjithë grupin e numrave realë.