Shembuj logaritmesh me të njëjtën bazë. Rregullat e logaritmit për të vepruar me logaritme

Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe transformohen në çdo mënyrë. Por meqenëse logaritmet nuk janë saktësisht numrat e zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat quhen vetitë kryesore.

Ju patjetër duhet t'i dini këto rregulla - pa to asnjë problem i vetëm serioz nuk mund të zgjidhet. problemi logaritmik. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - mund të mësoni gjithçka brenda një dite. Pra, le të fillojmë.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: log a x dhe log a y. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

log a x+ log a y=log a (x · y);
log a x− log a y=log a (x : y).

Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe diferenca është e barabartë me logaritmin e herësit. Ju lutemi vini re: pika kyçe Këtu - baza identike. Nëse arsyet janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!

Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni shprehje logaritmike edhe kur pjesët e tij individuale nuk numërohen (shih mësimin " Çfarë është një logaritëm"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:

Regjistri 6 4 + regjistri 6 9.

Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log 6 4 + log 6 9 = log 6 (4 9) = log 6 36 = 2.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 2 48 − log 2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log 2 48 − log 2 3 = log 2 (48: 3) = log 2 16 = 4.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 3 135 − log 3 5.

Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log 3 135 − log 3 5 = log 3 (135: 5) = log 3 27 = 3.

Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk llogariten veçmas. Por pas shndërrimeve fitohen numra krejtësisht normalë. Shumë janë ndërtuar mbi këtë fakt testet. Po kontrollet? shprehje të ngjashme me gjithë seriozitetin (nganjëherë pa pothuajse asnjë ndryshim) ofrohen në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi

Tani le ta komplikojmë pak detyrën. Po sikur baza ose argumenti i një logaritmi të jetë një fuqi? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:

Është e lehtë të vërehet kjo rregulli i fundit ndjek dy të parat. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x> 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas, d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 7 49 6 .

Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log 7 49 6 = 6 log 7 49 = 6 2 = 12

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
[Diçitura për foton]

Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2. Ne kemi:

[Diçitura për foton]

Unë mendoj të shembulli i fundit kërkohet sqarim. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin. Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log 2 7. Meqenëse log 2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Duke folur për rregullat e mbledhjes dhe zbritjes së logaritmeve, theksova veçanërisht se ato punojnë vetëm me të njëjtat baza. Po nëse arsyet janë të ndryshme? Po sikur të mos jenë fuqi të sakta të të njëjtit numër?

Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet regjistri i logaritmit a x. Pastaj për çdo numër c të tilla që c> 0 dhe c≠ 1, barazia është e vërtetë:
[Diçitura për foton]
Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:
[Diçitura për foton]

Nga formula e dytë del se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në konvencionale shprehjet numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ata vetëm duke vendosur ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 5 16 log 2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log 5 16 = log 5 2 4 = 4log 5 2; log 2 25 = log 2 5 2 = 2log 2 5;

Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:

[Diçitura për foton]

Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log 9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:

[Diçitura për foton]

Tani le të heqim qafe logaritmi dhjetor, duke lëvizur në një bazë të re:

[Diçitura për foton]

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet tregues i shkallës që qëndron në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kështu quhet: bazë identiteti logaritmik.

Në fakt, çfarë do të ndodhë nëse numri b ngrenë në një fuqi të tillë që numri b kësaj fuqie i jep numri a? Kjo është e drejtë: ju merrni të njëjtin numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz ngecin në të.

Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:
[Diçitura për foton]

Vini re se log 25 64 = log 5 8 - thjesht mori katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Marrja parasysh e rregullave për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

[Diçitura për foton]

Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

Si përfundim, do të jap dy identitete që vështirë se mund të quhen veti - përkundrazi, ato janë pasoja të përkufizimit të logaritmit. Ato shfaqen vazhdimisht në probleme dhe çuditërisht krijojnë probleme edhe për studentët e “avancuar”.

log a a= 1 është një njësi logaritmike. Mos harroni një herë e përgjithmonë: logaritmin në çdo bazë a nga kjo bazë është e barabartë me një.
log a 1 = 0 është zero logaritmike. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një - logaritëm e barabartë me zero! Sepse a 0 = 1 është pasojë e drejtpërdrejtë nga përkufizimi.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

Sot do të flasim për formulat e logaritmit dhe japin tregues shembuj zgjidhjesh.

Ata vetë nënkuptojnë modele zgjidhjesh sipas vetive themelore të logaritmeve. Përpara se të aplikoni formula logaritmike për zgjidhje, le t'ju kujtojmë të gjitha vetitë:

Tani, bazuar në këto formula (veti), do të tregojmë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve.

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve bazuar në formula.

Logaritmi një numër pozitiv b për bazën a (i shënuar me log a b) është një eksponent tek i cili duhet të rritet a për të marrë b, me b > 0, a > 0 dhe 1.

Sipas përkufizimit, log a b = x, që është ekuivalente me a x = b, pra log a a x = x.

Logaritmet, shembuj:

log 2 8 = 3, sepse 2 3 = 8

log 7 49 = 2, sepse 7 2 = 49

log 5 1/5 = -1, sepse 5 -1 = 1/5

Logaritmi dhjetor- ky është një logaritëm i zakonshëm, baza e të cilit është 10. Shënohet si lg.

log 10 100 = 2, sepse 10 2 = 100

Logaritmi natyror- gjithashtu logaritmi i zakonshëm i logaritmit, por me bazën e (e = 2.71828... - numër irracional). Shënuar si ln.

Këshillohet që formulat ose vetitë e logaritmeve të mësohen përmendësh, sepse ato do të na duhen më vonë gjatë zgjidhjes së logaritmeve, ekuacioneve logaritmike dhe pabarazive. Le të shqyrtojmë secilën formulë përsëri me shembuj.

Identiteti bazë logaritmik
a log a b = b
8 2log 8 3 = (8 2log 8 3) 2 = 3 2 = 9
Logaritmi i produktit e barabartë me shumën logaritme
log a (bc) = log a b + log a c
log 3 8.1 + log 3 10 = log 3 (8.1*10) = log 3 81 = 4
Logaritmi i herësit e barabartë me diferencën logaritme
log a (b/c) = log a b - log a c
9 log 5 50 /9 log 5 2 = 9 log 5 50- log 5 2 = 9 log 5 25 = 9 2 = 81
Vetitë e fuqisë së një numri logaritmik dhe bazës së logaritmit
Eksponenti i numrit logaritmik log a b m = mlog a b

Eksponenti i bazës së logaritmit log a n b =1/n*log a b

log a n b m = m/n*log a b,

nëse m = n, marrim log a n b n = log a b

log 4 9 = log 2 2 3 2 = log 2 3
Kalimi në një themel të ri
log a b = log c b/log c a,
nëse c = b, marrim log b b = 1

atëherë log a b = 1/log b a

log 0.8 3*log 3 1.25 = log 0.8 3*log 0.8 1.25/log 0.8 3 = log 0.8 1.25 = log 4/5 5/4 = -1

Siç mund ta shihni, formulat për logaritmet nuk janë aq të komplikuara sa duken. Tani, pasi kemi parë shembuj të zgjidhjes së logaritmeve, mund të kalojmë te ekuacionet logaritmike. Ne do të shikojmë shembuj të zgjidhjes së ekuacioneve logaritmike në më shumë detaje në artikullin: "". Mos e humbisni!

Nëse keni ende pyetje në lidhje me zgjidhjen, shkruajini ato në komentet e artikullit.

Shënim: ne vendosëm të merrnim një klasë tjetër arsimimi dhe të studionim jashtë vendit si opsion.

vetitë kryesore.

logax + logaj = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

baza identike

Ditari 6 4 + log6 9.

Tani le ta komplikojmë pak detyrën.

Shembuj të zgjidhjes së logaritmeve

Po sikur baza ose argumenti i një logaritmi të jetë një fuqi? Atëherë eksponenti i kësaj shkalle mund të hiqet nga shenja e logaritmit sipas rregullave të mëposhtme:

Natyrisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x >

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Kalimi në një themel të ri

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Shihni gjithashtu:

Vetitë themelore të logaritmit

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Eksponenti është 2.718281828…. Për të kujtuar eksponentin, mund të studioni rregullin: eksponenti është i barabartë me 2.7 dhe dyfishi i vitit të lindjes së Leo Nikolaevich Tolstoy.

Vetitë themelore të logaritmeve

Duke ditur këtë rregull, ju do të dini dhe vlerën e saktë ekspozuesit dhe datën e lindjes së Leo Tolstoit.

Shembuj për logaritmet

Shprehje logaritmesh

Shembulli 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Duke përdorur vetitë 3.5 ne llogarisim

4. Ku .

Shembulli 2. Gjeni x nëse

Shembulli 3. Le të jepet vlera e logaritmeve

Llogarit log(x) nëse

Vetitë themelore të logaritmeve

Logaritmet, si çdo numër, mund të shtohen, zbriten dhe transformohen në çdo mënyrë. Por meqenëse logaritmet nuk janë saktësisht numra të zakonshëm, këtu ka rregulla, të cilat thirren vetitë kryesore.

Ju patjetër duhet t'i dini këto rregulla - pa to, asnjë problem i vetëm serioz logaritmik nuk mund të zgjidhet. Për më tepër, ka shumë pak prej tyre - mund të mësoni gjithçka brenda një dite. Pra, le të fillojmë.

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: logax dhe logaj. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

logax + logaj = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Pra, shuma e logaritmeve është e barabartë me logaritmin e produktit, dhe diferenca është e barabartë me logaritmin e herësit. Ju lutemi vini re: pika kryesore këtu është baza identike. Nëse arsyet janë të ndryshme, këto rregulla nuk funksionojnë!

Këto formula do t'ju ndihmojnë të llogaritni një shprehje logaritmike edhe kur pjesët e saj individuale nuk merren parasysh (shihni mësimin "Çfarë është logaritmi"). Hidhini një sy shembujve dhe shikoni:

Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log2 48 − log2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log3 135 − log3 5.

Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Siç mund ta shihni, shprehjet origjinale përbëhen nga logaritme "të këqija", të cilat nuk llogariten veçmas. Por pas shndërrimeve fitohen numra krejtësisht normalë. Shumë teste bazohen në këtë fakt. Po, shprehjet e ngjashme me testin ofrohen me gjithë seriozitetin (nganjëherë praktikisht pa ndryshime) në Provimin e Unifikuar të Shtetit.

Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi

Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parët. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas , d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin. Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log7 496.

Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 24; 49 = 72. Kemi:

Unë mendoj se shembulli i fundit kërkon disa sqarime. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin.

Formulat e logaritmit. Logaritme shembuj zgjidhjesh.

Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log2 7. Meqenëse log2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:

Nga formula e dytë del se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log5 16 log2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:

Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:

Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kështu quhet: .

Në fakt, çfarë ndodh nëse numri b ngrihet në një fuqi të tillë që numri b në këtë fuqi të japë numrin a? Kjo është e drejtë: rezultati është i njëjti numër a. Lexojeni përsëri këtë paragraf me kujdes - shumë njerëz ngecin në të.

Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se log25 64 = log5 8 - thjesht mori katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

logaa = 1 është. Mbani mend një herë e përgjithmonë: logaritmi për çdo bazë a të vetë asaj baze është i barabartë me një.
Loga 1 = 0 është. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një, logaritmi është i barabartë me zero! Sepse a0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

Shihni gjithashtu:

Logaritmi i b për bazën a tregon shprehjen. Të llogaritësh logaritmin do të thotë të gjesh një fuqi x () në të cilën plotësohet barazia

Vetitë themelore të logaritmit

Është e nevojshme të njihen vetitë e mësipërme, pasi pothuajse të gjitha problemet dhe shembujt që lidhen me logaritmet zgjidhen në bazë të tyre. Pjesa tjetër e vetive ekzotike mund të nxirren përmes manipulimeve matematikore me këto formula

1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.

Gjatë llogaritjes së formulës për shumën dhe ndryshimin e logaritmeve (3.4) hasni mjaft shpesh. Pjesa tjetër është disi komplekse, por në një numër detyrash ato janë të domosdoshme për thjeshtimin e shprehjeve komplekse dhe llogaritjen e vlerave të tyre.

Rastet e zakonshme të logaritmeve

Disa nga logaritmet e zakonshme janë ato në të cilat baza është madje dhjetë, eksponenciale ose dy.
Logaritmi në bazën dhjetë zakonisht quhet logaritmi dhjetor dhe shënohet thjesht me lg(x).

Nga regjistrimi shihet qartë se në regjistrim nuk janë të shkruara bazat. Për shembull

Një logaritëm natyror është një logaritëm, baza e të cilit është një eksponent (i shënuar me ln(x)).

Eksponenti është 2.718281828…. Për të kujtuar eksponentin, mund të studioni rregullin: eksponenti është i barabartë me 2.7 dhe dyfishi i vitit të lindjes së Leo Nikolaevich Tolstoy. Duke ditur këtë rregull, do të dini vlerën e saktë të eksponentit dhe datën e lindjes së Leo Tolstoit.

Dhe një tjetër logaritëm i rëndësishëm për bazën dy shënohet me

Derivati i logaritmit të një funksioni është i barabartë me një pjesëtuar me variablin

Logaritmi integral ose antiderivativ përcaktohet nga marrëdhënia

Materiali i dhënë është i mjaftueshëm që ju të zgjidhni një klasë të gjerë problemesh që lidhen me logaritmet dhe logaritmet. Për t'ju ndihmuar të kuptoni materialin, unë do të jap vetëm disa shembuj të zakonshëm nga kurrikula shkollore dhe universitetet.

Shembuj për logaritmet

Shprehje logaritmesh

Shembulli 1.
A). x=10ac^2 (a>0,c>0).

Duke përdorur vetitë 3.5 ne llogarisim

2.
Nga vetia e diferencës së logaritmeve kemi

3.
Duke përdorur vetitë 3.5 gjejmë

4. Ku .

Në pamje shprehje komplekse përdorimi i një numri rregullash është thjeshtuar për t'u formuar

Gjetja e vlerave të logaritmit

Shembulli 2. Gjeni x nëse

Zgjidhje. Për llogaritjen, ne aplikojmë për termin e fundit 5 dhe 13 vetitë

E vumë në procesverbal dhe vajtojmë

Meqenëse bazat janë të barabarta, ne i barazojmë shprehjet

Logaritmet. Niveli i hyrjes.

Le të jepet vlera e logaritmeve

Llogarit log(x) nëse

Zgjidhje: Le të marrim një logaritëm të ndryshores për të shkruar logaritmin përmes shumës së termave të saj

Ky është vetëm fillimi i njohjes sonë me logaritmet dhe vetitë e tyre. Praktikoni llogaritjet, pasuroni aftësitë tuaja praktike - së shpejti do t'ju nevojiten njohuritë që merrni për të zgjidhur ekuacionet logaritmike. Duke studiuar metodat themelore për zgjidhjen e ekuacioneve të tilla, ne do të zgjerojmë njohuritë tuaja në një temë tjetër po aq të rëndësishme - pabarazitë logaritmike ...

Vetitë themelore të logaritmeve

Mbledhja dhe zbritja e logaritmeve

Konsideroni dy logaritme me baza të njëjta: logax dhe logaj. Pastaj ato mund të shtohen dhe zbriten, dhe:

logax + logaj = loga(x y);
logax − logay = loga (x: y).

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log6 4 + log6 9.

Meqenëse logaritmet kanë të njëjtat baza, ne përdorim formulën e shumës:
log6 4 + log6 9 = log6 (4 9) = log6 36 = 2.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log2 48 − log2 3.

Bazat janë të njëjta, ne përdorim formulën e ndryshimit:
log2 48 − log2 3 = log2 (48: 3) = log2 16 = 4.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log3 135 − log3 5.

Përsëri bazat janë të njëjta, kështu që kemi:
log3 135 − log3 5 = log3 (135: 5) = log3 27 = 3.

Nxjerrja e eksponentit nga logaritmi

Është e lehtë të shihet se rregulli i fundit ndjek dy të parët. Por është më mirë ta mbani mend gjithsesi - në disa raste do të zvogëlojë ndjeshëm sasinë e llogaritjeve.

Sigurisht, të gjitha këto rregulla kanë kuptim nëse respektohet ODZ e logaritmit: a > 0, a ≠ 1, x > 0. Dhe një gjë tjetër: mësoni të zbatoni të gjitha formulat jo vetëm nga e majta në të djathtë, por edhe anasjelltas , d.m.th. Ju mund të futni numrat përpara shenjës së logaritmit në vetë logaritmin.

Si të zgjidhni logaritmet

Kjo është ajo që kërkohet më shpesh.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log7 496.

Le të heqim qafe shkallën në argument duke përdorur formulën e parë:
log7 496 = 6 log7 49 = 6 2 = 12

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se emëruesi përmban një logaritëm, baza dhe argumenti i të cilit janë fuqitë e sakta: 16 = 24; 49 = 72. Kemi:

Unë mendoj se shembulli i fundit kërkon disa sqarime. Ku kanë shkuar logaritmet? Deri në momentin e fundit ne punojmë vetëm me emëruesin. Ne paraqitëm bazën dhe argumentin e logaritmit që qëndron atje në formën e fuqive dhe nxorëm eksponentët - morëm një fraksion "tre-katëshe".

Tani le të shohim fraksionin kryesor. Numëruesi dhe emëruesi përmbajnë të njëjtin numër: log2 7. Meqenëse log2 7 ≠ 0, ne mund ta zvogëlojmë thyesën - 2/4 do të mbetet në emërues. Sipas rregullave të aritmetikës, katër mund të transferohen në numërues, gjë që është bërë. Rezultati ishte përgjigja: 2.

Kalimi në një themel të ri

Formulat për kalimin në një themel të ri vijnë në shpëtim. Le t'i formulojmë ato në formën e një teoreme:

Le të jepet logaksi i logaritmit. Atëherë për çdo numër c të tillë që c > 0 dhe c ≠ 1, barazia është e vërtetë:

Në veçanti, nëse vendosim c = x, marrim:

Nga formula e dytë del se baza dhe argumenti i logaritmit mund të ndërrohen, por në këtë rast e gjithë shprehja është "përmbysur", d.m.th. logaritmi shfaqet në emërues.

Këto formula rrallë gjenden në shprehjet e zakonshme numerike. Është e mundur të vlerësohet se sa të përshtatshëm janë ato vetëm kur zgjidhen ekuacionet logaritmike dhe pabarazitë.

Megjithatë, ka probleme që nuk mund të zgjidhen fare, përveçse duke kaluar në një themel të ri. Le të shohim disa nga këto:

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log5 16 log2 25.

Vini re se argumentet e të dy logaritmave përmbajnë fuqi të sakta. Le të nxjerrim treguesit: log5 16 = log5 24 = 4log5 2; log2 25 = log2 52 = 2log2 5;

Tani le të "ndryshojmë" logaritmin e dytë:

Meqenëse produkti nuk ndryshon kur riorganizojmë faktorët, ne shumëzuam me qetësi katër dhe dy, dhe më pas u morëm me logaritmet.

Detyrë. Gjeni vlerën e shprehjes: log9 100 lg 3.

Baza dhe argumenti i logaritmit të parë janë fuqi të sakta. Le ta shkruajmë këtë dhe të heqim qafe treguesit:

Tani le të heqim qafe logaritmin dhjetor duke kaluar në një bazë të re:

Identiteti bazë logaritmik

Shpesh në procesin e zgjidhjes është e nevojshme të paraqitet një numër si logaritëm në një bazë të caktuar. Në këtë rast, formulat e mëposhtme do të na ndihmojnë:

Në rastin e parë, numri n bëhet eksponent në argument. Numri n mund të jetë absolutisht çdo gjë, sepse është vetëm një vlerë logaritmi.

Formula e dytë është në fakt një përkufizim i parafrazuar. Kështu quhet: .

Ashtu si formulat për kalimin në një bazë të re, identiteti logaritmik bazë është ndonjëherë zgjidhja e vetme e mundshme.

Detyrë. Gjeni kuptimin e shprehjes:

Vini re se log25 64 = log5 8 - thjesht mori katrorin nga baza dhe argumenti i logaritmit. Duke marrë parasysh rregullat për shumëzimin e fuqive me të njëjtën bazë, marrim:

Nëse dikush nuk e di, kjo ishte një detyrë e vërtetë nga Provimi i Unifikuar i Shtetit :)

Njësia logaritmike dhe zero logaritmike

logaa = 1 është. Mbani mend një herë e përgjithmonë: logaritmi për çdo bazë a të vetë asaj baze është i barabartë me një.
Loga 1 = 0 është. Baza a mund të jetë çdo gjë, por nëse argumenti përmban një, logaritmi është i barabartë me zero! Sepse a0 = 1 është një pasojë e drejtpërdrejtë e përkufizimit.

Këto janë të gjitha pronat. Sigurohuni që të praktikoni zbatimin e tyre! Shkarkoni fletën e mashtrimit në fillim të mësimit, printojeni dhe zgjidhni problemet.

\(a^(b)=c\) \(\Shigjeta majtas\) \(\log_(a)(c)=b\)

Le ta shpjegojmë më thjesht. Për shembull, \(\log_(2)(8)\) e barabartë me fuqinë, në të cilën \(2\) duhet të ngrihet për të marrë \(8\). Nga kjo është e qartë se \(\log_(2)(8)=3\).

Shembuj:	\(\log_(5)(25)=2\)	sepse \(5^(2)=25\)
	\(\log_(3)(81)=4\)	sepse \(3^(4)=81\)
	\(\log_(2)\)\(\frac(1)(32)\) \(=-5\)	sepse \(2^(-5)=\)\(\frac(1)(32)\)

Argumenti dhe baza e logaritmit

Çdo logaritëm ka "anatominë" e mëposhtme:

Argumenti i një logaritmi zakonisht shkruhet në nivelin e tij, dhe baza shkruhet në nënshkrim më afër shenjës së logaritmit. Dhe kjo hyrje lexohet kështu: "logaritmi nga njëzet e pesë në bazën pesë".

Si të llogarisni logaritmin?

Për të llogaritur logaritmin, duhet t'i përgjigjeni pyetjes: në çfarë fuqie duhet të ngrihet baza për të marrë argumentin?

Për shembull, njehso logaritmin: a) \(\log_(4)(16)\) b) \(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) c) \(\log_(\ sqrt (5))(1)\) d) \(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))\) e) \(\log_(3)(\sqrt(3))\)

a) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(4\) për të marrë \(16\)? Natyrisht e dyta. Kjo është arsyeja pse:

\(\log_(4)(16)=2\)

\(\log_(3)\)\(\frac(1)(3)\) \(=-1\)

c) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(\sqrt(5)\) për të marrë \(1\)? Çfarë fuqie e bën çdo numër një? Zero, sigurisht!

\(\log_(\sqrt(5))(1)=0\)

d) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(\sqrt(7)\) për të marrë \(\sqrt(7)\)? Së pari, çdo numër në fuqinë e parë është i barabartë me vetveten.

\(\log_(\sqrt(7))(\sqrt(7))=1\)

e) Në çfarë fuqie duhet të ngrihet \(3\) për të marrë \(\sqrt(3)\)? Nga ne e dimë se çfarë është fuqia thyesore, dhe kjo do të thotë rrënjë katroreështë fuqia e \(\frac(1)(2)\) .

\(\log_(3)(\sqrt(3))=\)\(\frac(1)(2)\)

Shembull : Llogarit logaritmin \(\log_(4\sqrt(2))(8)\)

Zgjidhje :

\(\log_(4\sqrt(2))(8)=x\)		Duhet të gjejmë vlerën e logaritmit, le ta shënojmë si x. Tani le të përdorim përkufizimin e një logaritmi: \(\log_(a)(c)=b\) \(\Shigjeta majtas\) \(a^(b)=c\)
\((4\sqrt(2))^(x)=8\)		Çfarë lidh \(4\sqrt(2)\) dhe \(8\)? Dy, sepse të dy numrat mund të përfaqësohen me dy: \(4=2^(2)\) \(\sqrt(2)=2^(\frac(1)(2)) \(8=2^(3)\)
\(((2^(2)\cdot2^(\frac(1)(2))))^(x)=2^(3)\)		Në të majtë përdorim vetitë e shkallës: \(a^(m)\cdot a^(n)=a^(m+n)\) dhe \((a^(m))^(n)= a^(m\cdot n)\)
\(2^(\frac(5)(2)x)=2^(3)\)		Bazat janë të barabarta, kalojmë në barazinë e treguesve
\(\frac(5x)(2)\) \(=3\)		Shumëzoni të dyja anët e ekuacionit me \(\frac(2)(5)\)
		Rrënja që rezulton është vlera e logaritmit

Përgjigju : \(\log_(4\sqrt(2))(8)=1,2\)

Pse u shpik logaritmi?

Për ta kuptuar këtë, le të zgjidhim ekuacionin: \(3^(x)=9\). Thjesht përputhni \(x\) për ta bërë ekuacionin të funksionojë. Sigurisht, \(x=2\).

Tani zgjidhni ekuacionin: \(3^(x)=8\).Pse e barabartë me x? Kjo është pika.

Më të zgjuarit do të thonë: "X është pak më pak se dy". Si ta shkruajmë saktësisht këtë numër? Për t'iu përgjigjur kësaj pyetjeje, u shpik logaritmi. Falë tij, përgjigja këtu mund të shkruhet si \(x=\log_(3)(8)\).

Dua të theksoj se \(\log_(3)(8)\), si çdo logaritëm është vetëm një numër. Po, duket e pazakontë, por është e shkurtër. Sepse po të donim ta shkruanim në formë dhjetore, atëherë do të dukej kështu: \(1.892789260714.....\)

Shembull : Zgjidheni ekuacionin \(4^(5x-4)=10\)

Zgjidhje :

\(4^(5x-4)=10\)		\(4^(5x-4)\) dhe \(10\) nuk mund të sillen në të njëjtën bazë. Kjo do të thotë që ju nuk mund të bëni pa një logaritëm. Le të përdorim përkufizimin e logaritmit: \(a^(b)=c\) \(\Shigjeta majtas\) \(\log_(a)(c)=b\)
\(\log_(4)(10)=5x-4\)		Le ta kthejmë ekuacionin në mënyrë që X të jetë në të majtë
\(5x-4=\log_(4)(10)\)		Para nesh. Le të lëvizim \(4\) në të djathtë. Dhe mos kini frikë nga logaritmi, trajtojeni atë si një numër të zakonshëm.
\(5x=\log_(4)(10)+4\)		Pjestojeni ekuacionin me 5
\(x=\)\(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)		Kjo është rrënja jonë. Po, duket e pazakontë, por ata nuk e zgjedhin përgjigjen.

Përgjigju : \(\frac(\log_(4)(10)+4)(5)\)

Logaritmet dhjetore dhe natyrore

Siç thuhet në përkufizimin e një logaritmi, baza e tij mund të jetë çdo numër pozitiv, me përjashtim të njësisë \((a>0, a\neq1)\). Dhe midis të gjitha bazave të mundshme, ka dy që ndodhin aq shpesh sa u shpik një shënim i veçantë i shkurtër për logaritmet me to:

Logaritmi natyror: një logaritëm baza e të cilit është numri i Euler-it \(e\) (i barabartë me afërsisht \(2.7182818…\)), dhe logaritmi shkruhet si \(\ln(a)\).

Kjo është, \(\ln(a)\) është e njëjtë me \(\log_(e)(a)\)

Logaritmi dhjetor: Një logaritëm baza e të cilit është 10 shkruhet \(\lg(a)\).

Kjo është, \(\lg(a)\) është i njëjtë me \(\log_(10)(a)\), ku \(a\) është një numër.

Identiteti bazë logaritmik

Logaritmet kanë shumë veti. Njëri prej tyre quhet "Identiteti themelor logaritmik" dhe duket kështu:

\(a^(\log_(a)(c))=c\)

Kjo veti rrjedh drejtpërdrejt nga përkufizimi. Le të shohim saktësisht se si lindi kjo formulë.

Le të kujtojmë shënim i shkurtër Përkufizimet e logaritmit:

nëse \(a^(b)=c\), atëherë \(\log_(a)(c)=b\)

Kjo do të thotë, \(b\) është e njëjtë me \(\log_(a)(c)\). Atëherë mund të shkruajmë \(\log_(a)(c)\) në vend të \(b\) në formulën \(a^(b)=c\). Doli \(a^(\log_(a)(c))=c\) - identiteti kryesor logaritmik.

Mund të gjeni veti të tjera të logaritmeve. Me ndihmën e tyre, ju mund të thjeshtoni dhe llogaritni vlerat e shprehjeve me logaritme, të cilat janë të vështira për t'u llogaritur drejtpërdrejt.

Shembull : Gjeni vlerën e shprehjes \(36^(\log_(6)(5))\)

Zgjidhje :

Përgjigju : \(25\)

Si të shkruani një numër si logaritëm?

Siç u përmend më lart, çdo logaritëm është vetëm një numër. E kundërta është gjithashtu e vërtetë: çdo numër mund të shkruhet si logaritëm. Për shembull, ne e dimë se \(\log_(2)(4)\) është e barabartë me dy. Pastaj në vend të dy mund të shkruani \(\log_(2)(4)\).

Por \(\log_(3)(9)\) është gjithashtu e barabartë me \(2\), që do të thotë se mund të shkruajmë gjithashtu \(2=\log_(3)(9)\) . Po kështu me \(\log_(5)(25)\), dhe me \(\log_(9)(81)\), etj. Kjo është, rezulton

\(2=\log_(2)(4)=\log_(3)(9)=\log_(4)(16)=\log_(5)(25)=\log_(6)(36)=\ log_(7)(49)...\)

Kështu, nëse kemi nevojë, mund të shkruajmë dy si logaritëm me çdo bazë kudo (qoftë në një ekuacion, në një shprehje ose në një pabarazi) - ne thjesht shkruajmë bazën në katror si argument.

Është e njëjta gjë me trefishin - mund të shkruhet si \(\log_(2)(8)\), ose si \(\log_(3)(27)\), ose si \(\log_(4)( 64) \)... Këtu shkruajmë bazën në kub si argument:

\(3=\log_(2)(8)=\log_(3)(27)=\log_(4)(64)=\log_(5)(125)=\log_(6)(216)=\ log_(7)(343)...\)

Dhe me katër:

\(4=\log_(2)(16)=\log_(3)(81)=\log_(4)(256)=\log_(5)(625)=\log_(6)(1296)=\ log_(7)(2401)...\)

Dhe me minus një:

\(-1=\) \(\log_(2)\)\(\frac(1)(2)\) \(=\) \(\log_(3)\)\(\frac(1)( 3)\) \(=\) \(\log_(4)\)\(\frac(1)(4)\) \(=\) \(\log_(5)\)\(\frac(1 )(5)\) \(=\) \(\log_(6)\)\(\frac(1)(6)\) \(=\) \(\log_(7)\)\(\frac (1)(7)\) \(...\)

Dhe me një të tretën:

\(\frac(1)(3)\) \(=\log_(2)(\sqrt(2))=\log_(3)(\sqrt(3))=\log_(4)(\sqrt( 4))=\log_(5)(\sqrt(5))=\log_(6)(\sqrt(6))=\log_(7)(\sqrt(7))...\)

Çdo numër \(a\) mund të përfaqësohet si një logaritëm me bazën \(b\): \(a=\log_(b)(b^(a))\)

Shembull : Gjeni kuptimin e shprehjes \(\frac(\log_(2)(14))(1+\log_(2)(7))\)

Zgjidhje :

Përgjigju : \(1\)