Përcaktoni monotoninë e një funksioni në linjë. Pse të eksploroni një funksion duke përdorur derivatin e tij? Përgatitja për testin e provimit me Shkolkovo është çelësi i suksesit tuaj

duke u rritur në intervalin \(X\) nëse për çdo \(x_1, x_2\në X\) të tillë që \(x_1 0\) për çdo \(t\in \mathbb(R)\) .

Kështu, funksioni \(f(t)\) po rritet rreptësisht për të gjitha \(t\in \mathbb(R)\) .

Kjo do të thotë se ekuacioni \(f(ax)=f(x^2)\) është ekuivalent me ekuacionin \(ax=x^2\) .

Ekuacioni \(x^2-ax=0\) për \(a=0\) ka një rrënjë \(x=0\), dhe për \(a\ne 0\) ka dy rrënjë të ndryshme \(x_1 =0 \) dhe \(x_2=a\) .
Duhet të gjejmë vlerat e \(a\) në të cilat ekuacioni do të ketë të paktën dy rrënjë, duke marrë gjithashtu parasysh faktin se \(a>0\) .
Prandaj, përgjigjja është: \(a\in (0;+\infty)\) .

Përgjigje:

\((0;+\infty)\) .

Detyra 4 #1232

Niveli i detyrës: I barabartë me Provimin e Unifikuar të Shtetit

Gjeni të gjitha vlerat e parametrit \(a\), për secilën prej të cilave ekuacioni \

ka një zgjidhje unike.

Le të shumëzojmë anën e djathtë dhe të majtë të ekuacionit me \(2^(\sqrt(x+1))\) (pasi \(2^(\sqrt(x+1))>0\) ) dhe ta rishkruajmë ekuacionin në formën :\

Merrni parasysh funksionin \(y=2^t\cdot \log_(\frac(1)(9))((t+2))\) për \(t\geqslant 0\) (pasi \(\sqrt (x +1)\geqslant 0\) ).

Derivati \(y"=\left(-2^t\cdot \log_9((t+2))\right)"=-\dfrac(2^t)(\ln9)\cdot \left(\ln 2\ cdot \ln((t+2))+\dfrac(1)(t+2)\djathtas)\) .

Sepse \(2^t>0, \ \dfrac(1)(t+2)>0, \ \ln((t+2))>0\) për të gjitha \(t\geqslant 0\) , pastaj \( y"0\) për të gjitha \(a\). Për rrjedhojë, ekuacioni ka gjithmonë dy rrënjë \(x_1\) dhe \(x_2\), dhe ato janë të shenjave të ndryshme (pasi sipas teoremës së Vietës \(x_1\cdot x_2 =-\dfrac(1)(a^2) 0 në . X= 0 derivati shkon në zero. Funksioni rritet në mënyrë monotonike përgjatë gjithë boshtit numerik.

Ekstremi i funksionit

Përkufizimi 1. Pika X 0 quhet pika maksimale e funksionit f(XX 0 vlen pabarazia

Përkufizimi 2. Pika X 1 quhet pika minimale e funksionit f(X), nëse në ndonjë lagje të pikës X 1, pabarazia qëndron

Vlerat e funksionit në pika X 0 dhe X 1 thirren në përputhje me rrethanat maksimale dhe minimale të funksionit.

Funksionet maksimale dhe minimale janë të bashkuara me një emër të përbashkët ekstremi i funksionit.

Ekstremumi i një funksioni shpesh quhet ekstreme lokale, duke theksuar faktin se koncepti i ekstremit lidhet vetëm me një lagje mjaftueshëm të vogël të pikës x n. Pra, në një interval një funksion mund të ketë disa ekstreme, dhe mund të ndodhë që minimumi në një pikë të jetë më i madh se maksimumi në një tjetër, për shembull, në figurën 8

Prania e një maksimumi (ose minimumi) në një pikë të veçantë në interval X nuk do të thotë fare se në këtë pikë funksioni f(X) merr vlerën më të madhe (më të vogël) në këtë interval (ose, siç thonë ata, ka maksimumi global (minimumi)).

Kushti i domosdoshëm për një ekstrem: Në mënyrë për funksionin y =f(X) kishte një ekstrem në atë pikë X 0, është e nevojshme që derivati i tij në këtë pikë të jetë i barabartë me zero ( )ose nuk ekzistonte.

Pikat ku janë bërë kusht i nevojshëm ekstrem, d.m.th. derivati është zero ose nuk ekziston quhen kritike(ose stacionare ).

Kështu, nëse ka një ekstrem në çdo moment, atëherë kjo pikë është kritike. Megjithatë, është shumë e rëndësishme të theksohet se e kundërta nuk është e vërtetë. Pika kritike nuk është domosdoshmërisht një pikë ekstreme.

Figura 8 – Funksioni ekstrem f(X)

Shembulli 1. Gjeni pikat kritike të funksionit dhe verifikoni praninë ose mungesën e një ekstremi në këto pika.

Si të futni formulat matematikore në faqen e internetit?

Nëse ndonjëherë ju duhet të shtoni një ose dy formula matematikore në një faqe interneti, atëherë mënyra më e lehtë për ta bërë këtë është siç përshkruhet në artikull: formulat matematikore futen lehtësisht në faqe në formën e fotografive që gjenerohen automatikisht nga Wolfram Alpha . Përveç thjeshtësisë, kjo metodë universale do të ndihmojë në përmirësimin e shikueshmërisë së faqes në internet Motorë kërkimi. Ajo ka funksionuar për një kohë të gjatë (dhe, mendoj, do të funksionojë përgjithmonë), por tashmë është e vjetëruar moralisht.

Nëse përdorni vazhdimisht formula matematikore në faqen tuaj të internetit, atëherë ju rekomandoj të përdorni MathJax - një bibliotekë speciale JavaScript që shfaq shënimi matematik në shfletuesit e internetit duke përdorur shënimin MathML, LaTeX ose ASCIIMathML.

Ka dy mënyra për të filluar përdorimin e MathJax: (1) duke përdorur një kod të thjeshtë, mund të lidhni shpejt një skript MathJax me faqen tuaj, i cili do të jetë në momentin e duhur ngarkohet automatikisht nga një server në distancë (lista e serverëve); (2) shkarkoni skriptin MathJax nga një server në distancë në serverin tuaj dhe lidheni atë me të gjitha faqet e faqes tuaj. Metoda e dytë - më komplekse dhe kërkon kohë - do të përshpejtojë ngarkimin e faqeve të faqes suaj, dhe nëse serveri prind MathJax bëhet përkohësisht i padisponueshëm për ndonjë arsye, kjo nuk do të ndikojë në faqen tuaj në asnjë mënyrë. Pavarësisht këtyre avantazheve, unë zgjodha metodën e parë pasi është më e thjeshtë, më e shpejtë dhe nuk kërkon aftësi teknike. Ndiqni shembullin tim dhe në vetëm 5 minuta do të jeni në gjendje të përdorni të gjitha veçoritë e MathJax në faqen tuaj.

Ju mund të lidhni skriptin e bibliotekës MathJax nga një server në distancë duke përdorur dy opsione kodi të marra nga faqja kryesore e internetit e MathJax ose në faqen e dokumentacionit:

Një nga këto opsione kodi duhet të kopjohet dhe ngjitet në kodin e faqes tuaj të internetit, mundësisht midis etiketave dhe ose menjëherë pas etiketës. Sipas opsionit të parë, MathJax ngarkon më shpejt dhe ngadalëson faqen më pak. Por opsioni i dytë monitoron dhe ngarkon automatikisht versionet më të fundit të MathJax. Nëse futni kodin e parë, ai do të duhet të përditësohet periodikisht. Nëse futni kodin e dytë, faqet do të ngarkohen më ngadalë, por nuk do t'ju duhet të monitoroni vazhdimisht përditësimet e MathJax.

Mënyra më e lehtë për të lidhur MathJax është në Blogger ose WordPress: në panelin e kontrollit të faqes, shtoni një miniaplikacion të krijuar për të futur kodin JavaScript të palës së tretë, kopjoni në të versionin e parë ose të dytë të kodit të shkarkimit të paraqitur më sipër dhe vendoseni miniaplikacionin më afër. në fillim të shabllonit (nga rruga, kjo nuk është aspak e nevojshme, pasi skripti MathJax ngarkohet në mënyrë asinkrone). Kjo eshte e gjitha. Tani mësoni sintaksën e shënimit të MathML, LaTeX dhe ASCIIMathML dhe jeni gati të futni formula matematikore në faqet e internetit të faqes suaj.

Çdo fraktal ndërtohet sipas një rregull të caktuar, i cili aplikohet në mënyrë sekuenciale një numër të pakufizuar herë. Çdo kohë e tillë quhet përsëritje.

Algoritmi përsëritës për ndërtimin e një sfungjeri Menger është mjaft i thjeshtë: kubi origjinal me anën 1 ndahet me plane paralele me faqet e tij në 27 kube të barabarta. Një kub qendror dhe 6 kube ngjitur me të përgjatë fytyrave hiqen prej tij. Rezultati është një grup i përbërë nga 20 kube më të vegjël të mbetur. Duke bërë të njëjtën gjë me secilin prej këtyre kubeve, marrim një grup të përbërë nga 400 kube më të vegjël. Duke e vazhduar këtë proces pafundësisht, marrim një sfungjer Menger.

Rritja, zvogëlimi dhe ekstremi i një funksioni

Gjetja e intervaleve të rritjes, zvogëlimit dhe ekstremit të një funksioni është si më poshtë: një detyrë e pavarur, dhe pjesa më e rëndësishme e detyrave të tjera, në veçanti, një studim i plotë i funksionit. Informacioni fillestar për rritjen, uljen dhe ekstremin e funksionit jepen në kapitullin teorik për derivatin, të cilin e rekomandoj fuqimisht për studim paraprak. (ose përsëritje)– edhe për arsye se materiali i mëposhtëm bazohet në vetë në thelb derivat, duke qenë një vazhdim harmonik i këtij artikulli. Megjithëse, nëse koha është e shkurtër, atëherë është gjithashtu e mundur një praktikë thjesht formale e shembujve nga mësimi i sotëm.

Dhe sot ka një frymë unanimiteti të rrallë në ajër, dhe unë mund të ndjej drejtpërdrejt se të gjithë të pranishmit po digjen nga dëshira për të mësuar se si të studiojnë një funksion duke përdorur derivatin. Prandaj, terminologjia e arsyeshme, e mirë, e përjetshme shfaqet menjëherë në ekranet e monitorit tuaj.

Per cfare? Një nga arsyet është më praktike: për të bërë të qartë se çfarë kërkohet në përgjithësi nga ju në një detyrë të caktuar!

Monotonia e funksionit. Pikat ekstreme dhe ekstremet e një funksioni

Le të shqyrtojmë disa funksione. Për ta thjeshtuar, supozojmë se është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike:

Për çdo rast, le të shpëtojmë menjëherë nga iluzionet e mundshme, veçanërisht për ata lexues që së fundmi janë njohur me intervalet e shenjës së vazhdueshme të funksionit. Tani nuk jemi të INTERESUAR se si ndodhet grafiku i funksionit në lidhje me boshtin (sipër, poshtë, ku kryqëzohet boshti). Për të qenë bindës, fshini mendërisht sëpatat dhe lini një grafik. Sepse aty qëndron interesi.

Një funksion rritet në një interval nëse, për çdo dy pika të këtij intervali, të lidhura me marrëdhënie, pabarazia është e vërtetë. Kjo eshte, vlerë më të madhe argumenti korrespondon me një vlerë më të madhe të funksionit, dhe grafiku i tij shkon "nga poshtë lart". Funksioni i demonstrimit rritet gjatë intervalit.

Në mënyrë të ngjashme, një funksion zvogëlohet në një interval nëse për çdo dy pika të një intervali të caktuar të tillë që , pabarazia është e vërtetë. Kjo është, vlera më e madhe e argumentit korrespondon VLERA E ULËT funksion, dhe grafiku i tij shkon nga lart poshtë. Funksioni ynë zvogëlohet në intervale .

Nëse një funksion rritet ose zvogëlohet në një interval, atëherë ai quhet rreptësisht monotonik në këtë interval. Çfarë është monotonia? Merre fjalë për fjalë - monotoni.

Ju gjithashtu mund të përcaktoni një funksion jo-zvogëlues (gjendje e relaksuar në përkufizimin e parë) dhe një funksion jo-rritës (gjendje e relaksuar në përkufizimin e dytë). Një funksion që nuk zvogëlohet ose nuk rritet në një interval quhet funksioni monoton në këtë interval (monotonia e rreptë - rast i veçantë"thjesht" monotoni).

Teoria konsideron gjithashtu qasje të tjera për përcaktimin e rritjes/uljes së një funksioni, duke përfshirë në gjysmë-intervale, segmente, por për të mos derdhur vaj-vaj-vaj mbi kokën tuaj, ne do të biem dakord të operojmë me intervale të hapura me përkufizime kategorike. - kjo është më e qartë, dhe për zgjidhjen e shumë probleme praktike mjaftueshem.

Kështu, në artikujt e mi, formulimi "monotonia e një funksioni" pothuajse gjithmonë do të fshihet intervale monotoni i rreptë (funksioni rreptësisht rritës ose rreptësisht zvogëlues).

Lagjja e një pike. Fjalë pas të cilave studentët ikin kudo që të munden dhe fshihen të tmerruar nëpër qoshe. ...Edhe pse pas postimit Kufijtë e Cauchy ndoshta nuk fshihen më, por vetëm dridhen pak =) Mos u shqetëso, tani nuk do të ketë prova të teoremave analiza matematikore– Më duhej mjedisi për të formuluar përkufizime në mënyrë më strikte pika ekstreme. Le të kujtojmë:

Lagjja e një pike quhet intervali që përmban këtë pikë, ndërsa për lehtësi, intervali shpesh supozohet të jetë simetrik. Për shembull, një pikë dhe lagja standarde e saj:

Në fakt, përkufizimet:

Një pikë quhet pikë maksimale strikte nëse ekziston lagjen e saj, për të gjitha vlerat e të cilave, përveç pikës vetë, pabarazia . Në tonë shembull specifik kjo është pika.

Një pikë quhet pikë minimale strikte nëse ekziston lagjen e saj, për të gjitha vlerat e të cilave, përveç pikës vetë, pabarazia . Në vizatim është pika “a”.

shënim : kërkesa e simetrisë së lagjes nuk është aspak e nevojshme. Veç kësaj, vetë fakti i ekzistencës së një lagjeje (edhe të vogël, madje mikroskopike) që kënaq kushtet e specifikuara

Pikat quhen pika rreptësisht ekstreme ose thjesht pika ekstreme të funksionit. Kjo do të thotë, është një term i përgjithësuar për pikët maksimale dhe pikët minimale.

Si e kuptojmë fjalën "ekstrem"? Po, po aq drejtpërdrejt sa monotonia. Pikat ekstreme të slitës me rul.

Ashtu si në rastin e monotonitetit, postulatet e lirshme ekzistojnë dhe janë edhe më të zakonshme në teori (të cilat, natyrisht, rastet e rrepta të konsideruara bien!):

Një pikë quhet pikë maksimale nëse ekziston rrethinat e tij janë të tilla që për të gjithë
Një pikë quhet pikë minimale nëse ekziston fqinjësia e saj e tillë që për të gjitha vlerat e kësaj lagjeje pabarazia .

Vini re se sipas dy përkufizimeve të fundit, çdo pikë e një funksioni konstant (ose një "seksion i sheshtë" i një funksioni) konsiderohet si një pikë maksimale dhe një pikë minimale! Funksioni, meqë ra fjala, është edhe jo në rritje edhe jozvogëlues, domethënë monoton. Megjithatë, ne do t'ua lëmë këto konsiderata teoricienëve, pasi në praktikë ne pothuajse gjithmonë soditim "kodrat" dhe "gropat" tradicionale (shih vizatimin) me një "mbret të kodrës" ose "princeshë të kënetës" unike. Si një shumëllojshmëri, ajo shfaqet bakshish, drejtuar lart ose poshtë, për shembull, minimumi i funksionit në pikë.

Oh, dhe duke folur për mbretërinë:
– vlera quhet maksimumi i funksionit;
– vlera quhet minimumi i funksionit.

Emer i perbashket– ekstreme të funksionit.

Ju lutemi kini kujdes me fjalët tuaja!

Pikat ekstreme janë vlera "X".
Ekstremet janë vlera "loje".

! shënim : ndonjëherë termat e renditur i referohen pikave “X-Y” që shtrihen drejtpërdrejt në GRAFIKU TË VETË funksionit.

Sa ekstreme mund të ketë një funksion?

Asnjë, 1, 2, 3, ... etj. në pafundësi. Për shembull, sinusi ka pafundësisht shumë minima dhe maksimum.

E RËNDËSISHME! Termi "maksimumi i një funksioni" nuk është identik me termin " vlera maksimale funksione." Është e lehtë të vërehet se vlera është maksimale vetëm në një lagje lokale, dhe ka "shokët më të ftohtë" lart majtas. Po kështu, "funksioni minimal" nuk është i njëjtë me " vlerë minimale funksionet”, dhe në vizatim shohim se vlera është minimale vetëm në një zonë të caktuar. Në këtë drejtim quhen edhe pika ekstreme pikat ekstreme lokale, dhe ekstremi - ekstremet lokale . Ata ecin dhe enden pranë dhe globale vëllezër. Pra, çdo parabolë ka në kulmin e saj minimumi global ose maksimumi global. Më tej, nuk do të bëj dallimin midis llojeve të ekstremeve, dhe shpjegimi shprehet më shumë për qëllime të përgjithshme arsimore - mbiemrat shtesë "lokal" / "global" nuk duhet t'ju befasojnë.

Le të përmbledhim ekskursionin tonë të shkurtër në teori me një goditje testuese: çfarë do të thotë detyra "gjeni intervalet e monotonitetit dhe pikat ekstreme të funksionit"?

Formulimi ju inkurajon të gjeni:

– intervalet e funksionit në rritje/zvogëlim (jo-zvogëlimi, jo-rritja shfaqet shumë më rrallë);

– pikët maksimale dhe/ose minimale (nëse ekzistojnë). Epo, për të shmangur dështimin, është më mirë të gjesh vetë minimumet/maksimumet ;-)

Si të përcaktohet e gjithë kjo? Duke përdorur funksionin e derivatit!

Si të gjeni intervalet e rritjes, zvogëlimit,
pikat ekstreme dhe ekstremet e funksionit?

Shumë rregulla, në fakt, tashmë njihen dhe kuptohen nga mësimi mbi kuptimin e derivateve.

Derivati tangjent sjell lajmin e gëzuar se funksioni rritet në të gjithë domenin e përkufizimit.

Me kotangjent dhe derivatin e tij situata është pikërisht e kundërta.

Arksina rritet gjatë intervalit - derivati këtu është pozitiv: .
Kur funksioni është i përcaktuar, por jo i diferencueshëm. Megjithatë, në pikën kritike ka një derivat të djathtë dhe një tangjente djathtas, dhe në skajin tjetër ka homologët e tyre të majtë.

Unë mendoj se nuk do të jetë shumë e vështirë për ju të bëni një arsyetim të ngjashëm për kosinusin e harkut dhe derivatin e tij.

Të gjitha rastet e renditura, shumë prej të cilave janë derivate tabelare, ju kujtoj, rrjedhin drejtpërdrejt nga përkufizimi i një derivati.

Pse të eksploroni një funksion duke përdorur derivatin e tij?

Për të kuptuar më mirë se si duket grafiku i këtij funksioni: ku shkon “nga poshtë-lart”, ku “nga lart-poshtë”, ku arrin minimumet dhe maksimalet (nëse i arrin fare). Jo të gjitha funksionet janë kaq të thjeshta - në shumicën e rasteve nuk kemi fare ide për grafikun e një funksioni të caktuar.

Është koha për të kaluar në shembuj më kuptimplotë dhe për të shqyrtuar algoritmin për gjetjen e intervaleve të monotonitetit dhe ekstremeve të një funksioni:

Shembulli 1

Gjeni intervalet e rritjes/uljes dhe ekstremeve të funksionit

Zgjidhja:

1) Në hapin e parë, duhet të gjeni domenin e përkufizimit të funksionit, dhe gjithashtu të merrni parasysh pikat e ndërprerjes (nëse ato ekzistojnë). NË në këtë rast funksioni është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, dhe këtë veprim V në një masë të caktuar zyrtarisht. Por në një sërë rastesh, pasionet serioze ndizen këtu, kështu që le ta trajtojmë paragrafin pa përbuzje.

2) Pika e dytë e algoritmit është për shkak të

një kusht i domosdoshëm për një ekstrem:

Nëse ka një ekstrem në një pikë, atëherë ose vlera nuk ekziston.

Të hutuar nga fundi? Ekstremumi i funksionit "moduli x". .

Kushti është i nevojshëm, por jo i mjaftueshëm, dhe e kundërta nuk është gjithmonë e vërtetë. Pra, nga barazia nuk del ende që funksioni arrin një maksimum ose minimum në pikën . Shembull klasik tashmë e theksuar më lart - kjo është një parabolë kub dhe pika e saj kritike.

Por sido që të jetë, kushti i nevojshëm për një ekstrem dikton nevojën për të gjetur pika të dyshimta. Për ta bërë këtë, gjeni derivatin dhe zgjidhni ekuacionin:

Në fillim të artikullit të parë në lidhje me grafikët e funksioneve, ju thashë se si të ndërtoni shpejt një parabolë duke përdorur shembullin : “...marrim derivatin e parë dhe e barazojmë me zero: ...Pra, zgjidhja e ekuacionit tonë: - pikërisht në këtë pikë ndodhet kulmi i parabolës...”. Tani, mendoj, të gjithë e kuptojnë pse kulmi i parabolës ndodhet pikërisht në këtë pikë =) Në përgjithësi, duhet të fillojmë me një shembull të ngjashëm këtu, por është shumë i thjeshtë (edhe për një bedel). Për më tepër, ekziston një analog në fund të mësimit për derivatin e një funksioni. Prandaj, le të rrisim shkallën:

Shembulli 2

Gjeni intervalet e monotonitetit dhe ekstremeve të funksionit

Ky është një shembull për vendim i pavarur. Zgjidhje e plotë dhe një mostër përfundimtare të përafërt të detyrës në fund të mësimit.

Ka ardhur momenti i shumëpritur i takimit me funksionet thyesore-racionale:

Shembulli 3

Eksploroni një funksion duke përdorur derivatin e parë

Kushtojini vëmendje mënyrës se si mund të riformulohet e njëjta detyrë.

Zgjidhja:

1) Funksioni pëson ndërprerje të pafundme në pika.

2) Ne zbulojmë pika kritike. Le të gjejmë derivatin e parë dhe ta barazojmë me zero:

Le të zgjidhim ekuacionin. Një thyesë është e barabartë me zero kur numëruesi i saj e barabartë me zero:

Kështu, marrim tre pika kritike:

3) Ne grafikojmë TË GJITHA pikat e zbuluara në vijën numerike dhe përdorim metodën e intervalit për të përcaktuar shenjat e DERIVATIT:

Ju kujtoj se duhet të merrni një pikë në interval dhe të llogarisni vlerën e derivatit në të dhe përcaktoni shenjën e saj. Është më e dobishme të mos numërosh, por të "vlerësosh" gojarisht. Le të marrim, për shembull, një pikë që i përket intervalit dhe të kryejmë zëvendësimin: .

Dy "plus" dhe një "minus" japin një "minus", pra, që do të thotë se derivati është negativ gjatë gjithë intervalit.

Veprimi, siç e kuptoni, duhet të kryhet për secilën nga gjashtë intervalet. Nga rruga, vini re se faktori numërues dhe emëruesi janë rreptësisht pozitivë për çdo pikë në çdo interval, gjë që thjeshton shumë detyrën.

Pra, derivati na tha se VETË FUNKSIONI rritet me dhe zvogëlohet me. Është i përshtatshëm për të bashkuar intervale të të njëjtit lloj me ikonën e bashkimit.

Në pikën që funksioni arrin maksimumin e tij:
Në pikën që funksioni arrin një minimum:

Mendoni pse nuk duhet të rillogaritni vlerën e dytë ;-)

Kur kalon nëpër një pikë, derivati nuk ndryshon shenjë, kështu që funksioni nuk ka EKSTREME - ai u zvogëlua dhe mbeti në rënie.

! Le të përsërisim pikë e rëndësishme: pikat nuk konsiderohen kritike - funksioni nuk është i përcaktuar në to. Prandaj, këtu në parim nuk mund të ketë ekstreme (edhe nëse derivati ndryshon shenjën).

Përgjigje: funksioni rritet me dhe zvogëlohet me Në pikën që arrihet maksimumi i funksionit: , dhe në pikën – minimumi: .

Njohja e intervaleve të monotonitetit dhe ekstremeve, shoqëruar me asimptota të vendosura, tashmë jep një shfaqje e mirë O pamjen grafika e funksionit. Një person i nivelit mesatar të trajnimit është në gjendje të përcaktojë verbalisht se grafiku i një funksioni ka dy asimptota vertikale dhe asimptotë e zhdrejtë. Këtu është heroi ynë:

Provoni edhe një herë të lidhni rezultatet e studimit me grafikun e këtij funksioni.
Nuk ka ekstrem në pikën kritike, por ka një pikë lakimi në grafik (që, si rregull, ndodh në raste të ngjashme).

Shembulli 4

Gjeni ekstremin e funksionit

Shembulli 5

Gjeni intervalet e monotonitetit, maksimumin dhe minimumin e funksionit

…është pothuajse si një lloj feste "X në një kub" sot....
Soooo, kush në galeri ofroi të pijë për këtë? =)

Çdo detyrë ka nuancat e veta thelbësore dhe hollësitë teknike, të cilat komentohen në fund të mësimit.

Funksioni thirret duke u rritur në interval
, nëse për ndonjë pikë

qëndron pabarazia
(një vlerë më e madhe argumenti korrespondon me një vlerë më të madhe funksioni).

Po kështu, funksioni
thirrur duke u ulur në interval
, nëse për ndonjë pikë
nga ky interval nëse plotësohet kushti
qëndron pabarazia
(një vlerë më e madhe argumenti korrespondon me një vlerë më të vogël të funksionit).

Në rritje në interval
dhe zvogëlohet në interval
thirren funksionet monotonike në interval
.

Njohja e derivatit të një funksioni të diferencueshëm mundëson gjetjen e intervaleve të monotonitetit të tij.

Teorema (kusht i mjaftueshëm për një rritje të një funksioni).
funksione
pozitive në interval
, pastaj funksioni
rritet në mënyrë monotone gjatë këtij intervali.

Teorema (kusht i mjaftueshëm që një funksion të zvogëlohet). Nëse derivati është i diferencueshëm në interval
funksione
negative në interval
, pastaj funksioni
zvogëlohet në mënyrë monotone gjatë këtij intervali.

Kuptimi gjeometrik nga këto teorema është se në intervalet e funksioneve në rënie, tangjentet me grafikun e funksionit formojnë me boshtin
kënde të mpirë, dhe në intervale në rritje - akute (shih Fig. 1).

Teorema (kusht i domosdoshëm për monotoninë e një funksioni). Nëse funksioni
të diferencueshme dhe
(
) në interval
, atëherë nuk zvogëlohet (rritet) në këtë interval.

Algoritmi për gjetjen e intervaleve të monotonitetit të një funksioni
:

Shembull. Gjeni intervalet e monotonitetit të një funksioni
.

Pika thirrur pika maksimale e funksionit

e tillë që për të gjithë , duke plotesuar kushtin
, pabarazia qëndron
.

Funksioni maksimalështë vlera e funksionit në pikën maksimale.

Figura 2 tregon një shembull të një grafiku të një funksioni që ka maksimum në pika
.

Pika thirrur pika minimale e funksionit
, nëse ka ndonjë numër
e tillë që për të gjithë , duke plotesuar kushtin
, pabarazia qëndron
. Fik. 2 funksion ka një minimum në pikë .

Ekziston një emër i zakonshëm për ngritje dhe ulje - ekstremet. Prandaj, thirren pikët maksimale dhe minimale pika ekstreme.

Një funksion i përcaktuar në një segment mund të ketë një maksimum dhe një minimum vetëm në pikat e vendosura brenda këtij segmenti. Gjithashtu nuk duhet ngatërruar maksimumi dhe minimumi i një funksioni me më të madhin dhe vlera më e ulët në një segment - këto janë koncepte thelbësisht të ndryshme.

Në pikat ekstreme, derivati ka veti të veçanta.

Teorema (kusht i domosdoshëm për ekstremin). Lëreni në pikën funksionin
ka një ekstrem. Pastaj ose
nuk ekziston, ose
.

Ato pika nga fusha e përcaktimit të funksionit në të cilat
nuk ekziston ose në të cilën
, quhen pikat kritike të funksionit.

Kështu, pikat ekstreme qëndrojnë midis pikave kritike. NË rast i përgjithshëm pika kritike nuk duhet të jetë një pikë ekstreme. Nëse derivati i një funksioni në një pikë të caktuar është i barabartë me zero, kjo nuk do të thotë se funksioni ka një ekstrem në këtë pikë.

Shembull. Le të shqyrtojmë
. Ne kemi
, por pikë
nuk është një pikë ekstreme (shih Figurën 3).

Teorema (kushti i parë i mjaftueshëm për një ekstrem). Lëreni në pikën funksionin
është e vazhdueshme, dhe derivati
kur kalon nëpër një pikë ndryshon shenjën. Pastaj – pika ekstreme: maksimumi nëse shenja ndryshon nga “+” në “–”, dhe minimumi nëse nga “–” në “+”.

Nëse, kur kalon nëpër një pikë derivati nuk ndryshon shenjë, atëherë në pikë nuk ka ekstrem.

Teorema (kushti i dytë i mjaftueshëm për ekstremum). Lëreni në pikën derivat i një funksioni dy herë të diferencueshëm
e barabartë me zero (
), dhe derivati i tij i dytë në këtë pikë është jozero (
) dhe është i vazhdueshëm në ndonjë lagje të pikës . Pastaj - pika ekstreme
; në
kjo është pika minimale, dhe në
kjo është pika maksimale.