Përgjysmuesja e një trekëndëshi është një segment që ndan një kënd të një trekëndëshi në dy kënde të barabarta. Për shembull, nëse këndi i një trekëndëshi është 120 0, atëherë duke vizatuar një përgjysmues, do të ndërtojmë dy kënde me nga 60 0 secili.

Dhe duke qenë se ka tre kënde në një trekëndësh, mund të vizatohen tre përgjysmues. Ata të gjithë kanë një pikë ndërprerjeje. Kjo pikë është qendra e rrethit të gdhendur në trekëndësh. Në një mënyrë tjetër, kjo pikë kryqëzimi quhet qendra e trekëndëshit.

Kur dy përgjysmues të brendshëm dhe këndi i jashtëm, këndi është 90 0. Një kënd i jashtëm në një trekëndësh është këndi ngjitur me këndin e brendshëm të një trekëndëshi.

Oriz. 1. Një trekëndësh që përmban 3 përgjysmues

Përgjysmuesja ndan anën e kundërt në dy segmente që lidhen me anët:

$$(CL\mbi(LB)) = (AC\mbi(AB))$$

Pikat përgjysmuese janë të barabarta nga anët e këndit, që do të thotë se ato janë në të njëjtën distancë nga anët e këndit. Kjo do të thotë, nëse nga çdo pikë e përgjysmuesit hedhim pingul në secilën nga anët e këndit të trekëndëshit, atëherë këto pingule do të jenë të barabarta.

Nëse vizatoni një mesatare, përgjysmues dhe lartësi nga një kulm, atëherë mediana do të jetë segmenti më i gjatë dhe lartësia do të jetë më e shkurtra.

Disa veti të përgjysmuesit

NË lloje të caktuara trekëndëshat, përgjysmues ka veti të veçanta. Kjo vlen kryesisht për një trekëndësh izosceles. Kjo shifër ka dy identike anët, dhe e treta quhet baza.

Nëse nga maja e këndit trekëndëshi dykëndësh vizatoni përgjysmuesin në bazë, atëherë ai do të ketë vetitë e lartësisë dhe mesatares. Prandaj, gjatësia e përgjysmuesit përkon me gjatësinë e mesatares dhe lartësisë.

Përkufizimet:

• Lartësia- një pingul i tërhequr nga kulmi i një trekëndëshi në anën e kundërt.
• mesatare– segment që lidh kulmin e trekëndëshit me mesin ana e kundert.

Oriz. 2. Përgjysmues në një trekëndësh dykëndësh

Kjo vlen edhe trekëndësh barabrinjës, domethënë një trekëndësh në të cilin të tre anët janë të barabarta.

Shembull i detyrës

Në trekëndëshin ABC: BR është një përgjysmues, me AB = 6 cm, BC = 4 cm dhe RC = 2 cm.

Oriz. 3. Përgjysmues në një trekëndësh

Zgjidhja:

Një përgjysmues ndan një brinjë të një trekëndëshi në një proporcion të caktuar. Le të përdorim këtë proporcion dhe të shprehim AR. Pastaj do të gjejmë gjatësinë e brinjës së tretë si shumën e segmenteve në të cilat kjo anë është ndarë me përgjysmues.

• $(AB\mbi(BC)) = (AR\mbi(RC))$
• $RC=(6\mbi(4))*2=3 cm$

Pastaj i gjithë segmenti AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Gjithsej vlerësimet e marra: 107.

Sot do të jetë një mësim shumë i lehtë. Ne do të shqyrtojmë vetëm një objekt - përgjysmuesin e këndit - dhe do të vërtetojmë vetinë e tij më të rëndësishme, e cila do të jetë shumë e dobishme për ne në të ardhmen.

Thjesht mos u relaksoni: ndonjëherë studentë që duan të marrin Rezultati i lartë në të njëjtin OGE ose Provim të Unifikuar të Shtetit, në mësimin e parë nuk mund të formulojnë me saktësi përkufizimin e përgjysmimit.

Dhe në vend që ta bëni vërtet detyra interesante, humbim kohë për gjëra kaq të thjeshta. Pra, lexoni, shikoni dhe miratoni atë.

Për të filluar, një pyetje paksa e çuditshme: çfarë është një kënd? Kjo është e drejtë: një kënd është thjesht dy rreze që dalin nga e njëjta pikë. Për shembull:

Siç mund ta shihni nga fotografia, këndet mund të jenë akute, të mpirë, të drejtë - nuk ka rëndësi tani. Shpesh, për lehtësi, çdo rreze shënohet pikë shtesë dhe thonë se para nesh është këndi $AOB$ (i shkruar si $\këndi AOB$).

Kapiteni Obviousness duket se lë të kuptohet se përveç rrezeve $OA$ dhe $OB$, është gjithmonë e mundur të vizatohen një tufë më shumë rreze nga pika $O$. Por midis tyre do të ketë një të veçantë - ai quhet përgjysmues.

Përkufizimi. Përgjysmuesja e një këndi është rrezja që del nga kulmi i atij këndi dhe e përgjysmon këndin.

Për këndet e mësipërme, përgjysmuesit do të duken kështu:

Shembuj të përgjysmuesve për kënde akute, të mpirë dhe të drejtë

Meqenëse në vizatimet reale nuk është gjithmonë e qartë se një rreze e caktuar (në rastin tonë është rrezja $OM$) e ndan këndin origjinal në dy të barabarta, në gjeometri është zakon të shënohet kënde të barabarta i njëjti numër harqesh (në vizatimin tonë ky është 1 hark për një kënd akut, dy për një kënd të mpirë, tre për një kënd të drejtë).

Mirë, ne e kemi rregulluar përkufizimin. Tani ju duhet të kuptoni se çfarë karakteristikash ka përgjysmuesi.

Vetia kryesore e përgjysmuesit të këndit

Në fakt, përgjysmuesi ka shumë veti. Dhe ne patjetër do t'i shikojmë ato në mësimin e ardhshëm. Por ka një truk që duhet ta kuptoni tani:

Teorema. Përgjysmuesja e një këndi është vendndodhja e pikave të barabarta nga anët këndi i dhënë.

E përkthyer nga matematika në rusisht, kjo do të thotë dy fakte njëherësh:

1. Çdo pikë e shtrirë në përgjysmuesin e një këndi të caktuar është në të njëjtën distancë nga anët e këtij këndi.
2. Dhe anasjelltas: nëse një pikë shtrihet në të njëjtën distancë nga anët e një këndi të caktuar, atëherë është e garantuar të shtrihet në përgjysmuesin e këtij këndi.

Para se të vërtetojmë këto pohime, le të sqarojmë një pikë: si quhet saktësisht distanca nga një pikë në anën e një këndi? Këtu përcaktimi i mirë i vjetër i distancës nga një pikë në një vijë do të na ndihmojë:

Përkufizimi. Distanca nga një pikë në një vijë është gjatësia e pingulit të tërhequr nga një pikë e caktuar në këtë drejtëz.

Për shembull, merrni parasysh një vijë $l$ dhe një pikë $A$ që nuk shtrihet në këtë vijë. Le të vizatojmë një pingul me $AH$, ku $H\në l$. Atëherë gjatësia e kësaj pingule do të jetë distanca nga pika $A$ deri te drejtëza $l$.

Meqenëse një kënd është thjesht dy rreze, dhe secila rreze është një pjesë e një vije të drejtë, është e lehtë të përcaktohet distanca nga një pikë në anët e një këndi. Këto janë vetëm dy pingule:

Kjo eshte e gjitha! Tani e dimë se çfarë është distanca dhe çfarë është një përgjysmues. Prandaj, ne mund të vërtetojmë pronën kryesore.

Siç u premtuam, ne do ta ndajmë provën në dy pjesë:

1. Distancat nga pika në përgjysmues në brinjët e këndit janë të njëjta

Le të shqyrtojmë kënd arbitrar me kulm $O$ dhe përgjysmues $OM$:

Le të vërtetojmë se pikërisht kjo pikë $M$ është në të njëjtën distancë nga anët e këndit.

Dëshmi. Le të vizatojmë pingule nga pika $M$ në anët e këndit. Le t'i quajmë $M((H)_(1))$ dhe $M((H)_(2))$:

Vizatoni pingulet në anët e këndit

Ne morëm dy trekëndësha kënddrejtë: $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$. Ata kanë një hipotenuzë të përbashkët $OM$ dhe kënde të barabarta:

1. $\këndi MO((H)_(1))=\këndi MO((H)_(2))$ sipas kushtit (pasi $OM$ është një përgjysmues);
2. $\këndi M((H)_(1))O=\këndi M((H)_(2))O=90()^\rreth $ sipas ndërtimit;
3. $\kënd OM((H)_(1))=\kënd OM((H)_(2))=90()^\circ -\kënd MO((H)_(1))$, meqenëse shuma qoshe të mprehta i një trekëndëshi kënddrejtë është gjithmonë 90 gradë.

Prandaj, trekëndëshat janë të barabartë në brinjë dhe dy kënde ngjitur(shih shenjat e barazisë së trekëndëshave). Prandaj, në veçanti, $M((H)_(2))=M((H)_(1))$, d.m.th. distancat nga pika $O$ deri te brinjët e këndit janë vërtet të barabarta. Q.E.D. :)

2. Nëse largësitë janë të barabarta, atëherë pika qëndron në përgjysmues

Tani situata është e kundërt. Le të jepet një kënd $O$ dhe një pikë $M$ e barabartë nga anët e këtij këndi:

Le të vërtetojmë se rrezja $OM$ është një përgjysmues, d.m.th. $\kënd MO((H)_(1))=\kënd MO((H)_(2))$.

Dëshmi. Së pari, le të vizatojmë këtë rreze $OM$, përndryshe nuk do të ketë asgjë për të provuar:

Përçuar rreze $OM$ brenda këndit

Përsëri marrim dy trekëndësha kënddrejtë: $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$. Është e qartë se ata janë të barabartë sepse:

1. Hipotenuza $OM$ - e përgjithshme;
2. Këmbët $M((H)_(1))=M((H)_(2))$ sipas gjendjes (në fund të fundit, pika $M$ është e barabartë nga anët e këndit);
3. Këmbët e mbetura janë gjithashtu të barabarta, sepse nga teorema e Pitagorës $OH_(1)^(2)=OH_(2)^(2)=O((M)^(2))-MH_(1)^(2)$.

Prandaj, trekëndëshat $\vartrekëndësh OM((H)_(1))$ dhe $\vartrekëndësh OM((H)_(2))$ në tre anët. Në veçanti, këndet e tyre janë të barabartë: $\kënd MO((H)_(1))=\kënd MO((H)_(2))$. Dhe kjo thjesht do të thotë se $OM$ është një përgjysmues.

Për të përfunduar provën, ne shënojmë këndet e barabarta që rezultojnë me harqe të kuq:

Përgjysmuesja ndan këndin $\kënd ((H)_(1))O((H)_(2))$ në dy të barabarta

Siç mund ta shihni, asgjë e komplikuar. Ne kemi vërtetuar se përgjysmuesja e një këndi është vendndodhja e pikave të barabarta me anët e këtij këndi.

Tani që pak a shumë kemi vendosur për terminologjinë, është koha për të vazhduar nivel i ri. Në mësimin tjetër do të shohim më shumë vetitë komplekse përgjysmues dhe mësoni se si t'i përdorni ato për të zgjidhur problemet reale.

Sorokina Vika

Jepen prova të vetive të përgjysmuesit të trekëndëshit dhe shqyrtohet zbatimi i teorisë në zgjidhjen e problemeve

Shkarko:

Pamja paraprake:

Komiteti Arsimor i Administratës së Saratovit, Autonome Komunale e Qarkut Oktyabrsky institucion arsimor Liceu nr.3 me emrin. A. S. Pushkin.

Shkencore-praktike komunale

konferencë

"Hapat e parë"

Tema: Përgjysmues dhe vetitë e tij.

Puna e kryer nga: Nxënësi i klasës së 8-të

Sorokina VictoriaUdhëheqës shkencor: Mësues i matematikës i kategorisë më të lartëPopova Nina Fedorovna.

Saratov 2011

1. Faqja e titullit………………………………………………………...1
2. Përmbajtja………………………………………………………2
3. Hyrje dhe objektivat……………………………………………………………………………………………………………………………………………………
4. Konsiderimi i vetive të përgjysmuesit

• Vendndodhja e tretë e pikave…………………………………….3
• Teorema 1………………………………………………………………...4
• Teorema 2………………………………………………………………… 4
• Vetia kryesore e përgjysmuesit të një trekëndëshi:

1. Teorema 3………………………………………………………………...4
2. Detyra 1……………………………………………………………….7
3. Detyra 2………………………………………………………………….8
4. Detyra 3………………………………………………………………………………………………………
5. Detyra 4………………………………………………………….9-10

• Teorema 4…………………………………………………… 10-11
• Formulat për gjetjen e përgjysmuesit:

1. Teorema 5……………………………………………………………….11
2. Teorema 6………………………………………………………………….11
3. Teorema 7……………………………………………………………….12
4. Detyra 5……………………………………………………...12-13

• Teorema 8………………………………………………………………….13
• Detyra 6……………………………………………………………….14
• Detyra 7………………………………………………………… 14-15
• Përcaktimi i drejtimeve kryesore duke përdorur përgjysmuesin…………………15

1. Konkluzioni dhe përfundimi…………………………………………………………………………………………………………………………………
2. Lista e referencave………………………………………..16

përgjysmues

Në një mësim gjeometrie, duke studiuar temën trekëndësha të ngjashëm, takova një problem mbi teoremën për lidhjen e përgjysmuesit me anët e kundërta. Duket se mund të kishte diçka interesante në temën përgjysmuese, por kjo temë më interesoi dhe doja ta studioja më thellë. Në fund të fundit, përgjysmuesi është shumë i pasur në të veti të mahnitshme, duke ndihmuar në zgjidhjen e problemeve të ndryshme.

Kur shqyrtoni këtë temë, do të vini re se tekstet e gjeometrisë thonë shumë pak për vetitë e përgjysmuesit, por në provime, duke i njohur ato, mund t'i zgjidhni problemet shumë më lehtë dhe më shpejt. Përveç kësaj, për të kaluar Provimin e Shtetit dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit, studentët modernë duhet të studiojnë vetë Materiale shtesë për të kurrikula shkollore. Kjo është arsyeja pse vendosa të studioj më në detaje temën e përgjysmimit.

Përgjysmues (nga latinishtja bi- "dyfish" dhe sectio "prerja") e një këndi është një rreze me fillim në kulmin e këndit, duke e ndarë këndin në dy pjesë të barabarta. Përgjysmuesja e një këndi (së bashku me shtrirjen e tij) është vendndodhja e pikave të barabarta nga anët e këndit (ose shtrirjet e tyre)

Vendndodhja e tretë e pikëve

Figura F është vendndodhja pika (bashkësi pikash) që kanë disa veti A, nëse plotësohen dy kushte:

1. nga fakti që pika i përket figurës F, rrjedh se ka pasurinë A;
2. nga fakti se pika plotëson pronën A, rrjedh se i përket figurës F.

Vendndodhja e parë e pikave të konsideruara në gjeometri është një rreth, d.m.th. vendndodhja e pikave të barabarta nga një pikë fikse. E dyta - përgjysmues pingul segment, d.m.th. vendndodhja e pikave të barabarta nga fundi i një segmenti. Dhe së fundi, e treta - përgjysmues - vendndodhja gjeometrike e pikave të barabarta nga anët e këndit

Teorema 1:

Pikat përgjysmuese janë po aq të largëta nga anët ai është këndi.

Dëshmi:

Le të R - pikë përgjysmuese A. Le të largohemi nga pikaP pingul RV dhe PC në anët e qoshes. Pastaj VAR = SAR nga hipotenuza dhe këndi akut. Prandaj, PB = PC

Teorema 2:

Nëse pika P është po aq e largët nga anët e këndit A, atëherë ajo shtrihet në përgjysmues.

Vërtetim: PB = PC => VAR = CAP => BAP= CAP => AR është një përgjysmues.

Ndër faktet themelore gjeometrike është teorema se përgjysmuesja ndan anën e kundërt në raport me anët e kundërta. Ky fakt mbeti në hije për një kohë të gjatë, por kudo ka probleme që janë shumë më të lehta për t'u zgjidhur nëse e dini këtë dhe fakte të tjera për përgjysmuesin. U interesova dhe vendosa ta eksploroja më tej këtë pronë të përgjysmimit.

Vetia kryesore e përgjysmuesit të këndit të një trekëndëshi

Teorema 3. Një përgjysmues ndan anën e kundërt të një trekëndëshi në lidhje me brinjët ngjitur.

Dëshmia 1:

Dhënë: AL - përgjysmues i trekëndëshit ABC

Provoj:

Vërtetim: Le të jetë F pika e kryqëzimit të vijës AL dhe një vijë që kalon nëpër pikë NË paralel me anën AC.

Pastaj BFA = FAC = BAF. Prandaj, B.A.F. isosceles dhe AB = BF. Nga ngjashmëria e trekëndëshave ALC dhe FLB kemi

raport

ku

Dëshmia 2

Le të jetë F pika e prerë nga drejtëza AL dhe drejtëza që kalon nëpër pikën C paralelisht me bazën AB. Pastaj mund të përsërisni arsyetimin.

Dëshmia 3

Le të jenë K dhe M bazat e pingulëve të rënë në vijë AL nga pikat B dhe C përkatësisht. Trekëndëshat ABL dhe ACL janë të ngjashëm në dy kënde. Kjo është arsyeja pse
. Dhe nga ngjashmëria e BKL dhe CML kemi

Nga këtu

Prova 4

Le të përdorim metodën e zonës. Le të llogarisim sipërfaqet e trekëndëshave ABL dhe ACL dy mënyra.

Nga këtu.

Dëshmia 5

Le të a= JU,φ= BLA. Nga teorema e sinuseve në trekëndëshin ABL

Dhe në trekëndëshin ACL.

Sepse,

Pastaj, duke i ndarë të dy anët e barazisë në pjesët përkatëse të tjetrës, marrim.

Problemi 1

E dhënë: Në trekëndëshin ABC, VC është përgjysmues, BC = 2, KS = 1,

Zgjidhja:

Problemi 2

E dhënë:

Gjeni përgjysmorët e këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë me këmbët 24 dhe 18

Zgjidhja:

Lereni anën AC = 18, anën BC = 24,

JAM. - përgjysmues i një trekëndëshi.

Duke përdorur teoremën e Pitagorës ne gjejmë,

që AB = 30.

Që atëherë

Le të gjejmë në mënyrë të ngjashme përgjysmuesin e dytë.

Përgjigje:

Problemi 3

Në një trekëndësh kënddrejtë ABC me kënd të drejtë B përgjysmues këndi A kalon anash B.C.

Në pikën D. Dihet se BD = 4, DC = 6.

Gjeni sipërfaqen e trekëndëshit ADC

Zgjidhja:

Nga vetia e përgjysmuesit të një trekëndëshi

Le të shënojmë AB = 2 x, AC = 3 x. Nga teorema

Pitagora BC 2 + AB 2 = AC 2, ose 100 + 4 x 2 = 9 x 2

Nga këtu e gjejmë atë x = Pastaj AB = , S ABC=

Prandaj,

Problemi 4

E dhënë:

Në një trekëndësh dykëndësh ABC anësor AB e barabartë me 10, bazë AC është 12.

Përgjysmuesit e këndeve A dhe C kryqëzohen në një pikë D. Gjeni BD.

Zgjidhja:

Meqenëse përgjysmorët e një trekëndëshi kryqëzohen në

Një pikë, atëherë BD është përgjysmues i B. Le të vazhdojmë BD tek kryqëzimi me AC në pikën M. Atëherë M është mesi i AC, BM AC. Kjo është arsyeja pse

Që nga CD - përgjysmues i një trekëndëshi BMC atëherë

Prandaj,.

Përgjigje:

Teorema 4. Tre përgjysmuesit e një trekëndëshi kryqëzohen në një pikë.

Në të vërtetë, le të shqyrtojmë së pari pikën P të prerjes së dy përgjysmuesve, për shembull AK 1 dhe VK 2 . Kjo pikë është po aq e largët nga anët AB dhe AC, pasi shtrihet në përgjysmuesA, dhe është po aq e largët nga brinjët AB dhe BC, pasi i përkasin përgjysmuesitB. Kjo do të thotë se është njësoj i largët nga anët AC dhe BC dhe kështu i përket përgjysmimit të tretë SC 3 , pra, në pikën P kryqëzohen të tre përgjysmorët.

Formulat për gjetjen e përgjysmuesit
Teorema 5: (formula e parë për përgjysmuesin): Nëse në trekëndëshin ABC segmenti AL është përgjysmues A, pastaj AL² = AB·AC - LB·LC.

Dëshmi: Le të jetë M pika e prerjes së drejtëzës AL me rrethin e rrethuar rreth trekëndëshit ABC (Fig. 41). Këndi BAM është i barabartë me këndin MAC sipas kushteve. Këndet BMA dhe BCA janë kongruentë si kënde të brendashkruara të nënshtruara nga e njëjta kordë. Kjo do të thotë se trekëndëshat BAM dhe LAC janë të ngjashëm në dy kënde. Prandaj, AL: AC = AB: AM. Kjo do të thotë AL · AM = AB · AC AL · (AL + LM) = AB · AC AL² = AB · AC - AL · LM = AB · AC - BL · LC. Q.E.D.

Teorema 6: . (formula e dytë për përgjysmuesin): Në një trekëndësh ABC me brinjë AB=a, AC=b dheA e barabartë me 2α dhe përgjysmues l, barazia vlen:
l = (2ab / (a+b)) cosα.

Dëshmi : Le të jetë ABC trekëndëshi i dhënë, AL është përgjysmues i tij, a=AB, b=AC, l=AL. Pastaj S ABC = S ALB + S ALC . Prandaj, ab sin2α = a l sinα + b l sinα 2ab sinα cosα = (a + b) l sinα l = 2 (ab / (a+b)) cosα. Teorema është e vërtetuar.

Teorema 7: Nëse a, b janë brinjët e trekëndëshit, Y është këndi ndërmjet tyre,është përgjysmuesja e këtij këndi. Pastaj.

Niveli mesatar

Përgjysmues i një trekëndëshi. Teori e detajuar me shembuj (2019)

Përgjysmues i një trekëndëshi dhe vetitë e tij

A e dini se cila është mesi i një segmenti? Sigurisht që po. Po qendra e rrethit? Njësoj. Sa është mesi i një këndi? Mund të thuash që kjo nuk ndodh. Por pse një segment mund të ndahet në gjysmë, por një kënd jo? Është mjaft e mundur - jo vetëm një pikë, por…. linjë.

A ju kujtohet shakaja: një përgjysmues është një mi që vrapon nëpër qoshe dhe ndan këndin në gjysmë. Pra, përkufizimi i vërtetë i një përgjysmues është shumë i ngjashëm me këtë shaka:

Përgjysmues i një trekëndëshi- ky është segmenti përgjysmues i një këndi të një trekëndëshi që lidh kulmin e këtij këndi me një pikë në anën e kundërt.

Njëherë e një kohë, astronomët dhe matematikanët e lashtë zbuluan shumë veti interesante të përgjysmuesit. Kjo njohuri e ka thjeshtuar shumë jetën e njerëzve. Është bërë më e lehtë ndërtimi, numërimi i distancave, madje rregullimi i shkrepjes së topave... Njohja e këtyre vetive do të na ndihmojë të zgjidhim disa detyra GIA dhe Provimin e Unifikuar të Shtetit!

Njohuria e parë që do të ndihmojë me këtë është përgjysmues i një trekëndëshi dykëndësh.

Nga rruga, i mbani mend të gjitha këto terma? Ju kujtohet se si ndryshojnë nga njëri-tjetri? Jo? Jo e frikshme. Le ta kuptojmë tani.

Kështu që, baza e një trekëndëshi dykëndësh- kjo është ana që nuk është e barabartë me asnjë tjetër. Shikoni foton, cila anë mendoni se është? Kjo është e drejtë - kjo është ana.

Medianaja është një vijë e tërhequr nga kulmi i një trekëndëshi dhe që ndan anën e kundërt (kjo është përsëri) në gjysmë.

Vini re se nuk themi, "Mesatarja e një trekëndëshi izosceles". A e dini pse? Sepse një mesatare e tërhequr nga një kulm i një trekëndëshi përgjysmon anën e kundërt në CDO trekëndësh.

Epo, lartësia është një vijë e tërhequr nga lart dhe pingul me bazën. E keni vënë re? Po flasim sërish për çdo trekëndësh, jo vetëm për një dykëndësh. Lartësia në CDO trekëndësh është gjithmonë pingul me bazën.

Pra, e keni kuptuar? Pothuajse. Për të kuptuar edhe më mirë dhe për të kujtuar përgjithmonë se çfarë është një përgjysmues, mesatarja dhe lartësia, duhet t'i krahasoni ato me njëri-tjetrin dhe të kuptoni se si janë të ngjashëm dhe si ndryshojnë nga njëri-tjetri. Në të njëjtën kohë, për të mbajtur mend më mirë, është më mirë të përshkruani gjithçka " gjuha njerëzore" Atëherë do të veproni lehtësisht në gjuhën e matematikës, por në fillim nuk e kuptoni këtë gjuhë dhe duhet të kuptoni gjithçka në gjuhën tuaj.

Pra, si janë të ngjashme? Përgjysmues, mesatarja dhe lartësia - të gjithë "dalin" nga kulmi i trekëndëshit dhe qëndrojnë në anën e kundërt dhe "bëjnë diçka" ose me këndin nga i cili dalin, ose me ana e kundert. Mendoj se është e thjeshtë, apo jo?

Si janë të ndryshëm?

• Përgjysmuesja e ndan këndin nga i cili del në gjysmë.
• Mesatarja e ndan anën e kundërt në gjysmë.
• Lartësia është gjithmonë pingul me anën e kundërt.

Kjo eshte. Është e lehtë për t'u kuptuar. Dhe sapo të kuptoni, mund të mbani mend.

Tani pyetja e radhës. Pse, në rastin e një trekëndëshi dykëndësh, përgjysmuesi është edhe mesatarja edhe lartësia?

Ju thjesht mund të shikoni figurën dhe të siguroheni që mesatarja ndahet në dy absolutisht trekëndësh i barabartë. Kjo eshte e gjitha! Por matematikanët nuk u pëlqen t'u besojnë syve të tyre. Ata duhet të provojnë gjithçka. Fjalë e frikshme? Asgjë e tillë - është e thjeshtë! Shikoni: të dyja kanë anë të barabarta dhe, në përgjithësi kanë një anë të përbashkët dhe. (- përgjysmues!) Dhe kështu rezulton se dy trekëndësha kanë dy anët e barabarta dhe këndi ndërmjet tyre. Ne kujtojmë shenjën e parë të barazisë së trekëndëshave (nëse nuk ju kujtohet, shikoni në temë) dhe konkludojmë se, dhe për këtë arsye = dhe.

Kjo tashmë është mirë - do të thotë se doli të ishte mesatarja.

Por çfarë është ajo?

Le të shohim foton - . Dhe ne e morëm atë. Kështu, gjithashtu! Më në fund, shpejt! Dhe.

A ju duk pak e rëndë kjo provë? Shikoni foton - dy trekëndësha identikë flasin vetë.

Në çdo rast, mbani mend fort:

Tani është më e vështirë: do të numërojmë këndi ndërmjet përgjysmuesve në çdo trekëndësh! Mos kini frikë, nuk është aq e ndërlikuar. Shikoni foton:

Le ta numërojmë. A ju kujtohet kjo shuma e këndeve të një trekëndëshi është?

Le të zbatojmë këtë fakt mahnitës.

Nga njëra anë, nga:

Kjo eshte.

Tani le të shohim:

Por përgjysmues, përgjysmues!

Le të kujtojmë për:

Tani përmes letrave

\kënd AOC=90()^\circ +\frac(\këndi B)(2)

A nuk është e habitshme? Doli që këndi ndërmjet përgjysmuesve të dy këndeve varet vetëm nga këndi i tretë!

Epo, ne shikuam dy përgjysmues. Po sikur te jene tre??!! A do të kryqëzohen të gjithë në një pikë?

Apo do të jetë kështu?

Si mendoni? Pra, matematikanët menduan dhe menduan dhe vërtetuan:

A nuk është e mrekullueshme?

Dëshironi të dini pse ndodh kjo?

Pra...dy trekëndësha kënddrejtë: dhe. Ata kane:

• Hipotenuzë e përgjithshme.
• (sepse është një përgjysmues!)

Kjo do të thotë - nga këndi dhe hipotenuza. Prandaj, këmbët përkatëse të këtyre trekëndëshave janë të barabarta! Kjo eshte.

Ne vërtetuam se pika është njësoj (ose njësoj) e largët nga anët e këndit. Pika 1 trajtohet. Tani le të kalojmë në pikën 2.

Pse 2 është e vërtetë?

Dhe le të lidhim pikat dhe.

Kjo do të thotë se shtrihet në përgjysmues!

Kjo eshte e gjitha!

Si mund të zbatohet e gjithë kjo gjatë zgjidhjes së problemeve? Për shembull, në problemet shpesh ekziston fraza e mëposhtme: "Një rreth prek brinjët e një këndi...". Epo, duhet të gjesh diçka.

Atëherë e kuptoni shpejt këtë

Dhe ju mund të përdorni barazinë.

3. Tri përgjysmues në një trekëndësh priten në një pikë

Nga vetia e përgjysmuesit që të jetë vendndodhja e pikave të barabarta nga brinjët e një këndi, vijon pohimi i mëposhtëm:

Si del saktësisht? Por shikoni: dy përgjysmues patjetër do të kryqëzohen, apo jo?

Dhe përgjysmuesja e tretë mund të shkojë kështu:

Por në realitet, gjithçka është shumë më mirë!

Le të shohim pikën e kryqëzimit të dy përgjysmuesve. Le ta quajmë atë.

Çfarë kemi përdorur këtu të dyja herët? po paragrafi 1, sigurisht! Nëse një pikë shtrihet në një përgjysmues, atëherë ajo është po aq e largët nga anët e këndit.

Dhe kështu ndodhi.

Por shikoni me kujdes këto dy barazi! Në fund të fundit, prej tyre rrjedh se dhe, për rrjedhojë, .

Dhe tani do të hyjë në lojë pika 2: nëse largësitë me brinjët e një këndi janë të barabarta, atëherë pika qëndron në përgjysmues...çfarë këndi? Shikoni sërish foton:

dhe janë distancat me brinjët e këndit, dhe ato janë të barabarta, që do të thotë se pika shtrihet në përgjysmuesin e këndit. Përgjysmuesja e tretë kaloi në të njëjtën pikë! Të tre përgjysmuesit kryqëzohen në një pikë! Dhe si një dhuratë shtesë -

Rrezet të mbishkruara rrathët.

(Për t'u siguruar, shikoni një temë tjetër).

Epo, tani nuk do ta harroni kurrë:

Pika e kryqëzimit të përgjysmuesve të një trekëndëshi është qendra e rrethit të gdhendur në të.

Le të kalojmë në për pronën e mëposhtme... Uau, përgjysmuesja ka shumë veti, apo jo? Dhe kjo është e mrekullueshme, sepse më shumë prona, ato më shumë mjete për zgjidhjen e problemeve të përgjysmimit.

4. Përgjysmues dhe paralelizëm, përgjysmues i këndeve fqinjë

Fakti që përgjysmuesi e ndan këndin në gjysmë në disa raste çon në rezultate krejtësisht të papritura. Për shembull,

Rasti 1

E shkëlqyeshme, apo jo? Le të kuptojmë pse është kështu.

Nga njëra anë, ne vizatojmë një përgjysmues!

Por, nga ana tjetër, ka kënde që shtrihen në mënyrë tërthore (kujtoni temën).

Dhe tani rezulton se; flake nga mesi: ! - izosceles!

Rasti 2

Imagjinoni një trekëndësh (ose shikoni foton)

Le të vazhdojmë anën përtej pikës. Tani kemi dy kënde:

• - këndi i brendshëm
• - këndi i jashtëm është jashtë, apo jo?

Pra, tani dikush donte të vizatonte jo një, por dy përgjysmues menjëherë: si për ashtu edhe për. Çfarë do të ndodhë?

A do të funksionojë? drejtkëndëshe!

Çuditërisht, ky është pikërisht rasti.

Le ta kuptojmë.

Sa mendoni se është shuma?

Sigurisht, - në fund të fundit, të gjithë së bashku bëjnë një kënd të tillë që rezulton të jetë një vijë e drejtë.

Tani mbani mend se dhe janë përgjysmues dhe shikoni se brenda këndit ka saktësisht gjysma nga shuma e të katër këndeve: dhe - - domethënë saktësisht. Mund ta shkruani edhe si ekuacion:

Pra, e pabesueshme por e vërtetë:

Këndi ndërmjet përgjysmuesve të këndit të brendshëm dhe të jashtëm të një trekëndëshi është i barabartë.

Rasti 3

A e shihni se gjithçka është e njëjtë këtu si për qoshet e brendshme dhe të jashtme?

Apo le të mendojmë përsëri pse ndodh kjo?

Përsëri, sa i përket qoshet ngjitur,

(si korrespondues me bazat paralele).

Dhe përsëri, ata përbëjnë saktësisht gjysma nga shuma

konkluzioni: Nëse problemi përmban përgjysmues ngjitur kënde ose përgjysmues relevante këndet e një paralelogrami ose trapezi, atëherë në këtë problem sigurisht merr pjesë trekëndësh kënddrejtë, dhe ndoshta edhe një drejtkëndësh të tërë.

5. Përgjysmues dhe ana e kundërt

Rezulton se përgjysmuesi i një këndi të një trekëndëshi ndan anën e kundërt jo vetëm në një farë mënyre, por në një mënyrë të veçantë dhe shumë interesante:

Kjo eshte:

Një fakt i mahnitshëm, apo jo?

Tani do ta vërtetojmë këtë fakt, por bëhuni gati: do të jetë pak më e vështirë se më parë.

Përsëri - dalje në "hapësirë" - formacion shtesë!

Le të shkojmë drejt.

Per cfare? Do të shohim tani.

Le të vazhdojmë përgjysmuesin derisa të kryqëzohet me vijën.

A është kjo një foto e njohur? Po, po, po, saktësisht njësoj si në pikën 4, rasti 1 - rezulton se (- përgjysmues)

Shtrirë në mënyrë tërthore

Pra, edhe atë.

Tani le të shohim trekëndëshat dhe.

Çfarë mund të thoni për to?

Ata janë të ngjashëm. Epo, po, këndet e tyre janë të barabarta me ato vertikale. Pra, në dy qoshe.

Tani kemi të drejtë të shkruajmë marrëdhëniet e palëve përkatëse.

Dhe tani me një shënim të shkurtër:

Oh! Më kujton diçka, apo jo? A nuk është kjo ajo që ne donim të vërtetonim? Po, po, pikërisht kështu!

E shihni sa e mrekullueshme doli të ishte "shëtitja hapësinore" - ndërtimi i një vije të drejtë shtesë - pa të asgjë nuk do të kishte ndodhur! Dhe kështu, ne e kemi vërtetuar këtë

Tani mund ta përdorni me siguri! Le të shohim një veçori tjetër të përgjysmuesve të këndeve të një trekëndëshi - mos u shqetësoni, tani pjesa më e vështirë ka mbaruar - do të jetë më e lehtë.

Ne e kuptojmë atë

Teorema 1:

Teorema 2:

Teorema 3:

Teorema 4:

Teorema 5:

Teorema 6:

Gjeometria është një nga shkencat më komplekse dhe konfuze. Në të, ajo që duket e qartë në shikim të parë shumë rrallë rezulton të jetë e saktë. Përgjysmues, lartësi, mediana, projeksione, tangjente - sasi e madhe terma vërtet të vështira, të cilat janë shumë të lehta për t'u ngatërruar.

Në fakt, me dëshirën e duhur, ju mund të kuptoni një teori të çdo kompleksiteti. Kur bëhet fjalë për përgjysmuesit, mesataret dhe lartësitë, duhet të kuptoni se ato nuk janë unike për trekëndëshat. Në pamje të parë kjo linja të thjeshta, por secila prej tyre ka vetitë dhe funksionet e veta, njohja e të cilave e thjeshton shumë zgjidhjen problemet gjeometrike. Pra, sa është përgjysmuesja e një trekëndëshi?

Përkufizimi

Vetë termi "përgjysmues" vjen nga kombinimi fjalë latine"dy" dhe "prerë", "prerë", që tashmë indirekt tregon vetitë e tij. Zakonisht, kur fëmijët njihen me këtë rreze, atyre u jepet një frazë e shkurtër për të mbajtur mend: "Përgjysmuesi është një miu që vrapon nëpër qoshe dhe e ndan këndin përgjysmë". Natyrisht, një shpjegim i tillë nuk është i përshtatshëm për nxënësit e moshuar, dhe përveç kësaj, ata zakonisht pyeten jo për një kënd, por për një figurë gjeometrike. Pra, përgjysmuesja e një trekëndëshi është një rreze që lidh kulmin e trekëndëshit me anën e kundërt, ndërsa këndin e ndan në dy pjesë të barabarta. Pika në anën e kundërt në të cilën vjen përgjysmuesi trekëndësh arbitrar zgjidhet rastësisht.

Funksionet dhe vetitë themelore

Kjo rreze ka pak veti themelore. Së pari, për shkak se përgjysmuesja e një trekëndëshi përgjysmon këndin, çdo pikë e shtrirë në të do të jetë në distancë të barabartë nga anët që formojnë majën. Së dyti, në çdo trekëndësh mund të vizatoni tre përgjysmues, sipas numrit të këndeve të disponueshme (prandaj, në të njëjtin katërkëndësh do të ketë tashmë katër prej tyre, e kështu me radhë). Pika në të cilën të tre rrezet kryqëzohen është qendra e rrethit të gdhendur në trekëndësh.

Pronat bëhen më komplekse

Le ta komplikojmë pak teorinë. Një tjetër pronë interesante: përgjysmuesja e një këndi të një trekëndëshi e ndan anën e kundërt në segmente, raporti i të cilave është i barabartë me raportin e brinjëve që formojnë kulmin. Në pamje të parë, kjo është e ndërlikuar, por në fakt gjithçka është e thjeshtë: në figurën e propozuar, RL: LQ = PR: PK. Nga rruga, kjo pronë u quajt "Teorema Bisektor" dhe u shfaq për herë të parë në veprat e matematikanit të lashtë grek Euklid. Ne e kujtuam atë në një nga Tekstet shkollore ruse vetëm në çerekun e parë të shekullit XVII.

Është pak më e komplikuar. Në një katërkëndësh, përgjysmuesi pret një trekëndësh dykëndësh. Kjo figurë tregon të gjitha këndet e barabarta për AF mesatare.

Dhe në katërkëndëshat dhe trapezoidët, përgjysmuesit e këndeve të njëanshme janë pingul me njëri-tjetrin. Në vizatimin e treguar, këndi APB është 90 gradë.

Në një trekëndësh dykëndësh

Përgjysmuesja e një trekëndëshi dykëndësh është një rreze shumë më e dobishme. Ai është në të njëjtën kohë jo vetëm një pjesëtues i një këndi në gjysmë, por edhe një mesatare dhe një lartësi.

Mesatarja është një segment që vjen nga një cep dhe bie në mes të anës së kundërt, duke e ndarë atë në pjesë të barabarta. Lartësia është një pingul i zbritur nga një kulm në anën e kundërt, është me ndihmën e tij që çdo problem mund të reduktohet në një teoremë të thjeshtë dhe primitive të Pitagorës. Në këtë situatë, përgjysmuesja e trekëndëshit është e barabartë me rrënjën e diferencës midis katrorit të hipotenuzës dhe këmbës tjetër. Nga rruga, kjo pronë haset më shpesh në problemet gjeometrike.

Për të konsoliduar: në këtë trekëndësh, përgjysmuesi FB është mesatarja (AB = BC) dhe lartësia (këndet FBC dhe FBA janë 90 gradë).

Në skicë

Pra, çfarë duhet të mbani mend? Përgjysmuesja e një trekëndëshi është rrezja që përgjysmon kulmin e tij. Në kryqëzimin e tre rrezeve ndodhet qendra e rrethit të gdhendur në këtë trekëndësh (e vetmja pengesë e kësaj vetie është se nuk ka vlerë praktike dhe shërben vetëm për ekzekutimin kompetent të vizatimit). Ai gjithashtu ndan anën e kundërt në segmente, raporti i të cilave është i barabartë me raportin e anëve midis të cilave kalonte kjo rreze. Në një katërkëndësh, vetitë bëhen pak më të ndërlikuara, por, pa dyshim, ato praktikisht nuk shfaqen kurrë në probleme nivel shkolle, kështu që ato zakonisht nuk preken në program.

Përgjysmuesja e një trekëndëshi izoscelular është ëndrra përfundimtare e çdo nxënësi. Është edhe një mesatare (d.m.th., ndan anën e kundërt në gjysmë) dhe një lartësi (pingule me atë anë). Zgjidhja e problemeve me një përgjysmues të tillë reduktohet në teoremën e Pitagorës.

Njohuri funksionet bazë përgjysmues, si dhe vetitë e tij themelore, është i nevojshëm për zgjidhjen e problemeve gjeometrike të mesatares dhe nivel të lartë vështirësitë. Në fakt, kjo rreze gjendet vetëm në planimetri, kështu që nuk mund të thuhet se memorizimi i informacionit në lidhje me të do t'ju lejojë të përballeni me të gjitha llojet e detyrave.