Shumëzimi i polinomeve. Shumëzimi i shpejtë i polinomeve duke përdorur transformimin Furier është i lehtë

Prapa Përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha veçoritë e prezantimit. Nëse jeni të interesuar këtë punë, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Objektivat e mësimit:(Prezantimi. Sllajdi 2)

Edukative:

nxjerr rregullin e shumëzimit të një polinomi me një polinom;
zhvillojnë aftësinë për të zbatuar këtë rregull.

Edukative:

zhvillimi i vëmendjes;
zhvillimi i aftësisë për të analizuar dhe përgjithësuar njohuritë mbi temën;
zhvillimi i aftësive mendore të numërimit.

Edukative:

edukimi i rregullit;
duke ushqyer një interes të qëndrueshëm për këtë temë.

Lloji i mësimit: Mësim mbi studimin dhe konsolidimin fillimisht të njohurive të reja.

Ecuria e mësimit

I. Punë gojore(Prezantimi. Sllajdi 3)

Bëni shumëzimin.

a) a (x – y);

b) 2p (3 – q);

c) –2x (x – 4);

d) 4y (y 3 + 0,25);

e) – 0,5 s 2 (c 3 + 2);

e) –5x (3x 2 – 4);

g) 2a 4 (a 3 – 0,5);

h) –q 7 (q 3 – q 5).

II. Shpjegimi i materialit të ri (Prezantimi. Slide 4)

Shpjegimi kryhet në disa faza sipas materialit të tekstit shkollor.

1. Nxirrni rregullin për shumëzimin e një polinomi me një polinom dhe paraqiteni vizualisht në një rrëshqitje (ose tabelë):

2. Formuloni rregullin që rezulton dhe kërkojuni disa nxënësve ta përsërisin atë.

3. Analizoni shembuj të zbatimit të rregullit.

Që nga viti këtë temëështë e re për studentët, këshillohet të jepen disa shembuj të thjeshtë të zbatimit të drejtpërdrejtë të rregullit të shumëzimit të dy polinomeve. Është më mirë të shqyrtojmë shembuj të përdorimit të këtij rregulli në zgjidhjen e një numri problemesh në mësimet e mëposhtme.

Shembulli 1.(Prezantimi. Sllajdi 5) Shumëzoni polinomin (3a – 2b) me polinomin (2a + 3b).

Zgjidhje: (3a – 2b)(2a + 3b) = 3a * 2a + 3a * 3b + (– 2b) * 2a + (– 2b) * 3b = 6a 2 + 9ab – 4 ab – 6b 2 = 6a 2 + 5ab – 6b 2 .

Shembulli 2.(Prezantimi. Sllajdi 6) Thjeshtoni shprehjen: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x).

Zgjidhje: (2x – 3)(5 – x) – 3x(4 – x) = 10x – 2x 2 – 15 + 3x – 12x + 3x 2 = x 2 + x – 15.

Shembulli 3.(Prezantimi. Slide 7) Le të provojmë se për ndonjë vlera natyrore n vlera e shprehjes (n + 1)(n + 2) – (3n – 1)(n + 3) + 5n(n + 2) + n +7 është shumëfish i 3.

Zgjidhje: (p + 1) (p + 2) - (3p - 1) (p + 3) + 5p (p + 2) + p +7 = p 2 + 2p + p + 2 - 3p 2 - 9p + p + 3 + 5p 2 + 10p + p +7 = 3p 2 + 6p + 12 = 3 (p 2 + 2p + 4).

III. Formimi i aftësive dhe shkathtësive (Prezantimi. Slide 8)

Gjatë orës së mësimit, ju duhet të anketoni sa më shumë nxënës që të jetë e mundur për t'u siguruar që ata kanë mësuar rregullin e shumëzimit të një polinomi me një polinom. Prandaj, tre studentë mund të thirren menjëherë në tabelë për të përfunduar secilën detyrë.

1. № 677, № 678.

Në këto probleme të shumëzimit polinom, secili prej faktorëve është linear. Është e rëndësishme që nxënësit të monitorojnë saktësinë e zbatimit të rregullit përkatës dhe të mos bëjnë gabime në shenja.

2. № 680.

Këto detyra janë disi më të vështira, sepse, përveç zbatimit të rregullave për shumëzimin e polinomeve, nxënësit duhet të mbajnë mend vetitë e fuqive.

c) 12a 4 – a 2 b 2 – b 4;

e) 56p 3 – 51p 2 + 10p.

3. № 682 (a, c).

a) (x + 10) 2 = (x + 10) (x + 10) = x 2 + 10x + 10x + 100 = x 2 + 20x + 100;

c) (3a – 1) 2 = (3a – 1) (3a – 1) = 9a 2 – 3a – 3a – 1 = 9a 2 – 6a + 1.

IV. Përmbledhja e mësimit (Prezantimi. Slide 9)

– Si të shumëzojmë një monom me një polinom?

– Formuloni rregullën e shumëzimit të një polinomi me një polinom.

– Çfarë shenjash do të kenë termat e fituar nga shumëzimi i polinomeve:

a) (x + y) (a – b);

b) (n – m) (p – q)?

V. Detyrë shtëpie: (Prezantimi. Slide 10)

nr 679; nr 681; Nr 682 (b, d).

Tekstet e përdorura dhe mjete mësimore: (Prezantimi. Slide 11)

Libër mësuesi “Algjebra 7”. Yu.N. Makarychev, N.G. Neshkov, S.B. Moska "Iluminizmi" 2010.
Rurukin A.N., Lupenko G.V., Maslennikova I.A. Zhvillimet e bazuara në mësim në algjebër: klasa e 7-të.

Dizajni i përdorur.

Nëse numrat përcaktohen me shkronja të ndryshme, atëherë mund të caktohet vetëm produkti; Le të, për shembull, duhet të shumëzojmë numrin a me numrin b - këtë mund ta shënojmë ose a ∙ b ose ab, por nuk mund të bëhet fjalë për kryerjen e këtij shumëzimi. Megjithatë, kur kemi të bëjmë me monomë, atëherë, falë 1) pranisë së koeficientëve dhe 2) faktit që këta monomë mund të përfshijnë faktorë të caktuar me të njëjtat shkronja, mund të flitet për shumëzim të monomëve; Kjo mundësi është edhe më e gjerë për polinomet. Le të shohim një numër rastesh kur është e mundur të kryhet shumëzimi, duke filluar nga më të thjeshtat.

1. Shumëzimi i fuqive me në të njëjtat arsye . Le të kërkohet, për shembull, një 3 ∙ a 5. Le të shkruajmë, duke ditur kuptimin e fuqizimit, të njëjtën gjë në mënyrë më të detajuar:

a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a ∙ a

Duke parë këtë hyrje e detajuar, shohim se kemi shkruar një me faktor 8 herë, ose shkurt një 8 . Pra, a 3 ∙ a 5 = a 8.

Le të kërkohet b 42 ∙ b 28. Do të duhej të shkruanim së pari faktorin b 42 herë, dhe pastaj përsëri faktorin b 28 herë - në përgjithësi, do të merrnim që b merret si faktor 70 herë. dmth b 70. Pra, b 42 ∙ b 28 = b 70. Nga këtu është tashmë e qartë se kur fuqitë me baza të njëjta shumëzohen, baza e shkallës mbetet e pandryshuar dhe shtohen eksponentët e fuqive. Nëse kemi një 8 ∙ a, atëherë do të duhet të kemi parasysh se faktori a nënkupton një eksponent prej 1 ("a në fuqinë e parë") - pra, a 8 ∙ a = a 9.

Shembuj: x ∙ x 3 ∙ x 5 = x 9 ; a 11 ∙ a 22 ∙ a 33 = a 66 ; 3 5 ∙ 3 6 ∙ 3 = 3 12 ; (a + b) 3 ∙ (a + b) 4 = (a + b) 7 ; (3x – 1) 4 ∙ (3x – 1) = (3x – 1) 5, etj.

Ndonjëherë duhet të merreni me fuqi, eksponentët e të cilëve tregohen me shkronja, për shembull, xn (x në fuqinë e n). Duhet të mësoheni me trajtimin e shprehjeve të tilla. Këtu janë shembuj:

Le të shpjegojmë disa nga këta shembuj: b n – 3 ∙ b 5 ju duhet ta lini bazën b të pandryshuar dhe të shtoni eksponentët, d.m.th. (n – 3) + (+5) = n – 3 + 5 = n + 2. Nga Sigurisht, ju duhet të mësoni të kryeni shtesa të tilla shpejt në kokën tuaj.

Një shembull tjetër: x n + 2 ∙ x n – 2, – baza x duhet të lihet e pandryshuar dhe eksponenti të shtohet, pra (n + 2) + (n – 2) = n + 2 + n – 2 = 2n.

Tani mund të shprehni rendin e gjetur më sipër, si të kryeni shumëzimin e fuqive me të njëjtat baza, me barazinë:

a m ∙ a n = a m + n

2. Shumëzimi i një monomi me një monom. Le të kërkojmë, për shembull, 3a²b³c ∙ 4ab²d². Ne shohim se këtu një shumëzim tregohet me një pikë, por ne e dimë se e njëjta shenjë shumëzimi nënkuptohet midis 3 dhe a², midis a² dhe b³, midis b³ dhe c, midis 4 dhe a, midis a dhe b², midis b² dhe d². Prandaj, këtu mund të shohim produktin e 8 faktorëve dhe mund t'i shumëzojmë ata me çdo grup në çdo rend. Le t'i riorganizojmë ato në mënyrë që koeficientët dhe fuqitë me të njëjtat baza të jenë afër, d.m.th.

3 ∙ 4 ∙ a² ∙ a ∙ b³ ∙ b² ∙ c ∙ d².

Atëherë mund të shumëzojmë 1) koeficientët dhe 2) fuqitë me të njëjtat baza dhe të marrim 12a³b5cd².

Pra, kur shumëzojmë një monom me një monom, mund të shumëzojmë koeficientët dhe fuqitë me të njëjtat baza, por faktorët e mbetur duhet të rishkruhen pa ndryshime.

Më shumë shembuj:

3. Shumëzimi i një polinomi me një monom. Supozoni se së pari duhet të shumëzoni disa polinom, për shembull, a – b – c + d, me një numër të plotë pozitiv, për shembull, +3. Meqenëse numrat pozitivë konsiderohen të njëjtë me numrat aritmetikë, kjo është e njëjtë me (a – b – c + d) ∙ 3, d.m.th., merrni termin a – b – c + d 3 herë, ose

(a – b – c + d) ∙ (+3) = a – b – c + d + a – b – c + d + a – b – c + d = 3a – 3b – 3c + 3d,

domethënë, si rezultat, çdo term i polinomit duhej të shumëzohej me 3 (ose me +3).

Nga kjo rrjedh:

(a – b – c + d) ÷ (+3) = a – b – c + d,

domethënë, çdo term i polinomit duhej pjesëtuar me (+3). Gjithashtu, duke përgjithësuar, marrim:

etj.

Tani duhet të shumëzojmë (a – b – c + d) me fraksion pozitiv, për shembull, në +. Është njësoj si të shumëzosh me thyesa aritmetike, që do të thotë të marrësh pjesë nga (a – b – c + d). Është e lehtë të marrësh një të pestën e këtij polinomi: duhet të pjesëtosh (a – b – c + d) me 5, dhe ne tashmë e dimë se si ta bëjmë këtë, dhe marrim . Mbetet të përsërisni rezultatin 3 herë ose të shumëzoni me 3, d.m.th.

Si rezultat, ne shohim se duhej të shumëzonim çdo term të polinomit me ose me +.

Tani duhet të shumëzojmë (a – b – c + d) me numër negativ, numër i plotë ose thyesë,

d.m.th., në këtë rast, çdo term i polinomit duhej të shumëzohej me –.

Kështu, cilido qoftë numri m, ka gjithmonë (a – b – c + d) ∙ m = am – bm – cm + dm.

Meqenëse çdo monom është një numër, këtu shohim një tregues se si të shumëzojmë një polinom me një monom - ne duhet të shumëzojmë çdo term të polinomit me këtë monom.

4. Shumëzimi i një polinomi me një polinom. Le të jetë (a + b + c) ∙ (d + e). Meqenëse d dhe e nënkuptojnë numra, atëherë (d + e) shpreh çdo numër të vetëm.

(a + b + c) ∙ (d + e) = a(d + e) + b(d + e) + c(d + e)

(mund ta shpjegojmë këtë në këtë mënyrë: ne kemi të drejtë të marrim përkohësisht d + e si monom).

Ad + ae + bd + be + cd + ce

Në këtë rezultat, ju mund të ndryshoni rendin e anëtarëve.

(a + b + c) ∙ (d + e) = ad + bd + ed + ae + be + ce,

domethënë, për të shumëzuar një polinom me një polinom, çdo term i një polinomi duhet të shumëzohet me secilin term të tjetrit. Është e përshtatshme (për këtë qëllim rendi i termave të marrë u ndryshua më lart) të shumëzoni çdo term të polinomit të parë së pari me termin e parë të të dytit (me +d), pastaj me termin e dytë të të dytit (me + e), atëherë, nëse kishte një, nga i treti, etj. .d.; pas kësaj duhet të bëni një gips anëtarë të ngjashëm.

Në këta shembuj, binomi shumëzohet me binomin; në çdo binom, termat janë renditur në fuqitë zbritëse të shkronjës së përbashkët për të dy binomet. Është e lehtë të kryeni shumëzime të tilla në kokën tuaj dhe të shkruani menjëherë rezultatin përfundimtar.

Nga shumëzimi i termit kryesor të binomit të parë me termin kryesor të të dytit, d.m.th. 4x² me 3x, marrim 12x³ termin kryesor të produktit - padyshim që nuk do të ketë të ngjashëm. Më pas, ne kërkojmë shumëzimin e cilit terma do të rezultojë në terma me një shkallë të shkronjës x që është 1 më pak, pra me x². Mund të shohim lehtësisht se termat e tillë fitohen duke shumëzuar termin e dytë të faktorit të parë me termin e parë të faktorit të dytë dhe duke shumëzuar termin e parë të faktorit të parë me termin e dytë të të dytit (kllapat në fund të shembull tregoni këtë). Kryerja e këtyre shumëzimeve në kokën tuaj dhe gjithashtu kryerja e reduktimit të këtyre dy termave të ngjashëm (pas të cilit marrim termin –19x²) nuk është e vështirë. Pastaj vërejmë se termi tjetër, që përmban shkronjën x në një fuqi edhe 1 më të vogël, d.m.th. x në fuqinë e parë, do të merret vetëm duke shumëzuar termin e dytë me të dytin dhe nuk do të ketë të ngjashme.

Një shembull tjetër: (x² + 3x)(2x – 7) = 2x³ – x² – 21x.

Është gjithashtu e lehtë të ekzekutosh shembuj në kokën tënde, si më poshtë:

Termi kryesor fitohet duke shumëzuar termin kryesor me termin kryesor, dhe ai = 2a³. Më pas ne kërkojmë se cilat shumëzime do të japin terma me a² - nga shumëzimi i termit të parë (a²) me të dytin (–5) dhe nga shumëzimi i termit të dytë (–3a) me të parin (2a) - kjo tregohet më poshtë në kllapa. ; Pasi kemi kryer këto shumëzime dhe duke kombinuar termat që rezultojnë në një, marrim –11a². Pastaj kërkojmë se cilat shumëzime do të japin terma me a deri në shkallën e parë - këto shumëzime janë shënuar me kllapa në krye. Pasi t'i plotësojmë ato dhe duke kombinuar termat që rezultojnë në një, marrim +11a. Së fundi, vërejmë se termi më i ulët i produktit (+10), i cili nuk përmban fare a, fitohet duke shumëzuar termin e ulët (–2) të një polinomi me termin e ulët (–5) të tjetrit.

Një shembull tjetër: (4a 3 + 3a 2 – 2a) ∙ (3a 2 – 5a) = 12a 5 – 11a 4 – 21a 3 + 10a 2.

Nga të gjithë shembujt e mëparshëm marrim gjithashtu rezultat i përgjithshëm: termi kryesor i një produkti fitohet gjithmonë duke shumëzuar termat kryesorë të faktorëve dhe nuk mund të ketë terma të ngjashëm me të; Gjithashtu, termi më i ulët i produktit merret nga shumëzimi i termave të rendit të ulët të faktorëve dhe nuk mund të ketë as terma të ngjashëm me të.

Termat e mbetur të fituar nga shumëzimi i një polinomi me një polinom mund të jenë të ngjashëm, madje mund të ndodhë që të gjithë këta terma të shkatërrohen reciprokisht dhe të mbeten vetëm më i madhi dhe më i vogli.

Këtu janë shembuj:

(a² + ab + b²) (a – b) = a³ + a²b + ab² – a²b – ab² – b³ = a³ – b³
(a² – ab + b²) (a – b) = a³ – a²b + ab² + a²b – ab² + b³ = a³ + b³
(a³ + a²b + ab² + b³) (a – b) = a 4 – b 4 (ne shkruajmë vetëm rezultatin)
(x 4 – x³ + x² – x + 1) (x + 1) = x 5 + 1, etj.

Këto rezultate janë të rëndësishme dhe të dobishme për t'u mbajtur mend.

Rasti i mëposhtëm i shumëzimit është veçanërisht i rëndësishëm:

(a + b) (a – b) = a² + ab – ab – b² = a² – b²
ose (x + y) (x – y) = x² + xy – xy – y² = x² – y²
ose (x + 3) (x – 3) = x² + 3x – 3x – 9 = x² – 9, etj.

Në të gjithë këta shembuj, kur zbatohet në aritmetikë, kemi produktin e shumës së dy numrave dhe ndryshimin e tyre, dhe rezultati është ndryshimi i katrorëve të këtyre numrave.

Nëse shohim rast i ngjashëm, atëherë nuk ka nevojë të kryeni shumëzimin në detaje, siç u bë më lart, por mund të shkruani menjëherë rezultatin.

Për shembull, (3a + 1) ∙ (3a – 1). Këtu faktori i parë, nga pikëpamja aritmetike, është shuma e dy numrave: numri i parë është 3a dhe i dyti 1, dhe faktori i dytë është diferenca e të njëjtëve numra; prandaj, rezultati duhet të jetë: katrori i numrit të parë (d.m.th. 3a ∙ 3a = 9a²) minus katrorin e numrit të dytë (1 ∙ 1 = 1), d.m.th.

(3a + 1) ∙ (3a – 1) = 9a² – 1.

Gjithashtu

(ab – 5) ∙ (ab + 5) = a²b² – 25, etj.

Pra, le të kujtojmë

(a + b) (a – b) = a² – b²

domethënë prodhimi i shumës së dy numrave dhe ndryshimi i tyre është i barabartë me ndryshimin e katrorëve të këtyre numrave.

Ndër shprehje të ndryshme, të cilat konsiderohen në algjebër, vend i rëndësishëm zënë shuma monomësh. Këtu janë shembuj të shprehjeve të tilla:
$5a^4 - 2a^3 + 0.3a^2 - 4.6a + 8$
$xy^3 - 5x^2y + 9x^3 - 7y^2 + 6x + 5y - 2$

Shuma e monomëve quhet polinom. Termat në një polinom quhen terma të polinomit. Monomet gjithashtu klasifikohen si polinome, duke e konsideruar një monom si një polinom të përbërë nga një anëtar.

Për shembull, një polinom
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 $
mund të thjeshtohet.

Le t'i paraqesim të gjithë termat në formën e monomëve të formës standarde:
$8b^5 - 2b \cdot 7b^4 + 3b^2 - 8b + 0,25b \cdot (-12)b + 16 = $
$= 8b^5 - 14b^5 + 3b^2 -8b -3b^2 + 16$

Le të paraqesim terma të ngjashëm në polinomin që rezulton:
$8b^5 -14b^5 +3b^2 -8b -3b^2 + 16 = -6b^5 -8b + 16 $
Rezultati është një polinom, të gjithë termat e të cilit janë monome të formës standarde, dhe midis tyre nuk ka të ngjashëm. Polinome të tilla quhen polinomet e formës standarde.

Për shkalla e polinomit të një forme standarde marrin kompetencat më të larta të anëtarëve të saj. Kështu, binomi $12a^2b - 7b$ ka shkallën e tretë, dhe trinomi $2b^2 -7b + 6$ ka të dytën.

Në mënyrë tipike, termat e polinomeve të formës standarde që përmbajnë një ndryshore renditen në rend zbritës të eksponentëve. Për shembull:
$5x - 18x^3 + 1 + x^5 = x^5 - 18x^3 + 5x + 1$

Shuma e disa polinomeve mund të shndërrohet (thjeshtohet) në një polinom të formës standarde.

Ndonjëherë termat e një polinomi duhet të ndahen në grupe, duke e mbyllur secilin grup në kllapa. Meqenëse kllapa është transformimi i anasjelltë i kllapave hapëse, është e lehtë të formulohet Rregullat për hapjen e kllapave:

Nëse një shenjë "+" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me të njëjtat shenja.

Nëse një shenjë "-" vendoset para kllapave, atëherë termat e mbyllur në kllapa shkruhen me shenja të kundërta.

Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të një monomi dhe një polinomi

Duke përdorur vetitë shpërndarëse shumëzimet mund të shndërrohen (thjeshtohen) në një polinom, produkt i një monomi dhe një polinomi. Për shembull:
$9a^2b(7a^2 - 5ab - 4b^2) = $
$= 9a^2b \cdot 7a^2 + 9a^2b \cdot (-5ab) + 9a^2b \cdot (-4b^2) = $
$= 63a^4b - 45a^3b^2 - 36a^2b^3 $

Prodhimi i një monomi dhe i një polinomi është identikisht i barabartë me shumën e produkteve të këtij monomi dhe secilit prej termave të polinomit.

Ky rezultat zakonisht formulohet si rregull.

Për të shumëzuar një monom me një polinom, duhet ta shumëzoni atë monom me secilin prej termave të polinomit.

Ne e kemi përdorur tashmë këtë rregull disa herë për të shumëzuar me një shumë.

Prodhimi i polinomeve. Shndërrimi (thjeshtimi) i prodhimit të dy polinomeve

Në përgjithësi, prodhimi i dy polinomeve është identikisht i barabartë me shumën e prodhimit të secilit term të një polinomi dhe secilit anëtar të tjetrit.

Zakonisht përdoret rregulli i mëposhtëm.

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me secilin term të tjetrit dhe të shtoni produktet që rezultojnë.

Formulat e shkurtuara të shumëzimit. Katroret e shumës, dallimet dhe diferenca e katrorëve

Me disa shprehje në transformimet algjebrike duhet të merren me më shpesh se të tjerët. Ndoshta shprehjet më të zakonshme janë $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ dhe $a^2 - b^2 $, pra katrori i shumës, katrori i ndryshimi dhe ndryshimi i katrorëve. A e keni vënë re se emrat shprehjet e specifikuara sikur të mos plotësohej, për shembull, $(a + b)^2 $ është, natyrisht, jo vetëm katrori i shumës, por katrori i shumës së a dhe b. Megjithatë, katrori i shumës së a dhe b nuk ndodh shumë shpesh, në vend të shkronjave a dhe b, ai përmban shprehje të ndryshme, ndonjëherë mjaft komplekse.

Shprehjet $(a + b)^2, \; (a - b)^2 $ lehtë mund të shndërrohen (thjeshtohen) në polinome të formës standarde, në fakt, një detyrë të tillë e keni hasur tashmë gjatë shumëzimit të polinomeve; :
$(a + b)^2 = (a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2 = $
$= a^2 + 2ab + b^2 $

Është e dobishme të mbani mend identitetet që rezultojnë dhe t'i zbatoni ato pa llogaritje të ndërmjetme. Formulimet e shkurtra verbale e ndihmojnë këtë.

$(a + b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab $ - katrori i shumës e barabartë me shumën katrore dhe dyfishoni produktin.

$(a - b)^2 = a^2 + b^2 - 2ab $ - katrori i diferencës është i barabartë me shumën e katrorëve pa produktin e dyfishtë.

$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b) $ - diferenca e katrorëve është e barabartë me produktin e diferencës dhe shumës.

Këto tre identitete lejojnë në transformime të zëvendësojnë pjesët e majta të tyre me ato të djathta dhe anasjelltas - pjesët e djathta me ato të majta. Gjëja më e vështirë është të shohësh shprehjet përkatëse dhe të kuptosh se si zëvendësohen ndryshoret a dhe b në to. Le të shohim disa shembuj të përdorimit të formulave të shkurtuara të shumëzimit.

Një nga veprimet me polinome është shumëzimi i një polinomi me një polinom. Në këtë artikull do të shqyrtojmë rregullin e një shumëzimi të tillë dhe do ta zbatojmë atë për të zgjidhur problemet.

Rregulla për shumëzimin e një polinomi me një polinom

Le të përcaktojmë dy polinome a + b dhe c + d dhe kryejnë shumëzimin e tyre.

Para së gjithash, ne shkruajmë prodhimin e polinomeve origjinale: vendosim një shenjë shumëzimi midis tyre, pasi i kemi mbyllur më parë polinomet në kllapa. Ne marrim: (a + b) (c + d). Tani le të tregojmë faktorin (c+d) Si x, atëherë shprehja do të duket si kjo: (a + b) x, i cili në thelb është produkt i një polinomi dhe një monomi. Le të bëjmë shumëzimin: (a + b) x = a x + b x, dhe më pas zëvendësojeni përsëri X më (c + d) : a · (c + d) + b · (c + d) . Dhe përsëri duke zbatuar rregullin e shumëzimit të një polinomi me një monom, ne e transformojmë shprehjen në: a · c + a · d + b · c + b · d. Për të përmbledhur: prodhimi i polinomeve të dhëna a+b Dhe c + d korrespondon me barazinë (a + b) · (c + d) = a · c + a · d + b · c + b · d.

Arsyetimi që paraqitëm më sipër bën të mundur nxjerrjen e përfundimeve të rëndësishme:

Rezultati i shumëzimit të një polinomi me një polinom është një polinom. Ky pohim është i vërtetë për çdo polinom të shumëzueshëm.
Prodhimi i polinomeve është shuma e prodhimeve të çdo termi të një polinomi me secilin term të një tjetri. Ku mund të konkludojmë se gjatë shumëzimit të polinomeve që përmbajnë m Dhe n anëtarët në përputhje me rrethanat, shuma e treguar e produkteve të anëtarëve përbëhet nga m n kushtet.

Tani mund të formulojmë rregullin për shumëzimin e polinomeve:

Përkufizimi 1

Për të shumëzuar një polinom me një polinom, ju duhet të shumëzoni çdo term të një polinomi me çdo term të një polinomi tjetër dhe të gjeni shumën e produkteve që rezultojnë.

Shembuj të shumëzimit të një polinomi me një polinom

NË zgjidhje praktike Problemet e gjetjes së produktit të polinomeve zbërthehen në disa veprime vijuese:

regjistrimi i prodhimit të polinomeve të shumëzuar (polinomët janë të mbyllur në kllapa dhe midis tyre shkruhet shenja e shumëzimit);
duke ndërtuar shumën e prodhimeve të çdo anëtari të polinomit të parë me çdo anëtar të të dytit. Për këtë qëllim, termi i parë i polinomit të parë shumëzohet me secilin anëtar të polinomit të dytë, pastaj termi i dytë i polinomit të parë shumëzohet me çdo anëtar të polinomit të dytë, e kështu me radhë;
nëse është e mundur, shuma që rezulton shkruhet si një polinom i formës standarde.

Shembulli 1

Janë dhënë polinomet: 2 − 3 x Dhe x 2 − 7 x + 1

Zgjidhje

Le të shkruajmë prodhimin e polinomeve origjinale. Ne marrim: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1).

Hapi tjetër është përpilimi i shumës së produkteve të secilit term të polinomit 2 − 3 x për çdo term të polinomit x 2 − 7 x + 1. Le të hedhim një vështrim më të afërt: shumëzojmë termin e parë të polinomit të parë (numrin 2) me secilin term të polinomit të dytë, marrim: 2 x 2, 2 (− 7 x) dhe 2 1. Pastaj shumëzojmë termin e dytë të polinomit të parë me secilin term të polinomit të dytë dhe marrim: − 3 x x 2, − 3 x (− 7 x) dhe − 3 x 1. Ne mbledhim të gjitha shprehjet që rezultojnë në një shumë: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1.

Le të kontrollojmë nëse kemi humbur produktin e ndonjë termi: për ta bërë këtë, ne rillogaritim numrin e termave në shumën e shkruar, marrim 6. Kjo është e vërtetë sepse polinomet origjinale përbëhen nga 2 dhe 3 terma, duke dhënë një total prej 6.

Hapi i fundit është shndërrimi i shumës së regjistruar në një polinom të formës standarde: 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 · x 2 − 17 · x + 2 − 3 · x 3

Shkurtimisht pa shpjegim, zgjidhja do të duket si kjo:

(2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 2 x 2 + 2 (− 7 x) + 2 1 − 3 x x 2 − 3 x (− 7 x) − 3 x 1 = = 2 x 2 − 14 x + 2 − 3 x 3 + 21 x 2 − 3 x = = (2 x 2 + 21 x 2) + (− 14 x − 3 x) + 2 − 3 x 3 = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3

Përgjigje: (2 − 3 x) (x 2 − 7 x + 1) = 23 x 2 − 17 x + 2 − 3 x 3.

Le të sqarojmë se kur jepen polinomet origjinale formë jo standarde, para se të gjeni punën e tyre, këshillohet t'i sillni në një formë standarde. Rezultati, natyrisht, do të jetë i njëjtë, por zgjidhja do të jetë më e përshtatshme dhe më e shkurtër.

Shembulli 2

Jepen polinomet 1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x y x dhe x y − 1. Ju duhet të gjeni punën e tyre.

Zgjidhje

Një nga polinomet e dhëna shkruhet në formë jo standarde. Le ta rregullojmë këtë duke e sjellë në formën standarde:

1 7 x 2 (- 3) y + 3 x - 2 7 x x y x = - 3 7 x 2 + 3 x - 2 7 x 2 y = = - 3 7 x 2 y - 2 7 x 2 y + 3 x = - 5 7 x 2 y + 3 x

Tani le të gjejmë produktin e kërkuar:

5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = = - 5 7 x 2 y x y - 5 7 x 2 y (- 1) + 3 x x · y + 3 · x · (- 1) = = - 5 7 · x 3 · y 2 + 5 7 · x 2 · y + 3 · x 2 · y - 3 · x = - 5 7 · x 3 · y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

Përgjigje:- 5 7 x 2 y + 3 x x y - 1 = - 5 7 x 3 y 2 + 3 5 7 x 2 y - 3 x

Së fundi, le të sqarojmë situatën në të cilën ekziston nevoja për të shumëzuar tre ose më shumë polinome. Në këtë rast, gjetja e produktit reduktohet në shumëzim sekuencial të polinomeve me dy: d.m.th. Së pari, shumëzohen dy polinomet e para; rezultati i marrë shumëzohet me polinomin e tretë; rezultati i këtij shumëzimi është me polinomin e katërt e kështu me radhë.

Shembulli 3

Janë dhënë polinomet: x 2 + x · y − 1 , x + y dhe 2 · y − 3 . Ju duhet të gjeni punën e tyre.

Zgjidhje

Le të regjistrojmë punën: (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3).

Shumëzojmë dy polinomet e para, marrim: (x 2 + x y − 1) (x + y) = x 2 x + x 2 y + x y x + x y y − 1 x − 1 · y = = x 3 + 2 · x 2 · y + x · y 2 − x − y .

Regjistrimi fillestar i veprës merr formën: (x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = (x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3).

Le të gjejmë rezultatin e këtij shumëzimi:

(x 3 + 2 x 2 y + x y 2 − x − y) (2 y − 3) = = x 3 2 y + x 3 (− 3) + 2 x 2 y 2 y + 2 x 2 y (− 3 ) + x y 2 2 y + + x y 2 (− 3) − x 2 y − x (− 3) − y · 2 · y − y · (− 3) = = 2 · x 3 · y − 3 · x 3 + 4 · x 2 · y 2 − 6 · x 2 · y + 2 · x · y 3 - − 3 x x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 y

Përgjigje:

(x 2 + x y − 1) (x + y) (2 y − 3) = 2 x 3 y − 3 x 3 + 4 x 2 y 2 − 6 x 2 y + + 2 x y 3 − 3 x y 2 − 2 x y + 3 x − 2 y 2 + 3 y

Nëse vëreni një gabim në tekst, ju lutemi theksoni atë dhe shtypni Ctrl+Enter

Rregulla për llogaritjen e prodhimit të polinomeve.

Për të shqyrtuar produktin e polinomeve, së pari le të kujtojmë se si të shumëzojmë një monom me një polinom.

Prodhimi i një monomi dhe një polinomi gjendet si më poshtë:

është i përbërë prodhimi i një monomi dhe një polinomi.
Hapen kllapat.
numrat grupohen me numra që janë të njëjtë ndryshore mik me një mik.
numrat shumëzohen dhe fuqitë e variablave identike përkatëse shtohen.

Le të shqyrtojmë tani shumëzimin e dy polinomeve duke përdorur një shembull:

Shembulli 1

Le të shumëzojmë polinomin $x-y+z$ me polinomin $\(xy)^5+y^6-(xz)^5$.

Së pari, le të shkruajmë prodhimin e polinomeve:

\[\majtas(x-y+z\djathtas)((xy)^5+y^6-(xz)^5)\]

Le të bëjmë zëvendësimin e mëposhtëm. Le të $x-y+z=t$, marrim:

Ne kemi marrë prodhimin e një monomi dhe një polinomi. Le ta gjejmë duke përdorur rregullin e mësipërm.

Le të zgjerojmë kllapat:

Le të bëjmë një zëvendësim të kundërt:

\[(\majtas(x-y+z\djathtas)xy)^5+(\majtas(x-y+z\djathtas)y)^6-(\majtas(x-y+z\djathtas)xz) ^5\]

NË kjo shprehje shohim praninë e tre produkteve të monomëve dhe të një polinomi. Le t'i gjejmë ato veçmas duke përdorur rregullin e mësipërm:

\[(\majtas(x-y+z\djathtas)xy)^5=x(xy)^5-y(xy)^5+z(xy)^5=(x^2y)^5-(xy )^6+z(xy)^5\] \[(\majtas(x-y+z\djathtas)y)^6=xy^6-yy^6+zy^6=xy^6-y^7 +zy^6\] \[(\majtas(x-y+z\djathtas)xz)^5=x(xz)^5-y(xz)^5+z(xz)^5=x^2z^ 5-xyz^5+(xz)^6\]

Le të rishkruajmë shprehjen tonë:

\[\majtas((x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5\djathtas)+\left(xy^6-y^7+zy^6\djathtas)-(x^ 2z^5-xyz^5+(xz)^6)\]

Le të hapim kllapat. Ju kujtojmë se nëse ka një shenjë plus para kllapave, atëherë shenjat në kllapa mbeten të pandryshuara, dhe nëse ka një shenjë minus para kllapave, atëherë shenjat në kllapa do të ndryshojnë në të kundërtën. . marrim

\[(x^2y)^5-(xy)^6+z(xy)^5+xy^6-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6 \]

Ne morëm një polinom. Mbetet vetëm për ta sjellë atë në një formë standarde. Në total, përgjigjja do të jetë:

\[(x^2y)^5+xy^5z-y^7+zy^6-x^2z^5+xyz^5-(xz)^6\]

Duke parë më nga afër rezultatin e marrë, marrim rregulli tjetër duke shumëzuar një polinom me një polinom:

Rregulla: Për të shumëzuar një polinom me një polinom, është e nevojshme të shumëzoni çdo term të polinomit të parë me çdo term të polinomit të dytë, të shtoni produktet që rezultojnë dhe të reduktoni polinomin që rezulton në formën standarde.

Shembulli 2

Shumëzo $2x+y$ dhe $x^2+2y+3$.

Le të shkruajmë produktin:

\[\majtas(2x+y\djathtas)(x^2+2y+3)\]

\[\majtas(2x+y\djathtas)\majtas(x^2+2y+3\djathtas)=2x^3+4xy+6x+x^2y+2y^2+3y\]

Shohim se polinomi rezultues ka pamje standarde, atëherë ka përfunduar shumëzimi.