Referenca e të dhënave për funksionet hiperbolike. Përkufizimet, grafikët dhe vetitë e sinusit hiperbolik, kosinusit, tangjentës dhe kotangjentës. Formulat për shumat, diferencat dhe produktet. Derivatet, integralet, zgjerimet e serive. Shprehjet përmes funksioneve trigonometrike.
Përkufizimet e funksioneve hiperbolike, domenet e tyre të përkufizimeve dhe vlerave
sh x - sinus hiperbolik
, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .
ch x - kosinus hiperbolik
, -∞ < x < +∞; 1 ≤ y< +∞ .
th x - tangjente hiperbolike
, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .
cth x - kotangjent hiperbolik
X ≠ 0 ; y< -1 или y > +1 .
Grafikët e funksioneve hiperbolike
Grafiku i sinusit hiperbolik y = sh x
Orari kosinus hiperbolik y = ch x
Grafiku i tangjentes hiperbolike y = th x
Orari kotangjent hiperbolik y = cth x
Formula me funksione hiperbolike
Lidhja me funksionet trigonometrike
sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i mëkat z; ch iz = cos z
tg iz = i th z; cot iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i cot z
Këtu unë - njësi imagjinare, i 2 = - 1
.
Duke i zbatuar këto formula për funksionet trigonometrike, marrim formula që lidhen me funksionet hiperbolike.
Barazi
sh(-x) = - sh x;
ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x;
cth(-x) = - cth x.
Funksioni ch(x)- madje. Funksionet sh(x), th(x), cth (x)- e çuditshme.
Dallimi i katrorëve
ch 2 x - sh 2 x = 1.
Formulat për shumën dhe ndryshimin e argumenteve
sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,
sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.
Formulat për produktet e sinusit dhe kosinusit hiperbolik
,
,
,
,
,
.
Formulat për shumën dhe diferencën e funksioneve hiperbolike
,
,
,
,
.
Lidhja e sinusit dhe kosinusit hiperbolik me tangjenten dhe kotangjenten
,
,
,
.
Derivatet
,
Integralet e sh x, ch x, th x, cth x
,
,
.
Zgjerimet e serive
sh x
ch x
th x
cth x
Funksionet e anasjellta
Areasinus
Në - ∞< x < ∞
и - ∞ < y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakosine
Në 1 ≤ x< ∞
Dhe 0 ≤ y< ∞
zbatohen formulat e mëposhtme:
,
.
Dega e dytë e zonekosines ndodhet në 1 ≤ x< ∞
dhe - ∞< y ≤ 0
:
.
Areatangjent
në - 1
< x < 1
dhe - ∞< y < ∞
имеют место формулы:
,
.
Areakotangjent
Në - ∞< x < - 1
ose 1
< x < ∞
dhe y ≠ 0
zbatohen formulat e mëposhtme:
,
.
Literatura e përdorur:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual i matematikës për inxhinierë dhe studentë të kolegjit, "Lan", 2009.
Përgjigje: Funksionet hiperbolike - familja funksionet elementare, e shprehur përmes një eksponenciale dhe e lidhur ngushtë me funksionet trigonometrike. Funksionet hiperbolike u prezantuan nga Vincenzo Riccati në 1757 (Opusculorum, Vëllimi I). Ai i mori ato nga shqyrtimi i hiperbolës së njësisë.
Studim i mëtejshëm i pronave funksionet hiperbolike u drejtua nga Lambert. Funksionet hiperbolike hasen shpesh gjatë llogaritjes së integraleve të ndryshme. Disa integrale të funksionet racionale dhe nga funksionet që përmbajnë radikale kryhen fare thjesht duke përdorur ndryshimet e variablave duke përdorur funksione hiperbolike. Derivatet e funksioneve hiperbolike janë të lehta për t'u gjetur sepse funksionet hiperbolike janë kombinime Për shembull, sinusi hiperbolik dhe kosinusi përkufizohen si 
Derivatet e këtyre funksioneve kanë formën 
Janë dhënë funksionet hiperbolike formulat e mëposhtme: 1)sinus hiperbolik: 
(V letërsi e huaj shënohet sinx); 2) kosinus hiperbolik: 
(në literaturën e huaj emërtohet cosx); 3) tangjente hiperbolike: 
(në literaturën e huaj caktohet tanx); 4) kotangjent hiperbolik: 
; 5) sekanti dhe kosekanti hiperbolik: 
Përkufizimi gjeometrik: Në funksion të marrëdhënies, funksionet hiperbolike japin një paraqitje parametrike të hiperbolës Në këtë rast, argumenti t = 2S, ku S është zona e trekëndëshit lakor OQR, i marrë me shenjën "+" nëse sektori. shtrihet mbi boshtin OX, dhe “−” në rastin e kundërt. Ky përkufizim është i ngjashëm me atë funksionet trigonometrike përmes rrethi njësi, i cili gjithashtu mund të ndërtohet në mënyrë të ngjashme. Lidhja me funksionet trigonometrike: Funksionet hiperbolike shprehen me funksione trigonometrike të një argumenti imagjinar. Vetitë analitike: Sinusi hiperbolik dhe kosinusi hiperbolik janë analitikë kudo plan kompleks, me përjashtim të një pike thelbësisht të veçantë në pafundësi.
Tabela derivative.
Përgjigje:
Tabela e derivateve (që na duhen kryesisht): 
46) Derivati i një funksioni – i specifikuar në mënyrë parametrike.
Përgjigje:
Le të jepet varësia e dy ndryshoreve x dhe y nga parametri t, që ndryshon brenda kufijve nga Le të ketë funksioni një invers: 
Atëherë mundemi, duke marrë përbërjen e funksioneve 
merrni varësinë e y nga x: 
Varësia e vlerës y nga vlera x, e specifikuar në mënyrë parametrike, mund të shprehet përmes derivateve të funksioneve pasi dhe, sipas formulës për derivatin e funksionit të anasjelltë, 
ku është vlera e parametrit në të cilin fitohet vlera x që na intereson gjatë llogaritjes së derivatit. Vini re se aplikimi i formulës na çon në marrëdhënien ndërmjet, përsëri e shprehur si një marrëdhënie parametrike: 
e dyta nga këto marrëdhënie është e njëjta në të cilën mori pjesë detyrë parametrike funksionet y(x) . Pavarësisht se derivati nuk shprehet në mënyrë eksplicite, kjo nuk na pengon të zgjidhim problemet që lidhen me gjetjen e derivatit duke gjetur vlerën përkatëse të parametrit t. Le ta tregojmë atë shembullin e mëposhtëm. Shembulli 4.22: Varësia midis x dhe y le të jepet parametrikisht me formulat e mëposhtme: Gjeni ekuacionin e tangjentes në grafikun e varësisë y(x) në pikën Vlerat fitohen nëse marrim t=1. Le të gjejmë derivatet e x dhe y në lidhje me parametrin t: Prandaj 
Në t=1 marrim vlerën e derivatit që përcakton kjo vlerë; shpat k të tangjentes së dëshiruar. Koordinatat 
pikat e prekjes janë të specifikuara në deklaratën e problemit. Kjo do të thotë se ekuacioni tangjent është si më poshtë: Vini re se në bazë të varësisë parametrike të fituar, mund të gjejmë derivatin e dytë të funksionit y në lidhje me ndryshoren x: 
Funksionet hiperbolike gjenden në mekanikë, inxhinieri elektrike dhe disiplina të tjera teknike. Shumë formula për funksionet hiperbolike janë të ngjashme me formulat për funksionet trigonometrike, me përjashtim të vetive të kufizimit.
| № | Funksioni | Emri | Derivat  |
| 1. |  | sinus hiperbolik |  |
| 2. |  | kosinus hiperbolik |  |
| 3. |  | tangjente hiperbolike |  |
| 4. |  | kotangjent hiperbolik |  |
Formulat për funksionet hiperbolike
1. 
.
Dëshmi. Le të shqyrtojmë ndryshimin e kërkuar
. .
Dëshmi. Le të shohim punën
.
Le të shohim punën 
.
Le të shtojmë dy produkte dhe të japim të ngjashëm:
Duke lidhur fillimin dhe fundin, fitojmë barazinë që duhet vërtetuar: .
Ka shumë veti të tjera të funksioneve hiperbolike të ngjashme me vetitë e funksioneve trigonometrike, të cilat vërtetohen në mënyrë të ngjashme.
Le të provojmë formulat për derivatet e funksioneve hiperbolike.
1. Merrni parasysh sinusin hiperbolik 
.
Kur gjejmë derivatin, konstanten e nxjerrim nga shenja e derivatit. Më pas, zbatojmë vetinë e derivatit të diferencës midis dy funksioneve dhe . Gjeni derivatin e një funksioni duke përdorur tabelën e derivateve: 
. Derivatin e funksionit e kërkojmë si derivat funksion kompleks 
.
Prandaj, derivati 
.
Duke lidhur fillimin dhe fundin, marrim barazinë që duhet vërtetuar: 
.
2. Konsideroni kosinusin hiperbolik .
Zbatojmë plotësisht algoritmin e mëparshëm, vetëm në vend të vetive rreth derivatit të diferencës së dy funksioneve, përdorim vetinë rreth derivatit të shumës së këtyre dy funksioneve. 
.
Duke lidhur fillimin dhe fundin, marrim barazinë që duhet vërtetuar: 
.
3. Konsideroni tangjenten hiperbolike .
Derivatin e gjejmë duke përdorur rregullën për gjetjen e derivatit të një thyese.
4. Derivat i kotangjentit hiperbolik
mund të gjendet si derivat i një funksioni kompleks 
.
Duke lidhur fillimin dhe fundin, marrim barazinë që duhet vërtetuar: 
.
Diferenciali i funksionit
Lëreni funksionin 
- është i diferencueshëm në pikë, atëherë rritja e tij e këtij funksioni në pikën, që korrespondon me rritjen e argumentit, mund të përfaqësohet si
ku është një numër i caktuar i pavarur nga , dhe është një funksion i argumentit , i cili është pafundësisht i vogël për 
.
Kështu, rritja e funksionit është shuma e dy termave pafundësisht të vegjël 
Dhe 
. U tregua se mandati i dytë 
është e pafundme funksion i vogël rendit më të lartë se d.m.th. (shih 8.1). Prandaj mandati i parë 
është pjesa kryesore lineare e rritjes së funksionit . Në vërejtjen 8.1. është marrë një formulë tjetër (8.1.1) për rritjen e funksionit , domethënë: . (8.1.1)
Përkufizimi 8.3.Diferencial funksionet në një pikë quhet pjesa kryesore lineare e rritjes së saj, e barabartë me produktin derivatore 
në këtë pikë me një rritje arbitrare të argumentit , dhe shënohet (ose 
):
(8.4)
Diferenciali i funksionit quajtur edhe diferencial i rendit të parë.
Diferenciali i një ndryshoreje të pavarur kuptohet si çdo numër i pavarur nga . Më shpesh, ky numër merret si rritja e ndryshores, d.m.th. 
. Kjo është në përputhje me rregullin (8.4) për gjetjen e diferencialit të funksionit
Merrni parasysh funksionin 
dhe gjeni diferencialin e tij.
Sepse derivatore 
. Kështu, kemi marrë: 
dhe funksionet diferenciale mund të gjendet duke përdorur formulën
. (8.4.1)
Vërejtje 8.7. Nga formula (8.4.1) rezulton se. 
Kështu, shënimi mund të kuptohet jo vetëm si një shënim për derivatin 
, por edhe si raport i diferencialeve të variablave të varur dhe të pavarur.
8.7. Kuptimi gjeometrik i funksionit diferencial
Lejo grafikun e funksionit 
vizatohet një tangjente (shih Fig. 8.1). Pika 
është në grafikun e funksionit dhe ka një abshisë - . Ne japim një rritje arbitrare të tillë që pika 
nuk u largua nga fusha e funksionit .
Figura 8.1 Ilustrimi i grafikut të një funksioni
Pika ka koordinata 
. Segmenti 
. Pika qëndron në tangjenten me grafikun e funksionit dhe ka një abshisë - . Nga drejtkëndëshe 
rrjedh se, ku këndi është këndi ndërmjet drejtimit pozitiv të boshtit dhe tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në pikën. Me përcaktimin e diferencialit të funksionit dhe kuptimi gjeometrik i funksionit derivat në pikën , konkludojmë se 
. Kështu, kuptimi gjeometrik funksioni diferencial është se diferenciali paraqet rritjen e ordinatës së tangjentes në grafikun e funksionit në pikën.
Vërejtje 8.8. Diferenciali dhe rritja për një funksion arbitrar , në përgjithësi, nuk janë të barabartë me njëri-tjetrin.B rast i përgjithshëm, diferenca midis rritjes dhe diferencialit të funksionit është infinitimale rendit më të lartë i vogël se rritja e argumentit. Nga përkufizimi 8.1 rrjedh se 
, d.m.th. 
.
Në figurën 8.1, pika qëndron në grafikun e funksionit dhe ka koordinata 
. Segmenti.
Në figurën 8.1 pabarazia plotësohet 
, d.m.th. 
. Por mund të ketë raste kur është e vërtetë pabarazi e kundërt 
. Kjo është bërë për funksion linear dhe për një funksion konveks nga lart.
