Koeficienti i këndit të drejtëzave paralele. Koeficienti këndor i një tangjente si tangjente e këndit të prirjes

Drejtëza y=f(x) do të jetë tangjente me grafikun e paraqitur në figurë në pikën x0 nëse kalon nëpër pikën me koordinata (x0; f(x0)) dhe ka shpat f"(x0). Gjetja e një koeficienti të tillë, duke ditur veçoritë e tangjentes, nuk është e vështirë.

Do t'ju duhet

• - libri referues matematikor;
• - një laps i thjeshtë;
• - fletore;
• - raportor;
• - busull;
• - stilolaps.

Udhëzimet

Nëse vlera f‘(x0) nuk ekziston, atëherë ose nuk ka tangjente, ose shkon vertikalisht. Në funksion të kësaj, prania e një derivati ​​të funksionit në pikën x0 është për shkak të ekzistencës së një tangjente jo vertikale me grafikun e funksionit në pikën (x0, f(x0)). Në këtë rast, koeficienti këndor i tangjentes do të jetë i barabartë me f "(x0). Kështu, bëhet e qartë kuptimi gjeometrik derivati ​​– llogaritja e pjerrësisë së tangjentes.

Vizatoni tangjente shtesë që do të ishin në kontakt me grafikun e funksionit në pikat x1, x2 dhe x3, si dhe shënoni këndet e formuara nga këto tangjente me boshtin x (ky kënd numërohet në drejtim pozitiv nga boshti në vijë tangjente). Për shembull, këndi, domethënë α1, do të jetë akut, i dyti (α2) do të jetë i mpirë dhe i treti (α3) e barabartë me zero, meqenëse vija tangjente është paralele me boshtin OX. Në këtë rast, tangjente kënd i mpirë– negative, tangjentja e këndit akut është pozitive dhe në tg0 rezultati është zero.

shënim

Përcaktoni saktë këndin e formuar nga tangjentja. Për ta bërë këtë, përdorni një raportues.

Këshilla të dobishme

Dy drejtëza të pjerrëta do të jenë paralele nëse koeficientët e tyre këndorë janë të barabartë me njëri-tjetrin; pingul nëse prodhimi i koeficientëve këndorë të këtyre tangjenteve është i barabartë me -1.

Burimet:

• Tangjente me grafikun e një funksioni

Kosinusi, si sinusi, klasifikohet si një funksion trigonometrik "i drejtpërdrejtë". Tangjentja (së bashku me kotangjenten) klasifikohet si një çift tjetër i quajtur "derivate". Ekzistojnë disa përkufizime të këtyre funksioneve që bëjnë të mundur gjetjen e tangjentes së dhënë nga vlera e njohur kosinus me të njëjtën vlerë.

Udhëzimet

Zbrisni herësin e njërit me kosinusin këndi i dhënë, dhe nxirrni rrënjën katrore nga rezultati - kjo do të jetë vlera tangjente e këndit, e shprehur me kosinusin e tij: tan(α)=√(1-1/(cos(α))²). Ju lutemi vini re se në formulë kosinusi është në emëruesin e thyesës. Pamundësia e pjesëtimit me zero përjashton përdorimin e kësaj shprehjeje për kënde të barabarta me 90°, si dhe ato që ndryshojnë nga kjo vlerë me numra që janë shumëfish të 180° (270°, 450°, -90°, etj.).

Ekziston një mënyrë alternative për të llogaritur tangjenten nga një vlerë e njohur kosinusi. Mund të përdoret nëse nuk ka kufizime në përdorimin e të tjerëve. Për të zbatuar këtë metodë, së pari përcaktoni vlerën e këndit nga një vlerë e njohur e kosinusit - kjo mund të bëhet duke përdorur funksionin e kosinusit të harkut. Pastaj thjesht llogaritni tangjenten për këndin e vlerës që rezulton. NË pamje e përgjithshme ky algoritëm mund të shkruhet si vijon: tg(α)=tg(arccos(cos(α))).

Ekziston gjithashtu një opsion ekzotik duke përdorur përkufizimin e kosinusit dhe tangjentës përmes këndeve akute të një trekëndëshi kënddrejtë. Në këtë përkufizim, kosinusi korrespondon me raportin e gjatësisë së këmbës ngjitur me këndin në shqyrtim me gjatësinë e hipotenuzës. Duke ditur vlerën e kosinusit, mund të zgjidhni gjatësitë përkatëse të këtyre dy anëve. Për shembull, nëse cos(α) = 0,5, atëherë ngjitja mund të merret e barabartë me 10 cm, dhe hipotenuza - 20 cm. Numrat specifikë nuk kanë rëndësi këtu - do të merrni numrat e njëjtë dhe të saktë me çdo vlerë që ka të njëjtat. Pastaj, duke përdorur teoremën e Pitagorës, përcaktoni gjatësinë e anës që mungon - këmbën e kundërt. Do të jetë e barabartë rrenja katrore nga diferenca ndërmjet gjatësive të hipotenuzës në katror dhe këmbën e famshme: √(20²-10²)=√300. Sipas përkufizimit, tangjentja korrespondon me raportin e gjatësisë së këmbëve të kundërta dhe ngjitur (√300/10) - llogarisni atë dhe merrni vlerën tangjente të gjetur duke përdorur përkufizimi klasik kosinusi.

Burimet:

• kosinusi përmes formulës tangjente

Nje nga funksionet trigonometrike, më së shpeshti shënohet me shkronjat tg, megjithëse gjenden edhe emërtimet tan. Mënyra më e lehtë për të paraqitur tangjenten është si një raport sinus këndi te kosinusi i tij. Është e çuditshme periodike dhe jo funksion të vazhdueshëm, çdo cikël i të cilit e barabartë me numrin Pi, dhe pika e thyerjes korrespondon me gjysmën e këtij numri.

Ruajtja e privatësisë suaj është e rëndësishme për ne. Për këtë arsye, ne kemi zhvilluar një politikë të privatësisë që përshkruan se si ne përdorim dhe ruajmë informacionin tuaj. Ju lutemi rishikoni praktikat tona të privatësisë dhe na tregoni nëse keni ndonjë pyetje.

Mbledhja dhe përdorimi i informacionit personal

Informacioni personal i referohet të dhënave që mund të përdoren për të identifikuar ose kontaktuar një person specifik.

Mund t'ju kërkohet të jepni tuajin informata personale sa herë që na kontaktoni.

Më poshtë janë disa shembuj të llojeve të informacionit personal që mund të mbledhim dhe se si mund ta përdorim këtë informacion.

Çfarë informacioni personal mbledhim:

• Kur paraqisni një kërkesë në faqe, ne mund të mbledhim informacione të ndryshme, duke përfshirë emrin, numrin e telefonit, adresën tuaj Email etj.

Si i përdorim të dhënat tuaja personale:

• Informacioni personal që mbledhim na lejon t'ju kontaktojmë me oferta unike, promovime dhe ngjarje të tjera dhe ngjarje të ardhshme.
• Herë pas here, ne mund të përdorim të dhënat tuaja personale për të dërguar njoftime dhe komunikime të rëndësishme.
• Ne gjithashtu mund të përdorim informacionin personal për qëllime të brendshme si auditimi, analiza e të dhënave dhe studime të ndryshme në mënyrë që të përmirësojmë shërbimet që ne ofrojmë dhe t'ju ofrojmë rekomandime në lidhje me shërbimet tona.
• Nëse merrni pjesë në një tërheqje çmimesh, konkurs ose promovim të ngjashëm, ne mund të përdorim informacionin që ju jepni për të administruar programe të tilla.

Zbulimi i informacionit palëve të treta

Ne nuk ua zbulojmë informacionin e marrë nga ju palëve të treta.

Përjashtimet:

• Nëse është e nevojshme - në përputhje me ligjin, procedurën gjyqësore, procedurat ligjore dhe/ose në bazë të kërkesave ose kërkesave publike nga agjencive qeveritare në territorin e Federatës Ruse - zbuloni informacionin tuaj personal. Ne gjithashtu mund të zbulojmë informacione për ju nëse përcaktojmë se një zbulim i tillë është i nevojshëm ose i përshtatshëm për qëllime sigurie, zbatimi të ligjit ose qëllime të tjera me rëndësi publike.
• Në rast të një riorganizimi, bashkimi ose shitjeje, ne mund t'i transferojmë informacionet personale që mbledhim tek pala e tretë pasardhëse e aplikueshme.

Mbrojtja e informacionit personal

Ne marrim masa paraprake - duke përfshirë administrative, teknike dhe fizike - për të mbrojtur informacionin tuaj personal nga humbja, vjedhja dhe keqpërdorimi, si dhe qasja, zbulimi, ndryshimi dhe shkatërrimi i paautorizuar.

Respektimi i privatësisë suaj në nivel kompanie

Për t'u siguruar që informacioni juaj personal është i sigurt, ne i komunikojmë punonjësve tanë standardet e privatësisë dhe sigurisë dhe zbatojmë në mënyrë rigoroze praktikat e privatësisë.

Derivati ​​i një funksioni është një nga tema të vështira V kurrikula shkollore. Jo çdo i diplomuar do t'i përgjigjet pyetjes se çfarë është një derivat.

Ky artikull shpjegon në mënyrë të thjeshtë dhe të qartë se çfarë është një derivat dhe pse është i nevojshëm.. Tani nuk do të përpiqemi për rigorozitet matematikor në prezantim. Gjëja më e rëndësishme është të kuptoni kuptimin.

Le të kujtojmë përkufizimin:

Derivati ​​është shpejtësia e ndryshimit të një funksioni.

Figura tregon grafikët e tre funksioneve. Cili mendoni se po rritet më shpejt?

Përgjigja është e qartë - e treta. Ka shkallën më të lartë të ndryshimit, domethënë derivatin më të madh.

Ja një shembull tjetër.

Kostya, Grisha dhe Matvey morën punë në të njëjtën kohë. Le të shohim se si ndryshuan të ardhurat e tyre gjatë vitit:

Grafiku tregon gjithçka menjëherë, apo jo? Të ardhurat e Kostya u dyfishuan në gjashtë muaj. Dhe të ardhurat e Grishës gjithashtu u rritën, por vetëm pak. Dhe të ardhurat e Matvey u ulën në zero. Kushtet e fillimit janë të njëjta, por shkalla e ndryshimit të funksionit, d.m.th derivatore, - të ndryshme. Sa i përket Matvey-t, derivati ​​i tij i të ardhurave është përgjithësisht negativ.

Në mënyrë intuitive, ne vlerësojmë lehtësisht shkallën e ndryshimit të një funksioni. Por si ta bëjmë këtë?

Ajo që ne po shohim në të vërtetë është se sa pjerrësi rritet (ose poshtë) grafiku i një funksioni. Me fjalë të tjera, sa shpejt ndryshon y ndërsa x ndryshon? Natyrisht, i njëjti funksion në pika të ndryshme mund të ketë kuptim të ndryshëm derivat - domethënë mund të ndryshojë më shpejt ose më ngadalë.

Derivati ​​i një funksioni shënohet .

Ne do t'ju tregojmë se si ta gjeni atë duke përdorur një grafik.

Është vizatuar një grafik i disa funksioneve. Le të marrim një pikë me një abscisë mbi të. Le të vizatojmë një tangjente me grafikun e funksionit në këtë pikë. Ne duam të vlerësojmë se sa pjerrësi rritet grafiku i një funksioni. Një vlerë e përshtatshme për këtë është tangjente e këndit tangjent.

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me tangjenten e këndit tangjentë të tërhequr në grafikun e funksionit në këtë pikë.

Ju lutemi vini re se si kënd i prirjes së tangjentës marrim këndin midis tangjentës dhe drejtimit pozitiv të boshtit.

Ndonjëherë studentët pyesin se çfarë është një tangjente me grafikun e një funksioni. Kjo është një vijë e drejtë që ka vetëm një pikë e përbashkët me një grafik, dhe siç tregohet në figurën tonë. Duket si një tangjente me një rreth.

Le ta gjejmë. Kujtojmë se tangjentja e një këndi akut në trekëndësh kënddrejtë e barabartë me raportin ana e kundërt me atë ngjitur. Nga trekëndëshi:

Derivatin e gjetëm duke përdorur një grafik pa e ditur as formulën e funksionit. Probleme të tilla shpesh gjenden në Provimin e Unifikuar të Shtetit në matematikë nën numrin.

Ekziston një marrëdhënie tjetër e rëndësishme. Kujtojmë se drejtëza jepet nga ekuacioni

Sasia në këtë ekuacion quhet pjerrësia e një vije të drejtë. Është e barabartë me tangjenten e këndit të prirjes së drejtëzës ndaj boshtit.

.

Ne e kuptojmë atë

Le të kujtojmë këtë formulë. Ai shpreh kuptimin gjeometrik të derivatit.

Derivati ​​i një funksioni në një pikë është i barabartë me pjerrësinë e tangjentes së tërhequr në grafikun e funksionit në atë pikë.

Me fjalë të tjera, derivati ​​është i barabartë me tangjenten e këndit tangjent.

Ne kemi thënë tashmë se i njëjti funksion mund të ketë derivate të ndryshëm në pika të ndryshme. Le të shohim se si derivati ​​lidhet me sjelljen e funksionit.

Le të vizatojmë një grafik të disa funksioneve. Le të rritet ky funksion në disa zona, dhe të ulet në të tjera, dhe me me shpejtësi të ndryshme. Dhe le që ky funksion të ketë pikë maksimale dhe minimale.

Në një moment funksioni rritet. Formohet tangjentja e grafikut të vizatuar në pikë kënd i mprehtë; me drejtim të boshtit pozitiv. Kjo do të thotë që derivati ​​në pikë është pozitiv.

Në atë pikë funksioni ynë zvogëlohet. Tangjentja në këtë pikë formon një kënd të mpirë; me drejtim të boshtit pozitiv. Meqenëse tangjentja e një këndi të mpirë është negative, derivati ​​në pikë është negativ.

Ja çfarë ndodh:

Nëse një funksion është në rritje, derivati ​​i tij është pozitiv.

Nëse zvogëlohet, derivati ​​i tij është negativ.

Çfarë do të ndodhë në pikët maksimale dhe minimale? Shohim që në pikat (pika maksimale) dhe (pika minimale) tangjentja është horizontale. Prandaj, tangjentja e tangjentes në këto pika është zero, dhe derivati ​​është gjithashtu zero.

Pika - pikë maksimale. Në këtë pikë, rritja e funksionit zëvendësohet me një ulje. Rrjedhimisht, shenja e derivatit ndryshon në pikën nga "plus" në "minus".

Në pikën - pika minimale - derivati ​​është gjithashtu zero, por shenja e tij ndryshon nga "minus" në "plus".

Përfundim: duke përdorur derivatin, ne mund të mësojmë gjithçka që na intereson për sjelljen e një funksioni.

Nëse derivati ​​është pozitiv, atëherë funksioni rritet.

Nëse derivati ​​është negativ, atëherë funksioni zvogëlohet.

Në pikën maksimale, derivati ​​është zero dhe ndryshon shenjën nga "plus" në "minus".

Në pikën minimale, derivati ​​është gjithashtu zero dhe ndryshon shenjën nga "minus" në "plus".

Le t'i shkruajmë këto përfundime në formën e një tabele:

Le të bëjmë dy sqarime të vogla. Një prej tyre do t'ju duhet kur zgjidhni problemin. Një tjetër - në vitin e parë, me një studim më serioz të funksioneve dhe derivateve.

Është e mundur që derivati ​​i një funksioni në një moment të jetë i barabartë me zero, por funksioni nuk ka as një maksimum dhe as një minimum në këtë pikë. Ky është i ashtuquajturi :

Në një pikë, tangjentja me grafikun është horizontale dhe derivati ​​është zero. Sidoqoftë, para pikës funksioni u rrit - dhe pas pikës ai vazhdon të rritet. Shenja e derivatit nuk ndryshon - ajo mbetet pozitive siç ishte.

Ndodh gjithashtu që në pikën maksimale ose minimale derivati ​​të mos ekzistojë. Në grafik, kjo korrespondon me një thyerje të mprehtë, kur është e pamundur të vizatoni një tangjente në një pikë të caktuar.

Si të gjeni derivatin nëse funksioni nuk jepet nga një grafik, por nga një formulë? Në këtë rast zbatohet

Tema “Koeficienti këndor i një tangjente si tangjente e këndit të prirjes” jepen disa detyra në provimin e certifikimit. Në varësi të gjendjes së tyre, të diplomuarit mund t'i kërkohet të japë ose një përgjigje të plotë ose një përgjigje të shkurtër. Në përgatitje për dhënien e Provimit të Unifikuar të Shtetit Në matematikë, studenti duhet patjetër të përsërisë problemat në të cilat është e nevojshme të llogaritet koeficienti këndor i një tangjente.

Do t'ju ndihmojë ta bëni këtë portal arsimor"Shkolkovë". Ekspertët tanë përgatitën dhe prezantuan teorike dhe material praktik sa më të aksesueshme. Pasi të jenë njohur me të, të diplomuarit me çdo nivel trajnimi do të jenë në gjendje të zgjidhin me sukses problemet që lidhen me derivatet në të cilat është e nevojshme të gjendet tangjentja e këndit tangjent.

Momentet themelore

Për të gjetur të saktën dhe vendim racional detyra të ngjashme në Provimin e Bashkuar të Shtetit duhet të mbahen mend përkufizimi bazë: Derivati ​​paraqet shpejtësinë e ndryshimit të një funksioni; është e barabartë me tangjenten e këndit tangjentë të tërhequr në grafikun e funksionit në një pikë të caktuar. Është po aq e rëndësishme për të përfunduar vizatimin. Kjo do t'ju lejojë të gjeni zgjidhje e saktë Problemet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në derivatin, në të cilin është e nevojshme të llogaritet tangjentja e këndit tangjent. Për qartësi, është më mirë të vizatoni grafikun në rrafshin OXY.

Nëse e keni lexuar tashmë materiali bazë në temën e derivateve dhe janë gati të fillojnë zgjidhjen e problemeve për llogaritjen e tangjentës së këndit tangjentë, të ngjashme Detyrat e Provimit të Unifikuar të Shtetit, ju mund ta bëni këtë në internet. Për secilën detyrë, për shembull, problemet me temën "Marrëdhënia e një derivati ​​me shpejtësinë dhe nxitimin e një trupi", ne shkruajmë përgjigjen e saktë dhe algoritmin e zgjidhjes. Në të njëjtën kohë, studentët mund të praktikojnë përfundimin e detyrave nivele të ndryshme vështirësitë. Nëse është e nevojshme, ushtrimi mund të ruhet në seksionin "Të preferuarat" në mënyrë që të diskutoni zgjidhjen me mësuesin më vonë.