Derivati ​​i një funksioni është i barabartë me zero kur. Zbatimi i derivatit në studimin e funksioneve

Studimi i një funksioni duke përdorur derivatin e tij. Në këtë artikull do të analizojmë disa detyra që lidhen me studimin e grafikut të një funksioni. Në problematika të tilla jepet grafiku i funksionit y = f (x) dhe shtrohen pyetje që kanë të bëjnë me përcaktimin e numrit të pikave në të cilat derivati ​​i funksionit është pozitiv (ose negativ), si dhe të tjera. Ato klasifikohen si detyra për aplikimin e derivateve në studimin e funksioneve.

Zgjidhja e problemeve të tilla dhe në përgjithësi e problemeve që lidhen me kërkimin, është e mundur vetëm me një kuptim të plotë të vetive të derivatit për studimin e grafikëve të funksioneve dhe të derivatit. Prandaj, ju rekomandoj fuqimisht që të studioni teorinë përkatëse. Ju mund të studioni dhe gjithashtu të shikoni (por përmban një përmbledhje të shkurtër).

Ne do të shqyrtojmë gjithashtu problemet ku jepet grafiku derivat në artikujt e ardhshëm, mos e humbisni! Pra, detyrat:

Figura tregon një grafik të funksionit y = f (x), të përcaktuar në intervalin (−6; 8). Përcaktoni:

1. Numri i pikave të plota në të cilat derivati ​​i funksionit është negativ;

2. Numri i pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralel me drejtëzën y ​​= 2;

1. Derivati ​​i një funksioni është negativ në intervalet në të cilat funksioni zvogëlohet, pra në intervalet (−6; –3), (0; 4.2), (6.9; 8). Ato përmbajnë pikat e plota −5, −4, 1, 2, 3, 4 dhe 7. Marrim 7 pikë.

2. Drejtpërdrejt y= 2 paralel me boshtinOhy= 2 vetëm në pikat ekstreme (në pikat ku grafiku ndryshon sjelljen e tij nga rritëse në zvogëluese ose anasjelltas). Janë katër pika të tilla: –3; 0; 4.2; 6.9

Vendosni vetë:

Përcaktoni numrin e pikave të plota në të cilat derivati ​​i funksionit është pozitiv.

Figura tregon një grafik të funksionit y = f (x), të përcaktuar në intervalin (−5; 5). Përcaktoni:

2. Numri i pikave të plota në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me drejtëzën y ​​= 3;

3. Numri i pikave në të cilat derivati ​​është zero;

1. Nga vetitë e derivatit të një funksioni dihet se ai është pozitiv në intervalet në të cilat funksioni rritet, pra në intervalet (1.4; 2.5) dhe (4.4; 5). Ato përmbajnë vetëm një pikë të plotë x = 2.

2. Drejtpërdrejt y= 3 paralel me boshtinOh. Tangjentja do të jetë paralele me drejtëzëny= 3 vetëm në pikat ekstreme (në pikat ku grafiku ndryshon sjelljen e tij nga rritëse në zvogëluese ose anasjelltas).

Janë katër pika të tilla: –4.3; 1.4; 2.5; 4.4

3. Derivati ​​është zero në katër pikë(në pikat ekstreme), ne i kemi treguar tashmë ato.

Vendosni vetë:

Përcaktoni numrin e pikave të plota në të cilat derivati ​​i funksionit f(x) është negativ.

Figura tregon një grafik të funksionit y = f (x), të përcaktuar në intervalin (−2; 12). Gjej:

1. Numri i pikave të plota në të cilat derivati ​​i funksionit është pozitiv;

2. Numri i pikave të plota në të cilat derivati ​​i funksionit është negativ;

3. Numri i pikave të plota në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralele me drejtëzën y ​​= 2;

4. Numri i pikave në të cilat derivati ​​është zero.

1. Nga vetitë e derivatit të një funksioni dihet se ai është pozitiv në intervalet në të cilat funksioni rritet, pra në intervalet (–2; 1), (2; 4), (7; 9) dhe ( 10; 11). Ato përmbajnë pika të plota: –1, 0, 3, 8. Janë gjithsej katër.

2. Derivati ​​i një funksioni është negativ në intervalet në të cilat funksioni zvogëlohet, pra në intervalet (1; 2), (4; 7), (9; 10), (11; 12). Ato përmbajnë pika të plota 5 dhe 6. Marrim 2 pikë.

3. Drejtpërdrejt y= 2 paralel me boshtinOh. Tangjentja do të jetë paralele me drejtëzëny= 2 vetëm në pikat ekstreme (në pikat ku grafiku ndryshon sjelljen e tij nga rritëse në zvogëluese ose anasjelltas). Janë shtatë pika të tilla: 1; 2; 4; 7; 9; 10; njëmbëdhjetë.

4. Derivati ​​është i barabartë me zero në shtatë pika (në pikat ekstreme), ne i kemi treguar tashmë ato.

Përkufizimi. Le të përcaktohet funksioni \(y = f(x)\) në një interval të caktuar që përmban pikën \(x_0\) brenda tij. Le t'i japim argumentit një rritje \(\Delta x \) në mënyrë që të mos largohet nga ky interval. Le të gjejmë inkrementin përkatës të funksionit \(\Delta y \) (kur lëvizim nga pika \(x_0 \) në pikën \(x_0 + \Delta x \)) dhe të hartojmë relacionin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \). Nëse ka një kufi për këtë raport në \(\Delta x \rightarrow 0\), atëherë kufiri i specifikuar quhet derivat i një funksioni\(y=f(x) \) në pikën \(x_0 \) dhe shënojmë \(f"(x_0) \).

$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x_0) $$

Simboli y përdoret shpesh për të treguar derivatin. Vini re se y" = f(x) është një funksion i ri, por i lidhur natyrshëm me funksionin y = f(x), i përcaktuar në të gjitha pikat x në të cilat ekziston kufiri i mësipërm. Ky funksion quhet kështu: derivat i funksionit y = f(x).

Kuptimi gjeometrik derivatoreështë si më poshtë. Nëse është e mundur të vizatoni një tangjente në grafikun e funksionit y = f(x) në pikën me abshisë x=a, e cila nuk është paralele me boshtin y, atëherë f(a) shpreh pjerrësinë e tangjentes. :
\(k = f"(a)\)

Meqenëse \(k = tg(a) \), atëherë barazia \(f"(a) = tan(a) \) është e vërtetë.

Tani le të interpretojmë përkufizimin e derivatit nga pikëpamja e barazive të përafërta. Le të ketë një derivat në funksionin \(y = f(x)\). pikë specifike\(x\):
$$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) = f"(x) $$
Kjo do të thotë se afër pikës x barazia e përafërt \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \përafërsisht f"(x)\), d.m.th. \(\Delta y \përafërsisht f"(x) \cdot\ Delta x\). Kuptimi kuptimplotë i barazisë së përafërt që rezulton është si vijon: rritja e funksionit është "pothuajse proporcionale" me rritjen e argumentit, dhe koeficienti i proporcionalitetit është vlera e derivatit në pikë e dhënë X. Për shembull, për funksionin \(y = x^2\) barazia e përafërt \(\Delta y \përafërsisht 2x \cdot \Delta x \) është e vlefshme. Nëse analizojmë me kujdes përkufizimin e një derivati, do të zbulojmë se ai përmban një algoritëm për gjetjen e tij.

Le ta formulojmë.

Si gjendet derivati ​​i funksionit y = f(x)?

1. Rregulloni vlerën e \(x\), gjeni \(f(x)\)
2. Jepini argumentit \(x\) një rritje \(\Delta x\), shkoni te pikë e re\(x+ \Delta x \), gjeni \(f(x+ \Delta x) \)
3. Gjeni shtimin e funksionit: \(\Delta y = f(x + \Delta x) - f(x) \)
4. Krijo relacionin \(\frac(\Delta y)(\Delta x) \)
5. Llogaritni $$ \lim_(\Delta x \to 0) \frac(\Delta y)(\Delta x) $$
Ky kufi është derivati ​​i funksionit në pikën x.

Nëse një funksion y = f(x) ka një derivat në një pikë x, atëherë ai quhet i diferencueshëm në një pikë x. Quhet procedura për gjetjen e derivatit të funksionit y = f(x). diferencimi funksionet y = f(x).

Le të diskutojmë pyetjen e mëposhtme: si lidhen me njëra-tjetrën vazhdimësia dhe diferencimi i një funksioni në një pikë?

Le të jetë funksioni y = f(x) i diferencueshëm në pikën x. Pastaj një tangjente mund të vizatohet në grafikun e funksionit në pikën M(x; f(x)), dhe, kujtojmë, koeficienti këndor i tangjentës është i barabartë me f "(x). Një graf i tillë nuk mund të "prishet" në pikën M, pra funksioni duhet të jetë i vazhdueshëm në pikën x.

Këto ishin argumente "praktike". Le të japim një arsyetim më rigoroz. Nëse funksioni y = f(x) është i diferencueshëm në pikën x, atëherë vlen barazia e përafërt \(\Delta y \përafërsisht f"(x) \cdot \Delta x\). Nëse në këtë barazi \(\Delta x \) tenton në zero, atëherë \(\Delta y \) do të priret në zero, dhe ky është kushti për vazhdimësinë e funksionit në një pikë.

Kështu që, nëse një funksion është i diferencueshëm në një pikë x, atëherë ai është i vazhdueshëm në atë pikë.

Deklarata e kundërt nuk është e vërtetë. Për shembull: funksioni y = |x| është e vazhdueshme kudo, veçanërisht në pikën x = 0, por tangjentja me grafikun e funksionit në "pikën e kryqëzimit" (0; 0) nuk ekziston. Nëse në një moment një tangjente nuk mund të vizatohet në grafikun e një funksioni, atëherë derivati ​​nuk ekziston në atë pikë.

Një shembull më shumë. Funksioni \(y=\sqrt(x)\) është i vazhdueshëm në të gjithë vijën numerike, duke përfshirë pikën x = 0. Dhe tangjentja me grafikun e funksionit ekziston në çdo pikë, duke përfshirë pikën x = 0 Por në këtë pikë tangjentja përkon me boshtin y, d.m.th., është pingul me boshtin e abshisës, ekuacioni i tij ka formën x = 0. Një drejtëz e tillë nuk ka koeficient këndi, që do të thotë se \(f. "(0)\) nuk ekziston.

Pra, u njohëm me një veti të re të një funksioni - diferencibilitetin. Si mund të konkludohet nga grafiku i një funksioni se ai është i diferencueshëm?

Përgjigja në fakt është dhënë më lart. Nëse në një moment është e mundur të vizatoni një tangjente në grafikun e një funksioni që nuk është pingul me boshtin e abshisës, atëherë në këtë pikë funksioni është i diferencueshëm. Nëse në një moment tangjentja me grafikun e një funksioni nuk ekziston ose është pingul me boshtin e abshisës, atëherë në këtë pikë funksioni nuk është i diferencueshëm.

Rregullat e diferencimit

Operacioni i gjetjes së derivatit quhet diferencimi. Kur kryeni këtë operacion, shpesh duhet të punoni me koeficientët, shumat, produktet e funksioneve, si dhe "funksionet e funksioneve", domethënë funksionet komplekse. Bazuar në përkufizimin e derivatit, mund të nxjerrim rregulla diferencimi që e bëjnë këtë punë më të lehtë. Nëse C - numër konstant dhe f=f(x), g=g(x) janë disa funksione të diferencueshme, atëherë sa vijon janë të vërteta rregullat e diferencimit:

Tabela e derivateve të disa funksioneve

Duke treguar lidhjen ndërmjet shenjës së derivatit dhe natyrës së monotonitetit të funksionit.

Ju lutemi jini jashtëzakonisht të kujdesshëm për sa vijon. Shikoni, orari i ÇFARË ju jepet! Funksioni ose derivati ​​i tij

Nëse jepet një grafik i derivatit, atëherë do të na interesojnë vetëm shenjat e funksionit dhe zerot. Ne nuk jemi të interesuar për asnjë "kodër" apo "zgavër" në parim!

Detyra 1.

Figura tregon një grafik të një funksioni të përcaktuar në interval. Përcaktoni numrin e pikave të plota në të cilat derivati ​​i funksionit është negativ.

Zgjidhja:

Në figurë, zonat e funksionit në rënie janë të theksuara me ngjyra:

Këto rajone në rënie të funksionit përmbajnë 4 vlera të plota.

Detyra 2.

Figura tregon një grafik të një funksioni të përcaktuar në interval. Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralel ose përkon me drejtëzën.

Zgjidhja:

Pasi tangjentja me grafikun e një funksioni është paralele (ose përkon) me një drejtëz (ose, që është e njëjta gjë), duke pasur shpat , e barabartë me zero, atëherë tangjentja ka edhe koeficient këndor.

Kjo nga ana tjetër do të thotë se tangjentja është paralele me boshtin, pasi pjerrësia është tangjentja e këndit të prirjes së tangjentes me boshtin.

Prandaj, ne gjejmë pika ekstreme (pikat maksimale dhe minimale) në grafik - pikërisht në këto pika funksionet tangjente me grafikun do të jenë paralele me boshtin.

Janë 4 pika të tilla.

Detyra 3.

Figura tregon një grafik të derivatit të një funksioni të përcaktuar në interval. Gjeni numrin e pikave në të cilat tangjentja me grafikun e funksionit është paralel ose përkon me drejtëzën.

Zgjidhja:

Meqenëse tangjentja në grafikun e një funksioni është paralele (ose përkon) me një drejtëz që ka një pjerrësi, atëherë edhe tangjentja ka një pjerrësi.

Kjo nga ana tjetër do të thotë se në pikat e prekjes.

Prandaj, shikojmë se sa pika në grafik kanë një ordinatë të barabartë me .

Siç mund ta shihni, ka katër pika të tilla.

Detyra 4.

Figura tregon një grafik të një funksioni të përcaktuar në interval. Gjeni numrin e pikave në të cilat derivati ​​i funksionit është 0.

Zgjidhja:

Derivati ​​është i barabartë me zero në pikat ekstreme. Kemi 4 prej tyre:

Detyra 5.

Figura tregon një grafik të një funksioni dhe njëmbëdhjetë pika në boshtin x:. Në sa nga këto pika derivati ​​i funksionit është negativ?

Zgjidhja:

Në intervalet e funksionit në rënie, derivati ​​i tij merr vlerat negative. Dhe funksioni zvogëlohet në pika. Janë 4 pika të tilla.

Detyra 6.

Figura tregon një grafik të një funksioni të përcaktuar në interval. Gjeni shumën e pikave ekstreme të funksionit.

Zgjidhja:

Pikat ekstreme– këto janë pikët maksimale (-3, -1, 1) dhe pikët minimale (-2, 0, 3).

Shuma e pikave ekstreme: -3-1+1-2+0+3=-2.

Detyra 7.

Figura tregon një grafik të derivatit të një funksioni të përcaktuar në interval. Gjeni intervalet e rritjes së funksionit. Në përgjigjen tuaj, tregoni shumën e pikave të plota të përfshira në këto intervale.

Zgjidhja:

Figura nxjerr në pah intervalet ku derivati ​​i funksionit është jonegativ.

Nuk ka pika të plota në intervalin e vogël në rritje në intervalin në rritje ka katër vlera të plota: , , dhe .

Shuma e tyre:

Detyra 8.

Figura tregon një grafik të derivatit të një funksioni të përcaktuar në interval. Gjeni intervalet e rritjes së funksionit. Në përgjigjen tuaj, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.

Zgjidhja:

Në figurë, të gjitha intervalet në të cilat derivati ​​është pozitiv janë theksuar me ngjyra, që do të thotë se vetë funksioni rritet në këto intervale.

Gjatësia e më të madhit prej tyre është 6.

Detyra 9.

Figura tregon një grafik të derivatit të një funksioni të përcaktuar në interval. Në cilën pikë të segmentit merr vlerën më të madhe?

Zgjidhja:

Le të shohim se si sillet grafiku në segment, për të cilin ne jemi të interesuar vetëm shenja e derivatit .

Shenja e derivatit on është minus, pasi grafiku në këtë segment është nën bosht.

Problemi B9 jep një grafik të një funksioni ose derivati ​​nga i cili duhet të përcaktoni një nga sasitë e mëposhtme:

1. Vlera e derivatit në një pikë x 0,
2. Pikat maksimale ose minimale (pikat ekstreme),
3. Intervalet e funksioneve rritëse dhe zvogëluese (intervalet e monotonitetit).

Funksionet dhe derivatet e paraqitura në këtë problem janë gjithmonë të vazhdueshme, duke e bërë zgjidhjen shumë më të lehtë. Pavarësisht se detyra i përket seksionit analiza matematikore, është mjaft brenda mundësive edhe të studentëve më të dobët, pasi nuk ka të thella njohuri teorike nuk kërkohet këtu.

Për të gjetur vlerën e derivatit, pikave ekstreme dhe intervaleve të monotonitetit, ekzistojnë algoritme të thjeshta dhe universale - të gjitha ato do të diskutohen më poshtë.

Lexoni me kujdes kushtet e problemit B9 për të mos bërë gabime budalla: ndonjëherë ju ndesheni me tekste mjaft të gjata, por kushte të rëndësishme, të cilat ndikojnë në rrjedhën e vendimit, janë të pakta.

Llogaritja e vlerës së derivatit. Metoda me dy pika

Nëse problemit i jepet një grafik i një funksioni f(x), tangjent me këtë grafik në një pikë x 0, dhe kërkohet të gjendet vlera e derivatit në këtë pikë, zbatohet algoritmi i mëposhtëm:

1. Gjeni dy pika "adekuate" në grafikun tangjentë: koordinatat e tyre duhet të jenë numër i plotë. Le t'i shënojmë këto pika si A (x 1 ; y 1) dhe B (x 2 ; y 2). Shkruani saktë koordinatat - kjo është moment kyç zgjidhje, dhe çdo gabim këtu rezulton në një përgjigje të pasaktë.
2. Duke ditur koordinatat, është e lehtë të llogaritet rritja e argumentit Δx = x 2 − x 1 dhe rritja e funksionit Δy = y 2 − y 1 .
3. Së fundi, gjejmë vlerën e derivatit D = Δy/Δx. Me fjalë të tjera, ju duhet të ndani rritjen e funksionit me rritjen e argumentit - dhe kjo do të jetë përgjigja.

Le të theksojmë edhe një herë: pikat A dhe B duhet të kërkohen pikërisht në tangjenten, dhe jo në grafikun e funksionit f(x), siç ndodh shpesh. Linja tangjente do të përmbajë domosdoshmërisht të paktën dy pika të tilla - përndryshe problemi nuk do të formulohet saktë.

Merrni parasysh pikat A (−3; 2) dhe B (−1; 6) dhe gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = −1 − (−3) = 2; Δy = y 2 − y 1 = 6 − 2 = 4.

Le të gjejmë vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Detyrë. Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x) dhe një tangjente me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0 .

Merrni parasysh pikat A (0; 3) dhe B (3; 0), gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = 3 − 0 = 3; Δy = y 2 − y 1 = 0 − 3 = −3.

Tani gjejmë vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Detyrë. Figura tregon një grafik të funksionit y = f(x) dhe një tangjente me të në pikën me abshisën x 0. Gjeni vlerën e derivatit të funksionit f(x) në pikën x 0 .

Merrni parasysh pikat A (0; 2) dhe B (5; 2) dhe gjeni rritjet:
Δx = x 2 − x 1 = 5 − 0 = 5; Δy = y 2 − y 1 = 2 − 2 = 0.

Mbetet për të gjetur vlerën e derivatit: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Nga shembulli i fundit mund të formulojmë një rregull: nëse tangjentja është paralele me boshtin OX, derivati ​​i funksionit në pikën e tangjences është zero. Në këtë rast, as nuk keni nevojë të numëroni asgjë - thjesht shikoni grafikun.

Llogaritja e pikëve maksimale dhe minimale

Ndonjëherë, në vend të një grafiku të një funksioni, problemi B9 jep një grafik të derivatit dhe kërkon gjetjen e pikës maksimale ose minimale të funksionit. Në këtë situatë, metoda me dy pika është e padobishme, por ekziston një algoritëm tjetër, edhe më i thjeshtë. Së pari, le të përcaktojmë terminologjinë:

1. Pika x 0 quhet pika maksimale e funksionit f(x) nëse në ndonjë fqinjësi të kësaj pike vlen pabarazia e mëposhtme: f(x 0) ≥ f(x).
2. Pika x 0 quhet pika minimale e funksionit f(x) nëse në ndonjë fqinjësi të kësaj pike vlen pabarazia e mëposhtme: f(x 0) ≤ f(x).

Për të gjetur pikët maksimale dhe minimale në grafikun e derivateve, thjesht ndiqni këto hapa:

1. Rivizatoni grafikun e derivatit, duke hequr të gjitha informacionet e panevojshme. Siç tregon praktika, të dhënat e panevojshme ndërhyjnë vetëm në vendim. Prandaj, ne vërejmë në boshti koordinativ zerat e derivatit - kjo është e gjitha.
2. Gjeni shenjat e derivatit në intervalet midis zerove. Nëse për një pikë x 0 dihet se f'(x 0) ≠ 0, atëherë janë të mundshme vetëm dy opsione: f'(x 0) ≥ 0 ose f'(x 0) ≤ 0. Shenja e derivatit është lehtë për t'u përcaktuar nga vizatimi origjinal: nëse grafiku i derivatit shtrihet mbi boshtin OX, atëherë f'(x) ≥ 0. Dhe anasjelltas, nëse grafiku i derivatit shtrihet nën boshtin OX, atëherë f'(x) ≤ 0.
3. Ne kontrollojmë sërish zerat dhe shenjat e derivatit. Aty ku shenja ndryshon nga minus në plus është pika minimale. Në të kundërt, nëse shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus, kjo është pika maksimale. Numërimi bëhet gjithmonë nga e majta në të djathtë.

Kjo skemë funksionon vetëm për funksione të vazhdueshme - nuk ka të tjerë në problemin B9.

Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−5; 5]. Gjeni pikën minimale të funksionit f(x) në këtë segment.

Le të heqim qafe informacionin e panevojshëm dhe të lëmë vetëm kufijtë [−5; 5] dhe zero të derivatit x = −3 dhe x = 2,5. Ne gjithashtu vërejmë shenjat:

Natyrisht, në pikën x = −3, shenja e derivatit ndryshon nga minus në plus. Kjo është pika minimale.

Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−3; 7]. Gjeni pikën maksimale të funksionit f(x) në këtë segment.

Le të rivizatojmë grafikun, duke lënë vetëm kufijtë [−3; 7] dhe zero të derivatit x = −1,7 dhe x = 5. Le të vërejmë shenjat e derivatit në grafikun që rezulton. Ne kemi:

Natyrisht, në pikën x = 5, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus - kjo është pika maksimale.

Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin [−6; 4]. Gjeni numrin e pikave maksimale të funksionit f(x) që i përkasin segmentit [−4; 3].

Nga kushtet e problemit rezulton se mjafton të merret në konsideratë vetëm pjesa e grafikut e kufizuar nga segmenti [−4; 3]. Kjo është arsyeja pse ne po ndërtojmë orar i ri, në të cilin shënojmë vetëm kufijtë [−4; 3] dhe zero të derivatit brenda tij. Domethënë, pikat x = −3,5 dhe x = 2. Marrim:

Në këtë grafik ka vetëm një pikë maksimale x = 2. Pikërisht në këtë pikë, shenja e derivatit ndryshon nga plus në minus.

Një shënim i vogël për pikat me koordinata jo të plota. Për shembull, në detyra e funditështë konsideruar pika x = −3,5, por me të njëjtin sukses mund të marrim x = −3,4. Nëse problemi është përpiluar saktë, ndryshime të tilla nuk duhet të ndikojnë në përgjigjen, pasi pikat "pa një vendbanim fiks" nuk pranojnë pjesëmarrje direkte në zgjidhjen e problemit. Sigurisht, ky mashtrim nuk do të funksionojë me pikë të plota.

Gjetja e intervaleve të funksioneve rritëse dhe zvogëluese

Në një problem të tillë, si pikat maksimale dhe minimale, propozohet përdorimi i grafikut derivat për të gjetur zonat në të cilat funksioni vetë rritet ose zvogëlohet. Së pari, le të përcaktojmë se çfarë janë rritja dhe zvogëlimi:

1. Një funksion f(x) thuhet se është në rritje në një segment nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 nga ky segment është i vërtetë pohimi i mëposhtëm: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2) . Me fjalë të tjera, sa më e madhe të jetë vlera e argumentit, aq më e madhe është vlera e funksionit.
2. Një funksion f(x) quhet zvogëlues në një segment nëse për çdo dy pika x 1 dhe x 2 nga ky segment është i vërtetë pohimi i mëposhtëm: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). ato. vlerë më të lartë argumentet përputhen vlerë më të ulët funksione.

Le të formulojmë kushte të mjaftueshme në ngjitje dhe në zbritje:

1. Në mënyrë që funksion të vazhdueshëm f(x) rritet në segmentin , mjafton që derivati ​​i tij brenda segmentit të jetë pozitiv, d.m.th. f'(x) ≥ 0.
2. Në mënyrë që një funksion i vazhdueshëm f(x) të zvogëlohet në segmentin , mjafton që derivati ​​i tij brenda segmentit të jetë negativ, d.m.th. f'(x) ≤ 0.

Le t'i pranojmë këto deklarata pa prova. Kështu, marrim një skemë për gjetjen e intervaleve të rritjes dhe zvogëlimit, e cila në shumë mënyra është e ngjashme me algoritmin për llogaritjen e pikave ekstreme:

1. Hiqni të gjitha informacionet e panevojshme. Në grafikun origjinal të derivatit, ne jemi të interesuar kryesisht për zerot e funksionit, kështu që do t'i lëmë vetëm ato.
2. Shënoni shenjat e derivatit në intervalet ndërmjet zerove. Aty ku f'(x) ≥ 0, funksioni rritet, dhe ku f'(x) ≤ 0, zvogëlohet. Nëse problemi vendos kufizime në variablin x, ne i shënojmë ato në një grafik të ri.
3. Tani që njohim sjelljen e funksionit dhe kufizimet, mbetet të llogarisim sasinë e kërkuar në problem.

Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x) të përcaktuar në intervalin [−3; 7.5]. Gjeni intervalet e zvogëlimit të funksionit f(x). Në përgjigjen tuaj, tregoni shumën e numrave të plotë të përfshirë në këto intervale.

Si zakonisht, le të rivizatojmë grafikun dhe të shënojmë kufijtë [−3; 7.5], si dhe zero të derivatit x = −1.5 dhe x = 5.3. Pastaj shënojmë shenjat e derivatit. Ne kemi:

Meqenëse derivati ​​është negativ në intervalin (− 1.5), ky është intervali i funksionit në rënie. Mbetet për të mbledhur të gjithë numrat e plotë që janë brenda këtij intervali:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Detyrë. Figura tregon grafikun e derivatit të funksionit f(x), të përcaktuar në intervalin [−10; 4]. Gjeni intervalet e rritjes së funksionit f(x). Në përgjigjen tuaj, tregoni gjatësinë e më të madhit prej tyre.

Le të heqim qafe informacionin e panevojshëm. Le të lëmë vetëm kufijtë [−10; 4] dhe zero të derivatit, nga të cilat këtë herë ishin katër: x = −8, x = −6, x = −3 dhe x = 2. Të shënojmë shenjat e derivatit dhe të marrim figurën e mëposhtme:

Ne jemi të interesuar për intervalet e rritjes së funksionit, d.m.th. të tilla ku f’(x) ≥ 0. Ekzistojnë dy intervale të tilla në grafik: (−8; −6) dhe (−3; 2). Le të llogarisim gjatësinë e tyre:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Meqenëse duhet të gjejmë gjatësinë e intervalit më të madh, si përgjigje shkruajmë vlerën l 2 = 5.

Kur vendoset detyra të ndryshme gjeometria, mekanika, fizika dhe degë të tjera të njohurive u bënë të nevojshme duke përdorur të njëjtin proces analitik nga ky funksion y=f(x) marrin veçori e re që quhet funksioni derivator(ose thjesht derivat) i një funksioni të caktuar f(x) dhe shënohet nga simboli

Procesi me të cilin nga një funksion i caktuar f(x) merrni një veçori të re f" (x), thirri diferencimi dhe përbëhet nga tre hapat e mëposhtëm: 1) jepni argumentin x rritje  x dhe përcaktoni rritjen përkatëse të funksionit  y = f(x+ x) -f(x); 2) përbëjnë një lidhje

3) duke numëruar x konstante dhe  x0, gjejmë
, të cilin e shënojmë me f" (x), sikur të theksonte se funksioni që rezulton varet vetëm nga vlera x, në të cilën shkojmë në kufi. Përkufizimi: Derivati ​​y " =f " (x) funksioni i dhënë y=f(x) për një x të dhënë quhet kufiri i raportit të rritjes së një funksioni me rritjen e argumentit, me kusht që rritja e argumentit të tentojë në zero, nëse, natyrisht, ekziston ky kufi, d.m.th. të fundme. Kështu,
, ose

Vini re se nëse për ndonjë vlerë x, për shembull kur x=a, qëndrim
në  x 0 nuk tenton të kufi i fundëm, atëherë në këtë rast thonë se funksioni f(x) në x=a(ose në pikën x=a) nuk ka derivat ose nuk është i diferencueshëm në pikë x=a.

2. Kuptimi gjeometrik i derivatit.

Konsideroni grafikun e funksionit y = f (x), të diferencueshëm në afërsi të pikës x 0

f(x)

Le të shqyrtojmë një drejtëz arbitrare që kalon nëpër një pikë në grafikun e një funksioni - pika A(x 0, f (x 0)) dhe që pret grafikun në një pikë B(x;f(x)). Një vijë e tillë (AB) quhet sekant. Nga ∆ABC: ​​AC = ∆x; ВС =∆у; tgβ=∆y/∆x.

Që nga AC || Ox, pastaj ALO = BAC = β (si korrespondues për paralelen). Por ALO është këndi i prirjes së sekantit AB ndaj drejtimit pozitiv të boshtit Ox. Kjo do të thotë se tanβ = k është koeficienti këndor i drejtëzës AB.

Tani do të zvogëlojmë ∆х, d.m.th. ∆х→ 0. Në këtë rast, pika B do t'i afrohet pikës A sipas grafikut dhe sekanti AB do të rrotullohet. Pozicioni kufizues i sekantit AB në ∆x→ 0 do të jetë një drejtëz (a), e quajtur tangjente në grafikun e funksionit y = f (x) në pikën A.

Nëse shkojmë në kufi si ∆x → 0 në barazinë tgβ =∆y/∆x, marrim
ortg =f "(x 0), pasi
-këndi i prirjes së tangjentes në drejtimin pozitiv të boshtit Ox
, sipas përkufizimit të një derivati. Por tg = k është koeficienti këndor i tangjentes, që do të thotë k = tg = f "(x 0).

Pra, kuptimi gjeometrik i derivatit është si më poshtë:

Derivati ​​i një funksioni në pikën x 0 e barabartë me shpat tangjente me grafikun e funksionit të vizatuar në pikën me abshisë x 0 .

3. Kuptimi fizik i derivatit.

Konsideroni lëvizjen e një pike përgjatë një vije të drejtë. Le të jepet koordinata e një pike në çdo kohë x(t). Dihet (nga një kurs i fizikës) se shpejtësia mesatare në një periudhë kohore është e barabartë me raportin e distancës së përshkuar gjatë kësaj periudhe kohore me kohën, d.m.th.

Vav = ∆x/∆t. Le të shkojmë te kufiri në barazinë e fundit si ∆t → 0.

lim Vav (t) = (t 0) - shpejtësia e menjëhershme në kohën t 0, ∆t → 0.

dhe lim = ∆x/∆t = x"(t 0) (sipas përkufizimit të derivatit).

Pra, (t) =x"(t).

Kuptimi fizik i derivatit është si vijon: derivat i funksionity = f(x) në pikëx 0 është shpejtësia e ndryshimit të funksionitf(x) në pikënx 0

Derivati ​​përdoret në fizikë për të gjetur shpejtësinë me funksion i njohur koordinatat kundrejt kohës, nxitimi i bazuar në një funksion të njohur të shpejtësisë kundrejt kohës.

(t) = x"(t) - shpejtësia,

a(f) = "(t) - nxitimi, ose

Nëse ligji i lëvizjes së një pike materiale në një rreth është i njohur, atëherë mund të gjendet shpejtësia këndore dhe nxitimi këndor gjatë lëvizjes rrotulluese:

φ = φ(t) - ndryshimi i këndit me kalimin e kohës,

ω = φ"(t) - shpejtësia këndore,

ε = φ"(t) - nxitimi këndor, ose ε = φ"(t).

Nëse dihet ligji i shpërndarjes së masës së një shufre johomogjene, atëherë mund të gjendet dendësia lineare e shufrës johomogjene:

m = m(x) - masë,

x , l - gjatësia e shufrës,

p = m"(x) - dendësia lineare.

Duke përdorur derivatin zgjidhen problemet nga teoria e elasticitetit dhe dridhjet harmonike. Pra, sipas ligjit të Hukut

F = -kx, x – koordinata e ndryshueshme, k – koeficienti i elasticitetit të sustës. Duke vendosur ω 2 =k/m, marrim ekuacionin diferencial të lavjerrësit të sustës x"(t) + ω 2 x(t) = 0,

ku ω = √k/√m frekuenca e lëkundjeve (l/c), k - ngurtësia e sustës (H/m).

Ekuacioni i formës y" + ω 2 y = 0 quhet ekuacioni i lëkundjeve harmonike (mekanike, elektrike, elektromagnetike). Zgjidhja e ekuacioneve të tilla është funksioni

y = Asin(ωt + φ 0) ose y = Acos(ωt + φ 0), ku

A - amplituda e lëkundjeve, ω - frekuenca ciklike,

φ 0 - faza fillestare.