1. Koncepti i pabarazisë me një ndryshore
2. Pabarazitë ekuivalente. Teorema mbi ekuivalencën e pabarazive
3. Zgjidhja e inekuacioneve me një ndryshore
4. Zgjidhja grafike e inekuacioneve me një ndryshore
5. Pabarazitë që përmbajnë një ndryshore nën shenjën e modulit
6. Përfundimet kryesore
Pabarazitë me një ndryshore
Oferta 2 X + 7 > 10, x 2 + 7x< 2,(х + 2)(2х-3)> 0 quhen inekuacione me një ndryshore.
NË pamje e përgjithshme ky koncept përcaktohet si më poshtë:
Përkufizimi. Le të jenë f(x) dhe g(x) dy shprehje me ndryshore x dhe domen X. Pastaj një pabarazi e formës f(x) > g(x) ose f(x)< g(х) называется неравенством с одной переменной. Множество X называется областью его определения.
Vlera e ndryshueshme x nga shumë X, në të cilën inekuacioni kthehet në një mosbarazim të vërtetë numerik quhet vendim. Zgjidhja e një pabarazie do të thotë të gjesh shumë zgjidhje për të.
Kështu, duke zgjidhur pabarazinë 2 x + 7 > 10 -x, x? Rështë numri x= 5, pasi 2 5 + 7 > 10 - 5 është një pabarazi numerike e vërtetë. Dhe bashkësia e zgjidhjeve të saj është intervali (1, ∞), i cili gjendet duke kryer transformimin e pabarazisë: 2 x + 7 > 10-x => 3x >3 => x >1.
Pabarazitë ekuivalente. Teorema mbi ekuivalencën e pabarazive
Baza për zgjidhjen e pabarazive me një ndryshore është koncepti i ekuivalencës.
Përkufizimi. Dy pabarazi quhen ekuivalente nëse bashkësitë e tyre të zgjidhjeve janë të barabarta.
Për shembull, pabarazitë 2 x+ 7 > 10 dhe 2 x> 3 janë ekuivalente, pasi bashkësitë e zgjidhjeve të tyre janë të barabarta dhe përfaqësojnë intervalin (2/3, ∞).
Teoremat mbi ekuivalencën e pabarazive dhe pasojat prej tyre janë të ngjashme me teoremat përkatëse për ekuivalencën e ekuacioneve. Vërtetimi i tyre përdor vetitë e pabarazive të vërteta numerike.
Teorema 3. Lëreni pabarazinë f(x) > g(x) të përcaktuara në set X Dhe h(x) është një shprehje e përcaktuar në të njëjtin grup. Pastaj pabarazitë f(x) > g(x) dhe f(x)+ h(x) > g(x) + h(x) janë ekuivalente në komplet X.
Pasojat rrjedhin nga kjo teoremë, të cilat shpesh përdoren kur zgjidhen pabarazitë:
1) Nëse për të dy anët e pabarazisë f(x) > g(x) shtoni të njëjtin numër d, atëherë marrim pabarazinë f(x) + d > g(x)+ d, ekuivalente me origjinalin.
2) Nëse ndonjë term (shprehje numerike ose shprehje me një ndryshore) transferohet nga një pjesë e pabarazisë në tjetrën, duke ndryshuar shenjën e termit në të kundërtën, atëherë fitojmë një pabarazi të barabartë me atë të dhënë.
Teorema 4. Lëreni pabarazinë f(x) > g(x) të përcaktuara në set X Dhe h(X X nga shumë X shprehje h(x) pranon vlerat pozitive. Pastaj pabarazitë f(x) > g(x) dhe f(x) h(x) > g(x) h(x) janë ekuivalente në komplet X.
f(x) > g(x) shumohen me të njëjtën numër pozitiv d, atëherë marrim pabarazinë f(x) d > g(x) d, ekuivalente me këtë.
Teorema 5. Lëreni pabarazinë f(x) > g(x) të përcaktuara në set X Dhe h(X) - një shprehje e përcaktuar në të njëjtin grup, dhe për të gjithë X ka shumë prej tyre X shprehje h(X) pranon vlerat negative. Pastaj pabarazitë f(x) > g(x) dhe f(x) h(x) > g(x) h(x) janë ekuivalente në komplet X.
Një përfundim rrjedh nga kjo teoremë: nëse të dyja anët e pabarazisë f(x) > g(x) shumëzohet me të njëjtin numër negativ d dhe ndryshojmë shenjën e pabarazisë në të kundërtën, marrim pabarazinë f(x) d > g(x) d, ekuivalente me këtë.
Zgjidhja e pabarazive me një ndryshore
Le të zgjidhim pabarazinë 5 X - 5 < 2х - 16, X? R, dhe do të justifikojmë të gjitha transformimet që do të kryejmë në procesin e zgjidhjes.
Zgjidhja e pabarazisë X < 7 является промежуток (-∞, 7) и, следовательно, множеством решений неравенства 5X - 5 < 2x + 16 është intervali (-∞, 7).
Ushtrime
1. Përcaktoni cilat nga hyrjet e mëposhtme janë pabarazi me një ndryshore:
a) -12 - 7 X< 3x+ 8; d) 12 x + 3(X- 2);
b) 15( x+ 2)>4; e) 17-12·8;
c) 17-(13 + 8)< 14-9; е) 2x2+ 3x-4> 0.
2. A është numri 3 një zgjidhje për pabarazinë 6 (2x + 7) < 15(X + 2), X? R? Po për numrin 4.25?
3. A janë çiftet e mëposhtme të pabarazive ekuivalente në bashkësinë e numrave realë:
a) -17 X< -51 и X > 3;
b) (3 x-1)/4 >0 dhe 3 X-1>0;
c) 6-5 x>-4 dhe X<2?
4. Cilat nga pohimet e mëposhtme janë të vërteta:
a) -7 X < -28 => x>4;
b) x < 6 => x < 5;
V) X< 6 => X< 20?
5. Zgjidh pabarazinë 3( x - 2) - 4(X + 1) < 2(х - 3) - 2 dhe justifikoni të gjitha transformimet që do të kryeni.
6. Vërtetoni këtë duke zgjidhur pabarazinë 2 (x+ 1) + 5 > 3 - (1 - 2X) është çdo numër real.
7. Provoni se nuk ekziston numër real, e cila do të ishte një zgjidhje për pabarazinë 3 (2 - X) - 2 > 5 - 3X.
8. Njëra anë e trekëndëshit është 5 cm, dhe tjetra është 8 cm, sa mund të jetë gjatësia e brinjës së tretë nëse perimetri i trekëndëshit është:
a) më pak se 22 cm;
b) më shumë se 17 cm?
ZGJIDHJA GRAFIKE E PABARAZISË ME NJË NDRYSHORE. Për zgjidhje grafike pabarazitë f (x) > g (x) nevoja për të ndërtuar grafikët e funksioneve
y = f (x) = g (x) dhe zgjidhni ato intervale të boshtit të abshisave mbi të cilat grafiku i funksionit y = f(x) ndodhet mbi grafikun e funksionit y = g(x).
Shembulli 17.8. Zgjidh grafikisht pabarazinë x 2- 4 > 3X.
| Y - x* - 4 |
Zgjidhje. Le të ndërtojmë grafikët e funksioneve në një sistem koordinativ
y = x 2 - 4 dhe y = Zx (Fig. 17.5). Figura tregon se grafikët e funksioneve në= x 2- 4 ndodhet mbi grafikun e funksionit y = 3 X në X< -1 dhe x > 4, d.m.th. bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë fillestare është bashkësia
(- ¥; -1) È (4; + oo) .
Përgjigje: x О(- oo; -1) dhe ( 4; + oo).
Orari funksion kuadratik në= sëpatë 2 + bx + cështë një parabolë me degë të drejtuara lart nëse a > 0, dhe poshtë nëse A< 0. Në këtë rast janë të mundshme tre raste: parabola e pret boshtin Oh(dmth ekuacioni ah 2+ bx+ c = 0 ka dy rrënjë të ndryshme); parabola prek boshtin X(dmth ekuacioni sëpatë 2 + bx+ c = 0 ka një rrënjë); parabola nuk e pret boshtin Oh(dmth ekuacioni ah 2+ bx+ c = 0 nuk ka rrënjë). Kështu, ekzistojnë gjashtë pozicione të mundshme të parabolës, e cila shërben si grafik i funksionit y = ah 2+b x + c(Fig. 17.6). Duke përdorur këto ilustrime, ju mund të zgjidhni pabarazitë kuadratike.
Shembulli 17.9. Zgjidh inekuacionin: a) 2 x g+ 5x - 3 > 0; b) -Zx 2 - 2x- 6 < 0.
Zgjidhje, a) Ekuacioni 2x 2 + 5x -3 = 0 ka dy rrënjë: x, = -3, x 2 = 0.5. Parabola që shërben si grafik i një funksioni në= 2x2+ 5x -3, treguar në Fig. A. Pabarazia 2x2+ 5x -3 > 0 është e kënaqur për ato vlera X, për të cilat pikat e parabolës shtrihen mbi bosht Oh: do të jetë në X< х х ose kur X> x g> ato. në X< -3 ose në x > 0.5. Kjo do të thotë se bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë origjinale është bashkësia e (- ¥; -3) dhe (0,5; + ¥).
b) Ekuacioni -Зх 2 + 2x- 6 = 0 nuk ka rrënjë reale. Parabola që shërben si grafik i një funksioni në= - 3x 2 - 2x - 6, treguar në Fig. 17.6 Pabarazia -3x 2 - 2x - 6 < О выполняется при тех значениях X, për të cilat pikat e parabolës shtrihen poshtë boshtit Oh. Meqenëse e gjithë parabola shtrihet poshtë boshtit Oh, atëherë bashkësia e zgjidhjeve të pabarazisë fillestare është bashkësia R .
PABARAZITË QË PËRMBAJNË NJË VARIABLE NË SHENJËN E MODULIT. Gjatë zgjidhjes së këtyre pabarazive, duhet pasur parasysh se:
|f(x) | =
f(x), Nëse f(x) ³ 0,
- f(x), Nëse f(x) < 0,
Në të njëjtën kohë, zona vlerat e pranueshme pabarazitë duhet të ndahen në intervale, në secilën prej të cilave shprehjet nën shenjën e modulit ruajnë shenjën e tyre. Pastaj, duke zgjeruar modulet (duke marrë parasysh shenjat e shprehjeve), duhet të zgjidhni pabarazinë në çdo interval dhe të kombinoni zgjidhjet që rezultojnë në një grup zgjidhjesh për pabarazinë origjinale.
Shembull 17.10. Zgjidh pabarazinë:
|x -1| + |2- x| > 3+x.
Zgjidhje. Pikat x = 1 dhe x = 2 ndahen boshti numerik (pabarazia DZ(17.9) në tre intervale: x< 1, 1 £ х £.2, х >2. Le të vendosim kjo pabarazi në secilën prej tyre. Nëse x< 1, то х - 1 < 0 и 2 – х >0; prandaj |x -1| = - (x - I), |2 - x | = 2 - x. Kjo do të thotë se pabarazia (17.9) merr formën: 1- x + 2 - x > 3 + x, d.m.th. X< 0. Таким образом, в этом случае решениями неравенства (17.9) являются все отрицательные числа.
Nëse 1 £ x £.2, atëherë x - 1 ³ 0 dhe 2 – x ³ 0; prandaj | x- 1| = x - 1, |2 - x| = 2 – x. Kjo do të thotë që sistemi mban:
x – 1 + 2 – x > 3 + x,
Sistemi i pabarazive që rezulton nuk ka zgjidhje. Prandaj, në intervalin [ 1; 2] grupi i zgjidhjeve të pabarazisë (17.9) është bosh.
Nëse x > 2, atëherë x - 1 >0 dhe 2 - x<0; поэтому | х - 1| = х- 1, |2-х| = -(2- х). Значит, имеет место система:
x -1 + x – 2 > 3+x,
x > 6 ose
Duke kombinuar zgjidhjet e gjetura në të gjitha pjesët e pabarazisë ODZ (17.9), marrim zgjidhjen e saj - bashkësinë (-¥; 0) È (6; +oo).
Ndonjëherë është e dobishme të përdoret interpretimi gjeometrik moduli i një numri real, sipas të cilit | a | nënkupton distancën e pikës a të vijës koordinative nga origjina O, dhe | a - b | nënkupton distancën ndërmjet pikave a dhe b në vijën koordinative. Përndryshe, mund të përdorni metodën e katrorit të të dy anëve të pabarazisë.
Teorema 17.5. Nëse shprehjet f(x) dhe g(x) për çdo x merrni vetëm vlera jo negative, pastaj pabarazitë f (x) > g (x) Dhe f (x) ² > g (x) ² janë ekuivalente.
58. Përfundimet kryesore § 12
Në këtë seksion kemi përcaktuar sa vijon konceptet:
Shprehje numerike;
Kuptimi shprehje numerike;
Një shprehje që nuk ka kuptim;
Shprehje me variabël(a);
Zona e përkufizimit të shprehjes;
Në mënyrë identike shprehje të barabarta;
Identiteti;
Transformimi i identitetit shprehjet;
Barazia numerike;
Ekuacioni me një ndryshore;
Rrënja e ekuacionit;
Çfarë do të thotë të zgjidhësh një ekuacion;
Ekuacionet ekuivalente;
Pabarazia me një ndryshore;
Zgjidhja e pabarazive;
Çfarë do të thotë të zgjidhësh pabarazinë;
Pabarazitë ekuivalente.
Përveç kësaj, ne shqyrtuam teoremat mbi ekuivalencën e ekuacioneve dhe pabarazive, të cilat janë baza për zgjidhjen e tyre.
Njohja e përkufizimeve të të gjitha koncepteve dhe teoremave të mësipërme mbi ekuivalencën e ekuacioneve dhe pabarazive - kusht i nevojshëm studim metodologjikisht kompetent me nxënës më të rinj të shkollës material algjebrik.
MËSIM: “ZGJIDHJA E PABARAZISË ME NJË NDRYSHORE”
Artikulli: Algjebër
Tema: Zgjidhja e pabarazive me një ndryshore
Objektivat e mësimit:
Edukative:
organizoni aktivitetet e nxënësve për të perceptuar, kuptuar dhe konsoliduar fillimisht koncepte të tilla si zgjidhja e pabarazive me një ndryshore, pabarazia ekuivalente, zgjidhja e pabarazisë; kontrolloni aftësinë e nxënësve për të zbatuar njohuritë dhe aftësitë e marra në mësimet e mëparshme për zgjidhjen e problemeve në këtë orë mësimi.
Edukative:
zhvillimi i interesit për matematikën nëpërmjet përdorimit të TIK-ut në praktikë; kultivojnë nevojat njohëse të nxënësve; për të formuar cilësi të tilla personale si përgjegjësia, këmbëngulja në arritjen e qëllimeve, pavarësia.
Gjatë orëve të mësimit
I. Momenti organizativ
II. Ekzaminimi detyre shtepie(Përditësimi i njohurive bazë)
1. Me anë të vijës së koordinatave gjeni prerjen e intervaleve: a) (1;8) dhe (5;10); b) (-4;4) dhe [-6;6]; c) (5;+∞) dhe [-∞;4]
Përgjigje: a) (1;5); b) (-4;4); c) nuk ka kryqëzime
2. Shkruani intervalet e treguara në figurë:
2) 
3) 
Përgjigje: 1) (2; 6); b) (-1;7]; c) .
Shembulli 3, zgjidhni pabarazinë 3(x-1)<-4+3х.
Le të hapim kllapat në anën e majtë të pabarazisë: 3x-3<-4+3х.
Le ta zhvendosim termin 3x me shenja të kundërta nga ana e djathtë në të majtë, dhe termin -3 nga ana e majtë në të djathtë dhe të japim terma të ngjashëm: 3x-3x<-4+3,
Siç mund ta shohim, kjo pabarazi numerike nuk është e vërtetë për asnjë vlerë të x. Kjo do të thotë që pabarazia jonë me një ndryshore nuk ka zgjidhje.
Aparatet e trajnimit
Zgjidheni pabarazinë dhe shënoni zgjidhjen e tij:
f) 7x-2.4<0,4;
h) 6b-1<12-7b;
i) 16x-44>x+1;
k) 5(x-1)+7≤1-3(x+2);
l) 6y-(y+8)-3(2-y)>2.
Përgjigje: a) (-8; +∞); b) [-1,5; +∞ ); c) (5; +∞); d) (-∞; 3); e) (-∞; -0,25); f) (-∞; 0,4); g) [-5; +∞); h) (-∞; 1); i) (3; +∞); j) ; l) (2; +∞).
IV. konkluzionet
Zgjidhja e një pabarazie në një variabël është vlera e ndryshores që e kthen atë në një pabarazi numerike të vërtetë. Zgjidhja e një pabarazie do të thotë të gjesh të gjitha zgjidhjet e saj ose të provosh se nuk ka zgjidhje. Jobarazimet që kanë zgjidhje të njëjta quhen ekuivalente. Ekuivalente konsiderohen edhe pabarazitë që nuk kanë zgjidhje. Nëse të dyja anët e një pabarazie shumëzohen ose pjesëtohen me të njëjtin numër negativ, duke ndryshuar shenjën e pabarazisë në të kundërtën. Në raste të tjera mbetet e njëjtë.
V. Testimi përfundimtar
1) Zgjidhja e një pabarazie në një ndryshore quhet...
a) vlera e ndryshores, e cila e kthen atë në një pabarazi të vërtetë;
b) vlerën e ndryshores, e cila e kthen atë në numerik të saktë
pabarazia;
c) një ndryshore që e kthen atë në një pabarazi numerike të vërtetë.
2) Cilët numra janë zgjidhja e mosbarazimit 8+5y>21+6y:
a) 2 dhe 5 b) -1 dhe 8 c) -12 dhe 1 d) -15 dhe -30?
3) Specifikoni grupin e zgjidhjeve të pabarazisë 4(x+1)>20:
a) (- ∞; 4); b) (4; +∞);
V))
