Termi i skenarit është tërheqës i çuditshëm. Tërheqës i çuditshëm

Aktualisht, një teori gjithëpërfshirëse e shfaqjes së turbulencës në lloje të ndryshme të rrjedhave hidrodinamike nuk ekziston ende. Megjithatë, një numër i skenarë të mundshëm procesi i kaotizimit të lëvizjes, i bazuar kryesisht në hulumtimin kompjuterik të sistemeve model ekuacionet diferenciale, dhe pjesërisht e konfirmuar nga eksperimentet reale hidrodinamike. Paraqitja e mëtejshme në këtë dhe në paragrafët vijues synon vetëm të japë një ide të këtyre ideve, pa hyrë në një diskutim të kompjuterit përkatës dhe rezultatet eksperimentale. Vëmë re vetëm se të dhënat eksperimentale lidhen me lëvizjet hidrodinamike në sasi të kufizuara; Janë pikërisht lëvizjet e tilla që do të kemi parasysh më poshtë.

Para së gjithash, le të bëjmë të përgjithshmen e mëposhtme shënim i rëndësishëm. Kur analizohet qëndrueshmëria e lëvizjes periodike, interesohen vetëm ata shumëzues që janë afër modulit me 1 - ata janë ata në ndryshim i vogël R mund të kalojë rrethi njësi. Për rrjedhën e një lëngu viskoz, numri i shumëzuesve të tillë "të rrezikshëm" është gjithmonë i kufizuar për arsyen e mëposhtme. Lejohet nga ekuacionet e lëvizjes lloje të ndryshme(mënyrat) e shqetësimeve kanë shkallë të ndryshme hapësinore (d.m.th., gjatësi të distancës në të cilën shpejtësia ndryshon ndjeshëm).

Sa më e vogël të jetë shkalla e lëvizjes, aq më të mëdha janë gradientët e shpejtësisë në të dhe aq më shumë frenohet nga viskoziteti. Nëse i renditim mënyrat e lejuara në rend zbritës të shkallëve të tyre, atëherë vetëm një numër i kufizuar i të parës prej tyre mund të jetë i rrezikshëm; ato që janë mjaft larg në këtë seri sigurisht që do të rezultojnë të jenë shumë të amortizuara, d.m.th., atyre do t'u përgjigjet shumëzues që janë të vegjël në madhësi. Kjo rrethanë na lejon të besojmë se sqarimi llojet e mundshme humbja e stabilitetit nga lëvizja periodike e një lëngu viskoz mund të kryhet në thelb në të njëjtën mënyrë si analiza e stabilitetit të lëvizjes periodike të një lëngu diskret shpërndarës sistemi mekanik, të përshkruara nga një numër i kufizuar variablash (në aspektin hidrodinamik, këto variabla mund të jenë, për shembull, amplituda e komponentëve të zgjerimit të fushës së shpejtësisë në një seri Furier në koordinata). Prandaj, hapësira e gjendjes gjithashtu bëhet me dimensione të fundme.

ME pikë matematikore vizion ne po flasim për mbi studimin e evolucionit të një sistemi të përshkruar nga ekuacionet e formës

ku është një vektor në hapësirën e sasive që përshkruajnë sistemin; Funksioni F varet nga një parametër, ndryshimi i të cilit mund të çojë në një ndryshim në natyrën e lëvizjes. Për një sistem disipativ, divergjenca e vektorit në hapësirën x është negative, e cila shpreh zvogëlimin e vëllimit të hapësirës x gjatë lëvizjes:

Le të kthehemi në diskutimin e rezultateve të mundshme të ndërveprimit të lëvizjeve të ndryshme periodike. Fenomeni i sinkronizimit thjeshton lëvizjen. Por ndërveprimi mund të shkatërrojë edhe kuaziperiodicitetin në drejtim të komplikimit të dukshëm të figurës. Deri më tani është kuptuar në heshtje se kur një lëvizje periodike humbet stabilitetin, përveç saj lind një lëvizje tjetër periodike. Logjikisht, kjo nuk është aspak e nevojshme. Amplituda e kufizuar e pulsimeve të shpejtësisë siguron vetëm vëllimin e kufizuar të hapësirës së gjendjes, brenda së cilës ndodhen trajektoret që korrespondojnë me rrjedhën e qëndrueshme të një lëngu viskoz, por është e pamundur të thuhet apriori se si duket modeli i trajektoreve në këtë vëllim. .

Trajektoret mund të priren në një cikël kufitar ose në një dredha-dredha të hapur në një torus (që korrespondon me imazhet e lëvizjeve periodike ose kuaziperiodike), por ato gjithashtu mund të sillen në një mënyrë krejtësisht të ndryshme - komplekse dhe konfuze. Është kjo mundësi që është jashtëzakonisht e rëndësishme për të kuptuar natyrën matematikore dhe për të sqaruar mekanizmin e turbulencës.

Dikush mund të imagjinojë sjelljen komplekse dhe të ndërlikuar të trajektoreve brenda një vëllimi të kufizuar në të cilin trajektoret sapo po hyjnë, nëse supozojmë se të gjitha trajektoret në të janë të paqëndrueshme. Midis tyre mund të ketë jo vetëm cikle të paqëndrueshme, por edhe trajektore të hapura që enden pafund brenda zonë e kufizuar pa e lënë atë. Paqëndrueshmëri do të thotë që dy pika të ngushta arbitrare të hapësirës shtetërore, duke lëvizur më tej përgjatë trajektoreve që kalojnë nëpër to, do të ndryshojnë shumë; Fillimisht, pikat e mbyllura mund t'i përkasin të njëjtës trajektore: për shkak të zonës së kufizuar, një trajektore e hapur mund t'i afrohet vetes në mënyrë arbitrare afër. Është pikërisht kjo sjellje komplekse, e parregullt e trajektoreve që shoqërohet me lëvizjen e turbullt të lëngut.

Kjo foto ka edhe një aspekt tjetër - varësinë e ndjeshme të rrjedhës nga një ndryshim i vogël kushtet fillestare. Nëse lëvizja është e qëndrueshme, atëherë një pasaktësi e vogël në specifikimin e kushteve fillestare do të çojë vetëm në një pasaktësi të ngjashme në përcaktimin e gjendjes përfundimtare. Nëse lëvizja është e paqëndrueshme, atëherë pasaktësia fillestare rritet me kalimin e kohës dhe gjendja e mëtejshme e sistemit nuk mund të parashikohet më (N. S. Krylov, 1944; M. Vot, 1952).

Një grup tërheqës trajektoresh të paqëndrueshme në hapësirën e gjendjes së një sistemi disipativ mund të ekzistojë vërtet (E. Lorenz, 1963); zakonisht quhet një tërheqës stokastik ose i çuditshëm.

Në pamje të parë, kërkesa që të gjitha trajektoret që i përkasin një tërheqës të jenë të paqëndrueshme dhe kërkesa që të gjitha trajektoret fqinje të priren ndaj tij duket e papajtueshme, pasi paqëndrueshmëria nënkupton divergjencën e trajektoreve. Kjo kontradiktë e dukshme eliminohet nëse marrim parasysh se trajektoret mund të jenë të paqëndrueshme në disa drejtime në hapësirën e gjendjes dhe të qëndrueshme (d.m.th., tërheqëse) në të tjera.

NË -hapësirë ​​dimensionale gjendjet, trajektoret që i përkasin një tërheqës të çuditshëm nuk mund të jenë të paqëndrueshme në të gjitha (-drejtimet (një drejtim korrespondon me lëvizjen përgjatë trajektores), pasi kjo do të nënkuptonte një rritje të vazhdueshme të vëllimit fillestar në hapësirën e gjendjes, gjë që është e pamundur për një sistem shpërhapës Rrjedhimisht, në një drejtim, trajektoret fqinje priren drejt trajektoreve të tërheqësit, ndërsa të tjerat - ato të paqëndrueshme - largohen prej tyre (Fig. 19).

Trajektore të tilla quhen trajektore shale dhe është grupi i trajektoreve të tilla që përbën një tërheqës të çuditshëm.

Një tërheqës i çuditshëm mund të shfaqet pas disa bifurkacioneve të shfaqjes së periudhave të reja: edhe një jolinearitet i vogël arbitrarisht mund të shkatërrojë regjimin kuaziperiodik (një dredha-dredha e hapur në një torus), duke krijuar një tërheqës të çuditshëm në torus (D. Ruelle, F. Takens, 1971). Megjithatë, kjo nuk mund të ndodhë në bifurkacionin e dytë (duke filluar nga shkatërrimi i regjimit të palëvizshëm). Me këtë bifurkacion, një dredha-dredha e hapur shfaqet në një torus dydimensional. Marrja parasysh e jolinearitetit të vogël nuk e shkatërron torusin, kështu që tërheqësi i çuditshëm do të duhej të vendosej mbi të. Por në një sipërfaqe dy-dimensionale ekzistenca e një grupi tërheqës të trajektoreve të paqëndrueshme është e pamundur. Çështja është se trajektoret në hapësirën e gjendjes nuk mund të kryqëzojnë njëra-tjetrën (ose vetveten); kjo do të binte ndesh me kauzalitetin e sjelljes sistemet klasike: gjendja e sistemit në çdo moment të kohës përcakton në mënyrë unike sjelljen e tij në momentet e mëposhtme. Në një sipërfaqe dy-dimensionale, pamundësia e kryqëzimeve e urdhëron rrjedhën e trajektoreve aq sa kaotizimi i saj është i pamundur.

Por tashmë në bifurkacionin e tretë shfaqja tërheqës i çuditshëm bëhet e mundur (edhe pse jo e detyrueshme!). Një tërheqës i tillë, i cili zëvendëson modalitetin kuaziperiodik me tre frekuenca, ndodhet në një torus tredimensional (S. Newhouse, D. Ruelle, F. Takens, 1978).

Trajektoret komplekse, të ngatërruara që i përkasin një tërheqës të çuditshëm ndodhen në një vëllim të kufizuar të hapësirës shtetërore. Klasifikimi i llojeve të mundshme të tërheqësve të çuditshëm që mund të hasen në problemet reale hidrodinamike është aktualisht i panjohur; Edhe kriteret mbi të cilat duhet të bazohet një klasifikim i tillë janë të paqarta. Njohuritë ekzistuese për strukturën e tërheqësve të çuditshëm bazohen kryesisht vetëm në studimin e shembujve që dalin nga zgjidhjet kompjuterike të sistemeve model të ekuacioneve diferenciale të zakonshme, të cilat janë mjaft larg nga ekuacionet reale hidrodinamike.

Megjithatë, është e mundur të bëhen disa gjykime të përgjithshme për strukturën e një tërheqëse të çuditshme, të cilat rrjedhin nga paqëndrueshmëria (lloji i shalës) të trajektoreve dhe shpërbërja e sistemit.

Për qartësi, ne do të flasim për hapësirë ​​tredimensionale shtetet dhe imagjinoni tërheqës të vendosur brenda një torus dy-dimensionale. Le të shqyrtojmë një grup trajektoresh në rrugën drejt tërheqësit (ato përshkruajnë regjimet kalimtare të lëvizjes së lëngjeve që çojnë në vendosjen e turbulencës "të palëvizshme"). NË prerje tërthore mbushen trajektoret e trarëve (më saktë, gjurmët e tyre). zonë të caktuar; Le të gjurmojmë ndryshimin në madhësinë dhe formën e kësaj zone përgjatë rrezes. Le të kemi parasysh se elementi i vëllimit në afërsi të trajektores së shalës është i shtrirë në një nga drejtimet (tërthor), dhe i ngjeshur në tjetrin; Për shkak të natyrës shpërndarëse të sistemit, kompresimi është më i fortë se tensioni - vëllimet duhet të ulen. Ndërsa trajektoret përparojnë, këto drejtime duhet të ndryshojnë - përndryshe trajektoret do të shkonin shumë larg (që do të thoshte gjithashtu ndryshim i madh shpejtësia e lëngut). E gjithë kjo do të çojë në faktin se seksioni kryq i rrezes do të ulet në sipërfaqe dhe do të marrë një formë të rrafshuar dhe në të njëjtën kohë të lakuar. Por ky proces duhet të ndodhë jo vetëm me seksionin e rrezes në tërësi, por edhe me çdo element të zonës së tij. Si rezultat, seksioni kryq i rrezes ndahet në një sistem shiritash të vendosur brenda njëri-tjetrit, të ndara nga zbrazëtitë me kalimin e kohës (d.m.th., përgjatë rrezes së trajektoreve), numri i shiritave rritet shpejt dhe gjerësia e tyre zvogëlohet. Tërheqësi që lind në kufi është një grup demonësh i panumërueshëm numër i kufizuar shtresa që nuk prekin njëra-tjetrën - sipërfaqe në të cilat ndodhen trajektoret e shalës (me drejtimet e tyre tërheqëse të kthyera nga "jashtë" tërheqës). Me anët dhe skajet e tyre këto shtresa në mënyrë komplekse lidhen me njëri-tjetrin; secila prej trajektoreve që i përkasin tërheqësit endet nëpër të gjitha shtresat dhe, pas një kohe mjaft të gjatë, do të kalojë mjaftueshëm afër çdo pike të tërheqësit (vetia e ergodicitetit). Vëllimi i përgjithshëm i shtresave dhe sipërfaqe totale prerjet tërthore të tyre janë të barabarta me zero.

Sipas terminologjisë matematikore, grupe të tilla në një drejtim i përkasin kategorisë së grupeve Cantor. Është struktura kantoriane ajo që duhet konsideruar më së shumti veti karakteristike tërheqës dhe më shumë rast i përgjithshëm-hapësira e gjendjes dimensionale.

Vëllimi i një tërheqësi të çuditshëm në hapësirën e tij të gjendjes është gjithmonë zero. Megjithatë, mund të jetë jo zero në një hapësirë ​​tjetër - një më të vogël.

Kjo e fundit përcaktohet si më poshtë. Le ta ndajmë të gjithë hapësirën dimensionale në kube të vogla me gjatësi dhe vëllim të skajit, tërësia e të cilave mbulon plotësisht tërheqësin. Le të përcaktojmë dimensionin D të tërheqësit si kufi

Ekzistenca e këtij kufiri nënkupton fundshmërinë e vëllimit të tërheqësit në hapësirën -dimensionale: për të vogla në kemi (ku V është një konstante), që tregon se mund të konsiderohet si numri i kubeve -dimensionale që mbulojnë vëllimin. V në hapësirën -dimensionale e përcaktuar sipas (31.3) dimensioni padyshim nuk mund të tejkalojë dimensionin e plotë të hapësirës së gjendjes, por mund të jetë më i vogël se ai dhe, ndryshe nga dimensioni i zakonshëm, mund të jetë i pjesshëm; Kjo është pikërisht ajo që është për grupet Cantor.

Le t'i kushtojmë vëmendje rrethanës së mëposhtme të rëndësishme. Nëse lëvizje turbulente tashmë është vendosur (rrjedha ka "arritur një tërheqës të çuditshëm"), atëherë një lëvizje e tillë e një sistemi shpërhapës (lëngu viskoz) në parim nuk ndryshon nga lëvizja stokastike e një sistemi jo-shpërndarës me një dimension më të ulët të hapësirës së gjendjes . Kjo është për shkak të faktit se për lëvizje të qëndrueshme, shpërndarja e energjisë viskoze mesatarisht kohë e madhe kompensohet nga energjia që vjen nga rrjedha mesatare (ose nga një burim tjetër disekuilibri). Rrjedhimisht, nëse ndiqni evolucionin në kohë të elementit "vëllimi" që i përket tërheqësit (në një hapësirë ​​të caktuar, dimensioni i së cilës përcaktohet nga dimensioni i tërheqësit), atëherë ky vëllim, mesatarisht, do të ruhet - ngjeshja e tij në një drejtim, mesatarisht, do të kompensohet me shtrirje për shkak të divergjencës së trajektoreve të afërta në drejtime të tjera. Kjo veti mund të përdoret për të marrë një vlerësim të dimensionit tërheqës në një mënyrë tjetër.

Duke pasur parasysh ergodicitetin e përmendur tashmë të lëvizjes në një tërheqës të çuditshëm, karakteristikat mesatare të tij mund të përcaktohen duke analizuar lëvizjen tashmë përgjatë një trajektoreje të paqëndrueshme që i përket tërheqësit në hapësirën e gjendjes.

Me fjalë të tjera, ne supozojmë se një trajektore individuale riprodhon vetitë e një tërheqës nëse dikush lëviz përgjatë tij për një kohë pafundësisht të gjatë.

Le të jetë ekuacioni i një trajektoreje të tillë një nga zgjidhjet e ekuacioneve (31.1). Le të shqyrtojmë deformimin e një elementi vëllimor "sferik" ndërsa ai lëviz përgjatë kësaj trajektoreje. Përcaktohet nga ekuacionet (31.1), të linearizuar nga ndryshimi në devijimin e trajektoreve ngjitur me atë të dhënë. Këto ekuacione, të shkruara në komponentë, janë të formës

Kur zhvendoset përgjatë një trajektoreje, elementi i vëllimit ngjeshet në disa drejtime, shtrihet në të tjera dhe sfera kthehet në një elipsoid. Ndërsa lëvizni përgjatë trajektores, ndryshojnë të dy drejtimet e gjysmëboshteve të elipsoidit dhe gjatësitë e tyre; le ta shënojmë këtë të fundit me atë ku indeksi s numëron drejtimet. Treguesit karakteristikë Lyapunov janë vlerat kufizuese

Bëhet negativ. Pjesa thyesore dimensioni gjendet nga barazia

(F. Ledrappier, 1981). Meqenëse kur llogaritet d merren parasysh vetëm drejtimet më pak të qëndrueshme (ato më të mëdhatë hidhen poshtë vlerë absolute tregues negativ në fund të sekuencës së tyre), atëherë vlerësimi i dimensionit të dhënë nga sasia DL është, në përgjithësi, një vlerësim i sipërm. Ky vlerësim hap, në parim, rrugën për të përcaktuar dimensionin e tërheqësit nga matjet eksperimentale rrjedha kohore e pulsimeve të shpejtësisë në një rrjedhë të turbullt.

TRAKTOR I çuditshëm

TRAKTOR I çuditshëm

Tërheqja e trajektoreve të paqëndrueshme hapësirë ​​fazore shpërhapëse sistem dinamik. S. a., ndryshe nga një tërheqës, nuk është një shumëfish (d.m.th., nuk është një kurbë ose sipërfaqe); gjeomën e tij. pajisja është shumë komplekse dhe struktura e saj është fraktale (shih. Fraktale). Kjo është arsyeja pse ai mori emrin. "e çuditshme" [D. Ruelle (D.Ruelle), F. Takens (F. Takens)]. Fakti që të gjitha trajektoret e vendosura në afërsi të SA tërhiqen nga ajo në , lidhet thelbësisht me natyrën e paqëndrueshmërive të trajektoreve përbërëse të tij (bifurkacioni, cikli kufi). TrajektoretS. A. të përshkruajë stokastikë stacionare. vetëlëkundjet, mbështetur sistemi disipativ për shkak të energjisë së jashtme. burimi. S. a. karakteristikë vetëm e vetëlëkundjeve. sisteme, hapësira fazore e të cilave është më shumë se dy (Fig. 1). Sistemi i parë i studiuar me S. a.- Sistemi Lorentz- tredimensionale.

Oriz. 1. Një tërheqës i çuditshëm në një sistem të përshkruar nga ekuacionet e tipit (1).

Sistemet me periodike vetëlëkundjet, matematika. Imazhi i të cilit është një cikël kufi mund të studiohet plotësisht duke përdorur metodat e teorisë cilësore të diferencialeve. ur. Ndërtimi i teorisë luhatjet stokastike, që konsiston në veçanti në përcaktimin (parashikimin) e karakteristikave të vetive të S. a. Nga parametrat e dhënë sistemi, është jashtëzakonisht e vështirë edhe për sistemet tredimensionale. Një ndërtim i ngjashëm mund të kryhet, megjithatë, Shembull. Ashtu si gjeneratori van der Pol është kanoniku më i thjeshtë. shembull i një sistemi që demonstron periodik , diagrami 2a dhe përcaktimi i një gjeneratori disi të komplikuar Van der Pol, mund të shërbejë si një nga shembujt më të thjeshtë të gjeneratorëve stokastikë. b. Mirupafshim I në skicë dhe në rrjet . janë të vogla, dioda e tunelit nuk ka efekt. ndikimet në qark, dhe ato, si në një gjenerator konvencional të tubave, rriten. Në të njëjtën kohë, rryma rrjedh nëpër diodën e tunelit I, dhe voltazhi në të përcaktohet nga dega e karakteristikës I (V). Kur është rryma I arrin vlerën Unë t, ndodh ndërrimi pothuajse i menjëhershëm i diodës së tunelit (shpejtësia e ndërrimit shoqërohet me kapacitetin e vogël C 1) - tensioni vendoset papritur Vm. Pastaj rryma përmes diodës së tunelit zvogëlohet dhe ajo kthehet nga seksioni në. Si rezultat i dy ndërrimeve, dioda e tunelit pothuajse plotësisht thith energjinë që hyn në qark dhe lëkundjet fillojnë të rriten përsëri. (Kur merret parasysh funksionimi i qarkut, karakteristika e llambës mund të konsiderohet lineare; kjo justifikohet me faktin se në modalitetin e interesit për ne, lëkundjet kufizohen nga karakteristika jolineare e diodës së tunelit.) Kështu, të gjeneruara U(t) është një sekuencë e trenave të lëkundjeve në rritje, fundi i çdo treni karakterizohet nga një kërcim i tensionit V(t).

Oriz. 2. Diagrami i qarkut (a) gjenerator i thjeshtë Gjenerator i zhurmës Van der Pol, në qarkun e rrjetit të të cilit shtohet një diodë tuneli. Karakteristika e tensionit aktual (b) të një elementi jolinear - një diodë tuneli.

Për një përshkrim sasior të funksionimit të qarkut, ekuacionet fillestare

konvertuar në formë pa dimension:

Ku x = I/I m, z= V/V m ,

- karakteristikë e normalizuar e diodës. Këtu është një parametër i vogël Prandaj, të gjitha lëvizjet në hapësirën fazore (Fig. 3).

Oriz. 3. Sjellja e trajektoreve në hapësirën fazore të sistemit (1) në

mund të ndahet në ndërrim të shpejtë të diodës (direkt x = konst, y = konst) dhe i ngadaltë, në të cilin voltazhi në diodë "ndjek" rrjedhën; trajektoret përkatëse shtrihen në sipërfaqe A Dhe B[x = f(z), f"(z) >0], që korrespondon me zonat dhe karakteristikat e Diodës.

Sistemi ka një gjendje të paqëndrueshme [në] ekuilibër x = y = z= 0 lloj shale. Trajektoret që shtrihen në sipërfaqe A, rrotullohuni rreth një fokusi të paqëndrueshëm dhe përfundimisht arrini skajin e sipërfaqes A. Këtu ka një avari që shfaqet trajektorja e fazës gjendja e sistemit (e ashtuquajtura pika përfaqësuese) përgjatë vijës së lëvizjeve të shpejta në NË. Duke ecur nëpër NË, pika përfaqësuese bie përsëri në sipërfaqe A dhe bie në afërsi të ekuilibrit - fillon një tren i ri i lëkundjeve në rritje. Harta Poincare që korrespondon me ekuacionet (1), pjesë-pjesë, mund të përshkruhet nga një funksion i vazhdueshëm, grafiku i të cilit është paraqitur në Fig. 5. Seksioni linear I me koeficient. një kënd i prirjes më i madh se një përshkruan zbërthimin e trajektores në sipërfaqen e lëvizjeve të ngadalta A, që i përgjigjet rritjes së lëkundjeve në qark. Seksioni II përshkruan fazën e kthimit të trajektoreve A në sipërfaqe NË, përsëri në A(shih Fig. 3). Të gjitha trajektoret që shtrihen jashtë bazës së sheshit të treguar nga vija me pika hyjnë në të në vlera asimptotike të mëdha kohore, d.m.th. D- absorbues dhe përmban një tërheqës. Të gjitha trajektoret brenda këtij rajoni janë të paqëndrueshme, domethënë tërheqësi është i çuditshëm. ruhen vetitë e lëvizjeve stokastike (siç tregohet nga studimet numerike).

Oriz. 4. Spektri i fuqisë së sinjalit të gjeneruar nga qarku i paraqitur në Fig. 2a, dhe një oshilogram i këtij sinjali.

Oriz. 5. Grafiku i funksionit f(x) që përshkruan dinamikën e qarkut në Fig. 2 në.

Dimensioni fraktal. E gjithë shumëllojshmëria e statistikave vetitë e një sinjali të rastësishëm të gjeneruar nga një dinamikë sistemi me S. a., mund të përshkruhet nëse dihen probabilitetet e gjendjeve të sistemit. Megjithatë, është jashtëzakonisht e vështirë të merret (dhe të përdoret) kjo për sisteme specifike me një masë probabiliteti (nëse vetëm sepse shpërndarja e masës së probabilitetit të pandryshueshëm është gjithmonë njëjës). Kjo është një nga arsyet e prerjes për përshkrimin e S. a.

ku , disa parametër fiks, është një numër n-sferat dimensionale me diametër që mbulojnë S. a. dinamike sistemet me n-hapësirë ​​fazore dimensionale.

Dimensioni i përcaktuar sipas ekuacionit (2) Me nuk mund të qartë n, por mund të jetë më pak n(n-topat dimensionale mund të rezultojnë të jenë pothuajse bosh). Për grupe "të zakonshme", ekuacioni (2) jep rezultate të dukshme. Pra, për shumë prej k pikë ,; për një segment gjatësi L zambak i drejtë,;për një copë katror S sipërfaqe dydimensionale etj. Pabarazia e dimensionit me një numër të plotë korrespondon me një gjeom kompleks. 2.6).

Me fizike këndvështrimi, kryesor “dinjiteti” i dimensionit fraktal të S. a. dhe numri i shkallëve të lirisë ha ka formën:

Bifurkacionet tërheqës të çuditshëm. Rrugët e lindjes stokastike. një cikël limit, i cili mund të gjenerohet vetëm në disa mënyra tipike, dhe S. a. kanë relativisht pak një numër i madh maksimumi mundësitë tipike të shfaqjes .

Script Feigenbaum - zinxhir bifurkacionet duke dyfishuar periudhën e një cikli limit të qëndrueshëm. Nëse gjatë ndryshimit të parametrit të kontrollit periodik Në hapësirën fazore n-dimensionale, sjellja e trajektoreve të hartës Poincare në afërsi të periudhës së dyfishimit të ciklit kufitar që i nënshtrohet bifurkacionit përcaktohet nga funksioni, për shembull, f (x), Grafiku është i ngjashëm me një parabolë. Ky funksion përshkruan marrëdhëniet ndërmjet koordinatave në drejtimin e tyre. nënhapësira e operatorit të linearizimit të hartës Poincare që korrespondon me shumëzuesin (-1) ( j+ 1) kryqëzimet j-të të sistemit sekant të Poincare sipas trajektores: x j+1= f(x j). Cikli kufi i qëndrueshëm që rezulton i një periudhe të dyfishtë korrespondon me një cikël me dy periudha. shfaqja f.Me ndryshime të mëtejshme në parametrin e bifurkacionit, dyfishimi i periudhës përsëritet pafundësisht, dhe bifurkacioni. vlerat, për shembull, grumbullohen në kritike. pika që korrespondon me shfaqjen e S. a. Në përputhje me skenarin e Feigenbaum, ekziston një universal (i pavarur nga sistem specifik) ligji

ku = 4.6692... është konstanta universale e Feigenbaum (shih. universaliteti Feigenbaum).

I lindur S.a. kur rregullohet, disa përgjigje. intervale në bosht X; zonat ndërmjet këtyre intervaleve përmbajnë trajektore të tërhequra nga tërheqësi, si dhe 2 m- periodike (në lidhje me shfaqjen f), cikle kufitare të paqëndrueshme duke filluar nga disa m 0 dhe më pak. Ndërsa parametri rritet, shpejtësia me të cilën trajektoret ndryshojnë në S. a. rritet, dhe ajo "fryhet", duke thithur në mënyrë të njëpasnjëshme cikle kufitare të paqëndrueshme të periudhave 2 t+1,2 t, ... Në këtë rast, numri i segmenteve që i korrespondojnë tërheqësit është

Oriz. 6. "Bifurkacionet e kundërta" të dyfishimit të periodave, duke ilustruar fryrjen e tërheqës që u ngrit sipas skenarit të Feigenbaum.

Ndërprerje. Në shumës sistemet kur një parametër kontrolli (të themi) kalon përmes një bifurkacioni. kalimi i vlerës në stokastik. vetëlëkundjet realizohen nga jashtë si shkelje e rrallë e lëkundjeve të rregullta “stokastike”. shpërthen." Në këtë rast, kohëzgjatja e fazës laminare (e rregullt) është më e gjatë, sa më e ulët të jetë superkriticiteti, me një rritje të superkriticitetit, kohëzgjatja e fazës së rregullt zvogëlohet. Kjo foto interpretohet nga evolucioni vijues i kryesorit. objektet në hapësirën fazore, koha ruajnë natyrën e sjelljes së tyre, pra lëvizjen afër periodike. Me kalimin e kohës, ata "vënë re" se tërheqësi i vjetër është zhdukur dhe, duke mbetur afër ndarjes (gjithashtu të zhdukur) të ciklit kufitar të shalës, ata shkojnë në një pjesë tjetër të hapësirës së fazës. Nëse në nënkritike rajoni, sistemi ishte globalisht i qëndrueshëm (d.m.th., kishte vetëm një objekt tërheqës), atëherë këto trajektore pas njëfarë kohe bien përsëri në afërsi të ciklit kufitar të zhdukur. Nëse në të njëjtën kohë në nënkritike. diapazoni i parametrave të ndarjes së ciklit të shalës ishte ngulitur në një gjeom mjaft kompleks. mënyrë (formuar numër i pafund palosjet - "të valëzuara", përmbanin heteroklinik. trajektoret e cikleve të tjera të shalës, etj.), domethënë, procesi i tranzicionit demonstroi sjellje të parregullt, atëherë koha e hyrjes në afërsi të ciklit të zhdukur do të jetë tashmë një ndryshore e rastësishme. Më pas, laminar përsëritet Përveç këtyre mënyrave kryesore të shfaqjes së S. a. Shumë shpesh ka edhe kalime në kaotike. vetëlëkundjet përmes shkatërrimit të atyre pothuajse periodike (në hapësirën fazore, kur ndryshojnë parametrat e kontrollit, torusi dydimensional tërheqës humbet butësinë dhe shembet) dhe skenarë të kombinuar.

Shumëdimensionale tërheqës të çuditshëm gjenden shpesh në sisteme me një numër të madh të shkallëve të lirisë. Ndër mekanizmat e mundshëm është shpejtësia e divergjencës së trajektoreve përgjatë këtyre drejtimeve. Stokastike viskoziteti).

Lit.: 1) Rabinovich M.I., Trubetskov D.I., Hyrje në teorinë e lëkundjeve dhe valëve, M., 1984; 2) Lichtenberg A., Liberman M., Regular istochastic, trans. nga anglishtja, M., 1984; 3) Afraimovich V.S., Reiman A. M., Dimensioni dhe në sistemet shumëdimensionale, në librin: Valët jolineare. Dinamika dhe evolucioni, ed. A. V. Gaponov-Grekhov, M. I. Rabinovich, kaos. Hyrje, përkth. nga anglishtja, M., 1988; 5) Landau L.D., Lifshits E.M., Hydrodynamics, 4th ed., M., 1988 6) Afraimovich V.S., Internal bifurcations and crises of attractors, në librin: Jolineare. Strukturat dhe bifurkacionet, ed. A. V. Gaponova-Grekhova, V. S. Afraimovich, M.

Enciklopedi fizike. Në 5 vëllime. - M.: Enciklopedia Sovjetike. Kryeredaktor A. M. Prokhorov. 1988 .

Tërheqësit klasifikohen sipas:

1. Formalizimet e konceptit të aspiratës: dalloni midis një tërheqës maksimal, një grupi jo endacak, një tërheqës Milnor, një qendër Birkhoff, një tërheqës statistikor dhe një tërheqës minimal.
2. Rregullsitë e vetë tërheqësit: tërheqësit ndahen në të rregullt (tërheqës të pikës fikse, tërheqje të trajektores periodike, të shumëfishtë) dhe të çuditshëm (të parregullt - shpesh fraktalë dhe/ose në ndonjë seksion të rregulluar si grup Cantor; dinamika në to është zakonisht kaotike).
3. Lokaliteti ("tërheqës") dhe globaliteti (këtu termi "minimal" do të thotë "i pandashëm").

Gjithashtu, ka shembuj të mirënjohur "nominalë" të tërheqësve: Lorenz, Plykin, solenoid Smale-Williams, tërheqës heteroklinik (shembulli i Bowen).

Vetitë dhe përkufizimet e ngjashme

Për të gjitha përkufizimet, tërheqësi supozohet të jetë një grup i mbyllur dhe (plotësisht) i pandryshueshëm.

Koncepti i një tërheqës është gjithashtu i lidhur ngushtë me konceptin e masës Sinai-Ruelle-Bowen: një masë e pandryshueshme mbi të, në të cilën mesataret kohore të një pike fillestare tipike (në kuptimin e masës Lebesgue) ose mesataret kohore. e përsëritjeve të masës Lebesgue priren. Megjithatë, një masë e tillë nuk ekziston gjithmonë (siç ilustrohet, në veçanti, nga shembulli i Bowen).

Llojet e formalizimit të përkufizimit

Meqenëse e gjithë hapësira e fazës ruhet nga dinamika në çdo rast, përkufizimi formal një tërheqës mund të jepet bazuar në filozofinë se "një tërheqës është grupi më i vogël në të cilin priret gjithçka" - me fjalë të tjera, duke hedhur jashtë nga hapësira fazore gjithçka që mund të hidhet jashtë.

Tërheqësi maksimal

Le t'i jepet sistemit dinamik një zonë $U$, e cila përkthehet rreptësisht nga brenda nga dinamika:

$\backslash overline(f(U))\backslash nëngrupi\; U$

Pastaj tërheqës maksimal i një sistemi në një kufizim në U është kryqëzimi i të gjitha imazheve të tij nën ndikimin e dinamikës:

A_(max)=\bigcap_(n=1)^(\infty) f^n(U).

I njëjti përkufizim mund të zbatohet për rrjedhat: në këtë rast, është e nevojshme të kërkohet që fusha vektoriale që përcakton rrjedhën në kufirin e rajonit të drejtohet rreptësisht brenda saj.

Ky përkufizim përdoret shpesh për të karakterizuar një grup si një tërheqës "natyror" ("është tërheqësi maksimal i lagjes së tij"). Përdoret gjithashtu në ekuacionet diferenciale të pjesshme.

Ky përkufizim ka dy mangësi. Së pari, për ta përdorur atë, ju duhet të gjeni një rajon thithës. Së dyti, nëse një zonë e tillë është zgjedhur keq - le të themi, ajo përmbante një neveri pikë fikse me pishinën e tij të zmbrapsjes, atëherë në tërheqësin maksimal do të ketë pika "shtesë", afër të cilave është në të vërtetë e pamundur të jesh afër disa herë radhazi, por zgjedhja aktuale e zonës "nuk e ndjen këtë".

Tërheqës Milnor

Sipas definicionit, Tërheqës Milnor i një sistemi dinamik quhet më i vogli me përfshirje komplet i mbyllur, që përmban grupe ω-kufitare pothuajse të të gjithave pikat e fillimit sipas masës Lebesgue. Me fjalë të tjera, ky është grupi më i vogël në të cilin priret trajektorja tipike pikënisje.

Set jo endacak

Pika x e një sistemi dinamik quhet endacakë, nëse përsëritjet e disa prej lagjeve të saj U nuk e kryqëzojnë kurrë këtë lagje:

\përgjithë n>0 \quad f^n(U)\bigcap U =\emptyset. Me fjalë të tjera, një pikë është endet nëse ka një lagje që çdo trajektore mund ta kalojë vetëm një herë. Bashkësia e të gjitha pikave që nuk janë endet quhet jo endacakë shumë.

Tërheqës statistikor

Tërheqës statistikor $A\_(statistika)$, në lagjen e së cilës kalojnë pothuajse të gjitha pikat pothuajse gjatë gjithë kohës: për çdo lagje të saj $U$ pothuajse për çdo pikë (në kuptimin e masës Lebesgue). $x$ përfunduar

\frac(1)(N)\# \(j\le N \mid f^j(x)\në U \) \në 1, \katër N\në\infty.

Tërheqës minimal

Tërheqës minimal përkufizohet si grupi më i vogël i mbyllur në lidhje me përfshirjen $A\_(min)$, në lagjen e së cilës kalon pothuajse e gjithë masa Lebesgue: për çdo lagje të saj. $U$ përfunduar

\frac(1)(N)\sum_(j=0)^(N-1) (f_*^j (Leb))(U) \në 1, \katër N\në\infty.

Shembuj të mospërputhjeve

Lokaliteti, minimalizmi dhe globaliteti

Tërheqës të rregullt dhe të çuditshëm

Tërheqës të rregullt

Pika fikse tërheqëse

(shembull: lavjerrës me fërkim)

Cikli limit

Tërheqës të çuditshëm

(shembuj: tërheqës Lorentz, tërheqës Rössler, solenoid Smale-Williams; koment mbi efektin e fluturës dhe kaosin dinamik.)

Një tërheqës i çuditshëm është një grup tërheqës i trajektoreve të paqëndrueshme në hapësirën fazore të një sistemi dinamik shpërhapës. Ndryshe nga një tërheqës, ai nuk është një shumëfish, domethënë nuk është një kurbë ose sipërfaqe. Struktura e një tërheqësi të çuditshëm është fraktal. Trajektorja e një tërheqësi të tillë është jo periodike (nuk mbyllet) dhe mënyra e funksionimit është e paqëndrueshme (devijimet e vogla nga modaliteti rriten). Kriteri kryesor për natyrën kaotike të një tërheqës është rritja eksponenciale në kohën e shqetësimeve të vogla. Pasoja e kësaj është “përzierja” në sistem, mosperiodiciteti në kohë i ndonjë prej koordinatave të sistemit, spektri i vazhdueshëm i fuqisë dhe funksioni autokorrelativ që zvogëlohet në kohë.

Dinamika në tërheqës të çuditshëm është shpesh kaotike: parashikimi i një trajektoreje që bie në një tërheqës është i vështirë, pasi një pasaktësi e vogël në të dhënat fillestare mund të çojë pas njëfarë kohe në një mospërputhje të fortë midis parashikimit dhe trajektores aktuale. Paparashikueshmëria e trajektores në deterministik sistemet dinamike thirrur kaos dinamik, duke e dalluar nga kaos stokastik që lindin në sistemet dinamike stokastike. Ky fenomen quhet edhe efekti i fluturës, duke nënkuptuar mundësinë e shndërrimit të rrymave të dobëta turbulente të ajrit të shkaktuara nga përplasja e krahëve të një fluture në një pikë të planetit në një tornado të fuqishme në anën tjetër për shkak të amplifikimit të tyre të shumëfishtë në atmosferë mbi një periudhë kohore. Por në fakt, përplasja e krahut të një fluture zakonisht nuk krijon një tornado, pasi në praktikë ekziston një tendencë që luhatje të tilla të vogla mesatarisht të mos ndryshojnë dinamikën e të tilla. sisteme komplekse si atmosfera e planetit, dhe vetë Lorentz tha për këtë: Dhe kjo është, ndoshta, një gjë e rëndësishme dhe e mahnitshme, pa të cilën do të ishte e vështirë, nëse jo e pamundur, të studiohej dinamika kaotike (dinamika që është e ndjeshme ndaj ndryshimeve më të vogla në kushtet fillestare të sistemit).

Midis tërheqësve të çuditshëm ka nga ata, dimensioni Hausdorff i të cilëve është i ndryshëm nga dimensioni topologjik dhe është i pjesshëm. Një nga më të famshmit në mesin e tërheqësve të tillë është tërheqësi Lorentz.

Shembuj nominalë

Tërheqësi i Lorencit

Sistemi i ekuacioneve diferenciale që krijojnë tërheqësin e Lorencit ka formën:

\pika x = \sigma (y - x)

\pikë y = x (r - z) - y

\dot z = x y - b z

Solenoid Smale-Williams

Solenoid Smale-Williams- një shembull i një sistemi dinamik të kthyeshëm, i ngjashëm në sjelljen e trajektoreve me hartën e dyfishimit në një rreth. Më saktësisht, ky sistem dinamik përcaktohet në një torus të fortë dhe gjatë një përsëritjeje koordinata këndore dyfishohet; nga e cila lind automatikisht divergjenca eksponenciale e trajektoreve dhe dinamika kaotike. Gjithashtu solenoid Tërheqësi maksimal i këtij sistemi quhet gjithashtu (nga vjen, në fakt, emri): ai është i strukturuar si një bashkim (i panumërueshëm) i "fijeve" të plagosur përgjatë një torusi të fortë.

tërheqës Plykin

Shembulli i Bowen-it, ose tërheqës heteroklinik

tërheqës Hainault

www.ibiblio.org/e-notes/Chaos/ru/strange_r.htm

Hipotezat

Palis hamendje

Hipotezat e Ruel-it

Shihni gjithashtu

Shkruani një koment për artikullin "Tërheqësi"

Shënime

Lidhjet dhe literatura

• A. Gorodetski, Yu. Ilyashenko. Tërheqësit minimalë dhe të çuditshëm, International Journal of Bifurcation and Chaos, vëll. 6, nr. 6 (1996), fq. 1177-1183.
• A. S. Gorodetsky. Tërheqësit minimalë dhe grupe pjesërisht hiperbolike të sistemeve dinamike. Diss. Ph.D. n., Universiteti Shtetëror i Moskës, 2001.
• Artikull nga J. Milnor, Scholarpedia.
• . LENTA.RU. Marrë më 28 mars 2013. .
• E. V. Nikulchev. Metoda gjeometrike rindërtimi i sistemeve bazuar në të dhëna eksperimentale // Letra për fizikën teknike. 2007. T. 33. Çështje. 6. fq 83-89.
• E. V. Nikulchev.

Fragment që karakterizon tërheqësin

Regjimenti i Princit Andrei ishte në rezerva, i cili deri në orën e dytë qëndroi pas Semenovsky joaktiv, nën zjarr të rëndë të artilerisë. Në orën e dytë, regjimenti, i cili kishte humbur tashmë më shumë se dyqind njerëz, u zhvendos përpara në një fushë tërshëre të shkelur, në atë boshllëk midis Semenovsky dhe baterisë Kurgan, ku mijëra njerëz u vranë atë ditë dhe në të cilën, në Në orën e dytë të ditës, zjarri i përqendruar intensivisht drejtohej nga disa qindra armë armike.
Pa u larguar nga ky vend dhe pa gjuajtur asnjë sulm, regjimenti humbi një të tretën e njerëzve të tij këtu. Përpara dhe sidomos me anën e djathtë, në tymin e vazhdueshëm, topat shpërthyen dhe nga zona misterioze e tymit që mbulonte të gjithë zonën përpara, pa u ndalur, me një fërshëllimë të shpejtë fërshëllejnë topat dhe granatat që fishkëllen ngadalë. Ndonjëherë, sikur të jepte pushim, kalonte një çerek ore, gjatë së cilës fluturonin të gjitha topat dhe granatat, por ndonjëherë brenda një minutë disa njerëz nxirreshin nga regjimenti dhe të vdekurit tërhiqeshin vazhdimisht zvarrë dhe të plagosurit transportoheshin. larg.
Me çdo goditje të re, gjithnjë e më pak shanse jete mbetën për ata që nuk ishin vrarë ende. Regjimenti qëndronte në kolona batalioni në një distancë prej treqind hapash, por pavarësisht kësaj, të gjithë njerëzit e regjimentit ishin nën ndikimin e të njëjtit humor. Të gjithë njerëzit e regjimentit ishin po aq të heshtur dhe të zymtë. Rrallëherë dëgjohej një bisedë midis rreshtave, por kjo bisedë heshti sa herë dëgjohej një goditje dhe një thirrje: "Ralore!" Shumica e Në atë kohë njerëzit e regjimentit me urdhër të eprorëve u ulën në tokë. Disa, pasi hoqën shakon e tyre, i zbërthyen me kujdes dhe i mblodhën kuvendet; i cili përdori argjilën e thatë, duke e shtrirë në pëllëmbët e tij dhe e lëmonte bajonetën; që brumosi brezin dhe shtrëngoi kopsin e hobesë; i cili drejtoi dhe ripalosi me kujdes skajet dhe ndërroi këpucët. Disa ndërtuan shtëpi nga toka e punueshme Kalmyk ose thurin thurje me kashtë. Të gjithë dukeshin mjaft të zhytur në këto aktivitete. Kur plagoseshin e vriteshin, kur tërhiqeshin barela, kur njerëzit tanë po ktheheshin, kur nga tymi dukeshin masa të mëdha armiqsh, askush nuk u kushtonte vëmendje këtyre rrethanave. Kur artileria dhe kalorësia kalonin përpara, dukeshin lëvizjet e këmbësorisë sonë, nga të gjitha anët dëgjoheshin vërejtje miratuese. Por ngjarjet që meritonin vëmendjen më të madhe ishin ngjarje krejtësisht të jashtme që nuk kishin asnjë lidhje me betejën. Dukej sikur vëmendja e këtyre njerëzve të torturuar moralisht qëndronte në këto ngjarje të zakonshme, të përditshme. Një bateri artilerie kaloi para ballit të regjimentit. Në një nga kutitë e artilerisë, linja lidhëse u vendos. “Hej, lidhja!.. Drejtoje! Do të bjerë... Eh, nuk e shohin dot!.. - bërtisnin nga radhët njëlloj në të gjithë regjimentin. Një herë tjetër, vëmendja e të gjithëve tërhoqi nga një qen i vogël ngjyrë kafe, me bisht të ngritur fort, i cili, një Zot e di se nga erdhi, doli me vrap në ankth para rradhëve dhe papritmas kërciti nga një top që goditi afër dhe, me bishti i tij midis këmbëve, nxitoi anash. Në të gjithë regjimentin u dëgjuan kakarisje dhe klithma. Por argëtimi i këtij lloji zgjati minuta, dhe njerëzit kishin qëndruar për më shumë se tetë orë pa ushqim dhe pa asgjë për të bërë nën tmerrin e vazhdueshëm të vdekjes, dhe fytyrat e tyre të zbehta dhe të vrenjtura bëheshin gjithnjë e më të zbehta dhe të vrenjtura.
Princi Andrei, ashtu si të gjithë njerëzit e regjimentit, i vrenjtur dhe i zbehtë, eci përpara dhe mbrapa nëpër livadhin pranë fushës së tërshërës nga një kufi në tjetrin, me duart e palosur mbrapa dhe me kokën e ulur. Nuk kishte asgjë për të bërë apo urdhëruar. Gjithçka ndodhi vetvetiu. Të vdekurit i tërhoqën zvarrë pas frontit, të plagosurit i bartën, u mbyllën radhët. Nëse ushtarët iknin, ata ktheheshin menjëherë me nxitim. Në fillim, Princi Andrei, duke e konsideruar detyrën e tij të zgjojë guximin e ushtarëve dhe t'u tregojë atyre një shembull, eci përgjatë radhëve; por më pas u bind se nuk kishte asgjë dhe asgjë për t'u mësuar atyre. E gjithë forca e shpirtit të tij, ashtu si ajo e çdo ushtari, ishte e drejtuar në mënyrë të pandërgjegjshme drejt frenimit të vetvetes që thjesht të mos sodiste tmerrin e situatës në të cilën ndodheshin. Eci nëpër livadh, duke tërhequr zvarrë këmbët, duke gërvishtur barin dhe duke vëzhguar pluhurin që i mbulonte çizmet; ose ai ecte me hapa të gjatë, duke u përpjekur të ndiqte gjurmët e lëna nga kositësit nëpër livadh, pastaj, duke numëruar hapat e tij, bëri llogaritë se sa herë duhet të ecë nga një kufi në tjetrin për të bërë një milje, pastaj ai pastroi pelinin. lulet që rriteshin në kufi, dhe i fërkoi këto lule në pëllëmbët e tij dhe nuhati aromën e hidhur, erë e fortë. Nga gjithë puna e djeshme e mendimit nuk mbeti asgjë. Ai nuk mendoi për asgjë. Dëgjoi me veshë të lodhur të njëjtat tinguj, duke dalluar fishkëllimat e fluturimeve nga zhurma e të shtënave, shikoi fytyrat më të afërta të njerëzve të batalionit të parë dhe priste. “Ja ku është... po na vjen sërish kjo! - mendoi ai, duke dëgjuar bilbilin që afrohej i diçkaje nga zona e mbyllur e tymit. - Një, një tjetër! Më shumë! E kuptova... Ai ndaloi dhe shikoi rreshtat. “Jo, u shty. Por ky goditi.” Dhe ai filloi të ecte përsëri, duke u përpjekur të bënte hapa të gjatë për të arritur kufirin në gjashtëmbëdhjetë hapa.

Tërheqës të çuditshëm. Kaos Dinamik

1. Nyja, fokusi, cikli kufi - imazhe matematikore të mënyrave të gjendjes së qëndrueshme

Tërheqësit e llojit nyja, fokusi dhe cikli i kufirit janë matematikore imazhet e regjimeve të vendosura në sistemet dinamike.

Trajektoret që i përkasin tërheqësit janë të qëndrueshme .

Kjo pronë lejon parashikojnë sjelljen sisteme të tilla edhe nëse kushtet fillestare x 0 i njohur me njëfarë pasigurie .

Objektet e emërtuara tërheqës të çuditshëm , i zbuluar në fillim të viteve '60 nga meteorologu amerikan E. Lorenz ndërsa studionte një të thjeshtuar modeli matematik fizika atmosferike. Ata të përshkruajë regjime kaotike jo periodike në sistemet dinamike të formës

dx / dt = F ( x ), x ( t 0 ) = x 0 (1)

Tërheqësit e çuditshëm nuk kanë vetinë e stabilitetit :

le  x 0 – atëherë çdo devijim i vogël në fillim të trajektores

||x(t, x 0 ) – x(t, x 0 +  x 0 )||  e  t ||  x 0 ||,  > 0 . (2)

Nga kjo rrjedh se kur t  T çdo informacion në lidhje me pozicionin e sistemit do të humbasë dx/dt = F(x) në hapësirën fazore . Ky përfundim do të thotë se në kuptimin klasik problemet që lidhen me studimin e tërheqësve të çuditshëm nuk janë të sakta . Në problemet e shtruara mirë, teoremat e ekzistencës dhe unike për zgjidhjet plotësohen në një interval të fundëm 0  t  T .  , Është e nevojshme që të ketë një sasi 0  e cila do të garantonte afërsinë e trajektoreve kur   . t .

Kjo gjendje shfaqet në teorinë e Lyapunov për stabilitetin e zgjidhjeve

Nuk ka një kusht të tillë për një tërheqës të çuditshëm. Kjo nuk është për shkak të papërsosmërisë së formalizmit të ekuacioneve diferenciale të zakonshme. Arsyeja është fenomen fizik

kaos dinamik. Tërheqës të çuditshëm janë në sistemet dinamike.

sjellje kaotike e krijuar matematikisht

Tërheqësit e çuditshëm ekzistojnë edhe në sisteme relativisht të thjeshta të tre ekuacioneve diferenciale, anët e djathta të të cilave përfshijnë vetëm terma linearë dhe kuadratikë. 1.1. “Çudia” e tërheqësve të çuditshëm është e lidhur

me ndjeshmërinë e tyre ndaj të dhënave fillestare. x 10 Dy pika të ngushta x 20 Dhe , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë 0 . d , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë t Me kalimin e kohës kjo distancë ndryshon = | x 1t 2 t |.

– x Nëse tërheqës - pikë e veçantë, , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë t = 0 .

– x Se tërheqës – cikli kufi , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë t , Kjo

– x është një funksion periodik i kohës. tërheqës – cikli kufi , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë t tërheqës - i çuditshëm  t ,  > 0 .

= e  Tek vlera karakterizoi tërheqësin, është e nevojshme të merren parasysh trajektoret pafundësisht të afërta dhe shpejtësia mesatare e shpërndarjes së tyre nga interval i madh.

koha 10 ,  (x ) = lim lim t [(1/t) ln (d 0 )] , . (3)

t  /d 0  0

, d x 10  - vektor ngax 20

te Zgjedhja e pikave të ndryshme 10 X x 20 Dhe  .

, mund të merrni numra të ndryshëm Në vitin 1968, V. Oseledets tregoi se në kushte shumë të përgjithshme Zgjedhja e pikave të ndryshme 10 X x 20 pothuajse të gjitha pikat në afërsi të një tërheqëse të çuditshme në -N  1 ,  2 ,…  në afërsi të një tërheqëse të çuditshme në .

sistemit dinamik dimensional do t'i jepet i njëjti grup i eksponentëve Lyapunov , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë t  - karakterizon ndryshimin e gjatësisë së segmentit = | x 1t 2 t |.

.= |x Zgjedhja e pikave të ndryshme 1 t Ndryshimi i sipërfaqes së një trekëndëshi me kulme 2 t Ndryshimi i sipërfaqes së një trekëndëshi me kulme 3 t , X

proporcionalisht (  1 +  2 ) t .

 1 exp , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë 1  - karakterizon ndryshimin e gjatësisë së segmentit = | x 1t 2 t | ,

 2 - karakterizon ndryshimin e gjatësisë , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë 2  - karakterizon ndryshimin e gjatësisë së segmentit - ndryshimi i gjatësisë 1t 3 t | .

2t në afërsi të një tërheqëse të çuditshme në Ndryshimi

proporcionalisht (  1 +  2 +  në afërsi të një tërheqëse të çuditshme në ) t .

në afërsi të një tërheqëse të çuditshme në -vëllimi dimensional është proporcional me në afërsi të një tërheqëse të çuditshme në -vëllimi dimensional i një elementi të vogël në hapësirën fazore

 -Sistemi disipativ dimensional për tërheqës është reduktuar < 0 .

1  i  i

– x N pika tërheqëse ose cikli Zgjedhja e pikave të ndryshme t , atëherë duke e vëzhguar sistemin për një kohë mjaft të gjatë, mund të jepet një parashikim i besueshëm edhe nëse , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë t njohur me disa gabime. Në fund të fundit

nuk do të rritet.  1/  dy trajektore që janë afër në fillim do të pushojnë së qeni afër me kalimin e kohës .

Ka kufizime themelore për aftësinë për të bërë parashikime në sistemet jolineare.

1.2. "Çudia" e tërheqësve kaotikë lidhet me vetitë e tyre gjeometrike. shpeshherë këto objekte kanë një strukturë komplekse me pandryshueshmëri në shkallë . Në një shkallë të vogël ato duken njësoj si në një shkallë të madhe.

Llogaritja e eksponentëve Lyapunov në rastet kur funksioni është i njohur F (x ), Thjesht bëhet duke përdorur një kompjuter.

Sistemi konsiderohen në variacione .

Le të dihet trajektorja x(t) . Konsideroni një trajektore të ngushtë

x *( t ) = x ( t ) +  t .

Matricë A ( x ) = D ( F ( x ))/ D ( x ) - matrica e sistemit ( Jakobiane ), i linearizuar në afërsi të trajektores x(t).

Nëse trajektoret x ( t ) X x *( t ) pafundësisht afër, pastaj termat kuadratikë në  (t) mund të neglizhohet. Devijimi x(t) nga x*(t) të përcaktuara nga sistemi në variacione për  (t):

(t) = A(x(t))  (t), (4)

 =lim,  0 =  (t=0). (5)

t 

Eksponenti Lyapunov është përcaktuar në këtë mënyrë  është e barabartë me atë të dhënë nga shprehja (3). Përdorimi i formulave (4), (5) në llogaritje është më i preferueshëm.

Për të përcaktuar eksponentin më të lartë të Lyapunov, së bashku me ekuacionin origjinal (1), konsiderohet sistemi në variacionet (4).

Për të marrë një vendim  (t) nuk ishte shumë i madh, pas një periudhe të caktuar kohe rinormalizoj (të ndarë me mjaftueshëm numër i madh). Në përputhje me këtë, formulat (4) dhe (5) janë modifikuar.

Rinormalizimi është i nevojshëm për të përmirësuar saktësinë e përcaktimit të treguesve. Marrja në mënyrë të rastësishme  (t=0) , zakonisht gjendet eksponenti i parë Lyapunov  1 . Për të vlerësuar k treguesit  1 ,  2 ,  k , mendoj k sistemet në variacione . Llogaritni k-Vëllimi dimensional dhe marrëdhëniet e përdorimit të ngjashme me formulën (5).

Pas një kohe të caktuar, është e nevojshme të kryhet jo vetëm rinormalizimi, por edhe ortogonalizimi , sepse  1 ,  2 , …,  k, me kalimin e kohës priren të kthehen  1 , që korrespondon me eksponentin më të lartë të Lyapunov.

Aktualisht, eksponentët e Lyapunov janë karakteristikat më efektive dhe lehtësisht të llogaritura të kaosit dinamik.

Eksponentët e Lyapunov

Sasitë  -Sistemi disipativ dimensional për tërheqës është reduktuar janë zgjidhje të ekuacionit algjebrik

det |a ij -  ij  -Sistemi disipativ dimensional për tërheqës është reduktuar | = 0 (6)

 ij – simboli Kronecker është i tillë që  ij = 0 , Nëse -Sistemi disipativ dimensional për tërheqës është reduktuar  j X  ij = 1 , Nëse i=j .

 -Sistemi disipativ dimensional për tërheqës është reduktuar – Eksponentë të Lyapunov.

Nëse eksponentët e Lyapunov janë negativë, atëherë të gjithë x -Sistemi disipativ dimensional për tërheqës është reduktuar ( t ) zvogëlohet me kalimin e kohës, kështu që gjendja është e qëndrueshme. Pas një shqetësimi, sistemi tenton të kthehet në një gjendje të palëvizshme.

Nëse të paktën një nga numrat Lyapunov është pozitiv, gjendja do të jetë e paqëndrueshme.

Në përgjithësi, numrat e Lyapunov mund të jenë kompleks. Stabiliteti përcaktohet nga shenja e pjesës reale të një numri kompleks.

Nëse midis numrave Lyapunov ka thjesht imagjinarë ose e barabartë me zero, atëherë gjendja e palëvizshme quhet neutrale. Kur devijoni nga kjo gjendje, nuk lindin as forca devijuese dhe as rivendosëse.

2.1. Analiza e lëvizjeve të paqëndrueshme. Përcaktohet varësia kohore e devijimeve të vogla nga një trajektore e caktuar. Numrat Lyapunov nuk janë më konstante , por varen nga koha.

Një trajektore është e paqëndrueshme nëse midis eksponentëve Lyapunov ka nga ata, pjesët reale të të cilëve janë pozitive në një interval kohor mjaft të madh.  t të tilla që  t  ( t ) >> 1 .

Eksponentët e Lyapunov luajnë një rol të rëndësishëm në teorinë e qëndrueshmërisë së lëvizjes. Ata janë karakteristikë ose eigjenvlera të sistemit .

Ata nuk varen nga kushtet fillestare . Stabiliteti (ose paqëndrueshmëria) është një veti e brendshme e sistemit në studim , dhe jo rezultat i ndikimeve të jashtme në sistem.

Manifeston stabiliteti (paqëndrueshmëria) vetëm nën shqetësime të vogla të jashtme .

Kjo veçori çoi në pasoja të rëndësishme metodologjike . Tani duhet të rishikojmë dhe rishikojmë disa koncepte në dukje të vendosura në fizikë.

2. Mënyrat kaotike jo periodike të sistemeve dinamike. Tërheqës të çuditshëm

Tërheqës i çuditshëm

Fjala "e çuditshme" justifikohet nga dy veti të tërheqësit:

Pazakonshmëria e strukturës së saj gjeometrike:

Ai nuk mund të përfaqësohet në formën e elementeve gjeometrike të një dimensioni të tërë. Dimensioni i një tërheqës të çuditshëm është thyesore

Një tërheqës i çuditshëm është tërheqëse rajoni për trajektoret nga zonat përreth, dinamikisht i paqëndrueshëm brenda një tërheqës të çuditshëm.

Një tërheqës i çuditshëm ekziston vetëm në sistemet dimensionale shpërndarëse n≥3.

Sinai Ya.G. (1996): Pesë veti që në një farë kuptimi përforcojnë njëra-tjetrën duhet të quhen statistikore:

Ekzistenca e një mase invariante të fundme:

Ergodiciteti;

Përzierje;

drejtësia e CLT;

ulje eksponenciale e korrelacioneve.

Në rastin e një numri të fundëm pikash të palëvizshme dhe një numri të kufizuar ciklesh kufi, vetëm e para (ose e para dhe e dyta) e vetive të treguara mund të qëndrojë.

Tërheqësit stokastikë ( Sinai Ya.G. (1976)): Një sistem dinamik limit ka veti të forta stokastike për të, të paktën tre nga vetitë e mësipërme ndodhin.

Tërheqës A quhet stokastike nëse për ndonjë shpërndarje fillestare P 0 c dendësi fq 0 në X, të përqendruara në një farë afërsie të tërheqëse A, zhvendosjet e saj në e cila do të garantonte afërsinë e trajektoreve kur konvergojnë në një shpërndarje të pandryshueshme P në A, e pavarur nga P 0 ; n shpërndarja marxhinale ka përzierje, pra autokorrelacionet priren 0 në t .

Tërheqësi hiperbolik ka veti statistikore edhe më të forta A. Lëvizja për këtë A dhe në afërsi të tij ka paqëndrueshmëri eksponenciale, është i çuditshëm, dimensioni i tij mund të jetë i pjesshëm.

Nga pikëpamja e teorisë së probabilitetit, një sistem dinamik që lind mbi të A, është izomorfik ndaj një zinxhiri Markov.

2.3. Sisteme plotësisht të izoluara. Ky koncept mund të prezantohet (dhe jo gjithmonë) si kufiri i një sistemi jo të izoluar kur ndikimi i jashtëm tenton në zero .

Për sistemet e qëndrueshme ekziston një kufi i tillë, dhe për këtë arsye koncepti i një sistemi të izoluar mbetet i vlefshëm. Për sistemet e paqëndrueshme, në përgjithësi, nuk ka një kufi të tillë.

Në të vërtetë, kufiri i madhësisë x(t) =  e  t (ku  > 0 ) në  0 X t  varet nga radha në të cilën argumentet priren në kufijtë e tyre . Formalisht, vlera  (pasqyron masën e ndikimeve të jashtme) dhe kohën t mund të konsiderohet i pavarur. Për periudha relativisht të shkurtra kohore, faktori e  t rritet aq shumë. çfarë të kompensoni duke e zvogëluar atë  - detyra është absurde. Varësia eksponenciale e  t aq i fortë sa është pothuajse e pamundur të konkurrosh me të. Kjo është arsyeja pse Për sistemet e paqëndrueshme, koncepti i "sistemit absolutisht të izoluar" humbet kuptimin e tij. Mund të flasim vetëm për një sistem relativisht të izoluar.

2.4. Pafundësisht i vogël dhe pafundësisht i madh. Në lidhje me fenomenin e paqëndrueshmërisë, lind nevoja për të rishqyrtuar koncepte të tilla si "pafundësisht i vogël" X "pafundësisht i madh".

Për periudha të shkurtra kohore, kur devijimet janë të vogla dhe shqetësimi mund të neglizhohet, llogaritjeve dinamike mund t'u besohet edhe nëse ato janë të paqëndrueshme .

Kushtet e besimit janë: t  1/ Re  Dhe  x( t ) << 1 . Koha t  1/ Re  thirrur intervali i parashikueshmërisë (ose horizonti i parashikimit) . Për periudha të gjata kohore ( Re  t = 100  1000) devijimi  x( t ) do të bëhet i madh për çdo shqetësim të vërtetë . Për të neglizhuar shqetësimet, është e nevojshme të izoloni sistemin brenda  x 0  e –1000 , gjë që është e pamundur. Nuk ka rëndësi se në cilat njësi maten vlerat  x 0 X x( t ).

Çdo sasi fizike (gjatësi, masa, intervale kohore, numri i grimcave, etj.) në botën tonë janë të kufizuara, d.m.th. shprehur me numra në rangun nga (10 -100 te 10 +100 ) . Numrat më të mëdhenj (ose më të vegjël) mund të shfaqen vetëm si rezultat i një llogaritjeje që përfshin një funksion eksponencial ose më të fuqishëm. Në këtë drejtim, Edwar Kasner prezantoi konceptin "googol" - një numër kaq i madh (më shumë se 10 +100 ) , e cila nuk mund të korrespondojë me asnjë sasi fizike.

Shqetësimi është një sasi fizike. Prandaj, devijimi fillestar nuk mund të jetë më i vogël 10 -100 , ndërsa Re  t mund të bëhet më shumë 100 .

"Googol" inversi, i cili formalisht është një sasi e fundme, është në të vërtetë konsiderohet si një sasi infinite e vogël .

Pyetja se si sillet një funksion brenda një intervali rend proporcional me "googol" inversi është e pakuptimtë. . Funksioni në një interval të tillë duhet të zëvendësohet me një numër (mesatarisht gjatë intervalit), pasi sjellja e tij më e detajuar është thelbësisht e pavëzhgueshme. Kjo deklaratë luan një rol të rëndësishëm praktik.

2.5. Shkak. Në teorinë e sistemeve dinamike, shkaku zakonisht kuptohet si kushtet fillestare ose ndikimet e jashtme impulse që çojnë në një rezultat - pasojë të caktuar.

Kolokimi "Zbuloni marrëdhëniet shkak-pasojë" do të thotë "Të kuptojë dinamikën e proceseve të ndërmjetme."

Supozohet se shkaqet dhe efektet janë në përpjestim . Për procese të qëndrueshme ose neutrale kjo është gjithmonë rasti.

Në sistemet e paqëndrueshme situata është thelbësisht e ndryshme: një vlerë shumë e vogël çon në një efekt që është i papajtueshëm në shkallë me shkakun. Në raste të tilla thuhet se shkaku ishte paqëndrueshmëria, jo një ndikim i vogël fillestar.

Sistemet kaotike karakterizohen horizonti kohor , e cila përcaktuar nga koha e Lyapunov (1/  ) , duke kryer rolin shkalla e brendshme kohore e sistemeve kaotike .

Gjatë kësaj kohe, shprehja " dy sisteme identike (të njëjta)" . Për të rritur intervalin kohor mbi të cilin mund të parashikohet një trajektore, saktësia duhet të rritet , me të cilin specifikohet gjendja fillestare , domethënë për të ngushtuar klasën e sistemeve të quajtura "të njëjtat". Për të rritur në 10 herë sa koha e Lyapunov, është e nevojshme të rritet saktësia e specifikimit të gjendjes fillestare në e 10 një herë.

Horizonti kohor i një sistemi kaotik gjeneron ndryshimi themelor midis "tani" dhe "më vonë" .

Evolucioni përtej kohës së Lyapunov nuk lejon përshkrim individual , shprehet vetëm në termat e një përshkrimi probabilistik, i njëjtë për të gjitha sistemet e karakterizuara nga i njëjti tërheqës kaotik, pavarësisht nga gjendja e tyre fillestare.

kjo - përcaktimi i kaosit përmes mohimit të mundësisë së parashikimit të sjelljes individuale në çdo nivel të njohurive tona.

Për sistemet kaotike, ligjet e natyrës duhet të formulohen në terma të evolucionit të shpërndarjeve të probabilitetit, dhe jo në terma të trajektoreve individuale.

Tërheqësit modernë të çuditshëm (fraktale dhe jofraktale) ofrojnë një ilustrim të shkëlqyeshëm të sjelljes së ndryshme të sistemeve shpërndarëse. Falë tyre, qasja jonë ndaj botës natyrore po ndryshon. Ai bëhet më pak përgjithësues dhe më hulumtues.

2.6. Probabiliteti. Në sistemet dinamike të qëndrueshme, koncepti i "Probabilitetit" nuk përdoret dhe, për më tepër, nuk ka asnjë kuptim . Në sistemet e paqëndrueshme, përkundrazi, parashikimet e besueshme nuk kanë asnjë kuptim dhe ne mund të flasim vetëm për probabilitetin e një rezultati të caktuar..

2.7. Paqëndrueshmëria. Një fenomen që lind brenda kornizës së ekuacioneve dinamike, por çon në faktin se ato (ekuacionet) pushojnë së qeni të plota. Mund të vendoset paqëndrueshmëri (mund të gjenden numrat e Lyapunov), por është e pamundur të parashikohet rezultati i procesit.

Koncepti i "paqëndrueshmërisë" është thelbësor zgjeron dhe ndryshon aksiomatikën e sistemeve dinamike . Një pasojë e qartë e kësaj pasurie është "kaos dinamik" .

Ekziston një klasë e sistemeve dinamike në të cilat regjim kaotik ndodh në disa rajone të hapësirës fazore . Zona të tilla quhen tërheqës të çuditshëm.

Trajektoret e fazave hyjnë në këto zona (prandaj termi "tërheqës"), por nuk i lënë ato dhe nuk ngatërrohen brenda (prandaj termi "i çuditshëm").

Tërheqësit e çuditshëm mund të konsiderohen si gjendje të palëvizshme, por jo të kontraktuara në një pikë, por të përhapur në një rajon të hapësirës fazore. Në natyrë, sisteme të tilla janë shumë më të përhapura. Nga sa mund të merret me mend.

3. Fraktale

Objekte me përmasa thyesore.

Karakterizohen tërheqës të çuditshëm jo në tërësi, por në përmasa të pjesshme . Ata janë objekte fraktale 1 . Objekte të tilla nuk mund të jenë pika, vija, sipërfaqe ose manifolde topologjike në përgjithësi.

Dimensioni karakterizon një objekt gjeometrik nga numri i variablave që duhet të specifikohen për të treguar vendndodhjen e një prej pikave të objektit.

Një pikë në një vijë është një numër. Pika në aeroplan - dy. Një pikë në një vëllim është tre, etj. Ka mënyra më abstrakte për të përcaktuar dimensionin.

Një objekt gjeometrik mund të karakterizohet nga numri minimal i "qelizave" të nevojshme për të mbuluar objektin. Numri , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë , i cili përcakton dimensionin, shfaqet si një eksponent në relacionin që lidh numrin në afërsi të një tërheqëse të çuditshme në "qelizat" dhe madhësia e tyre u .

Konsideroni një shembull të një "bashkësi Cantor":

Le të marrim një segment të vetëm. Ndani atë në tre pjesë të barabarta dhe hiqni të tretën e mesme. Ne përsërisim të njëjtin veprim me secilën pjesë të mbetur, e kështu me radhë. pafundësisht shumë herë. Do të shfaqet një numër i pafund "mikro-segmentesh", të cilat nuk mund të karakterizohen më nga gjatësia e tyre .

Fillimisht, ne kishim një segment me gjatësi njësi. Pas hapit të parë - dy segmente të gjata 1/3 . Pas hapit të dytë - katër segmente të gjata 1/9 , pas hapit të tretë - tetë segmente të gjata 1/27 . Pas n - hapi i th - 2 n gjatësia 1/3 n . Pas një numri hapash të numërueshëm, segmenti i njësisë do të hiqet

1/3 + 2(1/9) + 4(1/27) + .. = 1 , domethënë në të gjithë gjatësinë.

Dimensioni , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë Cantor vendosur për në afërsi të një tërheqëse të çuditshme në  Dhe u  0 përcaktohet nga relacioni 2 n = (3 n ) , të shtrirë në tërheqës, janë të ndarë nga njëri-tjetri me një distancë , ku d = log2/log3  0,63 . Set Cantor, i cili tashmë është është e pamundur të mendohet si një koleksion segmentesh njëdimensionale , korrespondon dimensioni i pjesshëm ndërmjet 0 (dimensioni i pikës) dhe 1 (dimensioni i vijës).

Objekte fraktale ofrojnë një mundësi për të hedhur një vështrim të ri në botën e mrekullueshme të formave që ekzistojnë në natyrë. Shumica e këtyre formave nuk janë objekte të rregullta gjeometrike, por mund të karakterizohen nga dimensione të pjesshme.

Për shembull, një re nuk është një trup ose sipërfaqe vëllimore, por një objekt gjeometrik i ndërmjetëm me një dimension midis 2 dhe 3.

Zbulimi i tërheqësve me dimensione fraktale na lejon të shohim sjelljen e objekteve në kohë në një mënyrë të re.

Tërheqësi fraktal ka një strukturë jashtëzakonisht të imët që shpreh sjellje shumë komplekse me kalimin e kohës.

Koncepti i një tërheqës (pika njëjës, cikli kufi) është sinonim i stabilitetit dhe riprodhueshmërisë (arritja e "të njëjtës gjë") në çdo kusht fillestar.

Cili është dimensioni i tërheqësve të çuditshëm?

"Tërheqësi përcakton regjimet që janë "të ndjeshme ndaj kushteve fillestare". Shpjegoni.

Tërheqësit me dimensione fraktale krijojnë lloje sjelljesh që nuk mund të parashikohen dhe as të riprodhohen. Çdo rajon i një tërheqësi të çuditshëm, pavarësisht sa i vogël, shfaq të njëjtën strukturë komplekse. Dallimi më i vogël në kushtet fillestare ose shqetësimi më i vogël nuk zbutet, por përforcohet nga tërheqësi. Tërheqësi përcakton regjimet që janë "të ndjeshme ndaj kushteve fillestare" .

1 Termi "fraktal" u prezantua nga Benoit Mandelbrot (Mandelbrot B. The Fractal Geometry of Nature. - San Francisko: W.H. Freeman, 1982.)

Ky kapitull synon të prezantojë lexuesin me një teori që u zhvillua pa asnjë lidhje me grupet fraktale dhe megjithatë doli të përshkohej fjalë për fjalë prej tyre. Më shpesh quhet "teoria e tërheqësve të çuditshëm dhe evolucionit kaotik (ose stokastik), por në tekstin e kapitullit, shpresoj, do të gjeni arsyet që më shtynë t'i jap kësaj teorie një emër të ri (shih titullin) .

Për të hyrë në këtë ese të teorisë së përmendur, mjaftoi vetëm të lidheshim disi me fraktale; E konsideroj të justifikuar t'i kushtoj një kapitull të tërë. Arsyetimi i parë (praktik): kjo teori nuk kërkon pothuajse asnjë hyrje të veçantë, pasi shumica e dispozitave të saj kryesore mund të konsiderohen thjesht si një interpretim i ri i përfundimeve që morëm në kapitujt 18 dhe 19.

Së dyti, teoria e tërheqësve fraktal ndihmon - nëpërmjet kontrastit - për të sqaruar disa tipare të gjeometrisë fraktal të natyrës. Në të vërtetë, puna ime ka të bëjë kryesisht me format që janë të pranishme në hapësirën reale, me format që mund të shihen, qoftë edhe përmes mikroskopit; teoria e tërheqësve merret ekskluzivisht me evolucionin në kohë të vendndodhjes së pikave të caktuara në një hapësirë ​​përfaqësuese të padukshme dhe abstrakte.

Ky kontrast është veçanërisht i fortë në kontekstin e turbulencës - tema ime e parë kryesore (fillova të punoja në të në 1964), ku përdora format e hershme të teknikave fraktal dhe (mjaft e pavarur prej tyre) teorinë e tërheqësve të çuditshëm, e cila është mjaft serioze. e kombinuar me studimin e turbulencës në punë. Deri më tani, këto dy qasje nuk janë kryqëzuar ende, por pritja nuk është e gjatë.

Ata që janë të interesuar në sociologjinë e shkencës do të gjejnë pa dyshim faktin interesant vijues: ndërsa kërkimi im precedent që lidh monstrat matematikore me strukturat reale fizike është përballur me rezistencë të konsiderueshme, format monstruoze të tërheqësve abstraktë pranohen me qetësi të lakmueshme.

Argumenti i tretë në favor të nevojës për të folur për tërheqësit fraktal lidhet me faktin se evolucionet përkatëse duken "kaotike" ose "stokastike". Siç do të bëhet e qartë në kapitujt 21 dhe 22, shumë shkencëtarë vënë në dyshim përshtatshmërinë e përdorimit të rastësisë në shkencë; Tani ka shpresë për justifikimin e rastësisë me ndihmën e tërheqësve fraktale.

Së fundi, ata lexues që, disa kapituj (ose disa ese) më parë, ranë dakord me pohimin tim se shumë nga manifestimet e natyrës mund të përshkruhen vetëm me anë të grupeve të caktuara që më parë konsideroheshin patologjike, mund të presin me padurim kalimin nga "si tek "pse". Unë mendoj se përshkrimet dhe demonstrimet e mëparshme japin një ide se sa e lehtë është në disa raste të ëmbëlsohen pilulat gjeometrike të përmendura në kapitujt e mëparshëm për t'i bërë ato më të lehta për t'u gëlltitur. Unë dua t'i fus lexuesit një shije për fraktale - sado e hidhur të duket kjo shije për shumicën e shkencëtarëve të pjekur. Për më tepër, unë sinqerisht besoj (dhe do t'i kthehem kësaj në kapitullin 42) se pseudo-shpjegimi duke ëmbëlsuar thjesht nuk është interesant. Kështu, rëndësia e shpjegimit duket se është shumë e ekzagjeruar dhe ne do t'i drejtohemi atij vetëm në rastet kur shpjegimi ekzistues është vërtet interesant - si, për shembull, në kapitullin 11. Për më tepër, unë dyshoj se kur fraktali tërheqësit bien bazuar në gjeometrinë fraktal të formave të dukshme natyrore, do të shfaqen shumë shpjegime të reja, më të hollësishme dhe bindëse.

Meqenëse transformimet me tërheqës janë jolineare, fraktalet e vëzhguara ka shumë të ngjarë të mos jenë të ngjashme. Kjo është e shkëlqyeshme: më duket se përdorimi i një analogu fraktal të një vije të drejtë për të përshkruar fenomene të rregulluara nga ekuacione jolineare duket disi paradoksale. Fraktalet e pandryshueshme në shkallë, të cilat shpjegojnë mirë fenomenet natyrore, mund të veprojnë vetëm si përafrime lokale të fraktaleve jolineare.

Koncepti i një tërheqës

Ky kapitull mbështetet, në pjesën më të madhe, në një vëzhgim të gjatë dhe kryesisht të harruar të Henri Poincaré: "orbitat" e sistemeve dinamike jolineare priren të tërhiqen nga grupe të çuditshme, të cilat unë i përcaktoj si fraktale jolineare.

Le të shqyrtojmë së pari tërheqësin më të thjeshtë - një pikë. "Orbita", e përcaktuar nga lëvizja e topit të vogël pasi vendoset në hinkë, fillon me një lloj rruge spirale, forma e saktë e së cilës varet nga pozicioni fillestar dhe shpejtësia e topit, por përfundimisht konvergon drejt gryka e hinkës; nëse diametri i topit tejkalon diametrin e hapjes së hinkës, atëherë ai do të mbetet aty. Për topin tonë, fillimi i qafës së hinkës është një pikë e qëndrueshme ekuilibri, ose një pikë e qëndrueshme fikse. Në kuadrin e një terminologjie përshkruese alternative mjaft të përshtatshme (e cila, natyrisht, nuk duhet të interpretohet nga një pozicion antropocentrik), qafa e hinkës mund të quhet një pikë tërheqëse, ose tërheqëse.

Në një sistem fizik, një rreth ose një elips mund të jetë gjithashtu i qëndrueshëm dhe tërheqës. Për shembull, ne të gjithë besojmë (dhe madje shpresojmë me zjarr - megjithëse askush nga ne nuk do të jetojë aq gjatë sa kjo të bëjë ndonjë ndryshim) se sistemi diellor është i qëndrueshëm, duke nënkuptuar se nëse orbita e Tokës është e destinuar të pësojë ndonjë shqetësim, atëherë ai do të përfundimisht të "tërhiqet" përsëri në rrugën e saj aktuale.

Në një formë më të përgjithshme, një sistem dinamik zakonisht përkufizohet si vijon: gjendja e sistemit në një moment në kohë përfaqësohet nga një pikë në një vijë të drejtë, në një plan ose në një "hapësirë ​​fazore" më shumëdimensionale Euklidiane. dhe evolucioni i tij ndërmjet momenteve përcaktohet nga rregulla në të cilat sasia nuk përfshihet shprehimisht. Çdo pikë në hapësirën fazore mund të merret si gjendja fillestare në , dhe do të pasohet nga një orbitë e përcaktuar nga funksioni për të gjithë.

Dallimi kryesor midis sistemeve të tilla është shpërndarja gjeometrike e vlerave në vlera të mëdha. Është e zakonshme të thuhet se një sistem dinamik ka një tërheqës nëse ka një nëngrup të rregullt të hapësirës së fazës që ka veçorinë e mëposhtme: për pothuajse çdo pikë fillestare dhe një pikë mjaftueshëm të madhe, pika përfundon në një lagje të vogël të një pike. që i përkasin .

Koncepti i repeluesit

Ne gjithashtu mund ta vendosim topin tonë në një pozicion të paqëndrueshëm ekuilibri - për shembull, në majë të një lapsi. Nëse pozicioni fillestar nuk përkon saktësisht me pikën e ekuilibrit, atëherë topi duket se është shtyrë larg dhe arrin një gjendje ekuilibri të qëndrueshëm diku tjetër.

Bashkësia e të gjitha pozicioneve të ekuilibrit të paqëndrueshëm (së bashku me pikat e tyre kufitare) quhet grup repulsiv ose zmbrapsës.

Në shumë raste, tërheqësit dhe zmbrapsësit ndryshojnë vendet kur ndryshojnë shenjat në ekuacione. Kur kemi të bëjmë me gravitetin, mjafton të ndryshojmë drejtimin e veprimit të tij. Konsideroni, për shembull, një sipërfaqe kryesisht horizontale me devijime në të dy drejtimet. Duke supozuar se forca e gravitetit drejtohet poshtë, ne e vendosim topin në anën e sipërme të sipërfaqes dhe shënojmë devijimin tërheqës me shkronjën dhe devijimin refuzues me shkronjën. Nëse tani e vendosim topin në pjesën e poshtme të sipërfaqes dhe supozojmë se graviteti është i drejtuar lart, atëherë devijimet do të ndryshojnë vendet. Shkëmbime të tilla luajnë një rol qendror në këtë kapitull.

Tërheqësit fraktale. "kaos"

Shumica e mekanikës elementare merret me sisteme dinamike, tërheqës të të cilëve janë pikat, pothuajse rrathët dhe figura të tjera të gjeometrisë Euklidiane. Sidoqoftë, në realitet, shifra të tilla përfaqësojnë përjashtime të rralla, dhe sjellja e shumicës së sistemeve dinamike është pakrahasueshme më e ndërlikuar: tërheqësit dhe repeluesit e tyre kanë një tendencë të qartë drejt fraktalitetit. Seksionet e ardhshme përshkruajnë shembuj të sistemeve me kohë diskrete.

Tërheqës pluhuri. Koeficienti Feigenbaum. Shembulli më i thjeshtë mund të merret duke përdorur katrorin (shih Kapitullin 19). Si hyrje, le të shohim një tjetër paraqitje të pluhurit të Cantor-it: intervalin e mbuluar. Një grup i tillë është kufiri i një grupi, i përcaktuar si një grup pikash të formës . Kur , çdo pikë e grupit ndahet në dy, dhe grupi është rezultat i një numri të pafund bifurkacionesh të tilla.

Sipas P. Grassberger (burimi – paraprintimi i artikullit), tërheqësi i hartës për real është i ngjashëm me grupin, por me dy koeficientë të ndryshëm ngjashmërie, njëri prej të cilëve është koeficienti Feigenbaum (cm. ). Pas një numri të pafund bifurkacionesh, ky tërheqës shndërrohet në pluhur fraktal me dimension .

"Kaos". Asnjë pikë e vetme e grupit nuk vizitohet dy herë në një periudhë të caktuar kohe. Shumë autorë i përshkruajnë evolucionet në tërheqësit fraktal si "kaotike".

Pemë të vetë-aftësuara. Duke vendosur kompletin në aeroplan, marrim një pemë. Sepse , kjo pemë është asimptotikisht e vetë-aftësuar me mbetjen.

Komentoni. Në mënyrë ideale, teoria do të fokusohej në sisteme dinamike në thelb interesante dhe realiste (por të thjeshta) tërheqës të të cilëve janë grupe fraktale të studiuara mirë. Literatura ekzistuese për tërheqës të çuditshëm - edhe nëse është jashtëzakonisht domethënëse - është shumë larg këtij ideali. Fraktalet e konsideruara në të, si rregull, nuk janë studiuar mirë, shumë pak prej tyre janë vërtet interesante dhe shumica nuk mund të konsiderohen zgjidhje për ndonjë problem të motivuar.

Prandaj, u detyrova të shpikja në mënyrë të pavarur "sisteme dinamike" që do të shtronin pyetje të reja për të marrë përgjigje të njohura dhe të përshtatshme për to. Unë dola me probleme në atë mënyrë që fraktale të njohura u bënë zgjidhjet e tyre. Ajo që më habit më shumë është se edhe këto sisteme dolën interesante.

Tërheqësit e vetë-inversit

Sipas kapitullit 18, grupet në zinxhirët Poincaré janë bashkësi më të vogla vetë-inverse dhe grupe kufitare. Le të riformulojmë vetinë e fundit: duke pasur parasysh një pikënisje të zgjedhur në mënyrë arbitrare, transformimet e saj nën ndikimin e një sekuence përmbysjesh afrohen në mënyrë arbitrare pranë çdo pike të grupit. Supozoni tani që kjo sekuencë inversionesh zgjidhet nga një proces i veçantë i pavarur nga pozicionet aktuale dhe të mëparshme të pikës. Me një përhapje mjaft të gjerë të kushteve fillestare, gjithmonë mund të pritet (dhe shpesh këto pritje janë të justifikuara) që sekuencat rezultuese të pozicioneve do të tërhiqen nga grupi. Kështu, një numër i madh publikimesh mbi grupet e krijuara nga inversionet mund të interpretohen në terma të sistemeve dinamike.

Kthimi i "kohës"

Kërkimet e mëtejshme për sisteme me tërheqës fraktalë interesantë më çuan në sisteme tërheqës të të cilëve janë gjeometrikisht standardë, por repeluesit e të cilëve rezultojnë mjaft interesantë. Këto dy grupe mund të ndërrohen lehtësisht, duke e kthyer kështu kohën pas, me kusht që operacionet e sistemit dinamik të lejojnë ekzistencën e operacioneve të anasjellta (orbitat nuk bashkohen ose kryqëzohen), në mënyrë që, duke ditur pozicionin e pikës, të mund të përcaktoni gjithçka në. Megjithatë, të dhënat nga një sistem i veçantë që duam t'i kthejmë në kohë janë një rast i veçantë. Orbitat e tyre janë si lumenj: në drejtimin poshtë shpatit rruga e tyre është e përcaktuar qartë, por lart në shpat - çdo pirun kërkon një vendim të veçantë.

Le të përpiqemi, për shembull, të kthejmë transformimin , me ndihmën e të cilit kemi marrë pluhurin e Cantor-it në Kapitullin 19. Me dy funksione të ndryshme të anasjellta të përcaktuara, ndoshta mund të biem dakord që të transformojmë gjithçka në . Në mënyrë të ngjashme, dy funksione të ndryshme të anasjellta kanë hartëzimin . Në të dyja rastet, përmbysja kuptimplotë përfshin një zgjedhje midis dy funksioneve. Në shembuj të tjerë ka më shumë opsione të mundshme. Më lejoni t'ju kujtoj: ne duhet që zgjedhja mes tyre të bëhet përmes një procesi të veçantë. Këto konsiderata na çojnë në sisteme dinamike të përgjithësuara, të cilat do të përshkruhen në seksionin vijues.

Sistemet dinamike të dekompozueshme

Ne do të kërkojmë që një nga koordinatat e gjendjes (le ta quajmë indeks përcaktues dhe ta shënojmë me ) të evoluojë në mënyrë të pavarur nga gjendja e koordinatave të tjera (ne do ta shënojmë këtë gjendje me ), me kusht që transformimi nga shteti në gjendje të jetë të përcaktuara si nga shteti ashtu edhe nga indeksi. Në shembujt që kam studiuar më në detaje, transformimi specifik zgjidhet nga një grup i kufizuar që përfshin mundësi të ndryshme dhe zgjidhet në përputhje me vlerën e disa funksioneve të numrave të plotë . Me fjalë të tjera, kam konsideruar dinamikën e një produkti - hapësirë ​​në një grup indeksesh të fundme.

Në përgjithësi, në shembujt që stimuluan këtë përgjithësim, sekuenca është ose vërtet e rastësishme ose sillet sikur të ishte e rastësishme. Ne do të fillojmë të shqyrtojmë rastësinë vetëm në kapitullin tjetër, por nuk mendoj se kjo rrethanë mund të na pengojë. Diçka tjetër është shumë më serioze: sistemet dinamike janë një shembull i mishëruar i sjelljes plotësisht deterministe, dhe për këtë arsye thjesht nuk kanë të drejtë të lejojnë asnjë lloj rastësie! Megjithatë, ne mund të prezantojmë efektin e rastësisë pa e postuluar atë në mënyrë eksplicite - ne vetëm duhet t'i caktojmë funksionit vlerën e një procesi ergodik mjaftueshëm të përzier. Merrni, për shembull, një numër irracional dhe krahasoni funksionin me pjesën e plotë të numrit . Këtu do të ia vlente të bëja disa deklarata të tjera, jo të ndërlikuara në parim, por shumë të rënda, kështu që ndoshta do të përmbahem nga kjo.

Roli i tërheqësve "të çuditshëm".

Përkrahësit e tërheqësve "të çuditshëm" parashtrojnë dy konsideratat e mëposhtme në mbrojtjen e tyre. . Meqenëse sistemet dinamike me tërheqës standardë nuk janë në gjendje të shpjegojnë turbulencën, mund të jetë e mundur të shpjegohet duke përdorur sisteme me tërheqës që janë topologjikisht "të çuditshëm". (kjo të kujton vetë arsyetimin tim (shih Kapitullin 11) - e shprehur, meqë ra fjala, plotësisht në mënyrë të pavarur nga sa më sipër - se nëse një ekuacion diferencial nuk ka singularitete standarde, duhet të provosh fatin me singularitete fraktale. sisteme të thjeshta - të tilla Si reale dhe në interval - ato janë vërtet të çuditshme dhe në shumë aspekte karakteristike për sistemet më komplekse dhe më realiste. Kështu, tërheqësit topologjikisht të çuditshëm janë padyshim rregulli dhe jo përjashtimi.

"Fractal" apo "i çuditshëm"?

Të gjithë tërheqësit e njohur "të çuditshëm" janë grupe fraktale. Për shumë tërheqës "të çuditshëm", ka vlerësime të dimensionalitetit. Në të gjitha rastet. Rrjedhimisht, këta tërheqës nuk janë asgjë më shumë se grupe fraktale. Në shumë raste, dimensioni i fraktaleve tërheqëse të çuditshme nuk është një masë e parregullsisë, por e mënyrës se si kthesat ose sipërfaqet e lëmuara mbivendosen njëra-tjetrën - një lloj fragmentimi (shih Kapitullin 13).

S. Smale prezantoi dy herë tërheqësin e tij të famshëm, të quajtur solenoid. Përkufizimi origjinal ishte thjesht topologjik (dimensioni mbeti i papërcaktuar), por versioni i rishikuar ka një karakter metrikë (shih, f. 57). Unë, nga ana tjetër, propozova të futja konceptin e dimensionit në teorinë e tërheqësve të çuditshëm dhe vlerësova vlerën e hartës Henon , e cila rezultoi e barabartë me 1.26. Priten shumë artikuj të tjerë në të njëjtën mënyrë.

Deklarata e kundërt. Nëse të gjithë tërheqësit fraktal janë të çuditshëm, është një çështje semantike. Gjithnjë e më shumë autorë pajtohen me mua se një tërheqës përgjithësisht mund të konsiderohet i çuditshëm nëse është fraktal. Ky qëndrim më duket mjaft i arsyeshëm, duke pasur parasysh se fjala "e çuditshme" vepron si sinonim për fjalët "monstruoze", "patologjike" dhe epitete të tjera të ngjashme që dikur u jepeshin grupeve individuale fraktale.

Sidoqoftë, mbiemrit "i çuditshëm" ndonjëherë i jepet një kuptim i caktuar terminologjik, aq i veçantë, duhet thënë, saqë tërheqësi Salzman-Lorenz karakterizohet jo vetëm si "i çuditshëm", por si "i çuditshëm - i çuditshëm". Në këtë këndvështrim, "çuditshmëria" e një tërheqës lidhet kryesisht me vetitë topologjike jo standarde, ndërsa vetitë fraktal jo standarde thjesht i shoqërojnë ato si "ngarkesë". Një kurbë e mbyllur me pika të dyfishta nuk është "e çuditshme" në këtë kuptim, pavarësisht se sa e thërrmuar mund të jetë: kjo do të thotë se shumica e tërheqësve fraktal që kam studiuar nuk mund të konsiderohen të çuditshëm.

Me këtë përkufizim të termit "të çuditshme", argumentet në seksionin e mëparshëm humbasin çdo apel. Megjithatë, nëse modifikojmë konceptin e çuditshmërisë në mënyrë që të bëhet fraktal nga topologjik, atëherë kjo tërheqje mund të rikthehet. Kjo është arsyeja pse unë besoj se ata që përcaktojnë "të çuditshme" si "fraktale" meritojnë të fitojnë argumentin. Dhe duke qenë se ata fitojnë, nuk shoh shumë kuptim në mbajtjen e një termi që u bë i panevojshëm në momentin kur tregova se fraktalet nuk janë më të çuditshëm se, të themi, malet apo vijat bregdetare. Për më tepër, nuk do të fshihem: kam një lloj mospëlqimi personal për termin "e çuditshme".

Oriz. 282 dhe 283. Tërheqja ndaj fraktaleve

Shifrat e paraqitura këtu ilustrojnë orbitat e gjata të gjendjeve të njëpasnjëshme të dy sistemeve dinamike të dekompozueshme. Parzmoren e faraonit në Fig. 283 është një grup vetë-inversi (shih Kapitullin 18) bazuar në katër përmbysje të zgjedhura në mënyrë që grupi kufi të jetë një koleksion rrathësh. Dragoi i San Markos në Fig. 282 është një grup vetë-katrore (shih Kapitullin 19) dhe bazohet në dy përmbysje të hartës .

Indeksi përcaktues në këto raste zgjidhet nga katër (ose dy) mundësi duke përdorur një algoritëm pseudo të rastësishëm të aplikuar 64,000 herë. Pikat e para në figurë janë anashkaluar.

Zonat në afërsi të pikave të mprehjes dhe të vetëkryqëzimit mbushen jashtëzakonisht ngadalë.