Shembuj të çuditshëm tërheqës. Tërheqës të rregullt dhe të çuditshëm

(për shembull, në problemin e një lavjerrës me fërkim ajri), (për shembull, lëkundjet e vetë-ngacmuara në një qark me një pozitiv reagime), ose ndonjë zonë të kufizuar me trajektore të paqëndrueshme brenda (si një tërheqës i çuditshëm).

Ekzistojnë formalizime të ndryshme të konceptit të aspiratës, gjë që çon në përkufizime të ndryshme të një tërheqëse, të cilat, në përputhje me rrethanat, përcaktojnë grupe potencialisht të ndryshme (shpesh të mbivendosur brenda njëri-tjetrit). Përkufizimet më të përdorura janë tërheqësi maksimal (shpesh në lagjen e tij të vogël, shih më poshtë), tërheqësi Milnor dhe grupi jo endacak.

Klasifikimi [ | ]

Tërheqësit klasifikohen sipas:

Gjithashtu, ka shembuj të mirënjohur "nominalë" të tërheqësve: Lorenz, Plykin, solenoid Smale-Williams, tërheqës heteroklinik (shembulli i Bowen).

Vetitë dhe përkufizimet e ngjashme[ | ]

Për të gjitha përkufizimet, tërheqësi supozohet të jetë një grup i mbyllur dhe (plotësisht) i pandryshueshëm.

Koncepti i një tërheqës është gjithashtu i lidhur ngushtë me konceptin e masës Sinai-Ruelle-Bowen: një masë e pandryshueshme mbi të, në të cilën mesataret kohore të një pike fillestare tipike (në kuptimin e masës Lebesgue) ose mesataret kohore. e përsëritjeve të masës Lebesgue priren. Megjithatë, një masë e tillë nuk ekziston gjithmonë (siç ilustrohet, në veçanti, nga shembulli i Bowen).

Llojet e formalizimit të përkufizimit[ | ]

Meqenëse e gjithë hapësira e fazës ruhet në çdo rast nga dinamika, përkufizimi formal i një tërheqës mund të jepet bazuar në filozofinë se "një tërheqës është grupi më i vogël drejt të cilit çdo gjë priret" - me fjalë të tjera, duke hedhur jashtë gjithçka që mund të jetë. i hedhur jashtë nga hapësira fazore.

Tërheqësi maksimal[ | ]

Le t'i jepet sistemit dinamik një zonë U (\displaystyle U), e cila përkthehet rreptësisht nga brenda nga dinamika:

Pastaj tërheqës maksimal i një sistemi në një kufizim në U është kryqëzimi i të gjitha imazheve të tij nën ndikimin e dinamikës:

(\displaystyle A_(max)=\bigcap _(n=1)^(\infty )f^(n)(U).)

Ky përkufizim përdoret shpesh për të karakterizuar një grup si një tërheqës "natyror" ("është tërheqësi maksimal i lagjes së tij"). Përdoret gjithashtu në ekuacionet diferenciale të pjesshme.

Ky përkufizim ka dy mangësi. Së pari, për ta përdorur atë, ju duhet të gjeni një rajon thithës. Së dyti, nëse një zonë e tillë zgjidhet pa sukses - le të themi, ajo përmbante një pikë fikse të neveritshme me pishinën e saj zmbrapsëse - atëherë në tërheqësin maksimal do të ketë pika "ekstra", afër të cilave është në të vërtetë e pamundur të jesh afër disa herë me radhë. , por zgjedhja aktuale e zonës së kësaj "nuk ndihet".

Tërheqës Milnor[ | ]

Sipas definicionit, Tërheqës Milnor i një sistemi dinamik është grupi më i vogël i mbyllur në lidhje me përfshirjen që përmban grupet ω-kufitare të pothuajse të gjitha pikave fillestare në lidhje me masën Lebesgue. Me fjalë të tjera, ky është grupi më i vogël në të cilin priret trajektorja tipike pikënisje.

Set jo endacak[ | ]

Pika x e një sistemi dinamik quhet endacakë, nëse përsëritjet e disa prej lagjeve të tij U nuk e kryqëzojnë kurrë këtë lagje:

(\displaystyle \përgjithë n>0\quad f^(n)(U)\bigcap U=\emptyset .) Me fjalë të tjera, një pikë është endet nëse ka një lagje që çdo trajektore mund ta kalojë vetëm një herë. Bashkësia e të gjitha pikave që nuk janë endet quhet jo endacakë

shumë.[ | ]

shumë. Tërheqës statistikor A s t a t (\displaystyle A_(stat)) U (\displaystyle U), në lagjen e së cilës kalojnë pothuajse të gjitha pikat pothuajse gjatë gjithë kohës: për çdo lagje të saj pothuajse për çdo pikë (në kuptimin e masës Lebesgue). x (\displaystyle x)

1 N # ( j ≤ N ∣ f j (x) ∈ U ) → 1 , N → ∞ .[ | ]

1 N # ( j ≤ N ∣ f j (x) ∈ U ) → 1 , N → ∞ .(\displaystyle (\frac (1)(N))\#\(j\leq N\mid f^(j)(x)\në U\)\në 1,\katër N\në \infty .) Tërheqës minimal përkufizohet si grupi më i vogël i mbyllur në lidhje me përfshirjen U (\displaystyle U) x (\displaystyle x)

, në lagjen e së cilës kalon pothuajse e gjithë masa Lebesgue: për çdo lagje të saj.[ | ]

1 N ∑ j = 0 N − 1 (f ∗ j (L e b)) (U) → 1 , N → ∞ .[ | ]

(\style display (\frac (1)(N))\sum _(j=0)^(N-1)(f_(*)^(j)(Leb))(U)\në 1,\katër N \ deri në \infty .)[ | ]

Shembuj të mospërputhjeve[ | ]

Lokaliteti, minimalizmi dhe globaliteti[ | ]

Tërheqës të rregullt dhe të çuditshëm

Tërheqës të rregullt[ | ]

Pika fikse tërheqëse

Një tërheqës i çuditshëm është një grup tërheqës i trajektoreve të paqëndrueshme në hapësirën fazore të një sistemi dinamik shpërhapës. Ndryshe nga një tërheqës, ai nuk është një shumëfish, domethënë nuk është një kurbë ose sipërfaqe. Struktura e një tërheqësi të çuditshëm është fraktal. Trajektorja e një tërheqësi të tillë është jo periodike (nuk mbyllet) dhe mënyra e funksionimit është e paqëndrueshme (devijimet e vogla nga modaliteti rriten). Kriteri kryesor për natyrën kaotike të një tërheqës është rritja eksponenciale në kohën e shqetësimeve të vogla. Pasoja e kësaj është “përzierja” në sistem, mosperiodiciteti në kohë i ndonjë prej koordinatave të sistemit, spektri i vazhdueshëm i fuqisë dhe funksioni autokorrelativ që zvogëlohet në kohë.

Dinamika në tërheqës të çuditshëm është shpesh kaotike: parashikimi i një trajektoreje që bie në një tërheqës është i vështirë, pasi një pasaktësi e vogël në të dhënat fillestare mund të çojë pas njëfarë kohe në një mospërputhje të fortë midis parashikimit dhe trajektores aktuale. Paparashikueshmëria e një trajektoreje në sistemet dinamike përcaktuese quhet kaos dinamik, duke e dalluar nga kaos stokastik, që lind në. Ky fenomen quhet edhe efekti i fluturës, duke nënkuptuar mundësinë e shndërrimit të rrymave të dobëta turbulente të ajrit të shkaktuara nga përplasja e krahëve të një fluture në një pikë të planetit në një tornado të fuqishme në anën tjetër për shkak të amplifikimit të tyre të shumëfishtë në atmosferë mbi një periudhë kohore. Por në fakt, përplasja e krahut të një fluture zakonisht nuk krijon një tornado, pasi në praktikë ekziston një tendencë që luhatje të tilla të vogla mesatarisht të mos ndryshojnë dinamikën e të tillëve. sisteme komplekse si atmosfera e planetit, dhe vetë Lorenci tha për këtë çështje: “Por në përgjithësi, unë pohoj se gjatë viteve, goditjet e vogla as e rrisin dhe as e ulin shpeshtësinë e shfaqjes së fenomeneve të ndryshme të motit si uraganet. Gjithçka që mund të bëjnë është të ndryshojnë rendin në të cilin ndodhin këto fenomene”. Dhe kjo është, ndoshta, një gjë e rëndësishme dhe mahnitëse, pa të cilën do të ishte e vështirë, në mos e pamundur, të studiohej dinamika kaotike (dinamika që është e ndjeshme ndaj ndryshimeve më të vogla në kushtet fillestare të sistemit).

Midis tërheqësve të çuditshëm ka nga ata, dimensioni Hausdorff i të cilëve është i ndryshëm nga dimensioni topologjik dhe është i pjesshëm. Një nga më të famshmit në mesin e tërheqësve të tillë është tërheqësi Lorentz.

Shembuj nominalë [ | ]

Tërheqësi i Lorencit[ | ]

Sistemi ekuacionet diferenciale, duke krijuar tërheqësin Lorentz, ka formën:

Solenoid Smale-Williams[ | ]

Solenoid Smale-Williams- një shembull i një sistemi dinamik të kthyeshëm, i ngjashëm në sjelljen e trajektoreve me hartën e dyfishimit në një rreth. Më saktësisht, ky sistem dinamik përcaktohet në një torus të fortë dhe gjatë një përsëritjeje koordinata këndore dyfishohet; nga e cila lind automatikisht divergjenca eksponenciale e trajektoreve dhe dinamika kaotike. Gjithashtu solenoid Tërheqësi maksimal i këtij sistemi quhet gjithashtu (nga vjen, në fakt, emri): ai është i strukturuar si një bashkim (i panumërueshëm) i "fijeve" të plagosur përgjatë një torusi të fortë.

tërheqës Plykin[ | ]

Në Sekt. 5.1 i këtij kapitulli do të tregohet se sistemet dinamike disipative jolineare çojnë natyrshëm në konceptin e një tërheqës të çuditshëm. Pastaj (Seksioni 5.2) futet entropia Kolmogorov si një masë funksionale e lëvizjes kaotike, pas së cilës (Seksioni 5.3) merret parasysh problemi i sasisë së informacionit që mund të merret nga një sinjal i rastësishëm i matur.

Në Sekt. 5.4 diskuton shfaqjen e një tërheqëse të çuditshme në modelin Ruel - Takens - Newhouse, i cili përshkruan kalimin në turbulencë (në kohë) dhe ofron disa konfirmim eksperimental këtë model. Seksioni tjetër përmban interpretimin e grupit të rinormalizimit të këtij modeli të kalimit në kaos. Kapitulli përfundon me një përmbledhje kritike të skenarëve të ndryshëm të tranzicionit dhe një grup vizatimesh të tërheqësve të çuditshëm dhe kufijve të tyre fraktale.

5.1. Prezantimi dhe përkufizimi i tërheqësve të çuditshëm

Në këtë seksion do të shqyrtojmë sistemet disipative të përshkruara nga flukset ose pasqyrat. Le të shqyrtojmë fillimisht flukset disipative të përshkruara nga një sistem autonom i ekuacioneve diferenciale të rendit të parë:

Këtu termi "shpërndarës" do të thotë që një vëllim elementar V i zgjedhur në mënyrë arbitrare në hapësirën fazore, i kufizuar nga sipërfaqja S, është i ngjeshur. Sipërfaqja S evoluon në atë mënyrë që secila nga pikat e saj lëviz përgjatë trajektores së përcaktuar nga (5.1). Prandaj, nga teorema e divergjencës:

dhe më pas, sipas përkufizimit, sistemet me

Një shembull i këtij lloji të rrjedhës është modeli Lorentz:

për cilën prej

dmth vëllimi elementar tkurret në mënyrë eksponenciale në kohë

Nëse marrim parasysh trajektoren e krijuar nga ekuacionet e modelit të Lorencit në (Fig. 58), rezulton se a) tërhiqet nga zonë e kufizuar në hapësirën fazore; b) lëvizja e saj është endacake, d.m.th., trajektorja bën një kthesë djathtas, pastaj disa kthesa majtas, pastaj djathtas, trajektorja është shumë e ndjeshme ndaj ndryshimeve të vogla në kushtet fillestare, d.m.th. nëse në vend të kushteve (0 0.01) ne marrim kushte të afërta, atëherë zgjidhja e re së shpejti do të devijojë nga ajo e mëparshme dhe numri i kthesave do të jetë i ndryshëm. Në Fig. 59 tregon një grafik të varësisë së maksimumit të ndryshores nga Shfaqja që rezulton është afërsisht trekëndore, e cila korrespondon, sipas Ch. 2, sekuencë kaotike

Oriz. 58. Lorentz tërheqës, i llogaritur në një kompjuter (Lanford, 1977).

Oriz. 59. Maksimat e njëpasnjëshme të ndryshores Z të tërheqësit Lorenz (Lorenz, 1963).

Për ta përmbledhur: trajektorja është e ndjeshme ndaj ndryshimeve në kushtet fillestare; kaotike; tërhiqet në një rajon të kufizuar në hapësirën fazore; vëllimi i këtij rajoni (sipas (5.4)) tenton në zero. Kjo do të thotë që rrjedha e një sistemi tredimensional Lorentz gjeneron një grup pikash dimensioni i të cilave është më i vogël se 3, d.m.th. vëllimi i tij është hapësirë ​​tredimensionaleështë e barabartë me 0. Në pamje të parë, mund t'i caktohet numri i plotë i mëposhtëm, por dimensioni më i vogël - 2. Megjithatë, kjo bie ndesh me teoremën Poincaré-Bendixson, e cila thotë se në një rajon të kufizuar të hapësirës dydimensionale nuk mund të ekzistojë një rrjedhë kaotike. . Le t'i referohemi, për shembull, provë e rreptë të kësaj teoreme në monografi (Hirsch, Smale, 1965). Oriz. 60 tregon se vazhdimësia e vijave rrjedhëse dhe fakti që vija rrjedhëse e ndan rrafshin në dy pjesë e kufizojnë trajektoren aq fort saqë të vetmit tërheqës të mundshëm në rajonin e kufizuar janë ciklet kufitare dhe pikat fikse. Zgjidhja e këtij problemi është se grupi i pikave në të cilat tërhiqet trajektorja në sistemin e Lorencit (i ashtuquajturi tërheqës i Lorencit) ka një dimension Hausdorff që nuk është numër i plotë, por midis 2 dhe 3 ( vlerën e saktë Kjo natyrshëm çon në konceptin e një tërheqës të çuditshëm, i cili shfaqet në një shumëllojshmëri fizike sistemet jolineare.

Një tërheqës i çuditshëm ka vetitë e mëposhtme(Përkufizimi zyrtar mund të gjendet në artikujt e rishikimit (Eckmann, 1981; Ruelle, 1980):

a) është një tërheqës, d.m.th. zë një zonë të kufizuar të hapësirës fazore në të cilën, pas një

Oriz. 60. Vetë-kapja e një linje rrjedhëse në një zonë të kufizuar në një aeroplan. Divergjenca eksponenciale e trajektoreve bie në kundërshtim me vazhdimësinë (shënim drejtime të kundërta qitës).

intervali kohor, tërhiqen të gjitha trajektoret mjaft të afërta nga i ashtuquajturi rajon tërheqës. Vini re se zona e tërheqjes mund të jetë shumë strukturë komplekse(shih Fig. Seksionin 5.7). Për më tepër, vetë tërheqësi përbëhet nga një trajektore e vetme, d.m.th., trajektorja duhet të kalojë nëpër secilën pikë të tërheqësit me kalimin e kohës. Një grup pikash fikse të izoluara nuk është një tërheqës i vetëm;

b) vetia që e bën tërheqësin të çuditshëm është ndjeshmëria ndaj kushteve fillestare, d.m.th., pavarësisht nga ngjeshja në vëllim, nuk ka zvogëlim të gjatësisë në të gjitha drejtimet dhe distancën midis pikave fillimisht arbitrarisht të afërta në tërheqës deri në mjaftueshëm kohë e madhe bëhen përfundimtare. Siç do të tregohet në pjesën tjetër, kjo çon në entropinë pozitive Kolmogorov;

c) për të përshkruar një sistem fizik, tërheqësi duhet të jetë strukturor i qëndrueshëm dhe tipik. Me fjalë të tjera, ndryshime të vogla në parametrin në F (shih (5.1)) ndryshojnë strukturën e tërheqësit në mënyrë të vazhdueshme (ne do ta karakterizojmë strukturën më tej në më shumë detaje; tani nënkuptojmë, për shembull, dimensionin Hausdorff të tërheqës) dhe grupi i parametrave për të cilët gjeneron (5.1). tërheqës i çuditshëm, nuk duhet të jetë një grup i masës 0 - përndryshe tërheqësi nuk është tipik dhe fizikisht i rëndësishëm.

Të gjithë tërheqësit e çuditshëm të zbuluar deri më sot kanë një dimension të pjesshëm Hausdorff. Meqenëse nuk ka një përkufizim zyrtar përgjithësisht të pranuar për një tërheqës të çuditshëm (Ruelle, 1980; Mandelbrot, 1982), nuk është ende e qartë nëse fraksionaliteti i dimensionit Hausdorff rrjedh gjithmonë nga vetitë "a" - "b" ose është gjithashtu i nevojshëm. për një tërheqës të çuditshëm.

Në mënyrë tipike, një tërheqës i çuditshëm ndodh kur një rrjedhë fazore ngjesh një vëllim elementar në disa drejtime dhe e shtrin atë në të tjera. Për të qëndruar në një zonë të kufizuar, vëllimi elementar paloset njëkohësisht. Ky proces i shtrirjes dhe palosjes shkakton lëvizje kaotike të trajektores në një tërheqës të çuditshëm, të ngjashëm me atë që ishte në rastin e hartave lineare pjesë-pjesë (Kapitulli 2).

Meqenëse përkufizimi i mësipërm përshkruan vetitë e një grupi pikash, koncepti i një tërheqës të çuditshëm nuk kufizohet vetëm në flukse: hartëzimi shpërhapës mund të gjenerojë gjithashtu tërheqës të çuditshëm. Ekrani

quhet disipative nëse çon në ngjeshjen e vëllimit në hapësirën fazore, d.m.th. nëse moduli i Jacobian J, me të cilin vëllimi elementar shumëzohet pas përsëritjes, është më i vogël se 1:

Teorema Poincaré-Bendixson, e cila kufizon dimensionin e tërheqësve të çuditshëm të krijuar nga flukset në vlera më të mëdha se dy, nuk është e vlefshme për hartëzimin. Kjo për faktin se pasqyrat gjenerojnë pika diskrete dhe kufizimet që lidhen me vazhdimësinë janë hequr. Kështu, hartëzimi shpërhapës mund të çojë në tërheqës të çuditshëm, dimensioni i të cilëve është më pak se 2.

Për ilustrim, le të shqyrtojmë dy shembuj, të cilët, për shkak të dimensionit të tyre më të vogël, janë më të lehta për t'u vizualizuar sesa tërheqësi i Lorencit.

Transformimi i Baker-it. Në Fig. 61 treguar konvertim normal bukëpjekësi - harta që ruan zonën (që të kujton veprimet e një bukëpjekës që hap brumin) dhe transformimi i furrës shpërhapëse që nuk ruan sipërfaqen. Matematikore

Oriz. 61. a - Shndërrimi i bukëpjekësit; b - transformimi shpërhapës i bukëpjekësit.

shprehje për këtë të fundit

ku a është një transformim që çon në një zhvendosje të Bernulit. Eksponenti i tij Lyapunov (në x) që çon në ndjeshmëri ndaj kushteve fillestare; objekti që rezulton nga ekspozimi i përsëritur i një katrori njësi në këtë hartë është një tërheqës i çuditshëm. Ky tërheqës është një sekuencë e pafundme vijash horizontale dhe zona e tij e tërheqjes përfshin të gjitha pikat e katrorit të njësisë. Eksponenti Lyapunov në një drejtim dhe në këtë drejtim shkallët zvogëlohen në atë mënyrë që rezultat i përgjithshëm(shtrirja përgjatë dhe ngjeshja përgjatë ) është zvogëlimi i volumit të kërkuar për hartëzimin disipativ.

Dimensioni Hausdorff DB i një tërheqësi të çuditshëm mund të llogaritet si më poshtë. Në drejtim, tërheqësi është thjesht njëdimensional (si hartëzimi) në kapitull. 2). Dimensioni Hausdorff në drejtimin y rrjedh nga përkufizimi

dhe nga vetëngjashmëria vertikale e tërheqësit (Fig. 61, b). Kjo jep

Oriz. 63. a - Imazhi i tërheqësit Henon, i ndërtuar nga 104 pika. Disa pika të njëpasnjëshme janë të numëruara për të ilustruar lëvizjen endacake në tërheqës; b, c - imazhe të zmadhuara të katrorëve nga figurat e mëparshme; g - lartësia e secilës kolonë - probabiliteti relativ zbulimi i një pike në një nga gjashtë fletët e vizatimit të mëparshëm (Farmer, 1982a, b).

struktura tërheqëse. Dimensioni Hausdorff i tërheqësit Henon!) për . Ky rezultat u përftua duke mbivendosur një rrjet katror me një qelizë në planin e ekranit dhe duke numëruar numrin e katrorëve të zënë nga pikat dhe llogaritja!) Nëse në Fig. 63, rezolucioni ju lejon të shihni gjashtë "fletë", atëherë probabiliteti relativ për secilën fletë mund të vlerësohet thjesht duke numëruar numrin e pikave në të. Lartësia e secilës kolonë në Fig. 63, r është probabiliteti relativ dhe gjerësia është trashësia e fletës përkatëse.

Lartësi të ndryshme kolonash në Fig. 63d tregojnë se tërheqësi Henon është johomogjen. Ky heterogjenitet nuk mund të përshkruhet nga një dimension i vetëm Hausdorff, kështu që në vijim do të prezantojmë një grup të pafund dimensionesh që karakterizojnë strukturën statike (d.m.th., shpërndarja e pikave)

tërheqës. Sidoqoftë, përpara se ta bëni këtë, është e dobishme të diskutoni entropinë Kolmogorov, e cila përshkruan sjelljen dinamike në një tërheqës të çuditshëm.

Qasja sistemore në gjeografi: shfaqja dhe izomorfizmi strukturor.

Shfaqja (shfaqja angleze - shfaqja, shfaqja e një të re) në teorinë e sistemeve - prania e çdo sistemi veti të veçanta, jo e natyrshme në nënsistemet dhe blloqet e tij, si dhe shuma e elementeve që nuk lidhen me lidhje të veçanta sistem-formuese; pakësueshmëria e vetive të një sistemi në shumën e vetive të përbërësve të tij; sinonim - "efekt sistemi".

Në biologji dhe ekologji, koncepti i shfaqjes mund të shprehet si më poshtë: një pemë nuk është një pyll, një grup qelizash individuale nuk është një organizëm. Për shembull, vetitë e një specie biologjike ose popullata biologjike nuk përfaqësojnë vetitë e individëve individualë, konceptet e fertilitetit dhe vdekshmërisë nuk janë të zbatueshme për një individ, por janë të zbatueshme për një popullatë ose specie në tërësi.

Në shkencën evolucionare shprehet si shfaqja e njësive të reja funksionale të sistemit, të cilat nuk reduktohen në rirregullime të thjeshta të elementeve ekzistuese.

Në shkencën e tokës: një veti emergjente e tokës është pjelloria.

Në klasifikimin e sistemeve, emergjenca mund të jetë baza e taksonomisë së tyre si tipar kriter i sistemit.

ideja e izomorfizmit strukturor - identiteti i strukturës pa identitetin e elementeve të përmbajtjes - e cila u përhap në gjeografi në fund të viteve '60 - në fillim të viteve '70. shekulli XX në sfondin e procesionit të fitores qasje sistematike. Aftësia për të përdorur të njëjtin aparat konceptual dhe matematikor, për shembull, për të përshkruar gjarpërimin e një lumi dhe ndryshimet në gjurmën e një autostrade federale në SHBA (në rastin e fundit ka gjithashtu një përparim të boshteve të veçanta të shtratit të lumit, të cilat u ngritën për shkak të shumë më tepër kosto e lartë toka pranë autostradës ekzistuese - shih librin e V. Bunge) është shumë e dobishme në aspektin praktik dhe tërheqëse në aspektin teorik.

Një nga idetë kryesore të lëshuara në 1962. libra nga V. Bunge " Gjeografia teorike"(Përkthimi rusisht i botuar në 1967), ekzistonte pikërisht ideja e izomorfizmit strukturor, i kuptuar si identiteti i metodave të organizimit hapësinor të fenomeneve gjeografike të natyrës më të larmishme, të studiuara si gjeografia fizike, dhe socio-ekonomike. Bunge huazoi me guxim ide nga gjeomorfologjia dhe i zbatoi ato në përshkrimin e fenomeneve socio-gjeografike. Është bërë një krahasim tekstual mes gjarpërimit të lumit dhe ndryshimit të trasesë së autostradës federale, e cila gjithashtu detyrohet të kapërcejë “bezdisjet lumë-lum” të çmimeve të larta të tokës.

Modelet më të zakonshme të këtij lloji duhet të konsiderohen modelet gravitacionale dhe të entropisë. Të gjitha këto modele janë huazime nga degë të ndryshme të fizikës – qoftë kjo mekanika klasike ose termodinamika - me qëllim të përdorimit të mjeteve matematikore, për shembull, për të modeluar flukset e pasagjerëve ndërmjet qyteteve në varësi të masave të tyre demografike. Është e qartë se përdorimi i modeleve të tilla kërkon kalibrimin e tyre - zgjedhjen e vlerave konstante bazuar në materialin më të gjerë empirik të mundshëm dhe vlera e tyre parashikuese për këtë rrethanë nuk është e pakushtëzuar.

Koncepti i një tërheqës. Tërheqës të çuditshëm.

Një tërheqës (anglisht tërheq - tërheq, tërheq) është një grup gjendjesh (më saktë, pika të hapësirës fazore) të një sistemi dinamik, drejt të cilit ai priret me kalimin e kohës. Kështu, versionet më të thjeshta të një tërheqës janë një pikë fikse tërheqëse (për shembull, në problemin e një lavjerrës me fërkim ajri) dhe një trajektore periodike (për shembull, lëkundjet vetë-eksituese në një qark me reagime pozitive), por ka edhe shembuj shumë më të ndërlikuar.

Ekzistojnë formalizime të ndryshme të konceptit të aspiratës, gjë që çon në përkufizime të ndryshme të një tërheqëse, të cilat, në përputhje me rrethanat, përcaktojnë grupe potencialisht të ndryshme (shpesh të mbivendosur brenda njëri-tjetrit). Përkufizimet më të përdorura janë tërheqësi maksimal (shpesh në lagjen e tij të vogël, shih më poshtë), tërheqësi Milnor dhe grupi jo endacak.

Tërheqësit klasifikohen sipas:

Formalizimet e konceptit të aspiratës: dalloni midis një tërheqës maksimal, një grupi jo endacak, një tërheqës Milnor, një qendër Birkhoff, një tërheqës statistikor dhe një tërheqës minimal.

Rregullsitë e vetë tërheqësit: tërheqësit ndahen në të rregullt (tërheqës të pikës fikse, trajektore periodike tërheqëse, shumëfish) dhe të çuditshëm (të parregullt - shpesh fraktalë dhe/ose në disa seksione të rregulluar si Set Cantor; dinamika në to është zakonisht kaotike).

Lokaliteti ("tërheqës") dhe globaliteti (këtu termi "minimal" do të thotë "i pandashëm").

Revolucioni sinergjik çoi në ndryshime të thella në botëkuptimin shkencor, para së gjithash, në vendosjen e një shpjegimi finalist (teleologjik) të barabartë me atë shkakor, i cili ekzistonte vetëm në shkencë përpara krijimit të mekanika kuantike. Megjithatë, atëherë shembja e kauzalitetit preku vetëm fenomenet e mikrobotës, një zonë pafundësisht larg përditshmërisë sonë. Revolucioni sinergjik çoi në shtrirjen e shpjegimit finalist në studimin e disa fenomeneve të mesoworld, d.m.th. bota në të cilën jetojmë dhe e cila është e arritshme për ne përvojë e përditshme. Në të njëjtën kohë, është shumë e vështirë për ne të mësohemi me idenë se rrjedha e disa proceseve nuk përcaktohet nga kushtet fillestare, d.m.th. shkaku, por gjendja përfundimtare për të cilën ata përpiqen. Kjo gjendje përfundimtare quhet tërheqës në sinergjik - zona e tërheqjes së procesit.

Një diskutim aktiv i ideve finaliste që vinin nga biologjia dhe kozmologjia bëri të mundur ndryshimin e klimës intelektuale në gjeografi, për të tronditur pikëpamjen e shpjegimit kauzal si i vetmi i mundshëm në shkencë në përgjithësi dhe në gjeografi në veçanti. Ky ndryshim në klimën intelektuale përgatiti rrugën për depërtimin e ideve të sinergjisë, duke përfshirë idenë e një tërheqës - zona e tërheqjes së procesit. Në vitet 60 të shekullit të njëzetë. Ideja e bashkëfinalitetit (barazisë) në zhvillimin e qyteteve gjigante është bërë e përhapur - këto qytete tregojnë pakrahasueshëm më shumë ngjashmëri me njëri-tjetrin sesa qytetet e vogla dhe të mesme nga të cilat u rritën. Analiza e zhvillimit të rrjeteve të transportit duke përdorur metodat e teorisë grafike ose analiza e zhvillimit të sistemeve të vendbanimeve urbane duke përdorur metodat e teorisë së vendeve qendrore janë gjithashtu shembuj të problemeve të pikërisht klasës ku idetë më të frytshme janë për përcaktimin e procesi nga gjendja përfundimtare, dhe jo kushtet fillestare, për dëshirën e tij për një tërheqës, i cili është një objekt ideal teori shkencore. Dhe nëse një tërheqës është i paarritshëm, kjo nuk do të thotë aspak se ai nuk ekziston.

Rëndësia për gjeografinë e konstrukteve teorike siç janë format e mundshme që përcaktojnë drejtimin e zhvillimit të organizmave individualë dhe evolucionin specie biologjike, ose simetria përfundimtare është shumë e madhe dhe nuk ka kaluar pa u vënë re. Analogjia me katalogun e formave të organizimit të qëndrueshëm territorial të shteteve, e cila në të vërtetë u zhvillua nga V.P.Semenov-Tyan-Shansky, dhe më herët se L.S. Berg botoi veprën e tij të famshme mbi nomogjenezën. Ju duhet të përqendroheni në ide më pak të dukshme. Këto janë, para së gjithash, idetë për kofinalitetin (ekuifinalitetin) në zhvillimin e qyteteve gjigante, të paraqitura nga P. Haggett në vitet '60. Qytetet e kësaj klase tregojnë ngjashmëri të pakrahasueshme më të mëdha me njëri-tjetrin sesa qytetet e vogla nga të cilat janë rritur. Të njëjtat tendenca mund të gjurmohen në zhvillimin e sistemeve të qytetit. Sistemet e vendeve qendrore (një qytet kuptohet si vend qendror sepse i sherben jo vetem popullsise se saj, por edhe popullsise se zones se saj, sa me i larte sa me i larte niveli i hierarkise se ciles i perket) ata gjithashtu perpiqen ne zhvillimin e tyre ne nje fare te caktuar. gjendje ekuilibri, të ashtuquajturat ekuilibri izostatik, i cili vepron në lidhje me to si një tërheqës - një zonë tërheqëse për procesin

Një shembull i një aplikimi jashtëzakonisht të frytshëm të aparatit të dinamikës jolineare dhe parimeve të tij ideologjike ishte zhvillimi teoria fenomenologjike rritja e popullsisë së Tokës nga S.P. Kapitsa, e cila ju lejon të bëni parashikime të ardhshme dhe retrospektive dhe u krahasua me sukses me realitetin empirik duke përdorur këtë të fundit. Përfundimi më i rëndësishëm në aspektin ideologjik është se rritja e popullsisë së Tokës nuk është rregulluar kurrë me veprim faktorët e jashtëm, dhe gjithmonë – sipas ligjeve të brendshme të panjohura. Ky pozicion u zyrtarizua nga krijuesi i teorisë si parimi i imperativit demografik.

Vështirësia themelore është se të gjitha teoritë që ne kemi në arsenalin tonë janë zhvilluar për të përshkruar proceset në një shoqëri "ekonomike", bazohen në një besim të palëkundur në ekuilibrin ekonomik si një tërheqës i të gjitha proceseve që ndodhin në ekonomi, dhe ne priremi të konsiderojmë kataklizmat sociale si shqetësime të jashtme që e çojnë sistemin nga një gjendje ekuilibri, në të cilën ai ende përpiqet të kthehet në rastin e parë. Ndërkohë, tashmë në shumë shkenca ekonomike Dyshimet për ekuilibrin ekonomik si gjendje “natyrore” apo “normale” e ekonomisë po bëhen gjithnjë e më të përhapura. Ato shprehen, në veçanti, nga një ekonomist dhe sociolog i tillë me ndikim si M. Castells. Teza e tij është se në një shoqëri informacioni (e njohur ndryshe si “post-ekonomike”). proceset ekonomike kanë jo vetëm një natyrë të ndryshme, por edhe një orientim të ndryshëm. Sipas tij, organizimi territorial i shoqërisë së informacionit, duke përfshirë organizimin e vendbanimeve, do të pësojë ndryshimet më të rëndësishme në krahasim me shoqërinë industriale.

Si rezultat, gjeografët do të duhet të merren pakrahasueshëm më shumë detyra komplekse sesa ato që kanë hasur më parë: mos kërkoni vetëm tërheqës, d.m.th. fushat e tërheqjes së proceseve që studiohen, dhe tërheqës të çuditshëm, të cilat janë zgjidhje komplekse jo periodike. Një detyrë të tillë vështirë se mund ta zgjidhin vetëm vetë gjeografët, pa bashkëpunim me fizikanët dhe matematikanët, të paktën derisa të rritet një brez gjeografësh, të cilët do të zotërojnë aparatin matematikor të sinergjetikës që në ditët e tyre studentore. Detyra jonë është të krijojmë një bazë konceptuale për një bashkëpunim të tillë duke zhvilluar teori operacionale që bëjnë të mundur aplikimin e parë të aparatit konceptual dhe më pas matematikor të sinergjetikës në zhvillimin e tyre.

TRAKTOR I çuditshëm

Një grup tërheqës trajektoresh të paqëndrueshme në hapësirën fazore të një disipative sistem dinamik. S. a., ndryshe nga një tërheqës, nuk është një shumëfish (d.m.th., nuk është një kurbë ose sipërfaqe); gjeomën e tij. pajisja është shumë komplekse dhe struktura e saj është fraktale (shih. Fraktale). Kjo është arsyeja pse ai mori emrin. "e çuditshme" [D. Ruelle (D.Ruelle), F. Takens (F. Takens)]. Fakti që të gjitha trajektoret e vendosura në afërsi të SA tërhiqen nga ajo në , lidhet thelbësisht me natyrën e paqëndrueshmërive të trajektoreve përbërëse të tij (bifurkacioni, cikli kufi). TrajektoretS. A. të përshkruajë stokastikë stacionare. vetëlëkundjet, mbështetur sistemi disipativ për shkak të energjisë së jashtme. burimi. S. a. karakteristike vetëm për vetëlëkundjet. sisteme, dimensioni i hapësirës fazore të të cilave është më shumë se dy (Fig. 1). Sistemi i parë i studiuar me S. a.- Sistemi Lorentz- tredimensionale.

Oriz. 1. Një tërheqës i çuditshëm në një sistem të përshkruar nga ekuacionet e tipit (1).

Sistemet me periodike vetëlëkundjet, matematika. Imazhi i të cilit është një cikël kufi mund të studiohet plotësisht duke përdorur metodat e teorisë cilësore të diferencialeve. ur. Ndërtimi i teorisë luhatjet stokastike, që konsiston në veçanti në përcaktimin (parashikimin) e karakteristikave të vetive të S. a. duke pasur parasysh parametrat e sistemit, është jashtëzakonisht e vështirë edhe për sistemet tredimensionale. Një ndërtim i ngjashëm mund të kryhet, megjithatë, Shembull. Ashtu si gjeneratori van der Pol është kanoniku më i thjeshtë. shembull i një sistemi që demonstron periodicitet. vetë-lëkundjet, skema 2a dhe përcaktimi i një gjeneratori disi të komplikuar Van der Pol, mund të shërbejnë si një nga shembujt më të thjeshtë të gjeneratorëve stokastikë. b. Ndërsa rryma I në qark dhe tension të rrjetit . janë të vogla, dioda e tunelit nuk ka efekt. ndikimi në lëkundjet në qark, dhe ato, si në një gjenerator konvencional të tubave, rriten. Në këtë rast, rryma rrjedh nëpër diodën e tunelit I, dhe voltazhi në të përcaktohet nga dega e karakteristikës I (V). Kur është rryma I arrin vlerën Unë t, ndodh ndërrimi pothuajse i menjëhershëm i diodës së tunelit (shpejtësia e ndërrimit shoqërohet me kapacitetin e vogël C 1) - tensioni vendoset papritur Vm. Pastaj rryma përmes diodës së tunelit zvogëlohet dhe ajo kthehet nga seksioni në. Si rezultat i dy ndërrimeve, dioda e tunelit pothuajse plotësisht thith energjinë që hyn në qark dhe lëkundjet fillojnë të rriten përsëri. (Kur merret parasysh funksionimi i qarkut, karakteristika e llambës mund të konsiderohet lineare; kjo justifikohet me faktin se në modalitetin e interesit për ne, lëkundjet kufizohen nga karakteristika jolineare e diodës së tunelit.) Kështu, sinjalin e gjeneruar U(t) është një sekuencë e trenave të lëkundjeve në rritje, fundi i çdo treni karakterizohet nga një kërcim i tensionit V(t).

Oriz. 2. Diagrami skematik (a) i një gjeneratori të thjeshtë zhurmash - një oshilator Van der Pol, në qarkun e rrjetit të të cilit shtohet një diodë tuneli. Karakteristika e tensionit aktual (b) të një elementi jolinear - një diodë tuneli.

Për përshkrim sasior funksionimi i qarkut, nivelet fillestare

konvertohet në formë pa dimension:

Ku x = I/I m, z= V/V m ,

- karakteristikë e normalizuar e diodës. Këtu është një parametër i vogël Prandaj, të gjitha lëvizjet në hapësirën fazore (Fig. 3).

Oriz. 3. Sjellja e trajektoreve në hapësirën fazore të sistemit (1) në

mund të ndahet në ndërrim të shpejtë të diodës (direkt x = konst, y = konst) dhe i ngadaltë, në të cilin voltazhi në diodë "ndjek" rrjedhën; trajektoret përkatëse shtrihen në sipërfaqe A Dhe B[x = f(z), f"(z) >0], që korrespondon me zonat dhe karakteristikat e Diodës.

Sistemi ka një gjendje të paqëndrueshme [në] ekuilibër x = y = z= 0 lloj shale. Trajektoret që shtrihen në sipërfaqe A, rrotullohuni rreth një fokusi të paqëndrueshëm dhe përfundimisht arrini skajin e sipërfaqes A. Këtu ka një ndërprerje të një pike që shfaq gjendjen e sistemit në trajektoren e fazës (e ashtuquajtura pika përfaqësuese) përgjatë vijës së lëvizjeve të shpejta në sipërfaqe NË. Duke ecur nëpër NE, pika përfaqësuese bie përsëri në sipërfaqe A dhe bie në afërsi të gjendjes së ekuilibrit - fillon një tren i ri i lëkundjeve në rritje. Harta Poincare që korrespondon me ekuacionet (1), pjesë-pjesë, mund të përshkruhet nga një funksion i vazhdueshëm, grafiku i të cilit është paraqitur në Fig. 5. Seksioni linear I me koeficient. një kënd i prirjes më i madh se një përshkruan zbërthimin e trajektores në sipërfaqen e lëvizjeve të ngadalta A, që i përgjigjet rritjes së lëkundjeve në qark. Seksioni II përshkruan fazën e kthimit të trajektoreve A në sipërfaqe NE, përsëri në A(shih Fig. 3). Të gjitha trajektoret që shtrihen jashtë bazës së sheshit të treguar nga vija me pika hyjnë në të në vlera asimptotike të mëdha kohore, d.m.th. D- absorbues dhe përmban një tërheqës. Të gjitha trajektoret brenda këtij rajoni janë të paqëndrueshme, domethënë tërheqësi është i çuditshëm. ruhen vetitë e lëvizjeve stokastike (siç tregohet nga studimet numerike).

Oriz. 4. Spektri i fuqisë së sinjalit të gjeneruar nga qarku i paraqitur në Fig. 2a, dhe një oshilogram i këtij sinjali.

Oriz. 5. Grafiku i funksionit f(x) që përshkruan dinamikën e qarkut në Fig. 2 në.

Dimensioni fraktal. E gjithë shumëllojshmëria e statistikave vetitë e një sinjali të rastësishëm të gjeneruar nga një dinamikë sistemi me S. a., mund të përshkruhet nëse dihet shpërndarja e probabilitetit të gjendjeve të sistemit. Sidoqoftë, është jashtëzakonisht e vështirë të merret (dhe të përdoret) kjo shpërndarje për sisteme specifike me një masë probabiliteti (nëse vetëm sepse dendësia e shpërndarjes së një mase probabiliteti të pandryshueshëm është gjithmonë njëjës). Kjo është një nga arsyet e prerjes për përshkrimin e S. a.

ku , një parametër i caktuar fiks, është një numër n-sferat dimensionale me diametër që mbulojnë S. a. dinamike sistemet me n-hapësirë ​​fazore dimensionale.

Dimensioni i përcaktuar sipas ekuacionit (2) Me nuk mund të qartë n, por mund të jetë më pak n(n-topat dimensionale mund të rezultojnë të jenë pothuajse bosh). Për grupe "të zakonshme", ekuacioni (2) jep rezultate të dukshme. Pra, për shumë prej k pikë ,; për një segment gjatësi L zambak i drejtë,;për një copë katror S sipërfaqe dydimensionale etj. Pabarazia e dimensionit me një numër të plotë korrespondon me një gjeom kompleks. 2.6).

Me fizike këndvështrimi, kryesor “dinjiteti” i dimensionit fraktal të S. a. dhe numri i shkallëve të lirisë ha ka formën:

Bifurkacionet tërheqës të çuditshëm. Rrugët e lindjes stokastike. Script Feigenbaum - zinxhir bifurkacionet duke dyfishuar periudhën e një cikli të qëndrueshëm kufi. Nëse gjatë ndryshimit të parametrit të kontrollit periodik Në hapësirën fazore n-dimensionale, sjellja e trajektoreve të hartës Poincare në afërsi të periudhës së dyfishimit të ciklit kufitar që i nënshtrohet bifurkacionit përcaktohet nga funksioni, për shembull, f (x), Grafiku është i ngjashëm me një parabolë. Ky funksion përshkruan marrëdhëniet ndërmjet koordinatave në drejtimin e tyre. nënhapësira e operatorit të linearizimit të hartës Poincare që korrespondon me shumëzuesin (-1) ( j+ 1) kryqëzimet j-të të sistemit sekant të Poincare sipas trajektores: x j+1= f(x j). Cikli kufi i qëndrueshëm që rezulton i një periudhe të dyfishtë korrespondon me një cikël me dy periudha. rrugën e shfaqjes f.Me ndryshime të mëtejshme në parametrin e bifurkacionit, dyfishimi i periudhës përsëritet pafundësisht, dhe bifurkacioni. vlerat, për shembull, grumbullohen në kritike. pika që korrespondon me shfaqjen e S. a. Në përputhje me skenarin e Feigenbaum, ekziston një ligj universal (i pavarur nga një sistem specifik).

ku = 4,6692... - konstante universale Feigenbaum (shih universaliteti Feigenbaum).

I lindur S.a. kur rregullohet, disa përgjigje. intervale në bosht X; zonat ndërmjet këtyre intervaleve përmbajnë trajektore të tërhequra nga tërheqësi, si dhe 2 m- periodike (në lidhje me shfaqjen f), cikle limit të paqëndrueshme duke filluar nga disa m 0 dhe më pak. Ndërsa parametri rritet, shpejtësia me të cilën trajektoret ndryshojnë në rreshtin verior. rritet, dhe ajo "fryhet", duke thithur në mënyrë të njëpasnjëshme cikle kufitare të paqëndrueshme të periudhave 2 t+1,2 t, ... Në këtë rast, numri i segmenteve që i korrespondojnë tërheqësit është

Oriz. 6. "Bifurkacionet e kundërta" të dyfishimit të periodave, duke ilustruar fryrjen e tërheqës që u ngrit sipas skenarit të Feigenbaum.

Ndërprerje. Në shumës sistemet kur një parametër kontrolli (të themi) kalon përmes një bifurkacioni. kalimi i vlerës në stokastik. vetëlëkundjet realizohen nga jashtë si shkelje e rrallë e lëkundjeve të rregullta “stokastike”. shpërthen." Në këtë rast, kohëzgjatja e fazës laminare (e rregullt) është më e gjatë, sa më e ulët të jetë superkriticiteti, me një rritje të superkriticitetit, kohëzgjatja e fazës së rregullt zvogëlohet. Kjo foto interpretohet nga evolucioni vijues i kryesorit. objektet në hapësirën fazore, ata "vënë re" se tërheqësi i vjetër është zhdukur dhe, duke mbetur pranë ndarjes (gjithashtu të zhdukur) të ciklit kufitar të shalës, ata shkojnë në një pjesë tjetër të hapësirës fazore. Nëse në nënkritike rajoni, sistemi ishte globalisht i qëndrueshëm (d.m.th., kishte vetëm një objekt tërheqës), atëherë këto trajektore pas njëfarë kohe bien përsëri në afërsi të ciklit kufitar të zhdukur. Nëse në të njëjtën kohë në nënkritike. Gama e vlerave të parametrave të ndarjes së ciklit të shalës ishte ngulitur në hapësirën fazore të një gjeometrie mjaft komplekse. mënyrë (formuar numër i pafund palosjet - "të valëzuara", përmbanin heteroklinik. trajektoret e cikleve të tjera të shalës, etj.), domethënë, procesi i tranzicionit demonstroi sjellje të parregullt, atëherë koha e hyrjes në afërsi të ciklit të zhdukur do të jetë tashmë një ndryshore e rastësishme. Më pas, faza laminare përsëritet Përveç këtyre mënyrave kryesore të shfaqjes së S. a. Shumë shpesh ka edhe kalime në kaotike. vetëlëkundjet përmes shkatërrimit të atyre kuaziperiodike (në hapësirën fazore, kur ndryshojnë parametrat e kontrollit, torusi dydimensional tërheqës humbet butësinë dhe shembet) dhe skenarë të kombinuar.

Shumëdimensionale tërheqës të çuditshëm gjenden shpesh në sisteme me një numër të madh të shkallëve të lirisë. Ndër mekanizmat e mundshëm, Turbulenca).

Lit.: 1) Rabinovich M.I., Trubetskov D.I., Hyrje në teorinë e lëkundjeve dhe valëve, M., 1984; 2) Lichtenberg A., Liberman M., Regular isochastic dynamics, trans. nga anglishtja, M., 1984; 3) Afraimovich V.S., Reiman A. M., Dimensioni dhe entropia në sistemet shumëdimensionale, në librin: Valët jolineare. Dinamika dhe evolucioni, ed. A. V. Gaponova-Grekhov, M. I. Rabinovich, V. S. Afraimovich, M.

• - endet, në një vend të huaj...

  E shkurtër Fjalor kishtar sllav

• - shih Sinergetika...

  I madh enciklopedi psikologjike

• - i çuditshëm st.-sllav. i çuditshëm ξένος. Nga të mëparshmet...

  Fjalori etimologjik i Vasmerit

• - Huazim nga sllavishtja e vjetër kishtare, ku është formuar nga vendi, që kishte në Gjuha e vjetër ruse do të thotë "vend i huaj, njerëz të huaj" ...

  Fjalori etimologjik i gjuhës ruse nga Krylov

• - A/C pr shih _Shtojca II Vendet e çuditshme e çuditshme e huaj se 259 cm _Shtojca II - Pse flisni kaq keq për të? A është për shkak se ne rrafshojmë dhe gjykojmë çdo gjë pa pushim...>...

  Fjalor i thekseve ruse

• - kr.f. rr/nen, strana/, rr/no, rr/nny...

  Fjalori drejtshkrimor i gjuhës ruse

• - E çuditshme, oh, oh; -anen, -anna, -anno. E pazakontë, e pakuptueshme, duke shkaktuar hutim. C. personazhi. S. spp. Sjellja e tij është e çuditshme për mua. Është e çuditshme që ai nuk telefonon ...

  fjalor Ozhegova

• - E çuditshme, e çuditshme, e çuditshme; e çuditshme, e çuditshme, e çuditshme. 1. E pazakontë, e vështirë për t'u shpjeguar, që shkakton konfuzion. Mënyra e çuditshme e të folurit. Pamje të çuditshme. “Takimet e heshtura ishin të çuditshme...

  Fjalori shpjegues i Ushakovit

• Fjalor shpjegues i Efremovës

• - e çuditshme mbiem. E pazakontë, duke shkaktuar konfuzion. II mbiemër. i vjetëruar Në rrugë; endacak, i çuditshëm...

  Fjalor shpjegues i Efremovës

• - mbiemër i çuditshëm, i përdorur. shumë shpesh Morfologjia: e çuditshme, e çuditshme, e çuditshme, e çuditshme; më i çuditshëm; adv. e çuditshme 1...

  Fjalori shpjegues i Dmitriev

• - forma e çuditshme - "anen, -ann"a, -"...

  Fjalori drejtshkrimor rus

• - Huamarrja. nga Art.-Sl. gjuha Suf. derivat nga vendi në kuptimin e "vendit të huaj, njerëzve", në rusisht të tjera. gjuha ky kuptim është ende i njohur. Fillimisht - "i huaj", "i huaj", pastaj - "i jashtëzakonshëm, i pakuptueshëm, ..."

  Fjalori etimologjik i gjuhës ruse

• - @font-face (font-familje: "ChurchArial"; src: url;) shtrirje (madhësia e shkronjave: 17 px; pesha e shkronjave: normale !important; font-familja: "ChurchArial",Arial,Serif;)   adj. - endacak, endacak; i huaj, i huaj; e mahnitshme...

  Fjalori i gjuhës sllave kishtare

• - ...

  Format e fjalëve

• - periudha...

  Fjalor sinonimish

"TËRHEQJA E çuditshme" në libra

Shije e çuditshme

Shije e çuditshme