Konsideroni lidhjen midis karakterit funksioni i korrelacionit dhe strukturën e procesit të rastësishëm përkatës.

Ne do të përdorim konceptin e "spektrit", i cili përdoret gjerësisht jo vetëm në teorinë e funksioneve të rastit, por edhe në fizikë dhe teknologji. Nëse ndonjë proces oscilues përfaqësohet si një shumë e lëkundjeve harmonike të frekuencave të ndryshme (të ashtuquajturat "harmonikë"), atëherë spektri procesi oscilues quhet një funksion që përshkruan shpërndarjen e amplitudave në frekuenca të ndryshme. Spektri tregon se çfarë lloj lëkundjesh mbizotërojnë në një proces të caktuar, çfarë është ai strukturën e brendshme. Ne do të prezantojmë përshkrimin spektral të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm në një mënyrë të ngjashme.

Së pari, merrni parasysh disa funksione të rastësishme të palëvizshme të vëzhguara në një interval të fundëm (0, T). Le të jepet funksioni i korrelacionit funksion i rastësishëm X(t)

K x(t, t + τ ) = k x(τ ).

Ne e dimë atë k x(τ ) është një funksion çift, kështu që grafiku i tij është simetrik në lidhje me boshtin 0Y kurbë.

Kur ndryshoni t 1 dhe t 2 nga 0 në T argument τ ndryshon nga - T te T.

Dihet se një funksion i barabartë në intervalin (- T, T) mund të zgjerohet në një seri Fourier duke përdorur vetëm harmonikë çift (kosinus):

k x(τ ) = ,

ωk= kω 1 , ω 1 = ,

dhe koeficientët Dk të përcaktuara me formula

D 0 = ,

Dk = në k ≠ 0.

Duke pasur parasysh se funksionet k x(τ ) dhe cos ωk(τ ) janë çift, ju mund t'i transformoni shprehjet për koeficientët si më poshtë:

Dk = në k ≠ 0.

Mund të tregohet se në një shënim të tillë një funksion i rastësishëm mund të përfaqësohet si një zgjerim kanonik:

= , (2)

Ku MB, Vk– variabla të rastësishme të pakorreluara me pritjet matematikore, e barabartë me zero, dhe variancat që janë të njëjta për çdo çift variablat e rastësishëm me të njëjtin indeks k: D(MB) = D(Vk) =Dk, dhe variancat Dk përcaktohen me formula (1).

Zgjerimi (2) quhet zbërthimi spektral funksion i rastësishëm i palëvizshëm.

Zbërthimi spektral përshkruan një funksion të rastësishëm të palëvizshëm të zbërthyer në lëkundje harmonike të frekuencave të ndryshme ω 1 , ω 2 , …, ω k , …, dhe amplituda e këtyre lëkundjeve janë variabla të rastësishme.

Varianca e funksionit të rastësishëm të dhënë me zbërthimin spektral (2) përcaktohet nga formula

Dx = = = , (3)

ato. varianca e një funksioni të rastësishëm të palëvizshëm është e barabartë me shumën e variancave të të gjitha harmonive të zbërthimit spektral të tij.

Formula (3) tregon se varianca e funksionit shpërndahet në një mënyrë të njohur në frekuenca të ndryshme: një frekuencë korrespondon me b. O varianca më të mëdha, të tjera – m e ato më të vogla. Shpërndarja e dispersionit të frekuencës mund të ilustrohet grafikisht në formën e të ashtuquajturës spektri i dispersionit . Për ta bërë këtë, frekuencat vizatohen përgjatë boshtit të abshisës. ω 0 = 0, ω 1 , ω 2 , …, ω k , … dhe përgjatë boshtit të ordinatave – dispersionet përkatëse.

Natyrisht, shuma e të gjitha ordinatave të spektrit të ndërtuara në këtë mënyrë është e barabartë me variancën e funksionit të rastit.

Është e qartë se sa më e madhe të jetë periudha kohore që kemi parasysh kur ndërtojmë zbërthimin spektral, aq më i plotë do të jetë informacioni ynë për funksionin e rastësishëm. Prandaj, është e natyrshme të përpiqemi në zbërthimin spektral të përpiqemi të shkojmë në kufirin në T→ ∞ dhe shikoni se në çfarë shndërrohet spektri i funksionit të rastit. Në T → ∞ ω 1 = , pra distancat midis frekuencave ωk, do të ulet pafundësisht. Në këtë rast, spektri diskret do t'i afrohet një spektri të vazhdueshëm, në të cilin çdo interval i vogël arbitrar i frekuencës do të korrespondojë me një shpërndarje elementare.

Le të përshkruajmë grafikisht spektrin e vazhdueshëm. Për ta bërë këtë, ne do të vizatojmë në boshtin e ordinatave dhe jo në vetë dispersionin Dk, A dendësia mesatare e dispersionit, d.m.th. dispersion për njësi gjatësi të një intervali të caktuar të frekuencës. Le të shënojmë distancën midis frekuencave ngjitur ∆ω , dhe në çdo segment ∆ω , si në bazë, do të ndërtojmë një drejtkëndësh me sipërfaqe Dk. Ne marrim një tabelë hapash që në parim i ngjan një histogrami të një shpërndarjeje statistikore.

Kjo kurbë përshkruan densitetin e shpërndarjes së dispersioneve mbi frekuencat e një spektri të vazhdueshëm dhe vetë funksionin Sx(ω ) quhet dendësia e dispersionit spektral ose dendësia spektrale funksion i rastësishëm i palëvizshëm.

Natyrisht, zona e mbyllur nga kurba Sx(ω ), duhet të jetë ende e barabartë me variancën Dx funksion i rastësishëm:

Dx = . (4).

Formula (4) është zgjerimi i variancës Dx për shumën e termave elementare Sx(ω )dω, secila prej të cilave përfaqëson shpërndarjen për diapazonin elementar të frekuencës dω, ngjitur me pikën ω .

Kështu, është prezantuar një karakteristikë e re shtesë e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm - densiteti spektral, i cili përshkruan përbërjen e frekuencës proces i palëvizshëm. Sidoqoftë, nuk është i pavarur - përcaktohet plotësisht nga funksioni i korrelacionit këtë proces. Formula përkatëse, që vjen nga zgjerimi i funksionit të korrelacionit k x(τ ) në një seri Furier në një interval të fundëm, duket kështu:

Sx(ω ) = . (5)

Në këtë rast, vetë funksioni i korrelacionit mund të shprehet gjithashtu përmes dendësia spektrale:

k x(τ ) = . (6)

Formulat si (5) dhe (6), që lidhin dy funksione reciprokisht, quhen Transformimet e Furierit.

Vini re se nga formulë e përgjithshme(6) në τ = 0, fitohet zbërthimi i variancës (4) i marrë më parë.

Në praktikë, në vend të densitetit spektral Sx(ω ) shpesh përdorin densitetin spektral të normalizuar:

s x(ω ) = ,

Ku Dxështë varianca e funksionit të rastit.

Është e lehtë të verifikohet se funksioni i korrelacionit të normalizuar ρ X ( τ ) dhe dendësia spektrale e normalizuar s x(ω ) lidhen me transformimet e Furierit:

ρ X ( τ ) = ,

s x(ω ) = .

Duke supozuar në të parën nga këto barazi τ = 0 dhe duke pasur parasysh se ρ x (0) = 1, kemi

ato. sipërfaqe totale, i kufizuar nga orari Dendësia spektrale e normalizuar është e barabartë me 1.

§ 7. Vetia ergodike e funksioneve të rastit stacionare.

Konsideroni disa funksione të rastësishme të palëvizshme X(t) dhe supozojmë se është e nevojshme të vlerësohen karakteristikat e tij: pritshmëria matematikore m x dhe funksioni i korrelacionit k x(τ ). Këto karakteristika, ose më mirë, vlerësimet e tyre dhe, siç u përmend tashmë, mund të merren nga përvoja, duke pasur numër i njohur zbatimet e funksioneve të rastësishme X(t). Për shkak të numrit të kufizuar të vëzhgimeve, funksioni nuk do të jetë rreptësisht konstant, ai do të duhet të mesatarizohet dhe të zëvendësohet me ndonjë konstante; në mënyrë të ngjashme, duke mesatarizuar vlerat për të ndryshme τ = t 2 – t 1, marrim funksionin e korrelacionit.

Kjo metodë përpunimi është padyshim mjaft komplekse dhe e rëndë dhe, për më tepër, përbëhet nga dy faza: një përcaktim i përafërt i karakteristikave të një funksioni të rastësishëm dhe gjithashtu një mesatare e përafërt e këtyre karakteristikave. Natyrisht lind pyetja: a është e mundur që një funksion i rastësishëm i palëvizshëm të zëvendësojë këtë proces me një më të thjeshtë, i cili bazohet paraprakisht në supozimin se pritshmëria matematikore nuk varet nga koha dhe funksioni i korrelacionit nuk varet nga origjina .

Përveç kësaj, lind pyetja: kur përpunohen vëzhgimet e një funksioni të rastësishëm të palëvizshëm, a është thelbësore të ketë disa zbatime? Meqenëse procesi i rastësishëm është i palëvizshëm dhe vazhdon në mënyrë uniforme në kohë, është e natyrshme të supozohet se një dhe vetëm zbatim me kohëzgjatje të mjaftueshme mund të shërbejë si material i mjaftueshëm për marrjen e karakteristikave të një funksioni të rastit.

Doli që një mundësi e tillë ekziston, por jo për të gjithë procese të rastësishme. Për shembull, merrni parasysh dy funksione të rastësishme të palëvizshme, të përfaqësuara nga një grup i zbatimeve të tyre.

		Fig.1		Fig.2

Për një funksion të rastësishëm X 1 (t) (Fig. 1) karakterizohet nga veçoria e mëposhtme: çdo implementim i tij ka të njëjtën tipare karakteristike: vlera mesatare rreth së cilës ndodhin lëkundjet dhe diapazoni mesatar i këtyre lëkundjeve. Le të zgjedhim arbitrarisht një nga këto realizime dhe të vazhdojmë mendërisht përvojën si rezultat i së cilës është marrë për një periudhë të caktuar kohe T. Natyrisht, për një mjaft të madhe T ky zbatim mund të na japë mjaft shfaqje e mirë për vetitë e një funksioni të rastësishëm në tërësi. Në veçanti, duke mesatarizuar vlerat e këtij zbatimi përgjatë boshtit x - me kalimin e kohës, duhet të marrim një vlerë të përafërt të pritjes matematikore të një funksioni të rastësishëm; Duke mesatarizuar devijimet në katror nga kjo mesatare, duhet të marrim një vlerë të përafërt të variancës, etj.

Një funksion i tillë thuhet se ka pronë ergodik . Vetia ergodike është se çdo zbatim individual i një funksioni të rastësishëm është, si të thuash, një "përfaqësues i autorizuar" i të gjithë grupit të zbatimeve të mundshme.

Nëse kemi parasysh funksionin X 2 (t) (Fig. 2), atëherë është e qartë se për çdo zbatim vlera mesatare është e ndryshme dhe dukshëm e ndryshme nga të tjerat. Prandaj, nëse ndërtoni një vlerë mesatare të vetme për të gjitha implementimet, ajo do të ndryshojë ndjeshëm nga secili individual.

Nëse funksioni i rastësishëm X(t) ka vetinë ergodike, pastaj për të mesatare kohore(mbi një zonë mjaft të madhe vëzhgimi) afërsisht e barabartë me mesataren e një grupi vëzhgimesh. E njëjta gjë do të jetë e vërtetë për X 2 (t), X(t)X(t+τ), etj. Në veçanti, për një mjaft të madhe T pritje matematikore m x mund të llogaritet duke përdorur formulën

. (1)

Në këtë formulë, për thjeshtësi, shenja ~ hiqet kur karakterizohet një funksion i rastësishëm, që do të thotë se nuk kemi të bëjmë me vetë karakteristikat, por me vlerësimet e tyre.

Në mënyrë të ngjashme, ne mund të gjejmë funksionin e korrelacionit k x(τ ) për çdo τ . Sepse

k x(τ ) = ,

pastaj duke llogaritur këtë vlerë për një të dhënë τ , marrim

k x(τ ) ≈ , (2)

Ku - zbatimi i përqendruar. Pasi të kemi llogaritur integralin (2) për një numër vlerash τ , është e mundur që përafërsisht të riprodhohet kursi i funksionit të korrelacionit pikë për pikë.

Në praktikë, integralet e mësipërm zakonisht zëvendësohen nga shuma të fundme. Kjo bëhet si më poshtë. Le ta ndajmë intervalin e regjistrimit të funksionit të rastit në n pjesë të barabarta me gjatësi ∆ t, dhe shënoni pikat e mesit të seksioneve që rezultojnë t 1 , t 2 , …, tn.

Le të paraqesim integralin (1) si shumën e integraleve mbi seksionet elementare ∆ t dhe në secilën prej tyre do të nxjerrim funksionin x(t) nga nën shenjën integrale me vlerën mesatare që korrespondon me qendrën e intervalit - x(t i). Ne marrim përafërsisht

m x = = /

Në mënyrë të ngjashme, ju mund të llogarisni funksionin e korrelacionit për vlerat τ , e barabartë me 0, ∆ t, 2∆t, ... Le të japim, për shembull, vlerën τ kuptimi

τ = 2∆t = .

Le të llogarisim integralin (2) duke pjesëtuar intervalin e integrimit

T - τ = =

në n – m seksione të barabarta me gjatësi ∆ t dhe duke nxjerrë funksionin nga shenja integrale në secilën prej tyre me vlerën mesatare. marrim

.

Funksioni i korrelacionit llogaritet duke përdorur formulën e dhënë për m= 0, 1, 2,…. Vazhdimisht deri në vlera të tilla m, në të cilin funksioni i korrelacionit bëhet pothuajse i barabartë me zero ose fillon të bëjë luhatje të vogla të parregullta rreth zeros. Lëvizje e përgjithshme funksionet k x(τ ) riprodhohet në pika të veçanta.

Në mënyrë që karakteristikat të përcaktohen me saktësi të kënaqshme, është e nevojshme që numri i pikëve n ishte mjaft i madh (rreth 100, dhe në disa raste më shumë). Zgjedhja e gjatësisë së seksionit elementar ∆ t përcaktohet nga natyra e ndryshimit të funksionit të rastit: nëse ai ndryshon relativisht pa probleme, seksioni ∆ t ju mund të zgjidhni më shumë sesa kur bën luhatje të mprehta dhe të shpeshta. Paraprakisht, mund të rekomandohet të zgjidhni një seksion elementar në mënyrë që periudhë e plotë harmonika e frekuencës më të lartë në funksionin e rastësishëm përbën rreth 5-10 pika referimi.

Zgjidhje detyra tipike

1. a) Funksioni i rastësishëm X(t) = (t 3 + 1)U, Ku U- një ndryshore e rastësishme, vlerat e së cilës i përkasin intervalit (0; 10). Gjeni zbatimin e funksioneve X(t) në dy teste në të cilat vlera U mori vlera u 1 = 2, u 2 = 3.

Zgjidhje. Që nga zbatimi i funksionit të rastit X(t) quhet funksion i argumentit jo të rastësishëm t, pastaj për këto vlera të sasisë U implementimet përkatëse të funksionit të rastësishëm do të jenë

x 1 (t) = 2(t 3 + 1), x 2 (t) = 3(t 3 + 1).

b) Funksioni i rastësishëm X(t) = U mëkat t, Ku U– ndryshore e rastësishme.

Gjeni seksione X(t), që korrespondon me vlerat fikse të argumentit t 1 = , t 2 = .

Zgjidhje. Që nga prerja tërthore e funksionit të rastit X(t) është një ndryshore e rastësishme që korrespondon me një vlerë fikse të argumentit, atëherë për vlerat e dhëna të argumentit seksionet kryq përkatëse do të jenë

X 1 = U· = , X 2 = U· = U.

2. Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni të rastit X(t) = U· ℮t, Ku U M(U) = 5.

Zgjidhje. Le t'ju kujtojmë se pritje matematikore funksion i rastësishëm X(t) quhet funksion jo i rastësishëm m x(t) = M[X(t)], e cila për çdo vlerë të argumentit tështë e barabartë me pritjen matematikore të seksionit përkatës të funksionit të rastit. Prandaj

m x(t) = M[X(t)] = M[U· ℮t].

m x(t) =M[U· ℮t] = ℮ t M(U) = 5℮t.

3. Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni të rastësishëm a) X(t) = Ut 2 +2t+1; b) X(t) = U mëkat4 t + V· cos4 t, Ku U Dhe V janë variabla të rastit, dhe M(U) = M(V) = 1.

Zgjidhje. Përdorimi i vetive të m.o. funksion të rastësishëm, kemi

A) m x(t) = M(Ut 2 +2t+1) = M(Ut 2) +M(2t) + M(1) = M(U)t 2 +2t+1 = t 2 +2t+1.

b) m x(t) = M(U mëkat4 t + V· cos4 t) = M(U mëkat4 t) + M(V· cos4 t) = M(U)· mëkat4 t + M(V)· cos4 t= mëkat4 t+cos4 t.

4. Dihet funksioni i korrelacionit K x funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionin e korrelacionit të një funksioni të rastit Y(t) = X(t) + t 2, duke përdorur përkufizimet e m.o. dhe funksioni i korrelacionit.

Zgjidhje. Le të gjejmë m.o. funksion i rastësishëm Y(t):

m vjec(t) = M[Y(t)] = M[X(t) + t 2 ] = M[X(t)] + t 2 = m x(t) + t 2 .

Le të gjejmë funksionin e përqendruar

= Y(t) - m vjec(t) = [X(t) + t 2 ] – [m x(t) + t 2 ] = X(t) –m x(t) = .

K y = = = K x.

5. Dihet funksioni i korrelacionit K x funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionin e korrelacionit të funksionit të rastit a) Y(t)=X(t)·( t+1); b) Z(t)=C· X(t), Ku ME– konstante.

Zgjidhje. a) Le të gjejmë m.o. funksion i rastësishëm Y(t):

m vjec(t) = M[Y(t)] = M[X(t) · ( t+1)] = (t+1) · M[X(t)].

Le të gjejmë funksionin e përqendruar

=Y(t)-m vjec(t)=X(t)·( t+1) - (t+1)· M[X(t)] = (t+1)·( X(t) - M[X(t)]) = (t+1)· .

Tani le të gjejmë funksionin e korrelacionit

K y = = = (t 1 +1)(t 2 +1)K x.

b) Ngjashëm me rastin a) mund të vërtetohet se

K y = ME 2 K x.

6. Varianca është e njohur Dx(t) funksion i rastësishëm X(t Y(t) =X(t)+2.

Zgjidhje. Shtimi i një termi jo të rastësishëm në një funksion të rastësishëm nuk e ndryshon funksionin e korrelacionit:

K y(t 1 , t 2) = K x(t 1 , t 2).

Ne e dimë atë K x(t, t) = Dx(t), Kjo është arsyeja pse

D(t) = K y(t, t) = K x(t, t) = Dx(t).

7. Varianca është e njohur Dx(t) funksion i rastësishëm X(t). Gjeni variancën e një funksioni të rastësishëm Y(t) = (t+3) · X(t).

Zgjidhje. Le të gjejmë m.o. funksion i rastësishëm Y(t):

m vjec(t) = M[Y(t)] = M[X(t) · ( t+3)] = (t+3) · M[X(t)].

Le të gjejmë funksionin e përqendruar

=Y(t)-m vjec(t)=X(t)·( t+3) - (t+3)· M[X(t)] = (t+3)·( X(t) - M[X(t)]) = (t+3)· .

Le të gjejmë funksionin e korrelacionit

K y = = = (t 1 +3)(t 2 +3)K x.

Tani le të gjejmë variancën

D(t) = K y(t, t) = (t+3)(t+3)K x(t, t) = (t+3) 2 Dx(t).

8. Jepet një funksion i rastësishëm X(t) = U cos2 t, Ku Uështë një ndryshore e rastësishme, dhe M(U) = 5, D(U) = 6. Gjeni pritjen matematikore, funksionin e korrelacionit dhe variancën e funksionit të rastit X(t).

Zgjidhje. Le të gjejmë pritshmërinë e kërkuar matematikore duke hequr faktorin jo të rastësishëm cos2 t për shenjën m.o.:

M[X(t)] = M[U cos2 t] = cos2 t ·M(U) = 5cos2 t.

Le të gjejmë funksionin e përqendruar:

= X(t) - m x(t) = U cos2 t- 5cos2 t = (U - 5) cos2 t.

Le të gjejmë funksionin e dëshiruar të korrelacionit:

K x(t 1 , t 2) = = M{[(U- 5)· cos2 t 1 ] [(U- 5)· cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 M(U- 5) 2 .

Më tej, duke marrë parasysh se për një ndryshore të rastësishme U varianca sipas përkufizimit është e barabartë me D(U) = M[(U - M((U)] 2 = M((U- 5) 2, ne e marrim atë M((U- 5) 2 = 6. Prandaj, për funksionin e korrelacionit më në fund kemi

K x(t 1 , t 2) = 6cos2 t 1 cos2 t 2 .

Le të gjejmë tani dispersionin e kërkuar, për të cilin vendosëm t 1 = t 2 = t:

Dx(t) = K x(t, t) = 6cos 2 2 t.

9. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x(t 1 , t 2) = t 1 t 2. Gjeni funksionin e korrelacionit të normalizuar.

Zgjidhje. Sipas përkufizimit, funksioni i korrelacionit të normalizuar

ρ x(t 1 , t 2) = = = .

Shenja e shprehjes që rezulton varet nëse argumentet kanë t 1 dhe t 2 shenja identike ose të ndryshme. Emëruesi është gjithmonë pozitiv, kështu që më në fund kemi

ρ x(t 1 , t 2) =

10. Jepet pritshmëria matematikore m x(t) = t 2 + 4 funksione të rastit X(t). Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni të rastësishëm Y(t) = tX´( t) + t 2 .

Zgjidhje. Pritja matematikore e derivatit të një funksioni të rastësishëm është e barabartë me derivatin e pritjes së tij matematikore. Kjo është arsyeja pse

m vjec(t) = M(Y(t)) = M(tX´( t) + t 2) = M(tX´( t)) + M(t 2) =

= t∙M(X´( t)) + t 2 = t∙(m x(t))´ + t 2 = t∙(t 2 + 4)' + t 2 = 3t 2 .

11. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x= funksion i rastësishëm X(t). Gjeni funksionin e korrelacionit nga derivati ​​i tij.

Zgjidhje. Për të gjetur funksionin e korrelacionit të derivatit, duhet të dalloni dy herë funksionin e korrelacionit të funksionit të rastësishëm origjinal, së pari në lidhje me një argument, pastaj në lidhje me tjetrin.

= .

+ =

= .

12. Funksioni i rastësishëm i dhënë X(t) = U℮3 t cos2 t, Ku Uështë një ndryshore e rastësishme, dhe M(U) = 4, D(U) = 1. Gjeni pritshmërinë matematikore dhe funksionin e korrelacionit të derivatit të tij.

Zgjidhje. m x(t) = M(X(t)) = M(U℮3 t cos2 t) = M(U)℮3 t cos2 t = 4℮3 t cos2 t.

M(X(t)) = (m x(t))´ = 4 (3℮ 3 t cos2 t – 2℮3 t mëkat2 t) = 4℮3 t(3cos2 t– 2 mëkat 2 t).

Le të gjejmë funksionin e korrelacionit të funksionit origjinal të rastit. Funksioni i rastësishëm i përqendruar është

= X(t) - m x(t) = U℮3 t cos2 t- 4℮3 t cos2 t = (U - 4)℮3 t cos2 t.

K x(t 1 , t 2) = = M{[(U- 4) cos2 t 1 ] [(U- 4) cos2 t 2 ]} =

Cos2 t 1 cos2 t 2 M((U- 4) 2)= cos2 t 1 cos2 t 2 D(U)=cos2 t 1 cos2 t 2 .

Le të gjejmë derivatin e pjesshëm të funksionit të korrelacionit në lidhje me argumentin e parë

Cos2 t 2 =

Cos2 t 2 (3cos2 t 1 – 2 mëkat2 t 1).

Le të gjejmë derivatin e dytë të përzier të funksionit të korrelacionit

= (3cos2 t 1 – 2 mëkat2 t 1) =

= (3cos2 t 1 – 2 mëkat2 t 1) (3cos2 t 2 – 2 mëkat2 t 2).

13. Funksioni i rastësishëm i dhënë X(t), duke pasur një pritshmëri matematikore

m x(t) = 3t 2 + 1. Gjeni pritshmërinë matematikore të një funksioni të rastit Y(t)= .

Zgjidhje. Pritshmëria e kërkuar matematikore

m vjec(t) = = = t 2 + t.

14. Gjeni pritshmërinë matematikore të integralit Y(t)= , duke ditur pritshmërinë matematikore të funksionit të rastit X(t):

A) m x(t) = t–cos2 t; b) m x(t) = 4 cos 2 t.

Zgjidhje. A) m vjec(t) = = = .

b) m vjec(t) = = = = + =

2t+ mëkat2 t.

15. Funksioni i rastësishëm i dhënë X(t) = U℮2t cos3 t, Ku Uështë një ndryshore e rastësishme, dhe M(U) = 5. Gjeni pritshmërinë matematikore të integralit Y(t)= .

Zgjidhje. Së pari, le të gjejmë pritshmërinë matematikore të vetë funksionit të rastit.

m x(t) = M(U℮2t cos3 t) = M(U)℮2t cos3 t = 5℮2t cos3 t.

m vjec(t) = = 5 = =

= ℮2t mëkat3 t - = =

= ℮2t mëkat3 t – =

= ℮2t mëkat3 t + ℮2t cos3 t – .

Prandaj, ne kemi marrë një integral rrethor

5 + = ℮2t mëkat3 t + ℮2t cos3 t.

ose = ℮2t( mëkat3 t+cos3 t).

Së fundi m vjec(t) = ℮2t( mëkat3 t+cos3 t).

16. Gjeni pritshmërinë matematikore të integralit Y(t) = , duke ditur funksionin e rastit X(t) =U℮3 t mëkat t, Ku Uështë një ndryshore e rastësishme, dhe M(U)=2.

Zgjidhje. Le të gjejmë pritshmërinë matematikore të vetë funksionit të rastit.

m x(t) = M(U℮3t mëkat t) = M(U)℮3t mëkat t = 2℮3t mëkat t.

m vjec(t) = = 2 = =

= – 2℮3t cos t + = =

= – 2℮3t cos t + ℮3t mëkat t – .

ne kemi = – ℮3t cos t + ℮3t mëkat t.

Së fundi m vjec(t) = – ℮2t cos t + ℮2t mëkat t.

17. Funksioni i rastësishëm i dhënë X(t), që ka një funksion korrelacioni

K x(t 1 , t 2) = t 1 t 2. Gjeni funksionin e korrelacionit të integralit Y(t)= .

Zgjidhje. Së pari gjejmë funksionin e korrelacionit të integralit, i cili është i barabartë me integral i dyfishtë nga një funksion i caktuar korrelacioni. Prandaj,

K y(t 1 , t 2) = = = = .

Pastaj varianca Dy(t) = K y(t, t) = .

18. Është dhënë funksioni i korrelacionit K x(t 1 , t 2) = funksion i rastësishëm X(t). Gjeni variancën e integralit Y(t)= .

Zgjidhje. Le të gjejmë funksionin e korrelacionit të integralit

K y(t 1 , t 2) = = =

= = .

Pastaj varianca

Dy(t) = K y(t, t) = .

19. Gjeni variancën e integralit Y(t) = , duke ditur funksionin e korrelacionit të funksionit të rastit X(t):

A) K x(t 1 ,t 2) = ; b) K x(t 1 , t 2) = .

Zgjidhje. A) K y(t 1 , t 2) = = .

Ndërtimi i zgjerimit spektral të një funksioni të rastësishëm të palëvizshëm

X(t) në një periudhë të caktuar kohe (Oh, T), ne kemi marrë spektrin e variancave të një funksioni të rastësishëm në formën e një serie vijash diskrete individuale të ndara me intervale të barabarta (i ashtuquajturi spektër "i ndërprerë" ose "vijë").

Natyrisht, sa më e madhe të jetë periudha kohore që marrim parasysh, aq më i plotë do të jetë informacioni ynë për funksionin e rastësishëm. Prandaj është e natyrshme të përpiqemi të shkojmë në kufirin në zbërthimin spektral në T-> oo dhe shikoni se në çfarë shndërrohet spektri

funksion i rastësishëm. Me pra distanca

ndërmjet frekuencave të odave mbi të cilat është ndërtuar spektri do të jetë në T-> oo zvogëlohet për një kohë të pacaktuar. Në këtë rast, spektri diskret do t'i afrohet një spektri të vazhdueshëm, në të cilin çdo interval arbitrarisht i vogël i frekuencës Aco do t'i korrespondojë një dispersioni elementar ADco.

Le të përpiqemi të përshkruajmë një spektër të vazhdueshëm grafikisht. Për ta bërë këtë, ne duhet të riorganizojmë pak grafikun e spektrit diskret në fund T. Domethënë, ne do të vizatojmë në boshtin e ordinatave dhe jo vetë dispersionin Dk(e cila zvogëlohet pafundësisht me T-"oooo), dhe dendësia mesatare e dispersionit, ato. dispersion për njësi gjatësi të një intervali të caktuar të frekuencës. Le të shënojmë distancën midis frekuencave ngjitur ACO:

dhe mbi çdo segment Aso si bazë ndërtojmë një drejtkëndësh me sipërfaqe D k ( oriz. 17.3.1). Ne marrim një tabelë hapash që i ngjan parimit të ndërtimit të një histogrami të një shpërndarjeje statistikore.

Lartësia e diagramit në seksionin Aco ngjitur me pikën sod është e barabartë me

Oriz. 17.3.1

dhe paraqet densitetin mesatar të dispersionit në këtë zonë. Sipërfaqja totale e të gjithë diagramit është padyshim e barabartë me variancën e funksionit të rastit.

Do ta rrisim intervalin pafundësisht T. Në këtë rast, Du -> O, dhe kurba e shkallëzuar do t'i afrohet pafundësisht lakores së lëmuar S x ( c) (Fig. 17.3.2). Kjo kurbë përshkruan densitetin e shpërndarjes së dispersioneve mbi frekuencat e një spektri të vazhdueshëm, dhe vetë funksioni D x.(a>) quhet densiteti i dispersionit spektral, ose shkurtimisht, dendësia spektrale funksion i rastësishëm i palëvizshëm X(t).

Oriz. 17.3.2

Natyrisht, zona e kufizuar nga kurba D g (co) duhet të jetë ende e barabartë me dispersionin Dx funksion i rastësishëm X(t):

Formula (17.3.2) nuk është gjë tjetër veçse zgjerimi i variancës Dx nga shuma e termave elementare L'Dso) s/co, secila prej të cilave përfaqëson shpërndarjen për diapazonin elementar të frekuencës dco, ngjitur me pikën с (Fig. 17.3.2).

Kështu, ne prezantuam në konsideratë një karakteristikë të re shtesë të një procesi të rastësishëm të palëvizshëm - dendësia spektrale, e cila përshkruan përbërjen e frekuencës së procesit të palëvizshëm. Megjithatë, kjo karakteristikë nuk është e pavarur; ai përcaktohet plotësisht nga funksioni korrelativ i këtij procesi. Ashtu si ordinatat e një spektri diskret Dk shprehen me formula (17.2.4) nëpërmjet funksionit të korrelacionit k x ( t), dendësia spektrale Sx(a) mund të shprehet edhe përmes një funksioni korrelacioni.

Le të nxjerrim këtë shprehje. Për ta bërë këtë, le të shkojmë në zgjerim kanonik funksioni i korrelacionit në kufirin në T-> oh dhe le të shohim se në çfarë do të kthehet. Ne do të vazhdojmë nga zgjerimi (17.2.1) i funksionit të korrelacionit në një seri Furier në një interval të fundëm (-T, 7):

ku dispersioni që i përgjigjet frekuencës w/( shprehet me formulën

Përpara se të kalojmë në kufirin si Γ -> oo, le të kalojmë në formulën (17.3.3) nga dispersioni Dk në densitetin mesatar të dispersionit

Meqenëse kjo dendësi llogaritet edhe në vlera përfundimtare T dhe varet nga T, le ta shënojmë:

Duke e pjesëtuar shprehjen (17.3.4) me marrim:

Nga (17.3.5) rrjedh se

Le të zëvendësojmë shprehjen (17.3.7) me formulën (17.3.3); marrim:

Le të shohim se në çfarë shprehjeje (17.3.8) kthehet kur T-> oo. Natyrisht, në këtë rast Aso -> 0; argumenti diskret ω/(transformohet në një argument që ndryshon vazhdimisht ω; shuma shndërrohet në një integral mbi ndryshoren ω; dendësia mesatare variancat S X T) ( me A.) tenton në densitetin e dispersionit A L.(ω), dhe shprehja (17.3.8) në kufi merr formën:

Ku S x ( c) -dendësia spektrale e një funksioni të rastësishëm të palëvizshëm.

Duke kaluar në kufirin si Γ -> oo në formulën (17.3.6), marrim një shprehje për densitetin spektral përmes funksionit të korrelacionit:

Një shprehje si (17.3.9) njihet në matematikë si Integrali Furier. Integrali Furier është një përgjithësim i zgjerimit të serisë Furier për rastin e një funksioni jo periodik të konsideruar në një interval të pafund, dhe përfaqëson zgjerimin e funksionit në shumën e lëkundjeve elementare harmonike me një spektër të vazhdueshëm 1.

Ashtu si seria Fourier shpreh funksionin e zgjerueshëm përmes koeficientëve të serisë, të cilët nga ana e tyre shprehen përmes funksionit të zgjerueshëm, formulat (17.3.9) dhe (17.3.10) shprehin funksionet. k x ( m) dhe A x (k>) janë të ndërsjella: njëri përmes tjetrit. Formula (17.3.9) shpreh funksionin e korrelacionit në termat e densitetit spektral; formulë

(17.3.10), përkundrazi, shpreh dendësinë spektrale përmes funksionit të korrelacionit. Formulat si (17.3.9) dhe (17.3.10) që lidhin dy funksione reciprokisht quhen Transformimet e Furierit.

Kështu, funksioni i korrelacionit dhe dendësia spektrale shprehen në terma të njëri-tjetrit duke përdorur transformimet Fourier.

Vini re se nga formula e përgjithshme (17.3.9) në m = 0 rezulton zbërthimi i fituar më parë i dispersionit në frekuenca (17.3.2).

Në praktikë, në vend të densitetit spektral S x ( bashkë) përdorin shpesh normalizuar dendësia spektrale:

Ku Dx- varianca e funksionit të rastit.

Është e lehtë të verifikohet se funksioni i korrelacionit të normalizuar p l (m) dhe dendësia spektrale e normalizuar l A (ω) janë të lidhura nga të njëjtat transformime Fourier:

Duke supozuar ekuacionin e parë (17.3.12) t = 0 dhe duke marrë parasysh se p t (0) = 1, kemi:

ato. sipërfaqja totale e kufizuar nga grafiku i densitetit spektral të normalizuar është i barabartë me njësinë.

Shembulli 1. Funksioni i korrelacionit të normalizuar p x (m) i një funksioni të rastit X(t) zvogëlohet me ligji linear nga një në zero në 0 t 0 r l.(t) = 0 (Fig. 17.3.3). Përcaktoni densitetin spektral të normalizuar të një funksioni të rastit X(t).

Zgjidhje. Funksioni i korrelacionit të normalizuar shprehet me

formulat:

Nga formula (17.3.12) kemi:

Oriz. 17.3.3

Oriz. 17.3.4

Grafiku i densitetit spektral të normalizuar është paraqitur në Fig. 17.3.4. Dendësia e parë - absolute - maksimale spektrale arrihet në co = 0; duke zbuluar pasiguri

dendësia spektrale arrin një numër të maksimumeve relative, lartësia e të cilave zvogëlohet me rritjen e ko; kur ω -> oo l A. (o>) -> 0. Natyra e ndryshimit të densitetit spektral s x ( c) (ulja e shpejtë ose e ngadaltë) varet nga parametri m 0. Sipërfaqja totale, i kufizuar nga një kurbë s x(co), është konstante dhe e barabartë me unitetin. Një ndryshim në m 0 është i barabartë me një ndryshim në shkallën e kurbës, s" A .(co) përgjatë të dy boshteve duke ruajtur sipërfaqen e saj. Me një rritje në m 0, shkalla përgjatë boshtit të ordinatave rritet, përgjatë abshisës boshti zvogëlohet, mbizotërimi i funksionit të rastësishëm të frekuencës zero në spektër bëhet më i theksuar. dhe spektri bëhet diskret me një frekuencë të vetme me 0 = 0.

Oriz. 17.3.5

Shembulli 2. Dendësia spektrale e normalizuar.v v (co) e një funksioni të rastit X(t)është konstante në një interval të caktuar frekuence a>b a>2 dhe është e barabartë me zero jashtë këtij intervali (Fig. 17.3.5).

Përcaktoni funksionin e korrelacionit të normalizuar të një funksioni të rastit X(t).

Zgjidhje. Vlera e xl (co) në “t 2 përcaktohet nga kushti që zona e kufizuar nga kurba s x(co), e barabartë me një:

Nga (17.3.12) kemi:

Pamja e përgjithshme e funksionit p d (t) është paraqitur në Fig. 17.3.6. Ajo ka karakterin e lëkundjeve në rënie në amplitudë me një numër nyjesh në të cilat funksioni zhduket. Pamje specifike Grafikat padyshim varen nga vlerat e a>a>2.

Oriz. 17.3.6

Me interes është forma kufizuese e funksionit p x (m) si “t -> ω 2. Natyrisht, kur ω 2 = ω = ω, spektri i funksionit të rastësishëm bëhet diskret me një vijë të vetme që korrespondon me frekuencën ω; në këtë rast, funksioni i korrelacionit kthehet në një kosinus të thjeshtë:

Le të shohim se çfarë forme ka vetë funksioni i rastësishëm në këtë rast X(t). Me një spektër diskret me një vijë të vetme

zgjerimi spektral i një funksioni të rastësishëm të palëvizshëm X(t) ka pamjen;

Ku U vlV - variabla të rastësishme të pakorreluara me pritshmëri matematikore të barabarta me zero dhe varianca të barabarta:

Le të tregojmë se një funksion i rastësishëm i tipit (17.3.14) mund të paraqitet si një lëkundje harmonike e frekuencës с me një amplitudë të rastësishme dhe një fazë të rastësishme. Përcaktimi

ne reduktojmë shprehjen (17.3.14) në formën:

Në këtë shprehje - amplitudë e rastësishme; F - faza e rastësishme dridhje harmonike.

Deri më tani kemi shqyrtuar vetëm rastin kur shpërndarja e frekuencës së dispersioneve është e vazhdueshme, d.m.th. kur një gamë pafundësisht e vogël frekuencash përbën një dispersion pafundësisht të vogël. Në praktikë, ndonjëherë ka raste kur një funksion i rastësishëm përmban një komponent thjesht periodik të frekuencës o>a me një amplitudë të rastësishme. Më pas, në zgjerimin spektral të funksionit të rastit, përveç spektrit të vazhdueshëm të frekuencave, do të shfaqet një co* i veçantë frekuencash, me dispersion të fundëm. Dk. Në rastin e përgjithshëm, mund të ketë disa komponentë të tillë periodikë. Atëherë zgjerimi spektral i funksionit të korrelacionit do të përbëhet nga dy pjesë: spektri diskret dhe i vazhdueshëm:

Rastet e funksioneve të rastësishme të palëvizshme me një spektër të tillë "të përzier" janë mjaft të rralla në praktikë. Në këto raste, gjithmonë ka kuptim që funksioni i rastësishëm të ndahet në dy terma - me një spektër të vazhdueshëm dhe diskret - dhe të studiohen këto terma veçmas.

Shpesh duhet të merremi me rastin e veçantë kur shpërndarja përfundimtare në zgjerimin spektral të një funksioni të rastësishëm ndodh me frekuencë zero (ω = 0). Kjo do të thotë se funksioni i rastësishëm përfshin si term një ndryshore të zakonshme të rastësishme me variancë D0. NË raste të ngjashme gjithashtu ka kuptim të izolohet ky term i rastësishëm dhe të veprohet me të veçmas.

• Formula (17.3.9) është një formë e veçantë e integralit Furier, duke përgjithësuar zgjerimin e serisë Furier të një funksioni çift në harmonikët kosinus. Një shprehje e ngjashme mund të shkruhet për më shumë rast i përgjithshëm.
• Këtu kemi të bëjmë me një rast të veçantë të transformimeve të Furierit - të ashtuquajturat "transformime të Fourierit kosinus".

E nevojshme dhe gjendje e mjaftueshme ergodicitet ξ (t) në

Lidhja me dispersionin është formula (2.5), dhe kushti i mjaftueshëm është (2.6).

Në mënyrë tipike, një proces i rastësishëm i palëvizshëm është jo-ergodik kur vazhdon në mënyrë jo uniforme. Për shembull, jo-ergodiciteti

ξ (t) mund të shkaktohet nga fakti se ai përmban si term një ndryshore të rastësishme X me karakteristika m x dhe D x. Pastaj, meqëξ 1 (t) = ξ (t) + X, atëherë m ξ 1 = m ξ + m x,K ξ 1 (τ) = K ξ (τ) + D x

dhe τ→∞ limK ξ 1 (τ ) = τ→∞ lim[ K ξ (τ ) + D x ] = τ→∞ limK ξ (τ ) + τ→∞ limD x = D x ≠ 0 .

2.2. Zbërthimi spektral i një procesi të rastësishëm të palëvizshëm dhe transformimi Furier. Dendësia spektrale

Ideja kryesore e paraqitjes spektrale të proceseve të rastësishme është se ato mund të përshkruhen si një shumë e harmonikëve të caktuar. Ky përfaqësim bën të mundur kryerjen relativisht të thjeshtë të transformimeve të ndryshme, lineare dhe jolineare, mbi procese të rastësishme. Për shembull, mund të studiohet sesi shpërndarja e një procesi të rastësishëm shpërndahet mbi frekuencat e harmonikave përbërëse të tij. Përdorimi i një informacioni të tillë përbën thelbin teoria spektrale proceset e rastësishme të palëvizshme.

Teoria spektrale bën të mundur përdorimin e imazhit Furier të një procesi të rastësishëm në llogaritjet. Në një numër rastesh, kjo thjeshton ndjeshëm llogaritjet dhe përdoret gjerësisht, veçanërisht në studimet teorike.

Një proces i rastësishëm i palëvizshëm ξ (t) mund të specifikohet në mënyrën e vet

ato me zbërthim kanonik ose spektral:

k = 0

ku ψ k është faza e lëkundjes harmonike të një rastësie elementare

proces, i cili është një ndryshore e rastësishme e shpërndarë në mënyrë uniforme në një interval në intervalin (0.2π),z k – am-

amplituda e lëkundjes harmonike të një procesi të rastësishëm elementar, dhe z k është gjithashtu një ndryshore e rastësishme me disa

m z dhe D z.

Në të vërtetë, le të ξ k (t) = x k cos ω k t + y k sin ω k t, atëherë m ξ k = 0,

K ξ k (t 1 , t 2 ) = M [ (x kcos ω kt 1 + y ksin ω kt 1 )(x kcos ω kt 2 + y ksin ω kt 2 ) ] =

M [ x k 2 cosω k t 1 cosω k t 2 + x k y k (sinω k t 1 cosω k t 2 +

Cos ω k t 1 sinω k t 2 ) + y k 2 sinω k t 1 sinω k t 2 ] =

M [ x k 2 ] cosω k t 1 cosω k t 2 + M [ y k 2 ] sinω k t 1 sinω k t 2 =

D k cosω k (t 2 − t 1 ) = D k cosω k τ .

Prandaj m ξ k = M [ z k cosψ k sinω k t + z k sinψ k sinω k t ] = 0 ,

K ξ k (t 1 ,t 2 ) = M [ (z k cosψ k sinω k t 1 + z k sinψ k sinω k t 1 ) × × (z cosψ cosω t + z sinψ sinω t ) ] =

M [ z k 2 ] ( M [ cos2 ψ k ] cosω k t 1 cosω k t 2 +

M [ sinψ k cosψ k ] sinω k t 1 cosω k t 2 +

M [ cosψ k sinψ k ] cosω k t 1 sinω k t 2 +

M [ sin2 ψ k ] sinω k t 1 sinω k t 2 ) = D z k + 2 m z k cos(t 2 − t 1 ) .k k k 2 k k k 2

Kështu, sipas supozimeve të bëra në formulat (2.8) dhe (2.10) në lidhje me vetitë e përfshira në këto formula të variablave të rastit, paraqitjet (2.8) dhe (2.10) janë ekuivalente. Në këtë rast,

sasitë e çajit z i dhe ψ i ,i = 1,∞ janë të varura, meqë, padyshim, relacionet qëndrojnë

Meqenëse funksioni i kovariancës i një procesi të rastësishëm stacionar është madje funksion, atëherë mund të ndryshohet në intervalin (− T ,T )

vënë në një seri Furier për sa i përket kosinuseve, d.m.th. K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k cosω k τ ,

Meqenëse ω k mund të interpretohet si harmonikë e specit

zgjerimi tral i procesit të rastësishëm të palëvizshëm (2.8), më pas variancë totale i një procesi të rastësishëm të palëvizshëm, i përfaqësuar nga zbërthimi i tij kanonik (spektral), është i barabartë me shumën e dispersioneve të të gjitha harmonive të zbërthimit spektral të tij. Në Fig. 2.1

tregon një bashkësi dispersionesh D k që u korrespondojnë harmonikave të ndryshme ω i . Sa më i gjatë të jetë intervali i zbërthimit sipas formulës

do të merret (2.9), aq më i saktë do të jetë zgjerimi sipas kësaj formule. Nëse marrim T ′ = 2T, atëherë spektri i dispersionit të zbërthimit spektral

Madhësia S ξ (ω k ) ∆ω = D k paraqet një pjesë të totalit

varianca e procesit të rastësishëm stacionar ξ (t) që i atribuohet kth harmonikës. Si T → ∞ (ose si ∆ω→ 0), funksioni S ξ (ω k) do t'i afrohet pafundësisht kurbës S ξ (ω), e cila

parajsa quhet dendësia spektrale e rastit të palëvizshëm -

procesi ξ (t) (Fig. 2.2). Nga (2.13) rrjedh se funksionet K ξ (τ) dhe S ξ (ω) lidhen me njëri-tjetrin me transformimin e kosinusit Furier. Kështu,

Oriz. 2.2. Grafikët e funksioneve S ξ (ω k) Dhe Sξ (ω )

Dendësia spektrale, në analogji me funksionin e densitetit të probabilitetit, ka vetitë e mëposhtme:

1. Sξ (ω ) ≥0.

2. ∞ ∫ Sξ (ω ) dω = ∞ ∫ Sξ (ω ) cos(0 ω ) dω = Kξ (0 ) =Dξ .

Nëse futni funksionin Sξ (ω ) , të përcaktuara si më poshtë:

Sξ (ω ) =Sξ 2 (ω ) , ω≥ 0,

thirrur dendësia spektrale e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm në formë komplekse, atëherë ky funksion, përveç dy vetive të mësipërme, ka një veti të tretë - vetinë e paritetit (Fig. 2.3).

3. Sξ (ω ) =Sξ (− ω ) .

Oriz. 2.3. Grafikët e funksionit të densitetit spektral

Le të rishkruajmë (2.8) në formën e mëposhtme:

mund të merret paraqitje integrale kanonike njëqind

procesi i rastësishëm kombëtar:

larë " zhurmë e bardhë"(shih nënseksionin 2.4). Karakteristikat statistikore

zgjerimi spektral i një procesi të rastësishëm të palëvizshëm në formë komplekse ka formën

Veprime të ngjashme mund të kryhen me funksionin e kovariancës të paraqitur në formën (2.9) dhe të merren

K ξ (τ ) = ∑ ∞ D k e iω kt.

k=−∞

Formula (2.13), duke marrë parasysh prezantimin e funksionit, mund të rishkruhet në formën e mëposhtme:

Sξ (ω ) ju mund të ri-

Formulat (2.18) dhe (2.19) përfaqësojnë transformimin Furier të densitetit spektral Sξ (ω ) dhe funksioni i kovariancës Kξ (τ ) në formë komplekse.

Që nga dendësia spektrale Sξ (ω ) përfaqëson

Dendësia e shpërndarjes së shpërndarjes së një procesi të rastësishëm mbi frekuencat e harmonikëve të tij, pastaj në disa aplikime të teorisë së rastit

proceset kombëtare Kξ ( 0) = Dξ (t) interpretohet si energjia e një procesi të rastësishëm të palëvizshëm, dhe Sξ (ω ) - si është dendësia e kësaj

energji për njësi të frekuencës. Ky interpretim u shfaq pas aplikimit të teorisë së proceseve të rastësishme stacionare në inxhinierinë elektrike.

Shembulli 5. Gjeni dendësinë spektrale Sξ (ω ) proces elementar i rastësishëm ξ k(t) = xk cos ω kt+ yk mëkat ω kt.

= Dk∞ ∫ [ cos(ω− ω k) τ + cos(ω+ ω k) τ ] dτ =

π 0

= Dk∞ ∫ [ ei(ω−ω

Sξ k (ω ) =

−i(ω−ω k) τ d(− τ ) + ∫ ei(ω−ω k) τ dτ +

k(− 1 ) ∫ e

2π

+ (−1 ) ∫ e

−i(ω+ω k) τ d(− τ ) + ∫ ei(ω+ω k) τ dτ

k∫

ei(ω−ω k)(−τ ) d(− τ ) + ∫ ei(ω−ω k) τ dτ + (− 1 ) ∫ ei(ω+ω k)(−τ ) d(− τ ) +

2 π −∞

+ ∫ ei(ω+ω k) τ dτ

k∫ ei(ω−ω k) τ dτ +

∫ei

(ω+ω k) τ dτ

2 π −∞

= Dk[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] ,

Ku δ (ω ) = 1 ∞ ∫ eiωτ dτ – përfaqësimi integral në formën e para-

2 π −∞

Arsimi Furier δ -Funksionet e Dirakut. Shprehje për Sξ k(ω )

mund të ishte lënë kështu, por për pozitive ω (sepse ω k> 0), duke marrë parasysh vetitë δ -funksionet, (shih tabelën 6

ne. 141), δ (ω+ ω k) ≡ 0 . Kështu, Sξ (ω ) = Dkδ (ω− ω k) .

PastajSξ k(ω ) =1 2 Sξ k(ω ) =D2 k[ δ (ω− ω k) + δ (ω+ ω k) ] .

Le të gjejmë tani densitetin spektral të dhënë në formë komplekse. Funksionet Sξ (ω ) Dhe Sξ k(ω ) - e vlefshme jo-

funksionet negative. Sξ k(ω ) – një funksion i barabartë i përcaktuar në interval (− ∞ ,∞ ) ,Sξ (ω ) – e përcaktuar në interval ( 0,∞ ) , Dhe

në këtë interval Sξ k(ω ) = 1 2 Sξ k(ω ) (shih Fig. 2.3). Sipas formulës (2.19)