Përcaktimi i sipërfaqes së sipërfaqes totale dhe anësore të konit. Sipërfaqja e përgjithshme e konit është

Trupat e rrotullimit të studiuara në shkollë janë cilindri, koni dhe topi.

Nëse në një problem në provimin e shtetit të bashkuar në matematikë ju duhet të llogaritni vëllimin e një koni ose sipërfaqen e një sfere, konsiderojeni veten me fat.

Aplikoni formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e një cilindri, kon dhe sferë. Të gjithë janë në tryezën tonë. Meso me zemer. Këtu fillon njohja e stereometrisë.

Ndonjëherë është mirë të vizatoni pamjen nga lart. Ose, si në këtë problem, nga poshtë.

2. Sa herë është i saktë vëllimi i një koni të përshkruar rreth piramidë katërkëndore, a është më i madh se vëllimi i konit të gdhendur në këtë piramidë?

Është e thjeshtë - vizatoni pamjen nga poshtë. Shohim se rrezja e rrethit më të madh është herë më e madhe se rrezja e rrethit më të vogël. Lartësitë e të dy koneve janë të njëjta. Prandaj, vëllimi i konit më të madh do të jetë dy herë më i madh.

Një tjetër pikë e rëndësishme. Mos harroni se në problemet e pjesës B Opsionet e Provimit të Unifikuar të Shtetit në matematikë përgjigja shkruhet si numër i plotë ose i fundëm dhjetore. Prandaj, nuk duhet të ketë asnjë ose në përgjigjen tuaj në pjesën B. Nuk ka nevojë të zëvendësohet as vlera e përafërt e numrit! Duhet patjetër të tkurret! Është për këtë qëllim që në disa probleme, detyra formulohet, për shembull, si më poshtë: "Gjeni zonën e sipërfaqes anësore të cilindrit të ndarë me".

Ku tjetër përdoren formulat për vëllimin dhe sipërfaqen e trupave të revolucionit? Sigurisht, në problemin C2 (16). Ne gjithashtu do t'ju tregojmë për të.

Sot do t'ju tregojmë se si të gjeni gjeneratën e një koni, i cili shpesh kërkohet në problemet e shkollës në gjeometri.

Koncepti i një gjeneratori kon

Një kon i drejtë është një figurë që fitohet si rezultat i rrotullimit trekëndësh kënddrejtë rreth njërës nga këmbët e saj. Baza e konit formon një rreth. Seksioni vertikal i konit është një trekëndësh, seksioni horizontal është një rreth. Lartësia e një koni është segmenti që lidh majën e konit me qendrën e bazës. Gjenerata e një koni është një segment që lidh kulmin e konit me çdo pikë në vijën e rrethit bazë.

Meqenëse një kon formohet duke rrotulluar një trekëndësh kënddrejtë, rezulton se pjesa e parë e një trekëndëshi të tillë është lartësia, e dyta është rrezja e rrethit në bazë dhe hipotenuza është gjenerata e konit. Nuk është e vështirë të merret me mend se teorema e Pitagorës është e dobishme për llogaritjen e gjatësisë së gjeneratorit. Dhe tani më shumë rreth asaj se si të gjeni gjatësinë e gjeneratorit të konit.

Gjetja e gjeneratorit

Mënyra më e lehtë për të kuptuar se si të gjeni një gjenerator është në shembull specifik. Supozoni se janë dhënë kushtet e mëposhtme të problemit: lartësia është 9 cm, diametri i rrethit bazë është 18 cm.

Pra, lartësia e konit (9 cm) është një nga këmbët e trekëndëshit kënddrejtë me ndihmën e të cilit është formuar ky kon. Këmba e dytë do të jetë rrezja e rrethit bazë. Rrezja është gjysma e diametrit. Kështu, ne e ndajmë diametrin që na është dhënë në gjysmë dhe marrim gjatësinë e rrezes: 18:2 = 9. Rrezja është 9.

Tani është shumë e lehtë të gjesh gjeneratën e konit. Meqenëse është hipotenuza, katrori i gjatësisë së saj do të jetë e barabartë me shumën katrorët e këmbëve, domethënë shuma e katrorëve të rrezes dhe lartësisë. Pra, katrori i gjatësisë së gjeneratorit = 64 (katrori i gjatësisë së rrezes) + 64 (katrori i gjatësisë së lartësisë) = 64x2 = 128. Tani nxjerrim Rrenja katrore nga 128. Si rezultat, marrim tetë rrënjë nga dy. Kjo do të jetë gjenerata e konit.

Siç mund ta shihni, nuk ka asgjë të komplikuar në lidhje me këtë. Për shembull, ne morëm kushte të thjeshta detyrat, megjithatë kursi shkollor ato mund të jenë më komplekse. Mos harroni se për të llogaritur gjatësinë e gjeneratorit duhet të zbuloni rrezen e rrethit dhe lartësinë e konit. Duke ditur këto të dhëna, është e lehtë të gjesh gjatësinë e gjeneratorit.

Gjeometria është një degë e matematikës që studion strukturat në hapësirë ​​dhe marrëdhëniet midis tyre. Nga ana tjetër, ai gjithashtu përbëhet nga seksione, dhe një prej tyre është stereometria. Ai përfshin studimin e vetive të figurave tredimensionale të vendosura në hapësirë: kubi, piramida, topi, koni, cilindri, etj.

Një kon është një trup në hapësirën Euklidiane që kufizon sipërfaqe konike dhe rrafshin në të cilin shtrihen skajet e gjeneratorëve të tij. Formimi i tij ndodh gjatë rrotullimit të një trekëndëshi kënddrejtë rreth ndonjë prej këmbëve të tij, kështu që i përket trupave të revolucionit.

Përbërësit e një koni

Ekzistojnë llojet e mëposhtme të konëve: të zhdrejtë (ose të prirur) dhe të drejtë. I zhdrejtë është ai boshti i të cilit nuk kryqëzohet me qendrën e bazës së tij në një kënd të drejtë. Për këtë arsye, lartësia në një kon të tillë nuk përkon me boshtin, pasi është një segment që ulet nga maja e trupit në rrafshin e bazës së tij në një kënd prej 90 °.

Koni, boshti i të cilit është pingul me bazën e tij quhet i drejtë. Boshti dhe lartësia në këtë trup gjeometrik përkojnë për shkak të faktit se kulmi në të ndodhet mbi qendrën e diametrit të bazës.

Koni përbëhet nga elementët e mëposhtëm:

1. Rrethi që është baza e tij.
2. Sipërfaqja anësore.
3. Një pikë që nuk shtrihet në rrafshin e bazës, e quajtur kulmi i konit.
4. Segmente që lidhin pikat e rrethit të bazës së një trupi gjeometrik dhe kulmin e tij.

Të gjithë këta segmente janë gjenerues të konit. Ata janë të prirur në bazën e trupit gjeometrik, dhe në rast kon i drejtë projeksionet e tyre janë të barabarta, meqë kulmi është i barabartë nga pikat e rrethit bazë. Kështu, mund të konkludojmë se në një kon të rregullt (të drejtë) gjeneratorët janë të barabartë, domethënë kanë të njëjtën gjatësi dhe formojnë të njëjtat kënde me boshtin (ose lartësinë) dhe bazën.

Meqenëse në një trup të zhdrejtë (ose të pjerrët) rrotullimi kulmi zhvendoset në lidhje me qendrën e planit bazë, gjeneratorët në një trup të tillë kanë gjatësi dhe projeksione të ndryshme, pasi secila prej tyre është në një distancë të ndryshme nga çdo dy pika të rrethi i bazës. Përveç kësaj, këndet midis tyre dhe lartësia e konit do të jenë gjithashtu të ndryshme.

Gjatësia e gjeneratorëve në një kon të drejtë

Siç është shkruar më herët, lartësia në një trup gjeometrik të drejtë të rrotullimit është pingul me rrafshin e bazës. Kështu, gjenerata, lartësia dhe rrezja e bazës krijojnë një trekëndësh kënddrejtë në kon.

Kjo do të thotë, duke ditur rrezen dhe lartësinë e bazës, duke përdorur formulën nga teorema e Pitagorës, mund të llogarisni gjatësinë e gjeneratorit, e cila do të jetë e barabartë me shumën e katrorëve të rrezes dhe lartësisë bazë:

l 2 = r 2 + h 2 ose l = √r 2 + h 2

ku l është gjeneratori;

r - rrezja;

h - lartësi.

Gjenerator në një kon të prirur

Duke u bazuar në faktin se në një kon të pjerrët ose të pjerrët gjeneratorët nuk kanë të njëjtën gjatësi, llogaritni ato pa ndërtime shtesë dhe llogaritjet nuk do të funksionojnë.

Para së gjithash, duhet të dini lartësinë, gjatësinë e boshtit dhe rrezen e bazës.

r 1 = √k 2 - h 2

ku r 1 është pjesa e rrezes ndërmjet boshtit dhe lartësisë;

k - gjatësia e boshtit;

h - lartësi.

Si rezultat i shtimit të rrezes (r) dhe pjesës së saj që shtrihet midis boshtit dhe lartësisë (r 1), mund të zbuloni gjeneratën e plotë të gjeneruar të konit, lartësinë e tij dhe një pjesë të diametrit:

ku R është këmbëza e një trekëndëshi të formuar nga lartësia, gjenerata dhe një pjesë e diametrit të bazës;

r - rrezja e bazës;

r 1 - një pjesë e rrezes midis boshtit dhe lartësisë.

Duke përdorur të njëjtën formulë nga teorema e Pitagorës, mund të gjeni gjatësinë e gjeneratorit të konit:

l = √h 2 + R 2

ose, pa llogaritur veçmas R, kombinoni dy formulat në një:

l = √h 2 + (r + r 1) 2.

Pavarësisht nëse koni është i drejtë apo i zhdrejtë dhe cilat janë të dhënat hyrëse, të gjitha metodat për gjetjen e gjatësisë së gjeneratorit gjithmonë zbresin në një rezultat - përdorimin e teoremës së Pitagorës.

Seksioni i konit

Aksial është një aeroplan që kalon përgjatë boshtit ose lartësisë së tij. Në një kon të drejtë, një seksion i tillë është trekëndëshi dykëndësh, në të cilin lartësia e trekëndëshit është lartësia e trupit, anët e tij janë gjeneratorët dhe baza është diametri i bazës. Në një trup gjeometrik barabrinjës seksion boshtorështë trekëndësh barabrinjës, pasi në këtë kon diametri i bazës dhe gjeneratorëve janë të barabartë.

Rrafshi i seksionit boshtor në një kon të drejtë është rrafshi i simetrisë së tij. Arsyeja për këtë është se maja e saj ndodhet mbi qendrën e bazës së saj, domethënë, rrafshi i seksionit boshtor e ndan konin në dy pjesë identike.

Që në një të prirur trup vëllimor lartësia dhe boshti nuk përkojnë, rrafshi i seksionit boshtor mund të mos përfshijë lartësinë. Nëse në një kon të tillë mund të ndërtohen shumë seksione boshtore, pasi për këtë duhet të plotësohet vetëm një kusht - ai duhet të kalojë vetëm përmes boshtit, atëherë seksioni boshtor i rrafshit të cilit do t'i përkasë lartësia e këtij koni mund të vizatohet vetëm. një, sepse numri i kushteve rritet dhe, siç dihet, dy drejtëza (së bashku) mund t'i përkasin vetëm një rrafshi.

Zona e prerjes tërthore

Seksioni boshtor i konit i përmendur më parë është një trekëndësh. Bazuar në këtë, zona e saj mund të llogaritet duke përdorur formulën për sipërfaqen e një trekëndëshi:

S = 1/2 * d * h ose S = 1/2 * 2r * h

ku S është sipërfaqja e prerjes tërthore;

d - diametri i bazës;

r - rrezja;

h - lartësi.

Në një kon të zhdrejtë ose të pjerrët, seksioni kryq përgjatë boshtit është gjithashtu një trekëndësh, kështu që zona e prerjes kryq në të llogaritet në mënyrë të ngjashme.

Vëllimi

Meqenëse koni është figurë voluminoze V hapësirë ​​tredimensionale, atëherë mund të llogarisni vëllimin e tij. Vëllimi i një koni është një numër që e karakterizon këtë trup në një njësi vëllimi, domethënë në m3. Llogaritja nuk varet nëse është i drejtë apo i zhdrejtë (i zhdrejtë), pasi formulat për këto dy lloje trupash nuk ndryshojnë.

Siç u tha më herët, formimi i një koni të drejtë ndodh për shkak të rrotullimit të një trekëndëshi kënddrejtë përgjatë njërës prej këmbëve të tij. Një kon i prirur ose i zhdrejtë formohet ndryshe, pasi lartësia e tij zhvendoset nga qendra e planit të bazës së trupit. Sidoqoftë, ndryshime të tilla në strukturë nuk ndikojnë në metodën e llogaritjes së vëllimit të saj.

Llogaritja e volumit

Çdo kon duket si kjo:

V = 1/3 * π * h * r 2

ku V është vëllimi i konit;

h - lartësia;

r - rrezja;

π është një konstante e barabartë me 3.14.

Për të llogaritur lartësinë e një trupi, duhet të dini rrezen e bazës dhe gjatësinë e gjeneratorit të saj. Meqenëse rrezja, lartësia dhe gjeneratori kombinohen në një trekëndësh kënddrejtë, lartësia mund të llogaritet duke përdorur formulën nga teorema e Pitagorës (a 2 + b 2 = c 2 ose në rastin tonë h 2 + r 2 = l 2, ku l është gjeneratori). Lartësia do të llogaritet duke marrë rrënjën katrore të diferencës midis katrorëve të hipotenuzës dhe këmbës tjetër:

a = √c 2 - b 2

Kjo do të thotë, lartësia e konit do të jetë e barabartë me vlerën e marrë pas marrjes së rrënjës katrore të diferencës midis katrorit të gjatësisë së gjeneratorit dhe katrorit të rrezes së bazës:

h = √l 2 - r 2

Duke llogaritur lartësinë duke përdorur këtë metodë dhe duke ditur rrezen e bazës së saj, mund të llogarisni vëllimin e konit. Mësuesi luan rol i rendesishem, pasi shërben si element ndihmës në llogaritje.

Në mënyrë të ngjashme, nëse dihet lartësia e një trupi dhe gjatësia e gjenerimit të tij, mund të zbulohet rrezja e bazës së tij duke marrë rrënjën katrore të diferencës midis katrorit të gjeneratorit dhe katrorit të lartësisë:

r = √l 2 - h 2

Pastaj, duke përdorur të njëjtën formulë si më sipër, llogaritni vëllimin e konit.

Vëllimi i një koni të prirur

Meqenëse formula për vëllimin e një koni është e njëjtë për të gjitha llojet e trupave të rrotullimit, ndryshimi në llogaritjen e tij është kërkimi i lartësisë.

Për të zbuluar lartësinë kon i prirur, të dhënat hyrëse duhet të përfshijnë gjatësinë e gjeneratorit, rrezen e bazës dhe distancën ndërmjet qendrës së bazës dhe kryqëzimit të lartësisë së trupit me rrafshin e bazës së tij. Duke e ditur këtë, mund të llogarisni lehtësisht atë pjesë të diametrit të bazës që do të jetë baza e një trekëndëshi kënddrejtë (i formuar nga lartësia, gjenerata dhe rrafshi i bazës). Pastaj, përsëri duke përdorur teoremën e Pitagorës, llogaritni lartësinë e konit dhe më pas vëllimin e tij.

Kthehu përpara

Kujdes! Pamjet paraprake të diapozitivëve janë vetëm për qëllime informative dhe mund të mos përfaqësojnë të gjitha tiparet e prezantimit. Ne qofte se je i interesuar kjo pune, ju lutemi shkarkoni versionin e plotë.

Lloji i mësimit: një mësim për të mësuarit e materialit të ri duke përdorur elementë të një metode të mësimdhënies zhvillimore të bazuar në problem.

Objektivat e mësimit:

• arsimore:
  • njohja me të reja koncepti matematik;
  • formimi i qendrave të reja të trajnimit;
  • formimi i aftësive praktike për zgjidhjen e problemeve.
• duke zhvilluar:
  • zhvillimi i të menduarit të pavarur të nxënësve;
  • zhvillimin e aftësive të folurit e saktë nxënës shkollash.
• arsimore:
  • zhvillimin e aftësive të punës në grup.

Pajisjet e mësimit: tabelë magnetike, kompjuter, ekran, projektor multimedial, model kon, prezantim mësimi, fletushkë.

Objektivat e mësimit (për nxënësit):

• takoj njerez te rinj koncepti gjeometrik- kon;
• nxjerrin një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së një kon;
• mësojnë të zbatojnë njohuritë e marra gjatë zgjidhjes së problemeve praktike.

Gjatë orëve të mësimit

Faza I. Organizative.

Kthimi i fletoreve nga shtëpia punë testuese në temën e trajtuar.

Ftohen nxënësit të zbulojnë temën e mësimit të ardhshëm duke zgjidhur enigmën (rrëshqitje 1):

Foto 1.

Njoftimi i temës dhe objektivave të orës së mësimit për nxënësit (rrëshqitje 2).

Faza II. Shpjegimi i materialit të ri.

1) Ligjërata e mësuesit.

Në tabelë ka një tabelë me një foto të një koni. Material i ri shpjegohet e shoqëruar nga material programor"Stereometri". Një imazh tredimensional i një koni shfaqet në ekran. Mësuesi/ja jep përkufizimin e konit dhe flet për elementet e tij. (rrëshqitje 3). Thuhet se një kon është një trup i formuar nga rrotullimi i një trekëndëshi kënddrejtë në lidhje me një këmbë. (rrëshqitjet 4, 5). Shfaqet një imazh i një skanimi të sipërfaqes anësore të konit. (rrëshqitje 6)

2) Punë praktike.

Përditëso njohuri të sfondit: përsëritni formulat për llogaritjen e sipërfaqes së një rrethi, sipërfaqes së një sektori, gjatësisë së një rrethi, gjatësisë së një harku të një rrethi. (rrëshqitje 7–10)

Klasa është e ndarë në grupe. Secili grup merr një skanim të sipërfaqes anësore të konit të prerë nga letra (një sektor i një rrethi me një numër të caktuar). Nxënësit marrin matjet e nevojshme dhe llogaritin sipërfaqen e sektorit që rezulton. Udhëzimet për kryerjen e punës, pyetjet - deklaratat e problemeve - shfaqen në ekran (rrëshqitjet 11–14). Një përfaqësues i secilit grup shënon rezultatet e llogaritjeve në një tabelë të përgatitur në tabelë. Pjesëmarrësit në secilin grup ngjitin së bashku një model të një koni nga modeli që kanë. (rrëshqitje 15)

3) Deklarata dhe zgjidhja e problemit.

Si të llogaritet sipërfaqja anësore e një koni nëse dihet vetëm rrezja e bazës dhe gjatësia e gjeneratorit të konit? (rrëshqitje 16)

Secili grup merr matjet e nevojshme dhe përpiqet të nxjerrë një formulë për llogaritjen e sipërfaqes së kërkuar duke përdorur të dhënat e disponueshme. Gjatë kryerjes së kësaj pune, nxënësit e shkollës duhet të vërejnë se perimetri i bazës së konit është i barabartë me gjatësinë e harkut të sektorit - zhvillimi i sipërfaqes anësore të këtij koni. (rrëshqitjet 17–21) Duke përdorur formulat e nevojshme, shfaqet formula e kërkuar. Argumentet e studentëve duhet të duken diçka si kjo:

Rrezja e fshirjes së sektorit është e barabartë me l, masë shkallë harqe – φ. Sipërfaqja e sektorit llogaritet me formulën: gjatësia e harkut që kufizon këtë sektor është e barabartë me rrezen e bazës së konit R. Gjatësia e rrethit që shtrihet në bazën e konit është C = 2πR . Vini re se meqenëse sipërfaqja e sipërfaqes anësore të konit është e barabartë me zonën e zhvillimit të sipërfaqes së saj anësore, atëherë

Pra, sipërfaqja e sipërfaqes anësore të konit llogaritet me formulë S BOD = πRl.

Pas llogaritjes së sipërfaqes së sipërfaqes anësore të modelit të konit duke përdorur një formulë të nxjerrë në mënyrë të pavarur, një përfaqësues i secilit grup shkruan rezultatin e llogaritjeve në një tabelë në tabelë në përputhje me numrat e modelit. Rezultatet e llogaritjes në çdo rresht duhet të jenë të barabarta. Bazuar në këtë, mësuesi përcakton saktësinë e përfundimeve të secilit grup. Tabela e rezultateve duhet të duket si kjo:

Parametrat e modelit:

1. l=12 cm, φ =120°
2. l=10 cm, φ =150°
3. l=15 cm, φ =120°
4. l=10 cm, φ =170°
5. l=14 cm, φ =110°

Përafrimi i llogaritjeve shoqërohet me gabime në matje.

Pas kontrollit të rezultateve, dalja e formulave për zonat e sipërfaqeve anësore dhe totale të konit shfaqet në ekran. (rrëshqitjet 22–26), nxënësit mbajnë shënime në fletore.

Faza III. Konsolidimi i materialit të studiuar.

1) U ofrohen studentëve problema për zgjidhje gojore në vizatime të gatshme.

Gjeni sipërfaqet e sipërfaqeve të plota të koneve të paraqitura në figura (rrëshqitjet 27–32).

2) Pyetje: A janë të barabarta sipërfaqet e koneve? formuar nga rrotullimi një trekëndësh kënddrejtë në lidhje me brinjë të ndryshme? Nxënësit nxjerrin një hipotezë dhe e testojnë atë. Hipoteza testohet duke zgjidhur problema dhe shkruhet nga nxënësi në tabelë.

E dhënë:Δ ABC, ∠C=90°, AB=c, AC=b, BC=a;

ВАА", АВВ" - trupat e rrotullimit.

Gjej: S PPK 1, S PPK 2.

Figura 5. (rrëshqitje 33)

Zgjidhja:

1) R=BC = a; S PPK 1 = S BOD 1 + S kryesore 1 = π a c + π a 2 = π a (a + c).

2) R=AC = b; S PPK 2 = S BOD 2 + S baza 2 = π b c+π b 2 = π b (b + c).

Nëse S PPK 1 = S PPK 2, atëherë a 2 +ac = b 2 + bc, a 2 - b 2 + ac - bc = 0, (a-b)(a+b+c) = 0. Sepse a, b, c - numrat pozitivë (gjatësitë e brinjëve të trekëndëshit), barazia është e vërtetë vetëm nëse a =b.

konkluzioni: Sipërfaqja e dy koneve është e barabartë vetëm nëse anët e trekëndëshit janë të barabarta. (rrëshqitje 34)

3) Zgjidhja e problemës nga teksti mësimor: Nr.565.

Faza IV. Duke përmbledhur mësimin.

Detyre shtepie: paragrafët 55, 56; nr 548, nr 561. (rrëshqitje 35)

Shpallja e notave të caktuara.

Përfundime gjatë orës së mësimit, përsëritje e informacionit kryesor të marrë gjatë orës së mësimit.

Letërsia (rrëshqitje 36)

1. Klasat e gjeometrisë 10-11 - Atanasyan, V.F Butuzov, S.B. Kadomtsev et al., M., "Prosveshchenie", 2008.
2. « Puzzles matematikore dhe sharada” – N.V. Udaltsova, biblioteka "I pari i shtatorit", seria "MATEMATIKA", numri 35, M., Chistye Prudy, 2010.