Si të gjeni funksionin e korrelacionit të një shembulli të procesit të rastësishëm. Funksioni korrelativ i një procesi të palëvizshëm

Ne shohim forma rrethi dhe rrathë kudo: kjo është rrota e një makine, vija e horizontit dhe disku i Hënës. Matematikanët filluan të studiojnë figurat gjeometrike - një rreth në një aeroplan - shumë kohë më parë.

Një rreth me qendër dhe rreze është një grup pikash në një plan të vendosur në një distancë jo më të madhe se . Rrethi kufizohet nga një rreth i përbërë nga pika të vendosura saktësisht në një distancë nga qendra. Segmentet që lidhin qendrën me pikat e rrethit kanë një gjatësi dhe quhen gjithashtu rreze (të një rrethi, rrethi). Quhen pjesët e rrethit në të cilat ndahet me dy rreze sektorët rrethorë(Fig. 1). Një akord - një segment që lidh dy pika në një rreth - e ndan rrethin në dy segmente dhe rrethin në dy harqe (Fig. 2). Një pingul i tërhequr nga qendra në akord e ndan atë dhe harqet nënshtrohen prej saj në gjysmë. Akordi është më i gjatë, aq më afër qendrës ndodhet; kordat më të gjata - kordat që kalojnë nëpër qendër - quhen diametra (të një rrethi, rrethi).

Nëse një vijë e drejtë largohet nga qendra e një rrethi me një distancë , atëherë at nuk kryqëzohet me rrethin, në kryqëzohet me rrethin përgjatë një korde dhe quhet sekant, at ka një pikë të vetme të përbashkët me rrethin dhe rreth dhe quhet tangjente. Një tangjente karakterizohet nga fakti se është pingul me rrezen e tërhequr deri në pikën e tangjencës. Dy tangjente mund të tërhiqen në një rreth nga një pikë jashtë tij, dhe segmentet e tyre nga një pikë e caktuar në pikat e tangjences janë të barabarta.

Harqet e një rrethi, si këndet, mund të maten në shkallë dhe fraksione. Një pjesë e të gjithë rrethit merret si shkallë. Këndi qendror (Fig. 3) matet në të njëjtin numër shkallësh si harku mbi të cilin mbështetet; një kënd i brendashkruar matet me gjysmë harku. Nëse kulmi i këndit shtrihet brenda rrethit, atëherë ky kënd në gradë është i barabartë me gjysmën e shumës së harqeve dhe (Fig. 4, a). Një kënd me një kulm jashtë rrethit (Fig. 4,b), duke prerë harqet dhe në rreth, matet me gjysmëdiferencën e harqeve dhe. Së fundi, këndi midis tangjentes dhe kordës e barabartë me gjysmën harku i një rrethi të mbyllur midis tyre (Fig. 4,c).

Rrethi dhe perimetri kanë grup i pafund boshtet e simetrisë.

Nga teoremat për matjen e këndeve dhe ngjashmërinë e trekëndëshave vijojnë dy teorema për segmentet proporcionale në një rreth. Teorema e kordës thotë se nëse një pikë shtrihet brenda një rrethi, atëherë prodhimi i gjatësisë së segmenteve të kordave që kalojnë nëpër të është konstant. Në Fig. 5, a. Teorema rreth sekantës dhe tangjentes (që nënkupton gjatësitë e segmenteve të pjesëve të këtyre linjave) thotë se nëse një pikë shtrihet jashtë rrethit, atëherë produkti i sekantit dhe pjesës së jashtme të tij është gjithashtu i pandryshuar dhe i barabartë me katrorin e tangjentes ( Fig. 5,b).

Edhe në kohët e lashta, njerëzit u përpoqën të zgjidhnin problemet që lidhen me rrethin - të masin gjatësinë e një rrethi ose harkun e tij, zonën e një rrethi ose sektori, segmenti. E para prej tyre ka një zgjidhje thjesht "praktike": mund të vendosni një fije përgjatë një rrethi, dhe më pas ta rrokullisni dhe ta aplikoni në një sundimtar, ose të shënoni një pikë në rreth dhe ta "rrokullisni" atë përgjatë sundimtarit (mundeni , përkundrazi, "rrotulloni" një rreth me një sundimtar). Në një mënyrë apo tjetër, matjet treguan se raporti i perimetrit me diametrin e tij është i njëjtë për të gjithë rrathët. Kjo marrëdhënie zakonisht shënohet Letra greke("pi" është shkronja fillestare fjalë greke perimetron, që do të thotë "rreth").

Sidoqoftë, matematikanët e lashtë grekë nuk ishin të kënaqur me një qasje të tillë empirike, eksperimentale për përcaktimin e perimetrit të një rrethi: një rreth është një vijë, d.m.th., sipas Euklidit, "gjatësi pa gjerësi" dhe fije të tilla nuk ekzistojnë. Nëse rrotullojmë një rreth përgjatë një vizoreje, atëherë lind pyetja: pse marrim perimetrin dhe jo ndonjë vlerë tjetër? Për më tepër, kjo qasje nuk na lejoi të përcaktojmë zonën e rrethit.

Zgjidhja u gjet si më poshtë: nëse marrim parasysh gondet e rregullta të gdhendura në një rreth, atëherë si , me prirje drejt pafundësisë, në kufirin që ata priren të . Prandaj, është e natyrshme të prezantohen përkufizimet e mëposhtme, tashmë të rrepta: gjatësia e një rrethi është kufiri i sekuencës së perimetrave të trekëndëshave të rregullt të gdhendur në një rreth, dhe zona e një rrethi është kufiri i sekuencës. të zonave të tyre. Kjo qasje pranohet gjithashtu në matematikën moderne, dhe në lidhje jo vetëm me rrethin dhe rrethin, por edhe me zona të tjera të lakuara ose zona të kufizuara nga konturet lakuare: në vend të shumëkëndëshave të rregullt, sekuencat e vijave të thyera me kulme në kthesa ose konturet e zonave. konsiderohen dhe kufiri merret kur gjatësia tenton te hallkat më të mëdha të vijës së thyer në zero.

Gjatësia e harkut të një rrethi përcaktohet në mënyrë të ngjashme: harku ndahet në pjesë të barabarta, pikat e ndarjes lidhen me një vijë të thyer dhe gjatësia e harkut jepet. e barabartë me kufirin perimetrat e vijave të tilla të thyera si , që priren drejt pafundësisë. (Ashtu si grekët e lashtë, ne nuk e sqarojmë vetë konceptin e kufirit - ai nuk i referohet më gjeometrisë dhe u prezantua mjaft rreptësisht vetëm në shekullin e 19-të.)

Nga përkufizimi i vetë numrit, formula për perimetrin vijon:

Për gjatësinë e një harku, mund të shkruajmë një formulë të ngjashme: meqenëse për dy harqe dhe me një kënd qendror të përbashkët, proporcioni rrjedh nga konsideratat e ngjashmërisë, dhe prej tij proporcioni, pasi kalojmë në kufi, fitojmë pavarësinë (të rrezja e harkut) të raportit. Ky raport përcaktohet vetëm nga këndi qendror dhe quhet masa radiane e këtij këndi dhe të gjithë harqeve përkatëse me qendër në. Kjo jep formulën për gjatësinë e harkut:

ku është masa radiane e harkut.

Formulat e shkruara për dhe janë thjesht përkufizime ose shënime të rishkruara, por me ndihmën e tyre marrim formula për zonat e një rrethi dhe një sektori që janë larg nga thjesht shënime:

Për të nxjerrë formulën e parë, mjafton të shkoni në kufirin në formulë për zonën e një trekëndëshi të rregullt të gdhendur në një rreth:

A-parësore ana e majte priret në zonën e rrethit, dhe e djathta priret te numri

dhe , bazat e medianave të saj dhe , pikat e mesit dhe segmentet e vijës nga pika e kryqëzimit të lartësive të saj në kulmet e saj.

Ky rreth, i gjetur në shek. nga shkencëtari i madh L. Euler (kjo është arsyeja pse shpesh quhet edhe rrethi i Euler-it), u rizbulua në shekullin e ardhshëm nga një mësues në një gjimnaz provincial në Gjermani. Ky mësues quhej Karl Feuerbach (ai ishte vëllai i filozof i famshëm Ludwig Feuerbach). Përveç kësaj, K. Feuerbach zbuloi se një rreth me nëntë pika ka katër pika të tjera që janë të lidhura ngushtë me gjeometrinë e çdo trekëndëshi i dhënë. Këto janë pikat e kontaktit me katër rrathët lloj i veçantë(Fig. 2). Njëri prej këtyre rrathëve është i gdhendur, tre të tjerët janë rrethore. Ato janë të gdhendura në qoshet e trekëndëshit dhe preken nga jashtë anët e saj. Pikat e kontaktit të këtyre rrathëve me një rreth prej nëntë pikash quhen pika të Feuerbach-ut. Kështu, rrethi prej nëntë pikash është në të vërtetë rrethi i trembëdhjetë pikave.

Ky rreth është shumë i lehtë për t'u ndërtuar nëse i njihni dy vetitë e tij. Së pari, qendra e rrethit prej nëntë pikash shtrihet në mes të segmentit që lidh qendrën e rrethit të rrethuar rreth trekëndëshit me një pikë - ortoqendrën e tij (pika e kryqëzimit të lartësive të tij). Së dyti, rrezja e tij për një trekëndësh të caktuar është e barabartë me gjysmën e rrezes së rrethit të rrethuar rreth tij.

Rretho është një vijë e mbyllur e sheshtë, të gjitha pikat e së cilës janë në të njëjtën distancë nga një pikë e caktuar (pika O), e cila quhet qendër e rrethit.
(Perimetri - figura gjeometrike, i përbërë nga të gjitha pikat e vendosura në një distancë të caktuar nga një pikë e caktuar.)

Rretho është një pjesë e rrafshit të kufizuar nga një rreth.

Distanca nga një pikë në një rreth në qendrën e tij, si dhe segmenti që lidh qendrën e rrethit me pikën e tij, quhet rreze rrethi/rrethi.
Shihni se si rrethi dhe perimetri përdoren në jetën, artin, dizajnin tonë.

Akord - greqisht - një varg që lidh diçka së bashku
Diametri - "Matje përmes"

FORMA E RRUGULL

Këndet mund të ndodhin në sasi gjithnjë në rritje dhe, në përputhje me rrethanat, të fitojnë një kthesë gjithnjë në rritje - derisa ato të zhduken plotësisht dhe avioni të bëhet një rreth.Është shumë e thjeshtë dhe në të njëjtën kohë shumë rast i vështirë, për të cilën do të doja të flisja në detaje. Këtu duhet theksuar se si thjeshtësia ashtu edhe kompleksiteti janë për shkak të mungesës së këndeve. Rrethi është i thjeshtë sepse presioni i kufijve të tij, në krahasim me format drejtkëndore, është i niveluar - dallimet këtu nuk janë aq të mëdha. Është kompleks sepse pjesa e sipërme derdhet në mënyrë të padukshme në të majtë dhe të djathtë, dhe majtas dhe djathtas në fund.

V. Kandinsky

NË Greqia e lashte rrethi dhe perimetri konsideroheshin kurora e përsosmërisë. Në të vërtetë, në çdo pikë rrethi është rregulluar në të njëjtën mënyrë, gjë që e lejon atë të lëvizë vetë. Kjo veti e rrethit të bërë dukuri e mundshme rrotat, pasi boshti dhe boshti i rrotës duhet të jenë në kontakt gjatë gjithë kohës.

Në shkollë studiohet shumë veti të dobishme rrathët. Një nga teoremat më të bukura është si vijon: le të nxjerrim pikë e dhënë vija e drejtë që kryqëzohet rrethi i dhënë, atëherë prodhimi i distancave nga kjo pikë deri në pikat e kryqëzimit të një rrethi me një vijë të drejtë nuk varen saktësisht se si është tërhequr vija e drejtë. Kjo teoremë është rreth dy mijë vjet e vjetër.

Në Fig. Figura 2 tregon dy rrathë dhe një zinxhir rrathësh, secila prej të cilave prek këto dy rrathë dhe dy fqinjë në zinxhir. Gjeometri zviceran Jacob Steiner vërtetoi rreth 150 vjet më parë deklaratën e mëposhtme: nëse për ndonjë zgjedhje të rrethit të tretë zinxhiri është i mbyllur, atëherë ai do të mbyllet për çdo zgjedhje tjetër të rrethit të tretë. Nga kjo rezulton se nëse zinxhiri nuk mbyllet një herë, atëherë ai nuk do të mbyllet për asnjë zgjedhje të rrethit të tretë. Për artistin që pikturoizinxhiri i përshkruar, dikush do të duhet të punojë shumë për ta bërë atë të funksionojë, ose t'i drejtohet një matematikani për të llogaritur vendndodhjen e dy rrathëve të parë, në të cilin zinxhiri është i mbyllur.

Fillimisht përmendëm timonin, por edhe para timonit, njerëzit përdornin trungje të rrumbullakëta- rula për transportin e ngarkesave të rënda.

A është e mundur të përdoren rula të ndonjë forme tjetër përveç rrumbullakët? gjermaneInxhinieri Franz Relo zbuloi se rrotullat, forma e të cilave është paraqitur në Fig., kanë të njëjtën veti. 3. Kjo figurë fitohet duke vizatuar harqe rrathësh me qendra në kulme trekëndësh barabrinjës duke lidhur dy kulme të tjera. Nëse vizatojmë dy tangjente paralele me këtë figurë, atëherë distanca ndërmjetato do të jenë të barabarta me gjatësinë e anës së trekëndëshit origjinal barabrinjës, kështu që rrotullat e tillë nuk janë më keq se ato të rrumbullakëta. Më vonë, u shpikën figura të tjera që mund të shërbenin si rula.

Enz. "Unë eksploroj botën. Matematikë", 2006

Çdo trekëndësh ka, dhe për më tepër, vetëm një, rrethi me nëntë pika. Kjonjë rreth që kalon nëpër tre treshe pikat e mëposhtme, pozicionet e të cilave përcaktohen për trekëndëshin: bazat e lartësive të tij D1 D2 dhe D3, bazat e medianave të tij D4, D5 dhe D6pikat e mesit të D7, D8 dhe D9 të segmenteve të drejta nga pika e prerjes së lartësive të saj H në kulmet e saj.

Ky rreth, i gjetur në shek. nga shkencëtari i madh L. Euler (kjo është arsyeja pse shpesh quhet edhe rrethi i Euler-it), u rizbulua në shekullin e ardhshëm nga një mësues në një gjimnaz provincial në Gjermani. Ky mësues quhej Karl Feuerbach (ai ishte vëllai i filozofit të famshëm Ludwig Fouerbach).Përveç kësaj, K. Feuerbach zbuloi se rrethi prej nëntë pikash ka katër pika të tjera që janë të lidhura ngushtë me gjeometrinë e çdo trekëndëshi të caktuar. Këto janë pikat e kontaktit të tij me katër rrathë të një lloji të veçantë. Njëri prej këtyre rrathëve është i gdhendur, tre të tjerët janë rrethore. Ato janë të gdhendura në qoshet e trekëndëshit dhe nga jashtë prekin anët e tij. Pikat e tangjencës së këtyre rrathëve me rrethin prej nëntë pikash D10, D11, D12 dhe D13 quhen pika të Feuerbach-ut. Kështu, rrethi prej nëntë pikash është në të vërtetë rrethi i trembëdhjetë pikave.

Ky rreth është shumë i lehtë për t'u ndërtuar nëse i njihni dy vetitë e tij. Së pari, qendra e rrethit prej nëntë pikash shtrihet në mes të segmentit që lidh qendrën e rrethit të rrethuar të trekëndëshit me pikën H - ortoqendrën e tij (pika e kryqëzimit të lartësive të tij). Së dyti, rrezja e tij për një trekëndësh të caktuar është e barabartë me gjysmën e rrezes së rrethit të rrethuar rreth tij.

Enz. libër referimi për matematikanët e rinj, 1989

Rretho- një figurë gjeometrike e përbërë nga të gjitha pikat e rrafshit të vendosura në një distancë të caktuar nga një pikë e caktuar.

Kjo pikë (O) quhet qendra e rrethit.
Rrezja e rrethit- ky është një segment që lidh qendrën me çdo pikë të rrethit. Të gjitha rrezet kanë të njëjtën gjatësi (sipas përkufizimit).
Akord- një segment që lidh dy pika në një rreth. Një kordë që kalon në qendër të një rrethi quhet diametri. Qendra e një rrethi është mesi i çdo diametri.
Çdo dy pika në një rreth e ndajnë atë në dy pjesë. Secila prej këtyre pjesëve quhet harku i një rrethi. Harku quhet gjysmërreth, nëse segmenti që lidh skajet e tij është një diametër.
Gjatësia e një gjysmërrethi njësi shënohet me π .
Shuma e masave të shkallës së dy harqeve të një rrethi me skaje të përbashkëta është e barabartë me 360º.
Pjesa e rrafshit e kufizuar me rreth quhet përreth.
Sektori rrethor- një pjesë e një rrethi të kufizuar nga një hark dhe dy rreze që lidhin skajet e harkut me qendrën e rrethit. Harku që kufizon sektorin quhet harku i sektorit.
Dy rrathë që kanë qendër e përbashkët, quhen koncentrike.
Quhen dy rrathë që kryqëzohen në kënde të drejta ortogonale.

Pozicioni relativ i vijës së drejtë dhe rrethit

Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë më pak se rreze rrethi ( d), atëherë një vijë e drejtë dhe një rreth kanë dy pikat e përbashkëta. Në këtë rast linja quhet sekant në raport me rrethin.
Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë është e barabartë me rrezen e rrethit, atëherë vija e drejtë dhe rrethi kanë vetëm një pikë të përbashkët. Kjo linjë quhet tangjente me rrethin, dhe pika e tyre e përbashkët quhet pika e tangjences midis një vije dhe një rrethi.
Nëse distanca nga qendra e rrethit në vijën e drejtë më i madh se rrezja rrathë, pastaj një vijë e drejtë dhe një rreth nuk kanë pika të përbashkëta

Kënde qendrore dhe të brendashkruara

Këndi qendrorështë një kënd me kulmin e tij në qendër të rrethit.
Këndi i brendashkruar- një kënd, kulmi i të cilit shtrihet në një rreth dhe brinjët e të cilit e presin rrethin.

Teorema e këndit të brendashkruar

Një kënd i brendashkruar matet me gjysmën e harkut mbi të cilin shtrihet.

Përfundimi 1.
Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë të barabartë.

Përfundimi 2.
Një kënd i brendashkruar i nënshtruar nga një gjysmërreth është një kënd i drejtë.

Teorema mbi produktin e segmenteve të kordave të kryqëzuara.

Nëse dy korda të një rrethi kryqëzohen, atëherë prodhimi i segmenteve të një korde është i barabartë me produktin e segmenteve të kordës tjetër.

Formulat bazë

Perimetri:

C = 2∙π∙R

Gjatësia e harkut rrethor:

R = С/(2∙π) = D/2

Diametri:

D = C/π = 2∙R

Gjatësia e harkut rrethor:

l = (π∙R) / 180∙α,
Ku α - masa e shkallës së gjatësisë së një harku rrethor)

Zona e një rrethi:

S = π∙R 2

Zona e sektorit rrethor:

S = ((π∙R 2) / 360)∙α

Ekuacioni i një rrethi

NË sistem drejtkëndor ekuacioni koordinativ i një rreze rrethi r të përqendruar në një pikë C(x o;y o) ka formën:

(x - x o) 2 + (y - y o) 2 = r 2

Ekuacioni i një rrethi me rreze r me qendër në origjinë ka formën:

x 2 + y 2 = r 2

Së pari, le të kuptojmë ndryshimin midis një rrethi dhe një rrethi. Për të parë këtë ndryshim, mjafton të shqyrtojmë se cilat janë të dyja shifrat. Këto janë një numër i pafund pikash në aeroplanin e vendosur në distancë të barabartë nga një pikë e vetme qendrore. Por, nëse rrethi përbëhet nga hapësirë e brendshme, atëherë nuk i përket rrethit. Rezulton se një rreth është njëkohësisht një rreth që e kufizon atë (rrethi(r)), dhe një numër i panumërt pikash që janë brenda rrethit.

Për çdo pikë L që shtrihet në rreth, vlen barazia OL=R. (Gjatësia e segmentit OL është e barabartë me rrezen e rrethit).

Një segment që lidh dy pika në një rreth është i tij akord.

Një akord që kalon drejtpërdrejt në qendër të një rrethi është diametri ky rreth (D). Diametri mund të llogaritet duke përdorur formulën: D=2R

Perimetri llogaritur me formulën: C=2\pi R

Zona e një rrethi: S=\pi R^(2)

Harku i një rrethi quhet ajo pjesë e saj që ndodhet ndërmjet dy pikave të saj. Këto dy pika përcaktojnë dy harqe të një rrethi. CD-ja e kordës nënshtron dy harqe: CMD dhe CLD. Akordet identike nënshtrojnë harqe të barabarta.

Këndi qendror Një kënd që shtrihet midis dy rrezeve quhet.

Gjatësia e harkut mund të gjendet duke përdorur formulën:

Duke përdorur masë shkallë: CD = \frac(\pi R \alfa ^(\circ))(180^(\circ))
Duke përdorur masën e radianit: CD = \alpha R

Diametri, i cili është pingul me kordën, ndan akordin dhe harqet e kontraktuara prej saj në gjysmë.

Nëse kordat AB dhe CD të rrethit priten në pikën N, atëherë prodhimet e segmenteve të kordave të ndara nga pika N janë të barabarta me njëri-tjetrin.

AN\cdot NB = CN\cdot ND

Tangjent në një rreth

Tangjent në një rrethËshtë zakon të quajmë një vijë të drejtë që ka një pikë të përbashkët me një rreth.

Nëse një drejtëz ka dy pika të përbashkëta, quhet sekant.

Nëse e vizatoni rrezen në pikën tangjente, ajo do të jetë pingul me tangjenten me rrethin.

Le të vizatojmë dy tangjente nga kjo pikë në rrethin tonë. Rezulton se segmentet tangjente do të jenë të barabarta me njëri-tjetrin, dhe qendra e rrethit do të vendoset në përgjysmuesin e këndit me kulmin në këtë pikë.

AC = CB

Tani le të vizatojmë një tangjente dhe një sekante në rreth nga pika jonë. Konstatojmë se katrori i gjatësisë së segmentit tangjent do të jetë e barabartë me produktin i gjithë segmenti sekanton në pjesën e jashtme të tij.

AC^(2) = CD \cdot BC

Mund të konkludojmë: prodhimi i një segmenti të tërë të sekantit të parë dhe pjesës së jashtme të tij është i barabartë me produktin e një segmenti të tërë të sekantit të dytë dhe pjesës së jashtme të tij.

AC\cdot BC = EC\cdot DC

Kënde në një rreth

Masat e shkallës kënd qendror dhe harku në të cilin mbështetet janë të barabartë.

\këndi COD = \ filxhan CD = \alfa ^(\circ)

Këndi i brendashkruarështë një kënd, kulmi i të cilit është në një rreth dhe anët e të cilit përmbajnë korda.

Mund ta llogarisni duke ditur madhësinë e harkut, pasi është e barabartë me gjysmën e këtij harku.

\kënd AOB = 2 \kënd ADB

Bazuar në një diametër, kënd të brendashkruar, kënd të drejtë.

\kënd CBD = \kënd CED = \kënd CAD = 90^ (\circ)

Këndet e brendashkruara që nënshtrojnë të njëjtin hark janë identike.

Këndet e brendashkruara që mbështeten në një kordë janë identike ose shuma e tyre është e barabartë me 180^ (\circ) .

\këndi ADB + \këndi AKB = 180^ (\rreth)

\këndi ADB = \këndi AEB = \këndi AFB

Në të njëjtin rreth janë kulmet e trekëndëshave me kënde identike dhe një bazë të caktuar.

Një kënd me një kulm brenda një rrethi dhe i vendosur midis dy kordave është identik me gjysmën e shumës vlerat këndore harqet e një rrethi që gjenden brenda një këndi të caktuar dhe vertikal.

\kënd DMC = \kënd ADM + \kënd DAM = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC + \kupë AlB \djathtas)

Një kënd me një kulm jashtë rrethit dhe i vendosur midis dy sekanteve është identik me gjysmën e ndryshimit në vlerat këndore të harqeve të rrethit që përmbahen brenda këndit.

\këndi M = \këndi CBD - \këndi ACB = \frac(1)(2) \majtas (\kup DmC - \kupë AlB \djathtas)

Rreth i brendashkruar

Rreth i brendashkruarështë një rreth tangjent me brinjët e një shumëkëndëshi.

Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët e këndeve të një shumëkëndëshi, ndodhet qendra e tij.

Një rreth mund të mos jetë i gdhendur në çdo shumëkëndësh.

Sipërfaqja e një shumëkëndëshi me një rreth të brendashkruar gjendet me formulën:

S = pr,

p është gjysmëperimetri i shumëkëndëshit,

r është rrezja e rrethit të brendashkruar.

Nga kjo rrjedh se rrezja e rrethit të brendashkruar është e barabartë me:

r = \frac(S)(p)

Shumat e gjatësive anët e kundërta do të jetë identik nëse rrethi është i brendashkruar në një katërkëndësh konveks. Dhe anasjelltas: një rreth përshtatet në një katërkëndësh konveks nëse shumat e gjatësive të anëve të kundërta janë identike.

AB + DC = AD + BC

Është e mundur të futet një rreth në cilindo nga trekëndëshat. Vetëm një të vetme. Në pikën ku kryqëzohen përgjysmorët qoshet e brendshme figura, qendra e këtij rrethi të brendashkruar do të shtrihet.

Rrezja e rrethit të brendashkruar llogaritet me formulën:

r = \frac(S)(p) ,

ku p = \frac(a + b + c)(2)

rrethi

Nëse një rreth kalon nëpër çdo kulm të një shumëkëndëshi, atëherë një rreth i tillë zakonisht quhet përshkruar për një shumëkëndësh.

Në pikën e kryqëzimit të përgjysmuesve pingulë të anëve të kësaj figure do të jetë qendra e rrethit.

Rrezja mund të gjendet duke e llogaritur atë si rrezja e rrethit që është i rrethuar rreth trekëndëshit të përcaktuar nga çdo 3 kulme të shumëkëndëshit.

Hani kushti tjetër: një rreth mund të përshkruhet rreth një katërkëndëshi vetëm nëse shuma e tij qoshet e kundërtaështë e barabartë me 180^( \circ) .

\këndi A + \këndi C = \këndi B + \këndi D = 180^ (\rreth)

Rreth çdo trekëndëshi mund të përshkruani një rreth, dhe vetëm një. Qendra e një rrethi të tillë do të vendoset në pikën ku ato kryqëzohen përgjysmues pingul brinjët e trekëndëshit.