Zgjidhja e sistemeve arbitrare dhe homogjene të ekuacioneve lineare. Si të gjejmë një zgjidhje jo të parëndësishme dhe themelore për një sistem ekuacionesh homogjene lineare

Sistemi m ekuacionet lineare c n quhen të panjohura sistem homogjen linear ekuacionet nëse të gjithë termat e lirë janë të barabartë me zero. Një sistem i tillë duket si ky:

Ku dhe ij (i = 1, 2, …, m; j = 1, 2, …, n) - numrat e dhënë; x i– e panjohur.

Sistemi linear ekuacionet homogjene gjithmonë të përbashkët, sepse r(A) = r(). Gjithmonë ka të paktën zero ( i parëndësishëm) zgjidhje (0; 0; …; 0).

Le të shqyrtojmë se në cilat kushte sistemet homogjene kanë zgjidhje jo zero.

Teorema 1. Një sistem ekuacionesh homogjene lineare ka zgjidhje jozero nëse dhe vetëm nëse rangu i matricës së tij kryesore është r më pak numër i panjohur n, d.m.th. r < n.

□ 1). Le të ketë një sistem ekuacionesh homogjene lineare një zgjidhje jozero. Meqenëse rangu nuk mund të tejkalojë madhësinë e matricës, atëherë, padyshim, r ≤ n. Le r = n. Pastaj një nga madhësitë e vogla n n të ndryshme nga zero. Prandaj, sistemi përkatës i ekuacioneve lineare ka vetëm vendim: . Kjo do të thotë se nuk ka zgjidhje të tjera përveç atyre të parëndësishme. Pra, nëse ka zgjidhje jo e parëndësishme, Kjo r < n.

2). Le r < n. Atëherë sistemi homogjen, duke qenë konsistent, është i pasigurt. Kështu që ajo ka grup i pafund vendimet, d.m.th. ka zgjidhje jo zero. ■

Konsideroni një sistem homogjen n ekuacionet lineare c n i panjohur:

(2)

Teorema 2. Sistemi homogjen n ekuacionet lineare c n e panjohura (2) ka zgjidhje jo zero nëse dhe vetëm nëse përcaktorja e saj e barabartë me zero: = 0.

□ Nëse sistemi (2) ka një zgjidhje jo zero, atëherë = 0. Sepse kur sistemi ka vetëm një zgjidhje të vetme zero. Nëse = 0, atëherë renditja r matrica kryesore e sistemit është më e vogël se numri i të panjohurave, d.m.th. r < n. Dhe, për rrjedhojë, sistemi ka një numër të pafund zgjidhjesh, d.m.th. ka zgjidhje jo zero. ■

Le të shënojmë zgjidhjen e sistemit (1) X 1 = k 1 , X 2 = k 2 , …, x n = k n si një varg .

Zgjidhjet e një sistemi ekuacionesh homogjene lineare kanë vetitë e mëposhtme:

1. Nëse linja është një zgjidhje për sistemin (1), atëherë vija është një zgjidhje për sistemin (1).

2. Nëse linjat Dhe - zgjidhjet e sistemit (1), pastaj për çdo vlerë Me 1 dhe Me 2 kombinimi i tyre linear është gjithashtu një zgjidhje për sistemin (1).

Vlefshmëria e këtyre vetive mund të verifikohet duke i zëvendësuar drejtpërdrejt në ekuacionet e sistemit.

Nga vetitë e formuluara rezulton se çdo kombinim linear i zgjidhjeve në një sistem ekuacionesh homogjene lineare është gjithashtu një zgjidhje për këtë sistem.

Sistemi i zgjidhjeve lineare të pavarura e 1 , e 2 , …, e r thirrur themelore, nëse secila zgjidhje e sistemit (1) është një kombinim linear i këtyre zgjidhjeve e 1 , e 2 , …, e r.

Teorema 3. Nëse renditet r matricat e koeficientëve për variablat e sistemit ekuacionet lineare homogjene (1) janë më të vogla se numri i ndryshoreve n, pastaj ndonjë sistemi themelor zgjidhjet e sistemit (1) përbëhet nga n–r vendimet.

Kjo është arsyeja pse vendim të përbashkët sistemi i ekuacioneve homogjene lineare (1) ka formën:

Ku e 1 , e 2 , …, e r- çdo sistem themelor i zgjidhjeve të sistemit (9), Me 1 , Me 2 , …, me f – numra arbitrar, R = n–r.

Teorema 4. Zgjidhja e përgjithshme e sistemit m ekuacionet lineare c n e panjohura është e barabartë me shumën e zgjidhjes së përgjithshme të sistemit përkatës të ekuacioneve homogjene lineare (1) dhe një zgjidhje të veçantë arbitrare të këtij sistemi (1).

Shembull. Zgjidheni sistemin

Zgjidhje. Për këtë sistem m = n= 3. Përcaktor

nga Teorema 2, sistemi ka vetëm një zgjidhje të parëndësishme: x = y = z = 0.

Shembull. 1) Gjeni zgjidhje të përgjithshme dhe të veçanta të sistemit

2) Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve.

Zgjidhje. 1) Për këtë sistem m = n= 3. Përcaktor

sipas Teoremës 2, sistemi ka zgjidhje jozero.

Meqenëse ekziston vetëm një ekuacion i pavarur në sistem

x + y – 4z = 0,

atëherë prej saj do të shprehemi x =4z- y. Ku marrim një numër të pafund zgjidhjesh: (4 z- y, y, z) – kjo është zgjidhja e përgjithshme e sistemit.

Në z= 1, y= -1, marrim një zgjidhje të veçantë: (5, -1, 1). Duke vënë z= 3, y= 2, marrim zgjidhjen e dytë të veçantë: (10, 2, 3), etj.

2) Në zgjidhjen e përgjithshme (4 z- y, y, z) variablat y Dhe z janë të lira, dhe ndryshorja X- varur prej tyre. Për të gjetur një sistem themelor zgjidhjesh, ne caktojmë falas vlerat e ndryshueshme: ne fillim y = 1, z= 0, atëherë y = 0, z= 1. Përftojmë zgjidhje të pjesshme (-1, 1, 0), (4, 0, 1), të cilat formojnë sistemin themelor të zgjidhjeve.

Ilustrime:

Oriz. 1 Klasifikimi i sistemeve të ekuacioneve lineare

Oriz. 2 Studimi i sistemeve të ekuacioneve lineare

Prezantimet:

· Metoda SLAE_matrice e zgjidhjes

· Zgjidhja Metoda SLAE_Cramer

· Zgjidhje Metoda SLAE_Gauss

· Paketat e zgjidhjeve problemet matematikore Mathematica, MathCad: kërko për analitike dhe zgjidhje numerike sistemet e ekuacioneve lineare

Pyetje kontrolli :

1. Përcaktoni një ekuacion linear

2. Çfarë lloj sistemi duket si? m ekuacionet lineare me n i panjohur?

3. Çfarë quhet zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare?

4. Cilat sisteme quhen ekuivalente?

5. Cili sistem quhet i papajtueshëm?

6. Cili sistem quhet nyje?

7. Cili sistem quhet i caktuar?

8. Cili sistem quhet i pacaktuar

9. Listoni shndërrimet elementare të sistemeve të ekuacioneve lineare

10. Listoni shndërrimet elementare të matricave

11. Formuloni një teoremë për zbatimin e shndërrimeve elementare në një sistem ekuacionesh lineare

12. Cilat sisteme mund të zgjidhen metoda e matricës?

13. Cilat sisteme mund të zgjidhen me metodën e Cramer-it?

14. Cilat sisteme mund të zgjidhen me metodën e Gausit?

15. Lista 3 rastet e mundshme, që lindin gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit

16. Përshkruani metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

17. Përshkruani metodën e Cramer-it për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

18. Përshkruani metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare

19. Cilat sisteme mund të zgjidhen duke përdorur matricë e anasjelltë?

20. Listoni 3 raste të mundshme që lindin gjatë zgjidhjes së sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën Cramer

Letërsia:

1. Matematikë e lartë për ekonomistët: Libër mësuesi për universitetet / N.Sh. Kremer, B.A. Putko, I.M. Trishin, M.N. Friedman. Ed. N.Sh. Kremer. – M.: UNITET, 2005. – 471 f.

2. Kursi i përgjithshëm Matematika e lartë për ekonomistët: Libër mësuesi. / Ed. NË DHE. Ermakova. –M.: INFRA-M, 2006. – 655 f.

3. Përmbledhja e problemave në matematikën e lartë për ekonomistët: Tutorial/ Redaktuar nga V.I. Ermakova. M.: INFRA-M, 2006. – 574 f.

4. Gmurman V. E. Udhëzues për zgjidhjen e problemeve në teorinë e probabilitetit dhe statistikat magmatike. - M.: Shkolla e diplomuar, 2005. – 400 f.

5. Gmurman. V.E Teoria e probabilitetit dhe statistikat e matematikës. - M.: Shkolla e Lartë, 2005.

6. Danko P.E., Popov A.G., Kozhevnikova T.Ya. Matematikë e lartë në ushtrime dhe probleme. Pjesa 1, 2. – M.: Onyx shekulli 21: Peace and Education, 2005. – 304 f. Pjesa 1; – 416 f. Pjesa 2.

7. Matematika në ekonomi: Teksti mësimor: Në 2 pjesë / A.S. Solodovnikov, V.A. Babaytsev, A.V. Brailov, I.G. Shandara. – M.: Financa dhe Statistikat, 2006.

8. Shipaçev V.S. Matematika e lartë: Libër mësuesi për nxënës. universitetet - M.: Shkolla e Lartë, 2007. - 479 f.

Informacione të lidhura.

Për të kuptuar se çfarë është sistemi themelor i vendimeve ju mund të shikoni një video tutorial për të njëjtin shembull duke klikuar. Tani le të kalojmë në përshkrimin e tërësisë puna e nevojshme. Kjo do t'ju ndihmojë të kuptoni më në detaje thelbin e kësaj çështje.

Si të gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve të një ekuacioni linear?

Le të marrim për shembull sistemin e mëposhtëm të ekuacioneve lineare:

Le të gjejmë një zgjidhje për këtë sistemi linear ekuacionet Për të filluar, ne ju duhet të shkruani matricën e koeficientit të sistemit.

Le ta transformojmë këtë matricë në një matricë trekëndore. Ne rishkruajmë rreshtin e parë pa ndryshime. Dhe të gjithë elementët që janë nën $a_(11)$ duhet të bëhen zero. Për të bërë një zero në vend të elementit $a_(21)$, duhet të zbritni të parën nga rreshti i dytë dhe të shkruani ndryshimin në rreshtin e dytë. Për të bërë një zero në vend të elementit $a_(31)$, duhet të zbritni të parin nga rreshti i tretë dhe të shkruani ndryshimin në rreshtin e tretë. Për të bërë një zero në vend të elementit $a_(41)$, duhet të zbritni të parën shumëzuar me 2 nga rreshti i katërt dhe të shkruani ndryshimin në rreshtin e katërt. Për të bërë një zero në vend të elementit $a_(31)$, duhet të zbritni të parën shumëzuar me 2 nga rreshti i pestë dhe të shkruani ndryshimin në rreshtin e pestë.

Ne rishkruajmë rreshtin e parë dhe të dytë pa ndryshime. Dhe të gjithë elementët që janë nën $a_(22)$ duhet të bëhen zero. Për të bërë një zero në vend të elementit $a_(32)$, duhet të zbritni të dytin shumëzuar me 2 nga rreshti i tretë dhe të shkruani ndryshimin në rreshtin e tretë. Për të bërë një zero në vend të elementit $a_(42)$, duhet të zbritni të dytën shumëzuar me 2 nga rreshti i katërt dhe të shkruani ndryshimin në rreshtin e katërt. Për të bërë një zero në vend të elementit $a_(52)$, duhet të zbritni të dytën shumëzuar me 3 nga rreshti i pestë dhe të shkruani ndryshimin në rreshtin e pestë.

Ne e shohim atë tre rreshtat e fundit janë të njëjta, kështu që nëse zbrisni të tretën nga e katërta dhe e pesta, ato do të bëhen zero.

Sipas kësaj matrice shkruani sistemi i ri ekuacionet.

Ne shohim se kemi vetëm tre ekuacione të pavarura në mënyrë lineare dhe pesë të panjohura, kështu që sistemi themelor i zgjidhjeve do të përbëhet nga dy vektorë. Pra ne ne duhet të zhvendosim dy të panjohurat e fundit djathtas.

Tani, ne fillojmë të shprehim ato të panjohura që janë në anën e majtë përmes atyre që janë në anën e djathtë. Fillojmë me ekuacionin e fundit, fillimisht shprehim $x_3$, pastaj rezultatin që rezulton e zëvendësojmë në ekuacionin e dytë dhe shprehim $x_2$, dhe më pas në ekuacionin e parë dhe këtu shprehim $x_1$. Kështu, ne shprehëm të gjitha të panjohurat që janë në anën e majtë përmes të panjohurave që janë në anën e djathtë.

Pastaj në vend të $x_4$ dhe $x_5$, ne mund të zëvendësojmë çdo numër dhe të gjejmë $x_1$, $x_2$ dhe $x_3$. Çdo pesë nga këta numra do të jenë rrënjët e sistemit tonë origjinal të ekuacioneve. Për të gjetur vektorët që përfshihen në FSR ne duhet të zëvendësojmë 1 në vend të $x_4$, dhe të zëvendësojmë 0 në vend të $x_5$, të gjejmë $x_1$, $x_2$ dhe $x_3$, dhe pastaj anasjelltas $x_4=0$ dhe $x_5=1$.

Zgjidhja e sistemeve lineare ekuacionet algjebrike(SLAU) është padyshim tema më e rëndësishme e kursit algjebër lineare. Sasi e madhe problemet nga të gjitha degët e matematikës reduktohen në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve lineare. Këta faktorë shpjegojnë arsyen e këtij artikulli. Materiali i artikullit është zgjedhur dhe strukturuar në mënyrë që me ndihmën e tij të mundeni

• marr metodë optimale zgjidhjet e sistemit tuaj të ekuacioneve algjebrike lineare,
• studioni teorinë e metodës së zgjedhur,
• zgjidhni sistemin tuaj të ekuacioneve lineare duke shqyrtuar zgjidhjet e detajuara shembuj tipikë dhe detyrat.

Përshkrim i shkurtër i materialit të artikullit.

Së pari le të japim gjithçka përkufizimet e nevojshme, konceptet dhe futja e shënimeve.

Më pas, do të shqyrtojmë metodat për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe të cilat kanë një zgjidhje unike. Së pari, ne do të përqendrohemi në metodën e Cramer-it, së dyti, do të tregojmë metodën e matricës për zgjidhjen e sistemeve të tilla të ekuacioneve dhe së treti, do të analizojmë metodën e Gauss (metoda e eliminimit sekuencial të ndryshoreve të panjohura). Për të konsoliduar teorinë, ne patjetër do të zgjidhim disa SLAE në mënyra të ndryshme.

Pas kësaj, ne do të kalojmë në zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare pamje e përgjithshme, në të cilën numri i ekuacioneve nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura ose matrica kryesore e sistemit është njëjës. Le të formulojmë teoremën Kronecker-Capelli, e cila na lejon të vendosim përputhshmërinë e SLAE-ve. Le të analizojmë zgjidhjen e sistemeve (nëse ato janë të pajtueshme) duke përdorur konceptin e një baze minor të një matrice. Ne gjithashtu do të shqyrtojmë metodën e Gausit dhe do të përshkruajmë në detaje zgjidhjet e shembujve.

Do të ndalemi patjetër në strukturën e zgjidhjes së përgjithshme të homogjeneve dhe sisteme heterogjene ekuacionet algjebrike lineare. Le të japim konceptin e një sistemi themelor zgjidhjesh dhe të tregojmë se si zgjidhja e përgjithshme e një SLAE shkruhet duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve. Për një kuptim më të mirë, le të shohim disa shembuj.

Si përfundim, ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve që mund të reduktohen në ato lineare, si dhe detyra të ndryshme, kur zgjidhni cilat SLAE lindin.

Navigimi i faqes.

Përkufizime, koncepte, emërtime.

Ne do të shqyrtojmë sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare p me n ndryshore të panjohura (p mund të jetë e barabartë me n) të formës

Variabla të panjohur - koeficientë (disa realë ose numra komplekse), - terma të lirë (gjithashtu numra realë ose kompleksë).

Kjo formë e regjistrimit të SLAE quhet koordinoj.

NË forma matrice Ky sistem ekuacionesh ka formën,
Ku - matrica kryesore e sistemit, - matrica e kolonës së ndryshoreve të panjohura, - matrica e kolonës anëtarë të lirë.

Nëse matricës A i shtojmë një kolonë-matricë me terma të lirë si kolonën (n+1), marrim të ashtuquajturën matricë e zgjeruar sistemet e ekuacioneve lineare. Zakonisht matrica e zgjeruar shënohet me shkronjën T, dhe kolona e termave të lirë ndahet vijë vertikale nga kolonat e mbetura, domethënë,

Zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare quhet një grup vlerash të ndryshoreve të panjohura që i kthen të gjitha ekuacionet e sistemit në identitete. Ekuacioni i matricës për vlerat e dhëna të ndryshoreve të panjohura bëhet gjithashtu një identitet.

Nëse një sistem ekuacionesh ka të paktën një zgjidhje, atëherë ai quhet të përbashkët.

Nëse një sistem ekuacionesh nuk ka zgjidhje, atëherë ai quhet jo të përbashkët.

Nëse një SLAE ka një zgjidhje unike, atëherë ajo quhet të caktuara; nëse ka më shumë se një zgjidhje, atëherë - i pasigurt.

Nëse termat e lirë të të gjitha ekuacioneve të sistemit janë të barabartë me zero , atëherë thirret sistemi homogjene, ndryshe - heterogjene.

Zgjidhja e sistemeve elementare të ekuacioneve algjebrike lineare.

Nëse numri i ekuacioneve të një sistemi është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës së tij kryesore nuk është i barabartë me zero, atëherë SLAE të tilla do të quhen elementare. Sisteme të tilla ekuacionesh kanë një zgjidhje unike, dhe në rastin e një sistemi homogjen, të gjitha ndryshoret e panjohura janë të barabarta me zero.

Ne filluam të studiojmë SLAE të tilla në gjimnaz. Gjatë zgjidhjes së tyre, ne morëm një ekuacion, shprehëm një ndryshore të panjohur në terma të tjerëve dhe e zëvendësuam atë në ekuacionet e mbetura, më pas morëm ekuacioni i mëposhtëm, shprehi variablin tjetër të panjohur dhe e zëvendësoi atë me ekuacione të tjera, e kështu me radhë. Ose kanë përdorur metodën e mbledhjes, domethënë kanë shtuar dy ose më shumë ekuacione për të eliminuar disa ndryshore të panjohura. Ne nuk do të ndalemi në këto metoda në detaje, pasi ato janë në thelb modifikime të metodës Gauss.

Metodat kryesore për zgjidhjen e sistemeve elementare të ekuacioneve lineare janë metoda Cramer, metoda e matricës dhe metoda e Gausit. Le t'i zgjidhim ato.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Cramer.

Supozoni se duhet të zgjidhim një sistem ekuacionesh algjebrike lineare

në të cilat numri i ekuacioneve është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura dhe përcaktori i matricës kryesore të sistemit është i ndryshëm nga zero, pra .

Le të jetë përcaktuesi i matricës kryesore të sistemit, dhe - përcaktorët e matricave që fitohen nga A me zëvendësim 1, 2, …, e nëntë kolona përkatësisht në kolonën e anëtarëve të lirë:

Me këtë shënim, ndryshoret e panjohura llogariten duke përdorur formulat e metodës Cramer si . Kështu gjendet zgjidhja e një sistemi ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it.

Shembull.

Metoda e Cramer-it .

Zgjidhje.

Matrica kryesore e sistemit ka formën . Le të llogarisim përcaktuesin e tij (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Meqenëse përcaktori i matricës kryesore të sistemit është jozero, sistemi ka një zgjidhje unike që mund të gjendet me metodën e Cramer-it.

Le të hartojmë dhe llogarisim përcaktorët e nevojshëm (përcaktorin e marrim duke zëvendësuar kolonën e parë në matricën A me një kolonë me terma të lirë, përcaktorin duke zëvendësuar kolonën e dytë me një kolonë me terma të lirë dhe duke zëvendësuar kolonën e tretë të matricës A me një kolonë me terma të lirë) :

Gjetja e ndryshoreve të panjohura duke përdorur formula :

Përgjigje:

Disavantazhi kryesor i metodës Cramer (nëse mund të quhet disavantazh) është kompleksiteti i llogaritjes së përcaktuesve kur numri i ekuacioneve në sistem është më shumë se tre.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës (duke përdorur një matricë inverse).

Le të jepet në formë matrice një sistem ekuacionesh algjebrike lineare, ku matrica A ka dimension n me n dhe përcaktorja e saj është jozero.

Meqenëse , matrica A është e kthyeshme, domethënë ekziston një matricë e kundërt. Nëse i shumëzojmë të dyja anët e barazisë me të majtën, marrim një formulë për gjetjen e një matrice-kolone të ndryshoreve të panjohura. Kështu kemi marrë një zgjidhje për një sistem ekuacionesh algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës.

Shembull.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare metoda e matricës.

Zgjidhje.

Le të rishkruajmë sistemin e ekuacioneve në formën e matricës:

Sepse

atëherë SLAE mund të zgjidhet duke përdorur metodën e matricës. Duke përdorur matricën e kundërt, zgjidhja për këtë sistem mund të gjendet si .

Le të ndërtojmë matricën e anasjelltë duke përdorur matricën nga shtesat algjebrike elementet e matricës A (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Mbetet për të llogaritur matricën e variablave të panjohur duke shumëzuar matricën e kundërt në një kolonë matricë të anëtarëve të lirë (nëse është e nevojshme, shihni artikullin):

Përgjigje:

ose në një shënim tjetër x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Problemi kryesor gjatë gjetjes së zgjidhjeve për sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e matricës është kompleksiteti i gjetjes së matricës së kundërt, veçanërisht për matricat katrore rendit më i lartë se i treti.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve lineare duke përdorur metodën e Gausit.

Supozoni se duhet të gjejmë një zgjidhje për një sistem prej n ekuacionesh lineare me n ndryshore të panjohura
përcaktorja e matricës kryesore të së cilës është e ndryshme nga zero.

Thelbi i metodës së Gausit konsiston në eliminimin e njëpasnjëshëm të ndryshoreve të panjohura: së pari, x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta, pastaj x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta, e kështu me radhë, derisa të mbetet vetëm ndryshorja e panjohur x n. në ekuacionin e fundit. Ky proces i transformimit të ekuacioneve të sistemit për të eliminuar në mënyrë sekuenciale variablat e panjohur quhet Metoda e drejtpërdrejtë Gaussian. Pas përfundimit të goditjes përpara të metodës Gaussian, x n gjendet nga ekuacioni i fundit, duke përdorur këtë vlerë nga ekuacioni i parafundit, llogaritet x n-1 dhe kështu me radhë, x 1 gjendet nga ekuacioni i parë. Quhet procesi i llogaritjes së ndryshoreve të panjohura gjatë lëvizjes nga ekuacioni i fundit i sistemit tek i pari inversi i metodës Gaussian.

Le të përshkruajmë shkurtimisht algoritmin për eliminimin e variablave të panjohur.

Ne do të supozojmë se , pasi ne gjithmonë mund ta arrijmë këtë duke riorganizuar ekuacionet e sistemit. Le të eliminojmë variablin e panjohur x 1 nga të gjitha ekuacionet e sistemit, duke filluar nga e dyta. Për ta bërë këtë, në ekuacionin e dytë të sistemit shtojmë të parën, shumëzuar me , ekuacionin e tretë shtojmë të parën, shumëzuar me , dhe kështu me radhë, ekuacionin e n-të i shtojmë të parën, shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku dhe .

Do të kishim arritur në të njëjtin rezultat nëse do të kishim shprehur x 1 në terma të ndryshoreve të tjera të panjohura në ekuacionin e parë të sistemit dhe të zëvendësonim shprehjen që rezulton në të gjitha ekuacionet e tjera. Kështu, ndryshorja x 1 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e dyta.

Më tej, ne vazhdojmë në një mënyrë të ngjashme, por vetëm me një pjesë të sistemit që rezulton, i cili është shënuar në figurë

Për ta bërë këtë, në ekuacionin e tretë të sistemit shtojmë të dytin, shumëzuar me , në ekuacioni i katërt le të shtojmë të dytën shumëzuar me , dhe kështu me radhë, në ekuacionin e n-të shtojmë të dytën shumëzuar me . Sistemi i ekuacioneve pas transformimeve të tilla do të marrë formën

ku dhe . Kështu, ndryshorja x 2 përjashtohet nga të gjitha ekuacionet, duke filluar nga e treta.

Më pas, vazhdojmë me eliminimin e të panjohurës x 3, ndërkohë që veprojmë në mënyrë të ngjashme me pjesën e sistemit të shënuar në figurë.

Pra, ne vazhdojmë progresionin e drejtpërdrejtë të metodës Gaussian derisa sistemi të marrë formën

Nga ky moment fillojmë të kundërtën e metodës Gaussian: ne llogarisim x n nga ekuacioni i fundit si , duke përdorur vlerën e fituar të x n gjejmë x n-1 nga ekuacioni i parafundit, dhe kështu me radhë, gjejmë x 1 nga ekuacioni i parë .

Shembull.

Zgjidh sistemin e ekuacioneve lineare Metoda e Gausit.

Zgjidhje.

Le të përjashtojmë variablin e panjohur x 1 nga ekuacioni i dytë dhe i tretë i sistemit. Për ta bërë këtë, në të dy anët e ekuacionit të dytë dhe të tretë shtojmë pjesët përkatëse të ekuacionit të parë, të shumëzuara me dhe me, përkatësisht:

Tani eliminojmë x 2 nga ekuacioni i tretë duke shtuar në të majtë të tij dhe anën e djathtë anët e majta dhe të djathta të ekuacionit të dytë, shumëzuar me:

Kjo plotëson goditjen përpara të metodës së Gausit, ne fillojmë goditjen e kundërt.

Nga ekuacioni i fundit i sistemit rezultues të ekuacioneve gjejmë x 3:

Nga ekuacioni i dytë marrim .

Nga ekuacioni i parë gjejmë variablin e mbetur të panjohur dhe në këtë mënyrë plotësojmë të kundërtën e metodës Gauss.

Përgjigje:

X 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

Zgjidhja e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

NË rast i përgjithshëm numri i ekuacioneve të sistemit p nuk përkon me numrin e ndryshoreve të panjohura n:

SLAE të tilla mund të mos kenë zgjidhje, të kenë një zgjidhje të vetme ose të kenë pafundësisht shumë zgjidhje. Kjo deklaratë vlen edhe për sistemet e ekuacioneve, matrica kryesore e të cilave është katror dhe njëjës.

Teorema Kronecker–Capelli.

Para se të gjesh një zgjidhje për një sistem ekuacionesh lineare, është e nevojshme të përcaktohet përputhshmëria e tij. Përgjigja në pyetjen kur SLAE është kompatibile dhe kur është jokonsistente jepet nga Teorema Kronecker–Capelli:
Në mënyrë që një sistem p ekuacionesh me n të panjohura (p mund të jetë i barabartë me n) të jetë konsistent, është e nevojshme dhe e mjaftueshme që rangu i matricës kryesore të sistemit të jetë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, d.m.th. , Rank(A)=Ranku(T).

Le të shqyrtojmë, duke përdorur një shembull, zbatimin e teoremës Kronecker-Capelli për të përcaktuar përputhshmërinë e një sistemi ekuacionesh lineare.

Shembull.

Gjeni nëse sistemi i ekuacioneve lineare ka Zgjidhjet.

Zgjidhje.

. Le të përdorim metodën e kufirit të të miturve. Minor i rendit të dytë të ndryshme nga zero. Le të shohim të miturit e rendit të tretë në kufi me të:

Meqenëse të gjitha minoret kufitare të rendit të tretë janë të barabartë me zero, rangu i matricës kryesore është i barabartë me dy.

Nga ana tjetër, rangu i matricës së zgjeruar është e barabartë me tre, pasi i mituri është i rendit të tretë

të ndryshme nga zero.

Kështu, Rang(A), pra, duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli, mund të konkludojmë se sistemi origjinal i ekuacioneve lineare është i paqëndrueshëm.

Përgjigje:

Sistemi nuk ka zgjidhje.

Pra, ne kemi mësuar të përcaktojmë mospërputhjen e një sistemi duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli.

Por si të gjesh një zgjidhje për një SLAE nëse vërtetohet përputhshmëria e saj?

Për ta bërë këtë, ne kemi nevojë për konceptin e një baze minore të një matrice dhe një teoremë për rangun e një matrice.

Minorja e rendit më të lartë të matricës A, e ndryshme nga zero, quhet bazë.

Nga përkufizimi i një baze minor del se rendi i tij është i barabartë me gradën e matricës. Për një matricë jo-zero A mund të ketë disa minore bazë.

Për shembull, merrni parasysh matricën .

Të gjitha minoret e rendit të tretë të kësaj matrice janë të barabarta me zero, pasi elementët e rreshtit të tretë të kësaj matrice janë shuma e elementeve përkatëse të rreshtit të parë dhe të dytë.

Të miturit e mëposhtëm të rendit të dytë janë bazë, pasi ato nuk janë zero

Të miturit nuk janë bazë, pasi janë të barabarta me zero.

Teorema e rangut të matricës.

Nëse renditja e një matrice të rendit p me n është e barabartë me r, atëherë të gjithë elementët e rreshtit (dhe kolonës) të matricës që nuk përbëjnë bazën e zgjedhur minor shprehen në mënyrë lineare në termat e elementeve të rreshtit (dhe kolonës) përkatëse që formojnë bazë e vogël.

Çfarë na tregon teorema e renditjes së matricës?

Nëse, sipas teoremës Kronecker-Capelli, ne kemi vendosur përputhshmërinë e sistemit, atëherë zgjedhim çdo bazë minore të matricës kryesore të sistemit (rendi i saj është i barabartë me r) dhe përjashtojmë nga sistemi të gjitha ekuacionet që bëjnë nuk formojnë bazën e zgjedhur minor. SLAE e përftuar në këtë mënyrë do të jetë ekuivalente me atë origjinale, pasi ekuacionet e hedhura janë ende të tepërta (sipas teoremës së renditjes së matricës, ato janë një kombinim linear i ekuacioneve të mbetura).

Si rezultat, pas hedhjes së ekuacioneve të panevojshme të sistemit, dy raste janë të mundshme.

Nëse numri i ekuacioneve r në sistemin që rezulton është i barabartë me numrin e ndryshoreve të panjohura, atëherë ai do të jetë i caktuar dhe zgjidhja e vetme mund të gjendet me metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën e Gausit.

Shembull.

.

Zgjidhje.

Rangu i matricës kryesore të sistemit është e barabartë me dy, pasi e vogla është e rendit të dytë të ndryshme nga zero. Rangu i matricës së zgjeruar është gjithashtu e barabartë me dy, pasi e vetmja minore e rendit të tretë është zero

dhe minorja e rendit të dytë e konsideruar më sipër është e ndryshme nga zero. Bazuar në teoremën Kronecker–Capelli, mund të pohojmë përputhshmërinë e sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, pasi Rank(A)=Rank(T)=2.

Si bazë minor ne marrim . Formohet nga koeficientët e ekuacionit të parë dhe të dytë:


Ekuacioni i tretë i sistemit nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, kështu që ne e përjashtojmë atë nga sistemi i bazuar në teoremën mbi rangun e matricës:


Kështu që ne morëm sistemi elementar ekuacionet lineare algjebrike. Le ta zgjidhim duke përdorur metodën e Cramer:


Përgjigje:

x 1 = 1, x 2 = 2.

Nëse numri i ekuacioneve r në SLAE që rezulton është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura n, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve i lëmë termat që formojnë bazën të vogla, dhe termat e mbetur i transferojmë në anët e djathta të ekuacionet e sistemit me shenjën e kundërt.

Ndryshoret e panjohura (r prej tyre) që mbeten në anën e majtë të ekuacioneve quhen kryesore.

Quhen variabla të panjohura (ka n - r pjesë) që janë në anët e djathta falas.

Tani ne besojmë se ndryshoret e panjohura të lira mund të marrin vlera arbitrare, ndërsa r variablat kryesore të panjohura do të shprehen përmes ndryshoreve të panjohura të lira në një mënyrë unike. Shprehja e tyre mund të gjendet duke zgjidhur SLAE që rezulton duke përdorur metodën Cramer, metodën e matricës ose metodën Gauss.

Le ta shohim me një shembull.

Shembull.

Zgjidh një sistem ekuacionesh algjebrike lineare .

Zgjidhje.

Le të gjejmë rangun e matricës kryesore të sistemit me metodën e kufirit të të miturve. Le të marrim një 1 1 = 1 si një minor jozero i rendit të parë. Le të fillojmë të kërkojmë për një minor jo zero të rendit të dytë që kufizohet me këtë minor:


Kështu gjetëm një minor jozero të rendit të dytë. Le të fillojmë të kërkojmë për një të vogël kufitare jozero të rendit të tretë:


Kështu, grada e matricës kryesore është tre. Rangu i matricës së zgjeruar është gjithashtu i barabartë me tre, domethënë sistemi është i qëndrueshëm.

Ne marrim minorin e gjetur jozero të rendit të tretë si bazë.

Për qartësi, ne tregojmë elementët që përbëjnë bazën e vogël:


Ne i lëmë termat e përfshirë në bazë të vogël në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit dhe transferojmë pjesën tjetër nga shenja të kundërta në anët e djathta:


Le t'u japim variablave të panjohur të lirë x 2 dhe x 5 vlera arbitrare, domethënë pranojmë , ku janë numra arbitrarë. Në këtë rast, SLAE do të marrë formën


Le të zgjidhim sistemin elementar rezultues të ekuacioneve algjebrike lineare duke përdorur metodën e Cramer-it:


Prandaj, .

Në përgjigjen tuaj, mos harroni të tregoni variabla të panjohura falas.

Përgjigje:

Ku janë numrat arbitrarë.

Përmblidhni.

Për të zgjidhur një sistem të ekuacioneve të përgjithshme lineare algjebrike, së pari përcaktojmë përputhshmërinë e tij duke përdorur teoremën Kronecker-Capelli. Nëse rangu i matricës kryesore nuk është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë konkludojmë se sistemi është i papajtueshëm.

Nëse rangu i matricës kryesore është i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar, atëherë zgjedhim një bazë minore dhe hedhim poshtë ekuacionet e sistemit që nuk marrin pjesë në formimin e bazës së vogël të zgjedhur.

Nëse rendi i bazës minore e barabartë me numrin variabla të panjohura, atëherë SLAE ka një zgjidhje unike, të cilën e gjejmë me çdo metodë të njohur për ne.

Nëse rendi i bazës minore është më i vogël se numri i ndryshoreve të panjohura, atëherë në anën e majtë të ekuacioneve të sistemit lëmë termat me variablat kryesore të panjohura, transferojmë termat e mbetur në anët e djathta dhe i japim vlera arbitrare. variablat e panjohura të lira. Nga sistemi rezultues i ekuacioneve lineare gjejmë të panjohurat kryesore variablat sipas metodës Cramer, metoda matrice ose metoda Gaussian.

Metoda e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Metoda e Gausit mund të përdoret për të zgjidhur sistemet e ekuacioneve algjebrike lineare të çdo lloji, pa i testuar më parë ato për konsistencë. Procesi i eliminimit sekuencial të variablave të panjohur bën të mundur nxjerrjen e një përfundimi si për pajtueshmërinë ashtu edhe për papajtueshmërinë e SLAE, dhe nëse ekziston një zgjidhje, bën të mundur gjetjen e saj.

Nga pikëpamja llogaritëse, metoda Gaussian është e preferueshme.

Shikoje atë pershkrim i detajuar dhe analizoi shembuj në artikull metodën e Gausit për zgjidhjen e sistemeve të ekuacioneve algjebrike lineare të formës së përgjithshme.

Shkrimi i një zgjidhjeje të përgjithshme për sistemet algjebrike lineare homogjene dhe johomogjene duke përdorur vektorët e sistemit themelor të zgjidhjeve.

Në këtë pjesë do të flasim për sisteme të njëkohshme homogjene dhe johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare që kanë një numër të pafund zgjidhjesh.

Le të merremi së pari me sistemet homogjene.

Sistemi themelor i zgjidhjeve sistemi homogjen i p ekuacioneve algjebrike lineare me n ndryshore të panjohura është një koleksion (n – r) zgjidhjesh lineare të pavarura të këtij sistemi, ku r është rendi i bazës minor të matricës kryesore të sistemit.

Nëse shënojmë në mënyrë lineare zgjidhje të pavarura SLAE homogjene pasi X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) janë matrica kolone të dimensionit n me 1 ), atëherë zgjidhja e përgjithshme e kësaj sistemi homogjen paraqitet si një kombinim linear i vektorëve të sistemit themelor të zgjidhjeve me arbitrare koeficientët konstant C 1, C 2, ..., C (n-r), që është, .

Çfarë do të thotë termi zgjidhje e përgjithshme e një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare (oroslau)?

Kuptimi është i thjeshtë: formula përcakton gjithçka zgjidhjet e mundshme SLAE origjinale, me fjalë të tjera, duke marrë çdo grup vlerash të konstanteve arbitrare C 1, C 2, ..., C (n-r), sipas formulës do të marrim një nga zgjidhjet për SLAE origjinale homogjene.

Kështu, nëse gjejmë një sistem themelor zgjidhjesh, atëherë mund t'i përkufizojmë të gjitha zgjidhjet e kësaj SLAE homogjene si .

Le të tregojmë procesin e ndërtimit të një sistemi themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene.

Ne zgjedhim bazën minor të sistemit origjinal të ekuacioneve lineare, përjashtojmë të gjitha ekuacionet e tjera nga sistemi dhe transferojmë të gjithë termat që përmbajnë ndryshore të panjohura të lira në anën e djathtë të ekuacioneve të sistemit me shenja të kundërta. Le t'u japim variablave të panjohura të lira vlerat 1,0,0,...,0 dhe të llogarisim të panjohurat kryesore duke zgjidhur sistemin elementar rezultues të ekuacioneve lineare në çfarëdo mënyre, për shembull, duke përdorur metodën Cramer. Kjo do të rezultojë në X (1) - zgjidhja e parë e sistemit themelor. Nëse u japim të panjohurave të lira vlerat 0,1,0,0,…,0 dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (2) . Dhe kështu me radhë. Nëse caktojmë vlerat 0.0,…,0.1 variablave të panjohura të lira dhe llogarisim të panjohurat kryesore, marrim X (n-r) . Në këtë mënyrë, do të ndërtohet një sistem themelor zgjidhjesh për një SLAE homogjene dhe zgjidhja e përgjithshme e tij mund të shkruhet në formën .

Për sistemet johomogjene të ekuacioneve algjebrike lineare, zgjidhja e përgjithshme paraqitet në formën , ku është zgjidhja e përgjithshme e sistemit homogjen përkatës dhe është zgjidhja e veçantë e SLAE inhomogjene origjinale, të cilën e marrim duke i dhënë vlerat të panjohurave të lira. 0,0,...,0 dhe llogaritja e vlerave të të panjohurave kryesore.

Le të shohim shembuj.

Shembull.

Gjeni sistemin themelor të zgjidhjeve dhe zgjidhjen e përgjithshme të një sistemi homogjen të ekuacioneve algjebrike lineare .

Zgjidhje.

Rangu i matricës kryesore të sistemeve homogjene të ekuacioneve lineare është gjithmonë i barabartë me gradën e matricës së zgjeruar. Le të gjejmë renditjen e matricës kryesore duke përdorur metodën e kufirit të të miturve. Si minor jo zero i rendit të parë, marrim elementin a 1 1 = 9 të matricës kryesore të sistemit. Le të gjejmë minorin kufitar jozero të rendit të dytë:

Është gjetur një minor i rendit të dytë, i ndryshëm nga zero. Le të kalojmë nëpër të miturit e rendit të tretë që e kufizojnë atë në kërkim të një jozero:

Të gjithë të miturit kufitarë të rendit të tretë janë të barabartë me zero, prandaj, rangu i matricës kryesore dhe të zgjeruar është i barabartë me dy. Le ta marrim . Për qartësi, le të shënojmë elementet e sistemit që e formojnë atë:

Ekuacioni i tretë i SLAE origjinale nuk merr pjesë në formimin e bazës minore, prandaj, mund të përjashtohet:

Ne i lëmë termat që përmbajnë të panjohurat kryesore në anët e djathta të ekuacioneve dhe i transferojmë termat me të panjohura të lira në anët e djathta:

Le të ndërtojmë një sistem themelor zgjidhjesh për sistemin origjinal homogjen të ekuacioneve lineare. Sistemi themelor i zgjidhjeve të kësaj SLAE përbëhet nga dy zgjidhje, pasi SLAE origjinale përmban katër ndryshore të panjohura, dhe rendi i minorit bazë të tij është i barabartë me dy. Për të gjetur X (1), ne u japim ndryshoreve të panjohura të lira vlerat x 2 = 1, x 4 = 0, pastaj gjejmë të panjohurat kryesore nga sistemi i ekuacioneve
.

Zgjidhje gjeni duke përdorur kalkulator. Algoritmi i zgjidhjes është i njëjtë si për sistemet e ekuacioneve johomogjene lineare.
Duke vepruar vetëm me rreshta, gjejmë renditjen e matricës, bazën minor; Ne deklarojmë të panjohura të varura dhe të lira dhe gjejmë një zgjidhje të përgjithshme.

Shembulli 2. Gjeni zgjidhjen e përgjithshme dhe sistemin themelor të zgjidhjeve të sistemit
Zgjidhje.



,
rrjedh se rangu i matricës është 3 dhe i barabartë me numrin e të panjohurave. Kjo do të thotë që sistemi nuk ka të panjohura të lira, dhe për këtë arsye ka një zgjidhje unike - një të parëndësishme.

Ushtrimi . Eksploroni dhe zgjidhni një sistem ekuacionesh lineare.
Shembulli 4

Ushtrimi . Gjeni zgjidhjet e përgjithshme dhe të veçanta të secilit sistem.
Zgjidhje. Le të shkruajmë matricën kryesore të sistemit:

Detyrë . Gjej grup themelor zgjidhjet e një sistemi homogjen ekuacionesh lineare.