Bir dairenin çevresini yarıçapa göre bulma formülü. Yarıçapın hesaplanması: çapı bilen bir dairenin çevresi nasıl bulunur?

1610 yılında İtalyan bilim adamı Galileo Galilei diskte dört nokta fark etti. Lekeler ortaya çıktı ve sonra tekrar kayboldu. Bir yıldızın etrafında dönen gezegenler gibiydi. Bilim adamının adını taşıyan Jüpiter'in ilk "uyları" bu şekilde keşfedildi - Galile uyduları. Neredeyse dört yüz yıl boyunca bilim adamları, gökbilimciler ve sadece amatörler yalnızca dört uydu olduğundan emindiler. Ancak uzay teknolojisi çağında onlarca Jüpiter'in uyduları. Hepsi dev devle birlikte başka bir küçük "" oluşturur. Jüpiter'in kütlesi gerçek kütlesinden 4 kat daha büyük olsaydı, o zaman başka bir yıldız sistemi. Dünyanın ufkunda gözlemlenecek iki yıldız: Ve .

Tüm uydular Jüpiter'in muazzam yerçekimi nedeniyle döner, dönüşleri kendi etrafında dönmeye benzer. Her "ay"ın, kendisinden uzak olan kendi yörüngeleri vardır. gaz gezegeniçeşitli mesafelerde. En yakın uydu Metis gezegenden 128 bin km uzaklıkta bulunurken, en uzakları “ev sahibinden” 20-30 milyon km uzaktadır. İÇİNDE şu anda Bilim adamlarının ve gökbilimcilerin bakışları, Jüpiter'in en büyük ve en öngörülemeyen uyduları oldukları için özellikle 4 Galilean uydusunun (Io, Europa, Ganymede, Calisto) incelenmesine yöneliktir. Bunlar en ilginçleri yeni dünyalar Her birinin kendi tarihi, gizemleri ve fenomenleri var.

Io

Uydu adı: Io;

Çap: 3660 km;

Yüzey alanı: 41.910.000 km²;

Io, 8 Ocak 1610'da Galileo tarafından keşfedildi. En yakın Galilean uydusudur. Uzaklık Io Jüpiter'in atmosferinin en dış katmanlarına kadar olan mesafe neredeyse 350.000 bin km ile aynıdır. Uydu, birçok temel parametre açısından Ay'a benzemektedir. Kütle ve hacim neredeyse aynı, Io'nun yarıçapı sadece 100 km daha büyük ay yarıçapı, her iki uydunun çekim kuvvetleri de benzerdir (Io - 1,8 m/s², Ay - 1,62 m/s²). Gezegene olan küçük mesafe nedeniyle ve büyük kütle , yerçekimi kuvveti Io'yu gezegenin etrafında 62.400 km/sa hızla (dönüş hızının 17 katı) döndürür. Böylece Io'da bir yıl yalnızca 42,5 saat sürüyor, dolayısıyla uydu neredeyse her gün gözlemlenebiliyor.

Io ve diğer uydular arasındaki karakteristik fark, büyük volkanik aktivite yüzeyinde. Uzay istasyonları Voyager'lar 12 kaydetti aktif volkanlar 300 km yüksekliğe kadar sıcak lav akıyor. Yayılan ana gaz, daha sonra yüzeyde beyaz bir katı olarak donan kükürt dioksittir. Io'nun ince atmosferi nedeniyle sıcak gaz çeşmeleri ile bile görülebilir amatör teleskoplar. Bu görkemli gösteri, güneş sisteminin harikalarından biri olarak kabul edilebilir. Io'daki bu kadar yüksek volkanik aktivitenin nedeni nedir?çünkü komşusu Avrupa, yüzeyi kilometrelerce buz tabakasıyla kaplı, tamamen donmuş bir dünyadır. Bu soru bilim insanları ve gökbilimciler için büyük bir gizemdir. Ana versiyon şunu ima ediyor yerçekimi etkisi Io'da hem kendisi hem de diğer uydular, uydunun yüzeyinde iki gelgit tümseği oluşturulacak şekilde aşılanmıştır. Io'nun yörüngesi tam bir daire olmadığından, Jüpiter'in etrafında döndüğü için tümsekler Io'nun yüzeyi boyunca hafifçe hareket eder ve bu da iç mekanın ısınmasına neden olur. En yakın "ay" Jüpiter, gezegenin kendisi ile diğer uyduları arasında (esas olarak Europa ile arasında) yerçekimsel bir halkaya sıkıştırılmıştır. Bu temelde, Io'nun en çok olduğu belirtilmelidir. volkanik olarak aktif cisim .

Io'da volkanik aktivite oldukça yaygındır. Kükürt emisyonları
300 km yüksekliğe kadar çıkıyor, bir kısmı yüzeye düşerek oluşuyor
lav denizleri ve bazıları uzayda kalıyor

Avrupa

Uydu adı: Avrupa;

Çap: 3122 km;

Yüzey alanı: 30.613.000 km²;

Hacim: 1,59×10 10 km³;

Ağırlık: 4,8×1022 kg;

Yoğunluk T: 3013 kg/m³;

Rotasyon süresi: 3,55 gün;

Dolaşım süresi: 3,55 gün;

Jüpiter'den uzaklık: 671.000 km;

Yörünge hızı: 13,74 km/s;

Ekvator uzunluğu: 9.807 km;

Yörünge eğimi: 1,79°;

Hızlanma serbest düşüş: 1,32 m/s²;

Uydu: Jüpiter

Avrupa Jüpiter'in altıncı uydusu veya Galile grubunun ikinci uydusudur. Neredeyse dairesel yörüngesi, Gaz Devinden 671 bin kilometre uzakta bulunuyor. Uydunun kendi etrafında dönmesi 3 gün 13 saat 12 dakika sürerken, Io bu süre zarfında iki devrimi tamamlamayı başarıyor.
İlk bakışta Avrupa- Bu tamamen donmuş ve hayattan yoksun bir dünya. Yüzeyinde enerji kaynağı bulunmadığından dolayı uzun mesafe merkezden bakıldığında uydu neredeyse hiç güneş ısısı almıyor. Buna çok ince olan ve ısıyı uzun süre koruyamayan bir atmosfer de dahildir. Ancak altıncı ay, yalnızca gezegenin diğer uydularında değil, aynı zamanda (hariç) tüm cisimlerde olmayan bir şeye sahiptir. Jüpiter'in yüzeyi 100 kilometrelik bir katmanla kaplıdır su. Hacimce bu su miktarı aşıyor dünyadaki okyanuslar ve denizler bir arada. Atmosfer ince olmasına rağmen hala tamamen oksijenden oluşuyor (bu element olmasa tüm Dünya canlılarının öleceği bir element). Görünüşe göre oksijen ve su olduğu için bu şu anlama geliyor: hayat başlayacak. Fakat üst katman 10-30 km kalınlığında olup katı buz halindedir ve çok yoğun donmuş kabuk, aktif hareketlerin olmadığı. Ancak kalınlığının altında, suyu çok çeşitli canlıların yaşayabileceği sıvı faza dönüştürmeye yetecek kadar ısı vardır. sualtı dünyası. Yakın gelecekte insanlık yön vermeyi planlıyor Avrupa kilometrelerce buz tabakasını delebilen, okyanusun kalınlığına dalan ve yerel su altı sakinleriyle tanışabilen bir robot. Böyle bir cihazın görevinin sonunda uydunun yüzeyine çıkması ve dünya dışı varlıkları gezegenimize ulaştırması gerekecek.

İçinden geçecek bir uzay aracı (sanatçının hayal ettiği gibi)

Avrupa'nın buzlu kabuğu ve çalışmaya başlayacak okyanus kısmı uydu

Avrupa'nın jeolojik tarihi diğer uyduların geçmişiyle hiçbir ilgisi yoktur. Bu en yumuşaklardan biri katılar V. Europa'da 100 m'den yüksek tepe yoktur ve tüm yüzeyi birbirine benzer büyük düz donmuş buzdan. Genç yüzeyinin tamamı, muazzam uzunlukta açık ve koyu dar şeritlerden oluşan bir ağ ile kaplıdır. Binlerce kilometre uzunluğundaki koyu çizgiler, buz kabuğunun tekrar tekrar ısıtılması sonucu ortaya çıkan küresel bir çatlak sisteminin izleridir. iç gerilimler ve büyük ölçekli tektonik süreçler.

Io muhtemelen Jüpiter'in tüm uyduları arasında en ünlüsüdür. Gezegenin yüzeyine en yakın uydudur. Io'nun diğer uydulardan farkı, uydunun yüzeyindeki şiddetli volkanik aktivitedir. volkanik aktivite rekorunun sahibi güneş sistemi Yüzeyinde bir düzineden fazla volkan aynı anda patlayabilir. Gözlem sırasında Birçok volkan volkanik faaliyetlerini durdururken, diğerleri tam tersine yoğun bir şekilde patlamaya başlar.

Ay Io'nun keşfinin tarihi.

Io ayı, 1610 yılında çok ünlü gökbilimci Galileo Galilei tarafından keşfedildi. İlginçtir ki Galileo bu uyduyu, bu kadar küçük ve uzak kozmik cisimleri gözlemleyebilen, kendi yaptığı bir teleskopla keşfetmiştir.

Simon Marius ayrıca uyduyu, 1909'daki resmi keşfinden bir yıl önce Jüpiter'in uydularını gözlemlerken kendisinin keşfettiğini iddia etti, ancak Simon keşfiyle ilgili verileri zamanında yayınlamayı başaramadı.

Bu uydunun adı “Io” Simon Marius'tan başkası tarafından önerilmedi ancak bu isim uzun zamandır kullanılmadı. Galileo keşfettiği Jüpiter'in dört uydusuna isim verdi seri numaraları ve Io hak ettiği ilk numarayı aldı. Ancak bu pek uygun değildi ve daha sonra Satürn'ün ilk uydusuna Io adı verilmeye başlandı.

Harika olması sayesinde volkanik aktivite Io'nun yüzeyi sürekli değişiyor. Uydunun kabartmaları her yıl büyük ölçüde değişmektedir. Io bu volkanik aktiviteyi Jüpiter gezegenine borçludur. Bu devin yerçekimi inanılmazdır ve gezegen, uydunun içindeki magmanın sürekli olarak hareket etmesine ve Io'nun yüzeyine patlamasına neden olur. Jüpiter'in muazzam yerçekimi nedeniyle Io'nun yanardağları magmayı 300 km uzağa fırlatır. yüzeyden 1 km/sn hızla uzaklaşır.

Io diğer aylar gibi değil gaz devleri esas olarak buz ve amonyak içeren. Io daha çok bir gezegene benziyor karasal grup yüzeyinde mineraller ve kayalar bulunur. Io, uydu için kendi manyetik alanını yaratan sıvı demirden oluşan bir çekirdeğe sahiptir. Uydunun yarıçapı 1000 kilometreyi geçmiyor. Uydunun yüzeyinde patlayan volkanların yanı sıra aktif olmayan volkanlar da bulunuyor. Kaya oluşumları, uzun nehirler erimiş magmadan ve sıvı kükürt gölünden.

Karar verirken çok sık okul ödevleri Fizikte şu soru ortaya çıkıyor: Çapını bilerek bir dairenin çevresi nasıl bulunur? Aslında bu sorunu çözmede hiçbir zorluk yok; sadece ne olduğunu açıkça hayal etmeniz gerekiyor; formüller Bunun için kavramlara ve tanımlara ihtiyaç vardır.

Temel kavramlar ve tanımlar

1. Yarıçap bağlayan çizgidir çemberin merkezi ve keyfi noktası. Belirlendi Latince harf R.
2. Akor iki keyfi birleştiren bir çizgidir bir daire üzerinde bulunan noktalar.
3. Çap, bağlantı hattıdır bir dairenin iki noktası ve merkezinden geçen. Latin harfi d ile gösterilir.
4. üzerinde bulunan tüm noktalardan oluşan bir çizgidir eşit mesafe merkezi adı verilen seçilmiş bir noktadan. Uzunluğunu Latin harfi l ile göstereceğiz.

Bir dairenin alanı tüm bölgedir bir daire içine alınmış. Ölçülüyor V birim kareler ve Latin harfi s ile gösterilir.

Tanımlarımızı kullanarak bir dairenin çapının en büyük kirişine eşit olduğu sonucuna varıyoruz.

Dikkat! Bir dairenin yarıçapının tanımından dairenin çapının ne olduğunu öğrenebilirsiniz. Bunlar zıt yönlere yerleştirilmiş iki yarıçaptır!

Bir dairenin çapı.

Bir dairenin çevresini ve alanını bulma

Bize bir dairenin yarıçapı verilirse, dairenin çapı formülle tanımlanır. d = 2*r. Böylece, yarıçapını bilerek bir dairenin çapının nasıl bulunacağı sorusuna cevap vermek için sonuncusu yeterlidir. ikiyle çarpmak.

Yarıçapı cinsinden ifade edilen bir dairenin çevresi formülü şu şekildedir: ben = 2*P*r.

Dikkat! Latin harfi P (Pi), bir dairenin çevresinin çapına oranını belirtir ve bu periyodik olmayan bir sayıdır. ondalık. İÇİNDE okul matematikönceden bilindiği kabul edilir tablo değeri, 3,14'e eşit!

Şimdi bir dairenin çevresini çapı boyunca bulmak için önceki formülü yeniden yazalım, yarıçapa göre farkının ne olduğunu hatırlayalım. Ortaya çıkacak: l = 2*P*r = 2*r*P = P*d.

Matematik dersinden dairenin alanını tanımlayan formülün şu şekilde olduğunu biliyoruz: s = П*r^2.

Şimdi bir dairenin çapı boyunca alanını bulmak için önceki formülü yeniden yazalım. Anlıyoruz,

s = П*r^2 = П*d^2/4.

En çok biri zor görevler bu konuda bir dairenin alanının çevre boyunca belirlenmesi ve bunun tersi de geçerlidir. s = П*r^2 ve l = 2*П*r gerçeğinden yararlanalım. Buradan r = l/(2*П) elde ederiz. Yarıçap için elde edilen ifadeyi alan formülünde yerine koyarsak şunu elde ederiz: s = l^2/(4P). Tamamen benzer bir şekilde belirlenir çevre dairenin alanı boyunca.

Yarıçap uzunluğu ve çapının belirlenmesi

Önemli!Öncelikle çapın nasıl ölçüleceğini öğrenelim. Çok basit; herhangi bir yarıçap çizin, genişletin karşı taraf yay ile kesişene kadar. Ortaya çıkan mesafeyi bir pusula ile ölçüyoruz ve ne aradığımızı bulmak için herhangi bir ölçüm aracını kullanıyoruz!

Uzunluğunu bilerek bir dairenin çapını nasıl bulacağımız sorusuna cevap verelim. Bunu yapmak için l = П*d formülüyle ifade ediyoruz. d = l/P elde ederiz.

Bir dairenin çevresinden çapını nasıl bulacağımızı zaten biliyoruz ve aynı şekilde yarıçapını da bulabiliriz.

l = 2*P*r, dolayısıyla r = l/2*P. Genel olarak yarıçapı bulmak için çap cinsinden ifade edilmesi gerekir ve bunun tersi de geçerlidir.

Şimdi dairenin alanını bilerek çapı belirlemeniz gerektiğini varsayalım. s = П*d^2/4 gerçeğini kullanıyoruz. Buradan d’yi ifade edelim. İşe yarayacak d^2 = 4*s/P. Çapın kendisini belirlemek için çıkarmanız gerekecek sağ tarafın karekökü. d = 2*sqrt(s/P) olduğu ortaya çıkıyor.

Tipik görevleri çözme

1. Çevre verilirse çapı nasıl bulacağımızı öğrenelim. 778,72 kilometreye eşit olsun. D'yi bulmak gerekiyor. d = 778,72/3,14 = 248 kilometre. Çapın ne olduğunu hatırlayalım ve hemen yarıçapı belirleyelim; bunun için yukarıda belirlediğimiz d değerini ikiye bölüyoruz. İşe yarayacak r = 248/2 = 124 kilometre
2. Yarıçapını bilerek belirli bir dairenin uzunluğunu nasıl bulacağımızı düşünelim. R'nin değeri 8 dm 7 cm olsun. Bütün bunları santimetreye dönüştürelim, o zaman r 87 santimetreye eşit olacaktır. Bir dairenin bilinmeyen uzunluğunu bulmak için formülü kullanalım. O zaman istediğimiz değer şuna eşit olacaktır: boy = 2*3,14*87 = 546,36 cm. Elde ettiğimiz değeri l = 546,36 cm = 5 m 4 dm 6 cm 3,6 mm metrik büyüklüklerin tam sayılarına dönüştürelim.
3. Belirli bir dairenin alanını bilinen çapına göre formülü kullanarak belirlememiz gerekiyor. d = 815 metre olsun. Bir dairenin alanını bulma formülünü hatırlayalım. Bize verilen değerleri burada yerine koyalım, şunu elde ederiz s = 3,14*815^2/4 = 521416,625 metrekare M.
4. Şimdi yarıçapının uzunluğunu bilerek bir dairenin alanını nasıl bulacağımızı öğreneceğiz. Yarıçapı 38 cm olsun. Bildiğimiz formülü kullanıyoruz. Burada bize verilen değeri koşulla değiştirelim. Şunu elde edersiniz: s = 3,14*38^2 = 4534,16 metrekare. santimetre.
5. Son görev, bilinen çevreye göre bir dairenin alanını belirlemektir. l = 47 metre olsun. s = 47^2/(4P) = 2209/12,56 = 175,87 metrekare. M.

Çevre

Böylece çevre ( C) sabitin çarpılmasıyla hesaplanabilir π çap başına ( D) veya çarpma π çap iki yarıçapa eşit olduğundan yarıçapın iki katı kadardır. Buradan, çevre formülüşöyle görünecek:

C = πD = 2πR

Nerede C- çevre, π - devamlı, D- daire çapı, R- dairenin yarıçapı.

Bir daire, bir dairenin sınırı olduğundan, bir dairenin çevresine, bir dairenin uzunluğu veya bir dairenin çevresi de denilebilir.

Çevre sorunları

Görev 1.Çapı 5 cm olan dairenin çevresini bulunuz.

Çevresi eşit olduğundan π çapla çarpıldığında, çapı 5 cm olan bir dairenin uzunluğu şuna eşit olacaktır:

C≈ 3,14 5 = 15,7 (cm)

Görev 2. Yarıçapı 3,5 m olan dairenin uzunluğunu bulun.

Öncelikle yarıçapın uzunluğunu 2 ile çarparak dairenin çapını bulun:

D= 3,5 2 = 7 (m)

Şimdi çevreyi çarparak bulalım π çap başına:

C≈ 3,14 7 = 21,98 (m)

Görev 3. Uzunluğu 7,85 m olan bir dairenin yarıçapını bulun.

Bir dairenin yarıçapını uzunluğuna göre bulmak için çevresini 2'ye bölmeniz gerekir. π

Bir dairenin alanı

Bir dairenin alanı sayının çarpımına eşittir π kare yarıçap başına. Bir dairenin alanını bulma formülü:

S = πr 2

Nerede S dairenin alanıdır ve R- dairenin yarıçapı.

Bir dairenin çapı yarıçapın iki katına eşit olduğundan yarıçap, çapın 2'ye bölünmesine eşittir:

Bir dairenin alanıyla ilgili problemler

Görev 1. Yarıçapı 2 cm ise dairenin alanını bulun.

Bir dairenin alanı olduğundan π yarıçapın karesi ile çarpıldığında, yarıçapı 2 cm olan bir dairenin alanı şuna eşit olacaktır:

S≈ 3,14 2 2 = 3,14 4 = 12,56 (cm2)

Görev 2.Çapı 7 cm olan bir dairenin alanını bulun.

Öncelikle dairenin çapını 2'ye bölerek yarıçapını bulun:

7:2=3,5(cm)

Şimdi aşağıdaki formülü kullanarak dairenin alanını hesaplayalım:

S = πr 2 ≈ 3,14 3,5 2 = 3,14 12,25 = 38,465 (cm2)

Bu görev başka şekilde çözülebilir. Önce yarıçapı bulmak yerine, çapı kullanarak bir dairenin alanını bulmak için formülü kullanabilirsiniz:

Görev 3. Alanı 12,56 m2 ise dairenin yarıçapını bulun.

Bir dairenin yarıçapını alanından bulmak için dairenin alanını bölmeniz gerekir π ve ardından elde edilen sonuçtan çıkar karekök:

R = √S : π

dolayısıyla yarıçap şuna eşit olacaktır:

R≈ √12,56: 3,14 = √4 = 2 (m)

Sayı π

Bizi çevreleyen nesnelerin çevresi, uzunluğu daha sonra ayrı olarak ölçülebilen bir ölçüm bandı veya ip (iplik) kullanılarak ölçülebilir. Ancak bazı durumlarda çevreyi ölçmek zor veya neredeyse imkansızdır; örneğin bir şişenin iç çevresi veya sadece kağıt üzerine çizilen bir dairenin çevresi. Bu gibi durumlarda çapının veya yarıçapının uzunluğunu biliyorsanız dairenin çevresini hesaplayabilirsiniz.

Bunun nasıl yapılabileceğini anlamak için çevresi ve çapı ölçülebilen birkaç yuvarlak nesneyi ele alalım. Uzunluğun çapa oranını hesaplayalım ve sonuç olarak aşağıdaki sayı dizisini elde edelim:

Buradan bir dairenin çevresinin çapına oranının şu şekilde olduğu sonucuna varabiliriz: devamlı her bir daire için ve bir bütün olarak tüm çevreler için. Bu ilişki harfle gösterilir π .

Bu bilgiyi kullanarak bir dairenin uzunluğunu bulmak için yarıçapını veya çapını kullanabilirsiniz. Örneğin, yarıçapı 3 cm olan bir dairenin uzunluğunu hesaplamak için yarıçapı 2 ile çarpmanız (çapı bu şekilde elde ederiz) ve elde edilen çapı şu şekilde çarpmanız gerekir: π . Sonuç olarak numarayı kullanarak π Yarıçapı 3 cm olan dairenin uzunluğunun 18,84 cm olduğunu öğrendik.