24.1. Diferansiyel fonksiyon kavramı

y=ƒ(x) fonksiyonunun x noktasında sıfırdan farklı bir türevi olsun.

Daha sonra, bir fonksiyon, onun limiti ve sonsuz küçük bir fonksiyon arasındaki bağlantı hakkındaki teoreme göre D у/D x=ƒ"(x)+α yazabiliriz, burada α→0 ∆х→0'da veya ∆у =ƒ"(x) ∆х+α ∆х.

Dolayısıyla, ∆у fonksiyonunun artışı, ∆x→0 için sonsuz küçük olan iki terimin toplamıdır: ƒ"(x) ∆x ve a ∆x. Bu durumda, ilk terim sonsuzdur. küçük fonksiyon∆х ile aynı mertebededir, çünkü ve ikinci terim daha fazlasının sonsuz küçük bir fonksiyonudur yüksek sipariş, ∆х'dan:

Bu nedenle, ilk terim ƒ"(x) ∆x olarak adlandırılır Ana bölüm artışlar fonksiyonlar ∆у.

Fonksiyon diferansiyeli x noktasında y=ƒ(x) denir Ana bölüm artışları, ürüne eşit fonksiyonun argümanın artmasıyla türevi ve dу (veya dƒ(x)) ile gösterilir:

dy=ƒ"(x) ∆х. (24.1)

Dу diferansiyeline ayrıca denir birinci dereceden diferansiyel. Bağımsız x değişkeninin diferansiyelini, yani y=x fonksiyonunun diferansiyelini bulalım.

y"=x"=1 olduğundan, formül (24.1)'e göre dy=dx=∆x elde ederiz, yani bağımsız değişkenin diferansiyeli bu değişkenin artışına eşittir: dx=∆x.

Bu nedenle formül (24.1) şu şekilde yazılabilir:

dy=ƒ"(х)dх, (24.2)

başka bir deyişle, bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun türevi ile bağımsız değişkenin diferansiyelinin çarpımına eşittir.

Formül (24.2)'den dy/dx=ƒ"(x) eşitliği gelir. Şimdi gösterim

dy/dx türevi, dy ve dx diferansiyellerinin oranı olarak düşünülebilir.

<< Пример 24.1

ƒ(x)=3x 2 -sin(l+2x) fonksiyonunun diferansiyelini bulun.

Çözüm: dy=ƒ"(x) dx formülünü kullanarak şunu buluruz:

dy=(3x 2 -sin(l+2x))"dx=(6x-2cos(l+2x))dx.

<< Пример 24.2

Bir fonksiyonun diferansiyelini bulun

x=0, dx=0,1 için dy'yi hesaplayın.

Çözüm:

x=0 ve dx=0,1'i yerine koyarsak şunu elde ederiz:

24.2. Diferansiyel fonksiyonun geometrik anlamı

Diferansiyelin geometrik anlamını bulalım.

Bunu yapmak için, y=ƒ(x) fonksiyonunun grafiğine M(x; y) noktasında bir MT teğeti çizelim ve bu teğetin x+∆x noktası için ordinatını düşünelim (bkz. Şekil 138). Şekilde ½ AM½ =∆х, |AM 1 |=∆у. Sağ üçgen MAV'dan elimizde:

Ancak türevin geometrik anlamına göre tga=ƒ"(x) olur. Dolayısıyla AB=ƒ"(x) ∆x olur.

Elde edilen sonucu formül (24.1) ile karşılaştırarak dy=AB elde ederiz, yani y=ƒ(x) fonksiyonunun x noktasındaki diferansiyeli, fonksiyonun grafiğine teğetin ordinatındaki artışa eşittir. x, ∆x değerinde bir artış aldığında nokta.

Diferansiyelin geometrik anlamı budur.

24.3 Diferansiyellerle ilgili temel teoremler

Diferansiyellerle ilgili temel teoremler, bir fonksiyonun (dy=f"(x)dx) diferansiyeli ile türevi arasındaki bağlantı ve türevlerle ilgili karşılık gelen teoremler kullanılarak kolayca elde edilebilir.

Örneğin, y=c fonksiyonunun türevi sıfıra eşit olduğundan, sabit bir değerin diferansiyeli de sıfıra eşit olur: dy=с"dx=0 dx=0.

Teorem 24.1.İki türevlenebilir fonksiyonun toplamı, çarpımı ve bölümünün diferansiyeli aşağıdaki formüllerle belirlenir:

Örneğin ikinci formülü kanıtlayalım. Diferansiyelin tanımı gereği elimizde:

d(uv)=(uv)" dx=(uv" +vu" )dx=vu" dx+uv" dx=udv+vdu

Teorem 24.2. Karmaşık bir fonksiyonun diferansiyeli, bu fonksiyonun ara argümana ve bu ara argümanın diferansiyeline göre türevinin çarpımına eşittir.

y=ƒ(u) ve u=φ(x), karmaşık bir y=ƒ(φ(x)) fonksiyonunu oluşturan iki diferansiyellenebilir fonksiyon olsun. Karmaşık bir fonksiyonun türevine ilişkin teoremi kullanarak şunu yazabiliriz:

y" x =y" u u" x.

Bu eşitliğin her iki tarafını da dx ile çarparak y" x dx=y" u u" x dx'i öğreniriz. Ancak y" x dx=dy ve u" x dx=du. Sonuç olarak, son eşitlik şu şekilde yeniden yazılabilir:

dy=у" u du.

dy=y" x dx ve dy=y" u du formüllerini karşılaştırdığımızda, y=ƒ(x) fonksiyonunun ilk diferansiyelinin, argümanının bağımsız bir değişken veya a olup olmadığına bakılmaksızın aynı formülle belirlendiğini görüyoruz. başka bir argümanın işlevi.

Bir diferansiyelin bu özelliğine, birinci diferansiyelin formunun değişmezliği (değişmezliği) denir.

Görünüş olarak dy=y" x dx formülü dy=y" u du formülüyle örtüşür, ancak aralarında temel bir fark vardır: ilk formülde x bağımsız bir değişkendir, dolayısıyla ikinci formülde dx=∆x x'in bir fonksiyonu vardır, dolayısıyla genel anlamda du≠∆u olur.

Diferansiyel tanımını ve diferansiyellerle ilgili temel teoremleri kullanarak, bir türev tablosunu diferansiyel tablosuna dönüştürmek kolaydır.

Örneğin: d(cosu)=(cosu)" u du=-sinudu

24.4. Diferansiyel tablosu

24.5. Diferansiyelin yaklaşık hesaplamalara uygulanması

Zaten bilindiği gibi, y=ƒ(x) fonksiyonunun x noktasındaki ∆у artışı ∆у=ƒ"(x) ∆х+α ∆х olarak temsil edilebilir, burada ∆х→0'da α→0, veya ∆у= dy+α ∆х ∆х'dan daha yüksek dereceli sonsuz küçük α ∆х'ı göz ardı ederek yaklaşık bir eşitlik elde ederiz.

∆у≈dy, (24.3)

Üstelik ∆х ne kadar küçükse bu eşitlik daha doğrudur.

Bu eşitlik, herhangi bir türevlenebilir fonksiyonun artışını büyük bir doğrulukla yaklaşık olarak hesaplamamıza olanak tanır.

Diferansiyeli bulmak genellikle bir fonksiyonun artışını bulmaktan çok daha kolaydır, bu nedenle formül (24.3) hesaplama uygulamalarında yaygın olarak kullanılır.

<< Пример 24.3

y=x 3 -2x+1 fonksiyonunun x=2 ve ∆x=0,001'deki artışının yaklaşık değerini bulun.

Çözüm: (24.3) formülünü uyguluyoruz: ∆у≈dy=(x 3 -2x+1)" ∆x=(3x 2 -2) ∆x.

Yani ∆у» 0,01.

Bir fonksiyonun artışı yerine diferansiyelini hesaplayarak ne gibi bir hata yapıldığını görelim. Bunu yapmak için ∆у'yı buluruz:

∆у=((x+∆x) 3 -2(x+∆x)+1)-(x 3 -2x+1)=x 3 +3x 2 ∆x+3x (∆x) 2 +(∆x ) 3 -2x-2 ∆x+1-x 3 +2x-1=∆x(3x 2 +3x ∆x+(∆x) 2 -2);

Yaklaşımın mutlak hatası

|∆у-dy|=|0,010006-0,011=0,000006.

∆у ve dy değerlerini eşitlik (24.3) ile değiştirerek şunu elde ederiz:

ƒ(x+∆x)-ƒ(x)≈ƒ"(x)∆x

ƒ(х+∆х)≈ƒ(х)+ƒ"(х) ∆х. (24.4)

Fonksiyonların yaklaşık değerlerini hesaplamak için formül (24.4) kullanılır.

<< Пример 24.4

Yaklaşık olarak arktanı(1.05) hesaplayın.

Çözüm: ƒ(x)=arctgx fonksiyonunu düşünün. Formül (24.4)'e göre elimizde:

arctg(x+∆х)≈arctgx+(arctgx)" ∆х,

yani.

x+∆x=1,05 olduğundan, x=1 ve ∆x=0,05'te şunu elde ederiz:

Formül (24.4)'ün mutlak hatasının M (∆x) 2 değerini aşmadığı gösterilebilir; burada M, [x;x+∆x] segmentindeki |ƒ"(x)|'nin en büyük değeridir.

<< Пример 24.5

Ay'da serbest düşüş sırasında bir cisim, düşüşün başlangıcından itibaren 10.04 saniyede ne kadar mesafe kat eder? Bir cismin serbest düşme denklemi

H=g l t 2/2, g l =1,6 m/s 2.

Çözüm: H(10,04)'ü bulmamız gerekiyor. Yaklaşık formülü kullanalım (ΔH≈dH)

H(t+∆t)≈H(t)+H"(t) ∆t. t=10 s ve ∆t=dt=0,04 s'de, H"(t)=g l t, şunu buluruz:

Sorun (bağımsız çözüm için). Kütlesi m=20 kg olan bir cisim ν=10,02 m/s hızıyla hareket etmektedir. Vücudun kinetik enerjisini yaklaşık olarak hesaplayın

24.6. Daha yüksek dereceli diferansiyeller

y=ƒ(x) türevlenebilir bir fonksiyon olsun ve argümanı x olsun bağımsız değişken. O halde ilk diferansiyeli dy=ƒ"(x)dx de x'in bir fonksiyonudur; bu fonksiyonun diferansiyeli bulunabilir.

y=ƒ(x) fonksiyonunun diferansiyelinin diferansiyeline denir onun ikinci farkı(veya ikinci dereceden diferansiyel) ve d 2 y veya d 2 ƒ(x) ile gösterilir.

Yani tanım gereği d 2 y=d(dy). y=ƒ(x) fonksiyonunun ikinci diferansiyelinin ifadesini bulalım.

dx=∆х x'e bağlı olmadığından türev alırken dx sabitini dikkate alırız:

d 2 y=d(dy)=d(f"(x)dx)=(ƒ"(x)dx)" dx=f"(x)dx dx=f"(x)(dx) 2 yani .

d 2 y=ƒ"(х)dх 2. (24,5)

Burada dx 2, (dx) 2 anlamına gelir.

Üçüncü dereceden diferansiyel benzer şekilde tanımlanır ve bulunur

d 3 y=d(d 2 y)=d(ƒ"(x)dx 2)≈f"(x)(dx) 3.

Ve genel olarak, n'inci dereceden bir diferansiyel, (n-1)'inci dereceden bir diferansiyelden diferansiyeldir: d n y=d(d n-ly y)=f (n) (x)(dx) n .

Buradan şunu buluyoruz: Özellikle n=1,2,3 için

buna göre şunu elde ederiz:

yani bir fonksiyonun türevi, uygun mertebedeki diferansiyelinin, bağımsız değişkenin diferansiyelinin karşılık gelen derecesine oranı olarak düşünülebilir.

Yukarıdaki formüllerin hepsinin yalnızca x'in bağımsız bir değişken olması durumunda geçerli olduğunu unutmayın. Eğer y=ƒ(x) fonksiyonu varsa, burada x başka bir bağımsız değişkenin fonksiyonu, o zaman ikinci ve daha yüksek derecedeki diferansiyeller form değişmezliği özelliğine sahip değildir ve diğer formüller kullanılarak hesaplanır. Bunu ikinci dereceden diferansiyel örneğini kullanarak gösterelim.

Ürün diferansiyel formülünü (d(uv)=vdu+udv) kullanarak şunu elde ederiz:

d 2 y=d(f"(x)dx)=d(°"(x))dx+°"(x) d(dx)=°"(x)dx dx+°"(x) d 2 x , yani

d 2 y=ƒ"(x)dx 2 +ƒ"(x) d 2 x. (24.6)

Formüller (24.5) ve (24.6)'yı karşılaştırdığımızda, karmaşık bir fonksiyon durumunda ikinci dereceden diferansiyel formülün değiştiğine inanıyoruz: ikinci terim ƒ"(x) d 2 x ortaya çıkıyor.

Açıktır ki, eğer x bağımsız bir değişkense, o zaman

d 2 x=d(dx)=d(l dx)=dx d(l)=dx 0=0

ve formül (24.6), formül (24.5)'e girer.

<< Пример 24.6

Y = e 3x ve x bağımsız bir değişken ise d 2 y'yi bulun.

Çözüm: y"=3e 3x, y"=9e 3x olduğuna göre, formül (24.5)'e göre d 2 y=9e 3x dx 2 elde ederiz.

<< Пример 24.7

Y=x 2 ve x=t 3 +1 ise ve t bağımsız bir değişkense d 2 y'yi bulun.

Çözüm: (24.6) formülünü kullanıyoruz: çünkü

y"=2x, y"=2, dx=3t 2 dt, d 2 x=6tdt 2 ,

O d 2 y=2dx 2 +2x 6tdt 2 =2(3t 2 dt) 2 +2(t 3 +1)6tdt 2 =18t 4 dt 2 +12t 4 dt 2 +12tdt 2 =(30t 4 +12t)dt 2

Başka bir çözüm: y=x 2, x=t 3 +1. Bu nedenle y=(t 3 +1) 2. Daha sonra formül (24.5)'e göre

d 2 y=y ¢¢ dt2,

d 2 y=(30t 4 +12t)dt 2 .

İki değişkenli bir fonksiyonun kısmi türevleri.
Çözüm kavramı ve örnekleri

Bu derste iki değişkenin fonksiyonuyla tanışmaya devam edeceğiz ve belki de en yaygın tematik görev olan bulmayı ele alacağız. birinci ve ikinci dereceden kısmi türevlerin yanı sıra fonksiyonun toplam diferansiyeli. Yarı zamanlı öğrenciler genellikle 1. sınıfta 2. yarıyılda kısmi türevlerle karşılaşırlar. Üstelik gözlemlerime göre kısmi türevleri bulma görevi neredeyse her zaman sınavda karşımıza çıkıyor.

Aşağıdaki materyali etkili bir şekilde incelemek için gerekli Tek değişkenli fonksiyonların "sıradan" türevlerini az çok güvenle bulabilmek. Türevlerin nasıl doğru şekilde ele alınacağını derslerde öğrenebilirsiniz. Türevi nasıl bulunur? Ve Karmaşık bir fonksiyonun türevi. Ayrıca temel fonksiyonların türevleri ve türev kurallarının bir tablosuna da ihtiyacımız olacak; basılı biçimde elimizde olması en uygunudur. Sayfadan referans materyali alabilirsiniz Matematiksel formüller ve tablolar.

İki değişkenli fonksiyon kavramını hızlıca tekrarlayalım, kendimi minimumla sınırlamaya çalışacağım. İki değişkenli bir fonksiyon genellikle olarak yazılır ve değişkenler çağrılır. bağımsız değişkenler veya argümanlar.

Örnek: – iki değişkenin fonksiyonu.

Bazen gösterim kullanılır. Harf yerine harfin kullanıldığı görevler de vardır.

Geometrik açıdan bakıldığında, iki değişkenli bir fonksiyon çoğunlukla üç boyutlu uzaydaki bir yüzeyi temsil eder (düzlem, silindir, küre, paraboloid, hiperboloid vb.). Ama aslında bu daha analitik geometridir ve gündemimizde üniversite hocamın yazmama asla izin vermediği ve benim "güçlü noktam" olan matematiksel analiz vardır.

Birinci ve ikinci dereceden kısmi türevleri bulma sorusuna geçelim. Birkaç fincan kahve içip inanılmaz derecede zor bir materyale alışmak isteyenler için iyi haberlerim var: Kısmi türevler, tek değişkenli bir fonksiyonun "sıradan" türevleriyle neredeyse aynıdır.

Kısmi türevler için tüm türev kuralları ve temel fonksiyonların türev tablosu geçerlidir. Şimdilik öğreneceğimiz yalnızca birkaç küçük fark var:

...evet, bu arada, oluşturduğum bu konu için küçük pdf kitabı Bu da sadece birkaç saat içinde "dişlerinizi takmanıza" olanak tanıyacak. Ancak siteyi kullanarak kesinlikle aynı sonucu elde edeceksiniz - sadece biraz daha yavaş olabilir:

örnek 1

Fonksiyonun birinci ve ikinci dereceden kısmi türevlerini bulun

Öncelikle birinci dereceden kısmi türevleri bulalım. İki tane var.

Tanımlar:
veya – “x”e göre kısmi türev
veya – “y”ye göre kısmi türev

İle başlayalım . “x”e göre kısmi türevi bulduğumuzda değişken bir sabit (sabit sayı) olarak kabul edilir..

Gerçekleştirilen eylemlere ilişkin yorumlar:

(1) Kısmi türevi bulurken yaptığımız ilk şey şu sonuca varmaktır: Tümü asal sayının altındaki parantez içindeki fonksiyon alt simge ile.

Dikkat, önemli!Çözüm sürecinde abonelikleri KAYBETMEYİZ. Bu durumda, olmadan bir yere bir "kontur" çizerseniz, o zaman öğretmen en azından onu ödevin yanına koyabilir (dikkatsizlik noktasının bir kısmını hemen ısırır).

(2) Türev alma kurallarını kullanırız , . Bunun gibi basit bir örnek için her iki kural da tek adımda kolaylıkla uygulanabilir. İlk terime dikkat edin: beri bir sabit olarak kabul edilir ve herhangi bir sabit türev işaretinden çıkarılabilir, sonra onu parantezlerin dışına çıkarırız. Yani bu durumda sıradan bir sayıdan daha iyi değildir. Şimdi üçüncü terime bakalım: Burada tam tersine çıkarılacak bir şey yok. Bir sabit olduğu için aynı zamanda bir sabittir ve bu anlamda son terim olan "yedi" den daha iyi değildir.

(3) Tablo türevlerini kullanıyoruz ve .

(4) Haydi basitleştirelim veya benim deyimimle cevabı "ince ayarlayalım".

Şimdi . “y”ye göre kısmi türevi bulduğumuzda değişkensabit olarak kabul edilir (sabit sayı).

(1) Aynı farklılaşma kurallarını kullanıyoruz , . İlk terimde türevin işaretinden sabiti çıkarırız, ikinci terimde ise zaten sabit olduğu için hiçbir şey çıkaramayız.

(2) Temel fonksiyonların türevleri tablosunu kullanıyoruz. Tablodaki tüm “X”leri zihinsel olarak “I” olarak değiştirelim. Yani, bu tablo (ve aslında hemen hemen her harf için) aynı derecede geçerlidir. Özellikle kullandığımız formüller şuna benzer: ve .

Kısmi türevlerin anlamı nedir?

Esas itibarıyla 1. dereceden kısmi türevler şuna benzer: "sıradan" türev:

- Bu işlevler karakterize eden değişim oranı sırasıyla ve eksenleri yönünde çalışır. Yani, örneğin, fonksiyon “Yükselişlerin” ve “eğimlerin” dikliğini karakterize eder yüzeyler apsis ekseni yönünde ve fonksiyon bize aynı yüzeyin ordinat ekseni yönünde "kabartılmasını" anlatır.

! Not : burada şu talimatları kastediyoruz: paralel koordinat eksenleri.

Daha iyi anlamak için düzlem üzerinde belirli bir noktayı ele alalım ve bu noktadaki fonksiyonun değerini (“yükseklik”) hesaplayalım:
– ve şimdi burada (yüzeyde) olduğunuzu hayal edin.

Belirli bir noktada "x"e göre kısmi türevi hesaplayalım:

“X” türevinin negatif işareti bize şunları anlatır: azalan apsis ekseni yönünde bir noktada çalışır. Başka bir deyişle, eğer küçük, küçük bir şey yaparsak (sonsuz küçük) eksenin ucuna doğru adım atın (bu eksene paralel), sonra yüzeyin eğiminden aşağı ineceğiz.

Şimdi ordinat ekseni yönünde “arazinin” doğasını öğreniyoruz:

"y"ye göre türev pozitiftir, dolayısıyla eksen yönündeki bir noktada fonksiyon artışlar. Basitçe söylemek gerekirse, burada bizi yokuş yukarı bir tırmanış bekliyor.

Ek olarak bir noktadaki kısmi türev şunu karakterize eder: değişim oranı karşılık gelen yönde çalışır. Ortaya çıkan değer ne kadar büyük olursa modulo– yüzey ne kadar dikse ve tam tersi, sıfıra ne kadar yakınsa yüzey o kadar düzdür. Yani örneğimizde apsis ekseni yönündeki “eğim”, ordinat ekseni yönündeki “dağ”dan daha diktir.

Ama bunlar iki özel yoldu. Geldiğimiz noktadan şu çok açık ki, (ve genel olarak belirli bir yüzey üzerindeki herhangi bir noktadan) başka bir yöne doğru ilerleyebiliriz. Bu nedenle, bizi yüzeyin "manzarası" hakkında bilgilendirecek genel bir "navigasyon haritası" oluşturmaya ilgi duyulmaktadır. Eğer mümkünse her noktada bu fonksiyonun tanım alanı mevcut tüm yollar boyunca. Bundan ve diğer ilginç şeylerden önümüzdeki derslerden birinde bahsedeceğim ama şimdilik konunun teknik yönüne dönelim.

Uygulanan temel kuralları sistematize edelim:

1) 'ye göre türev aldığımızda değişken sabit kabul edilir.

2) Farklılaştırma aşağıdakilere göre yapıldığında:, o zaman bir sabit olarak kabul edilir.

3) Temel fonksiyonların kuralları ve türev tablosu, türevin alındığı herhangi bir değişken (veya başka herhangi bir değişken) için geçerlidir ve uygulanabilir.

İkinci adım. İkinci dereceden kısmi türevleri buluyoruz. Dört tane var.

Tanımlar:
veya – “x”e göre ikinci türev
veya – “y”ye göre ikinci türev
veya - karışık“x'in igr'ye göre” türevi
veya - karışık"Y"nin türevi

İkinci türevde herhangi bir sorun yoktur. Basit bir ifadeyle, ikinci türev birinci türevin türevidir.

Kolaylık sağlamak için, halihazırda bulunan birinci dereceden kısmi türevleri yeniden yazacağım:

İlk önce karışık türevleri bulalım:

Gördüğünüz gibi her şey basit: kısmi türevi alıyoruz ve tekrar türevini alıyoruz, ancak bu durumda - bu sefer "Y" ye göre.

Aynı şekilde:

Pratik örneklerde aşağıdaki eşitliğe odaklanabilirsiniz:

Bu nedenle, ikinci dereceden karma türevler aracılığıyla, birinci dereceden kısmi türevleri doğru bulup bulmadığımızı kontrol etmek çok uygundur.

“x”e göre ikinci türevi bulun.
İcat yok, hadi alalım ve tekrar “x” ile farklılaştırın:

Aynı şekilde:

Bulduğunuzda göstermeniz gerektiğine dikkat edilmelidir. artan dikkatçünkü bunları doğrulayacak mucizevi eşitlikler yoktur.

İkinci türevler ayrıca geniş pratik uygulamalara sahiptir, özellikle bulma probleminde kullanılırlar. iki değişkenli bir fonksiyonun ekstremum değeri. Ama her şeyin bir zamanı vardır:

Örnek 2

Fonksiyonun bu noktadaki birinci dereceden kısmi türevlerini hesaplayın. İkinci dereceden türevleri bulun.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevaplar dersin sonundadır). Kökleri ayırt etmekte zorluk yaşıyorsanız derse dönün Türevi nasıl bulunur? Genel olarak, çok yakında bu tür türevleri "anında" bulmayı öğreneceksiniz.

Daha karmaşık örneklerde daha iyi olalım:

Örnek 3

Şunu kontrol et . Birinci dereceden toplam diferansiyeli yazın.

Çözüm: Birinci dereceden kısmi türevleri bulun:

Alt simgeye dikkat edin: , “X” in yanına parantez içinde bunun sabit olduğunu yazmak yasaktır. Bu not, yeni başlayanlar için çözümde gezinmeyi kolaylaştırmak açısından çok yararlı olabilir.

Diğer yorumlar:

(1) Türevin işareti dışındaki tüm sabitleri alıyoruz. Bu durumda ve ve bu nedenle çarpımları sabit bir sayı olarak kabul edilir.

(2) Kökleri doğru şekilde nasıl ayırt edeceğinizi unutmayın.

(1) Türevin işaretinden tüm sabitleri çıkarırız, bu durumda sabit .

(2) Asal sayı altında iki fonksiyonun çarpımı kaldı, bu nedenle çarpımın türevini almak için kuralı kullanmamız gerekiyor .

(3) Bunun karmaşık bir fonksiyon olduğunu unutmayın (karmaşıkların en basiti olsa da). İlgili kuralı kullanıyoruz: .

Şimdi ikinci dereceden karışık türevleri buluyoruz:

Bu, tüm hesaplamaların doğru yapıldığı anlamına gelir.

Toplam farkı yazalım. Göz önünde bulundurulan görev bağlamında, iki değişkenli bir fonksiyonun toplam diferansiyelinin ne olduğunu söylemenin bir anlamı yoktur. Bu farklılığın sıklıkla pratik problemlerde yazılmasının gerekli olması önemlidir.

Birinci dereceden toplam diferansiyel iki değişkenli fonksiyon şu şekildedir:

Bu durumda:

Yani, zaten bulunmuş olan birinci dereceden kısmi türevleri aptalca bir şekilde formüle koymanız yeterlidir. Bu ve benzeri durumlarda paylara diferansiyel işaretler yazmak en iyisidir:

Ve okuyucuların tekrarlanan istekleri doğrultusunda, ikinci dereceden tam diferansiyel.

Şuna benziyor:

2. dereceden “tek harfli” türevlerini DİKKATLİCE bulalım:

ve kareleri, ürünü dikkatlice "birleştirerek" ve karışık türevi ikiye katlamayı unutmadan "canavar" ı yazın:

Bir şeyin zor görünmesi sorun değil; türev alma tekniğinde ustalaştıktan sonra türevlere her zaman geri dönebilirsiniz:

Örnek 4

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulma . Şunu kontrol et . Birinci dereceden toplam diferansiyeli yazın.

Karmaşık işlevlere sahip bir dizi örneğe bakalım:

Örnek 5

Fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulun.

Çözüm:

Örnek 6

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulma .
Toplam farkı yazın.

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir (cevap dersin sonunda verilecektir). Size tam bir çözüm vermeyeceğim çünkü oldukça basit.

Çoğu zaman yukarıdaki kuralların tümü bir arada uygulanır.

Örnek 7

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulma .

(1) Toplamın türevini almak için kuralı kullanırız

(2) Bu durumda ilk terim bir sabit olarak kabul edilir, çünkü ifadede "x"e bağlı hiçbir şey yoktur - yalnızca "y". Biliyorsunuz, bir kesrin sıfıra çevrilebilmesi her zaman güzeldir). İkinci dönem için ürün farklılaştırma kuralını uyguluyoruz. Bu arada onun yerine bir fonksiyon verilseydi bu anlamda hiçbir şey değişmeyecekti - önemli olan burada iki fonksiyonun çarpımı, HER BİRİ şunlara bağlıdır: "X" ve bu nedenle ürün farklılaştırma kuralını kullanmanız gerekir. Üçüncü terim için karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralını uyguluyoruz.

(1) Hem pay hem de paydadaki ilk terim bir "Y" içerir, bu nedenle bölümlerin türevini almak için kuralı kullanmanız gerekir: . İkinci terim YALNIZCA “x”e bağlıdır, bu da onun bir sabit olarak kabul edildiği ve sıfıra döndüğü anlamına gelir. Üçüncü terim için karmaşık bir fonksiyonun türevini alma kuralını kullanıyoruz.

Cesurca neredeyse dersin sonuna kadar gelen okuyucular için, rahatlamak amacıyla size eski bir Mekhmatov şakası anlatacağım:

Bir gün fonksiyonlar uzayında kötü bir türev ortaya çıktı ve herkesi farklılaştırmaya başladı. Tüm işlevler her yöne dağılmış durumda, kimse dönüşmek istemiyor! Ve yalnızca bir işlev kaçmaz. Türev ona yaklaşır ve sorar:

- Neden benden kaçmıyorsun?

- Ha. Ama umurumda değil çünkü ben "e üzeri X'im" ve sen bana hiçbir şey yapmayacaksın!

Kötü türevin sinsi bir gülümsemeyle cevap verdiği:

- İşte burada yanılıyorsunuz, sizi “Y” ile ayırt edeceğim, yani sıfır olmalısınız.

Şakayı anlayan kişi türevlerde en azından “C” seviyesine kadar ustalaşmıştır).

Örnek 8

Bir fonksiyonun birinci dereceden kısmi türevlerini bulma .

Bu kendi başınıza çözebileceğiniz bir örnektir. Sorunun tam çözümü ve örneği dersin sonundadır.

Eh, neredeyse hepsi bu. Son olarak matematik severleri bir örnekle daha sevindirmeden edemeyeceğim. Konu amatörlerle ilgili bile değil, herkesin farklı düzeyde matematiksel hazırlığı var - daha zor görevlerle rekabet etmeyi seven insanlar var (ve o kadar da nadir değil). Bununla birlikte, bu dersteki son örnek, hesaplama açısından hantal olduğu kadar çok da karmaşık değildir.

y = /(x) fonksiyonunun x noktasında türevi olsun. Bir x noktasında, x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilen dy = f"(x)dx diferansiyelinin de türevlenebilir bir fonksiyon olduğu ortaya çıkabilir. O zaman bu fonksiyonun diferansiyelinin ikinci olarak adlandırılan bir diferansiyeli vardır. y = f(x) fonksiyonunun -dereceden diferansiyeli ve d2y olarak gösterilir. Böylece, daha yüksek mertebeden diferansiyeller benzer şekilde tanımlanır: y = /(x) fonksiyonunun n'inci mertebeden diferansiyeli dny, (n - 1)'in diferansiyelidir. Bu fonksiyonun dy diferansiyeline doğal olarak Y fonksiyonunun 1. mertebeden diferansiyeli denir. = /(*) Daha yüksek mertebeden diferansiyelleri ifade eden formülleri bulalım. y = /(x) bağımsız bir fonksiyon olsun. x değişkeni, herhangi bir mertebeden diferansiyellere sahip O halde dx = Dz, x tanımına bağlı olmayan bağımsız x değişkeninin bir miktar artışıdır. Burada f"(x)dx, x'in bir fonksiyonu olarak kabul edilir, dx faktörü. sabittir ve diferansiyel işaretinin dışına çıkarılabilir. Bu nedenle d(f"(x)'i hesaplamak için birinci dereceden diferansiyel formülü f"(x) fonksiyonuna uygularız. Bu nedenle, bağımsız değişken x'in aynı dx diferansiyeline karşılık gelen y = f(x) fonksiyonunun x noktasındaki ikinci dereceden diferansiyeli d2y, dx2'nin (dx)2'yi temsil ettiği formülle belirlenir. Matematiksel tümevarım yöntemini kullanarak n'inci dereceden diferansiyel formülünü elde ederiz. Parametrik olarak tanımlanan bir fonksiyonun türevi. Bir skaler argümanın vektör fonksiyonu Bir vektör fonksiyonunun limiti ve sürekliliği. skaler argümanına göre türev alma kuralları. Dolayısıyla şimdi yeterli sayıda türevi alınabilen bir fonksiyon olsun. Daha sonra, birinci diferansiyelin formunun değişmezliği nedeniyle, Burada genel durumda sabit bir değer değildir, dolayısıyla ve bağımsız bir değişken olduğu durumda, Formülleri karşılaştırarak ikinci diferansiyelin olmadığı sonucuna varırız. biçimin değişmezliği. u doğrusal bir fonksiyonsa, yani Yani şeklin değişmezliği korunur. §12. Parametrik olarak tanımlanmış bir fonksiyonun türevlenmesi Düzlemde Kartezyen dikdörtgen koordinat sistemini tanıtalım. Fonksiyonlar ve V(0) a ^ t ^ doğru parçası üzerinde sürekli olsun (3 parametre değişikliği. t parametresi zaman olarak kabul edilirse bu fonksiyonlar M noktasının düzlemdeki koordinatlarla hareket yasasını belirler.) Tanım. Düzlemin (x, y) koordinatlarının denklem (1) ile belirlenen tüm noktalarının (M) kümesine /Moskomlu>u0ohm denir. Bu durumda eğrinin parametrik formda verildiğini söylüyorlar. Örnek. Dolayısıyla, örneğin, merkezi orijinde olan R yarıçaplı bir daire, t'nin Ox ekseni ile o noktaya çizilen yarıçap vektörü OM arasındaki açının yarıçap değeri olduğu denklemlerle parametrik formda belirtilebilir. M(x,y) (Şekil 15). T parametresini denklem sisteminden (1) çıkarırsak, x ve y'yi içeren bir denklem kalacak ve bu eğri F(x, y) = 0 denklemiyle belirlenecektir. Yani denklemlerde ( 2) sol ve sağ kısımların karesini alırız ve elde edilen denklemleri terim terim ekleriz, ardından t parametresi hariç tutulacak ve bu daire zaten tanıdık olan x2 + y2 = R2 denklemiyle ifade edilecektir. Ancak t parametresini hariç tutmak her zaman mümkün değildir. Ve yine de, örneğin bir eğriye teğet bulmak gibi bazı problemleri çözmek için, eğrinin parametrik formda verildiği durumlarda bile y'nin x'e göre türevini bulabilmeniz gerekir. Hem x hem de y değişkenleri t: parametresinin fonksiyonları olarak belirtilirse, y'nin x'e fonksiyonel bağımlılığının parametrik olarak belirtildiğini söyleyeceğiz. Fonksiyonun parametrik spesifikasyonu durumunda, y'nin x'e göre türevinin hesaplanması sorununu ele alalım. Fonksiyonlar belirli bir (a,/3) t değişim aralığı boyunca tanımlı ve sürekli olsun. Fonksiyon için ters bir fonksiyon olsun. O halde y, x'in karmaşık bir fonksiyonudur: Fonksiyonların t 6 (a, /3) noktasında türevlenebilir olduğunu ve t = d(x) fonksiyonunun türevlenebilir olduğunu varsayalım. karşılık gelen x noktasında. O halde, karmaşık bir fonksiyonun türev alma kuralına göre, y = gr [ fonksiyonu x noktasında türevlenebilir olacaktır.genel olarak konuşursak, uzunluğu ve yönü (ve bazı durumlarda hız vektörü gibi uygulama noktasını) değiştirir. Tanım. Bir n(t) vektör fonksiyonunun hodografı, t argümanı değiştiğinde, a(f) vektörünün başlangıcı sabit bir O noktasına yerleştirildiğinde a(t) vektörünün sonunu izleyen bir noktalar kümesidir. uzay. Hodograf a(<) есть вообше некоторая кривая L в пространстве (рис. 16). Годографом радиуса-вектора г движущейся точки будет сама траектория L этой точки. Уравнение или называется векторным уравнением кривой L. Уравнения называются параметрическими уравнениями этой кривой. Пример. Например, уравнения являются параметрическими уравнениями одного витка винтовой линии (рис. 17). Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента Пусть вектор-функция а = a(t) определена в некоторой окрестности точки t = tc кроме, быть может, самой этой точки. Определение. Постоянный вектор А называется пределом вектор-функции а(£) при t t0, если для всякого е >0 için 6 > 0 vardır ve \t - koşulunu sağlayan tüm t ^ t0'lar için

y = f(x) türevlenebilir bir fonksiyon olsun ve argümanları da bağımsız bir değişken olsun. O halde ilk diferansiyeli = f ′ (x)dx aynı zamanda bir otx fonksiyonudur; bu fonksiyonun diferansiyelini bulabilirsiniz.

y = f(x) fonksiyonunun diferansiyelinin diferansiyeline denir ikinci diferansiyel(veya ikinci dereceden diferansiyel) ve d 2 y veya d 2 f (x) ile gösterilir:

d 2 y = f′′ (x) dx2

Burada dx 2, (dx )2'yi ifade etmektedir.

Üçüncü dereceden diferansiyel benzer şekilde tanımlanır ve bulunur: d 3 y = d (d2 y) = d (f′′ (x) dx2) = f′′′ (x) dx3.

Genel olarak, n'inci dereceden bir diferansiyel, (n-1)'inci dereceden bir diferansiyelden diferansiyeldir: d n y = d (d n - 1 y) =f (n) (x) (dx)n.

Buradan f (n) (x) = d n y olduğunu buluruz. Özellikle n = 1, 2, 3 için sırasıyla şunu elde ederiz: dx n

karşılık gelen sıradaki diferansiyelinin, bağımsız değişkenin diferansiyelinin karşılık gelen derecesine oranı.

Yukarıdaki formüllerin tamamının yalnızca x'in bağımsız bir değişken olması durumunda geçerli olduğunu unutmayın.

Örnek. Eğer y = e 3 x ise d 2 y'yi bulun. Çözüm: y ′ = 3e 3 x ,y " = 9e 3 x olduğuna göre d 2 y = 9e 3 x dx 2 elde ederiz.

L'Hopital'in kuralları

L'Hopital kuralları, temel olarak adlandırılan 0 0 ve ∞ ∞ formundaki belirsizlikleri ortaya çıkarmak için kullanılır.

Teorem 3. (L'Hopital'in 0 0 formundaki belirsizlikleri açıklama kuralı).

f(x) ve g(x) fonksiyonlarının 0 ve noktaları civarında sürekli ve türevlenebilir olmasına izin verin.

Teorem 4. (L'Hopital'in ∞ ∞ formundaki belirsizlikleri açıklama kuralı).

3x

Örnek. Lim tg 5 x'i bulun

x→π 2

, [∞ − ∞ ], , [∞ 0 ] formundaki belirsizlikler, aynı dönüşümlerle iki ana yola indirgenir.

→ x 0'da f(x)→0 ve g(x)→0 olsun. O zaman aşağıdaki dönüşümler açıktır:

f(x)→∞ ve g(x)→∞ → x 0 olsun. O zaman şunu yapabilirsiniz:

→ x'te f (x)→ 1 ve g (x)→ ∞ veya f (x)→ ∞ ve g (x)→ 0 veya f (x)→ 0 ve g (x)→ 0 olsun 0.

Lim f (x) g (x) formunda bir limit bulmak için logaritmanın özelliğini hatırlayın

x→x0

e lnf (x) g (x) = f (x) g (x).

Örnek. lim x → 0 (cos2 x ) x 2'yi bulun.

Diferansiyel... Bazıları için güzel, uzak bir kelime, bazıları için ise matematikle ilişkilendirilen anlaşılmaz bir kelimedir. Ancak bu sizin zorlu hediyenizse, makalemiz diferansiyelin nasıl düzgün bir şekilde "hazırlanacağını" ve ona neyle "servis edileceğini" öğrenmenize yardımcı olacaktır.

Bu makalede tipik farklılaşma sorunları tartışılmaktadır. Üniversite öğrencileri için yüksek matematik dersi genellikle diferansiyel denklemlerin çözümlerinin araştırılmasının yanı sıra yaklaşık hesaplamalarda diferansiyellerin kullanımına ilişkin görevleri de içerir. Ancak asıl önemli olan, temelleri net bir şekilde anlayarak tüm yeni görevlerle kolayca başa çıkabilmenizdir.