Yeterince küçük olduğunda fonksiyon artışının yaklaşık değeri. Diferansiyel kullanarak hesaplama yaklaşımı

Fonksiyon artışının yaklaşık değeri

Yeterince küçük değerler için fonksiyonun artışı yaklaşık olarak diferansiyeline eşittir; Dy » dy ve dolayısıyla

Örnek 2. X argümanı x 0 =3 değerinden x 1 =3,01 değerine değiştiğinde y= fonksiyonunun artışının yaklaşık değerini bulun.

Çözüm. Formül (2.3)'ü kullanalım. Bunu yapmak için hesaplayalım

X 1 - x 0 = 3,01 - 3 = 0,01, o zaman

Du" .

Bir fonksiyonun bir noktadaki yaklaşık değeri

y = f(x) fonksiyonunun x 0 noktasındaki artış tanımına uygun olarak, Dx (Dx®0) argümanı artırıldığında Dy = f(x 0 + Dx) - f(x 0) ve formül (3.3) yazılabilir

f(x 0 + Dx) » f(x 0) + . (3.4)

Formül (3.4)'ün özel durumları aşağıdaki ifadelerdir:

(1 + Dx) n » 1 + nDx (3,4a)

ln(1 + Dx) » Dx (3.4b)

sinDx » Dx (3,4v)

tgDx » Dx (3,4g)

Burada daha önce olduğu gibi Dx®0 olduğu varsayılmaktadır.

Örnek 3. x 1 =2,02 noktasında f(x) = (3x -5) 5 fonksiyonunun yaklaşık değerini bulun.

Çözüm. Hesaplamalar için formül (3.4) kullanıyoruz. x 1'i x 1 = x 0 + Dx olarak temsil edelim. O halde x 0 = 2, Dx = 0,02.

f(2,02)=f(2 + 0,02) » f(2) +

f(2) = (3 × 2 - 5) 5 = 1

15 × (3 × 2 - 5) 4 = 15

f(2,02) = (3 × 2,02 - 5) 5 » 1 + 15 × 0,02 = 1,3

Örnek 4.(1.01) 5 , , ln(1.02), ln'yi hesaplayın.

Çözüm

1. Formül (3.4a)'yı kullanalım. Bunu yapmak için (1.01) 5'i (1+0.01) 5 biçiminde hayal edelim.

Daha sonra Dx = 0,01, n = 5 varsayarsak, şunu elde ederiz:

(1,01) 5 = (1 + 0,01) 5 » 1 + 5 × 0,01 = 1,05.

2. (3.4a)'ya göre 1/6'yı (1 - 0.006) formunda sunarak şunu elde ederiz:

(1 - 0,006) 1/6 » 1 + .

3. ln(1.02) = ln(1 + 0.02) dikkate alınarak ve Dx=0.02 varsayılarak (3.4b) formülünü kullanarak şunu elde ederiz:

ln(1,02) = ln(1 + 0,02) » 0,02.

4. Aynı şekilde

ln = ln(1 - 0,05) 1/5 = .

Fonksiyon artışlarının yaklaşık değerlerini bulun

155. x argümanı x 0 = 2'den x 1 = 2,001'e değiştiğinde y = 2x 3 + 5

156. y = 3x 2 + 5x + 1, x 0 = 3 ve Dx = 0,001

157. y = x 3 + x - 1 ile x 0 = 2 ve Dx = 0,01

158. x 0 = 10 ve Dx = 0,01'de y = ln x

159. x 0 = 3 ve Dx = 0,01'de y = x 2 - 2x

Fonksiyonların yaklaşık değerlerini bulun

160. y = 2x 2 - x + 1, x 1 = 2,01 noktasında

161. y = x 2 + 3x + 1, x 1 = 3,02'de

162.y= x 1 = 1,1 noktasında

163. y= x 1 noktasında = 3,032

164. y = x 1 noktasında = 3,97

165. x 1 = 0,015 noktasında y = sin 2x

Yaklaşık olarak hesapla

166. (1,025) 10 167. (9,06) 2 168.(1,012) 3

169. (9,95) 3 170. (1,005) 10 171. (0,975) 4

172. 173. 174.

175. 176. 177.

178.ln(1.003×e) 179.ln(1.05) 5 180.ln

181.ln0,98 182.ln 183.ln(e 2 ×0,97)

Fonksiyon araştırması ve grafik oluşturma

Bir fonksiyonun monotonluğunun işaretleri

Teorem 1 (gerekli koşul artan (azalan) fonksiyonu) . Türevlenebilir fonksiyon y = f(x), xО(a; b) (a; b) aralığında artar (azalır), o zaman herhangi bir x 0 О(a; b) için.

Teorem 2 (yeterli koşul artan (azalan) fonksiyonu) . Eğer y = f(x), xО(a; b) fonksiyonunun (a; b) aralığının her noktasında pozitif (negatif) bir türevi varsa, o zaman bu fonksiyon bu aralıkta artar (azalır).

Fonksiyonun ekstremum değerleri

Tanım 1. Bir x 0 noktasına, x 0 noktasının herhangi bir d-komşuluğundaki tüm x'ler için f(x) eşitsizliği sağlanıyorsa, y = f(x) fonksiyonunun maksimum (minimum) noktası denir.< f(x 0) (f(x) >x ¹ x 0 için f(x 0)) .

Teorem 3 (Fermat) (bir ekstremun varlığı için gerekli bir koşul) . Eğer x 0 noktası y = f(x) fonksiyonunun ekstrem noktası ise ve bu noktada bir türev varsa, o zaman

Teorem 4 (bir ekstremumun varlığı için ilk yeterli koşul) . y = f(x) fonksiyonunun x 0 noktasının bazı d-komşuluklarında türevlenebilir olmasına izin verin. Daha sonra:

1) eğer türev, x 0 noktasından geçerken işaretini (+)'dan (-)'ye değiştirirse, o zaman x 0 maksimum noktadır;

2) eğer türev, x 0 noktasından geçerken işaretini (-)'den (+)'ya değiştirirse, o zaman x 0 minimum noktadır;

3) Eğer türev x 0 noktasından geçerken işaret değiştirmiyorsa, o zaman x 0 noktasında fonksiyonun bir ekstremumu yoktur.

Tanım 2. Bir fonksiyonun türevinin sıfır olduğu veya bulunmadığı noktalara denir. Birinci türden kritik noktalar.

birinci türevi kullanarak

1. y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanımının tanım kümesini bulun.

3. Bul kritik noktalar birinci tür.

4. Kritik noktaları y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanım kümesine yerleştirin ve kritik noktaların fonksiyonun tanım tanım kümesini böldüğü aralıklardaki türevin işaretini belirleyin.

5. Fonksiyonun maksimum ve minimum noktalarını seçin ve bu noktalardaki fonksiyon değerlerini hesaplayın.

Örnek 1. Bir ekstremum için y = x 3 - 3x 2 fonksiyonunu inceleyin.

Çözüm. Birinci türevi kullanarak bir fonksiyonun ekstremumunu bulma algoritmasına uygun olarak, elimizde:

1. D(f): xО(-¥; ¥).

2. .

3. 3x 2 - 6x = 0 Þ x = 0, x = 2 - birinci türden kritik noktalar.

x = 0 noktasından geçerken türev

işareti (+)'dan (-)'ye değiştirir, dolayısıyla bu bir noktadır

Maksimum. x = 2 noktasından geçerken işaret (-)'den (+)'ya değişir, dolayısıyla burası minimum noktadır.

5. ymaks = f(0) = 0 3 × 3 × 0 2 = 0.

Maksimum koordinatlar (0; 0).

y dk = f(2) = 2 3 - 3 × 2 2 = -4.

Minimum koordinatlar (2; -4).

Teorem 5 (bir ekstremun varlığı için ikinci yeterli koşul) . Eğer y = f(x) fonksiyonu tanımlıysa ve x 0 ve noktasının bazı komşuluklarında iki kez türevlenebilirse, o zaman x 0 noktasında f(x) fonksiyonunun bir maksimum if'i ve bir minimum if'i vardır.

Bir fonksiyonun ekstremumunu bulmak için algoritma

ikinci türevi kullanarak

1. y = f(x) fonksiyonunun D(f) tanımının tanım kümesini bulun.

2. Birinci türevi hesaplayın

Bir yandan diferansiyelin hesaplanması, artışın hesaplanmasından çok daha basittir; diğer yandan, dy≈∆y ve bu durumda izin verilen hata, ∆x azaltılarak keyfi olarak küçük yapılabilir. Bu koşullar çoğu durumda ∆y'nin dy değeriyle değiştirilmesini mümkün kılar. Yaklaşık dy≈∆y eşitliğinden, ∆y = f(x) – f(x 0) ve dy=f'(x 0)(x-x 0) dikkate alınarak f(x) ≈ f( elde edilir. x 0) + f'(x 0)(x – x 0), burada x-x 0 = ∆x.
Örnek. Hesaplamak.
Çözüm. Fonksiyonu alarak elimizde: . x 0 =16 varsayarsak (kök çıkarılacak şekilde kendimizi seçeriz), ∆x = 0,02, elde ederiz.

Örnek. f(x) = e x fonksiyonunun x=0,1 noktasındaki değerini hesaplayın.
Çözüm. x 0 için 0 sayısını alırız, yani x 0 =0, sonra ∆x=x-x 0 =0,1 ve e 0,1 ≈e 0 + e 0 0,1 = 1+0,1 = 1,1. Tabloya göre e 0,1 ≈1,1052. Hata küçüktü.
Bir şeye daha dikkat edelim önemli özellik diferansiyel. dy=f’(x)dx diferansiyelini bulma formülü şu durumda doğrudur: X bağımsız bir değişkendir ve bu durumda X– yeni bir değişkenin işlevi T. Bir diferansiyelin bu özelliğine, formunun değişmezlik özelliği denir. Örneğin, y=tg(x) fonksiyonu için diferansiyel şu şekilde yazılacaktır: olup olmadığına bakılmaksızın X bağımsız değişken veya fonksiyon. Durumunda X– fonksiyon özel olarak belirtilirse, örneğin x=t 2 , daha sonra dy hesaplamasına devam edilebilir, bunun için dx=2tdt'yi buluruz ve bunu daha önce elde edilen dy ifadesine koyarız:
.
Formül (2) yerine değişmez olmayan formül (1)'i kullansaydık, o zaman x'in bir fonksiyon olması durumunda, dy hesaplamasına benzer şekilde devam edemezdik, çünkü ∆x genel olarak konuşursak, denk gelmek dx.

Yaygın sorunu düşünün diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerinin yaklaşık olarak hesaplanması.

Burada ve daha sonra birinci dereceden diferansiyellerden bahsedeceğiz; kısaca söylemek gerekirse, genellikle basitçe "diferansiyel" diyeceğiz. Diferansiyelleri kullanarak yaklaşık hesaplamalar probleminin katı bir çözüm algoritması vardır ve bu nedenle herhangi bir özel zorluk ortaya çıkmamalıdır. Tek şey, temizlenecek küçük tuzakların da olmasıdır. Bu yüzden balıklama dalmaktan çekinmeyin.

Ayrıca bu bölümde hesaplamaların mutlak ve bağıl hatalarını bulmaya yönelik formüller de yer almaktadır. Diğer problemlerde hataların hesaplanması gerektiğinden materyal çok faydalıdır.

Örneklerde başarılı bir şekilde uzmanlaşmak için, fonksiyonların türevlerini en azından orta düzeyde bulmanız gerekir; bu nedenle, türev alma konusunda tam bir bilginiz yoksa, lütfen şununla başlayın: bir noktanın türevini bulma ve ile noktadaki farkı bulma. İtibaren teknik araçlarçeşitli özelliklere sahip bir mikro hesap makinesine ihtiyacınız olacak matematiksel fonksiyonlar. MS Excel'in yeteneklerini kullanabilirsiniz, ancak bu durumda daha az uygundur.

Ders iki bölümden oluşuyor:

– Bir değişkenin bir fonksiyonunun bir noktadaki diferansiyel değerini kullanan yaklaşık hesaplamalar.

– Yaklaşık hesaplamalar tam diferansiyel bir noktadaki iki değişkenli bir fonksiyonun değerleri.

Söz konusu görev diferansiyel kavramı ile yakından ilgilidir, ancak türevlerin ve diferansiyellerin anlamı hakkında henüz bir dersimiz olmadığı için kendimizi örneklerin resmi olarak ele alınmasıyla sınırlayacağız; bu, nasıl çözüleceğini öğrenmek için oldukça yeterlidir. onlara.

Tek değişkenli bir fonksiyonun diferansiyelini kullanan yaklaşık hesaplamalar

İlk paragrafta tek değişkenli fonksiyon kuralları yer alıyor. Herkesin bildiği gibi, şu şekilde gösterilir: sen veya aracılığıyla F(X). Bu görev için ikinci gösterimi kullanmak çok daha uygundur. Hadi doğrudan gidelim popüler örnek pratikte sıklıkla ortaya çıkan:

Örnek 1

Çözüm: Lütfen diferansiyel kullanarak yaklaşık bir hesaplama yapmak için çalışma formülünü not defterinize kopyalayın:

Hadi anlamaya başlayalım, burada her şey basit!

İlk adım bir fonksiyon oluşturmaktır. Koşula göre hesaplanması önerilmektedir. küp köküşunlar arasından: , bu nedenle karşılık gelen fonksiyonşu forma sahiptir: .

Yaklaşık değeri bulmak için formülü kullanmamız gerekir.

Hadi bakalım sol taraf formüller ve 67 sayısının formda temsil edilmesi gerektiği düşüncesi akla geliyor. Bunu yapmanın en kolay yolu nedir? Ben tavsiye ediyorum sonraki algoritma: hadi hesaplayalım verilen değer hesap makinesinde:

– kuyruklu 4 olduğu ortaya çıktı, bu çözüm için önemli bir kılavuzdur.

Gibi X 0 “iyi” bir değer seçin, böylece kök tamamen kaldırılır. Doğal olarak bu anlam X 0 olmalı mümkün olduğu kadar yakın 67'ye.

Bu durumda X 0 = 64. Aslında .

Not: Seçim yapıldığındaX 0 hala bir zorluk var, sadece hesaplanan değere bakın (bu durumda ), en yakın tamsayı kısmını (bu durumda 4) alın ve gereken güce yükseltin (bu durumda ). Sonuç olarak istenilen seçim yapılacaktır. X 0 = 64.

Eğer X 0 = 64, ardından bağımsız değişkenin artışı: .

Yani 67 sayısı toplam olarak temsil edilir

İlk önce fonksiyonun o noktadaki değerini hesaplıyoruz. X 0 = 64. Aslında bu daha önce zaten yapılmıştı:

Bir noktadaki diferansiyel aşağıdaki formülle bulunur:

– Bu formülü not defterinize de kopyalayabilirsiniz.

Formülden birinci türevi almanız gerektiği anlaşılmaktadır:

Ve değerini o noktada bulun X 0:

Böylece:

Her şey hazır! Formüle göre:

Bulunan yaklaşık değer, mikro hesap makinesi kullanılarak hesaplanan 4,06154810045 değerine oldukça yakındır.

Cevap:

Örnek 2

Fonksiyonun artışlarını diferansiyeli ile değiştirerek yaklaşık olarak hesaplayın.

Bu bir örnektir bağımsız karar. Yaklaşık örnek dersin sonunda bitirin ve cevaplayın. Yeni başlayanlar için önce hesaplamayı öneririm kesin değer Hangi sayının alınacağını bulmak için mikro hesap makinesinde X 0 ve hangisi – Δ için X. Şunu belirtmek gerekir ki Δ X V bu örnekte olumsuz olacaktır.

Bazıları, her şey bir hesap makinesinde daha sakin ve daha doğru bir şekilde hesaplanabiliyorsa, bu göreve neden ihtiyaç duyulduğunu merak etmiş olabilir? Katılıyorum, görev aptalca ve safça. Ama bunu biraz haklı çıkarmaya çalışacağım. İlk olarak görev diferansiyel fonksiyonun anlamını göstermektedir. İkincisi, eski zamanlarda hesap makinesi, modern zamanlarda kişisel helikoptere benzer bir şeydi. 1985-86'da enstitülerden birinden oda büyüklüğünde bir bilgisayarın nasıl atıldığını kendim gördüm (radyo amatörleri şehrin her yerinden tornavidalarla koşarak geldiler ve birkaç saat sonra üniteden sadece kasa kaldı) ). Fizik bölümümüzde de antikalar vardı ama boyutları daha küçüktü, masa büyüklüğündeydi. Atalarımız yaklaşık hesaplama yöntemleriyle bu şekilde mücadele etti. At arabası da ulaşımdır.

Öyle ya da böyle görev standart kursta kaldı yüksek matematik ve çözülmesi gerekecek. Bu sorunuzun ana cevabı =).

Örnek 3

Diferansiyel kullanarak bir fonksiyonun değerini yaklaşık olarak hesaplayın bu noktada X= 1,97. Bir noktada daha doğru bir fonksiyon değeri hesaplayın X= 1,97 bir mikro hesap makinesi kullanarak mutlak değeri tahmin edin ve bağıl hata hesaplamalar.

Aslında bu görev kolaylıkla şu şekilde yeniden formüle edilebilir: "Yaklaşık değeri hesapla bir diferansiyel kullanarak"

Çözüm: Bilinen formülü kullanıyoruz:

Bu durumda hazır bir fonksiyon zaten verilmiştir: . Bir kez daha dikkatinizi, bir işlevi belirtmek için "oyun" yerine kullanmanın daha uygun olduğuna çekmek isterim. F(X).

Anlam X= 1,97 şeklinde temsil edilmelidir X 0 = Δ X. Eh, burada daha kolay, 1,97 sayısının “iki”ye çok yakın olduğunu görüyoruz, yani kendini gösteriyor X 0 = 2. Ve dolayısıyla: .

Fonksiyonun değerini bu noktada hesaplayalım. X 0 = 2:

Formül kullanma , aynı noktadaki farkı hesaplayalım.

İlk türevi buluyoruz:

Ve bu noktada anlamı X 0 = 2: