Ortalama seviye

Bir üçgenin ortaortayı. Ayrıntılı teoriörneklerle (2019)

Bir üçgenin açıortay ve özellikleri

Bir segmentin orta noktasının ne olduğunu biliyor musunuz? Tabii ki. Çemberin merkezi ne olacak? Aynı. Bir açının orta noktası nedir? Bunun olmayacağını söyleyebiliriz. Peki neden bir parça ikiye bölünebiliyor da bir açı bölünemiyor? Oldukça mümkün - sadece bir nokta değil, ama…. astar.

Şakayı hatırlıyor musunuz: Açıortay köşelerden koşan ve köşeyi ikiye bölen bir faredir. Yani açıortayın gerçek tanımı şu şakaya çok benziyor:

Bir üçgenin açıortayı- bu, bu açının tepe noktasını karşı taraftaki bir noktaya bağlayan bir üçgenin açıortay segmentidir.

Bir zamanlar eski gökbilimciler ve matematikçiler çok şey keşfettiler ilginç özellikler bisektörler. Bu bilgi insanların hayatlarını büyük ölçüde kolaylaştırdı. Topların inşa edilmesi, mesafelerin sayılması ve hatta ateşlenmesinin ayarlanması daha kolay hale geldi... Bu özelliklerin bilgisi, bazı GIA ve Birleşik Devlet Sınavı görevlerini çözmemize yardımcı olacaktır!

Bu konuda yardımcı olacak ilk bilgi ikizkenar üçgenin ortaortayı.

Bu arada, tüm bu terimleri hatırlıyor musun? Birbirlerinden nasıl farklı olduklarını hatırlıyor musunuz? HAYIR? Korkutucu değil. Şimdi çözelim.

Bu yüzden, ikizkenar üçgenin tabanı- bu, diğerine eşit olmayan taraftır. Resme bakın, sizce hangi taraf? Bu doğru - bu taraf.

Medyan, bir üçgenin köşesinden çizilen ve bölen bir çizgidir karşı taraf(yine bu) yarı yarıya.

"İkizkenar üçgenin medyanı" demediğimize dikkat edin. Neden biliyor musun? Çünkü bir üçgenin köşesinden çizilen kenarortay HERHANGİ bir üçgende karşı kenarı ikiye böler.

Yani yükseklik, üstten çizilen ve tabana dik olan bir çizgidir. Fark ettin? Yine sadece ikizkenar üçgenden değil, herhangi bir üçgenden bahsediyoruz. HERHANGİ bir üçgende yükseklik her zaman tabana diktir.

Peki anladın mı? Neredeyse. Açıortay, medyan ve yüksekliğin ne olduğunu daha iyi anlamak ve sonsuza kadar hatırlamak için, bunları birbirleriyle karşılaştırmanız ve bunların nasıl benzer olduklarını ve birbirlerinden nasıl farklı olduklarını anlamanız gerekir. Aynı zamanda daha iyi hatırlamak için her şeyi anlatmak daha iyidir” insan dili" O zaman matematik dilinde rahatlıkla işlem yapacaksınız ama ilk başta bu dili anlamıyorsunuz ve her şeyi kendi dilinizde kavramanız gerekiyor.

Peki nasıl benzerler? Açıortay, medyan ve yükseklik - hepsi üçgenin tepe noktasından "dışarı çıkar" ve karşı tarafta durur ve çıktıkları açıyla veya "bir şeyler yaparlar" ters taraf. Bence çok basit, değil mi?

Nasıl farklılar?

• Açıortay çıktığı açıyı ikiye böler.
• Medyan karşı tarafı ikiye böler.
• Yükseklik her zaman karşı tarafa diktir.

Bu kadar. Anlaşılması kolaydır. Ve bir kez anladığınızda hatırlayabilirsiniz.

Şimdi sonraki soru. İkizkenar üçgen durumunda neden açıortay hem kenarortay hem de yükseklik olarak ortaya çıkıyor?

Sadece şekle bakabilir ve medyanın mutlak olarak ikiye bölündüğünden emin olabilirsiniz. eşit üçgen. Bu kadar! Ancak matematikçiler gözlerine inanmaktan hoşlanmazlar. Her şeyi kanıtlamaları gerekiyor. Korkunç kelime? Böyle bir şey yok - çok basit! Bakın: her ikisinin de kenarları eşit ve genellikle ortak bir kenarları var ve. (- açıortay!) Ve böylece iki üçgenin iki tane olduğu ortaya çıktı eşit taraflar ve aralarındaki açı. Üçgenlerin eşitliğinin ilk işaretini hatırlıyoruz (hatırlamıyorsanız konuya bakın) ve bu nedenle = ve olduğu sonucuna varıyoruz.

Bu zaten iyi - medyan olduğu ortaya çıktı.

Ama bu ne?

Resme bakalım - . Ve aldık. O halde! Sonunda yaşasın! Ve.

Bu kanıtı biraz ağır mı buldunuz? Resme bakın; iki özdeş üçgen kendi adına konuşuyor.

Her durumda, şunu kesinlikle unutmayın:

Şimdi daha zor: sayacağız herhangi bir üçgende açıortaylar arasındaki açı! Korkmayın, o kadar da zor değil. Resme bak:

Hadi sayalım. Bunu hatırlıyor musun bir üçgenin açılarının toplamı?

Bu şaşırtıcı gerçeği uygulayalım.

Bir yandan:

Yani.

Şimdi şuna bakalım:

Ama açıortaylar, açıortaylar!

Şunu hatırlayalım:

Şimdi mektuplar arasında

\angle AOC=90()^\circ +\frac(\angle B)(2)

Şaşırtıcı değil mi? Görünüşe göre iki açının açıortayları arasındaki açı yalnızca üçüncü açıya bağlıdır!

İki açıortaya baktık. Peki ya üç tane varsa??!! Hepsi bir noktada kesişecek mi?

Yoksa bu şekilde mi olacak?

Nasıl düşünüyorsun? Böylece matematikçiler düşündüler, düşündüler ve kanıtladılar:

Harika değil mi?

Bunun neden olduğunu bilmek ister misiniz?

Yani...iki dik üçgen: ve. Onlar sahip:

• Genel hipotenüs.
• (çünkü bu bir açıortaydır!)

Bu, açı ve hipotenüs anlamına gelir. Dolayısıyla bu üçgenlerin karşılık gelen bacakları eşittir! Yani.

Noktanın açının kenarlarından eşit (veya eşit) uzaklıkta olduğunu kanıtladık. 1. nokta ele alınır. Şimdi 2. noktaya geçelim.

2 neden doğrudur?

Ve noktaları birleştirelim ve.

Bu, açıortay üzerinde olduğu anlamına gelir!

Bu kadar!

Sorunları çözerken tüm bunlar nasıl uygulanabilir? Örneğin problemlerde sıklıkla şu ifade bulunur: "Bir daire, bir açının kenarlarına dokunuyor...". Peki, bir şeyler bulmalısın.

O zaman bunu hemen anlarsın

Ve eşitliği kullanabilirsiniz.

3. Bir üçgende üç açıortay bir noktada kesişir

Bir açıortayın özelliğinden olmak yer Açının kenarlarından eşit uzaklıktaki noktalara göre aşağıdaki ifade şu şekildedir:

Tam olarak nasıl çıkıyor? Ama bakın: iki açıortay kesinlikle kesişecek, değil mi?

Ve üçüncü açıortay şu şekilde olabilir:

Ama gerçekte her şey çok daha iyi!

İki açıortayın kesişme noktasına bakalım. Hadi arayalım.

Her iki seferde de burada ne kullandık? Evet paragraf 1, Elbette! Bir nokta açıortay üzerinde bulunuyorsa, açının kenarlarından eşit derecede uzaktadır.

Ve böylece oldu.

Ama şu iki eşitliğe dikkatle bakın! Sonuçta, onlardan şu sonuç çıkıyor ve bu nedenle .

Ve şimdi devreye girecek 2. nokta: Bir açının kenarlarına olan uzaklıklar eşitse bu nokta açıortay üzerindedir...hangi açı? Resme tekrar bakın:

ve açının kenarlarına olan mesafelerdir ve eşittirler, bu da noktanın açının ortay üzerinde olduğu anlamına gelir. Üçüncü açıortay da aynı noktadan geçti! Üç açıortay da bir noktada kesişiyor! Ve ek bir hediye olarak -

Yarıçaplar yazılı daireler.

(Emin olmak için başka bir konuya bakın).

Artık asla unutmayacaksın:

Bir üçgenin açıortaylarının kesişme noktası, içine yazılan dairenin merkezidir.

Konusuna geçelim aşağıdaki mülke... Vay, açıortayın pek çok özelliği var, değil mi? Ve bu harika, çünkü daha fazla özellik, onlar daha fazla araç açıortay problemlerini çözmek için.

4. Açıortay ve paralellik, komşu açıların açıortayları

Açıortayın bazı durumlarda açıyı ikiye bölmesi, tamamen beklenmedik sonuçlara yol açmaktadır. Örneğin,

Dava 1

Harika, değil mi? Bunun neden böyle olduğunu anlayalım.

Bir yandan bir açıortay çiziyoruz!

Ancak öte yandan çapraz uzanan açılar da var (temayı hatırlayın).

Ve şimdi ortaya çıktı ki; ortasını atın: ! - ikizkenar!

Durum 2

Bir üçgen hayal edin (veya resme bakın)

Konunun ötesindeki tarafa devam edelim. Şimdi iki açımız var:

• - iç köşe
• - dış köşe dışarıda, değil mi?

Yani şimdi birisi aynı anda bir değil iki açıortay çizmek istiyordu: hem için hem de için. Ne olacak?

İşe yarayacak mı? dikdörtgen!

Şaşırtıcı bir şekilde durum tam da bu.

Hadi çözelim.

Sizce miktar nedir?

Tabii ki - sonuçta hepsi birlikte öyle bir açı oluşturuyor ki düz bir çizgi ortaya çıkıyor.

Şimdi şunu hatırlayın ve bunlar açıortaydır ve açının içinde tam olarak var olduğunu görün. yarım dört açının toplamından: ve - - yani, tam olarak. Bunu bir denklem olarak da yazabilirsiniz:

Yani inanılmaz ama gerçek:

Üçgenin iç ve dış açılarının açıortayları arasındaki açı eşittir.

Durum 3

Burada her şeyin iç ve dış köşelerde olduğu gibi aynı olduğunu görüyor musunuz?

Veya bunun neden olduğunu tekrar düşünelim mi?

Yine konuya gelince bitişik köşeler,

(paralel bazlara karşılık geldiği gibi).

Ve yine barışıyorlar tam olarak yarısı toplamdan

Çözüm: Sorun açıortaylar içeriyorsa bitişik açılar veya açıortaylar ilgili bir paralelkenarın veya yamuğun açıları, o zaman bu problemde kesinlikle bir dik üçgen, hatta belki tam bir dikdörtgen söz konusudur.

5. Açıortay ve karşı taraf

Bir üçgenin açıortayının karşı kenarı sadece bir şekilde değil, aynı zamanda özel ve çok ilginç bir şekilde böldüğü ortaya çıktı:

Yani:

İnanılmaz bir gerçek, değil mi?

Şimdi bu gerçeği kanıtlayacağız ama hazırlanın: eskisinden biraz daha zor olacak.

Tekrar - "uzay" a çıkış - ek oluşum!

Düz gidelim.

Ne için? Şimdi göreceğiz.

Açıortay çizgiyle kesişene kadar devam edelim.

Bu tanıdık bir resim mi? Evet, evet, evet, 4. maddedekiyle tamamen aynı, durum 1 - öyle görünüyor ki (- açıortay)

Çapraz yatma

Yani bu da.

Şimdi üçgenlere bakalım ve.

Onlar hakkında ne söyleyebilirsin?

Onlar benzer. Evet, açıları dikey olanlara eşittir. Yani iki köşede.

Artık ilgili tarafların ilişkilerini yazma hakkına sahibiz.

Ve şimdi kısa gösterimle:

Ah! Bana bir şeyi hatırlatıyor, değil mi? Kanıtlamak istediğimiz şey bu değil miydi? Evet, evet, tam olarak bu!

"Uzay yürüyüşünün" ne kadar harika olduğunu görüyorsunuz - ek bir düz çizginin inşası - o olmasaydı hiçbir şey olmazdı! Ve böylece bunu kanıtladık

Artık güvenle kullanabilirsiniz! Bir üçgenin açılarının açıortaylarının bir özelliğine daha bakalım - paniğe kapılmayın, şimdi en zor kısım bitti - daha kolay olacak.

bunu anladık

Teorem 1:

Teorem 2:

Teorem 3:

Teorem 4:

Teorem 5:

Teorem 6:

Matematik bildiğimiz gibi bilimlerin kraliçesidir. Öğretmenlerin, özellikle de eski kuşaktan öğretmenlerin bu ifadeyi bu kadar sevmesi tesadüf değil. Matematik yalnızca, öncelikle mantıksal düşünmeyi bilenlere ve ikinci olarak, her zaman bir cevaba ulaşmaktan hoşlanan, başlangıç ​​koşullarıyla çalışan, hile yapmadan, kararlarını analize dayandıran, yine mantıksal bağlantılar kuranlara açılır. Okuldan alınan bu nitelikler, hem işte hem de diğer yaşamlarda yetişkinlerin ciddi yaşamına aktarılabilir. zor anlar.

Bugün birçok insan çözümde sorunlarla karşılaşıyor matematik problemleri Ayrıca ilkokul.

Ancak, ilkokulda başarılı bir şekilde ustalaşan okul çocukları bile matematik programı yeni bir okula taşınmak ve yaşam evresi Cebirin geometriden ayrıldığı yerlerde bazen ciddi zorluklarla karşılaşırlar. Bu arada, bir kez öğrendikten ve en önemlisi anladıktan sonra, üçgenin açıortayı nasıl bulunuröğrenci bu formülü sonsuza kadar hatırlayacaktır. Üç açıortaylı ABC üçgenini düşünün. Şekilden de görülebileceği gibi hepsi bir noktada birleşiyor.

Öncelikle bir üçgenin en önemli özelliklerinden biri olan açıortayının, böyle bir doğru parçasının çıktığı açıyı ikiye böldüğünü belirleyelim. Yani yukarıdaki örnekte BAD açısı DAC açısına eşittir.

Özellikler

1. Bir üçgenin açıortayı, çizildiği tarafı sırasıyla, her bir parçaya bitişik olan kenarlarla orantılılık özelliğine sahip iki parçaya böler. Böylece BD/CD = AB/AC olur.
2. Her üçgenin belirli üç parçası olabilir. Diğer önemli özellikler hem özel hem de endişe verici genel durumlar dikkate alınan belirli üçgenler.

İkizkenar üçgenlerdeki özellikler

Bir üçgenin açıortayının belirlenmesi

Düşünüldüğünde şunu varsayalım ABC üçgeni AB tarafı = 5 cm, AC = 4 cm. Bölüm CD'si = 3 cm.

Uzunluk Tayini

Uzunluk şu şekilde belirlenebilir: aşağıdaki formül . reklam= Kare kök kenarların çarpımı ile çarpım arasındaki farktan orantılı bölümler.

BC kenarının uzunluğunu bulun.

• Özelliklerden BD/CD = AB/AC olduğu bilinmektedir.
• Yani BD/CD = 5/4 = 1,25.
• BD/3 = 5/4.
• Yani BD = 3,75.
• ABxAC = 5×4=20.
• CDxBD = 3x3,75 = 11,25.

Bu örnek aynı zamanda, açıortay uzunluğunun değerlerinin, matematikteki diğer tüm değerler gibi, ifade edilmeyeceği durumu açıkça belirtmeyi amaçlamaktadır. doğal sayılar Ancak bundan korkmamalısınız.

Açıyı Bulma

Bir açıortayın oluşturduğu açıları bulmak için öncelikle önemlidir. açıların toplamını hatırla, her zaman 180 derece. ABC açısının 70 derece, BCA açısının da 50 derece olduğunu varsayalım. Bu, basit hesaplamalarla CAB = 180 – (70+50) = 60 derece olduğunu bulduğumuz anlamına gelir.

Ana özelliği kullanırsak, buna göre onun geldiği köşe çıkıyor, ikiye bölünüyor, alıyoruz eşit değerler BAD ve CAD açılarının her biri 60/2 = 30 derece olacaktır.

Ek ise açık örnek için, yalnızca 28 dereceye eşit olan BAD açısının ve ayrıca 70 dereceye eşit olan ABC açısının bilindiği bir durumu düşünün. Açıortay özelliğini kullanarak BAD açısının değerini ikiyle çarparak hemen CAB açısını buluruz. CAB = 28×2 =56. Yani BAC = 180 – (70+56) veya 180 – (70+28×2) = 180 – 126 = 54 derece.

Bu segmentin medyan veya yükseklik görevi görmesi durumu özel olarak dikkate alınmamış ve bunun için diğer özel makaleler bırakılmıştır.

Böylece böyle bir kavramı düşündük. üçgen açıortay Verilen örneklerde belirtilen ve uygulanan uzunluk ve açı bulma formülü, geometrideki belirli problemleri çözmek için nasıl kullanılabileceğini açıkça göstermeyi amaçlamaktadır. Bu konuyla ilgili medyan ve yükseklik gibi kavramlar da vardır. Eğer bu soru Açıklığa kavuşturmak için, üçgenin çeşitli diğer özelliklerinin daha fazla incelenmesine yönelmeliyiz; bu olmadan geometrinin daha fazla incelenmesi düşünülemez.

Üçgenin açıortayı, öğrenmede fazla zorluk yaratmayan yaygın bir geometrik kavramdır. Özellikleri hakkında bilgi sahibi olduğunuzda birçok sorunu fazla zorlanmadan çözebilirsiniz. Bisektör nedir? Okuyucuyu bu matematiksel çizginin tüm sırlarıyla tanıştırmaya çalışacağız.

Temas halinde

Konseptin özü

Kavramın adı Latince anlamı “bi” – iki, “sectio” – kesik olan kelimelerin kullanımından gelmektedir. Özellikle işaret ediyorlar geometrik anlamı kavramlar - ışınlar arasındaki boşluğu bölmek iki eşit parçaya.

Bir üçgenin açıortayı, şeklin tepe noktasından çıkan bir parçadır ve diğer ucu, alanı iki özdeş parçaya bölerek karşı taraftaki tarafa yerleştirilir.

Öğrenciler tarafından hızlı çağrışımsal ezberleme için birçok öğretmen matematiksel kavramlarşiirlere veya çağrışımlara yansıyan farklı terminoloji kullanın. Elbette daha büyük çocuklar için bu tanımın kullanılması tavsiye edilir.

Bu hat nasıl belirlenir? Burada segmentleri veya ışınları belirlemek için kurallara güveniyoruz. Eğer Hakkında konuşuyoruz bir üçgen şeklin açıortayının belirlenmesi hakkında, genellikle uçları olan bir parça olarak yazılır. tepe noktası ve kesişme noktası tepe noktasının karşısında taraf. Üstelik notasyonun başlangıcı tam olarak tepe noktasından yazılır.

Dikkat! Bir üçgenin kaç tane bisektörü vardır? Cevap açıktır: Üç tane olduğu kadar çok sayıda köşe vardır.

Özellikler

Tanıma ek olarak, okul ders kitabı bunun pek fazla özelliğini bulamazsınız geometrik kavram. Okul çocuklarına tanıtılan bir üçgenin açıortayının ilk özelliği yazılı merkezdir ve onunla doğrudan ilgili olan ikincisi ise parçaların orantılılığıdır. İşin özü şudur:

1. Bölme çizgisi ne olursa olsun, üzerinde bazı noktalar vardır. yanlardan aynı mesafede Işınlar arasındaki boşluğu oluşturanlar.
2. Bir daireyi üçgen şekline sığdırmak için bu parçaların kesişeceği noktanın belirlenmesi gerekir. Burası dairenin merkez noktasıdır.
3. Üçgenin bir tarafının parçaları geometrik şekil Bölme çizgisinin bölündüğü yer, V orantılı bağımlılık açıyı oluşturan kenarlardan.

Geri kalan özellikleri sisteme dahil etmeye çalışacağız ve bu geometrik konseptin avantajlarını daha iyi anlamaya yardımcı olacak ek gerçekleri sunmaya çalışacağız.

Uzunluk

Okul çocukları için zorluk yaratan problem türlerinden biri de bir üçgenin açıortay uzunluğunu bulmaktır. Uzunluğunu içeren ilk seçenek aşağıdaki verileri içerir:

• belirli bir bölümün ortaya çıktığı tepe noktasından gelen ışınlar arasındaki boşluk miktarı;
• bu açıyı oluşturan kenarların uzunlukları.

Sorunu çözmek kullanılan formül Bunun anlamı, açıyı oluşturan kenarların değerlerinin çarpımının, yarısının kosinüsü ile kenarların toplamına 2 kat artması oranını bulmaktır.

Şuna bakalım spesifik örnek. Diyelim ki bize, A açısından çizilen ve BC kenarını K noktasında kesen bir ABC şekli verildiğini varsayalım. A'nın değerini Y olarak gösteririz. Buna göre AK = (2*AB*AC*cos(Y) /2))/(AB+ AC).

Bir üçgenin açıortay uzunluğunun belirlendiği problemin ikinci versiyonu aşağıdaki verileri içerir:

• şeklin her tarafının anlamları bilinmektedir.

Bu tür bir problemi çözerken öncelikle yarı çevreyi belirle. Bunu yapmak için tüm tarafların değerlerini toplayıp ikiye bölmeniz gerekir: p=(AB+BC+AC)/2. Daha sonra uzunluğu belirlemek için kullanılan hesaplama formülünü uyguluyoruz. bu bölüm V önceki görev. Yeni parametrelere uygun olarak formülün özünde sadece bazı değişiklikler yapılması gerekiyor. Bu nedenle, tepe noktasına bitişik olan kenarların uzunluklarının yarı çevre ile çarpımının ikinci kuvvetinin çift kökünün oranını ve yarı çevre ile kenar uzunluğu arasındaki farkı bulmak gerekir. karşısındaki kenar, açıyı oluşturan kenarların toplamına eşittir. Yani AK = (2٦AB*AC*p*(p-BC))/(AB+AC).

Dikkat! Malzemeye hakim olmayı kolaylaştırmak için, internette bulunan ve bu çizginin "maceralarını" anlatan komik masallara dönebilirsiniz.

Üçgenin açıortayı üçgenin açısını ikiye bölen parçadır eşit açılar. Örneğin bir üçgenin açısı 120 0 ise, bir açıortay çizerek her biri 60 0 olan iki açı oluşturacağız.

Ve bir üçgende üç açı olduğundan üç açıortay çizilebilir. Hepsinin tek bir kesme noktası var. Bu nokta üçgenin içine yazılan dairenin merkezidir. Başka bir deyişle bu kesişme noktasına üçgenin iç merkezi denir.

Bir iç ve dış açının iki açıortayı kesiştiğinde 90 0'lik bir açı elde edilir. Dış köşe bir üçgende komşu açı iç köşeüçgen.

Pirinç. 1. 3 açıortay içeren bir üçgen

Ortay, karşı tarafı, yanlara bağlanan iki parçaya böler:

$$(CL\over(LB)) = (AC\over(AB))$$

Açıortay noktaları açının kenarlarından eşit uzaklıktadır, bu da açının kenarlarından aynı uzaklıkta oldukları anlamına gelir. Yani, açıortayın herhangi bir noktasından üçgenin açısının her bir kenarına dik açılar bırakırsak, bu dikmeler eşit olacaktır.

Bir tepe noktasından ortanca, açıortay ve yükseklik çizerseniz, ortanca en uzun bölüm, yükseklik ise en kısa bölüm olacaktır.

Bisektörün bazı özellikleri

İÇİNDE belirli türlerüçgenler, açıortay vardır özel özellikler. Bu öncelikle ikizkenar üçgen için geçerlidir. Bu şeklin iki özdeşi var taraflarüçüncüsüne ise taban denir.

Bir ikizkenar üçgenin açısının tepe noktasından tabana bir açıortay çizerseniz, hem yükseklik hem de medyan özelliklerine sahip olacaktır. Buna göre, açıortayın uzunluğu ortancanın uzunluğu ve yüksekliği ile çakışmaktadır.

Tanımlar:

• Yükseklik- Bir üçgenin köşesinden karşı kenara çizilen dikme.
• Medyan– Bir üçgenin tepe noktası ile karşı kenarın ortasını birleştiren doğru parçası.

Pirinç. 2. Açıortay ikizkenar üçgen

Bu aynı zamanda geçerlidir eşkenar üçgen yani üç tarafı da eşit olan bir üçgen.

Örnek ödev

ABC üçgeninde: BR açıortaydır; AB = 6 cm, BC = 4 cm ve RC = 2 cm'dir. Üçüncü kenarın uzunluğunu çıkarın.

Pirinç. 3. Üçgendeki açıortay

Çözüm:

Açıortay üçgenin bir kenarını ikiye böler belli bir oran. Bu oranı kullanıp AR'yi ifade edelim. Daha sonra üçüncü kenarın uzunluğunu, bu kenarın açıortay tarafından bölündüğü parçaların toplamı olarak buluruz.

• $(AB\over(BC)) = (AR\over(RC))$
• $RC=(6\over(4))*2=3 cm$

Daha sonra tüm segment AC = RC+ AR

AC = 3+2=5 cm.

Alınan toplam puan: 107.

Geometrinin temellerinden biri, açıyı ikiye bölen ışın olan açıortayı bulmaktır. Bir üçgenin ortaortayı herhangi bir açının ortaortasının parçasıdır. Bu, açının tepe noktasından üçgenin karşı tarafıyla kesişim noktasına kadar olan bir segmenttir.

Açıortayları her açıdan çizerseniz, bunlar yazılı üçgenin merkezi adı verilen bir noktada kesişecektir.

Ortaya çıkardığı kenarın uzunluğunu veya üçgenin açılarının boyutunu biliyorsanız, açıortayı hesaplayabilirsiniz.

Bir ikizkenar üçgenin ortaortayı

Bir ikizkenar üçgende iki kenar birbirine eşit olduğundan, komşu açıların açıortayları da eşit olacaktır. Çünkü Üçgenin açıları da eşittir.

Köşelerden birinden açıortay çizerken yükseklik dikkate alınacaktır. verilen üçgen ve medyanı.

Bir üçgenin açıortayının nasıl bulunacağı ile ilgili problemler formüller kullanılarak çözülür.

Bu formülleri çözmek için koşulların, kenarların uzunluklarının değerlerini veya üçgenin açılarının değerlerini belirtmesi gerekir. Bunları bilerek kosinüsleri veya çevreyi kullanarak açıortayı hesaplayabilirsiniz.

Örneğin, bir ABC ikizkenar üçgenini alın ve AE açıortayını BC tabanına çizin. Ortaya çıkan AEB üçgeni dik açılıdır. Açıortay yüksekliği, AB kenarı ise hipotenüs dik üçgen, ve BE ve AE bacaklardır.

Pisagor teoremi uygulanır - hipotenüsün karesi toplamına eşit bacak kareleri. Buna dayanarak BE = v (AB - AE). AE, ABC üçgeninin medyanı olduğundan BE kenarı = BC/2 olur. Böylece BE = v(AB - (BC/4)).

ABC taban açısı verilirse üçgenin ortaortayı AEB olur, AE = AB/sin(ABC). Taban açısı AEB, BAE = BAC/2. Bu nedenle, açıortay AE = AB/cos (BAC/2).

Başka bir üçgenin içine yazılan bir üçgenin açıortayı nasıl bulunur?

ABC ikizkenar üçgeninde BC kenarını AC kenarına çizin. Bu doğru parçası ne üçgenin açıortayı ne de kenarortayı olacaktır. Stewart formülü burada geçerlidir.

Bir üçgenin çevresini (tüm kenarlarının uzunluklarının toplamı) hesaplamak için kullanılır. ABC için yarı çevreyi hesaplıyoruz. Bu, ikiye bölünmüş üçgenin çevresidir.

P = (AB+ BC+ AC)/2. Bu formülü kullanarak yana çizilen açıortayı hesaplıyoruz. VK = v(4*VS*AS*P (R-AV)/ (VS+AS).

Stewart teoremine göre, üçgenin diğer tarafına çizilen açıortayın VC'ye eşit olacağını da görebilirsiniz, çünkü üçgenin bu iki tarafı birbirine eşittir.

Bir dik üçgenin açıortayı

Dik üçgende açıortayı nasıl bulacağınızı bilmek için formülleri de kullanmanız gerekir. Bir dik üçgende bir açının mutlaka doğru olduğunu unutmayın; 90 dereceye eşittir. Böylece, açıortay şuradan başlarsa dik açı Koşul, açının sinüsünü veya kosinüsünü belirtmese bile, bunları açının boyutundan tanıyabilirsiniz.

• Açıortay Stewart'ın formülü kullanılarak bulunur. Bir ABC üçgeni varsa ve onun yarı çevresi P = (AB+ BC+ AK)/2 olarak hesaplanır. Elde edilenlere dayanarak AE = v(4*VK*AK*P (P-AB)/ (VK+AK) açıortayını hesaplıyoruz.
• Ortay uzunluğu bu şekilde belirlenir. AE = v (BK*AK) – (EB*EK), burada EB ve EK, AE açıortayının BK kenarını böldüğü bölümlerdir.
• Veya eğer biliniyorsa, bir dik üçgenin açılarının kosinüslerini kullanabilirsiniz. Açıortay (2*аb*(cos c/2))/(a+b)'ye eşit olacaktır.
• Veya açıortayı bu şekilde bulun. (cos a) – (cos b)/2 formülünü kullanarak gelecekte ihtiyacınız olan böleni bulun. Daha sonra c kenarına çizilen yükseklik, elde edilen değere bölünür. Kosinüs elde etmek için açıların büyüklüğünü bilmeniz gerekir. Veya bunları yalnızca değere göre hesaplayın bilinen açı- düz, 90 derece.

Eşkenar üçgen

Böyle bir üçgende tüm kenarlar birbirine eşittir ve açılar da öyle. Bu nedenle tüm açıortaylar ve kenarortaylar da eşit olacaktır. Yan değerlerden bazıları bilinmiyorsa o zaman bir tarafın değerine ihtiyaç duyulacaktır. Çünkü kenarlar eşittir. Ve açıların boyutları da. Bu nedenle kosinüs formülünü kullanarak açıortayı bulmak için açılardan yalnızca birinin değerini bilmeniz veya hesaplamanız gerekir.

Bir üçgenin kenarortay ve açıortay uzunluğu - L'ye eşittir.

Üçgenin kenarları eşittir - a.

İÇİNDE ABC üçgeni, açıortay AE = (ABCv3)/2.

Eşkenar üçgenin yüksekliğini ve ortancasını hesaplamak için aynı formül kullanılır.

Eşkenar olmayan üçgen

Böyle bir üçgende tüm kenarlar Farklı anlamlar dolayısıyla açıortaylar birbirine eşit değildir.

İsteğe bağlı yan değerleri olan bir üçgen alın. Kenarların bazı değerleri bilinmiyorsa, üçgenin çevresi formülü kullanılarak hesaplanır.

Açıortaylar çizildikten sonra bunların gösterimlerine bir alt simge1 eklemek faydalı olacaktır. Açıortayın karşı tarafı böldüğü bölümler de alt indis 1 ile gösterilir.

Bu bölümlerin uzunlukları sinüs teoremi kullanılarak hesaplanır.

Açıortayın uzunluğu L = v ab – a1b1 şeklinde hesaplanır; burada ab, parçalara bitişik kenarlardır ve a1b1, parçaların çarpımıdır. Formül her taraf için geçerlidir eşkenar olmayan üçgen. Önemli olan, bitişik açıların değerlerini bilerek kenarların uzunluklarını bilmek veya hesaplamaktır.