¿De qué elementos está formado un paralelepípedo rectangular? Paralelepípedo rectangular – Hipermercado del Conocimiento

Cuando eras pequeño y jugabas con cubos, es posible que hayas hecho las formas que se muestran en la Figura 154. Estas cifras dan una idea de paralelepípedo rectangular. La forma de un paralelepípedo rectangular es, por ejemplo, una caja de bombones, un ladrillo, Cajita de cerillas, caja de embalaje, paquete de jugo.

La Figura 155 muestra un paralelepípedo rectangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Paralelepípedo rectangular limitado a seis bordes. Cada cara es un rectángulo, es decir La superficie de un paralelepípedo rectangular consta de seis rectángulos.

Los lados de las caras se llaman bordes de un paralelepípedo rectangular, vértices de caras − vértices de un paralelepípedo rectangular. Por ejemplo, los segmentos AB, BC, A 1 B 1 son aristas y los puntos B, A 1, C 1 son vértices del paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 (Fig. 155).

Un paralelepípedo rectangular tiene 8 vértices y 12 aristas.

Las caras AA 1 B 1 B y DD 1 C 1 C no tienen vértices comunes. Estos bordes se llaman opuesto. En el paralelepípedo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 hay dos pares más de caras opuestas: los rectángulos ABCD y A 1 B 1 C 1 D 1, así como los rectángulos AA 1 D 1 D y BB 1 C 1 C.

caras opuestas paralelepípedo rectangular son iguales.

En la Figura 155, la cara ABCD se llama base paralelepípedo rectangular ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

El área superficial de un paralelepípedo es la suma de las áreas de todas sus caras.

Para tener una idea de las dimensiones de un paralelepípedo rectangular, basta con considerar tres aristas cualesquiera que tengan cima común. Las longitudes de estos bordes se llaman mediciones paralelepípedo rectangular. Para distinguirlos utilizan nombres: longitud, ancho, altura(Figura 156).

Un paralelepípedo rectangular en el que todas las dimensiones son iguales se llama cubo(Figura 157). La superficie del cubo consta de seis cuadrados iguales.

Si se abre una caja en forma de paralelepípedo rectangular (Fig. 158), se corta a lo largo de cuatro bordes verticales (Fig. 159) y luego se desdobla, obtenemos una figura que consta de seis rectángulos (Fig. 160). Esta figura se llama desarrollo de un paralelepípedo rectangular.

La Figura 161 muestra una figura que consta de seis cuadrados iguales. Es una red de un cubo.

Usando un desarrollo, puedes hacer un modelo de un paralelepípedo rectangular.

Esto se puede hacer, por ejemplo, así. Dibuja su contorno en papel. Recórtelo, dóblelo a lo largo de los segmentos correspondientes a los bordes del paralelepípedo rectangular (ver Fig. 159) y péguelo.

Un paralelepípedo rectangular es un tipo de poliedro, una figura cuya superficie consta de polígonos. La figura 162 muestra poliedros.

Un tipo de poliedro es pirámide.

Esta cifra no es nueva para ti. estudiando el curso Mundo antiguo, conociste una de las siete maravillas del mundo: las pirámides de Egipto.

La Figura 163 muestra las pirámides MABC, MABCD, MABCDE. La superficie de la pirámide está formada por caras laterales− triángulos que tienen un vértice común, y jardines(Figura 164). El vértice común de las caras laterales se llama bordes de la base de la pirámide, y los lados de las caras laterales que no pertenecen a la base son bordes laterales de la pirámide.

Las pirámides se pueden clasificar según el número de lados de la base: triangular, cuadrangular, pentagonal (ver Fig. 163), etc.

Superficie Pirámide triangular consta de cuatro triángulos. Cualquiera de estos triángulos puede servir como base de una pirámide. Esta base es un tipo de pirámide, cualquiera de sus caras puede servirle de base.

La figura 165 muestra una figura que puede servir barrer pirámide cuadrangular . Consta de un cuadrado y cuatro triángulos isósceles iguales.

La figura 166 muestra una figura que consta de cuatro iguales triangulos equilateros. Usando esta figura, puedes hacer un modelo de una pirámide triangular, todas cuyas caras son triángulos equiláteros.

Los poliedros son ejemplos. cuerpos geométricos.

La figura 167 muestra cuerpos geométricos familiares que no son poliedros. Aprenderás más sobre estos cuerpos en 6to grado.

Un paralelepípedo es una figura geométrica cuyas 6 caras son paralelogramos.

Dependiendo del tipo de estos paralelogramos, se distinguen los siguientes tipos de paralelepípedo:

• derecho;
• inclinado;
• rectangular.

Un paralelepípedo recto es un prisma cuadrangular cuyas aristas forman un ángulo de 90° con el plano de la base.

Un paralelepípedo rectangular es un prisma cuadrangular, todas cuyas caras son rectángulos. El cubo es una variedad. prisma cuadrangular, en el que todas las caras y aristas son iguales entre sí.

Las características de una figura predeterminan sus propiedades. Estos incluyen las siguientes 4 declaraciones:

Es sencillo recordar todas las propiedades dadas, son fáciles de entender y se derivan lógicamente según el tipo y las características. cuerpo geométrico. Sin embargo, declaraciones simples pueden ser increíblemente útiles para decidir tareas tipicas Examen estatal unificado y ahorrará el tiempo necesario para aprobar el examen.

Fórmulas paralelepípedas

Para encontrar respuestas al problema, no basta con conocer únicamente las propiedades de la figura. Es posible que también necesites algunas fórmulas para encontrar el área y el volumen de un cuerpo geométrico.

El área de las bases se encuentra de la misma forma que el indicador correspondiente de un paralelogramo o rectángulo. Puedes elegir tú mismo la base del paralelogramo. Como regla general, al resolver problemas es más fácil trabajar con un prisma cuya base es un rectángulo.

La fórmula para encontrar la superficie lateral de un paralelepípedo también puede ser necesaria en tareas de prueba.

Ejemplos de resolución de tareas típicas del Examen Estatal Unificado

Ejercicio 1.

Dado: un paralelepípedo rectangular con dimensiones de 3, 4 y 12 cm.
Necesario Encuentra la longitud de una de las diagonales principales de la figura.
Solución: Alguna solución problema geométrico Se debe comenzar con la construcción de un dibujo correcto y claro, en el que se indicará “dado” y el valor deseado. La siguiente imagen muestra un ejemplo. diseño correcto condiciones de la tarea.

Habiendo examinado el dibujo realizado y recordando todas las propiedades del cuerpo geométrico, llegamos al único la direccion correcta soluciones. Aplicando la cuarta propiedad de un paralelepípedo, obtenemos la siguiente expresión:

Después de cálculos simples obtenemos la expresión b2=169, por lo tanto b=13. Se ha encontrado la respuesta a la tarea; no necesita dedicar más de 5 minutos a buscarla y dibujarla.

En geometría conceptos clave son plano, punto, recta y ángulo. Usando estos términos, puedes describir cualquier figura geométrica. Los poliedros generalmente se describen en términos de más figuras simples, que se encuentran en el mismo plano, como un círculo, triángulo, cuadrado, rectángulo, etc. En este artículo veremos qué es un paralelepípedo, describiremos los tipos de paralelepípedos, sus propiedades, en qué elementos se compone y también daremos fórmulas básicas Calcular el área y el volumen de cada tipo de paralelepípedo.

Definición

paralelepípedo en espacio tridimensional es un prisma cuyos lados son paralelogramos. En consecuencia, sólo puede tener tres pares de paralelogramos paralelos o seis caras.

Para visualizar un paralelepípedo, imagine un ladrillo estándar común y corriente. Ladrillo - buen ejemplo un paralelepípedo rectangular que hasta un niño puede imaginar. Otros ejemplos incluyen casas de paneles de varios pisos, gabinetes, contenedores de almacenamiento. productos alimenticios forma adecuada, etc.

Variedades de figura.

Sólo existen dos tipos de paralelepípedos:

1. rectangulares, todos caras laterales que forman un ángulo de 90° con la base y son rectángulos.
2. Inclinado, cuyos bordes laterales se encuentran debajo cierto ángulo a la base.

¿En qué elementos se puede dividir esta figura?

• Como en cualquier otra figura geométrica, en un paralelepípedo se llaman adyacentes 2 caras cualesquiera que tengan una arista común, y las que no la tienen, paralelas (basándose en la propiedad del paralelogramo, que tiene pares de lados opuestos paralelos).
• Los vértices de un paralelepípedo que no se encuentran en la misma cara se llaman opuestos.
• El segmento que conecta dichos vértices es una diagonal.
• Las longitudes de las tres aristas de un cuboide que se encuentran en un vértice son sus dimensiones (es decir, su largo, ancho y alto).

Propiedades de forma

1. Siempre se construye simétricamente respecto al centro de la diagonal.
2. El punto de intersección de todas las diagonales divide cada diagonal en dos segmentos iguales.
3. Las caras opuestas tienen la misma longitud y se encuentran en líneas paralelas.
4. Si sumas los cuadrados de todas las dimensiones de un paralelepípedo, el valor resultante será igual al cuadrado de la longitud de la diagonal.

Fórmulas de cálculo

Las fórmulas para cada caso particular de paralelepípedo serán diferentes.

Para un paralelepípedo arbitrario es cierto que su volumen es igual a valor absoluto triple producto escalar vectores de tres lados que emanan de un vértice. Sin embargo, no existe una fórmula para calcular el volumen de un paralelepípedo arbitrario.

Para un paralelepípedo rectangular se aplican las siguientes fórmulas:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - volumen de la figura;
• Sb - superficie lateral;
• Sp - área superficie completa;
• una longitud;
• b - ancho;
• c - altura.

Otro caso especial de paralelepípedo en el que todos sus lados son cuadrados es el cubo. Si alguno de los lados del cuadrado está designado con la letra a, entonces se pueden utilizar las siguientes fórmulas para el área de superficie y el volumen de esta figura:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S- área de la figura,
• V es el volumen de la figura,
• a es la longitud de la cara de la figura.

El último tipo de paralelepípedo que estamos considerando es el paralelepípedo recto. ¿Cuál es la diferencia entre un paralelepípedo recto y un cuboide? El hecho es que la base de un paralelepípedo rectangular puede ser cualquier paralelogramo, pero la base de un paralelepípedo recto solo puede ser un rectángulo. Si denotamos el perímetro de la base, igual a la suma de las longitudes de todos los lados, como Po, y denotamos la altura con la letra h, tenemos derecho a usar las siguientes fórmulas para calcular el volumen y las áreas de las superficies completas y laterales.

Un paralelepípedo es un prisma cuyas bases son paralelogramos. En este caso, todos los bordes serán paralelogramos.
Cada paralelepípedo puede considerarse como un prisma con tres diferentes caminos, ya que cada dos caras opuestas(en la Fig. 5, caras ABCD y A"B"C"D", o ABA"B" y CDC"D", o VSV"C" y ADA"D").
El cuerpo en cuestión tiene doce aristas, cuatro iguales y paralelas entre sí.
Teorema 3 . Las diagonales de un paralelepípedo se cruzan en un punto, coincidiendo con la mitad de cada una de ellas.
El paralelepípedo ABCDA"B"C"D" (Fig. 5) tiene cuatro diagonales AC", BD", CA", DB". Debemos demostrar que los puntos medios de dos de ellos, por ejemplo AC y BD", coinciden. Esto se desprende del hecho de que la figura ABC"D", teniendo iguales y lados paralelos AB y C"D" son un paralelogramo.
Definición 7 . Un paralelepípedo recto es un paralelepípedo que también es un prisma recto, es decir, un paralelepípedo. costillas laterales que son perpendiculares al plano de la base.
Definición 8 . Un paralelepípedo rectangular es un paralelepípedo recto cuya base es un rectángulo. En este caso todas sus caras serán rectángulos.
Un paralelepípedo rectangular es un prisma recto, no importa cuál de sus caras tomemos como base, ya que cada una de sus aristas es perpendicular a las aristas que emergen de un mismo vértice, y será, por tanto, perpendicular a los planos de las caras definidas. por estos bordes. Por el contrario, un paralelepípedo recto, pero no rectangular, sólo puede considerarse un prisma recto de una manera.
Definición 9 . Longitudes de tres Las aristas de un paralelepípedo rectangular, de las cuales no hay dos paralelas entre sí (por ejemplo, tres aristas que emergen de un vértice), se denominan dimensiones. Dos paralelepípedos rectangulares que tienen dimensiones correspondientemente iguales son evidentemente iguales entre sí.
Definición 10 .Un cubo es un paralelepípedo rectangular cuyas tres dimensiones son iguales entre sí, de modo que todas sus caras son cuadradas. Dos cubos cuyas aristas son iguales son iguales.
Definición 11 . paralelepípedo inclinado, en el que todas las aristas son iguales entre sí y los ángulos de todas las caras son iguales o complementarios, se llama romboedro.
Todas las caras de un romboedro son rombos iguales. (Algunos cristales tienen forma de romboedro, teniendo gran importancia, por ejemplo, cristales de espato de Islandia.) En un romboedro se puede encontrar un vértice (e incluso dos vértices opuestos) tal que todos los ángulos adyacentes a él sean iguales entre sí.
Teorema 4 . Las diagonales de un paralelepípedo rectangular son iguales entre sí. cuadrado diagonal igual a la suma cuadrados de tres dimensiones.
En el paralelepípedo rectangular ABCDA"B"C"D" (Fig. 6), las diagonales AC" y BD" son iguales, ya que el cuadrilátero ABC"D" es un rectángulo (la recta AB es perpendicular al plano ECB" C", en el que se encuentra BC") .
Además, AC" 2 =BD" 2 = AB2+AD" 2 basado en el teorema sobre el cuadrado de la hipotenusa. Pero basado en el mismo teorema AD" 2 = AA" 2 + +A"D" 2; por lo tanto, tener:
AC" 2 = AB 2 + AA" 2 + A" D" 2 = AB 2 + AA" 2 + AD 2.