Con este vídeo comienzo una serie de lecciones dedicadas a sistemas de ecuaciones. Hoy hablaremos sobre la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. método de suma- este es uno de los más maneras simples, pero al mismo tiempo uno de los más efectivos.

El método de la suma consiste en tres simples pasos:

1. Mire el sistema y elija una variable que tenga los mismos (u opuestos) coeficientes en cada ecuación;
2. Ejecutar resta algebraica(para números opuestos - suma) ecuaciones entre sí, luego dé términos similares;
3. Resuelve la nueva ecuación obtenida después del segundo paso.

Si todo se hace correctamente, en la salida obtendremos una única ecuación. con una variable— No será difícil solucionarlo. Entonces todo lo que queda es sustituir la raíz encontrada en el sistema original y obtener la respuesta final.

Sin embargo, en la práctica no todo es tan sencillo. Hay varias razones para esto:

• Resolver ecuaciones usando el método de la suma implica que todas las líneas deben contener variables con coeficientes iguales/opuestos. ¿Qué hacer si no se cumple este requisito?
• No siempre, después de sumar/restar ecuaciones de la forma indicada, obtenemos una construcción hermosa que pueda resolverse fácilmente. ¿Es posible simplificar de alguna manera los cálculos y acelerarlos?

Para obtener la respuesta a estas preguntas y, al mismo tiempo, comprender algunas sutilezas adicionales en las que muchos estudiantes fallan, mire mi lección en video:

Con esta lección comenzamos una serie de conferencias dedicadas a sistemas de ecuaciones. Y partiremos de los más simples, es decir, aquellos que contienen dos ecuaciones y dos variables. Cada uno de ellos será lineal.

Sistemas es material de séptimo grado, pero esta lección también será útil para estudiantes de secundaria que quieran repasar sus conocimientos sobre este tema.

En general, existen dos métodos para resolver este tipo de sistemas:

1. Método de suma;
2. Un método para expresar una variable en términos de otra.

Hoy nos ocuparemos del primer método: utilizaremos el método de resta y suma. Pero para hacer esto, debes comprender el siguiente hecho: una vez que tengas dos o más ecuaciones, puedes tomar dos de ellas y sumarlas entre sí. Se añaden miembro por miembro, es decir. Se suman “X” a las “X” y se dan similares, “Y” con “Y” se vuelven a similar, y lo que está a la derecha del signo igual también se suma entre sí, y allí también se dan similares .

El resultado de tales maquinaciones será una nueva ecuación que, si tiene raíces, definitivamente estará entre las raíces. ecuación original. Por lo tanto, nuestra tarea es hacer la resta o suma de tal manera que $x$ o $y$ desaparezcan.

Cómo lograrlo y qué herramienta utilizar para ello; hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas fáciles usando la suma

Entonces, aprendemos a usar el método de la suma usando el ejemplo de dos expresiones simples.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-4y=22 \\& 7x+4y=2 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que $y$ tiene un coeficiente de $-4$ en la primera ecuación y $+4$ en la segunda. Son mutuamente opuestos, por lo que es lógico suponer que si los sumamos, en la suma resultante los "juegos" se destruirán mutuamente. Súmalo y obtén:

Resolvamos la construcción más simple:

Genial, encontramos la "x". ¿Qué debemos hacer con él ahora? Tenemos derecho a sustituirlo en cualquiera de las ecuaciones. Sustituyamos en el primero:

\[-4y=12\izquierda| :\izquierda(-4 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(2;-3 \derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& -6x+y=21 \\& 6x-11y=-51 \\\end(align) \right.\]

La situación aquí es completamente similar, sólo que con las "X". Sumemos:

Tenemos la ecuación lineal más simple, resolvámosla:

Ahora encontremos $x$:

Respuesta: $\izquierda(-3;3 \derecha)$.

Puntos importantes

Entonces, acabamos de resolver dos sistemas simples de ecuaciones lineales usando el método de la suma. Puntos clave nuevamente:

1. Si hay coeficientes opuestos para una de las variables, entonces es necesario sumar todas las variables de la ecuación. En este caso, uno de ellos será destruido.
2. Sustituimos la variable encontrada en cualquiera de las ecuaciones del sistema para encontrar la segunda.
3. El registro de respuesta final se puede presentar de diferentes formas. Por ejemplo, así - $x=...,y=...$, o en forma de coordenadas de puntos - $\left(...;... \right)$. Es preferible la segunda opción. Lo principal que hay que recordar es que la primera coordenada es $x$ y la segunda es $y$.
4. La regla de escribir la respuesta en forma de coordenadas de puntos no siempre es aplicable. Por ejemplo, no se puede utilizar cuando las variables no son $x$ e $y$, sino, por ejemplo, $a$ y $b$.

En los siguientes problemas consideraremos la técnica de la resta cuando los coeficientes no son opuestos.

Resolver problemas fáciles usando el método de resta.

Tarea número 1

\[\left\( \begin(align)& 10x-3y=5 \\& -6x-3y=-27 \\\end(align) \right.\]

Tenga en cuenta que aquí no hay coeficientes opuestos, pero sí idénticos. Por tanto, restamos la segunda de la primera ecuación:

Ahora sustituimos el valor $x$ en cualquiera de las ecuaciones del sistema. Vamos primero:

Respuesta: $\izquierda(2;5\derecha)$.

Problema número 2

\[\left\( \begin(align)& 5x+4y=-22 \\& 5x-2y=-4 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente vemos el mismo coeficiente de $5$ para $x$ en la primera y segunda ecuación. Por lo tanto, es lógico suponer que es necesario restar la segunda de la primera ecuación:

Hemos calculado una variable. Ahora encontremos el segundo, por ejemplo, sustituyendo el valor $y$ en la segunda construcción:

Respuesta: $\izquierda(-3;-2 \derecha)$.

Matices de la solución.

Entonces ¿Qué vemos? En esencia, el esquema no difiere de la solución de los sistemas anteriores. La única diferencia es que no sumamos ecuaciones, sino que las restamos. Estamos haciendo resta algebraica.

En otras palabras, tan pronto como veas un sistema que consta de dos ecuaciones con dos incógnitas, lo primero que debes mirar son los coeficientes. Si son iguales en cualquier parte, se restan las ecuaciones, y si son opuestas, se utiliza el método de la suma. Esto siempre se hace para que una de ellas desaparezca, y en la ecuación final, que queda después de la resta, solo queda una variable.

Por supuesto, eso no es todo. Ahora consideraremos sistemas en los que las ecuaciones son generalmente inconsistentes. Aquellos. No hay en ellos variables iguales ni opuestas. En este caso, para resolver dichos sistemas, utilizamos dosis adicional, es decir, multiplicar cada una de las ecuaciones por un coeficiente especial. Cómo encontrarlo y cómo resolver dichos sistemas en general, hablaremos de esto ahora.

Resolver problemas multiplicando por un coeficiente

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 5x-9y=38 \\& 3x+2y=8 \\\end(align) \right.\]

Vemos que ni para $x$ ni para $y$ los coeficientes no sólo son mutuamente opuestos, sino que tampoco están correlacionados de ninguna manera con la otra ecuación. Estos coeficientes no desaparecerán de ninguna manera, incluso si sumamos o restamos las ecuaciones entre sí. Por tanto, es necesario aplicar la multiplicación. Intentemos deshacernos de la variable $y$. Para ello multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente $y$ de la segunda ecuación, y la segunda ecuación por el coeficiente $y$ de la primera ecuación, sin tocar el signo. Multiplicamos y obtenemos un nuevo sistema:

\[\left\( \begin(align)& 10x-18y=76 \\& 27x+18y=72 \\\end(align) \right.\]

Veámoslo: en $y$ los coeficientes son opuestos. En tal situación, es necesario utilizar el método de la suma. Agreguemos:

Ahora necesitamos encontrar $y$. Para hacer esto, sustituya $x$ en la primera expresión:

\[-9y=18\izquierda| :\izquierda(-9 \derecha) \derecha.\]

Respuesta: $\izquierda(4;-2 \derecha)$.

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18 \\& 13x-6y=-32 \\\end(align) \right.\]

Nuevamente, los coeficientes de ninguna de las variables son consistentes. Multipliquemos por los coeficientes de $y$:

\[\left\( \begin(align)& 11x+4y=-18\left| 6 \right. \\& 13x-6y=-32\left| 4 \right. \\\end(align) \right .\]

\[\left\( \begin(align)& 66x+24y=-108 \\& 52x-24y=-128 \\\end(align) \right.\]

Nuestro nuevo sistema es equivalente al anterior, sin embargo, los coeficientes de $y$ son mutuamente opuestos, por lo que es fácil aplicar aquí el método de la suma:

Ahora encontremos $y$ sustituyendo $x$ en la primera ecuación:

Respuesta: $\izquierda(-2;1 \derecha)$.

Matices de la solución.

La regla clave aquí es la siguiente: siempre multiplicamos sólo por numeros positivos- Esto le evitará errores estúpidos y ofensivos asociados con el cambio de signos. En general, el esquema de solución es bastante sencillo:

1. Observamos el sistema y analizamos cada ecuación.
2. Si vemos que ni $y$ ni $x$ los coeficientes son consistentes, es decir no son iguales ni opuestos, luego hacemos lo siguiente: seleccionamos la variable de la que necesitamos deshacernos y luego miramos los coeficientes de estas ecuaciones. Si multiplicamos la primera ecuación por el coeficiente de la segunda, y la segunda, respectivamente, la multiplicamos por el coeficiente de la primera, al final obtendremos un sistema que es completamente equivalente al anterior, y los coeficientes de $ y$ será consistente. Todas nuestras acciones o transformaciones tienen como objetivo únicamente conseguir una variable en una ecuación.
3. Encontramos una variable.
4. Sustituimos la variable encontrada en una de las dos ecuaciones del sistema y encontramos la segunda.
5. Escribimos la respuesta en forma de coordenadas de puntos si tenemos las variables $x$ e $y$.

Pero incluso un algoritmo tan simple tiene sus propias sutilezas, por ejemplo, los coeficientes $x$ o $y$ pueden ser fracciones y otros números "feos". Ahora consideraremos estos casos por separado, porque en ellos se puede actuar de forma algo diferente que según el algoritmo estándar.

Resolver problemas con fracciones

Ejemplo 1

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 0.8m+2.5n=-6 \\\end(align) \right.\]

Primero, observa que la segunda ecuación contiene fracciones. Pero tenga en cuenta que puede dividir $4$ entre $0,8$. Recibiremos $5$. Multipliquemos la segunda ecuación por $5$:

\[\left\( \begin(align)& 4m-3n=32 \\& 4m+12.5m=-30 \\\end(align) \right.\]

Restamos las ecuaciones entre sí:

Encontramos $n$, ahora contemos $m$:

Respuesta: $n=-4;m=5$

Ejemplo No. 2

\[\left\( \begin(align)& 2.5p+1.5k=-13\left| 4 \right. \\& 2p-5k=2\left| 5 \right. \\\end(align )\ bien.\]

Aquí, como en el sistema anterior, hay probabilidades fraccionarias, sin embargo, para ninguno de los coeficientes variables no encajan entre sí por un número entero de veces. Por tanto, utilizamos el algoritmo estándar. Deshazte de $p$:

\[\left\( \begin(align)& 5p+3k=-26 \\& 5p-12.5k=5 \\\end(align) \right.\]

Usamos el método de resta:

Encontremos $p$ sustituyendo $k$ en la segunda construcción:

Respuesta: $p=-4;k=-2$.

Matices de la solución.

Eso es todo optimización. En la primera ecuación, no multiplicamos por nada en absoluto, sino que multiplicamos la segunda ecuación por $5$. Como resultado, obtuvimos una ecuación consistente e incluso idéntica para la primera variable. En el segundo sistema seguimos un algoritmo estándar.

Pero, ¿cómo encuentras los números por los cuales multiplicar las ecuaciones? Después de todo, si multiplicas por números fraccionarios, obtendremos nuevas fracciones. Por lo tanto, las fracciones deben multiplicarse por un número que daría un nuevo número entero, y luego las variables deben multiplicarse por coeficientes, siguiendo el algoritmo estándar.

Para concluir, me gustaría llamar su atención sobre el formato de registro de la respuesta. Como ya dije, como aquí no tenemos $x$ e $y$, sino otros valores, usamos una notación no estándar de la forma:

Resolver sistemas complejos de ecuaciones.

Como nota final al vídeo tutorial de hoy, veamos un par de realmente sistemas complejos. Su complejidad consistirá en que tendrán variables tanto a izquierda como a derecha. Por tanto, para solucionarlos tendremos que aplicar preprocesamiento.

Sistema nº 1

\[\left\( \begin(align)& 3\left(2x-y \right)+5=-2\left(x+3y ​​\right)+4 \\& 6\left(y+1 \right )-1=5\left(2x-1 \right)+8 \\\end(align) \right.\]

Cada ecuación conlleva una cierta complejidad. Por lo tanto, tratemos cada expresión como si fuera una construcción lineal regular.

En total obtenemos el sistema final, que es equivalente al original:

\[\left\( \begin(align)& 8x+3y=-1 \\& -10x+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Veamos los coeficientes de $y$: $3$ cabe en $6$ dos veces, así que multipliquemos la primera ecuación por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 16x+6y=-2 \\& -10+6y=-2 \\\end(align) \right.\]

Los coeficientes de $y$ ahora son iguales, por lo que restamos el segundo de la primera ecuación: $$

Ahora encontremos $y$:

Respuesta: $\left(0;-\frac(1)(3) \right)$

Sistema nº 2

\[\left\( \begin(align)& 4\left(a-3b \right)-2a=3\left(b+4 \right)-11 \\& -3\left(b-2a \right) )-12=2\left(a-5 \right)+b \\\end(align) \right.\]

Transformemos la primera expresión:

Ocupémonos del segundo:

\[-3\left(b-2a \right)-12=2\left(a-5 \right)+b\]

\[-3b+6a-12=2a-10+b\]

\[-3b+6a-2a-b=-10+12\]

En total, nuestro sistema inicial tomará la siguiente forma:

\[\left\( \begin(align)& 2a-15b=1 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Al observar los coeficientes de $a$, vemos que la primera ecuación debe multiplicarse por $2$:

\[\left\( \begin(align)& 4a-30b=2 \\& 4a-4b=2 \\\end(align) \right.\]

Resta la segunda de la primera construcción:

Ahora busquemos $a$:

Respuesta: $\left(a=\frac(1)(2);b=0 \right)$.

Eso es todo. Espero que este video tutorial te ayude a comprender este difícil tema, es decir, la resolución de sistemas de ecuaciones lineales simples. Habrá muchas más lecciones sobre este tema: veremos más ejemplos complejos, donde habrá más variables y las ecuaciones mismas ya serán no lineales. ¡Hasta luego!

Usando esto programa de matematicas Puedes resolver un sistema de dos ecuaciones lineales en dos variables usando el método de sustitución y el método de suma.

El programa no sólo da la respuesta al problema, sino que también da solución detallada con explicaciones de los pasos de solución de dos maneras: el método de sustitución y el método de suma.

Este programa puede ser útil para estudiantes de secundaria escuelas secundarias En preparación para pruebas y exámenes, al evaluar conocimientos antes del Examen Estatal Unificado, para que los padres controlen la solución de muchos problemas de matemáticas y álgebra. ¿O tal vez le resulte demasiado caro contratar un tutor o comprar libros de texto nuevos? ¿O simplemente quieres hacerlo lo más rápido posible? tarea¿En matemáticas o álgebra? En este caso, también puede utilizar nuestros programas con soluciones detalladas.

De esta forma podrás realizar tu propia formación y/o formación tuya. hermanos menores o hermanas, mientras aumenta el nivel de educación en el campo de los problemas a resolver.

Reglas para ingresar ecuaciones

Cualquier letra latina puede actuar como variable.
Por ejemplo: \(x, y, z, a, b, c, o, p, q\), etc.

Al ingresar ecuaciones puedes usar paréntesis. En este caso, primero se simplifican las ecuaciones. Las ecuaciones después de las simplificaciones deben ser lineales, es decir de la forma ax+by+c=0 con la precisión del orden de los elementos.
Por ejemplo: 6x+1 = 5(x+y)+2

En las ecuaciones, puedes usar no solo números enteros, sino también fracciones en forma de decimales y fracciones ordinarias.

Reglas para ingresar fracciones decimales.
entero y fracción V decimales pueden estar separados por un punto o una coma.
Por ejemplo: 2,1n + 3,5m = 55

Reglas para ingresar fracciones ordinarias.
Sólo un número entero puede actuar como numerador, denominador y parte entera de una fracción.
El denominador no puede ser negativo.
Al entrar fracción numérica El numerador está separado del denominador por un signo de división: /
Toda una parte separado de la fracción por un signo comercial: &

Ejemplos.
-1&2/3y + 5/3x = 55
2,1p + 55 = -2/7(3,5p - 2&1/8q)

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Un poco de teoría.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método de sustitución

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de sustitución:
1) expresar una variable de alguna ecuación del sistema en términos de otra;
2) sustituir la expresión resultante en otra ecuación del sistema en lugar de esta variable;

$$ \left\( \begin(array)(l) 3x+y=7 \\ -5x+2y=3 \end(array) \right. $$

Expresemos y en términos de x de la primera ecuación: y = 7-3x. Sustituyendo la expresión 7-3x en la segunda ecuación en lugar de y, obtenemos el sistema:
$$ \left\( \begin(array)(l) y = 7-3x \\ -5x+2(7-3x)=3 \end(array) \right. $$

Es fácil demostrar que el primer y segundo sistema tienen las mismas soluciones. En el segundo sistema, la segunda ecuación contiene sólo una variable. Resolvamos esta ecuación:
$$ -5x+2(7-3x)=3 \Flecha derecha -5x+14-6x=3 \Flecha derecha -11x=-11 \Flecha derecha x=1 $$

Sustituyendo el número 1 en lugar de x en la igualdad y=7-3x, encontramos el valor correspondiente de y:
$$ y=7-3 \cdot 1 \Rightarrow y=4 $$

Par (1;4) - solución del sistema

Los sistemas de ecuaciones de dos variables que tienen las mismas soluciones se llaman equivalente. También se consideran equivalentes los sistemas que no tienen soluciones.

Resolver sistemas de ecuaciones lineales por suma.

Consideremos otra forma de resolver sistemas de ecuaciones lineales: el método de la suma. Al resolver sistemas de esta manera, así como al resolver por sustitución, pasamos de este sistema a otro sistema equivalente, en el que una de las ecuaciones contiene solo una variable.

La secuencia de acciones al resolver un sistema de ecuaciones lineales utilizando el método de la suma:
1) multiplicar las ecuaciones del sistema término por término, seleccionando factores de modo que los coeficientes de una de las variables se conviertan en números opuestos;
2) sumar los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones del sistema término por término;
3) resolver la ecuación resultante con una variable;
4) encuentre el valor correspondiente de la segunda variable.

Ejemplo. Resolvamos el sistema de ecuaciones:
$$ \left\( \begin(array)(l) 2x+3y=-5 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

En las ecuaciones de este sistema, los coeficientes de y son números opuestos. Sumando los lados izquierdo y derecho de las ecuaciones término por término, obtenemos una ecuación con una variable 3x=33. Reemplacemos una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo la primera, por la ecuación 3x=33. Consigamos el sistema
$$ \left\( \begin(array)(l) 3x=33 \\ x-3y=38 \end(array) \right. $$

De la ecuación 3x=33 encontramos que x=11. Sustituyendo este valor de x en la ecuación \(x-3y=38\) obtenemos una ecuación con la variable y: \(11-3y=38\). Resolvamos esta ecuación:
\(-3y=27 \Flecha derecha y=-9 \)

Así, encontramos la solución al sistema de ecuaciones por suma: \(x=11; y=-9\) o \((11;-9)\)

Aprovechando que en las ecuaciones del sistema los coeficientes de y son números opuestos, reducimos su solución a la solución de un sistema equivalente (sumando ambos lados de cada una de las ecuaciones del sistema original), en el cual de las ecuaciones contiene sólo una variable.

1. Método de sustitución: de cualquier ecuación del sistema expresamos una incógnita mediante otra y la sustituimos en la segunda ecuación del sistema.

Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución. De la primera ecuación del sistema expresamos en a través de X y sustitúyalo en la segunda ecuación del sistema. Consigamos el sistema equivalente al original.

después de traer miembros similares el sistema tomará la forma:

De la segunda ecuación encontramos: . Sustituyendo este valor en la ecuación en = 2 - 2X, obtenemos en= 3. Por lo tanto, la solución de este sistema es un par de números.

2. Método de suma algebraica: Al sumar dos ecuaciones, se obtiene una ecuación con una variable.

Tarea. Resuelve la ecuación del sistema:

Solución. Multiplicando ambos lados de la segunda ecuación por 2 obtenemos el sistema equivalente al original. Sumando las dos ecuaciones de este sistema llegamos al sistema

Después de traer términos similares, este sistema tomará la forma: De la segunda ecuación encontramos . Sustituyendo este valor en la ecuación 3 X + 4en= 5, obtenemos , dónde . Por tanto, la solución de este sistema es un par de números.

3. Método para introducir nuevas variables.: buscamos algunas expresiones repetidas en el sistema, que denotaremos con nuevas variables, simplificando así la apariencia del sistema.

Tarea. Resuelve el sistema de ecuaciones:

Solución. vamos a escribirlo este sistema de lo contrario:

Dejar x + y = tú, xy = v. Entonces obtenemos el sistema.

Resolvámoslo usando el método de sustitución. De la primera ecuación del sistema expresamos tu a través de v y sustitúyalo en la segunda ecuación del sistema. Consigamos el sistema aquellos.

De la segunda ecuación del sistema encontramos v 1 = 2, v 2 = 3.

Sustituyendo estos valores en la ecuación. tu = 5 - v, obtenemos tu 1 = 3,
tu 2 = 2. Entonces tenemos dos sistemas.

Resolviendo el primer sistema, obtenemos dos pares de números (1; 2), (2; 1). El segundo sistema no tiene soluciones.

Ejercicios para el trabajo independiente.

1. Resolver sistemas de ecuaciones utilizando el método de sustitución.

Ecuaciones lineales en dos variables.

Un escolar tiene 200 rublos para almorzar en la escuela. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café cuesta 10 rublos. ¿Cuántos pasteles y tazas de café puedes comprar por 200 rublos?

Denotemos el número de pasteles por X y el número de tazas de café hasta y. Entonces el costo de los pasteles se denotará por la expresión 25 X, y el costo de las tazas de café en 10 y .

25X- precio X pasteles
10y— precio y tazas de café

La cantidad total debe ser de 200 rublos. Luego obtenemos una ecuación con dos variables. X Y y

25X+ 10y= 200

¿Cuántas raíces tiene? ecuación dada?

Todo depende del apetito del alumno. Si compra 6 pasteles y 5 tazas de café, entonces las raíces de la ecuación serán los números 6 y 5.

Se dice que el par de valores 6 y 5 son las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 . Escrito como (6; 5), siendo el primer número el valor de la variable X, y el segundo - el valor de la variable. y .

6 y 5 no son las únicas raíces que invierten la ecuación 25 X+ 10y= 200 a la identidad. Si lo desea, por los mismos 200 rublos un estudiante puede comprar 4 pasteles y 10 tazas de café:

En este caso, las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 es un par de valores (4; 10).

Además, un escolar no puede comprar café en absoluto, pero sí pasteles por los 200 rublos completos. Entonces las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 serán los valores 8 y 0

O viceversa, no compre pasteles, compre café por los 200 rublos completos. Entonces las raíces de la ecuación 25 X+ 10y= 200 los valores serán 0 y 20

Intentemos enumerar todas las raíces posibles de la ecuación 25. X+ 10y= 200 . Acordemos que los valores X Y y pertenecen al conjunto de los números enteros. Y sean estos valores mayores o iguales a cero:

X∈Z, y∈ Z;
x ≥ 0, y ≥ 0

Esto será conveniente para el propio alumno. Es más conveniente comprar tartas enteras que, por ejemplo, varias tartas enteras y media tarta. También es más conveniente tomar café en tazas enteras que, por ejemplo, varias tazas enteras y media taza.

Tenga en cuenta que por extraño X es imposible lograr la igualdad bajo ninguna circunstancia y. Entonces los valores X los siguientes números serán 0, 2, 4, 6, 8. Y sabiendo X se puede determinar fácilmente y

Por lo tanto, recibimos los siguientes pares de valores. (0; 20), (2; 15), (4; 10), (6; 5), (8; 0). Estos pares son soluciones o raíces de la Ecuación 25. X+ 10y= 200. Convierten esta ecuación en una identidad.

Ecuación de la forma hacha + por = c llamado ecuación lineal con dos variables. La solución o raíces de esta ecuación son un par de valores ( X; y), lo que lo convierte en identidad.

Tenga en cuenta también que si una ecuación lineal con dos variables se escribe en la forma hacha + segundo y = c , luego dicen que está escrito en canónico forma (normal).

Algunas ecuaciones lineales en dos variables se pueden reducir a forma canónica.

Por ejemplo, la ecuación 2(16X+ 3y- 4) = 2(12 + 8X − y) se puede recordar hacha + por = c. Abramos los corchetes a ambos lados de esta ecuación y obtengamos 32X + 6y − 8 = 24 + 16X − 2y . Agrupamos los términos que contienen incógnitas en el lado izquierdo de la ecuación y los términos libres de incógnitas en el lado derecho. Entonces obtenemos 32x- 16X+ 6y+ 2y = 24 + 8 . Presentamos términos similares en ambos lados, obtenemos la ecuación 16 X+ 8y= 32. Esta ecuación se reduce a la forma hacha + por = c y es canónico.

Ecuación 25 discutida anteriormente X+ 10y= 200 también es una ecuación lineal con dos variables en forma canónica. En esta ecuación los parámetros a , b Y C son iguales a los valores 25, 10 y 200, respectivamente.

En realidad la ecuación hacha + por = c Tiene innumerables soluciones. Resolviendo la ecuación 25X+ 10y= 200, buscamos sus raíces sólo en el conjunto de números enteros. Como resultado, obtuvimos varios pares de valores que convirtieron esta ecuación en una identidad. Pero en muchos numeros racionales ecuación 25 X+ 10y= 200 tendrá infinitas soluciones.

Para obtener nuevos pares de valores, es necesario tomar un valor arbitrario para X, luego expresa y. Por ejemplo, tomemos la variable X valor 7. Entonces obtenemos una ecuación con una variable 25×7 + 10y= 200 en el que se puede expresar y

Dejar X= 15. Entonces la ecuación 25X+ 10y= 200 se convierte en 25 × 15 + 10y= 200. A partir de aquí encontramos que y = −17,5

Dejar X= −3 . Entonces la ecuación 25X+ 10y= 200 se convierte en 25 × (−3) + 10y= 200. A partir de aquí encontramos que y = −27,5

Sistema de dos ecuaciones lineales con dos variables.

Para la ecuación hacha + por = c puedes tomar valores arbitrarios tantas veces como quieras X y encontrar valores para y. Considerada por separado, una ecuación de este tipo tendrá innumerables soluciones.

Pero también sucede que las variables X Y y están conectados no por una, sino por dos ecuaciones. En este caso forman los llamados sistema de ecuaciones lineales en dos variables. Un sistema de ecuaciones de este tipo puede tener un par de valores (o en otras palabras: "una solución").

También puede suceder que el sistema no tenga solución alguna. Un sistema de ecuaciones lineales puede tener innumerables soluciones en casos raros y excepcionales.

Dos ecuaciones lineales forman un sistema cuando los valores X Y y entrar en cada una de estas ecuaciones.

Volvamos a la primera ecuación 25. X+ 10y= 200 . Uno de los pares de valores de esta ecuación fue el par (6; 5). Este es el caso en el que por 200 rublos se pueden comprar 6 pasteles y 5 tazas de café.

Formulemos el problema de modo que el par (6; 5) se convierta en la única solución para la ecuación 25. X+ 10y= 200 . Para hacer esto, creemos otra ecuación que conectaría el mismo X pasteles y y tazas de café.

Expongamos el texto del problema de la siguiente manera:

“El estudiante compró varios pasteles y varias tazas de café por 200 rublos. Un pastel cuesta 25 rublos y una taza de café cuesta 10 rublos. ¿Cuántas tortas y tazas de café compró el estudiante si se sabe que la cantidad de tortas por unidad mas cantidad¿tazas de café?

Ya tenemos la primera ecuación. Esta es la ecuación 25. X+ 10y= 200 . Ahora creemos una ecuación para la condición. “el número de pasteles es una unidad mayor que el número de tazas de café” .

El número de pasteles es X, y el número de tazas de café es y. Puedes escribir esta frase usando la ecuación. x-y= 1. Esta ecuación significará que la diferencia entre pasteles y café es 1.

x = y+ 1 . Esta ecuación significa que el número de pasteles es uno más que el número de tazas de café. Por tanto, para obtener la igualdad se suma una al número de tazas de café. Esto se puede entender fácilmente si utilizamos el modelo de escalas que consideramos al estudiar los problemas más simples:

Tenemos dos ecuaciones: 25 X+ 10y= 200 y x = y+ 1. Desde los valores X Y y, es decir, 6 y 5 están incluidos en cada una de estas ecuaciones, luego juntos forman un sistema. Anotemos este sistema. Si las ecuaciones forman un sistema, entonces están enmarcadas por el signo del sistema. El símbolo del sistema es una llave:

Resolvamos este sistema. Esto nos permitirá ver cómo llegamos a los valores 6 y 5. Existen muchos métodos para resolver este tipo de sistemas. Veamos los más populares de ellos.

Método de sustitución

El nombre de este método habla por sí solo. Su esencia es sustituir una ecuación por otra, habiendo expresado previamente una de las variables.

En nuestro sistema no hay necesidad de expresar nada. En la segunda ecuación X = y+ 1 variable X ya expresado. Esta variable es igual a la expresión y+ 1 . Luego puedes sustituir esta expresión en la primera ecuación en lugar de la variable X

Después de sustituir la expresión y+ 1 en la primera ecuación en su lugar X, obtenemos la ecuación 25(y+ 1) + 10y= 200 . Esta es una ecuación lineal con una variable. Esta ecuación es bastante fácil de resolver:

Encontramos el valor de la variable. y. Ahora sustituyamos este valor en una de las ecuaciones y encontremos el valor. X. Para ello es conveniente utilizar la segunda ecuación. X = y+ 1 . Sustituyamos el valor y

Esto significa que el par (6; 5) es una solución del sistema de ecuaciones, como pretendíamos. Comprobamos y nos aseguramos que el par (6; 5) satisface el sistema:

Ejemplo 2

Sustituyamos la primera ecuación. X= 2 + y en la segunda ecuación 3 x- 2y= 9. En la primera ecuación la variable X igual a la expresión 2 + y. Sustituyamos esta expresión en la segunda ecuación en lugar de X

Ahora encontremos el valor. X. Para hacer esto, sustituyamos el valor. y en la primera ecuación X= 2 + y

Esto significa que la solución del sistema es el valor del par (5; 3)

Ejemplo 3. Resolver por sustitución el siguiente sistema ecuaciones:

Aquí, a diferencia de los ejemplos anteriores, una de las variables no se expresa explícitamente.

Para sustituir una ecuación por otra, primero necesitas.

Es recomendable expresar la variable que tiene un coeficiente de uno. La variable tiene un coeficiente de uno. X, que está contenido en la primera ecuación X+ 2y= 11. Expresemos esta variable.

Después de expresión variable X, nuestro sistema tomará la siguiente forma:

Ahora sustituyamos la primera ecuación en la segunda y encontremos el valor. y

sustituyamos y X

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (3; 4)

Por supuesto, también puedes expresar una variable. y. Las raíces no cambiarán. Pero si expresas y, El resultado no es una ecuación muy simple y llevará más tiempo resolverla. Se verá así:

eso lo vemos en en este ejemplo para expresar X mucho más conveniente que expresar y .

Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Expresemos en la primera ecuación. X. Entonces el sistema tomará la forma:

y

sustituyamos y en la primera ecuación y encontrar X. Puedes usar la ecuación original 7. X+ 9y= 8, o utilizar la ecuación en la que se expresa la variable X. Usaremos esta ecuación porque es conveniente:

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (5; −3)

Método de suma

El método de la suma consiste en sumar las ecuaciones incluidas en el sistema término a término. Esta suma da como resultado una nueva ecuación con una variable. Y resolver tal ecuación es bastante simple.

Resolvamos el siguiente sistema de ecuaciones:

Sumemos el lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con lado derecho segunda ecuación. Obtenemos la siguiente igualdad:

Veamos términos similares:

Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 3. X= 27 cuya raíz es 9. Conociendo el valor X puedes encontrar el valor y. sustituyamos el valor X en la segunda ecuación x-y= 3 . Obtenemos 9 - y= 3 . De aquí y= 6 .

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (9; 6)

Ejemplo 2

Sumemos el lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación. Y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación. En la igualdad resultante presentamos términos similares:

Como resultado, obtuvimos la ecuación más simple 5. X= 20, cuya raíz es 4. Conociendo el valor X puedes encontrar el valor y. sustituyamos el valor X en la primera ecuación 2 x+y= 11. Consigamos 8+ y= 11. De aquí y= 3 .

Esto significa que la solución del sistema es un par de valores (4;3)

El proceso de adición no se describe en detalle. Hay que hacerlo mentalmente. Al sumar, ambas ecuaciones deben reducirse a la forma canónica. Es decir, por cierto ca + por = c .

De los ejemplos considerados, queda claro que el objetivo principal de sumar ecuaciones es deshacerse de una de las variables. Pero no siempre es posible resolver inmediatamente un sistema de ecuaciones utilizando el método de la suma. En la mayoría de los casos, primero se lleva el sistema a una forma en la que se pueden sumar las ecuaciones incluidas en este sistema.

Por ejemplo, el sistema se puede resolver inmediatamente mediante la suma. Al sumar ambas ecuaciones, los términos y Y −y desaparecerá porque su suma es cero. Como resultado, se forma la ecuación más simple 11. X= 22, cuya raíz es 2. Entonces será posible determinar y igual a 5.

y el sistema de ecuaciones El método de la suma no se puede resolver de inmediato, ya que esto no conducirá a la desaparición de una de las variables. La suma dará como resultado la ecuación 8. X+ y= 28, que tiene un número infinito de soluciones.

Si ambos lados de la ecuación se multiplican o dividen por el mismo número, distinto de cero, se obtiene una ecuación equivalente a la dada. Esta regla también es válida para un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. Una de las ecuaciones (o ambas) se puede multiplicar por cualquier número. El resultado será un sistema equivalente, cuyas raíces coincidirán con el anterior.

Volvamos al primer sistema, que describía cuántos pasteles y tazas de café compró un escolar. La solución a este sistema fue un par de valores (6; 5).

Multipliquemos ambas ecuaciones incluidas en este sistema por algunos números. Digamos que multiplicamos la primera ecuación por 2 y la segunda por 3.

Como resultado, obtuvimos un sistema.
La solución a este sistema sigue siendo el par de valores (6; 5)

Esto significa que las ecuaciones incluidas en el sistema se pueden reducir a una forma adecuada para aplicar el método de la suma.

Volvamos al sistema. , que no pudimos resolver usando el método de la suma.

Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por −2

Entonces obtenemos el siguiente sistema:

Sumemos las ecuaciones incluidas en este sistema. Agregar componentes 12 X y −12 X resultará en 0, suma 18 y y 4 y dará 22 y, y sumando 108 y −20 da 88. Luego obtenemos la ecuación 22 y= 88, desde aquí y = 4 .

Si al principio te resulta difícil sumar ecuaciones mentalmente, entonces puedes escribir cómo se suman. lado izquierdo de la primera ecuación con el lado izquierdo de la segunda ecuación, y el lado derecho de la primera ecuación con el lado derecho de la segunda ecuación:

Sabiendo que el valor de la variable y es igual a 4, puedes encontrar el valor X. sustituyamos y en una de las ecuaciones, por ejemplo en la primera ecuación 2 X+ 3y= 18. Entonces obtenemos una ecuación con una variable 2 X+ 12 = 18. Movemos 12 hacia el lado derecho, cambiando el signo, obtenemos 2 X= 6, desde aquí X = 3 .

Ejemplo 4. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Multipliquemos la segunda ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la siguiente forma:

Sumemos ambas ecuaciones. Agregar componentes X Y −x resultará en 0, suma 5 y y 3 y dará 8 y, y sumando 7 y 1 da 8. El resultado es la ecuación 8 y= 8 cuya raíz es 1. Sabiendo que el valor y es igual a 1, puedes encontrar el valor X .

sustituyamos y en la primera ecuación, obtenemos X+ 5 = 7, por lo tanto X= 2

Ejemplo 5. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Es deseable que los términos que contengan las mismas variables estén ubicados uno debajo del otro. Por lo tanto, en la segunda ecuación los términos 5 y y −2 X Intercambiemos lugares. Como resultado, el sistema tomará la forma:

Multipliquemos la segunda ecuación por 3. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de la suma obtenemos la ecuación 8. y= 16, cuya raíz es 2.

sustituyamos y en la primera ecuación obtenemos 6 X− 14 = 40. Movamos el término −14 hacia el lado derecho, cambiando el signo, y obtenemos 6 X= 54 . De aquí X= 9.

Ejemplo 6. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Deshagámonos de las fracciones. Multiplica la primera ecuación por 36 y la segunda por 12.

En el sistema resultante la primera ecuación se puede multiplicar por −5 y la segunda por 8

Sumemos las ecuaciones en el sistema resultante. Entonces obtenemos la ecuación más simple −13 y= −156 . De aquí y= 12. sustituyamos y en la primera ecuación y encontrar X

Ejemplo 7. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Reduzcamos ambas ecuaciones a aspecto normal. Aquí conviene aplicar la regla de proporción en ambas ecuaciones. Si en la primera ecuación el lado derecho se representa como , y el lado derecho de la segunda ecuación como , entonces el sistema tomará la forma:

Tenemos una proporción. Multipliquemos sus términos extremos y medios. Entonces el sistema tomará la forma:

Multipliquemos la primera ecuación por −3 y abramos los corchetes en la segunda:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de sumar estas ecuaciones, obtenemos una igualdad con cero en ambos lados:

Resulta que el sistema tiene innumerables soluciones.

Pero no podemos simplemente tomar valores arbitrarios del cielo para X Y y. Podemos especificar uno de los valores, y el otro se determinará dependiendo del valor que especifiquemos. Por ejemplo, dejemos X= 2 . Sustituyamos este valor en el sistema:

Como resultado de resolver una de las ecuaciones, el valor de y, que satisfará ambas ecuaciones:

El par de valores resultante (2; −2) satisfará el sistema:

Encontremos otro par de valores. Dejar X= 4. Sustituyamos este valor en el sistema:

Puedes determinar a simple vista que el valor. y es igual a cero. Luego obtenemos un par de valores (4; 0) que satisfacen nuestro sistema:

Ejemplo 8. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de la suma:

Multiplica la primera ecuación por 6 y la segunda por 12.

Reescribamos lo que queda:

Multipliquemos la primera ecuación por −1. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora sumemos ambas ecuaciones. Como resultado de la suma, se forma la ecuación 6. b= 48, cuya raíz es 8. Sustituir b en la primera ecuación y encontrar a

Sistema de ecuaciones lineales con tres variables.

Una ecuación lineal con tres variables incluye tres variables con coeficientes, así como un término de intersección. En forma canónica se puede escribir de la siguiente manera:

hacha + por + cz = d

Esta ecuación tiene innumerables soluciones. Dando dos variables diferentes significados, se puede encontrar un tercer valor. La solución en este caso es un triple de valores ( X; y; z) que convierte la ecuación en una identidad.

Si las variables x, y, z están interconectados por tres ecuaciones, entonces se forma un sistema de tres ecuaciones lineales con tres variables. Para resolver un sistema de este tipo, puedes utilizar los mismos métodos que se aplican a las ecuaciones lineales con dos variables: el método de sustitución y el método de suma.

Ejemplo 1. Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones usando el método de sustitución:

Expresemos en la tercera ecuación. X. Entonces el sistema tomará la forma:

Ahora hagamos la sustitución. Variable X es igual a la expresión 3 − 2y − 2z . Sustituyamos esta expresión en la primera y segunda ecuaciones:

Abramos los corchetes en ambas ecuaciones y presentemos términos similares:

Hemos llegado a un sistema de ecuaciones lineales con dos variables. EN en este caso Es conveniente utilizar el método de la suma. Como resultado, la variable y Desaparecerá y podremos encontrar el valor de la variable. z

Ahora encontremos el valor. y. Para hacer esto, es conveniente utilizar la ecuación: y+ z= 4. Sustituye el valor en él. z

Ahora encontremos el valor. X. Para ello conviene utilizar la ecuación X= 3 − 2y − 2z . Sustituyamos los valores en él. y Y z

Así, el triple de valores (3; −2; 2) es una solución a nuestro sistema. Al verificar nos aseguramos de que estos valores satisfagan el sistema:

Ejemplo 2. Resuelve el sistema usando el método de la suma.

Sumemos la primera ecuación con la segunda, multiplicada por −2.

Si la segunda ecuación se multiplica por −2, toma la forma −6X+ 6y- 4z = −4 . Ahora sumémoslo a la primera ecuación:

Lo vemos como resultado transformaciones elementales, se determina el valor de la variable X. Es igual a uno.

volvamos a sistema principal. Sumemos la segunda ecuación con la tercera, multiplicada por −1. Si la tercera ecuación se multiplica por −1, toma la forma −4X + 5y − 2z = −1 . Ahora sumémoslo a la segunda ecuación:

Tenemos la ecuación x- 2y= −1 . Sustituyamos el valor en él. X que encontramos anteriormente. Entonces podemos determinar el valor. y

Ahora conocemos los significados. X Y y. Esto le permite determinar el valor. z. Usemos una de las ecuaciones incluidas en el sistema:

Así, el triple de valores (1; 1; 1) es la solución de nuestro sistema. Al verificar nos aseguramos de que estos valores satisfagan el sistema:

Problemas de composición de sistemas de ecuaciones lineales.

La tarea de componer sistemas de ecuaciones se resuelve ingresando varias variables. A continuación, se compilan ecuaciones en función de las condiciones del problema. A partir de las ecuaciones compiladas forman un sistema y lo resuelven. Una vez resuelto el sistema, es necesario comprobar si su solución satisface las condiciones del problema.

Problema 1. Un coche Volga salió de la ciudad hacia la granja colectiva. Regresó por otro camino, 5 km más corto que el primero. En total, el coche recorrió 35 km ida y vuelta. ¿Cuántos kilómetros tiene la longitud de cada camino?

Solución

Dejar X- longitud del primer camino, y- duración del segundo. Si el automóvil viajó 35 km ida y vuelta, entonces la primera ecuación se puede escribir como X+ y= 35. Esta ecuación describe la suma de las longitudes de ambos caminos.

Se dice que el coche regresó por un camino 5 kilómetros más corto que el primero. Entonces la segunda ecuación se puede escribir como X− y= 5. Esta ecuación muestra que la diferencia entre las longitudes de las carreteras es de 5 km.

O la segunda ecuación se puede escribir como X= y+ 5. Usaremos esta ecuación.

Porque las variables X Y y en ambas ecuaciones denotamos el mismo número, entonces podemos formar un sistema a partir de ellas:

Resolvamos este sistema usando algunos de los métodos estudiados anteriormente. En este caso es conveniente utilizar el método de sustitución, ya que en la segunda ecuación la variable X ya expresado.

Sustituye la segunda ecuación en la primera y encuentra y

Sustituyamos el valor encontrado. y en la segunda ecuacion X= y+ 5 y encontraremos X

La longitud del primer camino se indicó a través de la variable X. Ahora hemos encontrado su significado. Variable X es igual a 20. Esto significa que la longitud del primer camino es de 20 km.

Y la longitud del segundo camino estaba indicada por y. El valor de esta variable es 15. Esto significa que la longitud de la segunda carretera es de 15 km.

Vamos a revisar. Primero, asegurémonos de que el sistema esté resuelto correctamente:

Ahora comprobemos si la solución (20; 15) satisface las condiciones del problema.

Se dijo que el auto recorrió un total de 35 kilómetros ida y vuelta. Sumamos las longitudes de ambos caminos y nos aseguramos de que la solución (20; 15) satisfaga esta condición: 20 kilómetros + 15 kilómetros = 35 kilómetros

La siguiente condición: El coche regresó por otra carretera, 5 km más corta que la primera. . Vemos que la solución (20; 15) también satisface esta condición, ya que 15 km es más corto que 20 km por 5 km: 20 kilómetros - 15 kilómetros = 5 kilómetros

Al componer un sistema, es importante que las variables representen los mismos números en todas las ecuaciones incluidas en este sistema.

Entonces nuestro sistema contiene dos ecuaciones. Estas ecuaciones a su vez contienen variables. X Y y, que representan los mismos números en ambas ecuaciones, es decir, longitudes de carretera de 20 km y 15 km.

Problema 2. En la plataforma se cargaron traviesas de roble y pino, 300 traviesas en total. Se sabe que todas las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que todas las traviesas de pino. Determine cuántas traviesas de roble y de pino había por separado, si cada traviesa de roble pesaba 46 kg y cada traviesa de pino 28 kg.

Solución

Dejar X roble y y Se cargaron traviesas de pino en la plataforma. Si hubiera 300 durmientes en total, entonces la primera ecuación se puede escribir como x+y = 300 .

Todas las traviesas de roble pesaban 46 X kg, y los de pino pesaban 28 y kg. Dado que las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que las de pino, la segunda ecuación se puede escribir como 28y- 46X= 1000 . Esta ecuación muestra que la diferencia de masa entre traviesas de roble y pino es de 1000 kg.

Las toneladas se convirtieron a kilogramos, ya que la masa de las traviesas de roble y pino se medía en kilogramos.

Como resultado, obtenemos dos ecuaciones que forman el sistema.

Resolvamos este sistema. Expresemos en la primera ecuación. X. Entonces el sistema tomará la forma:

Sustituye la primera ecuación en la segunda y encuentra y

sustituyamos y en la ecuación X= 300 − y y descubre que es X

Esto significa que se cargaron en la plataforma 100 traviesas de roble y 200 de pino.

Comprobemos si la solución (100; 200) satisface las condiciones del problema. Primero, asegurémonos de que el sistema esté resuelto correctamente:

Se dijo que había 300 durmientes en total. Sumamos el número de traviesas de roble y pino y nos aseguramos de que la solución (100; 200) cumpla esta condición: 100 + 200 = 300.

La siguiente condición: todas las traviesas de roble pesaban 1 tonelada menos que todas las traviesas de pino . Vemos que la solución (100; 200) también satisface esta condición, ya que 46 × 100 kg de traviesas de roble son más livianos que 28 × 200 kg de traviesas de pino: 5600 kg − 4600 kg = 1000 kg.

Problema 3. Tomamos tres piezas de aleación de cobre y níquel en proporciones de 2: 1, 3: 1 y 5: 1 en peso. De ellos se fundió una pieza que pesaba 12 kg con una proporción de contenido de cobre y níquel de 4:1. Encuentra la masa de cada pieza original si se duplica la masa de la primera. mas masa segundo.

Solución de sistemas lineales. ecuaciones algebraicas(SLAU) es sin duda el tema más importante del curso. álgebra lineal. Gran cantidad Los problemas de todas las ramas de las matemáticas se reducen a la resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Estos factores explican el motivo de este artículo. El material del artículo está seleccionado y estructurado para que con su ayuda puedas

• levantar método óptimo soluciones a su sistema de ecuaciones algebraicas lineales,
• estudiar la teoría del método elegido,
• resuelva su sistema de ecuaciones lineales revisando soluciones detalladas ejemplos típicos y tareas.

Breve descripción del material del artículo.

primero demoslo todo definiciones necesarias, conceptos e introducir notaciones.

A continuación, consideraremos métodos para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales en los que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y que tienen única decisión. En primer lugar, nos centraremos en el método de Cramer, en segundo lugar, mostraremos el método matricial para resolver dichos sistemas de ecuaciones y, en tercer lugar, analizaremos el método de Gauss (el método de eliminación secuencial de variables desconocidas). Para consolidar la teoría, definitivamente resolveremos varios SLAE de diferentes formas.

Después de esto, pasaremos a resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales. vista general, en el que el número de ecuaciones no coincide con el número de variables desconocidas o la matriz principal del sistema es singular. Formulemos el teorema de Kronecker-Capelli, que nos permite establecer la compatibilidad de los SLAE. Analicemos la solución de sistemas (si son compatibles) utilizando el concepto de base menor de una matriz. También consideraremos el método de Gauss y describiremos en detalle las soluciones de los ejemplos.

Definitivamente nos detendremos en la estructura de la solución general de homogéneos y sistemas heterogéneos ecuaciones algebraicas lineales. Demos el concepto de un sistema fundamental de soluciones y mostremos cómo escribir decisión común SLAE utilizando vectores del sistema de solución fundamental. Para una mejor comprensión, veamos algunos ejemplos.

En conclusión, consideraremos sistemas de ecuaciones que se pueden reducir a lineales, así como varias tareas, en cuya solución surgen SLAE.

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Definiciones, conceptos, designaciones.

Consideraremos sistemas de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas (p puede ser igual a n) de la forma

Variables desconocidas - coeficientes (algunos reales o números complejos), - términos libres (también números reales o complejos).

Esta forma de grabación SLAE se llama coordinar.

EN forma matricial escribir este sistema de ecuaciones tiene la forma,
Dónde - matriz principal del sistema, - matriz de columnas de variables desconocidas, - matriz de columnas miembros libres.

Si agregamos una columna de matriz de términos libres a la matriz A como la (n+1)ésima columna, obtenemos la llamada matriz extendida sistemas de ecuaciones lineales. Por lo general, la matriz extendida se denota con la letra T y la columna de términos libres está separada linea vertical de las columnas restantes, es decir,

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. Se llama conjunto de valores de variables desconocidas que convierte todas las ecuaciones del sistema en identidades. Ecuación matricial para valores dados de las variables desconocidas también se convierte en una identidad.

Si un sistema de ecuaciones tiene al menos una solución, entonces se llama articulación.

Si un sistema de ecuaciones no tiene soluciones, entonces se llama no conjunto.

Si un SLAE tiene una solución única, entonces se llama cierto; Si hay más de una solución, entonces... incierto.

Si los términos libres de todas las ecuaciones del sistema son iguales a cero , entonces el sistema se llama homogéneo, de lo contrario - heterogéneo.

Resolución de sistemas elementales de ecuaciones algebraicas lineales.

Si el número de ecuaciones del sistema es igual al número de variables desconocidas y el determinante de su matriz principal no lo es igual a cero, entonces llamaremos a dichos SLAE elemental. Estos sistemas de ecuaciones tienen una solución única y, en el caso de un sistema homogéneo, todas las variables desconocidas son iguales a cero.

Comenzamos a estudiar tales SLAE en escuela secundaria. Al resolverlas, tomamos una ecuación, expresamos una variable desconocida en términos de otras y la sustituimos en las ecuaciones restantes, luego tomamos la siguiente ecuación, expresó la siguiente variable desconocida y la sustituyó en otras ecuaciones, y así sucesivamente. O utilizaron el método de la suma, es decir, sumaron dos o más ecuaciones para eliminar algunas variables desconocidas. No nos detendremos en estos métodos en detalle, ya que son esencialmente modificaciones del método de Gauss.

Los principales métodos para resolver sistemas elementales de ecuaciones lineales son el método de Cramer, el método matricial y el método de Gauss. Vamos a solucionarlos.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Cramer.

Supongamos que necesitamos resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales.

en el que el número de ecuaciones es igual al número de variables desconocidas y el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, es decir, .

Sea el determinante de la matriz principal del sistema, y - determinantes de matrices que se obtienen de A por sustitución 1º, 2º,…, enésimo columna respectivamente a la columna de miembros gratuitos:

Con esta notación, las variables desconocidas se calculan utilizando las fórmulas del método de Cramer como . Así se encuentra la solución de un sistema de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método de Cramer.

Ejemplo.

método de cramer .

Solución.

La matriz principal del sistema tiene la forma . Calculemos su determinante (si es necesario, consulte el artículo):

Dado que el determinante de la matriz principal del sistema es distinto de cero, el sistema tiene una solución única que se puede encontrar mediante el método de Cramer.

Compongamos y calculemos los determinantes necesarios. (obtenemos el determinante reemplazando la primera columna de la matriz A con una columna de términos libres, el determinante reemplazando la segunda columna con una columna de términos libres y reemplazando la tercera columna de la matriz A con una columna de términos libres) :

Encontrar variables desconocidas usando fórmulas :

Respuesta:

La principal desventaja del método de Cramer (si se le puede llamar desventaja) es la complejidad de calcular los determinantes cuando el número de ecuaciones en el sistema es más de tres.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales mediante el método matricial (utilizando una matriz inversa).

Sea un sistema de ecuaciones algebraicas lineales en forma matricial, donde la matriz A tiene dimensión n por n y su determinante es distinto de cero.

Dado que , la matriz A es invertible, es decir, existe una matriz inversa. Si multiplicamos ambos lados de la igualdad por la izquierda, obtenemos una fórmula para encontrar una matriz-columna de variables desconocidas. Así obtuvimos una solución al sistema de ecuaciones algebraicas lineales. método matricial.

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. método matricial.

Solución.

Reescribamos el sistema de ecuaciones en forma matricial:

Porque

entonces el SLAE se puede resolver utilizando el método matricial. Mediante el uso matriz inversa La solución a este sistema se puede encontrar como .

Construyamos la matriz inversa usando la matriz de sumas algebraicas elementos de la matriz A (si es necesario, ver artículo):

Queda por calcular la matriz de variables desconocidas multiplicando la matriz inversa. a una columna de matriz de miembros gratuitos (si es necesario, consulte el artículo):

Respuesta:

o en otra notación x 1 = 4, x 2 = 0, x 3 = -1.

El principal problema a la hora de encontrar soluciones a sistemas de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método matricial es la complejidad de encontrar la matriz inversa, especialmente para matrices cuadradas orden superior al tercero.

Resolución de sistemas de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss.

Supongamos que necesitamos encontrar una solución a un sistema de n ecuaciones lineales con n variables desconocidas.
cuyo determinante de la matriz principal es diferente de cero.

La esencia del método Gauss. Consiste en eliminar secuencialmente las variables desconocidas: primero se excluye x 1 de todas las ecuaciones del sistema, a partir de la segunda, luego se excluye x 2 de todas las ecuaciones, a partir de la tercera, y así sucesivamente, hasta que solo quede la variable desconocida x n en la última ecuación. Este proceso de transformar ecuaciones del sistema para eliminar secuencialmente variables desconocidas se llama método gaussiano directo. Después de completar el trazo hacia adelante del método gaussiano, se encuentra x n a partir de la última ecuación, usando este valor de la penúltima ecuación, se calcula x n-1, y así sucesivamente, se encuentra x 1 a partir de la primera ecuación. El proceso de calcular variables desconocidas al pasar de la última ecuación del sistema a la primera se llama inverso del método gaussiano.

Describamos brevemente el algoritmo para eliminar variables desconocidas.

Supondremos que , ya que siempre podemos lograrlo reordenando las ecuaciones del sistema. Eliminemos la variable desconocida x 1 de todas las ecuaciones del sistema, comenzando por la segunda. Para ello, a la segunda ecuación del sistema le sumamos la primera, multiplicada por , a la tercera ecuación le sumamos la primera, multiplicada por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos la primera, multiplicada por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y .

Habríamos llegado al mismo resultado si hubiéramos expresado x 1 en términos de otras variables desconocidas en la primera ecuación del sistema y hubiéramos sustituido la expresión resultante en todas las demás ecuaciones. Por tanto, la variable x 1 queda excluida de todas las ecuaciones, a partir de la segunda.

A continuación se procede de forma similar, pero sólo con parte del sistema resultante, que está marcado en la figura.

Para ello, a la tercera ecuación del sistema le sumamos la segunda, multiplicada por , para cuarta ecuación sumamos el segundo multiplicado por , y así sucesivamente, a la enésima ecuación le sumamos el segundo multiplicado por . El sistema de ecuaciones después de tales transformaciones tomará la forma

dónde y . Por tanto, la variable x 2 queda excluida de todas las ecuaciones, comenzando por la tercera.

A continuación procedemos a eliminar la incógnita x 3, mientras actuamos de manera similar con la parte del sistema marcada en la figura.

Entonces continuamos la progresión directa del método gaussiano hasta que el sistema toma la forma

A partir de este momento comenzamos al revés del método gaussiano: calculamos x n de la última ecuación como , usando el valor obtenido de x n encontramos x n-1 de la penúltima ecuación, y así sucesivamente, encontramos x 1 de la primera ecuación. .

Ejemplo.

Resolver sistema de ecuaciones lineales. Método de Gauss.

Solución.

Excluyamos la variable desconocida x 1 de la segunda y tercera ecuaciones del sistema. Para ello, a ambos lados de la segunda y tercera ecuaciones sumamos las partes correspondientes de la primera ecuación, multiplicadas por y por, respectivamente:

Ahora eliminamos x 2 de la tercera ecuación sumando a sus lados izquierdo y derecho los lados izquierdo y derecho de la segunda ecuación, multiplicados por:

Esto completa el movimiento hacia adelante del método de Gauss; comenzamos el movimiento hacia atrás.

De la última ecuación del sistema de ecuaciones resultante encontramos x 3:

De la segunda ecuación obtenemos .

De la primera ecuación encontramos la variable desconocida restante y así completamos el método inverso de Gauss.

Respuesta:

X1 = 4, X2 = 0, X3 = -1.

Resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

EN caso general el número de ecuaciones del sistema p no coincide con el número de variables desconocidas n:

Estos SLAE pueden no tener soluciones, tener una única solución o tener infinitas soluciones. Esta afirmación también se aplica a los sistemas de ecuaciones cuya matriz principal es cuadrada y singular.

Teorema de Kronecker-Capelli.

Antes de encontrar una solución a un sistema de ecuaciones lineales, es necesario establecer su compatibilidad. La respuesta a la pregunta de cuándo SLAE es compatible y cuándo es inconsistente viene dada por Teorema de Kronecker-Capelli:
Para que un sistema de p ecuaciones con n incógnitas (p puede ser igual a n) sea consistente, es necesario y suficiente que el rango de la matriz principal del sistema sea igual al rango de la matriz extendida, es decir , Rango(A)=Rango(T).

Consideremos, como ejemplo, la aplicación del teorema de Kronecker-Capelli para determinar la compatibilidad de un sistema de ecuaciones lineales.

Ejemplo.

Descubra si el sistema de ecuaciones lineales tiene soluciones.

Solución.

. Utilicemos el método de bordear a menores. Menor de segundo orden diferente de cero. Veamos los menores de tercer orden que lo bordean:

Dado que todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, el rango de la matriz principal es igual a dos.

A su vez, el rango de la matriz extendida es igual a tres, ya que el menor es de tercer orden

diferente de cero.

De este modo, Rang(A), por tanto, utilizando el teorema de Kronecker-Capelli, podemos concluir que el sistema original de ecuaciones lineales es inconsistente.

Respuesta:

El sistema no tiene soluciones.

Entonces, hemos aprendido a establecer la inconsistencia de un sistema usando el teorema de Kronecker-Capelli.

Pero ¿cómo encontrar solución a un SLAE si se establece su compatibilidad?

Para hacer esto, necesitamos el concepto de base menor de una matriz y un teorema sobre el rango de una matriz.

Menor orden más alto La matriz A, distinta de cero, se llama básico.

De la definición de base menor se deduce que su orden es igual al rango de la matriz. Para una matriz A distinta de cero puede haber varias bases menores;

Por ejemplo, considere la matriz .

Todos los menores de tercer orden de esta matriz son iguales a cero, ya que los elementos de la tercera fila de esta matriz son la suma de los elementos correspondientes de la primera y segunda fila.

Los siguientes menores de segundo orden son básicos, ya que son distintos de cero

Menores no son básicos, ya que son iguales a cero.

Teorema de rango matricial.

Si el rango de una matriz de orden p por n es igual a r, entonces todos los elementos de fila (y columna) de la matriz que no forman la base menor elegida se expresan linealmente en términos de los elementos de fila (y columna) correspondientes que forman la base menor.

¿Qué nos dice el teorema del rango matricial?

Si, de acuerdo con el teorema de Kronecker-Capelli, hemos establecido la compatibilidad del sistema, entonces elegimos cualquier base menor de la matriz principal del sistema (su orden es igual a r) y excluimos del sistema todas las ecuaciones que lo hacen. no forma la base menor seleccionada. El SLAE obtenido de esta forma será equivalente al original, ya que las ecuaciones descartadas aún son redundantes (según el teorema de rango matricial, son una combinación lineal de las ecuaciones restantes).

Como resultado, después de descartar ecuaciones innecesarias del sistema, son posibles dos casos.

Si el número de ecuaciones r en el sistema resultante es igual al número de variables desconocidas, entonces será definido y la única solución se podrá encontrar mediante el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Ejemplo.

.

Solución.

Rango de la matriz principal del sistema. es igual a dos, ya que el menor es de segundo orden diferente de cero. Rango de matriz extendido también es igual a dos, ya que el único menor de tercer orden es cero

y el menor de segundo orden considerado anteriormente es diferente de cero. Con base en el teorema de Kronecker-Capelli, podemos afirmar la compatibilidad del sistema original de ecuaciones lineales, ya que Rango(A)=Rango(T)=2.

Como base menor tomamos . Está formado por los coeficientes de la primera y segunda ecuaciones:


La tercera ecuación del sistema no participa en la formación de la base menor, por lo que la excluimos del sistema basándonos en el teorema del rango de la matriz:


Así obtuvimos un sistema elemental de ecuaciones algebraicas lineales. Resolvámoslo usando el método de Cramer:


Respuesta:

x1 = 1, x2 = 2.

Si el número de ecuaciones r en el SLAE resultante menos numero variables desconocidas n, luego en los lados izquierdos de las ecuaciones dejamos los términos que forman la base menor, y trasladamos los términos restantes a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signo opuesto.

Las variables desconocidas (r de ellas) que quedan en el lado izquierdo de las ecuaciones se llaman principal.

Las variables desconocidas (hay n - r piezas) que están en el lado derecho se llaman gratis.

Ahora creemos que las variables desconocidas libres pueden tomar valores arbitrarios, mientras que las r principales variables desconocidas se expresarán mediante variables desconocidas libres de una manera única. Su expresión se puede encontrar resolviendo el SLAE resultante utilizando el método de Cramer, el método matricial o el método de Gauss.

Veámoslo con un ejemplo.

Ejemplo.

Resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

Encontremos el rango de la matriz principal del sistema. por el método de frontera con menores. Tomemos un 1 1 = 1 como menor distinto de cero de primer orden. Comencemos a buscar un menor distinto de cero de segundo orden que bordee este menor:


Así es como encontramos un menor distinto de cero de segundo orden. Comencemos a buscar un menor de tercer orden distinto de cero:


Por tanto, el rango de la matriz principal es tres. El rango de la matriz extendida también es igual a tres, es decir, el sistema es consistente.

Tomamos como base el menor de tercer orden distinto de cero encontrado.

Para mayor claridad, mostramos los elementos que forman la base menor:


Dejamos los términos involucrados en la base menor en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema y transferimos el resto de signos opuestos a los lados derechos:


Demos a las variables desconocidas libres x 2 y x 5 valores arbitrarios, es decir, aceptamos , Dónde - números arbitrarios. En este caso, la SLAE tomará la forma


Resolvamos el sistema elemental resultante de ecuaciones algebraicas lineales utilizando el método de Cramer:


Por eso, .

En tu respuesta, no olvides indicar variables desconocidas libres.

Respuesta:

¿Dónde están los números arbitrarios?

Resumir.

Para resolver un sistema de ecuaciones algebraicas lineales generales, primero determinamos su compatibilidad utilizando el teorema de Kronecker-Capelli. Si el rango de la matriz principal no es igual al rango de la matriz extendida, concluimos que el sistema es incompatible.

Si el rango de la matriz principal es igual al rango de la matriz extendida, entonces seleccionamos una base menor y descartamos las ecuaciones del sistema que no participan en la formación de la base menor seleccionada.

Si el orden de la base menor igual al numero variables desconocidas, entonces el SLAE tiene una solución única, que encontramos mediante cualquier método que conozcamos.

Si el orden de la base menor es menor que el número de variables desconocidas, entonces en el lado izquierdo de las ecuaciones del sistema dejamos los términos con las principales variables desconocidas, transferimos los términos restantes a los lados derechos y damos valores arbitrarios a las variables desconocidas libres. Del sistema resultante de ecuaciones lineales encontramos las principales incógnitas. variables por método Cramer, método matricial o método gaussiano.

Método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

El método de Gauss se puede utilizar para resolver sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de cualquier tipo sin probar primero su coherencia. El proceso de eliminación secuencial de variables desconocidas permite sacar una conclusión tanto sobre la compatibilidad como sobre la incompatibilidad del SLAE, y si existe una solución, permite encontrarla.

Desde un punto de vista computacional, es preferible el método gaussiano.

Míralo Descripción detallada y analizó ejemplos en el artículo del método de Gauss para la resolución de sistemas de ecuaciones algebraicas lineales de forma general.

Escribir una solución general a sistemas algebraicos lineales homogéneos y no homogéneos utilizando vectores del sistema fundamental de soluciones.

En esta sección hablaremos sobre sistemas simultáneos homogéneos y no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales que tienen conjunto infinito decisiones.

Tratemos primero con sistemas homogéneos.

Sistema fundamental de soluciones. Un sistema homogéneo de p ecuaciones algebraicas lineales con n variables desconocidas es una colección de (n – r) soluciones linealmente independientes de este sistema, donde r es el orden de la base menor de la matriz principal del sistema.

Si denotamos linealmente soluciones independientes SLAE homogénea como X (1) , X (2) , …, X (n-r) (X (1) , X (2) , …, X (n-r) son matrices columnares de dimensión n por 1 ), entonces la solución general a este sistema homogéneo se representa como una combinación lineal de vectores del sistema fundamental de soluciones con arbitrario coeficientes constantes C 1, C 2, ..., C (n-r), es decir, .

¿Qué significa el término solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales (oroslau)?

El significado es simple: la fórmula lo establece todo. soluciones posibles el SLAE original, es decir, tomando cualquier conjunto de valores de constantes arbitrarias C 1, C 2, ..., C (n-r), usando la fórmula obtendremos una de las soluciones del SLAE homogéneo original.

Por lo tanto, si encontramos un sistema fundamental de soluciones, entonces podemos definir todas las soluciones de este SLAE homogéneo como.

Mostremos el proceso de construcción de un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo.

Seleccionamos la base menor del sistema original de ecuaciones lineales, excluimos todas las demás ecuaciones del sistema y transferimos todos los términos que contienen variables desconocidas libres a los lados derechos de las ecuaciones del sistema con signos opuestos. Demos incógnitas gratis valores variables 1,0,0,…,0 y calcular las principales incógnitas resolviendo el sistema elemental de ecuaciones lineales resultante de cualquier forma, por ejemplo, utilizando el método de Cramer. Esto dará como resultado X (1), la primera solución del sistema fundamental. Si a las incógnitas libres les damos los valores 0,1,0,0,…,0 y calculamos las incógnitas principales, obtenemos X (2). Etcétera. Si asignamos los valores 0.0,…,0.1 a las variables desconocidas libres y calculamos las incógnitas principales obtenemos X(n-r). De esta forma se construirá un sistema fundamental de soluciones para un SLAE homogéneo y su solución general podrá escribirse en la forma .

Para sistemas no homogéneos de ecuaciones algebraicas lineales, la solución general se representa en la forma , donde es la solución general del sistema homogéneo correspondiente y es la solución particular del sistema original. SLAE heterogéneo, que obtenemos dando a las incógnitas libres los valores 0,0,...,0 y calculando los valores de las incógnitas principales.

Veamos ejemplos.

Ejemplo.

Encuentre el sistema fundamental de soluciones y la solución general de un sistema homogéneo de ecuaciones algebraicas lineales. .

Solución.

El rango de la matriz principal de sistemas homogéneos de ecuaciones lineales es siempre igual al rango de la matriz extendida. Encontremos el rango de la matriz principal utilizando el método de menores limítrofes. Como menor distinto de cero de primer orden, tomamos el elemento a 1 1 = 9 de la matriz principal del sistema. Encontremos el menor limítrofe distinto de cero de segundo orden:

Se ha encontrado un menor de segundo orden, distinto de cero. Repasemos los menores de tercer orden que lo bordean en busca de uno distinto de cero:

Todos los menores limítrofes de tercer orden son iguales a cero, por lo tanto, el rango de la matriz principal y extendida es igual a dos. Echemos . Para mayor claridad, observemos los elementos del sistema que lo forman:

La tercera ecuación de la SLAE original no participa en la formación de la base menor, por tanto, se puede excluir:

Dejamos los términos que contienen las principales incógnitas en los lados derechos de las ecuaciones y transferimos los términos con incógnitas libres a los lados derechos:

Construyamos un sistema fundamental de soluciones al sistema homogéneo original de ecuaciones lineales. sistema fundamental Las soluciones de este SLAE constan de dos soluciones, ya que el SLAE original contiene cuatro variables desconocidas y el orden de su base menor es igual a dos. Para encontrar X (1), le damos a las variables desconocidas libres los valores x 2 = 1, x 4 = 0, luego encontramos las principales incógnitas del sistema de ecuaciones.
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