Una pirámide es un poliedro que tiene un polígono en su base. Todas las caras, a su vez, forman triángulos que convergen en un vértice. Las pirámides son triangulares, cuadrangulares, etc. Para determinar qué pirámide está frente a ti, basta con contar el número de ángulos en su base. La definición de "altura de una pirámide" se encuentra muy a menudo en problemas de geometría en currículum escolar. En este artículo intentaremos considerar diferentes caminos su ubicación.
Partes de la pirámide
Cada pirámide consta de los siguientes elementos:
- caras laterales, que tienen tres ángulos y convergen en el vértice;
- la apotema representa la altura que desciende desde su ápice;
- la cima de la pirámide es un punto que conecta las nervaduras laterales, pero no se encuentra en el plano de la base;
- la base es un polígono en el que no se encuentra el vértice;
- la altura de una pirámide es un segmento que corta la cima de la pirámide y forma un ángulo recto con su base.
Cómo encontrar la altura de una pirámide si se conoce su volumen
Mediante la fórmula V = (S*h)/3 (en la fórmula V es el volumen, S es el área de la base, h es la altura de la pirámide) encontramos que h = (3*V)/ S. Para consolidar el material, solucionemos el problema de inmediato. La base triangular mide 50 cm 2 , mientras que su volumen es 125 cm 3 . Se desconoce la altura de la pirámide triangular, que es la que necesitamos encontrar. Aquí todo es sencillo: insertamos los datos en nuestra fórmula. Obtenemos h = (3*125)/50 = 7,5 cm.
Cómo encontrar la altura de una pirámide si se conoce la longitud de la diagonal y sus aristas
Como recordamos, la altura de la pirámide forma un ángulo recto con su base. Esto significa que la altura, el borde y la mitad de la diagonal forman juntos. Muchos, por supuesto, recuerdan el teorema de Pitágoras. Conociendo dos dimensiones, no será difícil encontrar la tercera cantidad. Recordemos teorema bien conocido a² = b² + c², donde a es la hipotenusa, y en nuestro caso la arista de la pirámide; b - el primer cateto o la mitad de la diagonal y c - respectivamente, el segundo cateto o la altura de la pirámide. De esta fórmula c² = a² - b².
Ahora el problema: en una pirámide regular la diagonal es de 20 cm, cuando la longitud de la arista es de 30 cm hay que encontrar la altura. Resolvemos: c² = 30² - 20² = 900-400 = 500. Por tanto c = √ 500 = aproximadamente 22,4.
Cómo encontrar la altura de una pirámide truncada
Es un polígono con una sección transversal paralela a su base. La altura de una pirámide truncada es el segmento que une sus dos bases. La altura se puede encontrar en pirámide regular, si se conocen las longitudes de las diagonales de ambas bases, así como la arista de la pirámide. deja que la diagonal base más grande es igual a d1, mientras que la diagonal base más pequeña- d2, y la arista tiene una longitud - l. Para encontrar la altura, puedes bajar las alturas desde los dos puntos superiores opuestos del diagrama hasta su base. Vemos que tenemos dos triángulos rectángulos; lo único que queda es encontrar las longitudes de sus catetos. Para hacer esto, resta la diagonal más pequeña de la diagonal más grande y divide por 2. Así encontraremos un cateto: a = (d1-d2)/2. Después de lo cual, según el teorema de Pitágoras, todo lo que tenemos que hacer es encontrar el segundo cateto, que es la altura de la pirámide.
Ahora veamos todo esto en la práctica. Tenemos una tarea por delante. Una pirámide truncada tiene un cuadrado en la base, la longitud diagonal de la base más grande es de 10 cm, mientras que la más pequeña es de 6 cm y el borde es de 4 cm. Necesitas encontrar la altura. Primero encontramos un cateto: a = (10-6)/2 = 2 cm. Un cateto mide 2 cm y la hipotenusa mide 4 cm. Resulta que el segundo cateto o altura será igual a 16-. 4 = 12, es decir, h = √12 = unos 3,5 cm.
Uno de los más simples figuras volumétricas es Pirámide triangular, ya que consta de número más pequeño Caras a partir de las cuales se puede formar una figura en el espacio. En este artículo veremos fórmulas que se pueden usar para encontrar el volumen de una pirámide regular triangular.
Pirámide triangular
De acuerdo a definición general una pirámide es un polígono, todos cuyos vértices están conectados a un punto que no se encuentra en el plano de este polígono. Si este último es un triángulo, entonces toda la figura se llama pirámide triangular.
La pirámide en cuestión consta de una base (triángulo) y tres caras laterales (triángulos). El punto en el que se conectan las tres caras laterales se llama vértice de la figura. La perpendicular desde este vértice hasta la base es la altura de la pirámide. Si el punto de intersección de la perpendicular con la base coincide con el punto de intersección de las medianas del triángulo en la base, entonces hablamos de una pirámide regular. De lo contrario quedará inclinado.
Como se dijo, la base de una pirámide triangular puede ser un triángulo. tipo general. Sin embargo, si es equilátero y la pirámide en sí es recta, entonces se habla de una figura tridimensional regular.
Cualquier pirámide triangular tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. Si las longitudes de todas las aristas son iguales, entonces dicha figura se llama tetraedro.
tipo general
Antes de escribir una pirámide triangular regular, damos la expresión para esto. cantidad física para una pirámide de tipo general. Esta expresión se parece a:
Aquí S o es el área de la base, h es la altura de la figura. Esta igualdad será válida para cualquier tipo de base de polígono piramidal, así como para un cono. Si en la base hay un triángulo con una longitud de lado a y una altura h o bajada sobre él, entonces la fórmula para el volumen se escribirá de la siguiente manera:
Fórmulas para el volumen de una pirámide triangular regular.
Una pirámide triangular regular tiene triángulo equilátero en la base. Se sabe que la altura de este triángulo está relacionada con la longitud de su lado por la igualdad:
Sustituyendo esta expresión en la fórmula del volumen de una pirámide triangular escrita en el párrafo anterior, obtenemos:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
Volumen de una pirámide regular con base triangular es función de la longitud del lado de la base y la altura de la figura.
ya que cualquier polígono regular se puede inscribir en un círculo, cuyo radio determinará inequívocamente la longitud del lado del polígono, entonces esta fórmula se puede escribir a través del radio correspondiente r:
Esta fórmula se puede obtener fácilmente a partir de la anterior, si tenemos en cuenta que el radio r del círculo circunscrito que pasa por la longitud del lado a del triángulo está determinado por la expresión:
Problema de determinar el volumen de un tetraedro.
Le mostraremos cómo usar las fórmulas anteriores para resolver Tareas específicas geometría.
Se sabe que un tetraedro tiene una longitud de arista de 7 cm. Encuentre el volumen de una pirámide-tetraedro triangular regular.
Recuerde que un tetraedro es regular en el que todas las bases son iguales entre sí. Para utilizar la fórmula del volumen triangular, necesitas calcular dos cantidades:
- longitud del lado del triángulo;
- altura de la figura.
La primera cantidad se conoce a partir de las condiciones del problema:
Para determinar la altura, considere la cifra que se muestra en la figura.
Marcado triangulo abc es rectangular, donde el ángulo ABC mide 90 o. El lado AC es la hipotenusa y su longitud es a. Usando un razonamiento geométrico simple, se puede demostrar que el lado BC tiene la longitud:
Tenga en cuenta que la longitud BC es el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Ahora puedes sustituir h y a en fórmula correspondiente para volumen:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Así, hemos obtenido la fórmula para el volumen de un tetraedro. Se puede ver que el volumen depende únicamente de la longitud del borde. Si sustituimos el valor de las condiciones del problema en la expresión, obtenemos la respuesta:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Si comparamos este valor con el volumen de un cubo que tiene la misma arista, encontramos que el volumen del tetraedro es 8,5 veces menor. Esto indica que el tetraedro es una figura compacta, lo cual se realiza de alguna manera. sustancias naturales. Por ejemplo, la molécula de metano tiene forma tetraédrica y cada átomo de carbono del diamante está conectado a otros cuatro átomos para formar un tetraedro.
Problema de la pirámide homotética
Resolvamos una curiosa problema geométrico. Supongamos que hay una pirámide regular triangular con un cierto volumen V 1. ¿Cuántas veces se debe reducir el tamaño de esta figura para obtener una pirámide homotética con un volumen tres veces menor que el original?
Comencemos a resolver el problema escribiendo la fórmula de la pirámide regular original:
V 1 = √3/12*a 1 2 *h 1 .
Deje que el volumen de la figura requerido por las condiciones del problema se obtenga multiplicando sus parámetros por el coeficiente k. Tenemos:
V 2 = √3/12*k 2 *a 1 2 *k*h 1 = k 3 *V 1 .
Dado que la relación de los volúmenes de las figuras se conoce por la condición, obtenemos el valor del coeficiente k:
k = ∛(V 2 /V 1) = ∛(1/3) ≈ 0,693.
Nótese que obtendríamos un valor similar para el coeficiente k de la pirámide tipo arbitrario, y no sólo para triangular regular.
Una de las figuras tridimensionales más simples es la pirámide triangular, ya que consta del menor número de caras a partir de las cuales se puede formar una figura en el espacio. En este artículo veremos fórmulas que se pueden usar para encontrar el volumen de una pirámide regular triangular.
Pirámide triangular
Según la definición general, una pirámide es un polígono, todos cuyos vértices están conectados a un punto que no se encuentra en el plano de este polígono. Si este último es un triángulo, entonces toda la figura se llama pirámide triangular.
La pirámide en cuestión consta de una base (triángulo) y tres caras laterales (triángulos). El punto en el que se conectan las tres caras laterales se llama vértice de la figura. La perpendicular desde este vértice hasta la base es la altura de la pirámide. Si el punto de intersección de la perpendicular con la base coincide con el punto de intersección de las medianas del triángulo en la base, entonces hablamos de una pirámide regular. De lo contrario quedará inclinado.
Como ya hemos dicho, la base de una pirámide triangular puede ser un tipo general de triángulo. Sin embargo, si es equilátero y la pirámide en sí es recta, entonces se habla de una figura tridimensional regular.
Cualquier pirámide triangular tiene 4 caras, 6 aristas y 4 vértices. Si las longitudes de todas las aristas son iguales, entonces dicha figura se llama tetraedro.
Volumen de una pirámide triangular general.
Antes de escribir la fórmula del volumen de una pirámide triangular regular, damos una expresión para esta cantidad física para una pirámide de tipo general. Esta expresión se parece a:
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Aquí S o es el área de la base, h es la altura de la figura. Esta igualdad será válida para cualquier tipo de base de polígono piramidal, así como para un cono. Si en la base hay un triángulo con una longitud de lado a y una altura h o bajada sobre él, entonces la fórmula para el volumen se escribirá de la siguiente manera:
V = 1/6*a*h o *h.
Fórmulas para el volumen de una pirámide triangular regular.
Una pirámide triangular regular tiene un triángulo equilátero en la base. Se sabe que la altura de este triángulo está relacionada con la longitud de su lado por la igualdad:
Sustituyendo esta expresión en la fórmula del volumen de una pirámide triangular escrita en el párrafo anterior, obtenemos:
V = 1/6*a*h o *h = √3/12*a 2 *h.
El volumen de una pirámide regular de base triangular es función de la longitud del lado de la base y de la altura de la figura.
Dado que cualquier polígono regular se puede inscribir en un círculo, cuyo radio determinará inequívocamente la longitud del lado del polígono, entonces esta fórmula se puede escribir a través del radio correspondiente r:
V = √3/4*h*r 2 .
Esta fórmula se puede obtener fácilmente a partir de la anterior, si tenemos en cuenta que el radio r del círculo circunscrito que pasa por la longitud del lado a del triángulo está determinado por la expresión:
Problema de determinar el volumen de un tetraedro.
Mostraremos cómo utilizar las fórmulas anteriores al resolver problemas de geometría específicos.
Se sabe que un tetraedro tiene una longitud de arista de 7 cm. Encuentre el volumen de una pirámide-tetraedro triangular regular.
Recordemos que un tetraedro es una pirámide triangular regular en la que todas las bases son iguales entre sí. Para usar la fórmula para el volumen de una pirámide triangular regular, necesitas calcular dos cantidades:
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- longitud del lado del triángulo;
- altura de la figura.
La primera cantidad se conoce a partir de las condiciones del problema:
Para determinar la altura, considere la cifra que se muestra en la figura.
El triángulo marcado ABC es un triángulo rectángulo, donde el ángulo ABC mide 90°. El lado AC es la hipotenusa y su longitud es a. Usando un razonamiento geométrico simple, se puede demostrar que el lado BC tiene la longitud:
Tenga en cuenta que la longitud BC es el radio del círculo circunscrito alrededor del triángulo.
h = AB = √(AC 2 - BC 2) = √(a 2 - a 2 /3) = a*√(2/3).
Ahora puedes sustituir h y a en la fórmula correspondiente para el volumen:
V = √3/12*a 2 *a*√(2/3) = √2/12*a 3 .
Así, hemos obtenido la fórmula para el volumen de un tetraedro. Se puede ver que el volumen depende únicamente de la longitud del borde. Si sustituimos el valor de las condiciones del problema en la expresión, obtenemos la respuesta:
V = √2/12*7 3 ≈ 40,42 cm 3.
Si comparamos este valor con el volumen de un cubo que tiene la misma arista, encontramos que el volumen del tetraedro es 8,5 veces menor. Esto indica que el tetraedro es una figura compacta que se presenta en algunas sustancias naturales. Por ejemplo, la molécula de metano tiene forma tetraédrica y cada átomo de carbono del diamante está conectado a otros cuatro átomos para formar un tetraedro.
Problema de la pirámide homotética
Metas y objetivos de la lección:
- derivar fórmulas para el volumen de una pirámide usando la fórmula básica para el volumen de cuerpos y el volumen de una pirámide truncada.
- sistematizar Conocimientos teóricos sobre el tema de encontrar el volumen de una pirámide.
- Desarrollar la habilidad de encontrar el volumen de una pirámide cuyo vértice se proyecta hacia el centro de un círculo inscrito o circunscrito cerca de la base.
- desarrollar habilidades de solución tareas tipicas sobre la aplicación de fórmulas para el volumen de una pirámide y una pirámide truncada.
durante las clases
I.Explicaciónnuevo material.
La demostración del teorema se realiza mediante un proyector multimedia.
Demostremos el teorema: el volumen de la pirámide esun tercio, el producto del área de la base por la altura.
Prueba:
Primero demostramos el teorema de una pirámide triangular y luego de una arbitraria.
1. Considere una pirámide triangular OABC con volumen V, área base S y altura h. Dibujemos el eje oh (OM 2- altura), considere la sección A 1 B 1 C 1 pirámide con un plano perpendicular al eje Oh y, por tanto, paralelo al plano de la base. Denotemos por X punto de abscisa METRO 1
intersección de este plano con el eje x, y a través de S(X)- área de la sección transversal. vamos a expresar S(X) a través de S, h Y X. Darse cuenta de 
En efecto , por eso, .
Triángulos Rectángulos 
, también son similares (tienen un común esquina filosa con tapa ACERCA DE).
Apliquemos ahora fórmula básica calcular el volumen de los cuerpos en a = 0, segundo =h obtenemos
2. Demostremos ahora el teorema de una pirámide arbitraria con altura h y área base S. Una pirámide de este tipo se puede dividir en pirámides triangulares con una altura total h. Expresemos el volumen de cada pirámide triangular usando la fórmula que hemos probado y sumemos estos volúmenes. Horquillado multiplicador común, obtenemos entre paréntesis la suma de las bases de pirámides triangulares, es decir área S de las bases de la pirámide original.
Por tanto, el volumen de la pirámide original es. El teorema ha sido demostrado.
II. Resolver problemas utilizando dibujos ya hechos.
Tarea 1. (Fig.3)
Dado:A B CD- pirámide regular AB = 3; anuncio = . Encontrar: A) Sbásico; b) JSC; V) HACER GRAMO) V .
Tarea 2. (Fig.4)
Dado:A B CDF- pirámide regular .
Tarea 3. (Fig.5)
Dado:A B CDEKF- pirámide regular
Encontrar: A) Sbásico ; b) v.
Tarea4. (fig.. 6)
Encontrar: v.
La verificación de la tarea se realiza mediante un proyector multimedia con análisis detallado Solución paso-a-paso.
Tarea 1. (Fig.3)
a) (la fórmula se utiliza para calcular el área de un triángulo regular)
AB = = 3, tenemos 
b) 
(fórmula para el radio de un círculo circunscrito usando el lado de un triángulo equilátero) 
.
Tarea 2. (Fig.4)
1) Consideremos, pues,
– isósceles, OS = FO = 2.
Tarea 3. (Fig.5)
Tarea 4. (Fig.6)
III. Comprobar el resultado de la fórmula para calcular el volumen de una pirámide truncada (el mensaje del alumno en la pizarra se realiza mediante un proyector multimedia)
Respuesta del estudiante:
Consideramos el volumen de una pirámide truncada como la diferencia de volúmenes. pirámide completa y el que está separado de él por un avión, paralelo a la base(Figura 1).
Sustituyamos esta expresión por X en la primera fórmula,
Trabajo en forma de test, con verificación a través de un proyector multimedia.
1.B prisma inclinado costilla lateral es igual a 7 cm, la sección perpendicular es un triángulo rectángulo con catetos: 4 cm y 3 cm Encuentra el volumen del prisma.
a) 10 cm 3, b) 42 cm 3, c) 60 cm 3, d) 30 cm 3.
2. De la manera correcta pirámide hexagonal El lado de su base mide 2 cm. El volumen de la pirámide es 6 cm 3. ¿Cuál es la altura?
3. El volumen de la pirámide es de 56 cm 3, el área de la base es de 14 cm 2. ¿Cuál es la altura?
a) 14 cm, b) 12 cm, c) 16 cm.
4. En una pirámide triangular regular, la altura es de 5 cm y los lados de la base miden 3 cm. ¿Cuál es el volumen de la pirámide?
5. De la manera correcta pirámide cuadrangular la altura es de 9 cm. el lado de la base es de 4 cm.
a) 50 cm 3, b) 48 cm 3, c) 16 cm 3.
6. El volumen de una pirámide cuadrangular regular es 27 cm 3, altura 9 cm Encuentra el lado de la base.
a) 12 cm, b) 9 cm, c) 3 cm.
7. El volumen de una pirámide truncada es de 210 cm 3, el área de la base inferior es de 36 cm 2 y la superior es de 9 cm 2. Encuentra la altura de la pirámide.
a) 1 cm, b) 15 cm, c) 10 cm.
8. El prisma del mismo tamaño y la pirámide cuadrangular regular tienen alturas iguales. ¿Cuál es el lado de la base de la pirámide si el área de la base del prisma es S?
Tabla de respuestas.
| Tarea | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 |
| Respuesta | b | A | b | A | b | V | V | V |
Tarea: 1. Resolver los problemas No. 695v, No. 697, No. 690
2. Considere tareas basicas
Tarea 1.
Demuestre que si los bordes laterales de la pirámide son iguales (o iguales ángulos iguales con el plano de la base), luego la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo descrito alrededor de la base.
demostrar que si ángulos diédricos si la base de la pirámide es igual (o las alturas de las caras laterales dibujadas desde la cima de la pirámide son iguales), entonces la cima de la pirámide se proyecta hacia el centro del círculo inscrito en la base de la pirámide.
Aquí veremos ejemplos relacionados con el concepto de volumen. Para resolver este tipo de problemas, debes conocer la fórmula para calcular el volumen de una pirámide:
S
h – altura de la pirámide
La base puede ser cualquier polígono. Pero en la mayoría de los problemas Discurso del examen estatal unificado la condición, por regla general, se refiere a pirámides regulares. Déjame recordarte una de sus propiedades:
La cima de una pirámide regular se proyecta hacia el centro de su base.
Mire la proyección de las pirámides regulares triangulares, cuadrangulares y hexagonales (VISTA SUPERIOR):
Puedes hacerlo en el blog, donde se discutieron los problemas relacionados con encontrar el volumen de una pirámide.Consideremos las tareas:
27087. Calcula el volumen de una pirámide triangular regular cuyos lados de base son iguales a 1 y cuya altura es igual a la raíz de tres.
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Encontremos el área de la base de la pirámide, esta es triangulo regular. Usemos la fórmula: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes por el seno del ángulo entre ellos, lo que significa:
Respuesta: 0,25
27088. Calcula la altura de una pirámide triangular regular cuyos lados de la base son iguales a 2 y cuyo volumen es igual a la raíz de tres.
Conceptos como la altura de una pirámide y las características de su base están relacionados mediante la fórmula del volumen:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Conocemos el volumen en sí, podemos encontrar el área de la base, ya que conocemos los lados del triángulo, que es la base. Conociendo los valores indicados, podemos encontrar fácilmente la altura.
Para encontrar el área de la base, usamos la fórmula: el área de un triángulo es igual a la mitad del producto de los lados adyacentes y el seno del ángulo entre ellos, lo que significa:
Así, sustituyendo estos valores en la fórmula del volumen, podemos calcular la altura de la pirámide:
La altura es tres.
Respuesta: 3
27109. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 6 y el borde lateral es 10. Encuentra su volumen.
El volumen de la pirámide se calcula mediante la fórmula:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
Sabemos la altura. Necesitas encontrar el área de la base. Permítanme recordarles que la cima de una pirámide regular se proyecta hacia el centro de su base. La base de una pirámide cuadrangular regular es un cuadrado. Podemos encontrar su diagonal. Considere un triángulo rectángulo (resaltado en azul):
El segmento que conecta el centro del cuadrado con el punto B es el cateto, que igual a la mitad diagonales de un cuadrado. Podemos calcular este cateto usando el teorema de Pitágoras:
Esto significa BD = 16. Calculemos el área del cuadrado usando la fórmula para el área de un cuadrilátero:
Por eso:
Por tanto, el volumen de la pirámide es:
Respuesta: 256
27178. En una pirámide cuadrangular regular, la altura es 12 y el volumen es 200. Encuentra el borde lateral de esta pirámide.
Se conoce la altura de la pirámide y su volumen, lo que significa que podemos encontrar el área del cuadrado, que es la base. Conociendo el área de un cuadrado podemos encontrar su diagonal. A continuación, considerando un triángulo rectángulo usando el teorema de Pitágoras, calculamos la arista lateral:
Encontremos el área del cuadrado (base de la pirámide):
Calculemos la diagonal del cuadrado. Como su área es 50, el lado será igual a la raíz de cincuenta y según el teorema de Pitágoras:
El punto O divide la diagonal BD por la mitad, lo que significa cateto triángulo rectángulo OB = 5.
Así, podemos calcular a qué es igual el borde lateral de la pirámide:
Respuesta: 13
245353. Encuentra el volumen de la pirámide que se muestra en la figura. Su base es un polígono cuyos lados adyacentes son perpendiculares y uno de los bordes laterales es perpendicular al plano de la base e igual a 3.
Como se ha dicho muchas veces, el volumen de la pirámide se calcula mediante la fórmula:
S– área de la base de la pirámide
h– altura de la pirámide
El borde lateral perpendicular a la base es igual a tres, lo que significa que la altura de la pirámide es tres. La base de la pirámide es un polígono cuya área es igual a:
De este modo:
Respuesta: 27
27086. La base de la pirámide es un rectángulo con lados 3 y 4. Su volumen es 16. Calcula la altura de esta pirámide.
Eso es todo. ¡Buena suerte para ti!
Atentamente, Alexander Krutitskikh.
P.D: Le agradecería que me hablara del sitio en las redes sociales.
