El arte responde a tu pregunta. 152.1 Código Civil de la Federación de Rusia:
1. La divulgación y el uso posterior de la imagen de un ciudadano (incluidas sus fotografías, así como los vídeos u obras de arte en las que aparece representado) están permitidos únicamente con el consentimiento de ese ciudadano. Tras el fallecimiento de un ciudadano, su imagen sólo podrá ser utilizada con el consentimiento de los hijos y del cónyuge supérstite, y en su defecto, con el consentimiento de los padres.
Dicho consentimiento no es necesario en los casos en que:
1) el uso de la imagen se realiza en interés estatal, público u otros intereses públicos;
2) la imagen de un ciudadano fue obtenida durante el rodaje, que se realiza en lugares abiertos al público, o en eventos publicos(reuniones, convenciones, conferencias, conciertos, espectáculos, competiciones deportivas y eventos similares), excepto cuando dicha imagen sea el objeto principal de uso;
3) el ciudadano posó a cambio de una tarifa.
2. Fabricados con el fin de ponerlos en circulación civil, así como copias de soportes materiales en circulación que contengan la imagen de un ciudadano, recibidos o utilizados en violación del párrafo 1. de este artículo, sujeto a decision de la Corte retirada de la circulación y destrucción sin compensación alguna.
3. Si una imagen de un ciudadano, obtenida o utilizada en violación del párrafo 1 de este artículo, se distribuye en Internet, el ciudadano tiene derecho a exigir la eliminación de esta imagen, así como la supresión o prohibición de su posterior distribución.
La situación aquí requiere algunos alfabetización jurídica Ni siquiera de ti, sino del juez. Como puede ver, hay párrafos primero y cuarto que lo protegen de varios tipos se compromete si no quieres. Al mismo tiempo, hay un segundo párrafo que tiene una interpretación muy amplia, por lo que resulta que en realidad te pueden grabar en el 90% de los lugares. ¡PERO! Debe comprender que el legislador introdujo este párrafo de excepción específicamente para lugares especificados Se pudo realizar videovigilancia para registrar posibles infracciones.
Si se trata específicamente de filmar a personas sin publicar, entonces, de acuerdo con la ley, aquí se aplica el párrafo 2: “la imagen de un ciudadano se obtuvo durante el rodaje, que se lleva a cabo en lugares abiertos al público, o en eventos públicos, excepto para los casos en que dicha imagen sea el principal objeto de uso." Es decir, la parte donde dice, "excepto en los casos en que dicha imagen sea el principal objeto de uso", es decir, si estás filmando en un lugar público, el lugar público en sí y una persona entra en el encuadre, entonces no puede Tengo algún reclamo en tu contra, pero si estás filmando principalmente a una persona en un lugar público, entonces esto ya es ilegal. Un experto podrá determinar qué estás filmando exactamente.
>el uso de la imagen se realiza en interés estatal, público u otros intereses públicos;
El punto no está del todo claro. Aquí está mi petición específica: una persona fuma en la entrada y vive en esta entrada. Esto está prohibido por el artículo administrativo, por lo que está violando. Sólo puedo demostrar esta infracción con material fotográfico: es lógico que cuando el policía local al que llamé llegue a la entrada, el fumador habrá terminado de fumar y se habrá ido a casa. ¿Puedo tomarle una foto mientras fuma? ¿Es legal o ilegal hacer esto? A juzgar por estos puntos, no. ¿Entonces, qué?
TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ÁLGEBRA El teorema de que todo polinomio de grado n (n>0): f(z) = a0zn + a1zn-1 + … + an, donde a0 / 0, sobre el cuerpo de números complejos tiene al menos una raíz z1 , entonces f(z1)=0. De la O.T.A. y del teorema de Bezout se deduce que el polinomio f(z) tiene exactamente n raíces en el campo de los números complejos (teniendo en cuenta sus multiplicidades). De hecho, según el teorema de Bezout, f(z) es divisible por z – z1 (sin resto), es decir f(z) = f1(z)(z – z1), y de ahí el polinomio f1(z) de (n – 1) grado según O.T.A. también tiene una raíz z2, etc. En última instancia llegaremos a la conclusión de que f(z) tiene exactamente n raíces: f(z) = a0(z – z1)(z – z2) (z – zn). O.T.A. Llamado así porque el contenido principal del álgebra en los siglos XVII-XVIII. se redujo a resolver ecuaciones.
O.T.A. fue probado por primera vez en el siglo XVII. por el matemático francés Girard, y en 1799 el matemático alemán Gauss presentó una demostración rigurosa. TEOREMA DE BEZOUT Teorema sobre el resto de la división de un polinomio arbitrario por un binomio lineal. Se formula de la siguiente manera: el resto de la división de un polinomio arbitrario f(x) por el binomio x – a es igual a f(a). ). TUBERCULOSIS. lleva el nombre de la persona que lo formuló y demostró por primera vez matemático francés Siglo XVIII Bezu. De la tuberculosis. se siguen las siguientes consecuencias: 1) si el polinomio f(x) es divisible (sin resto) por x – a, entonces el número a es la raíz de f(x); 2) si el número a es la raíz del polinomio f(x), entonces f(x) es divisible (sin resto) por el binomio x – a; 3) si un polinomio f(x) tiene al menos una raíz, entonces este polinomio tiene exactamente tantas raíces como el grado de este polinomio (se tiene en cuenta la multiplicidad de las raíces). TEOREMA DE CHEVA Si las rectas que conectan los vértices triangulo abc estando el punto O en el plano del triángulo, los lados opuestos (o sus extensiones) se cruzan, respectivamente, en los puntos A' B' C', entonces la igualdad es válida: (*) En este caso, la relación de los segmentos Se considera positivo si estos segmentos tienen la misma dirección y negativo, en caso contrario.
T.Ch. también se puede escribir de esta forma: (ABC’)*(BCA’)*(CAB’) = 1, donde (ABC’) es un primo proporción de tres puntos A, B y C'. El teorema inverso también es cierto: si los puntos C', A', B' están situados respectivamente en los lados AB, BC y CA del triángulo o sus extensiones de modo que se cumple la igualdad (*), entonces las rectas AA', BB' y CC' se cruzan en el mismo punto o paralelo (se cruzan en un punto inadecuado). Las líneas AA', BB' y CC', que se cruzan en un punto y pasan por los vértices del triángulo, se llaman líneas Chevy o Chevyans.
T.Ch. es de naturaleza proyectiva. T.Ch. es métricamente dual al teorema de Menelao.
T.Ch. lleva el nombre del geómetra italiano Giovanni Ceva, quien lo demostró (1678). TEOREMA DEL COSINO 1. T.K. trigonometría plana: la afirmación de que en cualquier triángulo el cuadrado de cualquiera de sus lados igual a la suma cuadrados de sus otros dos lados sin duplicar el producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos: c2 = a2 + b2 – 2abcosC, donde a, b, c son las longitudes de los lados del triángulo, y C es la ángulo entre los lados a y b. TK Se utiliza a menudo para resolver problemas de geometría elemental y trigonometría 2. T.K. para el lado de un triángulo esférico: el coseno de un lado de un triángulo esférico es igual al producto de los cosenos de sus otros dos lados más el producto de los senos de los mismos lados por el coseno del ángulo entre ellos: cosa = cosb*cosc + sinb*sinc*cosA 3. T.K. para el ángulo de un triángulo esférico: coseno del ángulo de un triángulo esférico igual al producto cosenos de los otros dos ángulos, tomados de signo opuesto, más el producto de los senos de los otros dos ángulos por el coseno del lado opuesto al primer ángulo: cosA = -cosBcosC + sinBsinCcosa. TEOREMA DE EULER 1. T.E. en la teoría de las comparaciones establece que si (a, m)=1, entonces donde f(m) es la función de Euler (el número de números enteros numeros positivos coprimo a m y no superior a m). 2. T.E. sobre los poliedros afirma que para cualquier poliedro de género cero es válida la fórmula: B + G – P = 2, donde B es el número de vértices, G es el número de caras, P es el número de aristas del poliedro.
Sin embargo, fue Descartes quien notó por primera vez tal dependencia.
Por lo tanto T.E. sobre poliedros, históricamente es más correcto llamar al teorema de Descartes-Euler.
El número B + G – P se llama característica de Euler del poliedro.
T.E. También se aplica a gráficos cerrados. Teorema de Tales Uno de los teoremas de la geometría elemental sobre segmentos proporcionales T.F. establece que si en uno de los lados del ángulo desde su vértice se colocan sucesivamente segmentos iguales y a través de los extremos de estos segmentos se trazan líneas paralelas que cortan el segundo lado del ángulo, entonces también se colocarán segmentos iguales en el segundo lado del ángulo.
Un caso especial de T.F. expresa algunas propiedades línea media triángulo. El último teorema de Fermat Afirmación de P. Fermat de que la ecuación xn + yn = zn (donde n es un número entero mayor que dos) no tiene soluciones en números enteros positivos A pesar de la afirmación de P. Fermat de que logró encontrar una prueba sorprendente B .F.T que. no cita por falta de espacio (esta observación fue escrita por P. Fermat en los márgenes del libro de Diofanto), hasta hace poco (mediados de los años 90) W.T.F. V vista general no ha sido probado. PEQUEÑO TEOREMA DE FERMA Un caso especial del teorema de Euler cuando el módulo m=p es un número primo.
MTF formulado de la siguiente manera: si p es un número primo, entonces ap=a(mod p). En el caso de que a no sea divisible por p, de M.T.F. sigue: ap-1=1(mod p). MTF Fue descubierto por el científico francés Pierre Fermat. DESIGUALDAD DE HÖLDER Para cantidades finales tiene la forma: , o en forma integral: , donde p > 1 y. N.G. A menudo se utiliza en análisis matemático.
N.G. es una generalización de la desigualdad de Cauchy en forma algebraica y las desigualdades de Bunyakovsky en forma integral, en las que N.G. se invierte en p = 2. FÓRMULA CARDANO Fórmula que expresa raíces ecuación cúbica: x3+px+q=0 (*) a través de sus coeficientes. Cada ecuación cúbica se reduce a la forma (*). se escribe así: . Al elegir un valor arbitrario del primer radical cúbico, se debe elegir el valor del segundo radical (de tres posibles) que, multiplicado por el valor seleccionado del primer radical, da (-p/3). De esta forma obtenemos las tres raíces de la ecuación (*). Aún no está claro quién es el propietario del F.C.: G. Cardano, N. Tartaglie o S. Ferro. F.K. data del siglo XVI. DESIGUALDAD DE CAUCHY Desigualdad que se cumple para sumas finitas; muy importante y más comúnmente utilizado Varias áreas matemáticas y física matemática desigualdad.
Fue establecido por primera vez por Cauchy en 1821. El análogo integral de N.K.: fue establecido por el matemático ruso V.Ya. Bunyakovsky. TEOREMA DE MENELUS Si una recta corta los lados del triángulo ABC o sus extensiones en los puntos C', A' y B', entonces es válida la siguiente relación: (*) La razón de los segmentos se toma positiva si la recta corta al lado del triángulo, y negativo si la línea corta la extensión del lado.
justo y expresión inversa: si se cumple la igualdad (*), donde A, B, C son los vértices del triángulo, y A’, B’, C’ se encuentran en la misma recta.
T.M. se puede formular como un criterio para la ubicación de tres puntos A', B' y C' en una línea recta: para que 3 puntos A', B' y C' se encuentren en la misma línea recta, es necesario y suficiente que se cumpla la relación (*), donde A, B, C son los vértices del triángulo, y A', B', C' pertenecen a las rectas BC, AC y AB, respectivamente. T.M. fue probado por el antiguo científico griego Menelao (siglo I) para un triángulo esférico y, aparentemente, era conocido por Euclides (siglo III a. C.). T.M. es un caso especial del teorema de Carnot más general. DESIGUALDAD DE MINKOWSKI Desigualdad para potencias p-ésimas números, que tienen la forma: , donde el entero p>1, y ak y bk son números no negativos.
NUEVO MÉJICO. es una generalización de la conocida “desigualdad del triángulo”, que establece que la longitud de un lado de un triángulo no es mayor que la suma de las longitudes de sus otros dos lados; Para espacio n-dimensional la distancia entre los puntos x=(x1, x2,…, xn) e y=(y1, y2,…, yn) está determinada por el número N.M. fue establecida por el matemático alemán G. Minkowski en 1896. FÓRMULAS DE MOHLWEIDE Fórmulas de trigonometría plana que expresan la siguiente relación entre los lados (sus longitudes) y los ángulos de un triángulo: ; , donde a, b, c son los lados y A, B, C son los ángulos del triángulo.
FM Lleva el nombre del matemático alemán K. Molweide, quien las utilizó, aunque estas fórmulas también eran conocidas por otros matemáticos. BINOMIO DE NEWTON Nombre de una fórmula que expresa una potencia entera no negativa de un binomio a + b como suma de las potencias de. sus términos.
B.N. tiene la forma: , donde Cnk son coeficientes binomiales, igual al numero combinaciones de n elementos por k, es decir o. Si escribimos los coeficientes binomiales para diferentes n=0, 1, 2,… en líneas sucesivas, llegaremos al triángulo de Pascal. En el caso de un número real arbitrario (y no sólo un número entero no negativo), B.N. se generaliza en una serie binomial, y en el caso de aumentar el número de términos de dos a un número mayor, en un teorema polinómico Generalización de la fórmula binomial de Newton para el caso de elevar la suma de k términos (k>). 2) a una potencia entera no negativa n: , donde la suma en el lado derecho se extendió a todos los conjuntos posibles de números enteros números no negativos a1, a2,…, ak, dando un total de n. Los coeficientes A(n)a1, a2,…,ak se llaman polinomiales y se expresan de la siguiente manera: Cuando k=2, los coeficientes polinomiales se convierten en coeficientes binomiales.
TEOREMA DE POLKE Formulado de la siguiente manera: tres segmentos de longitud arbitraria que se encuentran en el mismo plano y que emanan de punto común bajo ángulos arbitrarios entre sí, pueden confundirse con proyección paralela marco ortogonal espacial i, j, k (|i| = |j| =|k|). El teorema fue formulado por el geómetra alemán K. Polke (1860) sin demostración, y luego fue generalizado por el matemático alemán G. Schwarz, quien dio su demostración elemental.
El teorema de Polke-Schwartz se puede formular de la siguiente manera: cualquier cuadrilátero no degenerado con sus diagonales puede considerarse como una proyección paralela de un tetraedro similar a uno cualquiera.
TP tiene un gran significado práctico (cualquier cuadrilátero con sus diagonales puede tomarse, por ejemplo, como una imagen tetraedro regular) y es uno de los principales teoremas de la axonometría TEOREMA DE PTOLEMO Teorema de geometría elemental que establece la relación entre los lados y las diagonales de un cuadrilátero inscrito en un círculo: en cualquier. cuadrilátero convexo inscrita en una circunferencia, el producto de sus diagonales es igual a la suma de los productos de sus lados opuestos, es decir. la igualdad se cumple: AC*BD = AB*CD + BC*AD Etc. lleva el nombre del antiguo científico griego Claudio Ptolomeo, quien demostró este teorema.
TP Se utiliza para resolver problemas de geometría elemental, al demostrar un caso especial del teorema de la suma de senos. FÓRMULA DE SIMPSON Fórmula para calcular los volúmenes de cuerpos con dos. bases paralelas: , donde Qн es el área de la base inferior, Qв es el área de la base superior, Qс es el área de la sección media del cuerpo. Se entiende aquí por sección media de un cuerpo la figura que se obtiene de la intersección del cuerpo con un plano paralelo a los planos de las bases y situado en igual distancia de estos aviones.
h denota la altura del cuerpo. De F.S. como caso especial, Hay muchos fórmulas famosas volúmenes de cuerpos estudiados en la escuela (pirámide truncada, cilindro, esfera, etc.). TEOREMA DE LOS SENOS Teorema de trigonometría plana que establece la relación entre los lados a, b, c triangulo arbitrario y los senos de los ángulos opuestos a estos lados: , donde R es el radio del círculo circunscrito al triángulo.
Para trigonometría esférica T.S. expresada analíticamente de la siguiente manera: . EL TEOREMA DE STEWART es el siguiente: si A, B, C son tres vértices de un triángulo, y D es cualquier punto del lado BC, entonces se cumple la siguiente relación: AD2*BC = AB2*CD + AC2*BD – BC*BD* CD, T .CON. lleva el nombre del matemático inglés M. Stewart, quien lo demostró y lo publicó en la obra “Some teoremas generales"(1746, Edimburgo). El teorema se lo contó a Stewart su maestro R. Simson, quien no publicó este teorema hasta 1749. T.S. Se utiliza para encontrar medianas y bisectrices de triángulos.
TEOREMA DE LA TANGENTE (FÓRMULA REGIOMONTANA) Fórmula de trigonometría plana que establece la relación entre las longitudes de dos lados de un triángulo y las tangentes de la mitad suma y la mitad diferencia de los ángulos opuestos a ellos T.T. tiene la forma: , donde a, b son los lados del triángulo, A, B son los ángulos opuestos a estos lados, respectivamente. TT También se llama fórmula de Regiomontanus en honor al astrónomo y matemático alemán Johannes Muller (en latín Regiomontanus), quien estableció esta fórmula. J. Müller fue llamado "Königsberger": en alemán König es rey, Berg es montaña y en latín "rey" y "montaña" en caso genitivo–regis y montis.
De ahí que “Regiomontan” sea el apellido latinizado de I. Muller. " Diccionario términos matemáticos", OV. Manturov FÓRMULAS Y TEOREMAS DE VADIMSOFT-BEST. NAROD.RU.
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Ya hemos visto que si secuencia numérica tiene un límite, entonces los elementos de esta secuencia se aproximan a él lo más posible. Incluso a una distancia muy pequeña, siempre podrás encontrar dos elementos cuya distancia será aún menor. Se llama secuencia fundamental, o secuencia de Cauchy. ¿Podemos decir que esta secuencia tiene un límite? Si se forma en
Si tomamos un cuadrado de lado igual a uno, entonces podemos calcular fácilmente su diagonal usando el teorema de Pitágoras: $d^2=1^2+1^2=2$, es decir, el valor de la diagonal será igual a $\sqrt 2$. Ahora tenemos dos números, 1 y $\sqrt 2$, representados por dos segmentos de línea. Sin embargo, no podremos establecer una relación entre ellos, como lo hacíamos antes. Imposible
Determinar dónde se encuentra el punto P (dentro o fuera de una determinada figura) es a veces muy sencillo, como por ejemplo en la figura que se muestra en la figura: Sin embargo, para figuras más complejas, como la que se muestra a continuación, esto es más difícil de hacer. . Para ello tendrás que trazar una línea con un lápiz. Sin embargo, al buscar respuestas a preguntas similares podemos usar uno simple,
Generalmente se formula de la siguiente manera: cada número natural distinto de 1 se puede representar de forma única como un producto números primos o así: cada número natural se representa de forma única como producto de potencias de diferentes números primos; la última expansión suele llamarse canónica, aunque no siempre, exigiendo que así sea; factores primos entró en esta expansión en orden ascendente.
Este teorema es extremadamente útil para resolver problemas que involucran restos de potencias y, aunque es un teorema completamente serio de la teoría de números y no está incluido en curso escolar, su prueba se puede realizar en condiciones normales. nivel escolar. Se puede llevar a cabo diferentes caminos, y uno de los más pruebas simples se basa en la fórmula binomial, o binomio de Newton, que
A menudo en literatura metodológica Se puede llegar a entender la evidencia indirecta como evidencia por contradicción. De hecho, ésta es una interpretación muy limitada de este concepto. El método de prueba por contradicción es uno de los métodos de prueba indirectos más famosos, pero está lejos de ser el único. Otro métodos indirectos Aunque las pruebas se utilizan a menudo en un nivel intuitivo, esta aplicación rara vez se realiza y
A menudo, los profesores, utilizando el producto escalar de vectores, demuestran casi instantáneamente el teorema de Pitágoras y el teorema del coseno. Esto es ciertamente tentador. Sin embargo, se requiere comentario. En la presentación tradicional, distributividad. producto escalar vectores se demuestra más tarde que el teorema de Pitágoras, ya que este último se utiliza en esta prueba, aunque sea de forma indirecta. Son posibles variantes de esta prueba. En los libros de texto escolares de geometría, como
En junio de este año, Dmitry Germanovich Von Der Flaass (1962-2010), un notable matemático y profesor, una persona brillante y encantadora, murió prematuramente. Nuestros lectores se han topado con este nombre más de una vez: la revista Kvant publicaba a menudo sus problemas. Dmitry Germanovich trabajó con éxito en gran ciencia, pero esto era sólo una parte de su actividad. El segundo fue olimpíadas de matemáticas escolares: trabajó en el jurado de All-Union y Olimpíadas de toda Rusia, y en últimos años- e internacional. Dio conferencias en varios campamentos y escuelas de matemáticas y fue uno de los entrenadores de nuestro equipo en la Olimpiada Internacional de Matemáticas.
Llamamos su atención sobre una grabación (con ligeras abreviaturas y preservando el estilo del autor) de una conferencia pronunciada por D. Von Der Flaass en la All-Russian centro infantil"Aguilucho" en 2009.
Hubo un sofista tan antiguo como Gorgias. Es famoso por formular tres teoremas. El primer teorema dice así: nada en el mundo existe. El segundo teorema: y si algo existe, es incognoscible para los humanos. El tercer teorema: si algo es, no obstante, cognoscible, entonces es incomunicable al prójimo.
En otras palabras, no hay nada, y si hay algo, entonces no sabremos nada al respecto, e incluso si descubrimos algo, no podremos decírselo a nadie.
Y estos cuatro teoremas son, estrictamente hablando, los principales problemas matemáticas modernas.
El primer teorema de Gorgias
Comencemos con el primero: nada en el mundo existe o, traducidas al lenguaje de las matemáticas, las matemáticas hacen algo incomprensible. En cierto sentido, esto es cierto. Después de todo objetos matemáticos no existe en el mundo. Lo más simple, donde comienza todo y lo que los matemáticos usan todo el tiempo, es números enteros. Todos sabemos qué son los números naturales: 1, 2, 3, 4, etc. Y el hecho de que todos entendamos el significado de las palabras "y así sucesivamente" es un gran misterio. Porque “y así sucesivamente” significa que hay “infinitos” números. No hay lugar en nuestro mundo para que haya una cantidad infinita de algo. Pero todos estamos seguros de que cuando pensamos en números naturales, todos pensamos en lo mismo. Si mi 7 va seguido de 8, entonces a tu 7 le seguirá 8. Si mi 19 es un número primo, entonces tu 19 será un número primo. ¿Es por eso? Parece que este objeto no existe en el mundo, pero lo sabemos y todos sabemos lo mismo. Esto, por supuesto, no es un acertijo matemático, es un acertijo filosófico, y dejemos que los filósofos lo discutan. Nos basta con que, afortunadamente, todavía tengamos una idea de los objetos matemáticos y lo mismo le pasa a todo el que empieza a pensar en ellos. Y por tanto las matemáticas son posibles. pero grande problema filosófico restos.
Si, como es habitual entre los matemáticos, piensas en esto seriamente, es decir, intentas pensarlo de alguna manera estrictamente, entonces surgen problemas, de los que hablaré ahora. Surgieron en la memoria de la humanidad recientemente, literalmente en los últimos cien años.
Hay mucho más en matemáticas además de los números naturales. Existe nuestro plano euclidiano, en el que dibujamos todo tipo de triángulos, ángulos y demostramos teoremas sobre ellos. Hay números reales, hay números complejos, hay funciones, hay algo aún más terrible... En algún momento de principios del siglo XIX y XX, se trabajó mucho Gran trabajo(aunque comenzó, por supuesto, un poco antes), la gente se dio cuenta de que toda la variedad de objetos matemáticos puede, en principio, reducirse a un solo concepto: el concepto de conjunto. Por supuesto, si tenemos una idea intuitiva de qué es un conjunto y qué es "y así sucesivamente", básicamente podemos construir todas las matemáticas.
¿Qué es un conjunto? Bueno, es sólo mucho de algo. La pregunta es: ¿qué se puede hacer con los decorados? Si tenemos algún tipo de conjunto, ¿qué significa que lo tengamos? Esto significa que sobre cualquier elemento de nuestro mundo, el mundo de los objetos matemáticos, podemos preguntar si está en este conjunto o no, y obtener una respuesta. La respuesta es clara, completamente independiente de nuestra voluntad. Esto es lo primero y básico que puedes hacer con los conjuntos: averiguar si un elemento pertenece al conjunto o no.
Por supuesto, todavía necesitamos construir de alguna manera estos conjuntos. De modo que a partir de ellos, al final, se construirá toda la riqueza de los objetos matemáticos. ¿Cómo se pueden construir? Podemos, digamos, construir un conjunto vacío: Ø. El primero, el más sencillo. ¿Qué sabemos de él? Que no importa qué elemento preguntemos si pertenece a este conjunto o no, la respuesta siempre será: no, no pertenece. Y con esto el conjunto vacío ya está definido de forma única. Todas las preguntas al respecto reciben una respuesta instantánea. ¡Hurra!
Ahora ya tenemos este conjunto vacío. Y podemos construir un conjunto que no contenga nada más que el conjunto vacío: (Ø). De nuevo, ¿qué significa que tengamos este conjunto? Esto significa que podemos preguntar sobre cualquier elemento si pertenece a este conjunto o no. Y si este elemento es el conjunto vacío, entonces la respuesta será “sí”. Y si este elemento es cualquier otro, entonces la respuesta será “no”. Entonces, este conjunto también se da.
Aquí es donde comienza todo. Hay algunas operaciones más intuitivas que puede utilizar. Si tenemos dos conjuntos, entonces podemos combinarlos. Podemos decir que ahora habrá un conjunto en el que habrá elementos de uno u otro conjunto. Una vez más, la respuesta a la pregunta de si un elemento pertenece o no al conjunto resultante es inequívoca. Esto significa que podemos construir una unión. Etcétera.
En algún momento tenemos que declarar por separado que, después de todo, tenemos algún tipo de conjunto en el que hay infinitos elementos. Como sabemos que existen números naturales, creemos que demonio conjunto finito existe. Anunciamos que también está disponible para nosotros el conjunto de los números naturales. Tan pronto como aparece un conjunto infinito, puedes meterte en todo tipo de problemas y definir lo que quieras. Se pueden definir números enteros. Un número entero es cero o un número natural, con o sin signo menos. Todo esto (tal vez no tan obvio como digo) se puede hacer en el lenguaje de la teoría de conjuntos.
Se pueden definir números racionales. ¿Qué es un número racional? Este es un par de dos números: un numerador y un denominador (distinto de cero). Solo necesitas determinar cómo sumarlos, cómo multiplicarlos entre sí. ¿Y cuáles son las condiciones cuando tales pares se consideran el mismo número racional?
¿Qué es un número real? Aquí paso interesante. Puedes decir, por ejemplo, que es infinito. decimal. Sería una muy buena definición. ¿Qué significa esto: una fracción decimal infinita? Esto significa que tenemos una especie de secuencia infinita de números, es decir, simplemente para cada número natural sabemos qué número se encuentra en ese lugar de nuestro número real. Todas estas secuencias forman números reales. Nuevamente, podemos determinar cómo sumarlos, cómo multiplicarlos, etc.
Por cierto, no es así como los matemáticos prefieren definir los números reales, sino cómo. Tomemos todos los números racionales; ya los tenemos. Ahora declaremos que un número real es el conjunto de aquellos numeros racionales, que son estrictamente menores que él. Esto es muy definición complicada. De hecho, es muy similar al anterior. Por ejemplo, si tenemos un número real 3.1415926... (hay una cadena interminable de números que sigue, que no me sé de memoria), entonces ¿cuáles serán, por ejemplo, los números racionales menores que él? Cortemos la fracción en el segundo decimal. Obtenemos el número 3,14, es menor que el nuestro. Cortamos la fracción en el cuarto decimal: obtenemos 3,1415, otro número racional más pequeño que el nuestro. Está claro que si conocemos todos los números racionales menores que nuestro número, entonces este número está definido de forma única. Puedes imaginar claramente una imagen como la de la Figura 1. La línea recta son todos los números reales, entre ellos nuestra incógnita está en algún lugar, y a su izquierda hay muchos, muchos números racionales que son más pequeños que ella. Todos los demás racionales serán, por tanto, mayores que él. Es intuitivamente claro que existe una única brecha entre estos dos conjuntos de números racionales, y a esta brecha la llamaremos número real. Este es un ejemplo de cómo, a partir del concepto de conjunto, toda la matemática se va desenvolviendo poco a poco.
¿Por qué es esto necesario? Está claro que en la práctica, por supuesto, nadie utiliza esto. Cuando un matemático estudia, digamos, funciones de una variable compleja, no recuerda cada vez que Número complejo es un par de reales, que un real es un conjunto infinito de racionales, que un racional es un par de números enteros, etc. Ya funciona con objetos completamente formados. Pero, en principio, todo se puede describir hasta lo más básico. Será muy largo e ilegible, pero en principio es posible.
¿Qué hacen los matemáticos a continuación? ellos prueban diferentes propiedades estos objetos. Para probar algo, es necesario saber algo, algunas propiedades iniciales de todos estos objetos. Y lo que es más, los matemáticos deberían estar completamente de acuerdo sobre con qué propiedades iniciales empezar. De modo que cualquier resultado obtenido por un matemático sea aceptado por todos los demás.
Puedes escribir varias de estas propiedades iniciales (se llaman axiomas) y luego usarlas para demostrar todas las demás propiedades de objetos matemáticos cada vez más complejos. Pero ahora con los números naturales empiezan las dificultades. Hay axiomas e intuitivamente sentimos que son verdaderos, pero resulta que hay afirmaciones sobre los números naturales que no pueden derivarse de estos axiomas, pero que, sin embargo, son verdaderas. Digamos que los números naturales satisfacen una determinada propiedad, pero no se puede obtener a partir de aquellos axiomas que se aceptan como básicos.
Inmediatamente surge la pregunta: ¿cómo sabemos entonces que esta propiedad es cierta para los números naturales? ¿Qué pasa si no podemos aceptarlo y demostrarlo así? Pregunta dificil. Resulta algo como esto. Si nos conformamos únicamente con los axiomas de los números naturales, entonces, en principio, es imposible siquiera hablar de muchas cosas. Por ejemplo, es imposible hablar de subconjuntos infinitos y arbitrarios de números naturales. Sin embargo, la gente tiene una idea de qué es y, en principio, comprende intuitivamente qué propiedades definen estos subconjuntos. Por lo tanto, acerca de algunas propiedades de los números naturales que no se pueden deducir de los axiomas, la gente podría saber que son verdaderas. Y así, el matemático Kurt Gödel, aparentemente, fue el primero en mostrar explícitamente una cierta propiedad de los números naturales que es intuitivamente verdadera (es decir, los matemáticos no se oponen al hecho de que sea cierta), pero al mismo tiempo es no es deducible de aquellos axiomas de números naturales que entonces fueron aceptados.
Parcialmente y de hecho mucho en gran medida(suficiente para la mayoría de las áreas de las matemáticas), este problema se resolvió reduciendo cuidadosamente todo a conjuntos y escribiendo un cierto conjunto de axiomas de la teoría de conjuntos que son intuitivamente obvios y la exactitud de estos axiomas por parte de los matemáticos, en general, no está en duda. .
Digamos el axioma de la unificación. Si tenemos un conjunto de algunos conjuntos, entonces podemos decir: formemos un conjunto que contenga todos los elementos de estos conjuntos de este conjunto. No hay ninguna objeción razonable a la existencia de tal conjunto. También hay axiomas más astutos, con los que hay un poco más de problemas. Ahora veremos tres axiomas complicados de la teoría de conjuntos, sobre los cuales, en principio, pueden surgir dudas.
Por ejemplo, existe tal axioma. Digamos que tenemos muchos elementos y que para cada uno de ellos podemos determinar de forma única el valor de una determinada función en este elemento. El axioma dice que podemos aplicar esta función a cada elemento de este conjunto, y lo que salga volverá a formar un conjunto (Fig. 2). El ejemplo más simple: una función que convierte x en x 2, sabemos cómo calcularla. Digamos que si tenemos un conjunto de números naturales, entonces podemos elevar al cuadrado cada uno de ellos. El resultado será nuevamente un conjunto de números naturales. Un axioma tan intuitivamente obvio, ¿no te parece? Pero el problema es que estas funciones se pueden definir muy de una manera compleja, los conjuntos pueden ser muy grandes. También existe una situación así: sabemos cómo demostrar que nuestra función está definida de forma única, pero podemos contar significado específico esta función para cada elemento del conjunto es extremadamente difícil o incluso infinitamente difícil. Aunque sabemos que definitivamente hay alguna respuesta, y es inequívoca. Incluso en tal situaciones difíciles Se considera que este axioma todavía es aplicable y es en esta forma tan general que sirve como una de las fuentes de problemas en la teoría de conjuntos.
El segundo axioma, que por un lado es obvio, pero por otro plantea problemas, es el axioma de tomar todos los subconjuntos de un conjunto dado. Ella dice que si tenemos algún tipo de conjunto, entonces también tenemos un conjunto que consta de todos los subconjuntos de uno dado. Para conjuntos finitos esto es, por supuesto, obvio. Si tenemos un conjunto finito de norte elementos, entonces tendrá solo 2 subconjuntos norte. En principio, incluso podemos escribirlos todos si no somos muy vagos. Tampoco tenemos problemas con el conjunto infinito más simple. Mira: tomemos un conjunto de números naturales 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 y así sucesivamente. ¿Por qué nos resulta obvio que existe la familia de todos los subconjuntos del conjunto de números naturales? Porque sabemos cuáles son estos elementos. ¿Cómo puedes imaginar un subconjunto de números naturales? Pongamos unos para los elementos que tomamos y ceros para los que no tomamos, y así sucesivamente. Puedes imaginar que se trata de una fracción binaria infinita (Fig. 3). Hasta pequeños ajustes (como el hecho de que algunos números pueden representarse mediante dos fracciones binarias infinitas diferentes), resulta que los números reales son aproximadamente iguales a los subconjuntos de los números naturales. Y como intuitivamente sabemos que con numeros reales todo está en orden, existen, se pueden representar visualmente como una línea continua, entonces en este lugar todo está en orden con nuestro axioma sobre el conjunto de todos los subconjuntos de un conjunto dado.
Si lo piensas más a fondo, da un poco de miedo. Sin embargo, los matemáticos creen que este axioma es siempre cierto: si tenemos un conjunto, entonces hay un conjunto de todos sus subconjuntos. De lo contrario sería muy difícil realizar algunas construcciones.
Y un axioma más con el que más problemas hubo, porque al principio no creían en él. Tal vez incluso hayas oído su nombre: el axioma de elección. Se puede formular de muchas maneras. diferentes caminos, algunos muy complejos, otros muy simples. Te diré lo mejor ahora manera visual Formule un axioma de elección en el que sea verdaderamente obvio que es verdadero. Tengamos un conjunto de algunos conjuntos. De hecho, pueden cruzarse entre sí, pero esto no importa; en aras de la simplicidad, no permitamos que se crucen todavía. Entonces podemos construir el producto de todos estos conjuntos. ¿Qué quiere decir esto? Los elementos de este trabajo serán estos: tomaremos un elemento de cada uno y formaremos un conjunto con todos ellos (Fig. 4). Cada forma de seleccionar un elemento de un conjunto da un elemento del producto de estos conjuntos.
Por supuesto, si entre estos conjuntos hay uno vacío del que no hay nada para elegir, entonces el producto de todos ellos también estará vacío. Y el axioma de elección lo establece absolutamente. hecho obvio- si todos estos conjuntos no están vacíos, el producto tampoco estará vacío. ¿Estás de acuerdo en que el hecho es obvio? Y esto, aparentemente, sirvió, al final, como uno de los más argumentos fuertes a favor del hecho de que el axioma de elección es efectivamente cierto. En otras formulaciones, el axioma de elección no parece tan obvio como en ésta.
Las observaciones de cómo los matemáticos prueban sus afirmaciones, tratando de traducir todas las matemáticas al lenguaje de la teoría de conjuntos, mostraron que en muchos lugares los matemáticos, sin darse cuenta, utilizan este axioma. Tan pronto como se notó esto, inmediatamente quedó claro que era necesario separarlo en una declaración separada; dado que lo estamos usando, entonces debemos tomarlo de alguna parte. O debemos demostrarlo o debemos declarar que se trata de un hecho básico obvio que tomamos como axioma y que permitimos que se utilice. Resultó que este es realmente un hecho básico, que es imposible probarlo utilizando sólo todos los demás hechos, también es imposible refutarlo y, por lo tanto, si lo aceptamos, entonces acéptelo como un axioma. Y, por supuesto, hay que aceptarlo, porque de esta forma es verdaderamente obvio.
Aquí es donde surgieron grandes problemas, porque tan pronto como este hecho se formuló explícitamente y dijeron "lo usaremos", los matemáticos inmediatamente se apresuraron a usarlo y, usándolo, demostraron una gran cantidad de afirmaciones completamente intuitivas y no obvias. E incluso, además, afirmaciones que intuitivamente parecen incorrectas.
Aquí está el ejemplo claro tal afirmación, que se demostró utilizando el axioma de elección: puedes tomar una bola, dividirla en varios pedazos y agregar dos bolas exactamente iguales de estos pedazos. ¿Qué significa aquí “dividir en varios pedazos”, digamos 7? Esto significa que para cada punto decimos en cuál de estas siete piezas cae. Pero esto no es como cortar una bola con un cuchillo: puede resultar mucho más difícil. Por ejemplo, aquí hay una forma difícil de imaginar, pero fácil de explicar, de cortar una bola en dos pedazos. Tomemos en una sola pieza todos los puntos que tienen todas las coordenadas racionales, y en otra pieza, todos los puntos que tienen una coordenada irracional. Para cada punto sabemos en cuál de las piezas cayó, es decir, se trata de una división legal de la pelota en dos piezas. Pero es muy difícil imaginarlo con claridad. Cada una de estas piezas, si la miras desde lejos, parecerá una bola entera. Aunque en realidad una de estas piezas será muy pequeña y la otra muy grande. Entonces, demostraron con la ayuda del axioma de elección que una bola se puede cortar en 7 pedazos, y luego estos pedazos se pueden mover un poco (es decir, moverse en el espacio, sin distorsionarse de ninguna manera, sin doblarse) y volver a colocarlos. junta nuevamente para obtener dos bolas, exactamente así como la que estaba al principio. Esta afirmación, aunque probada, suena un tanto descabellada. Pero finalmente se dieron cuenta de que era mejor aceptar las consecuencias del axioma de elección que abandonarlo por completo. No hay otra manera: o abandonamos el axioma de elección, y entonces no podremos usarlo en ninguna parte, y muchos resultados matemáticos importantes, hermosos e intuitivos resultarán indemostrables. O lo tomamos: los resultados se vuelven fácilmente demostrables, pero al mismo tiempo nos volvemos locos. Pero la gente se acostumbra a muchas cosas y también a estos fenómenos. En general, ahora no parece haber problemas con el axioma de elección.
Resulta que tenemos un conjunto de axiomas para la teoría de conjuntos, tenemos nuestras matemáticas. Y más o menos parece que todo lo que la gente puede hacer en matemáticas puede expresarse en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Pero aquí surge el mismo problema que descubrió Gödel en aritmética. Si tenemos un cierto conjunto bastante rico de axiomas que describen nuestro mundo de conjuntos (que es el mundo de todas las matemáticas), ciertamente habrá afirmaciones sobre las cuales no tenemos forma de saber si son verdaderas o no. Afirmaciones que no podemos probar a partir de estos axiomas y tampoco podemos refutar. La teoría de conjuntos se está desarrollando enormemente y ahora es la más cercana a este problema: a menudo tenemos que lidiar con una situación en la que algunas preguntas suenan bastante naturales, queremos obtener una respuesta, pero se ha demostrado que nunca sabremos la respuesta. respuesta, porque tanto esa respuesta como ninguna otra pueden deducirse de los axiomas.
¿Qué hacer? En la teoría de conjuntos, de alguna manera intentan combatir esto, es decir, intentan encontrar nuevos axiomas que, por alguna razón, todavía se pueden agregar. Aunque, al parecer, todo lo que es intuitivamente obvio para la humanidad ya se ha reducido a esos axiomas de la teoría de conjuntos que se desarrollaron a principios del siglo XX. Y ahora resulta que todavía quieres algo más. Los matemáticos entrenan aún más su intuición para que algunas afirmaciones nuevas de repente parezcan intuitivamente obvias para todos los matemáticos por alguna razón, y luego puedan aceptarse como nuevos axiomas con la esperanza de que con su ayuda se puedan recibir respuestas a algunas de estas preguntas.
Por supuesto, no puedo decirte cómo sucede todo esto, es extremadamente declaraciones complejas, y es necesario profundizar mucho en la teoría de conjuntos, en primer lugar, para comprender lo que afirman y, en segundo lugar, para comprender que estas afirmaciones pueden considerarse intuitivamente obvias y tomarse como axiomas. Esto es lo que uno de los más áreas misteriosas matemáticas - teoría de conjuntos.
El segundo teorema de Gorgias
El segundo teorema de Gorgias suena así: si algo existe, es incognoscible para los humanos. Ahora mostraré varios ejemplos de afirmaciones que entran en esta categoría.
Con la teoría de conjuntos había un problema: ¿tenemos siquiera derecho a hacer preguntas como esta: "¿es verdadero el axioma de elección?" Si simplemente queremos hacer matemáticas sin entrar en contradicciones, entonces podemos, en principio, aceptar el axioma de elección y aceptar que no es cierto. En ambos casos podremos desarrollar las matemáticas, obteniendo unos resultados en un caso, otros en otro, pero nunca llegaremos a una contradicción.
Pero ahora la situación es diferente. Aparentemente hay resultados para los cuales la respuesta obviamente existe, y obviamente está claramente definida, pero es posible que la humanidad nunca lo sepa. El ejemplo más simple es el llamado (3 norte+ 1) es un problema del que hablaré ahora. Tomemos cualquier número natural. Si es par, divídelo por la mitad. Y si es impar, lo multiplicamos por 3 y le sumamos 1. Hacemos lo mismo con el número resultante, y así sucesivamente. Por ejemplo, si comenzamos con tres, obtenemos
Si empezamos con siete, el proceso tardará un poco más. Comenzando ya con algunos números pequeños, esta cadena puede resultar bastante larga, pero siempre terminará en uno. Existe la hipótesis de que no importa con qué número empecemos, si construimos dicha cadena, siempre llegaremos a 1. Esto es lo que (3 norte+ 1) -problema: ¿es correcta esta hipótesis?
Me parece que todos los matemáticos actuales creen que es cierto. Y algunos de los más temerarios incluso intentan demostrarlo. Pero nada funcionó para nadie. Y hace muchas décadas que no sale a la luz. Éste es, pues, uno de los desafíos atractivos. Los matemáticos serios, por supuesto, lo miran con desprecio, simplemente como un rompecabezas divertido. Se desconoce qué habrá allí y quién necesita saber qué habrá allí. Pero los matemáticos no serios todavía están interesados en saber si la hipótesis es cierta o no. Y hasta que no se demuestre, aquí puede pasar absolutamente cualquier cosa. En primer lugar, es obvio que esta pregunta tiene una respuesta clara: sí o no. O es cierto que, partiendo de cualquier número natural, nos deslizaremos hacia el uno, o no es cierto. Es intuitivamente claro que aquí la respuesta no depende de ninguna elección de axiomas ni de ninguna voluntad humana. Por tanto, se supone que la humanidad nunca sabrá la respuesta a esta pregunta.
Por supuesto, si alguien prueba esta hipótesis, sabremos la respuesta. Pero ¿qué significa probar? Esto significa que nos explicará las razones por las que cualquier número natural converge a 1, y estas razones nos quedarán claras.
Puede suceder que alguien demuestre que un número de setenta y tres dígitos tiene precisamente propiedades tales que al comenzar esta cadena con él, definitivamente recibiremos todo lo que queramos. números grandes. O demostrará que esta cadena se enrollará en otra parte. Nuevamente, esta sería una razón por la cual la hipótesis es incorrecta.
Pero, por ejemplo, tengo una pesadilla tan terrible: ¿y si esta afirmación es cierta, pero sin ningún motivo? Es cierto, pero no hay ninguna razón para esta afirmación que una persona pueda entender y explicar a otra. Entonces nunca sabremos la respuesta. Porque lo único que queda es repasar todos los números naturales y probar la hipótesis de cada uno. Y esto, naturalmente, está fuera de nuestro alcance. La ley de conservación de la energía no permite número infinito transacciones para hora de finalización. O la finitud de la velocidad de la luz. Considerándolo todo, leyes fisicas no nos permiten realizar un número infinito de operaciones en un tiempo finito y conocer el resultado.
Muchos problemas no resueltos se refieren precisamente a este ámbito, es decir, en principio, realmente quieren resolverse. Es probable que algunos de ellos decidan. Probablemente todos habéis oído el nombre de “hipótesis de Riemann”. Quizás algunos de ustedes entiendan incluso vagamente lo que dice esta hipótesis. Personalmente lo entiendo muy vagamente. Pero con la hipótesis de Riemann, al menos está más o menos claro que es correcta. Todos los matemáticos creen en ello y espero que se demuestre en un futuro próximo. Y es que hay algunas afirmaciones que todavía nadie puede probar o refutar, e incluso en una hipótesis no hay certeza de cuál de las dos respuestas es la correcta. Es posible que la humanidad, en principio, nunca reciba respuestas a algunas de estas preguntas.
Tercer teorema de Gorgias
El tercer teorema es que si algo es cognoscible, no es transferible al prójimo. Éstos son precisamente los problemas más apremiantes de las matemáticas modernas y, quizás, los más exagerados. Una persona ha demostrado algo, pero no puede contárselo a otra persona. O convencer a otra persona de que realmente lo demostró. Sucede. El primer ejemplo de este ámbito y el más famoso para el público es el problema de los cuatro colores. Pero ésta no es la situación más difícil que se plantea aquí. Ahora hablaré un poco sobre el problema de los cuatro colores y luego mostraré situaciones más locas.
¿Cuál es el problema de los cuatro colores? Esta es una pregunta de teoría de grafos. Un gráfico son simplemente algunos vértices que pueden estar conectados por aristas. Si podemos dibujar estos vértices en un plano y conectarlos con aristas para que las aristas no se crucen entre sí, obtendremos una gráfica que se llama plana. ¿Qué es la coloración de gráficos? Pintamos sus tapas de diferentes colores. Si esto lo hemos hecho de tal forma que los vértices adyacentes a una arista sean siempre de diferentes colores, la coloración se llama regular. Me gustaría colorear el gráfico correctamente, usando la menor cantidad posible. varios colores. Por ejemplo, en la Figura 5 tenemos tres vértices que están conectados en pares, lo que significa que no hay escape, estos vértices definitivamente tendrán tres Colores diferentes. Pero en general cuatro colores son suficientes para pintar este gráfico (y faltan tres, puedes comprobarlo).
Desde hace cien años existe un problema: ¿es cierto que cualquier gráfico que se pueda dibujar en un plano se puede colorear con cuatro colores? Algunos creyeron y trataron de demostrar que cuatro colores siempre eran suficientes, otros no creyeron y trataron de dar un ejemplo cuando cuatro colores no eran suficientes. También surgió este problema: el problema es muy fácil de formular. Por lo tanto, muchas personas, incluso matemáticos no serios, se abalanzaron sobre él y comenzaron a intentar demostrarlo. Y presentaron una enorme cantidad de supuestas pruebas o supuestas refutaciones. Se los enviaron a los matemáticos y gritaron en los periódicos: “¡Hurra! ¡He probado el problema de los cuatro colores! - e incluso libros publicados con evidencia errónea. En una palabra, hubo mucho ruido.
Al final así lo demostraron K. Appel y W. Haken. Ahora les describiré aproximadamente el esquema de prueba. Y al mismo tiempo veremos por qué esta prueba es incomunicable a los demás. La gente empezó estudiando seriamente cómo se estructuran los gráficos planos. Presentaron una lista de varias docenas de configuraciones y demostraron que cada gráfico plano contiene necesariamente una de estas configuraciones. Esta es la primera mitad de la prueba. Y la segunda mitad de la prueba es que para cada una de estas configuraciones podemos comprobar que si está en nuestro gráfico, entonces se puede colorear en cuatro colores.
Más precisamente, la prueba adicional procede por contradicción. Supongamos que nuestro gráfico no se puede colorear en cuatro colores. De la primera mitad sabemos que tiene alguna configuración de la lista. Posteriormente a esto se realiza el siguiente razonamiento para cada una de estas configuraciones. Supongamos que nuestro gráfico contiene esta configuración. Vamos a tirarlo. Por inducción, lo que queda se pinta en cuatro colores. Y comprobamos que por mucho que coloreemos los cuatro colores restantes, podremos completar esta misma configuración.
El ejemplo más simple de una configuración repintable es un vértice que está conectado sólo a otros tres. Está claro que si nuestro gráfico tiene tal vértice, entonces podemos dejar el coloreado para el final. Coloreemos todo lo demás y luego veamos a qué colores está adjunto este vértice y seleccionemos el cuarto. Para otras configuraciones el razonamiento es similar, pero más complejo.
Ahora bien, ¿cómo se hizo todo esto? Es imposible comprobar que cada una de tantas configuraciones se realice siempre a mano: lleva demasiado tiempo. Y este control fue confiado a la computadora. Y él, habiendo pasado por un gran número de casos, comprobó realmente que así era. El resultado fue una prueba del problema de los cuatro colores.
Así es como se veía originalmente. parte humana razonamiento, escrito en un libro grueso, y junto a él había frases que la comprobación final de que todo estaba coloreado se encomendó a la computadora, e incluso el texto programa de computadora citado. Este programa lo ha calculado todo y lo ha comprobado todo; de hecho, todo está bien y eso significa que se ha demostrado el teorema de los cuatro colores.
Inmediatamente hubo un gran revuelo sobre si se podía confiar en esas pruebas. Después de todo La mayoría de la evidencia fue realizada por una computadora, no por una persona. "¿Qué pasa si la computadora cometió un error?" - dijeron personas de mente tan estrecha.
Y los problemas con esta prueba realmente comenzaron, pero resultó que no estaban en la parte informática, sino en la parte humana. Se encontraron defectos en la prueba. Está claro que un texto de tal longitud, que contiene búsquedas complejas, puede, por supuesto, contener errores. Estos errores se encontraron pero, afortunadamente, se corrigieron.
Lo que quedó fue la parte informática, que desde entonces también ha sido probada en más de un ordenador, incluso reescribiendo programas, simplemente haciendo la misma búsqueda. Después de todo, si se dice qué se debe iterar exactamente, entonces cada uno puede escribir su propio programa y comprobar que el resultado será el que debería ser. Y me parece, por ejemplo, que el uso de búsquedas informáticas tan grandes en la prueba no es un problema. ¿Por qué? Pero por la misma razón, que ya ha surgido en el ejemplo del problema de los cuatro colores: que se confía mucho más en la evidencia informática que en la evidencia humana, no menos. Gritaron que una computadora es una máquina, pero ¿y si se averiara en alguna parte, se extraviara, calculara algo incorrectamente... Pero esto no puede ser así? Porque si la computadora falla accidentalmente en algún lugar y se produce un error (un cero fue reemplazado accidentalmente por uno), esto no conducirá a un resultado incorrecto. Esto no producirá ningún resultado, simplemente el programa acabará por fallar. ¿Cuál es una operación típica que realiza una computadora? Tomaron tal o cual número de tal o cual registro y transfirieron el control sobre él a tal o cual lugar. Naturalmente, si había un cambio de un bit en este número, el control se transfería a un destino desconocido, allí se escribían algunos comandos que muy pronto simplemente destruirían todo.
Por supuesto, puede haber un error al escribir un programa para una computadora, pero esto ya está error humano. Una persona puede leer el programa y comprobar si es correcto o no. Una persona también puede leer la prueba de otra persona y comprobar si es correcta o no. Pero una persona tiene mucho más posibilidades comete un error que la computadora. Si estás leyendo la prueba de otra persona que es lo suficientemente larga y hay un error en ella, entonces hay muchas posibilidades de que no lo notes. ¿Por qué? En primer lugar, porque como el propio autor de la prueba cometió este error, significa que está psicológicamente justificado. Es decir, lo hizo por una razón, por accidente; este es, en principio, un lugar donde una persona típica puede cometer tal error. Esto significa que usted puede cometer el mismo error leyendo este pasaje y, en consecuencia, sin darse cuenta. Por lo tanto, la verificación humana, pero la prueba humana, es mucho menos manera confiable verificación que comprobar el resultado de un programa informático ejecutándolo de nuevo en otra máquina. Lo segundo prácticamente garantiza que todo va bien, y lo primero es la suerte.
Y con este problema - encontrar un error en un texto matemático escrito por personas - se vuelve cada vez más difícil, y a veces incluso imposible, esto problema serio matemáticas modernas. Necesitamos luchar contra ello. Cómo... ahora nadie lo sabe. Pero el problema es grande y ha surgido en serio ahora mismo; hay varios ejemplos de ello. Aquí es quizás menos conocido, pero uno de los más modernos. Ésta es la vieja hipótesis de Kepler. Ella habla de meter las bolas. espacio tridimensional.
Veamos primero lo que sucede en el espacio bidimensional, es decir, en un plano. Tengamos círculos idénticos. ¿Cuál es la forma más densa de dibujarlos en un plano para que no se crucen? Hay una respuesta: debes colocar los centros de los círculos en los nodos de la red hexagonal. Esta afirmación no es del todo trivial, pero sí fácil.
Y en el espacio tridimensional, ¿cómo empacarías bien las bolas? Primero, colocamos las bolas en un plano como se muestra en la Figura 6. Luego colocamos otra capa similar encima, presionándola hasta el final, como se muestra en la Figura 7. Luego colocamos otra capa similar encima, y así sucesivamente. Es intuitivamente obvio que esta es la forma más densa de empaquetar las bolas en un espacio tridimensional. Kepler argumentó (y parece haber sido el primero en formular) que este empaquetamiento debe ser el más denso en el espacio tridimensional.
Esto sucedió en el siglo XVII y esta hipótesis se mantiene desde entonces. A principios del siglo XXI apareció su prueba. Y cualquiera de ustedes puede obtenerlo y leerlo. Está disponible públicamente en Internet. Este es un artículo de doscientas y pico páginas. Fue escrito por una sola persona y también contiene algunos razonamientos puramente matemáticos y cálculos por computadora.
Primero, el autor utiliza razonamiento matemático para reducir el problema a una verificación. Número finito casos. Después de eso, a veces usando una computadora, revisa este último, pero muy grande número de casos, todo encaja y - ¡hurra! - Se ha demostrado la hipótesis de Kepler. Y aquí está el problema de este artículo: nadie puede leerlo. Porque es pesado, porque en algunos lugares no está del todo claro que sea realmente una exageración, porque simplemente es aburrido de leer. Doscientas páginas de aburridos cálculos. Una persona no puede leerlo.
En términos generales, todo el mundo cree que este artículo contiene una demostración de este teorema. Pero, por otro lado, nadie lo ha verificado honestamente todavía, en particular, este artículo no ha sido publicado en ninguna revista revisada por pares, es decir, ningún matemático que se precie está dispuesto a firmar la declaración de que "sí, todo es correcto, y la hipótesis de Kepler ha sido probada".
Y esta no es la única situación; esto también ocurre en otras áreas de las matemáticas. Recientemente me encontré con una lista de problemas no resueltos en teoría de conjuntos, en teoría de modelos, en Diferentes areas. Y sobre una hipótesis hay comentarios como este: supuestamente fue refutada en tal o cual artículo, pero nadie la cree.
Ésta es la situación. Una persona ha probado una afirmación, pero no es capaz de transmitírsela a otra, de decírsela a otra.
El ejemplo más terrible es, por supuesto, la clasificación de grupos finitos simples. No formularé exactamente qué es, qué son los grupos, qué son los grupos finitos, si quieres, puedes descubrirlo tú mismo. Todos los grupos finitos, en cierto sentido, se ensamblan a partir de bloques simples, que se denominan grupos simples, y estos ya no se pueden desarmar en bloques más pequeños. Hay infinitos de estos grupos finitos simples. Su lista completa queda así: son diecisiete series interminables, a las que se añaden 26 al final grupos separados, que fueron construidos de alguna manera de manera separada y no están incluidos en ninguna serie. Se afirma que esta lista contiene todos los grupos finitos simples. El problema es terriblemente necesario para las matemáticas. Por eso, en los años 70, cuando aparecieron algunas ideas especiales y esperanzas para resolverlo, varios cientos de matemáticos de diferentes paises, de diferentes instituciones, cada uno tomó su propia pieza. Hubo, por así decirlo, arquitectos de este proyecto que tenían una idea aproximada de cómo se montaría todo más adelante. prueba única. Está claro que la gente tenía prisa y competía. Como resultado, las piezas que realizaron sumaron alrededor de 10.000 páginas de revista, y eso es justo lo que se publicó. Y también hay artículos que existieron como preimpresiones o como copias mecanografiadas. Yo mismo leí uno de esos artículos una vez; nunca se publicó, aunque incluye una parte notable de esta prueba completa. Y estas 10.000 páginas están repartidas en diferentes revistas, escritas Gente diferente, Con en diferentes grados Comprensibilidad, y para un matemático común y corriente que no está relacionado con esto y no es uno de los arquitectos de esta teoría, no sólo es imposible leer las 10.000 páginas, sino que también es muy difícil comprender la estructura misma de la demostración. Además, algunos de estos arquitectos simplemente han muerto desde entonces.
Anunciaron que la clasificación estaba completa, aunque la prueba sólo existía en forma de texto que nadie podía leer, lo que provocó el siguiente problema. Los nuevos matemáticos estaban menos dispuestos a profundizar en la teoría de grupos finitos. Menos y menos menos gente Haz esto. Y bien puede suceder que dentro de 50 años no haya una sola persona en la Tierra que pueda entender algo de esta prueba. Habrá leyendas: nuestros grandes antepasados pudieron demostrar que todos los grupos finitos simples están en esta lista y que no hay otros, pero ahora este conocimiento se ha perdido. Una situación bastante realista. Pero, afortunadamente, no soy el único que considera realista esta situación, por eso están luchando contra ella, y escuché que incluso organizaron un proyecto especial “Filosófico y problemas de matematicas relacionado con la prueba de la clasificación de grupos finitos simples." Hay personas que intentan llevar esta prueba a forma legible, y tal vez algún día realmente funcione. Hay personas que están tratando de descubrir qué hacer con todas estas dificultades. La humanidad recuerda esta tarea y eso significa que eventualmente la afrontará. Sin embargo, es muy posible que aparezcan otros teoremas igualmente complejos y demostrables, pero cuya demostración nadie es capaz de leer, nadie es capaz de decir a nadie.
El cuarto teorema
Bueno, ahora el cuarto teorema, del que les contaré un poco, puede ser incluso el más terrible: "incluso si él puede decírselo, a nadie le interesará". Ya se ha oído una parte de este problema. La gente ya no está interesada en estudiar grupos finitos. Cada vez menos personas hacen esto, y la masa de conocimiento que se ha conservado en forma de textos ya no es necesaria para nadie, nadie sabe cómo leerlo. Este es también un problema que amenaza muchas áreas de las matemáticas.
Está claro que algunas áreas de las matemáticas tienen suerte. Por ejemplo, la misma teoría de grafos y combinatoria. Para empezar a hacerlos en serio, necesitas saber muy poco. Ha aprendido un poco, ha resuelto los problemas de la Olimpiada, un paso y se enfrenta a un problema sin resolver. Hay algo que afrontar: hurra, lo haremos, es interesante, estaremos ocupados. Pero hay áreas de las matemáticas en las que incluso para sentir que esa área es realmente hermosa y quieres estudiarla, necesitas aprender mucho. Y al mismo tiempo, aprenderás muchas otras cosas hermosas en el camino. Pero no debes distraerte con estas bellezas que encontrarás en el camino, y al final llegas allí, a lo más salvaje, ya ves la belleza allí, y aun así, después de haber aprendido mucho, eres capaz de estudiar esta área de matemáticas. Y esta dificultad es un problema para esas zonas. Para que el campo de las matemáticas se desarrolle es necesario practicarlas. Un número suficiente de personas debería estar tan interesada en ello que superen todas las dificultades, lleguen allí y luego continúen haciéndolo. Y ahora las matemáticas están alcanzando tal nivel de complejidad que para muchas áreas se está convirtiendo en el principal problema.
No sé cómo afrontará la humanidad todos estos problemas, pero será interesante verlo.
Eso es todo, en realidad.
Un gran asunto
Una vez, en el boletín de Año Nuevo sobre cómo hacer brindis, mencioné casualmente que a finales del siglo XX tuvo lugar un gran evento, que muchos no notaron: el llamado El último teorema de Fermat. Respecto a esto, entre las cartas que recibí, encontré dos respuestas de niñas (una de ellas, que yo recuerde, era Vika, estudiante de noveno grado de Zelenograd), que se sorprendieron por este hecho.
Y me sorprendió lo mucho que las niñas estaban interesadas en los problemas de las matemáticas modernas. Por lo tanto, creo que no sólo las niñas, sino también los niños de todas las edades, desde estudiantes de secundaria hasta jubilados, también estarán interesados en conocer la historia del Gran Teorema.
La demostración del teorema de Fermat es un gran acontecimiento. Y porqué No es costumbre bromear con la palabra "genial", pero me parece que todo hablante que se precie (y todos somos hablantes cuando hablamos) simplemente está obligado a conocer la historia del teorema.
Si sucede que no amas las matemáticas tanto como a mí, entonces revisa algunos de los detalles. Entendiendo que no todos los lectores de nuestro boletín están interesados en adentrarse en la jungla matemática, traté de no dar ninguna fórmula (excepto la ecuación del teorema de Fermat) y simplificar al máximo la cobertura de algunas cuestiones específicas.
Cómo Fermat provocó el desastre
Abogado francés y a tiempo parcial. gran matemático En el siglo XVII, Pierre Fermat (1601-1665) formuló una afirmación interesante en el campo de la teoría de números, que más tarde se conoció como el Gran (o Gran) Teorema de Fermat. Este es uno de los teoremas matemáticos más famosos y fenomenales. Probablemente, la emoción en torno a esto no hubiera sido tan fuerte si en el libro de Diofanto de Alejandría (siglo III) “Aritmética”, que Fermat estudiaba a menudo, tomando notas en sus amplios márgenes, y que su hijo Samuel amablemente conservó para la posteridad, No se había descubierto aproximadamente la siguiente nota del gran matemático:
"Tengo algunas pruebas muy sorprendentes, pero son demasiado grandes para caber en los márgenes".
Fue esta grabación la que provocó el colosal alboroto posterior en torno al teorema.
Entonces, el famoso científico declaró que había demostrado su teorema. Preguntémonos: ¿realmente lo demostró o simplemente mintió? ¿O hay otras versiones que explican la aparición de aquella nota en los márgenes, que no permitió dormir tranquilos a muchos matemáticos de generaciones posteriores?
La historia del Gran Teorema es tan fascinante como una aventura en el tiempo. En 1636, Fermat afirmó que una ecuación de la forma Xn+Yn=Zn no tiene soluciones en números enteros con exponente n>2. Esto es exactamente lo que es Gran teorema Granja. En esta fórmula matemática aparentemente simple, el Universo disfrazaba una complejidad increíble.
Es algo extraño que por alguna razón el teorema haya tardado en aparecer, ya que la situación se venía gestando desde hacía mucho tiempo, porque su caso especial con n = 2 es otro famoso fórmula matemática- El teorema de Pitágoras surgió veintidós siglos antes. A diferencia del teorema de Fermat, el teorema de Pitágoras tiene un número infinito de soluciones enteras, por ejemplo, los siguientes triángulos pitagóricos: (3,4,5), (5,12,13), (7,24,25), (8,15). ,17 ) … (27,36,45) … (112,384,400) … (4232, 7935, 8993) …
Síndrome del gran teorema
¿Quién no ha intentado demostrar el teorema de Fermat? Cualquier estudiante recién iniciado consideraba que era su deber dedicarse al Gran Teorema, pero nadie pudo demostrarlo. Al principio no funcionó durante cien años. Luego otros cien. Entre los matemáticos comenzó a desarrollarse un síndrome de masas: “¿Cómo puede ser que Fermat lo haya demostrado, pero yo no puedo hacerlo?” y algunos de ellos se volvieron locos por esto En todo sentido esta palabra.
No importa cuántas veces se haya probado el teorema, siempre resultó ser cierto. Conocí a un ávido programador que estaba obsesionado con refutar el Gran Teorema tratando de encontrar al menos una solución buscando entre números enteros usando una computadora de alta velocidad (más comúnmente llamada mainframe en ese momento). Creía en el éxito de su empresa y le encantaba decir: "¡Un poco más y estallará una sensación!" Creo que en diferentes lugares de nuestro planeta había un número considerable de este tipo de valientes buscadores. Él, por supuesto, no encontró una solución única. Y ninguna computadora, ni siquiera a una velocidad fabulosa, podría jamás verificar el teorema, porque todas las variables de esta ecuación (incluidos los exponentes) pueden aumentar hasta el infinito.
El matemático más virtuoso y prolífico del siglo XVIII, Leonard Euler, cuyo archivo de registros la humanidad ha estado revisando durante casi un siglo, demostró el teorema de Fermat para las potencias 3 y 4 (o más bien, repitió las pruebas perdidas del propio Pierre Fermat). ; su seguidor en teoría de números, Legendre, para potencias 5; Dirichlet - para el grado 7. Pero, en general, el teorema quedó sin demostrar.
A principios del siglo XX (1907), un rico alemán amante de las matemáticas llamado Wolfskehl legó cien mil marcos a quien presentara prueba completa Los teoremas de Fermat. Comenzó la emoción. Los departamentos de matemáticas estaban llenos de miles de pruebas, pero todas ellas, como puedes imaginar, contenían errores. Dicen que en algunas universidades de Alemania, en las que grandes cantidades Se recibieron “demostraciones” del teorema de Fermat y se prepararon formularios con aproximadamente el siguiente contenido:
Estimado __________________________!
En su demostración del teorema de Fermat en ____ página en ____ línea en la parte superior
se detectó el siguiente error en la fórmula:__________________________:,
Que fueron enviados a los desafortunados solicitantes del premio.
En ese momento, apareció entre los matemáticos un apodo medio despectivo: el granjero. Este era el nombre que se le daba a cualquier advenedizo seguro de sí mismo que carecía de conocimientos, pero tenía ambición más que suficiente para probar apresuradamente el Gran Teorema y luego, sin darse cuenta. propios errores, dándose una palmada con orgullo en el pecho, declara en voz alta: "¡Fui el primero en demostrar el teorema de Fermat!" Cada agricultor, incluso si era el número diez mil, se consideraba el primero; esto era gracioso. Simple apariencia El Gran Teorema recordaba tanto a los fermistas a una presa fácil que no les avergonzaba en absoluto que ni siquiera Euler y Gauss pudieran hacerle frente.
(Los fermatistas, por extraño que parezca, todavía existen hoy en día. Aunque uno de ellos no pensó que había demostrado el teorema, como un fermatista clásico, lo intentó hasta hace poco; se negó a creerme cuando le dije que el teorema de Fermat ya había sido demostrado. probado).
Los matemáticos más poderosos, quizás, en el silencio de sus oficinas, también intentaron acercarse con cuidado a esta barra imposible, pero no lo dijeron en voz alta, para no ser tildados de agricultores y, así, no dañar su alta autoridad.
En ese momento, había aparecido una demostración del teorema para el exponente n.
