Propiedades de un triángulo rectángulo

Estimados alumnos de séptimo grado, ya saben qué figuras geométricas se llaman triángulos, saben cómo demostrar los signos de su igualdad. También conoces casos especiales de triángulos: isósceles y ángulos rectos. Conoces muy bien las propiedades de los triángulos isósceles.

Pero los triángulos rectángulos también tienen muchas propiedades. Una cosa obvia está relacionada con el teorema de la suma. esquinas internas Triángulo: En un triángulo rectángulo, la suma de los ángulos agudos es 90°. lo mas propiedad increíble Aprenderás sobre un triángulo rectángulo en octavo grado cuando estudies el famoso teorema de Pitágoras.

Ahora hablaremos de dos más. propiedades importantes. Uno es para triángulos rectángulos de 30° y el otro es para triángulos rectángulos aleatorios. Formulemos y demostremos estas propiedades.

Como usted sabe, en geometría se acostumbra formular enunciados opuestos a los probados, cuando la condición y la conclusión del enunciado cambian de lugar. Las afirmaciones contrarias no siempre son ciertas. En nuestro caso, ambas afirmaciones inversas son ciertas.

Propiedad 1.1 En un triángulo rectángulo, el cateto opuesto al ángulo de 30° igual a la mitad hipotenusa.

Prueba: Considere el rectángulo ∆ ABC, en el que ÐA=90°, ÐB=30°, luego ÐC=60°..gif" width="167" height="41">, por lo tanto, lo que había que demostrar.

Propiedad 1.2 (inversa a la propiedad 1.1) Si en un triángulo rectángulo el cateto es igual a la mitad de la hipotenusa, entonces el ángulo opuesto a él mide 30°.

Propiedad 2.1 En un triángulo rectángulo, la mediana trazada hasta la hipotenusa es igual a la mitad de la hipotenusa.

Consideremos un rectángulo ∆ ABC, en el que РВ=90°.

BD-mediana, es decir, AD=DC. Demostrémoslo.

Para demostrarlo lo haremos construcción adicional: extienda BD más allá del punto D para que BD=DN y conecte N con A y C..gif" width="616" height="372 src=">

Dado: ∆ABC, ÐC=90o, ÐA=30o, ÐBEC=60o, EC=7cm

1. ÐEBC=30o, porque en un ∆BCE rectangular la suma de los ángulos agudos es 90o

2. BE=14cm(propiedad 1)

3. ÐABE=30o, ya que ÐA+ÐABE=ÐBEC (propiedad esquina exterior triángulo) por lo tanto ∆AEB es isósceles AE=EB=14cm.

BC=2AN=20 cm (propiedad 2).

Tarea 3. Demuestre que la altura y la mediana de un triángulo rectángulo llevadas a la hipotenusa forman un ángulo, igual a la diferenciaángulos agudos de un triángulo.

Dado: ∆ ABC, ÐBAC=90°, AM-mediana, AH-altura.

Demuestre: RMAN=RS-RV.

Prueba:

1)РМАС=РС (por propiedad 2 ∆ AMC-isosceles, AM=SM)

2) ÐMAN = ÐMAS-ÐNAS = ÐS-ÐNAS.

Queda por demostrar que РНАС=РВ. Esto se desprende del hecho de que ÐB+ÐC=90° (en ∆ ABC) y ÐNAS+ÐC=90° (de ∆ ANS).

Entonces, RMAN = RС-РВ, que es lo que necesitaba ser probado.

https://pandia.ru/text/80/358/images/image014_39.gif" width="194" height="184">Dado: ∆ABC, ÐBAC=90°, altura AN, .

Encontrar: РВ, РС.

Solución: tomemos la mediana AM. Sea AN=x, entonces BC=4x y

VM=MS=AM=2x.

En un ∆AMN rectangular, la hipotenusa AM es 2 veces más grande que el cateto AN, por lo tanto ÐAMN=30°. Como VM=AM,

РВ=РВAM100%">

Extendamos AC más allá del punto A para que AD=AC. Entonces ∆ABC=∆ABD (en 2 patas). BD=BC=2AC=CD, por lo tanto ∆DBC-equilátero, ÐC=60o y ÐABC=30o.

Problema 5

En un triángulo isósceles, uno de los ángulos mide 120°, la base mide 10 cm. Calcula la altura dibujada hacia el lado.

Solución: para empezar, observamos que el ángulo de 120° sólo puede estar en el vértice del triángulo y que la altura trazada hacia el lado caerá en su continuación.

AB - escalera, K - gatito.

En cualquier posición de la escalera, hasta que finalmente cae al suelo, ∆ABC es rectangular. MC - mediana ∆ABC.

Según la propiedad 2 SK = 1/2AB. Es decir, en cualquier momento la longitud del segmento SK es constante.

Respuesta: el punto K se moverá a lo largo de un arco circular con centro C y radio SC=1/2AB.

Problemas para solución independiente.

Uno de los ángulos de un triángulo rectángulo mide 60° y la diferencia entre la hipotenusa y el cateto más corto es 4 cm. halla la longitud de la hipotenusa. En un rectángulo ∆ ABC con hipotenusa BC y ángulo B igual a 60°, se dibuja la altura AD. Encuentre DC si DB = 2 cm. B ∆ABC ÐC=90o, CD - altura, BC=2ВD. Demuestre que AD=3ВD. La altura de un triángulo rectángulo divide la hipotenusa en partes de 3 cm y 9 cm. Encuentra los ángulos del triángulo y la distancia desde el centro de la hipotenusa hasta el cateto más largo. Bisectriz divide un triángulo en dos triángulo isósceles. Encuentra los ángulos del triángulo original. La mediana divide el triángulo en dos triángulos isósceles. ¿Es posible encontrar ángulos?

¿El triángulo original?

En la vida a menudo tendremos que lidiar con problemas de matematicas: en la escuela, en la universidad y luego ayudando a su hijo a completar tarea. Las personas de determinadas profesiones se encontrarán con las matemáticas a diario. Por tanto, es útil recordar o recordar reglas matemáticas. En este artículo veremos uno de ellos: encontrar el lado de un triángulo rectángulo.

¿Qué es un triángulo rectángulo?

Primero, recordemos qué es un triángulo rectángulo. Triángulo rectángulo es una figura geométrica de tres segmentos que conectan puntos que no se encuentran en la misma recta, y uno de los ángulos de esta figura mide 90 grados. Los lados que forman un ángulo recto se llaman catetos, y el lado opuesto ángulo recto– hipotenusa.

Encontrar el cateto de un triángulo rectángulo

Hay varias formas de saber la longitud de la pierna. Me gustaría considerarlos con más detalle.

Teorema de Pitágoras para encontrar el lado de un triángulo rectángulo

Si conocemos la hipotenusa y el cateto, entonces podemos encontrar la longitud pierna famosa según el teorema de Pitágoras. Suena así: "Cuadrado de la hipotenusa igual a la suma cuadrados de piernas”. Fórmula: c²=a²+b², donde c es la hipotenusa, a y b son los catetos. Transformamos la fórmula y obtenemos: a²=c²-b².

Ejemplo. La hipotenusa mide 5 cm y el cateto mide 3 cm. Transformamos la fórmula: c²=a²+b² → a²=c²-b². A continuación resolvemos: a²=5²-3²; a²=25-9; a²=16; a=√16; a=4 (cm).

Razones trigonométricas para encontrar el cateto de un triángulo rectángulo

También puedes encontrar un cateto desconocido si se conocen cualquier otro lado y cualquier ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Hay cuatro opciones para encontrar la pierna usando funciones trigonométricas: por seno, coseno, tangente, cotangente. La siguiente tabla nos ayudará a resolver problemas. Consideremos estas opciones.

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando el seno

El seno de un ángulo (sen) es la razón pierna opuesta a la hipotenusa. Fórmula: sin=a/c, donde a es el cateto opuesto al ángulo dado y c es la hipotenusa. A continuación, transformamos la fórmula y obtenemos: a=sin*c.

Ejemplo. La hipotenusa mide 10 cm y el ángulo A mide 30 grados. Usando la tabla calculamos el seno del ángulo A, es igual a 1/2. Luego, usando la fórmula transformada, resolvemos: a=sin∠A*c; a=1/2*10; a=5 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando el coseno

El coseno de un ángulo (cos) es la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Fórmula: cos=b/c, donde b es el cateto adyacente a este ángulo y c es la hipotenusa. Transformemos la fórmula y obtengamos: b=cos*c.

Ejemplo. El ángulo A mide 60 grados, la hipotenusa mide 10 cm. Usando la tabla calculamos el coseno del ángulo A, es igual a 1/2. A continuación resolvemos: b=cos∠A*c; b=1/2*10, b=5 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando tangente

La tangente de un ángulo (tg) es la relación entre el lado opuesto y el lado adyacente. Fórmula: tg=a/b, donde a es el lado opuesto al ángulo y b es el lado adyacente. Transformemos la fórmula y obtengamos: a=tg*b.

Ejemplo. El ángulo A es igual a 45 grados, la hipotenusa es igual a 10 cm. Usando la tabla calculamos la tangente del ángulo A, es igual a Resuelve: a=tg∠A*b; a=1*10; a=10 (cm).

Encuentra el cateto de un triángulo rectángulo usando cotangente

El ángulo cotangente (ctg) es la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto. Fórmula: ctg=b/a, donde b es el cateto adyacente al ángulo y es el cateto opuesto. En otras palabras, la cotangente es una "tangente invertida". Obtenemos: b=ctg*a.

Ejemplo. El ángulo A mide 30 grados, el cateto opuesto mide 5 cm. Según la tabla, la tangente del ángulo A es √3. Calculamos: b=ctg∠A*a; segundo=√3*5; b=5√3 (cm).

Ahora ya sabes cómo encontrar un cateto en un triángulo rectángulo. Como ves, no es tan difícil, lo principal es recordar las fórmulas.

Instrucciones

Los ángulos opuestos a los catetos a y b se denotarán por A y B, respectivamente. La hipotenusa, por definición, es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo recto (mientras que la hipotenusa forma ángulos agudos con los otros lados del triángulo). el triangulo). Denotamos la longitud de la hipotenusa por c.

Necesitará:
Calculadora.

Usa la siguiente expresión para el cateto: a=sqrt(c^2-b^2), si conoces los valores de la hipotenusa y el otro cateto. Esta expresión se deriva del teorema de Pitágoras, que establece que el cuadrado de la hipotenusa de un triángulo es la suma de los cuadrados de los catetos. El operador sqrt extrae raíces cuadradas. El signo "^2" significa elevar a la segunda potencia.

Utilice la fórmula a=c*sinA si conoce la hipotenusa (c) y el ángulo opuesto al deseado (denotamos este ángulo como A).
Utilice la expresión a=c*cosB para encontrar un cateto si conoce la hipotenusa (c) y el ángulo adyacente al cateto deseado (denotamos este ángulo como B).
Calcule el cateto a partir de a=b*tgA en el caso de que se den el cateto b y el ángulo opuesto al cateto deseado (acordamos denotar este ángulo como A).

Nota:
Si la pierna de su problema no se encuentra de ninguna de las formas descritas, lo más probable es que se pueda reducir a una de ellas.

Consejos útiles:
Todas estas expresiones se obtienen de definiciones conocidas de funciones trigonométricas, por lo tanto, incluso si olvida una de ellas, siempre puede derivarla rápidamente mediante operaciones simples. También es útil conocer los valores de funciones trigonométricas para los ángulos más comunes de 30, 45, 60, 90, 180 grados.

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

• “Un manual de matemáticas para quienes ingresan a la universidad”, ed. G.N. Yakovleva, 1982
• cateto de un triángulo rectángulo

Triángulo cuadrado más exactamente llamado triángulo rectángulo. Las relaciones entre los lados y los ángulos de esta figura geométrica se analizan en detalle en la disciplina matemática de la trigonometría.

Necesitará

• - papel;
• - bolígrafo;
• - mesas Bradis;
• - calculadora.

Instrucciones

Encontrar triángulo utilizando el teorema de Pitágoras. Según este teorema, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: c2 = a2+b2, donde c es la hipotenusa triángulo, a y b son sus patas. Para aplicar esto, necesitas saber la longitud de dos lados cualesquiera del rectángulo. triángulo.

Si las condiciones especifican las dimensiones de los catetos, encuentre la longitud de la hipotenusa. Para hacer esto, use Raíz cuadrada de la suma de los catetos, cada uno de los cuales primero debe elevarse al cuadrado.

Calcula la longitud de uno de los catetos si se conocen las dimensiones de la hipotenusa y del otro cateto. Usando una calculadora, extrae la raíz cuadrada de la diferencia entre la hipotenusa y el cateto conocido, también al cuadrado.

Si el problema tiene que ver con la hipotenusa y uno de los ángulos agudos adyacentes a ella, use las tablas de Bradis. Muestran los valores de funciones trigonométricas para gran número esquinas Utilice una calculadora con funciones seno y coseno, así como teoremas de trigonometría que describen las relaciones entre lados y rectángulos. triángulo.

Encuentre los catetos usando funciones trigonométricas básicas: a = c*sin α, b = c*cos α, donde a es el cateto opuesto al ángulo α, b es el cateto adyacente al ángulo α. Calcula el tamaño de los lados de la misma manera. triángulo, si se dan la hipotenusa y otro ángulo agudo: b = c*sin β, a = c*cos β, donde b es el cateto opuesto al ángulo β, y es el cateto adyacente al ángulo β.

En el caso de a y un ángulo agudo adyacente β, no olvides que en un triángulo rectángulo la suma de los ángulos agudos siempre es igual a 90°: α + β = 90°. Encuentra el valor del ángulo opuesto al cateto a: α = 90° – β. O utilice fórmulas de reducción trigonométrica: sen α = sen (90° – β) = cos β; tan α = tan (90° – β) = ctg β = 1/tg β.

Vídeo sobre el tema.

Fuentes:

• Cómo encontrar los lados de un triángulo rectángulo por cateto y esquina filosa en 2019

Consejo 3: Cómo encontrar un ángulo agudo en un triángulo rectángulo

Directamente carbónico El triángulo es probablemente uno de los más famosos, con punto historico visión, formas geométricas. Los “pantalones” pitagóricos sólo pueden competir con “¡Eureka!” Arquímedes.

Necesitará

• - dibujo de un triángulo;
• - gobernante;
• - transportador

Instrucciones

La suma de los ángulos de un triángulo es 180 grados. en un rectangular triángulo un ángulo (recto) siempre será de 90 grados, y el resto serán agudos, es decir menos de 90 grados cada uno. Para determinar qué ángulo tiene un rectángulo. triángulo es recto, usa una regla para medir los lados del triángulo y determinar el más grande. Es la hipotenusa (AB) y se ubica frente al ángulo recto (C). Los dos lados restantes forman un ángulo recto y catetos (AC, BC).

Una vez que hayas determinado qué ángulo es agudo, puedes usar un transportador para calcular el ángulo usando fórmulas matemáticas.

Para determinar el ángulo usando un transportador, alinee su parte superior (llamémoslo con la letra A) con una marca especial en la regla en el centro de la pata del transportador AC debe coincidir con su borde superior; Marca en la parte semicircular del transportador el punto por donde pasa la hipotenusa AB. El valor en este punto corresponde al ángulo en grados. Si hay 2 valores indicados en el transportador, entonces para un ángulo agudo debe elegir el más pequeño, para un ángulo obtuso, el más grande.

Encuentre el valor resultante en los libros de referencia de Bradis y determine a qué ángulo corresponde el valor resultante valor numérico. Nuestras abuelas usaban este método.

En nuestro caso, basta con tomar con la función de cálculo. fórmulas trigonométricas. Por ejemplo, incorporado calculadora de ventanas. Inicie la aplicación "Calculadora", en el elemento del menú "Ver", seleccione "Ingeniería". Calcule el seno del ángulo deseado, por ejemplo, sen (A) = BC/AB = 2/4 = 0,5

Cambie la calculadora al modo de función inversa haciendo clic en el botón INV en la pantalla de la calculadora, luego haga clic en el botón de función arcoseno (indicado en la pantalla como sen menos la primera potencia). El siguiente mensaje aparecerá en la ventana de cálculo: asind (0,5) = 30. Es decir el valor del ángulo deseado es 30 grados.

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.

y en esto

y en esto

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno... primero que nada, hay especiales. hermosos nombres por sus costados.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!

Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Pitágoras lo demostró completamente. tiempos inmemoriales, y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes la conocen. Y lo mejor es que es sencillo.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?

Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y veámoslos.

¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."

¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de haberlo hecho. redacción simple Teorema de pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:

Debería ser fácil ahora:

Bueno, aquí está teorema principal discutido sobre el triángulo rectángulo. Si te interesa cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora pasemos... a bosque oscuro... trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!

¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y

¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?

¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?

Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:

Resumen

Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.

Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en longitudes y!

Ahora conectemos los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.

Juntémoslo todo ahora.

Convirtamos:

Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría.

Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:

Seno de un ángulo agudo igual a la proporción lado opuesto a la hipotenusa

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Y una vez más todo esto en forma de tablet:

¡Es muy cómodo!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

I. En dos lados

II. Por cateto e hipotenusa

III. Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.

a)

b)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:

ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.

¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?

La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de similitud de triángulos rectángulos.

I. A lo largo de un ángulo agudo

II. en dos lados

III. Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por qué esto es tan?

En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué se sabe sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces resultó que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.

¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto

Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?

Así que comencemos con este “además…”.

Miremos y.

¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora dibujémoslo juntos:

¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos lados:
• por cateto e hipotenusa: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de similitud de triángulos rectángulos:

• una esquina aguda: o
• de la proporcionalidad de dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de las piernas:

Nivel promedio

Triángulo rectángulo. La guía ilustrada completa (2019)

TRIÁNGULO RECTÁNGULO. PRIMER NIVEL.

En los problemas, el ángulo recto no es en absoluto necesario: el inferior izquierdo, por lo que debes aprender a reconocer un triángulo rectángulo en esta forma.

y en esto

y en esto

¿Qué tiene de bueno un triángulo rectángulo? Bueno..., en primer lugar, sus lados tienen nombres especiales y bonitos.

¡Atención al dibujo!

Recuerda y no confundas: hay dos catetos y solo hay una hipotenusa(único, único y más largo)!

Bueno, ya hemos comentado los nombres, ahora lo más importante: el Teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras.

Este teorema es la clave para resolver muchos problemas relacionados con un triángulo rectángulo. Fue demostrado por Pitágoras en tiempos absolutamente inmemoriales y desde entonces ha aportado muchos beneficios a quienes lo conocen. Y lo mejor es que es sencillo.

Entonces, Teorema de pitágoras:

¿Recuerdas el chiste: “¡Los pantalones pitagóricos son iguales por todos lados!”?

Dibujemos estos mismos pantalones pitagóricos y mirémoslos.

¿No parece una especie de pantalón corto? Bueno, ¿en qué lados y dónde son iguales? ¿Por qué y de dónde surgió el chiste? Y este chiste está relacionado precisamente con el teorema de Pitágoras, o más precisamente con la forma en que el propio Pitágoras formuló su teorema. Y lo formuló así:

"Suma áreas de cuadrados, construido sobre las piernas, es igual a área cuadrada, construido sobre la hipotenusa."

¿Realmente suena un poco diferente? Y así, cuando Pitágoras dibujó el enunciado de su teorema, esta es exactamente la imagen que surgió.

En esta imagen, la suma de las áreas de los cuadrados pequeños es igual al área del cuadrado grande. Y para que los niños recuerden mejor que la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, a alguien ingenioso se le ocurrió este chiste sobre los pantalones pitagóricos.

¿Por qué formulamos ahora el teorema de Pitágoras?

¿Pitágoras sufrió y habló de cuadrados?

Verás, en la antigüedad no existía... ¡álgebra! No había señales y demás. No hubo inscripciones. ¿Te imaginas lo terrible que era para los pobres estudiantes de la antigüedad recordar todo con palabras? Y podemos alegrarnos de tener una formulación sencilla del teorema de Pitágoras. Repetimos de nuevo para recordarlo mejor:

Debería ser fácil ahora:

Bueno, ya se ha discutido el teorema más importante sobre los triángulos rectángulos. Si estás interesado en cómo se demuestra, lee los siguientes niveles de teoría, y ahora vayamos más allá… al bosque oscuro… ¡de la trigonometría! A las terribles palabras seno, coseno, tangente y cotangente.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

De hecho, no todo da tanto miedo. Por supuesto, la definición "real" de seno, coseno, tangente y cotangente debería examinarse en el artículo. Pero realmente no quiero, ¿verdad? Podemos alegrarnos: para resolver problemas sobre un triángulo rectángulo, simplemente puede completar las siguientes cosas simples:

¿Por qué todo está a la vuelta de la esquina? ¿Dónde está la esquina? Para entender esto, necesita saber cómo se escriben en palabras las declaraciones 1 a 4. ¡Mira, comprende y recuerda!

1.
En realidad suena así:

¿Qué pasa con el ángulo? ¿Hay un cateto opuesto a la esquina, es decir, un cateto opuesto (para un ángulo)? ¡Por supuesto que sí! ¡Esto es una pierna!

¿Qué pasa con el ángulo? Mira cuidadosamente. ¿Qué cateto está adyacente a la esquina? Por supuesto, la pierna. Esto significa que para el ángulo el cateto es adyacente, y

¡Ahora presta atención! Mira lo que tenemos:

Mira lo genial que es:

Ahora pasemos a tangente y cotangente.

¿Cómo puedo escribir esto con palabras ahora? ¿Cuál es el cateto en relación con el ángulo? Enfrente, por supuesto, "se encuentra" frente a la esquina. ¿Qué pasa con la pierna? Adyacente a la esquina. Entonces, ¿qué tenemos?

¿Ves cómo el numerador y el denominador han intercambiado lugares?

Y ahora las esquinas nuevamente e hicieron un intercambio:

Resumen

Anotemos brevemente todo lo que hemos aprendido.

Teorema de pitágoras:

El teorema principal sobre los triángulos rectángulos es el teorema de Pitágoras.

Teorema de pitágoras

Por cierto, ¿recuerdas bien qué son los catetos y la hipotenusa? Si no es muy bueno, mire la imagen y actualice sus conocimientos.

Es muy posible que ya hayas utilizado el teorema de Pitágoras muchas veces, pero ¿alguna vez te has preguntado por qué ese teorema es cierto? ¿Cómo puedo probarlo? Hagamos como los antiguos griegos. Dibujemos un cuadrado con un lado.

¡Mira con qué habilidad dividimos sus lados en longitudes y!

Ahora conectemos los puntos marcados.

Aquí, sin embargo, notamos algo más, pero usted mismo mira el dibujo y piensa por qué es así.

¿Cuál es el área del cuadrado más grande? Bien, . ¿Qué pasa con un área más pequeña? Ciertamente, . Queda el área total de las cuatro esquinas. Imaginemos que los tomamos de dos en dos y los apoyamos uno contra otro con sus hipotenusas. ¿Qué pasó? Dos rectángulos. Esto significa que el área de los “cortes” es igual.

Juntémoslo todo ahora.

Convirtamos:

Entonces visitamos a Pitágoras y demostramos su teorema de una manera antigua.

Triángulo rectángulo y trigonometría.

Para un triángulo rectángulo se cumplen las siguientes relaciones:

El seno de un ángulo agudo es igual a la razón del cateto opuesto a la hipotenusa.

El coseno de un ángulo agudo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa.

La tangente de un ángulo agudo es igual a la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente.

La cotangente de un ángulo agudo es igual a la relación entre el lado adyacente y el lado opuesto.

Y una vez más todo esto en forma de tablet:

¡Es muy cómodo!

Signos de igualdad de triángulos rectángulos.

I. En dos lados

II. Por cateto e hipotenusa

III. Por hipotenusa y ángulo agudo

IV. A lo largo de la pierna y ángulo agudo.

a)

b)

¡Atención! Aquí es muy importante que las piernas sean “apropiadas”. Por ejemplo, si dice así:

ENTONCES LOS TRIÁNGULOS NO SON IGUALES, a pesar de que tienen un ángulo agudo idéntico.

Necesitar en ambos triángulos el cateto era adyacente, o en ambos era opuesto.

¿Has notado en qué los signos de igualdad de los triángulos rectángulos difieren de los signos habituales de igualdad de los triángulos? Eche un vistazo al tema “y preste atención al hecho de que para la igualdad de los triángulos “ordinarios”, tres de sus elementos deben ser iguales: dos lados y el ángulo entre ellos, dos ángulos y el lado entre ellos, o tres lados. Pero para la igualdad de triángulos rectángulos sólo bastan dos elementos correspondientes. Genial, ¿verdad?

La situación es aproximadamente la misma con los signos de semejanza de triángulos rectángulos.

Signos de similitud de triángulos rectángulos.

I. A lo largo de un ángulo agudo

II. en dos lados

III. Por cateto e hipotenusa

Mediana en un triángulo rectángulo

¿Por qué esto es tan?

En lugar de un triángulo rectángulo, considere un rectángulo completo.

Dibujemos una diagonal y consideremos un punto: el punto de intersección de las diagonales. ¿Qué se sabe sobre las diagonales de un rectángulo?

¿Y qué se sigue de esto?

Entonces resultó que

1. - mediana:

¡Recuerda este hecho! ¡Ayuda mucho!

Lo que es aún más sorprendente es que también ocurre lo contrario.

¿Qué beneficio se puede obtener del hecho de que la mediana trazada hasta la hipotenusa sea igual a la mitad de la hipotenusa? Miremos la foto

Mira cuidadosamente. Tenemos: , es decir, las distancias desde el punto a los tres vértices del triángulo resultaron ser iguales. Pero solo hay un punto en el triángulo, cuyas distancias desde los tres vértices del triángulo son iguales, y este es el CENTRO DEL CÍRCULO. ¿Entonces qué pasó?

Así que comencemos con este “además…”.

Miremos y.

¡Pero los triángulos semejantes tienen todos los ángulos iguales!

Lo mismo puede decirse de y

Ahora dibujémoslo juntos:

¿Qué beneficio se puede derivar de esta “triple” similitud?

Bueno, por ejemplo - Dos fórmulas para la altura de un triángulo rectángulo.

Anotemos las relaciones de las partes correspondientes:

Para encontrar la altura, resolvemos la proporción y obtenemos la primera fórmula "Altura en un triángulo rectángulo":

Entonces, apliquemos la similitud: .

¿Que pasará ahora?

Nuevamente resolvemos la proporción y obtenemos la segunda fórmula:

Debe recordar muy bien ambas fórmulas y utilizar la que le resulte más conveniente. Escribámoslos de nuevo

Teorema de pitágoras:

En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos: .

Signos de igualdad de triángulos rectángulos:

• en dos lados:
• por cateto e hipotenusa: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo adyacente: o
• a lo largo de la pierna y el ángulo agudo opuesto: o
• por hipotenusa y ángulo agudo: o.

Signos de similitud de triángulos rectángulos:

• una esquina aguda: o
• de la proporcionalidad de dos catetos:
• de la proporcionalidad del cateto y la hipotenusa: o.

Seno, coseno, tangente, cotangente en un triángulo rectángulo.

• El seno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto opuesto y la hipotenusa:
• El coseno de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa:
• La tangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado opuesto y el lado adyacente:
• La cotangente de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo es la razón entre el lado adyacente y el lado opuesto: .

Altura de un triángulo rectángulo: o.

En un triángulo rectángulo, la mediana trazada desde el vértice del ángulo recto es igual a la mitad de la hipotenusa: .

Área de un triángulo rectángulo:

• a través de las piernas: