Los dos lados de un triángulo rectángulo que forman un ángulo recto se llaman catetos. Opuesto ángulo recto El lado más largo del triángulo se llama hipotenusa. Para detectar la hipotenusa, necesitas saber la longitud de los catetos.
Instrucciones
1. Las longitudes de los catetos y la hipotenusa están relacionadas mediante una relación que se describe en el teorema de Pitágoras. Formulación algebraica: “En triángulo rectángulo cuadrado de la longitud de la hipotenusa igual a la suma cuadrados de las longitudes de los catetos”. La fórmula pitagórica se ve así: c2 = a2 + b2, donde c es la longitud de la hipotenusa, a y b son las longitudes de los catetos.
2. Conociendo las longitudes de los catetos, según el teorema de Pitágoras, es posible encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo: c = ?(a2 + b2).
3. Ejemplo. El largo de uno de los catetos es de 3 cm, el largo del otro es de 4 cm. ¿La suma de sus cuadrados es de 25 cm?: ¿9 cm? + 16cm? = 25 cm?.¿La longitud de la hipotenusa en nuestro caso es igual a la raíz cuadrada de 25 cm? – 5 cm. Por lo tanto, la longitud de la hipotenusa es de 5 cm.
La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo opuesto al ángulo de 90 grados. Para calcular su longitud basta con conocer la longitud de uno de los catetos y el tamaño de uno de los ángulos agudos del triángulo.
Instrucciones
1. Con el famoso cateto y ángulo agudo de un triángulo rectángulo, el tamaño de la hipotenusa puede ser igual a la proporción cateto al coseno/seno de este ángulo, si ángulo dado es opuesto/adyacente a él: h = C1 (o C2)/sen?; h = C1 (o C2)/cos? triangulo abc con hipotenusa AB y ángulo recto C. Sea el ángulo B de 60 grados y el ángulo A de 30 grados. La longitud del cateto BC es de 8 cm. Necesitamos encontrar la longitud de la hipotenusa AB. Para ello, puedes utilizar cualquiera de los métodos propuestos anteriormente: AB = BC/cos60 = 8 cm. AB = BC/sin30 = 8 cm.
La hipotenusa es el lado más largo de un rectángulo. triángulo. Se encuentra frente al ángulo recto. Método para encontrar la hipotenusa de un rectángulo. triángulo Depende de los datos iniciales que tengas.
Instrucciones
1. Si tenemos patas rectangulares triángulo, entonces la longitud de la hipotenusa del rectángulo triángulo se puede descubrir con la ayuda del teorema de Pitágoras: el cuadrado de la longitud de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de las longitudes de los catetos: c2 = a2 + b2, donde a y b son las longitudes de los catetos de un rectangular triángulo .
2. Si dibujamos uno de los catetos y un ángulo agudo, entonces la fórmula para encontrar la hipotenusa dependerá de qué ángulo en relación con el cateto conducido es adyacente (ubicado cerca del cateto) u opuesto (ubicado frente a él). ángulo adyacente, la hipotenusa es igual a la razón del cateto por el coseno de este ángulo: c = a/cos?; E es el ángulo opuesto, la hipotenusa es igual a la razón del cateto al seno del ángulo: c = a/pecado?.
Vídeo sobre el tema.
La hipotenusa es el lado de un triángulo rectángulo que se encuentra opuesto al ángulo recto. ella resulta ser lado más grande triángulo rectángulo. Se puede calcular utilizando el teorema de Pitágoras o utilizando las fórmulas de funciones trigonométricas.
Instrucciones
1. Los lados de un triángulo rectángulo que son adyacentes a un ángulo recto se llaman catetos. En la figura, los catetos se designan AB y BC. Dejemos que se den las longitudes de ambas piernas. Denotémoslos como |AB| y |BC|. Para encontrar la longitud de la hipotenusa |AC|, utilizamos el teorema de Pitágoras. Según este teorema, la suma de los cuadrados de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa, es decir en la notación de nuestra figura |AB|^2 + |BC|^2 = |AC|^2. De la fórmula encontramos que la longitud de la hipotenusa AC se encuentra como |AC| = ?(|AB|^2 + |BC|^2) .
2. Veamos un ejemplo. Sean dadas las longitudes de los catetos |AB|. = 13, |BC| = 21. Por el teorema de Pitágoras encontramos que |AC|^2 = 13^2 + 21^2 = 169 + 441 = 610. Para obtener la longitud de la hipotenusa, necesitamos extraer Raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos, es decir del número 610: |AC| =?610. Usando la tabla de cuadrados de números enteros, descubrimos que el número 610 no es un cuadrado perfecto de ningún número entero. Para obtener el valor final de la longitud de la hipotenusa, intentaremos transferir cuadrado perfecto desde debajo del signo raíz. Para hacer esto, factoricemos el número 610. 610 = 2 * 5 * 61. Mirando la tabla de números primitivos, vemos que 61 es un número primitivo. En consecuencia, la reducción posterior del número?610 no es realista. Obtenemos el resultado final |AC| = ?610 Si el cuadrado de la hipotenusa fuera igual a, por ejemplo, 675, entonces ?675 = ?(3 * 25 * 9) = 5 * 3 * ?3 = 15 * ?3. Si se permite un yeso similar, no cheque inverso– elevar al cuadrado el total y comparar con el valor inicial.
3. Conozcamos uno de los catetos y el ángulo adyacente a él. Para ser específicos, sean estos el lado |AB| y ángulo?. Luego podemos usar la fórmula de la función trigonométrica coseno: el coseno de un ángulo es igual a la razón entre el cateto adyacente y la hipotenusa. Aquellos. en nuestra notación porque ? = |AB| / |CA|. De ahí obtenemos la longitud de la hipotenusa |AC| = |AB| / cos ?.Si estamos familiarizados con el lado |BC| y ¿ángulo?, entonces usaremos la fórmula para calcular el seno de un ángulo: el seno de un ángulo es igual a la razón pierna opuesta a la hipotenusa: pecado ? = |BC| / |CA|. Encontramos que la longitud de la hipotenusa es |AC| = |BC| /porque?.
4. Para mayor claridad, veamos un ejemplo. Sea la longitud del cateto |AB|. = 15. ¿Y el ángulo? = 60°. Obtenemos |AC| = 15 / cos 60° = 15 / 0,5 = 30. Veamos cómo puedes verificar tu resultado usando el teorema de Pitágoras. Para hacer esto, necesitamos calcular la longitud del segundo tramo |BC|. ¿Usando la fórmula para la tangente del ángulo tg? = |BC| / |AC|, obtenemos |BC| = |AB| *tg? = 15 * tan 60° = 15 * ?3. A continuación aplicamos el teorema de Pitágoras, obtenemos 15^2 + (15 * ?3)^2 = 30^2 => 225 + 675 = 900. La verificación está completa.
Consejo útil
Después de calcular la hipotenusa, verifica si el valor resultante satisface el teorema de Pitágoras.
Traducido de lengua griega, hipotenusa significa "apretada". Para comprensión correcta Imagine la cuerda de un arco que conecta los dos extremos de un palo flexible. Asimismo, en un triángulo rectángulo, el lado más largo es la hipotenusa, que se encuentra frente al ángulo recto. Actúa como conector de los otros dos lados, llamados patas. Para saber qué tan larga es esta “cuerda”, necesitas tener la longitud de los catetos o el tamaño de dos ángulos agudos. Combinando estos datos, puede calcular el valor deseado mediante fórmulas.
Cómo encontrar la hipotenusa por catetos.
La forma más sencilla de calcularlo es si conoce el tamaño de dos patas (denominemos una como A y la otra como B). El propio Pitágoras viene al rescate y su mundo famoso teorema. Ella nos dice que si elevamos al cuadrado la longitud de los catetos y sumamos los valores calculados, como resultado sabremos el valor al cuadrado de la longitud de la hipotenusa. De lo anterior concluimos: para encontrar el valor de la hipotenusa, es necesario extraer la raíz cuadrada de la suma total de los cuadrados de los catetos C = √ (A² + B²). Ejemplo: lado A=10 cm, lado B=20 cm La hipotenusa es igual a 22,36 cm El cálculo es el siguiente: √(10²+20²)=√(100+400)= √500≈22,36.
Cómo encontrar la hipotenusa a través de un ángulo.
Es un poco más difícil calcular la longitud de la hipotenusa mediante ángulo especificado. Si conoces el tamaño de uno de los dos catetos (indicado por A) y el tamaño del ángulo (indicado por α) que se encuentra frente a él, entonces el tamaño de la hipotenusa se encuentra usando trigonometría, y específicamente, el seno. Todo lo que necesitas hacer es dividir el valor del cateto conocido por el seno del ángulo. C=A/pecado(α). Ejemplo: la longitud del cateto A = 30 cm, el ángulo opuesto es de 45°, la hipotenusa será de 42,25 cm. El cálculo es el siguiente: 30/sen(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Otra forma es encontrar el tamaño de la hipotenusa usando el coseno. Se utiliza si conoce el tamaño de la pierna (indicado por B) y ángulo agudo(denotado por α), que es adyacente a él. Todo lo que necesitas hacer es dividir el valor del cateto por el seno del ángulo. С=В/ cos(α). Ejemplo: la longitud del cateto B = 30 cm, el ángulo opuesto es de 45°, la hipotenusa será de 42,25 cm. El cálculo es el siguiente: 30/cos(45°) = 30/0,71 = 42,25.
Cómo encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo isósceles
Cualquier escolar que se precie sabe que un triángulo es isósceles, siempre que dos de sus tres lados sean iguales. Estos lados se llaman laterales y el que queda se llama base. Si uno de los ángulos mide 90°, entonces tienes un triángulo rectángulo isósceles.
Encontrar la hipotenusa en un triángulo así es simple porque tiene varias propiedades que ayudarán. Los carbones adyacentes a la base tienen el mismo valor, cantidad total Los valores del ángulo son 180°. Esto significa que el ángulo recto está opuesto a la base, lo que significa que la base es la hipotenusa y los lados son los catetos.
Después de estudiar un tema sobre triángulos rectángulos, los estudiantes suelen olvidar toda la información sobre ellos. Incluyendo cómo encontrar la hipotenusa, sin mencionar qué es.
Y en vano. Porque en el futuro la diagonal del rectángulo resulta ser esta misma hipotenusa y es necesario encontrarla. O el diámetro de un círculo coincide con el lado mayor de un triángulo, uno de cuyos ángulos es recto. Y es imposible encontrarlo sin este conocimiento.
Hay varias opciones para encontrar la hipotenusa de un triángulo. La elección del método depende del conjunto de datos inicial del problema de cantidades.
Método número 1: se dan ambos lados
Este es el método más memorable porque utiliza el teorema de Pitágoras. Sólo que a veces los estudiantes olvidan que esta fórmula se usa para encontrar el cuadrado de la hipotenusa. Esto significa que para encontrar el lado en sí, necesitarás sacar la raíz cuadrada. Por lo tanto, la fórmula de la hipotenusa, que generalmente se denota con la letra "c", se verá así:
c = √ (a 2 + segundo 2), donde las letras “a” y “b” representan ambos catetos de un triángulo rectángulo.
Método número 2: se conocen el cateto y el ángulo adyacente a él
Para saber cómo encontrar la hipotenusa, deberás recordar funciones trigonométricas. Es decir, coseno. Por conveniencia, supondremos que el cateto “a” y el ángulo α adyacente a él están dados.
Ahora debemos recordar que el coseno del ángulo de un triángulo rectángulo es igual a la razón de los dos lados. El numerador contendrá el valor del cateto y el denominador contendrá la hipotenusa. De esto se deduce que este último se puede calcular mediante la fórmula:
c = a / cos α.
Método número 3: dado un cateto y un ángulo opuesto a él
Para no confundirnos con las fórmulas, introduzcamos la designación para este ángulo - β, y dejemos el mismo lado "a". En este caso, necesitarás otra función trigonométrica: el seno.
Como en el ejemplo anterior, el seno es igual a la razón entre el cateto y la hipotenusa. La fórmula para este método se ve así:
c = a / sen β.
Para no confundirse con las funciones trigonométricas, puedes recordar un mnemotécnico simple: si en un problema estamos hablando acerca de o pr ohángulo opuesto, entonces necesitas usarlo con Y bueno, si - oh pr Y acostado, luego a oh seno. Presta atención a las primeras vocales en palabras clave. forman parejas o-yo o y sobre.
Método número 4: a lo largo del radio del círculo circunscrito
Ahora, para saber cómo encontrar la hipotenusa, necesitarás recordar la propiedad del círculo que está circunscrito alrededor de un triángulo rectángulo. Dice lo siguiente. El centro del círculo coincide con la mitad de la hipotenusa. Para decirlo de otra manera, el lado más largo de un triángulo rectángulo es igual a la diagonal del círculo. Es decir, duplicar el radio. La fórmula para este problema se verá así:
c = 2 * r, donde la letra r denota el radio conocido.
Esto es todo formas posibles cómo encontrar la hipotenusa de un triángulo rectángulo. Usar en cada tarea específica necesita el método que sea más adecuado para el conjunto de datos.
Ejemplo de tarea número 1
Condición: en un triángulo rectángulo, las medianas se dibujan hacia ambos lados. La longitud del que se dibuja lado más grande, es igual a √52. La otra mediana tiene una longitud de √73. Necesitas calcular la hipotenusa.
Como las medianas se dibujan en un triángulo, dividen los catetos en dos igual al segmento. Para facilitar el razonamiento y la búsqueda de cómo encontrar la hipotenusa, es necesario introducir varias notaciones. Dejemos que ambas mitades del cateto más grande se designen con la letra "x" y la otra con "y".
Ahora necesitamos considerar dos triángulos rectángulos cuyas hipotenusas son las medianas conocidas. Para ellos necesitas escribir la fórmula del teorema de Pitágoras dos veces:
(2y) 2 + x 2 = (√52) 2
(y) 2 + (2x) 2 = (√73) 2.
Estas dos ecuaciones forman un sistema con dos incógnitas. Una vez resueltos, será fácil encontrar los catetos del triángulo original y a partir de ellos su hipotenusa.
Primero necesitas elevar todo a la segunda potencia. Resulta:
4y 2 + x 2 = 52
y2 + 4x2 = 73.
De la segunda ecuación queda claro que y 2 = 73 - 4x 2. Esta expresión debe sustituirse por la primera y calcularse “x”:
4(73 - 4x 2) + x 2 = 52.
Después de la conversión:
292 - 16x2 + x2 = 52 o 15x2 = 240.
De la última expresión x = √16 = 4.
Ahora puedes calcular "y":
y 2 = 73 - 4(4) 2 = 73 - 64 = 9.
Según las condiciones, resulta que los catetos del triángulo original son iguales a 6 y 8. Esto significa que puedes usar la fórmula del primer método y encontrar la hipotenusa:
√(6 2 + 8 2) = √(36 + 64) = √100 = 10.
Respuesta: hipotenusa es igual a 10.
Ejemplo de tarea número 2
Condición: calcular la diagonal trazada en un rectángulo de lado menor igual a 41. Si se sabe que divide el ángulo en los que están relacionados como 2 a 1.
En este problema, la diagonal de un rectángulo es el lado más largo de un triángulo de 90º. Entonces todo se reduce a cómo encontrar la hipotenusa.
El problema es sobre los ángulos. Esto significa que necesitarás usar una de las fórmulas que contiene funciones trigonométricas. Primero debes determinar el tamaño de uno de los ángulos agudos.
Denominemos α al menor de los ángulos discutidos en la condición. Entonces el ángulo recto que se divide por la diagonal será igual a 3α. Notación matemática se parece a esto:
A partir de esta ecuación es fácil determinar α. Será igual a 30º. Además, quedará opuesto al lado más pequeño del rectángulo. Por lo tanto, necesitará la fórmula descrita en el método número 3.
La hipotenusa es igual a la razón entre el cateto y el seno del ángulo opuesto, es decir:
41 / sen 30º = 41 / (0,5) = 82.
Respuesta: La hipotenusa es 82.
“Y nos dicen que el cateto es más corto que la hipotenusa…” Estas líneas son de una famosa canción que sonaba en largometraje Las aventuras de la electrónica son, de hecho, fieles a la geometría de Euclides. Después de todo, los catetos son dos lados que forman un ángulo, medida de grado que es igual a 90 grados. Y la hipotenusa es el lado "estirado" más largo que conecta dos catetos perpendiculares entre sí y se encuentra frente al ángulo recto. Es por eso que es posible encontrar la hipotenusa por catetos solo en un triángulo rectángulo, y si el cateto fuera más largo que la hipotenusa, entonces tal triángulo no existiría.
Cómo encontrar la hipotenusa usando el teorema de Pitágoras si se conocen ambos lados
El teorema establece que el cuadrado de la hipotenusa no es más que la suma de los cuadrados de los catetos: x^2+y^2=z^2, donde:
- x – partido de ida;
- y – partido de vuelta;
- z – hipotenusa.
Pero sólo necesitas encontrar la hipotenusa y no su cuadrado. Para ello, extrae la raíz.
Algoritmo para encontrar la hipotenusa usando dos. lados conocidos:
- Indique usted mismo dónde están los catetos y dónde está la hipotenusa.
- Cuadra el primer tramo.
- Cuadra el segundo tramo.
- Suma los valores resultantes.
- Extrae la raíz del número obtenido en el paso 4.
Cómo encontrar la hipotenusa a través del seno si se conocen el cateto y el ángulo agudo opuesto
La razón entre un cateto conocido y un ángulo agudo opuesto a él es igual al valor de la hipotenusa: a/sen A = c. Esta es una consecuencia de la definición de seno:
La razón del cateto opuesto a la hipotenusa: sen A = a/c, donde:
- a – partido de ida;
- A – ángulo agudo opuesto a la pierna;
- c- hipotenusa.
Algoritmo para encontrar la hipotenusa usando el teorema del seno:
- Indique usted mismo un cateto conocido y el ángulo opuesto a él.
- Divide la pierna en la esquina opuesta.
- Consigue la hipotenusa.
Cómo encontrar la hipotenusa a través del coseno si se conocen el cateto y el ángulo agudo adyacente a él
La relación entre el lado conocido y el agudo. esquina adyacente igual al valor de la hipotenusa a/cos B = c. Esto es una consecuencia de la definición de coseno: la relación entre el cateto adyacente y la hipotenusa: cos B= a/c, donde:
- a – partido de vuelta;
- B – ángulo agudo adyacente al segundo tramo;
- c- hipotenusa.
Algoritmo para encontrar la hipotenusa usando el teorema del coseno:
- Indique usted mismo un cateto conocido y un ángulo adyacente.
- Divide el cateto por el ángulo adyacente.
- Consigue la hipotenusa.
Cómo encontrar la hipotenusa usando el triángulo egipcio
El “triángulo egipcio” es un trío de números, sabiendo cuál puedes ahorrar tiempo para encontrar la hipotenusa o incluso otro cateto desconocido. El triángulo recibe este nombre porque en Egipto algunos números simbolizaban a los dioses y eran la base para la construcción de pirámides y otras estructuras diversas.
- Primeros tres números: 3-4-5. Los catetos aquí son iguales a 3 y 4. Entonces la hipotenusa definitivamente será igual a 5. Verifique: (9+16=25).
- Segundo triple de números: 5-12-13. Aquí también los catetos son iguales a 5 y 12. Por lo tanto, la hipotenusa será igual a 13. Comprueba: (25+144=169).
Estos números ayudan incluso cuando se dividen o multiplican por cualquier número. Si los catetos son 3 y 4, entonces la hipotenusa será igual a 5. Si multiplicas estos números por 2, entonces la hipotenusa también se multiplicará por 2. Por ejemplo, el triple de los números 6-8-10 también encajará el teorema de Pitágoras y no tienes que calcular la hipotenusa si recuerdas estos triples de números. 
Por lo tanto, hay 4 formas de encontrar la hipotenusa usando los catetos conocidos. La mejor opción es el teorema de Pitágoras, pero tampoco estaría de más recordar las ternas de números que la componen” triangulo egipcio”, porque puedes ahorrar mucho tiempo si te encuentras con esos valores.
Geometría - no ciencia simple. Ella se exige a sí misma atención especial y conocimiento de fórmulas exactas. Este tipo de matemáticas nos llegó desde Antigua Grecia e incluso después de varios miles de años no pierde su relevancia. No creas en vano que esto es artículo inútil, llenando las cabezas de estudiantes y escolares. De hecho, la geometría es aplicable en muchas áreas de la vida. Sin él, no se puede construir ningún conocimiento de geometría. estructura arquitectónica, los coches no se crean, naves espaciales y aviones. Cruces de carreteras y surcos complejos y no muy complejos: todo esto requiere cálculos geométricos. Sí, incluso a veces no puedes hacer reparaciones en tu habitación sin conocimiento. fórmulas elementales. Así que no subestimes la importancia de este tema. Estudiamos las fórmulas más habituales que tenemos que utilizar en muchas soluciones en el colegio. Uno de ellos es encontrar la hipotenusa en un triángulo rectángulo. Para entender esto, lea a continuación.
Antes de empezar a practicar, comencemos con lo básico y definamos qué es la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
La hipotenusa es uno de los lados de un triángulo rectángulo que está opuesto al ángulo de 90 grados (ángulo recto) y siempre es el más largo.
Hay varias formas de encontrar la longitud de la hipotenusa deseada en un triángulo rectángulo dado.
En el caso de que ya conozcamos los catetos, utilizamos el teorema de Pitágoras, donde sumamos la suma de los cuadrados de dos catetos, que será igual al cuadrado de la hipotenusa.
a y b son catetos, c es la hipotenusa.
En nuestro caso, para un triángulo rectángulo, la fórmula será la siguiente:
si sustituimos números conocidos catetos a y b, sean a=3 y b=4, entonces c=√32+42, entonces obtenemos c=√25, c=5
Cuando conocemos la longitud de un solo cateto, la fórmula se puede transformar para encontrar la longitud del segundo. Se parece a esto:
En el caso de que, de acuerdo con las condiciones del problema, conozcamos el cateto A y la hipotenusa C, entonces podemos calcular el ángulo recto del triángulo, llamémoslo α.
Para ello utilizamos la fórmula:
Sea el segundo ángulo que necesitamos calcular β. Considerando que conocemos la suma de los ángulos de un triángulo, que es 180°, entonces: β= 180°-90°-α
En el caso de que conozcamos los valores de los catetos, podemos usar la fórmula para encontrar el valor del ángulo agudo del triángulo:
Dependiendo de los valores conocidos generalmente aceptados, los lados de un rectángulo se pueden encontrar a partir de una variedad de diferentes fórmulas. Éstos son algunos de ellos:
Al resolver problemas que implican encontrar incógnitas en un triángulo rectángulo, es muy importante centrarse en los valores que ya conoce y, en base a esto, sustituirlos en la fórmula requerida. Será difícil recordarlos de inmediato, por lo que te recomendamos que hagas una pequeña pista escrita a mano y la pegues en tu cuaderno.
Como puede ver, si profundiza en todas las complejidades de esta fórmula, podrá resolverla fácilmente. Recomendamos intentar resolver varios problemas basándose en esta fórmula. Después de ver el resultado, quedará claro si entendiste este tema o no. Intenta no memorizar, sino profundizar en el material, te resultará mucho más útil. El material memorizado se olvida después de la primera prueba y encontrarás esta fórmula con bastante frecuencia, así que primero entiéndela y luego memorízala. Si no se dan estas recomendaciones Efecto positivo, es decir, el significado en clases adicionales este tema. Y recuerda: ¡la enseñanza es luz, no la enseñanza es oscuridad!
