Primer nivel

Raíz y sus propiedades. Teoría detallada con ejemplos (2019)

Intentemos descubrir qué tipo de concepto es esta "raíz" y "con qué se come". Para hacer esto, veamos ejemplos que ya ha encontrado en clase (bueno, o que está a punto de encontrar esto).

Por ejemplo, tenemos una ecuación. ¿Cuál es la solución de esta ecuación? ¿Qué números se pueden elevar al cuadrado y obtener? Al recordar la tabla de multiplicar, puedes dar fácilmente la respuesta: y (después de todo, cuando se multiplican dos números negativos, se obtiene un número positivo). Para simplificar, los matemáticos introdujeron concepto especial raíz cuadrada y le asignó un símbolo especial.

Definamos la raíz cuadrada aritmética.

¿Por qué el número tiene que ser no negativo? Por ejemplo, ¿a qué es igual? Bueno, bueno, intentemos elegir uno. ¿Tal vez tres? Comprobemos: , no. Tal vez, ? Nuevamente comprobamos: . Bueno, ¿no encaja? Esto es de esperarse, ¡porque no hay números que, cuando se elevan al cuadrado, den un número negativo!
Esto es lo que debes recordar: ¡El número o expresión debajo del signo raíz no debe ser negativo!

Sin embargo, los más atentos probablemente ya se habrán dado cuenta de que la definición dice que la solución de la raíz cuadrada de “un número se llama así no negativo número cuyo cuadrado es igual a ". Algunos de ustedes dirán que al principio miramos un ejemplo, seleccionamos números que se pueden elevar al cuadrado y obtener, la respuesta fue y, pero aquí estamos hablando de algunos " número no negativo"! Esta observación es bastante apropiada. Aquí solo necesitas distinguir entre los conceptos de ecuaciones cuadráticas y la raíz cuadrada aritmética de un número. Por ejemplo, no es equivalente a la expresión.

De ello se deduce que, es decir, o. (Lea el tema "")

Y se sigue de eso.

Por supuesto, esto es muy confuso, pero es necesario recordar que los signos son el resultado de resolver la ecuación, ya que al resolver la ecuación debemos escribir todas las X, las cuales, al sustituirlas en ecuación original dará el resultado correcto. En nuestro ecuación cuadrática adecuado para ambos.

Sin embargo, si solo saca la raíz cuadrada de algo, entonces siempre obtenemos un resultado no negativo.

Ahora intenta resolver esta ecuación. Ya no todo es tan sencillo y fluido, ¿verdad? Intente repasar los números, ¿tal vez algo funcione? Empecemos desde el principio, desde cero: - no encaja, siga adelante - menos de tres, también deje a un lado, y si. Comprobemos: - tampoco es adecuado, porque... eso es más de tres. Es la misma historia con los números negativos. ¿Entonces que debemos hacer ahora? ¿La búsqueda realmente no nos dio nada? En absoluto, ahora sabemos con seguridad que la respuesta será algún número entre y, así como entre y. Además, obviamente las soluciones no serán números enteros. Además, no son racionales. Entonces, ¿qué sigue? Grafiquemos la función y marquemos las soluciones en ella.

¡Intentemos engañar al sistema y obtener la respuesta usando una calculadora! ¡Saquemosle la raíz! Oh-oh-oh, resulta que. Este número nunca termina. ¿¡Cómo puedes recordar esto, si no habrá calculadora en el examen!? Todo es muy simple, no es necesario que lo memorices, es necesario recordarlo (o poder resolverlo rápidamente) valor aproximado. y las respuestas mismas. Estos números se denominan irracionales; fue para simplificar su escritura que se introdujo el concepto de raíz cuadrada.

Veamos otro ejemplo para reforzar esto. Veamos el siguiente problema: necesitas cruzar un campo cuadrado de lado de km en diagonal, ¿cuántos km tienes que recorrer?

Lo más obvio aquí es considerar el triángulo por separado y utilizar el teorema de Pitágoras: . De este modo, . Entonces, ¿cuál es la distancia requerida aquí? Evidentemente, la distancia no puede ser negativa, lo entendemos. La raíz de dos es aproximadamente igual, pero, como señalamos anteriormente, ya es una respuesta completa.

Para resolver ejemplos con raíces sin causar problemas, es necesario verlos y reconocerlos. Para hacer esto, necesita conocer al menos los cuadrados de los números desde hasta y también poder reconocerlos. Por ejemplo, necesitas saber qué es igual a un cuadrado y también, a la inversa, qué es igual a un cuadrado.

¿Entendiste qué es una raíz cuadrada? Luego resuelve algunos ejemplos.

Ejemplos.

Bueno, ¿cómo resultó? Ahora veamos estos ejemplos:

Respuestas:

raíz cúbica

Bueno, parece que hemos resuelto el concepto de raíz cuadrada, ahora intentemos descubrir qué es una raíz cúbica y cuál es su diferencia.

raíz cúbica de un determinado número es un número cuyo cubo es igual a. ¿Has notado que aquí todo es mucho más sencillo? No hay restricciones en valores posibles tanto los valores bajo el signo de la raíz cúbica como el número que se extrae. Es decir, la raíz cúbica se puede extraer de cualquier número: .

¿Sabes qué es una raíz cúbica y cómo extraerla? Luego continúa y resuelve los ejemplos.

Ejemplos.

Respuestas:

Raíz - oh grado

Bueno, hemos entendido los conceptos de raíces cuadradas y cúbicas. Ahora resumamos el conocimiento adquirido con el concepto. 1ra raíz.

1ra raíz de un número es un número cuya ésima potencia es igual, es decir

equivalente.

Si incluso, Eso:

• con negativo, la expresión no tiene sentido (raíces pares de números negativos no se puede eliminar!);
• para no negativo() la expresión tiene uno que no raíz negativa.

Si - es impar, entonces la expresión tiene una raíz única para cualquiera.

No se alarme, aquí se aplican los mismos principios que con las raíces cuadradas y cúbicas. Es decir, los principios que aplicamos al considerar raíces cuadradas, se extiende a todas las raíces de grado par.

Y las propiedades que se usaron para la raíz cúbica se aplican a raíces de grado impar.

Bueno, ¿ha quedado más claro? Veamos ejemplos:

Aquí todo está más o menos claro: primero miramos: sí, el grado es par, el número bajo la raíz es positivo, lo que significa que nuestra tarea es encontrar un número cuyo cuarto poder nos dé. Bueno, ¿alguna suposición? Tal vez, ? ¡Exactamente!

Entonces, el grado es igual - impar, el número bajo la raíz es negativo. Nuestra tarea es encontrar un número que, elevado a una potencia, produzca. Es bastante difícil notar inmediatamente la raíz. Sin embargo, puedes limitar tu búsqueda inmediatamente, ¿verdad? En primer lugar, el número requerido es definitivamente negativo y, en segundo lugar, se puede notar que es impar y, por lo tanto, el número deseado es impar. Intenta encontrar la raíz. Por supuesto, puedes descartarlo con seguridad. Tal vez, ?

¡Sí, esto es lo que estábamos buscando! Tenga en cuenta que para simplificar el cálculo utilizamos las propiedades de los grados: .

Propiedades básicas de las raíces.

¿Está vacío? Si no es así, después de mirar los ejemplos, todo debería encajar.

Multiplicando raíces

¿Cómo multiplicar raíces? La propiedad más simple y básica ayuda a responder esta pregunta:

Comencemos con algo simple:

¿No se extraen exactamente las raíces de los números resultantes? No hay problema, aquí hay algunos ejemplos:

¿Qué pasa si no hay dos, sino más multiplicadores? ¡Lo mismo! La fórmula para multiplicar raíces funciona con cualquier número de factores:

¿Qué podemos hacer con él? Bueno, por supuesto, esconde el tres debajo de la raíz, ¡recordando que el tres es la raíz cuadrada de!

¿Porqué necesitamos esto? Sí, solo para ampliar nuestras capacidades a la hora de resolver ejemplos:

¿Qué te parece esta propiedad de las raíces? ¿Hace la vida mucho más fácil? ¡Para mí, eso es exactamente correcto! Solo tienes que recordar eso Solo podemos ingresar números positivos bajo el signo raíz de un grado par.

Veamos en qué más puede ser útil esto. Por ejemplo, el problema requiere comparar dos números:

Que mas:

No puedes saberlo de inmediato. Bueno, usemos la propiedad desensamblada de ingresar un número debajo del signo raíz. Entonces adelante:

Bueno, sabiendo lo que numero mayor¡Bajo el signo de la raíz, más grande es la raíz misma! Aquellos. si, entonces, . De esto concluimos firmemente que. ¡Y nadie nos convencerá de lo contrario!

Antes de esto, ingresamos un multiplicador bajo el signo de la raíz, pero ¿cómo eliminarlo? ¡Solo necesitas descomponerlo en factores y extraer lo que extraes!

Fue posible tomar un camino diferente y expandirse a otros factores:

No está mal, ¿verdad? Cualquiera de estos enfoques es correcto, decide como desees.

Aquí, por ejemplo, está la siguiente expresión:

En este ejemplo, el grado es par, pero ¿y si es impar? Nuevamente, aplica las propiedades de las potencias y factoriza todo:

Todo parece claro con esto, pero ¿cómo extraer la raíz de un número a una potencia? Aquí, por ejemplo, está esto:

Bastante simple, ¿verdad? ¿Qué pasa si el grado es mayor que dos? Seguimos la misma lógica usando las propiedades de los grados:

Bueno, ¿está todo claro? Entonces aquí tienes un ejemplo:

Estos son los peligros, sobre ellos. siempre vale la pena recordar. En realidad, esto se refleja en los ejemplos de propiedades:

¿Está vacío? Reforzar con ejemplos:

Sí, vemos que la raíz está elevada a una potencia par, el número negativo debajo de la raíz también está elevado a una potencia par. Bueno, ¿funciona igual? Esto es lo que:

¡Eso es todo! Ahora aquí hay algunos ejemplos:

¿Entiendo? Luego continúa y resuelve los ejemplos.

Ejemplos.

Respuestas.

Si ha recibido respuestas, podrá seguir adelante con tranquilidad. Si no, entonces entendamos estos ejemplos:

Veamos otras dos propiedades de las raíces:

Estas propiedades deben analizarse en ejemplos. Bueno, ¿hagamos esto?

¿Entiendo? Asegurémoslo.

Ejemplos.

Respuestas.

RAÍCES Y SUS PROPIEDADES. NIVEL PROMEDIO

raíz cuadrada aritmética

La ecuación tiene dos soluciones: y. Son números cuyo cuadrado es igual a.

Considere la ecuación. Resolvámoslo gráficamente. Dibujemos una gráfica de la función y una recta en el nivel. Los puntos de intersección de estas líneas serán las soluciones. Vemos que esta ecuación también tiene dos soluciones, una positiva y la otra negativa:

Pero en en este caso las soluciones no son números enteros. Además, no son racionales. Para anotar estos decisiones irracionales, introducimos un símbolo de raíz cuadrada especial.

raíz cuadrada aritmética es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a. Cuando la expresión no está definida, porque No existe ningún número cuyo cuadrado sea igual a un número negativo.

Raíz cuadrada: .

Por ejemplo, . Y sigue eso o.

Déjame llamar tu atención una vez más, esto es muy importante: Raíz cuadrada es siempre un número no negativo: !

raíz cúbica de un número es un número cuyo cubo es igual a. La raíz cúbica está definida para todos. Se puede extraer de cualquier número: . Como vemos, también puede tomar valores negativos.

La raíz enésima de un número es un número cuya enésima potencia es igual, es decir

Si es par, entonces:

• si, entonces la raíz enésima de a no está definida.
• si, entonces la raíz no negativa de la ecuación se llama raíz aritmética del ésimo grado de y se denota.

Si - es impar, entonces la ecuación tiene una raíz única para cualquiera.

¿Has notado que a la izquierda encima del signo de la raíz escribimos su grado? ¡Pero no para la raíz cuadrada! Si ves una raíz sin grado, significa que es cuadrada (grados).

Ejemplos.

Propiedades básicas de las raíces.

RAÍCES Y SUS PROPIEDADES. BREVEMENTE SOBRE LAS COSAS PRINCIPALES

Raíz cuadrada (raíz cuadrada aritmética) de un número no negativo se llama así número no negativo cuyo cuadrado es igual a

Propiedades de las raíces:

Grado de raíz norte de Número Real a, Dónde norte - número natural, tal número real se llama X, norte cuya enésima potencia es igual a a.

Grado de raíz norte del numero a está indicado por el símbolo. Según esta definición.

Encontrar la raíz norte-ésimo grado de entre a llamado extracción de raíces. Número A se llama número radical (expresión), norte- indicador de raíz. por extraño norte hay una raíz norte-ésima potencia para cualquier número real a. Incluso cuando norte hay una raíz norte-ésima potencia solo para números no negativos a. Para desambiguar la raíz norte-ésimo grado de entre a, se introduce el concepto de raíz aritmética norte-ésimo grado de entre a.

El concepto de raíz aritmética de grado N.

Si norte- número natural, mayor 1 , entonces hay, y sólo un, número no negativo X, de modo que se cumpla la igualdad. Este número X llamada raíz aritmética norteésima potencia de un número no negativo A y es designado. Número A se llama número radical, norte- indicador de raíz.

Entonces, según la definición, la notación , donde , significa, en primer lugar, eso y, en segundo lugar, eso, es decir. .

Concepto de grado c indicador racional

Grado C indicador natural: dejar A es un número real y norte- un número natural mayor que uno, norte-ésima potencia del número A llamar al trabajo norte factores, cada uno de los cuales es igual A, es decir. . Número A- la base del título, norte- exponente. Una potencia con exponente cero: por definición, si, entonces. Potencia cero de un número. 0 no tiene sentido. Un grado con un exponente entero negativo: asumido por definición si y norte es un número natural, entonces. Grado C indicador fraccionario: creído por definición si y norte- número natural, metro es un número entero, entonces.

Operaciones con raíces.

En todas las fórmulas siguientes, el símbolo significa una raíz aritmética (la expresión radical es positiva).

1. Raíz del producto de varios factores. igual al producto raíces de estos factores:

2. Raíz de la actitud igual a la proporción raíces de dividendo y divisor:

3. Al elevar una raíz a una potencia, basta con elevarla a esta potencia. número radical:

4. Si aumenta el grado de la raíz n veces y al mismo tiempo eleva el número radical a la enésima potencia, entonces el valor de la raíz no cambiará:

5. Si reduce el grado de la raíz n veces y simultáneamente extrae la enésima raíz del número radical, entonces el valor de la raíz no cambiará:

Ampliando el concepto de titulación. Hasta ahora hemos considerado grados sólo con exponentes naturales; pero las operaciones con potencias y raíces también pueden conducir a exponentes negativos, cero y fraccionarios. Todos estos exponentes requieren una definición adicional.

Un grado con exponente negativo. La potencia de un determinado número con un exponente negativo (entero) se define como uno dividido por la potencia del mismo número con un exponente igual a valor absoluto indicador negativo:

Ahora la fórmula a m: a n = a m - n se puede usar no solo para m mayor que n, sino también para m menor que n.

EJEMPLO un 4: un 7 = un 4 - 7 = un -3.

Si queremos que la fórmula a m: a n = a m - n sea válida para m = n, necesitamos una definición de grado cero.

Un título con índice cero. La potencia de cualquier número distinto de cero con exponente cero es 1.

EJEMPLOS. 2 0 = 1, (– 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.

Grado con exponente fraccionario. Para elevar un número real a a la potencia m / n, es necesario extraer la raíz enésima de la potencia m de este número a:

Sobre expresiones que no tienen significado. Hay varias expresiones de este tipo.

Caso 1.

Donde a ≠ 0 no existe.

De hecho, si asumimos que x es un número determinado, entonces, de acuerdo con la definición de la operación de división, tenemos: a = 0 x, es decir a = 0, lo que contradice la condición: a ≠ 0

Caso 2.

Cualquier número.

De hecho, si asumimos que esta expresión es igual a un cierto número x, entonces según la definición de la operación de división tenemos: 0 = 0 · x. Pero esta igualdad es válida para cualquier número x, que es lo que había que demostrar.

En realidad,

Solución. Consideremos tres casos principales:

1) x = 0 – este valor no satisface esta ecuación

2) para x > 0 obtenemos: x / x = 1, es decir 1 = 1, lo que significa que x es cualquier número; pero teniendo en cuenta que en nuestro caso x > 0, la respuesta es x > 0;

3) en x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

en este caso no hay solución. Por tanto x > 0.

En este artículo presentaremos concepto de raíz de un número. Procederemos de forma secuencial: comenzaremos con la raíz cuadrada, de allí pasaremos a la descripción de la raíz cúbica, luego de lo cual generalizaremos el concepto de raíz definiendo la raíz enésima. Al mismo tiempo, introduciremos definiciones, notaciones, daremos ejemplos de raíces y daremos las explicaciones y comentarios necesarios.

Raíz cuadrada, raíz cuadrada aritmética

Para comprender la definición de raíz de un número, y la raíz cuadrada en particular, es necesario tener . En este punto, a menudo nos encontraremos con la segunda potencia de un número: el cuadrado de un número.

Empecemos con definiciones de raíz cuadrada.

Definición

raíz cuadrada de a es un número cuyo cuadrado es igual a a.

para poder traer ejemplos de raíces cuadradas, tomamos varios números, por ejemplo, 5, −0.3, 0.3, 0, y los elevamos al cuadrado, obtenemos los números 25, 0.09, 0.09 y 0, respectivamente (5 2 =5·5=25, (−0,3) 2 =(−0,3)·(−0,3)=0,09, (0.3)2 =0.3·0.3=0.09 y 0 2 =0·0=0 ). Entonces, según la definición dada anteriormente, el número 5 es la raíz cuadrada del número 25, los números −0,3 y 0,3 son las raíces cuadradas de 0,09 y 0 es la raíz cuadrada de cero.

Cabe señalar que no para cualquier número a existe un cuyo cuadrado sea igual a a. Es decir, para cualquier número negativo a no existe ningún número real b cuyo cuadrado sea igual a a. De hecho, la igualdad a=b 2 es imposible para cualquier a negativo, ya que b 2 es un número no negativo para cualquier b. De este modo, No existe raíz cuadrada de un número negativo en el conjunto de los números reales.. En otras palabras, en el conjunto de los números reales, la raíz cuadrada de un número negativo no está definida y no tiene significado.

Esto lleva a una pregunta lógica: “¿Existe una raíz cuadrada de a para cualquier a no negativa”? La respuesta es sí. La justificación de este hecho puede considerarse manera constructiva, utilizado para encontrar el valor de la raíz cuadrada.

Entonces surge la siguiente pregunta lógica: "¿Cuál es el número de todas las raíces cuadradas de este número no negativo a: uno, dos, tres o incluso más"? Aquí está la respuesta: si a es cero, entonces la única raíz cuadrada de cero es cero; Si a es un número positivo, entonces el número de raíces cuadradas del número a es dos y las raíces son . Justifiquemos esto.

Comencemos con el caso a=0 . Primero, demostremos que cero es efectivamente la raíz cuadrada de cero. Esto se desprende de la igualdad obvia 0 2 =0·0=0 y la definición de la raíz cuadrada.

Ahora demostremos que 0 es la única raíz cuadrada de cero. Usemos el método opuesto. Supongamos que hay un número b distinto de cero que es la raíz cuadrada de cero. Entonces se debe cumplir la condición b 2 =0, lo cual es imposible, ya que para cualquier b distinto de cero el valor de la expresión b 2 es positivo. Hemos llegado a una contradicción. Esto prueba que 0 es la única raíz cuadrada de cero.

Pasemos a los casos en los que a es un número positivo. Dijimos anteriormente que siempre hay una raíz cuadrada de cualquier número no negativo, sea la raíz cuadrada de a el número b. Digamos que existe un número c, que también es raíz cuadrada de a. Entonces, por la definición de raíz cuadrada, las igualdades b 2 =a y c 2 =a son verdaderas, de lo cual se sigue que b 2 −c 2 =a−a=0, pero como b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , entonces (b−c)·(b+c)=0 . La igualdad resultante es válida. propiedades de las operaciones con números reales posible sólo cuando b−c=0 o b+c=0 . Por tanto, los números b y c son iguales o opuestos.

Si suponemos que existe un número d, que es otra raíz cuadrada del número a, entonces, mediante razonamientos similares a los ya dados, se demuestra que d es igual al número b o al número c. Entonces, el número de raíces cuadradas de un número positivo es dos y las raíces cuadradas son números opuestos.

Para facilitar el trabajo con raíces cuadradas, la raíz negativa se “separa” de la positiva. Para ello se introduce definición de raíz cuadrada aritmética.

Definición

Raíz cuadrada aritmética de un número no negativo a es un número no negativo cuyo cuadrado es igual a a.

La notación para la raíz cuadrada aritmética de a es. El signo se llama signo de raíz cuadrada aritmética. También se le llama signo radical. Por lo tanto, a veces se puede escuchar tanto “raíz” como “radical”, que significa el mismo objeto.

El número bajo el signo de la raíz cuadrada aritmética se llama número radical, y la expresión bajo el signo raíz es expresión radical, mientras que el término “número radical” a menudo se reemplaza por “expresión radical”. Por ejemplo, en la notación el número 151 es un número radical y en la notación la expresión a es una expresión radical.

Al leer, la palabra "aritmética" a menudo se omite; por ejemplo, la entrada se lee como "la raíz cuadrada de siete coma veintinueve". La palabra “aritmética” se usa sólo cuando quieren enfatizar que estamos hablando acerca de específicamente sobre la raíz cuadrada positiva de un número.

A la luz de la notación introducida, de la definición de raíz cuadrada aritmética se deduce que para cualquier número no negativo a .

Las raíces cuadradas de un número positivo a se escriben usando el signo aritmético de raíz cuadrada como y. Por ejemplo, las raíces cuadradas de 13 son y. Raíz cuadrada aritmética de cero igual a cero, eso es, . Para los números negativos a, no le daremos significado a la notación hasta que estudiemos números complejos . Por ejemplo, las expresiones y no tienen sentido.

A partir de la definición de raíz cuadrada, se prueban las propiedades de las raíces cuadradas, que se utilizan a menudo en la práctica.

Como conclusión de este punto, observamos que las raíces cuadradas del número a son soluciones de la forma x 2 =a con respecto a la variable x.

raíz cúbica de un número

Definición de raíz cúbica del número a se da de manera similar a la definición de la raíz cuadrada. Solo que se basa en el concepto de cubo de un número, no de cuadrado.

Definición

Raíz cúbica de un es un número cuyo cubo es igual a a.

vamos a dar ejemplos raíces cúbicas . Para hacer esto, tome varios números, por ejemplo, 7, 0, −2/3, y cúbralos al cubo: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . Luego, basándonos en la definición de raíz cúbica, podemos decir que el número 7 es la raíz cúbica de 343, 0 es la raíz cúbica de cero y −2/3 es la raíz cúbica de −8/27.

Se puede demostrar que la raíz cúbica de un número, a diferencia de la raíz cuadrada, siempre existe, no sólo para a no negativo, sino también para cualquier número real a. Para hacer esto, puedes usar el mismo método que mencionamos al estudiar raíces cuadradas.

Además, sólo existe una única raíz cúbica de numero dado a. Probemos la última afirmación. Para ello, considere tres casos por separado: a es un número positivo, a=0 y a es un número negativo.

Es fácil demostrar que si a es positivo, la raíz cúbica de a no puede ser ni un número negativo ni cero. De hecho, sea b la raíz cúbica de a, entonces, por definición, podemos escribir la igualdad b 3 =a. Está claro que esta igualdad no puede ser cierta para b negativo y para b=0, ya que en estos casos b 3 =b·b·b será un número negativo o cero, respectivamente. Entonces la raíz cúbica de un número positivo a es un número positivo.

Ahora supongamos que además del número b hay otra raíz cúbica del número a, denotémoslo c. Entonces c 3 =a. Por lo tanto, b 3 −c 3 =a−a=0, pero b 3 −c 3 =(b−c)·(b 2 +b·c+c 2)(esta es la fórmula de multiplicación abreviada diferencia de cubos), de donde (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. La igualdad resultante es posible sólo cuando b−c=0 o b 2 +b·c+c 2 =0. De la primera igualdad tenemos b=c, y la segunda igualdad no tiene soluciones, ya que su lado izquierdo es un número positivo para cualquier numeros positivos b y c como la suma de tres términos positivos b 2, b·c y c 2. Esto prueba la unicidad de la raíz cúbica de un número positivo a.

Cuando a=0, la raíz cúbica del número a es solo el número cero. De hecho, si suponemos que hay un número b, que es una raíz cúbica de cero distinta de cero, entonces debe cumplirse la igualdad b 3 =0, lo cual es posible sólo cuando b=0.

Para a negativo, se pueden dar argumentos similares a los del caso para a positivo. Primero, demostramos que la raíz cúbica de un número negativo no puede ser igual ni a un número positivo ni a cero. En segundo lugar, suponemos que existe una segunda raíz cúbica de un número negativo y demostramos que necesariamente coincidirá con la primera.

Entonces, siempre hay una raíz cúbica de cualquier número real a y única.

vamos a dar definición de raíz cúbica aritmética.

Definición

Raíz cúbica aritmética de un número no negativo a es un número no negativo cuyo cubo es igual a a.

La raíz cúbica aritmética de un número no negativo a se denota como , el signo se llama signo de la raíz cúbica aritmética, el número 3 en esta notación se llama índice raíz. El número debajo del signo raíz es número radical, la expresión bajo el signo raíz es expresión radical.

Aunque la raíz cúbica aritmética se define sólo para números a no negativos, también es conveniente utilizar notaciones en las que los números negativos se encuentran bajo el signo de la raíz cúbica aritmética. Los entenderemos de la siguiente manera: , donde a es un número positivo. Por ejemplo, .

Hablaremos de las propiedades de las raíces cúbicas en el artículo general Propiedades de las raíces.

Calcular el valor de una raíz cúbica se llama extraer una raíz cúbica; esta acción se analiza en el artículo extracción de raíces: métodos, ejemplos, soluciones.

Para concluir este punto, digamos que la raíz cúbica del número a es una solución de la forma x 3 =a.

raíz enésima, raíz aritmética de grado n

Generalicemos el concepto de raíz de un número: introducimos definición de raíz enésima por n.

Definición

raíz enésima de a es un número cuya enésima potencia es igual a a.

De esta definición está claro que la raíz de primer grado del número a es el propio número a, ya que al estudiar el grado con exponente natural tomamos a 1 =a.

Arriba vimos casos especiales de la raíz enésima para n=2 y n=3: raíz cuadrada y raíz cúbica. Es decir, una raíz cuadrada es una raíz de segundo grado y una raíz cúbica es una raíz de tercer grado. Para estudiar raíces de enésimo grado para n=4, 5, 6, ..., conviene dividirlas en dos grupos: el primer grupo, raíces de grados pares (es decir, para n = 4, 6, 8 , ...), el segundo grupo - raíces en grados impares (es decir, con n=5, 7, 9, ...). Esto se debe al hecho de que las raíces de potencias pares son similares a las raíces cuadradas y las raíces de potencias impares son similares a las raíces cúbicas. Tratemos con ellos uno por uno.

Empecemos por las raíces, cuyos poderes son Números pares 4, 6, 8,... Como decíamos, son semejantes a la raíz cuadrada del número a. Es decir, la raíz de cualquier grado par del número a existe sólo para a no negativo. Además, si a=0, entonces la raíz de a es única e igual a cero, y si a>0, entonces hay dos raíces de grado par del número a, y son números opuestos.

Justifiquemos la última afirmación. Sea b una raíz par (la denotamos como 2·m, donde m es algún número natural) del número a. Supongamos que hay un número c, otra raíz de grado 2·m del número a. Entonces b 2·m −c 2·m =a−a=0 . Pero conocemos la forma b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2), entonces (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. De esta igualdad se deduce que b−c=0, o b+c=0, o b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Las dos primeras igualdades significan que los números b y c son iguales o b y c son opuestos. Y la última igualdad es válida sólo para b=c=0, ya que en su lado izquierdo hay una expresión que es no negativa para cualquier b y c como suma de números no negativos.

En cuanto a las raíces de enésimo grado para n impar, son similares a la raíz cúbica. Es decir, cualquier raíz grado impar del número a existe para cualquier número real a, y para un número dado a es único.

La unicidad de una raíz de grado impar 2·m+1 del número a se demuestra por analogía con la prueba de la unicidad de la raíz cúbica de a. Solo aquí en lugar de igualdad. a 3 −b 3 =(a−b)·(a 2 +a·b+c 2) se utiliza una igualdad de la forma b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m). La expresión en el último paréntesis se puede reescribir como b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m−2 +c 2 m−2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +bc c (…+(b 2 +c 2 +bc c)))). Por ejemplo, con m=2 tenemos b 5 −c 5 =(b−c)·(b 4 +b 3 ·c+b 2 ·c 2 +b·c 3 +c 4)= (b−c)·(b 4 +c 4 +b·c·(b 2 +c 2 +b·c)). Cuando a y b son ambos positivos o ambos negativos, su producto es un número positivo, entonces la expresión b 2 +c 2 +b·c entre paréntesis alto grado anidamiento, es positivo como la suma de números positivos. Ahora, pasando secuencialmente a las expresiones entre paréntesis de los grados de anidamiento anteriores, estamos convencidos de que también son positivas como suma de números positivos. Como resultado, obtenemos que la igualdad b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c)·(b 2·m +b 2·m−1 ·c+b 2·m−2 ·c 2 +… +c 2·m)=0 posible sólo cuando b−c=0, es decir, cuando el número b es igual al número c.

Es hora de entender la notación de raíces enésimas. Para ello se da definición de raíz aritmética de enésimo grado.

Definición

raíz aritmética enésima potencia de un número no negativo a es un número no negativo cuya enésima potencia es igual a a.

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