Una superficie reglada es una superficie formada al mover una línea recta en el espacio de acuerdo con alguna ley. La naturaleza del movimiento de la generatriz rectilínea determina el tipo de superficie reglada. Normalmente, la ley del movimiento de la generatriz se especifica mediante líneas guía. EN caso general Para definir una superficie reglada, se necesitan tres líneas guía, que pueden definir inequívocamente la ley de movimiento de la guía. Seleccionemos tres líneas a, byc en la superficie reglada y tomémoslas como guías (Fig. 7.17).

Arroz. 7.17. Superficie reglada en general

El estudio del grupo de superficies regladas no desarrollables puede comenzar con cilindroides: superficies con un plano de paralelismo (superficies catalanas), superficies formadas por el movimiento de una línea recta que se desliza a lo largo de dos guías curvas que no se encuentran en el mismo plano, y permaneciendo todo el tiempo paralelo al llamado plano de paralelismo (Fig. 7.18).

Arroz. 7.18. Ejemplo de cilindroide: a - en el espacio; b - en un dibujo complejo

La siguiente superficie de este grupo es el conoide, que es una superficie reglada, no desarrollable, que se forma por el movimiento de una línea recta que se desliza a lo largo de dos guías que no se encuentran en el mismo plano, y que permanece todo el tiempo paralela a el llamado plano de paralelismo.

Al mismo tiempo, es necesario saber que una de estas guías es una línea recta (Fig. 7.19).

Arroz. 7.19. Ejemplo de conoide: a - en un dibujo complejo; b - en el espacio

Si ambas guías del cilindroide se reemplazan por líneas rectas (cruce), entonces se forma una superficie reglada no desarrollable con un plano de paralelismo: un plano oblicuo, o un paraboloide reglado, o paraboloide hiperbólico(Figura 7.20).

La superficie reglada recibió su nombre (paraboloide hiperbólico) debido a que cuando es intersecada por los planos correspondientes en la sección, se pueden obtener parábolas e hipérbolas.

Hay variedades de superficies oblicuas que son superficies regladas con un plano guía y sus tipos particulares son superficies regladas con un plano de paralelismo (superficies catalanas).

En el primer caso (Fig. 7.20, a), la superficie está definida únicamente por dos líneas rectilíneas que se cruzan d, n y un plano guía γ, que reemplaza a la tercera línea guía. La línea recta generadora se desliza a lo largo de dos guías y permanece paralelo al plano paralelismo γ.

Si los planos de paralelismo son perpendiculares entre sí γ ⊥ π1, entonces el paraboloide hiperbólico se llama recto.

En la figura. 7.20, b muestra un dibujo complejo de un plano oblicuo. En apariencia, esta superficie se parece a una silla de montar.

Arroz. 7.20. Paraboloide hiperbólico:
a - en el espacio; b - en un dibujo complejo

Las superficies con un plano guía se denominan cilindroides oblicuos si ambas guías son líneas curvas; conoides oblicuos: si una de las guías es una línea recta; doble plano oblicuo si las guías se cruzan con líneas rectas.

En la figura 1 se muestra una superficie cilíndrica doblemente oblicua, como una regla, con tres guías, de las cuales dos son curvas espaciales y una es una línea recta. 7.21.

En la figura. 7.22. Se muestra un doble conoide oblicuo, formado al mover la generatriz de la recta (roja) a lo largo de tres guías, dos de las cuales son rectas. La construcción de una generatriz se muestra como resultado de la intersección de un plano auxiliar que pasa por una de las guías rectilíneas con otras dos guías.

Arroz. 7.21. Cilindroide oblicuo doble

Arroz. 7.22. doble oblicuo
conoide

Llamamos su atención sobre las revistas publicadas por la editorial "Academia de Ciencias Naturales".

INTRODUCCIÓN

El mundo de las superficies es diverso e ilimitado. En la naturaleza se encuentran superficies de formas y resistencia asombrosas. Prestemos atención al ala y al cuerpo del ave; tienen formas superficiales desarrolladas por la naturaleza, cuyo conjunto tiene excelentes características aerodinámicas.

carrocerías de aviones, barcos de mar, automóviles, estructuras aéreas y estructuras subterráneas- Todos estos son complejos de superficies de varias leyes de formación muy complejas. Al examinar las superficies regladas, se puede revelar que se utilizan ampliamente en tecnología, ingeniería, en la mayoría de los casos utilizado en el diseño de edificios, industriales y gubernamentales. estructuras arquitectónicas, carreteras.

La relevancia se debe a la demanda de gobernados. superficies de tornillos V arquitectura moderna y tecnología, así como la búsqueda de nuevas formas de superficies regladas helicoidales aplicables a la construcción, combinando cualidades como belleza, confiabilidad y fabricabilidad.

El objeto de investigación es la formación y diseño de superficies curvas complejas.

El tema del estudio es la formación de capas compuestas regidas en la arquitectura de edificios y estructuras.

El objetivo de este trabajo es estudiar superficies regladas y estudiar las posibilidades de su uso en la arquitectura de edificios y estructuras.

Durante la investigación se plantean las siguientes tareas:

1. Analizar fundamentos teóricos superficies regladas.

2. Construir una superficie reglada compuesta aplicable en la arquitectura de edificios y estructuras.

3. Realizar una maqueta de la estructura desarrollada.

Métodos utilizados en la realización de la investigación:

Teorético:

Monográfico: síntesis analítica y sistematización de información de fuentes literarias y de otro tipo;

Análisis: análisis de información en cada etapa del trabajo;

Síntesis: recopilación y síntesis de información.

Praxeológico:

Gráfico - modelado geométrico y ejecución de documentación gráfica;

Método de diseño.

SUPERFICIES REVESTIDAS

Una superficie reglada es una superficie formada al mover una línea recta en el espacio de acuerdo con alguna ley. La naturaleza del movimiento de la generatriz rectilínea determina el tipo de superficie reglada. Normalmente, la ley del movimiento de la generatriz se especifica mediante líneas guía. En general, se necesitan tres líneas guía para definir una superficie reglada. La naturaleza del movimiento de la generatriz rectilínea determina el tipo de superficie reglada.

Las superficies regladas se dividen en dos tipos:

1. superficies en desarrollo;

2. Superficies no urbanizables u oblicuas.

SUPERFICIES REVESTIDAS NO EXPANDIBLES

Las superficies regladas no desarrollables se forman generalmente por el movimiento de una generatriz rectilínea a lo largo de tres líneas guía, que definen de forma única la ley de su movimiento. Hay variedades de superficies oblicuas que son superficies regladas con un plano guía y sus tipos particulares son superficies regladas con un plano de paralelismo (superficies catalanas). Las superficies con un plano guía se denominan cilíndricas oblicuas si ambas guías son líneas curvas; conoides oblicuos: si una de las guías es una línea recta; plano oblicuo doble, si las guías cruzan líneas rectas (ver Apéndice A, Fig. 1). Las superficies con un plano de paralelismo se denominan respectivamente cilindroides rectos, conoides rectos y planos oblicuos.

El concepto de superficie reglada.

Superficie reglada Es una superficie que se forma al mover una línea recta en el espacio según alguna ley. La naturaleza del movimiento de la generatriz rectilínea determina el tipo de superficie reglada. Normalmente, la ley del movimiento de la generatriz se especifica mediante líneas guía. En general, para definir una superficie reglada, necesita tres líneas guía . Seleccione tres líneas en la superficie reglada. a , b Y do y tomarlos como guías. Demostremos que el movimiento de la generatriz rectilínea yo se determinará de forma única (Fig. 11.1).

Vamos a llevarlo a la guía. a algún punto k y dibuja a través de él un montón de líneas rectas que se cruzan con la guía. Con . Estas líneas rectas forman una superficie cónica con su vértice en el punto k . Guía b cortará la superficie cónica en algún punto norte . Punto construido norte y punto k determinar la recta yo , intersectando la guía do en el punto METRO . Así, cada punto A guía a El único generador corresponderá. moviendo un punto A a lo largo de la guía a , es posible obtener otras posiciones de la generatriz de la recta, es decir construir un marco de una superficie reglada.

Dependiendo de la forma de las líneas guía, las superficies regladas con tres guías se dividen en:

cilindro oblicuo con tres guías– las tres líneas curvas principales;

cono– dos líneas guía curvas y la tercera recta;

hiperboloide de una sola hoja– todas las líneas guía son rectas.

Para construir un punto en una superficie reglada, es necesario utilizar una línea auxiliar, que puede ser una generatriz recta o una línea curva arbitraria.

Además de lo anterior método general De formar una superficie reglada con la ayuda de tres guías, existen otros métodos que, al imponer restricciones adicionales, determinan la ley del movimiento de la generatriz rectilínea.

Superficies regladas

Una superficie reglada es una superficie que se puede formar mediante el movimiento de una línea recta en el espacio. Dependiendo de la naturaleza del movimiento de la generatriz, obtenemos varios tipos superficies regladas.

Figura 1.3.37 – Superficies facetadas regladas

poliedros(pirámides, prismas) son superficies cerradas formadas por un determinado número de caras. EN en este caso tanto la superficie como el cuerpo delimitado por esta superficie llevan el mismo nombre. Los elementos de un poliedro son vértices, aristas y caras; al conjunto de todas las aristas de un poliedro se le llama malla. Construir proyecciones de un poliedro se reduce a construir proyecciones de su malla.

Entre los muchos poliedros hay correcto poliedros. En tales poliedros, todas las aristas, caras y ángulos son iguales entre sí. La figura 1.3.38, por ejemplo, muestra poliedro regular, llamado octaedro.

Figura 1.3.39 – Superficies cónicas y cilíndricas

Superficie cónica formado por una línea recta yo metro(guía) y que tiene un punto fijo S(arriba) de acuerdo con la Figura 1.3.39, A. Determinante de superficie q(l,m,S).

Superficie cilíndrica formado por una línea recta yo(generador) moviéndose a lo largo de una línea curva metro(guía) y que tiene una dirección constante s de acuerdo con la Figura 1.3.39, b. Determinante de superficie S(yo, m, s).

Dado que todas las líneas rectas tienen la misma dirección, es decir paralelas entre sí se cruzan en un punto infinitamente distante (impropio), entonces la superficie cilíndrica puede considerarse como caso especial superficie cónica.

Al especificar un cónico y superficies cilíndricas en un dibujo complejo, a menudo se elige una línea como guía metro intersección de la superficie con uno de los planos de proyección.

gobernado es una superficie que se forma al mover una línea recta (generador) en el espacio según alguna ley. Dependiendo del tipo de líneas guía y de la naturaleza del movimiento de la generatriz, se obtienen los siguientes tipos de superficies regladas: desplegables y no desplegables.

A. Superficies regladas desarrollables(torso, cilíndrico, cónico).

1. Torso- una superficie con un borde de retorno m, se forma mediante el movimiento de una generatriz rectilínea ℓ, tocando en todas las posiciones una determinada curva espacial m - borde de retorno, (Fig. 45). Dado por el determinante Ø ( yo~m).

2. Superficie cilíndrica. El borde de retorno se elimina hasta el infinito. La superficie se forma mediante el movimiento de una línea recta ℓ, que tiene una dirección construida S a lo largo de alguna curva n (Fig. 46). Determinante de superficie: ∑(S~n).

3. Superficie cónica. El borde de la cúspide ha degenerado hasta el punto S. La superficie se forma moviendo la línea recta ℓ que pasa por el punto S a lo largo de alguna curva n, y puede tener dos cavidades (Fig. 47). Determinante de la superficie Δ(S~n).

B. Superficies regladas no urbanizables(cilindroide, conoide, plano oblicuo).

Este tipo de superficie se forma moviendo una línea recta ℓ que se mueve a lo largo de dos guías y permanece paralela a un cierto plano de paralelismo, que generalmente se considera uno de los planos de proyección P 1 o P 2.

1. Cilindro se forma moviendo una línea recta ℓ a lo largo de dos guías y permaneciendo paralela a un cierto plano de paralelismo (Fig. 48a, b). El determinante de la superficie Σ (~a, ~b) y Δ es perpendicular a P 1.

2. conoide se forma moviendo la generatriz rectilínea ℓ a lo largo de dos guías: una curva y una recta, mientras que ℓ permanece paralela a un determinado plano de paralelismo. Su determinante es Ø(b~a,∑) (Fig. 49).

Si la generatriz rectilínea n es perpendicular al plano de paralelismo, entonces el conoide llamado directo, y si la guía curvilínea m es una hélice cilíndrica, el conoide llamado helicoidal helicoidal.

3. Plano oblicuo(paraboloide hiperbólico) se obtiene moviendo la línea ℓ a lo largo de dos líneas oblicuas y permaneciendo paralela a algún plano de paralelismo. Determinante de superficie

Р(a b, ∑), (Fig. 50).

En la sección transversal de un paraboloide hiperbólico se pueden obtener hipérbolas, parábolas y líneas rectas (Fig. 51).

B. Superficies helicoidales regladas: helicoides. Una superficie helicoidal reglada es una superficie en la que una guía es una línea helicoidal y la otra es una línea recta (el eje de la línea helicoidal). Los determinantes de la superficie son la hélice y su eje: Ø (ί, m, ℓ).

El helicoidal se llama recto., si la generatriz es una recta ℓ perpendicular al eje ί de la hélice y este eje ί actúa como guía recta (Fig. 52).

Si la recta no es perpendicular al eje t, entonces el helicoidal se llama oblicuo o inclinado - tornillo de Arquímedes(Figura 53). Los helicoides pueden estar cerrados o abiertos. La línea recta ℓ al cruzar el eje ί de la hélice, se forma cerrado helicoidal, si ℓ no cruza el eje ί, entonces un helicoidal abierto. Durante la formación de la superficie de una helicoidal inclinada, las generatrices se ubican paralelas a las generatrices de la superficie de un determinado cono de rotación, cuyo eje ί coincide con el eje ί de la hélice, y las generatrices tienen la misma inclinación. al eje ί de la hélice como las generatrices del helicoide. este cono llamado guía. Por tanto, el determinante de un helicoidal inclinado consta de guías: la hélice m(m 1, m 2, el eje de la hélice ί (ί 1, ί 2) y generatriz ℓ(ℓ 1, ℓ 2), que se encuentra en un ángulo α con respecto al eje de la hélice. Colocando un marco de generadores ℓ y dibujando la envolvente de la familia de proyecciones frontales de generadores ℓ, en P 2 obtenemos el contorno de una helicoidal inclinada. La sección del helicoidal por el plano Σ (Σ 2) perpendicular al eje del helicoidal (sección normal) es una espiral de Arquímedes y requiere una construcción especial (ver Fig. 53).

Intersección de superficies con un plano y una recta.

Cuando un plano intersecta cualquier superficie se obtiene una figura plana, a la que se le llama sección. Si el plano de corte es un plano de proyección, entonces construir una sección no es difícil. Dado que una de las proyecciones del plano de corte degenera en una línea recta, entonces, basándose en la propiedad colectiva de los planos de proyección, esta proyección incluye todos los puntos del plano, incluida la sección. Así, la tarea se reduce a construir otra proyección del tramo. Se identifican puntos comunes que pertenecen tanto al plano como a la superficie de intersección. Luego, a partir de la pertenencia de estos puntos a la figura, se construyen las proyecciones que faltan.

Cuando un plano interseca a un poliedro en sección, se obtiene un polígono (delimitado por una polilínea cerrada). El número de sus lados y vértices es igual al número de caras y aristas del poliedro que cruza el plano de corte.

La construcción de una sección de un poliedro se puede realizar de dos formas:

Encontrar los vértices de un polígono de sección: el método del borde. En este caso, la construcción se reduce a resolver el problema de encontrar varias veces el punto de intersección de una recta (arista) con un plano (plano de corte). primer problema posicional

Encontrar los lados de una sección del polígono: el método de las aristas. En este caso, el problema se resuelve varias veces: encontrar la línea de intersección de dos planos (cara y plano de corte), el segundo problema posicional.

Cuando un plano intersecta superficies curvas, la sección da como resultado líneas curvas planas. Como ya se mencionó, si el plano de corte se proyecta en línea recta, entonces el segundo se puede construir a partir de puntos individuales (Fig. 54).

Entre los puntos de la curva de intersección se encuentran aquellos que están especialmente ubicados con respecto a los planos de proyección u ocupan lugares especiales en la curva. Estos puntos se denominan puntos de referencia y, al construir una sección, estos puntos se determinan primero. Los puntos de control incluyen puntos extremos, puntos de contorno y puntos de cambio de visibilidad.

Puntos extremos- este es el punto más alto y más bajo de la sección, el más cercano y más lejano con respecto al plano de proyección P 2, el más a la izquierda y el más a la derecha con respecto a P 3.

Ocherkovykh Se llaman puntos cuyas proyecciones se encuentran en los contornos de la superficie.

Puntos de cambio de visibilidad delimitar la proyección de la línea de intersección en las partes visible e invisible. Los puntos de cambio de visibilidad siempre se seleccionan a partir de puntos de croquis. Sucede a menudo que un mismo punto es al mismo tiempo un punto extremo, un punto de contorno y un punto de cambio de visibilidad.

Después de determinar los puntos de referencia al construir una línea curva, para determinar con mayor precisión su naturaleza, se determinan una serie de puntos aleatorios.

Puntos aleatorios– estos son puntos que se toman arbitrariamente. A menudo, el tipo de sección se conoce de antemano. Consideremos qué secciones se obtienen en las superficies más habituales.

Cono– una superficie en la que se obtienen cinco tipos de secciones diferentes:

Si el plano de corte pasa por el vértice del cono, entonces la sección transversal resulta en un triángulo (todas las líneas son rectas). Si el plano de corte no pasa por un vértice, la sección producirá líneas curvas.

Si el plano de corte se ubica en un ángulo indirecto con respecto a la base y no es paralelo a ninguna de las generatrices, entonces se obtiene una elipse (m) en la sección.

Si el plano de corte es paralelo a cualquier generatriz del cono, la sección produce una parábola (n).

Si el plano de corte es paralelo a dos generadores, la sección produce una hipérbola (k).

Si el plano de corte es paralelo a la base y cono recto perpendicular al eje, se obtiene un círculo (e) en sección transversal, el radio del círculo se mide desde el eje hasta el contorno (Fig. 55).

Cilindro– una superficie en cuya sección transversal se obtienen tres tipos de figuras planas:

Si el plano de corte es paralelo a la base y perpendicular al eje, se obtiene un círculo en la sección el radio del círculo coincide con el radio de la base;

Si el plano de corte es paralelo al eje, la sección resulta en un rectángulo.

Si el plano de corte está ubicado en ángulo con la base y cruza todas las líneas de formación, se obtiene una elipse en la sección (Fig. 56).

Esfera- una superficie en cuya sección transversal se obtiene siempre un círculo, cualquiera que sea la posición del plano de corte. El radio del círculo se determina de la siguiente manera: se baja una perpendicular desde el centro de la esfera al plano de corte, y el radio del círculo se mide desde el punto de intersección de la perpendicular con el plano hasta el contorno de la esfera. (Fig. 57) para (2), para (2) se toma el radio desde las esferas del eje hasta el ensayo.

Si el plano de corte es general, entonces para resolver tal problema es conveniente transformar dibujo complejo de modo que el plano de corte sobresalga y luego continúe con la solución de acuerdo con el esquema descrito anteriormente (Fig. 58).

Cuando una superficie se cruza con una línea recta, es necesario determinar dos puntos de intersección, que se denominan puntos de entrada y salida de la línea.

El problema se resuelve según el siguiente esquema:

Una de las proyecciones de la línea recta se coloca en el plano de proyección, luego se resuelve el problema de construir una sección de la superficie por el plano de proyección. Una vez construida la sección, se encuentran los puntos comunes de la sección con la proyección de la recta.

Las proyecciones faltantes de los puntos de intersección se construyen en función de su pertenencia a una línea recta utilizando líneas de comunicación.

Se determina la visibilidad (sin determinar la visibilidad, el problema se considera no resuelto) (Fig. 59).

Al resolver el problema de la intersección de una línea recta con una superficie, se pueden utilizar ampliamente métodos para transformar un dibujo complejo, en particular, el método de reemplazo de planos (Fig. 60).

Intersección mutua de dos superficies.

Cuando dos superficies se cruzan, se forman una o dos líneas espaciales cerradas (líneas de transición), que pertenecen simultáneamente a cada una de las superficies que se cruzan. Estas líneas se construyen utilizando puntos individuales. Se obtiene una línea en el caso de inserción, es decir cuando ambas superficies están parcialmente involucradas en la intersección. Se obtienen dos líneas en casos de penetración, es decir. cuando al menos una de las superficies está completamente involucrada en la intersección.

Si en la intersección intervienen dos poliedros, entonces la línea de intersección resulta ser una línea discontinua, que consta de varios segmentos rectos. Si un poliedro y una superficie curva se cruzan, entonces la línea de intersección es una curva quebrada. Si dos superficies curvas se cruzan, el resultado es una línea curva suave. Existe una secuencia para determinar los puntos de la línea de intersección. En primer lugar, se determinan los puntos de referencia. Estos incluyen extremos, contornos (determinados en cada contorno de cada superficie), puntos de cambio de visibilidad (seleccionados entre los contornos). Si un poliedro está involucrado en la intersección, entonces los puntos de intersección de sus aristas con otra superficie también pertenecen a los puntos de referencia.

Una vez encontrados los puntos de referencia, el puntos aleatorios. Estos puntos son necesarios si en la intersección interviene una superficie curva, ya que si al menos una de las superficies es curva, el resultado es una línea curva. Cuantos más puntos aleatorios se tomen, con mayor precisión se construirá la línea curva.

Los problemas que involucran la intersección mutua de dos superficies se dividen en tres grupos de dificultad.:

Primer grupo de dificultad– ambas superficies sobresalen. En este caso, en el dibujo complejo original se especifican dos proyecciones del elemento común (es decir, líneas de intersección): coinciden con las proyecciones principales (degeneradas) de las superficies salientes. Sólo necesitas designarlos. A veces se hace necesario construir una tercera proyección faltante. En este caso, una de las proyecciones dadas de las líneas de intersección se divide en puntos, en la segunda proyección de la línea dada hay proyecciones de los puntos designados, y luego se construye una tercera proyección a partir de dos proyecciones de puntos usando líneas de comunicación ( Figura 61).

Segundo grupo de dificultad– una superficie sobresale, la otra está en posición general. Una proyección del elemento común se especifica en el dibujo original: coincide con la proyección principal (degenerada) de la superficie saliente. Es necesario designarlo. La segunda proyección de un elemento general viene determinada por la condición de su pertenencia a una superficie genérica. Para hacer esto, es necesario dividir la proyección existente de la línea de intersección en puntos (de referencia y aleatorios) y luego construir las proyecciones faltantes de estos puntos a partir de la condición de que pertenezcan a una superficie general. Si el cono es una superficie en posición general (Fig.62a) y el prisma es una superficie saliente, entonces la proyección frontal de la línea de intersección, coincidiendo con proyección frontal El prisma se divide en puntos y a través de ellos se trazan paralelas. Luego se mide el radio del paralelo (desde el eje hasta el contorno) y se dibuja un círculo de este radio en otra proyección, después de lo cual, utilizando líneas de comunicación, se encuentran las proyecciones faltantes de los puntos de la línea de intersección. Cuando se encuentran todos los puntos, se conectan mediante una curva suave.

El problema se resuelve de la misma forma si la figura general es una esfera (Fig. 62b).

Tercer grupo de complejidad– ambas superficies que se cruzan en posición general. En este caso, no se especifica ninguna de las proyecciones de la línea de intersección de la superficie en el dibujo complejo original. Estos problemas se resuelven introduciendo intermediarios, lo que reduce la solución de cada problema a la intersección de dos líneas obtenidas de la intersección del intermediario con superficies dadas.

Existen dos formas de solucionar este tipo de problemas: el método de los planos auxiliares de corte y el método de las esferas.

Método de planos de corte auxiliares. Se utiliza si la sección transversal de ambas superficies resulta en una simple construcción grafica líneas (círculos o líneas rectas). Se requieren planos de corte. situación privada, en la mayoría de los casos se eligen como mediadores planos nivelados. Veamos este método para resolver el problema usando un ejemplo.

Ejemplo:

Construya la línea de intersección del hemisferio P y la pirámide Q (Fig. 63).

a) El análisis del dibujo muestra que se trata de un problema del tercer grupo de complejidad (la pirámide y el hemisferio son figuras de posición general). El problema se soluciona con la ayuda de intermediarios. Seleccionamos planos horizontales del nivel como intermediarios. Se cruzan con P a lo largo de paralelos y a Q a través de triángulos: líneas gráficamente simples.

b) Determine los puntos de referencia en la línea de intersección m. Encontramos los puntos de intersección de los bordes de la pirámide con el hemisferio: M 1, F 1 y E 1. El punto М=SBP se encuentra utilizando el plano ( 1) – el plano del meridiano principal del hemisferio P. Los puntos E y F se obtienen como resultado de la intersección de los bordes AS y SC y el hemisferio P , los puntos se encuentran usando el plano ( 2) – plano ecuador del hemisferio. Los puntos M, E, F son puntos extremos, así como puntos de croquis en P 2, los puntos E y F son puntos de croquis en P 1 y también son puntos de cambio de visibilidad en P 1.

c) Los puntos aleatorios se determinan utilizando planos de nivel ( 2) y Г(Г 2); P=n(n 2 ,n 1) - paralelo del hemisferio Q= yo(yo 2 ,yo 1) – triángulo DTS; nL=puntos 1 y 2. De manera similar, usando el plano Г(Г 2), se encuentran los puntos 3 y 4.

d) Conectar los puntos encontrados de la línea m, teniendo en cuenta la visibilidad.

e) Determinar la visibilidad mutua de P y Q.

Método de esferas auxiliares. se basa en una propiedad de la superficie de revolución: si el centro superficie esférica se ubica en el eje de la superficie de revolución (la esfera y la superficie de revolución en este caso se llaman coaxiales), luego, cuando se cruzan, se forma un círculo. Además, los planos de estos círculos están ubicados perpendiculares al eje de la superficie de rotación (Fig. 64a, b).

Gracias a esta propiedad, las superficies esféricas se utilizan como superficies auxiliares para determinar los puntos de intersección entre las superficies de dos cuerpos de revolución con ejes que se cruzan. El método donde se toma la esfera como intermediaria se llama método de esferas concéntricas auxiliares. Se aplica sólo si se cumplen tres condiciones:

Ambas superficies deben ser superficies de revolución.

Ambas superficies deben tener un eje de simetría común (es decir, deben ser coaxiales).

Los ejes de simetría de las superficies que se cruzan deben ser líneas rectas y estos ejes deben cruzarse.

Considere la aplicación de este método utilizando un ejemplo práctico.

Ejemplo:

Trace una línea de intersección entre las superficies del cilindro y el cono, cuyos ejes se cruzan en ángulo (Fig. 65). El plano de simetría común de ambos cuerpos P(P 1) es paralelo al plano P 2.

Por lo tanto, el más alto y punto más bajo las líneas de intersección M(M 1, M 2) y N(N 1, N 2) se obtienen en la intersección de los generadores de contorno. Todos los demás puntos de la línea de intersección se encuentran utilizando esferas auxiliares, dibujadas desde el punto de intersección de los ejes del cono y el cilindro O(O 1, O 2). Esfera radio más pequeño es una esfera inscrita en la superficie de uno de los cuerpos que se cruzan. Tal esfera debe cruzarse con la superficie de otro cuerpo. Para determinar cuál de las figuras que se cruzan encaja en la esfera más pequeña y los puntos de intersección de los ejes O(O 2), bajamos las perpendiculares a las generatrices del contorno de las figuras; la perpendicular que sea mayor será el radio de la esfera más pequeña (R min =O 2 K 2). La esfera Ф(Ф 2) extraída del centro O(O 2) inscrita en la superficie del cono toca la superficie del cono a lo largo del círculo m(m 2,m 1) y se cruza con la superficie del cilindro a lo largo del círculo norte(norte 2). Ambos círculos se proyectan sobre P 2 en forma de segmentos rectos K 2 K` 2 y A 2 A` 2. Dado que los círculos construidos pertenecen a la misma esfera Ф, se cruzan en dos puntos mi(E 1, E 2) y F(F 1, F 2), que son comunes a las superficies del cono y el cilindro y, por tanto, están ubicados en la línea de su intersección.

Los puntos arbitrarios 1, 2, 3, 4 se definen utilizando una esfera concéntrica ( 2) con un radio arbitrariamente ligeramente mayor que el radio de la esfera inscrita. Después de encontrar todos los puntos en dos proyecciones, se conectan con una línea suave en P 2 y en P 1, teniendo en cuenta la visibilidad.

Si dos superficies que se cruzan son figuras de revolución y tienen un plano de simetría común, pero los ejes de estos planos no se cruzan, entonces en este caso se aplica método de esfera excéntrica. En este método, los puntos de la línea de intersección entre dos superficies se determinan utilizando esferas extraídas de diferentes centros.

Veamos la aplicación de este método usando un ejemplo.

Ejemplo:

Construya una línea de intersección entre las superficies del cono y el toroide (Fig. 66).

Primero determinamos los puntos de referencia. El plano de simetría común de ambos cuerpos es paralelo al plano P2. Es por eso punto más alto la línea de intersección M(M 1, M 2) se obtiene en la intersección de los generadores de contorno. El plano base de ambas figuras también coincide y es paralelo a P 1. Sobre P 1, ambas bases se proyectan desde el dibujo del plano ( 2) en forma de círculos y su intersección da los dos puntos inferiores de la línea de intersección E(E 1, E 2) y F(F 1, F 2 ). para determinar puntos arbitrarios 1, 2 dibuja a través del eje del toro un plano auxiliar que se proyecta frontalmente, que cruzará el toro en un círculo con el centro A(A 2 se proyecta sobre P 2 en forma de segmento B 2 B`); 2. desde el centro de este círculo (A 2) se traza una perpendicular al segmento B 2 B` 2. Al cruzarse con el eje del cono, determina el centro de la esfera O(O 2). Desde el centro O(O 2) se dibuja una esfera auxiliar Ф(Ф 2) de tal radio que cruza el toro a lo largo del círculo ВВ`(В 2 В` 2). Esta esfera cruza el cono a lo largo del círculo CC`(C 2 C` 2). Ambos círculos encontrados se cruzarán en dos puntos 1(1 2 ,1 1) y 2(2 2 ,2 1), ubicados en la línea de intersección de las superficies del cono y el toro.

Los puntos 3 y 4 se determinan usando la esfera auxiliar ( 2) desde el centro O`(O` 2), encontrada mediante una construcción similar usando el plano auxiliar Q(Q 2). Una vez encontrados todos los puntos, en dos proyecciones se conectan mediante una línea curva suave en P 2 y P 1. Finalmente, se determina la visibilidad mutua del cono y el toro.

EN En algunos casos, la curva que se obtiene al cruzar superficies de revolución se divide en dos curvas planas., es decir. a curvas de segundo orden. Las condiciones bajo las cuales la línea de intersección se divide en dos curvas planas se especifican en tres teoremas:

Teorema 1. Si dos superficies de revolución (segundo orden) se cruzan a lo largo de una curva plana, entonces se cruzan a lo largo de otra curva plana (Fig. 67a, b).

Teorema 2. Si dos superficies de revolución se tocan en dos puntos (Fig. 68 N y M), entonces la línea de su intersección se divide en dos curvas planas. Los planos de estas curvas se cruzan a lo largo de una línea recta (Fig. 68 MN) que conecta los puntos de contacto de las superficies.

Teorema 3.(Teorema de G. Monge) Si alrededor de la tercera superficie de revolución de segundo orden (esfera) se inscriben o describen superficies de revolución de segundo orden, entonces, como resultado de su intersección, se forman dos curvas planas de segundo orden (Fig. 69).

Desarrollo de superficies.

El desarrollo se llama figura plana, obtenido combinando la superficie desarrollable con el plano.

Las superficies que pueden alinearse con un plano sin roturas ni pliegues se denominan desarrollables.

Veamos diferentes tipos de exploraciones:

a) Desarrollos de precisión (superficies facetadas, cono y cilindro) (Fig. 70).

b) Aproximadas (superficies desarrollables curvas). La superficie curva se reemplaza por una superficie facetada. La precisión del escaneo depende del tamaño de las secciones de la superficie facetada y, por tanto, de su número (Fig. 71). Para obtener la superficie deseada a partir de un desarrollo aproximado, basta con doblar la fina lámina sobre la que se dibuja el desarrollo.

c) Aproximadamente - desarrollos condicionales (superficies curvas no urbanizables).

Teóricamente las superficies no urbanizables no pueden tener urbanizaciones. Se obtiene un desarrollo condicional si esta superficie se reemplaza por superficies desarrollables tan simples como cilindros y conos. Estos últimos, a su vez, son sustituidos por superficies multifacéticas que se despliegan.

Hay varias formas de construir desarrollos de superficie:

Método del triángulo (triangulación). Este método se utiliza para construir desarrollos de superficies facetadas y todas las superficies regladas. La superficie reglada curva se reemplaza por una superficie facetada inscrita (Fig. 70, 71).

Método de sección normal(Figura 72).

Método rodante.

Método de cilindro auxiliar y cono.(para construir escaneos condicionalmente aproximados).

Veamos varios ejemplos de construcción de desarrollos de superficie:

Ejemplo 1. Construya un desarrollo de la superficie de la pirámide (Fig. 70). Dado que las caras laterales de la pirámide son triángulos, la construcción de su desarrollo se reduce a la construcción de los valores naturales de estos triángulos y los valores naturales de la base. Las dimensiones naturales de las nervaduras se determinan mediante el método de movimiento plano-paralelo. El desarrollo de una pirámide es una serie de caras y una base unidas entre sí.

Ejemplo 2. Construya un desarrollo de la superficie lateral de un cono truncado (Fig. 71). Reemplazamos la superficie del cono con una pirámide octogonal inscrita en el cono. El tamaño natural de las generatrices se determina mediante el método de movimiento plano-paralelo.

Esta construcción se puede realizar en el dibujo original moviendo todas las generatrices y segmentos sobre ellas a la posición de la generatriz más externa, que es paralela a P 2. Reemplazamos los arcos de la base del cono con una serie de cuerdas y construimos el desarrollo de manera similar al desarrollo de una pirámide (una serie de triángulos). Luego conectamos los puntos resultantes con una línea curva suave.

Ejemplo 3. construir un barrido prisma inclinado(Figura 72). Para determinar la distancia entre las nervaduras del prisma, es necesario construir el valor natural de la sección normal por el plano P(P 2), perpendicular a las nervaduras laterales. El tamaño real de una sección normal se determina reemplazando los planos de proyección o el movimiento de planos paralelos. En un desarrollo, la figura de una sección normal es una línea recta, cuya longitud es igual a la suma de los lados de la sección normal. Los tamaños reales de las nervaduras AA`, BB`, CC`, DD` se eliminan de P 2, porque los bordes de este prisma son paralelos a P 2, entonces su tamaño real se lee en P 2. Si los bordes del prisma son líneas rectas de posición general, primero es necesario determinar su tamaño natural, luego la naturaleza de la sección normal y construir un desarrollo de acuerdo con las recomendaciones descritas anteriormente.