¿Cuál es otro nombre para un sistema de coordenadas rectangular? Sistema de coordenadas rectangulares

Para determinar la posición de un punto en el espacio utilizaremos coordenadas rectangulares cartesianas (Fig. 2).

El sistema de coordenadas rectangular cartesiano en el espacio está formado por tres ejes de coordenadas OX, OY, OZ mutuamente perpendiculares. Los ejes de coordenadas se cruzan en el punto O, que se llama origen, en cada eje se selecciona una dirección positiva, indicada por flechas, y una unidad de medida para los segmentos en los ejes. Las unidades de medida suelen ser (no necesariamente) las mismas para todos los ejes. El eje OX se llama eje de abscisas (o simplemente abscisas), el eje OY es el eje de ordenadas y el eje OZ es el eje de aplicación.

La posición del punto A en el espacio está determinada por tres coordenadas x, y y z. La coordenada x es igual a la longitud del segmento OB, la coordenada y es la longitud del segmento OC, la coordenada z es la longitud del segmento OD en las unidades de medida seleccionadas. Los segmentos OB, OC y OD están definidos por planos trazados desde un punto paralelo a los planos YOZ, XOZ y XOY, respectivamente.

La coordenada x se llama abscisa del punto A, la coordenada y se llama ordenada del punto A y la coordenada z se llama aplicación del punto A.

Simbólicamente se escribe así:

o vincular el registro de coordenadas a punto específico usando índice:

x A , y A , z A ,

Cada eje se considera como una recta numérica, es decir, tiene una dirección positiva y los puntos que se encuentran en rayo negativo, atribuido valores negativos coordenadas (la distancia se toma con un signo menos). Es decir, si, por ejemplo, el punto B no se encuentra como en la figura, en el rayo OX, sino en su continuación en reverso desde el punto O (en la parte negativa del eje OX), entonces la abscisa x del punto A sería negativa (menos la distancia OB). Lo mismo ocurre con los otros dos ejes.

Ejes de coordenadas OX, OY, OZ, mostrados en la Fig. 2, forma un sistema de coordenadas diestro. Esto significa que si miras el plano YOZ a lo largo de la dirección positiva del eje OX, entonces el movimiento del eje OY hacia el eje OZ será en el sentido de las agujas del reloj. Esta situación se puede describir utilizando la regla de la barrena: si la barrena (tornillo con rosca a la derecha) se gira en la dirección del eje OY al eje OZ, entonces se moverá a lo largo de la dirección positiva del eje OX.

Los vectores de longitud unitaria dirigidos a lo largo de los ejes de coordenadas se denominan vectores unitarios de coordenadas. Generalmente se les designa como (Fig. 3). También está la designación Los vectores unitarios forman la base del sistema de coordenadas.

En el caso de un sistema de coordenadas diestro, válido siguientes fórmulas con productos vectoriales de vectores:

1. Sistema de coordenadas rectangulares en un plano.

Un sistema de coordenadas rectangular en un plano está formado por dos ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares. X"X Y Y"Y oh, que se llama origen, se elige la dirección positiva en cada eje. EN lado derecho sistema de coordenadas, la dirección positiva de los ejes se elige de modo que cuando el eje se dirija Y"Y arriba, eje X"X miró hacia la derecha.

Cuatro esquinas (I, II, III, IV) formadas por los ejes de coordenadas X"X Y Y"Y, se denominan ángulos coordenados o cuadrantes (ver Fig. 1).

Posición del punto A en el plano está determinado por dos coordenadas X Y y. Coordinar X igual a la longitud del segmento TRANSMISIÓN EXTERIOR., coordinar y- longitud del segmento JEFE. en unidades de medida seleccionadas. Segmentos TRANSMISIÓN EXTERIOR. Y JEFE. están determinadas por líneas trazadas desde el punto A paralelo a los ejes Y"Y Y X"X respectivamente. Coordinar X llamado abscisa puntos A, coordinar y - ordenada puntos A. Escríbelo así: A ( X, y)

si el punto A se encuentra en ángulo coordenado entonces señalo A tiene abscisas y ordenadas positivas. si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado II, entonces el punto A tiene una abscisa negativa y una ordenada positiva. si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado III, entonces el punto A tiene abscisas y ordenadas negativas. si el punto A se encuentra en el ángulo coordenado IV, entonces el punto A tiene una abscisa positiva y una ordenada negativa.

2. Coordenadas polares.

Una cuadrícula polar en la que se trazan varios ángulos, marcados en grados.

sistema polar coordenadas- un sistema de coordenadas bidimensional en el que cada punto del plano está definido por dos números: ángulo y distancia. El sistema de coordenadas polares es especialmente útil en casos donde las relaciones entre puntos se representan más fácilmente en términos de distancias y ángulos; en el sistema de coordenadas cartesiano o rectangular más común, tales relaciones sólo pueden establecerse aplicando ecuaciones trigonométricas.

El sistema de coordenadas polares está definido por un rayo, que se llama eje cero o polar. El punto de donde emerge este rayo se llama origen o polo. Cualquier punto del plano está definido por dos coordenadas polares: radial y angular. Coordenada radial (generalmente denotada r) corresponde a la distancia del punto al origen. La coordenada angular, también llamada ángulo polar o azimut y denotada por φ, es igual al ángulo que se debe girar el eje polar en sentido antihorario para llegar a ese punto.

La coordenada radial así definida puede tomar valores de cero a infinito, y la coordenada angular varía de 0° a 360°. Sin embargo, por conveniencia, el rango Coordenada polar se puede ampliar más allá ángulo completo, y también permitirle tomar valores negativos, lo que corresponde a una rotación en el sentido de las agujas del reloj del eje polar.

3. Dividir segmentos en a este respecto.

Se requiere dividir el segmento AB que conecta los puntos A(x1;y1) y B(x2;y2) en una proporción dada λ > 0, es decir.jpg" align="left" width="84 height=84" height= "84">

Solución: Introduzcamos vectores https://pandia.ru/text/78/214/images/image006_41.gif" width="18" height="13 src=">..gif" width="79" height=" 15 src=">, es decir, y es decir.

La ecuación (9.1) toma la forma

Teniendo en cuenta que vectores iguales tienen coordenadas iguales, obtenemos:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image014_27.gif" width="56 height=28" height="28"> (9.2) y

https://pandia.ru/text/78/214/images/image016_26.gif" width="60 height=29" height="29"> (9.3)

Las fórmulas (9.2) y (9.3) se llaman Fórmulas para dividir un segmento a este respecto.. En particular, para λ = 1, es decir, gif" width="54" height="29 src=">. En este caso, el punto M(x;y) es punto medio del segmento AB.

Comentario:

Si λ = 0, entonces esto significa que los puntos A y M coinciden si λ< 0, то точка Μ лежит вне отрезка АВ - говорят, что точка M делит отрезок АВ externamente, porque de lo contrario, es decir, AM + MB = 0, es decir, AB = 0).

4. Distancia entre puntos.

Se requiere encontrar la distancia d entre los puntos A(x1;y1) y B(x2;y2) del avión.

Solución: La distancia requerida d es igual a la longitud del vector, es decir

5. Ecuación de una recta que pasa por dos puntos.

Si marcamos dos puntos arbitrarios M1(x1, y1, z1) y M2(x2, y2, z2) en una línea recta en el espacio, entonces las coordenadas de estos puntos deben satisfacer la ecuación de la línea recta obtenida anteriormente:

.

Además, para el punto M1 podemos escribir:

.

Resolviendo estas ecuaciones juntas, obtenemos:

.

Esta es la ecuación de una línea que pasa por dos puntos en el espacio.

6. Determinantes de 2º orden.

El valor del determinante de segundo orden se calcula fácilmente por definición utilizando la fórmula.

7. Determinantes de 3er orden.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image030_15.gif" width="120" height="61 src="> esquema para calcular el determinante utilizando el método del triángulo, es decir:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" width="72" height="51 src=">DIV_ADBLOCK251">

9. Resolución de SLE mediante el método de Cramer.

Teorema de Cramer: Un sistema de N ecuaciones con N incógnitas, cuyo Determinante es distinto de cero, siempre tiene una solución y es única. Se encuentra de la siguiente manera: el valor de cada una de las incógnitas es igual a una fracción cuyo denominador es el determinante del sistema, y ​​el numerador se obtiene del determinante del sistema reemplazando la columna de coeficientes por la incógnita. desconocido con la columna de los términos requeridos.

Este sistema de ecuaciones tendrá única decisión sólo cuando el determinante formado por coeficientes para X1 - n no será igual a cero. Denotemos este determinante con el signo - Δ. Si este determinante no es igual a cero, entonces resolvemos más. Entonces cada Xi = Δi / Δ, donde Δi es un determinante formado por coeficientes para X1 - n, sólo los valores de los coeficientes en la i -ésima columna se reemplazan con valores después del signo igual en el sistema de ecuaciones, y Δ es el principal determinante

Sistema de enésimo orden https://pandia.ru/text/78/214/images/image037_14.gif" ancho="112" alto="46"> .gif" ancho="79" alto="46">.gif" ancho="264" alto="48">.gif" ancho="120" alto="29">DIV_ADBLOCK252">

10. Resolución de SLE mediante el método matricial.

Las matrices permiten escribir brevemente el sistema. ecuaciones lineales. Sea un sistema de 3 ecuaciones con tres incógnitas:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image046_13.gif" width="75" height="41"> y columnas de matrices de miembros desconocidos y libres

busquemos el trabajo

https://pandia.ru/text/78/214/images/image049_13.gif" width="108" height="41"> o menos A∙X=B.

Aqui estan las matrices A Y B son conocidos, y la matriz X desconocido. Es necesario encontrarlo, porque sus elementos son la solución a este sistema. Esta ecuación se llama ecuación matricial.

Sea el determinante de la matriz diferente de cero | A| ≠ 0. Entonces ecuación matricial se resuelve de la siguiente manera. Multiplica ambos lados de la ecuación de la izquierda por la matriz. A-1, inversa de la matriz A: https://pandia.ru/text/78/214/images/image051_13.gif" width="168" height="59">

Decidir método matricial el siguiente sistema ecuaciones:

Atención: Los ceros aparecen si falta una variable, es decir, por ejemplo, si X3 no se proporciona en la condición, entonces es automáticamente igual a cero. Lo mismo con X1 y X2

https://pandia.ru/text/78/214/images/image057_9.gif" ancho="56 altura=54" altura="54">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image065_8.gif" ancho="160 altura=51" altura="51">

Respuesta:

# un dado:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image074_5.gif" ancho="59 altura=16" altura="16"> Respuesta:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image081_5.gif" width="106" height="50 src=">

Encontremos la matriz inversa.

Resta la primera línea de todas las líneas debajo de ella. Esta acción no contradice transformaciones elementales matrices.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image083_4.gif" width="172" height="52 src=">

Resta la tercera línea de todas las líneas encima de ella. Esta acción no contradice las transformaciones matriciales elementales.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image085_5.gif" width="187" height="53 src=">

Reduzcamos todos los coeficientes de la diagonal principal de la matriz a 1. Dividamos cada fila de la matriz por el coeficiente de esta fila ubicada en la diagonal principal, si no es igual a 1. La matriz cuadrada que resulta a la derecha de la unidad uno es el inverso del principal.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image087_4.gif" width="172" height="52 src=">

11. Vectores. Suma de vectores.

http://www. bigpi. *****/encicl/articles/15/1001553/1001553A. htm

Vector nombra la cantidad caracterizada valor numérico, dirección en el espacio y sumando geométricamente otra cantidad similar.

Gráficamente, los vectores se representan como segmentos rectos dirigidos de cierta longitud, como https://pandia.ru/text/78/214/images/image089_5.gif" width="17" height="17 src="> o DIV_ADBLOCK254 ">

Suma de vectores: La suma de los vectores a(a1; a2) y b(b1; b2) es el vector c(a1+b1; a2+b2). Para cualesquiera vectores a(a1; a2), b(b1; b2), c(с1; с2) las igualdades son válidas:

Teorema: Cualesquiera que sean los tres puntos A, B y C, existe una igualdad vectorial https://pandia.ru/text/78/214/images/image094_4.gif" width="126" height="49">

Al agregar dos Los vectores suelen utilizar el llamado " regla del paralelogramo" En este caso, se construye un paralelogramo utilizando los vectores sumando como su lados adyacentes. La diagonal del paralelogramo trazada desde el punto donde se conectan los comienzos de los vectores es la suma requerida (Fig. 4, izquierda).

Es fácil ver (Fig. 4, derecha) que esta regla conduce al mismo resultado que el método anterior. Al sumar más de dos vectores " regla del paralelogramo» prácticamente no se utiliza debido a su construcción engorrosa. La suma de vectores es conmutativa, es decir,
A + b = b + A.

Y también la cantidad un cierto número los vectores no dependen del orden en que se suman, es decir, ( A + b) + d = a + (b + d). En este caso, dicen que la suma de vectores es asociativa, es decir, se cumple la ley de combinación.

12. Producto escalar de vectores.

http://www. dpva. info/Guía/GuíaMatemáticas/Álgebra Lineal/MultiplicaciónVectores Escalares/

El producto escalar de vectores es una operación sobre dos vectores que da como resultado un número (no un vector).

https://pandia.ru/text/78/214/images/image097_5.gif" ancho="86" alto="23">

En otras palabras, el producto escalar de vectores es igual al producto de las longitudes de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos. Cabe señalar que el ángulo entre dos vectores es el ángulo que forman si se apartan de un punto, es decir, los orígenes de los vectores deben coincidir.

Las siguientes propiedades más simples se derivan directamente de la definición:

1. El producto escalar de un vector arbitrario a por sí mismo (cuadrado escalar del vector a) siempre es no negativo e igual al cuadrado de la longitud de este vector. Además, el cuadrado escalar de un vector es igual a cero si y sólo si el vector dado es cero.

2. Producto escalar de cualquier vectores perpendiculares a y b son iguales a cero.

3. El producto escalar de dos vectores es cero si y sólo si son perpendiculares o al menos uno de ellos es cero.

4. El producto escalar de dos vectores a y b es positivo si y sólo si existe un ángulo agudo entre ellos.

5. El producto escalar de dos vectores a y b es negativo si y sólo si existe un ángulo obtuso entre ellos.

Definición alternativa producto escalar, o calcular el producto escalar de dos vectores especificados por sus coordenadas.

(Calcular las coordenadas de un vector si se dan las coordenadas de su inicio y final es muy sencillo:

Sea un vector AB, A - el comienzo del vector, B - el final y las coordenadas de estos puntos.

A=(a1,a2,a3), B=(b1,b2,b3)

Entonces las coordenadas del vector AB son:

AB=(b1-a1, b2-a2, b3-a3) .

Lo mismo ocurre en el espacio bidimensional: simplemente no hay terceras coordenadas)

Entonces, sean dados dos vectores, definidos por un conjunto de sus coordenadas:

a) En un espacio bidimensional (en un plano)..gif" ancho="49" alto="19 src=">

Entonces su producto escalar se puede calcular mediante la fórmula:

b) B espacio tridimensional: ;

Similar al caso bidimensional, su producto escalar se calcula mediante la fórmula:

DIV_ADBLOCK257">

Entonces, tengamos dos vectores: https://pandia.ru/text/78/214/images/image104_4.gif" width="73" height="23 src=">

Y necesitamos encontrar el ángulo entre ellos. Usando sus coordenadas, encontramos sus longitudes y luego simplemente igualamos las dos fórmulas para el producto escalar. De esta forma obtenemos el coseno del ángulo deseado.

Longitud del vector A calculado como la raíz del cuadrado escalar del vector A, que calculamos usando la fórmula del producto escalar de vectores especificados por las coordenadas:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image107_3.gif" ancho="365" alto="23">

Medio, ,

Se ha encontrado el ángulo requerido.

13. Ilustraciones vectoriales.

http://www. dpva. info/Guía/GuíaMatemáticas/Álgebralineal/vectorVectoresMultiplicación/

Producto cruzado de dos vectores a y b es una operación sobre ellos, definida sólo en el espacio tridimensional, cuyo resultado es vector con las siguientes propiedades:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image111_3.gif" width="83" height="27">, donde a Y b.

3) El vector está dirigido de tal manera que si traes el vector https://pandia.ru/text/78/214/images/image117_3.gif" width="13" height="24 src=">. gif" width=" 13" height="24"> al vector será EN EL SENTIDO CONTRARIO A LAS HORARIOS.

Para mayor claridad, demos un ejemplo: en la figura de la derecha hay un vector: producto vectorial vectores a y b. Como se indica en la definición, hemos reducido los tres vectores a comienzo general, y luego, si miras los vectores a y b desde el final del vector, el giro más corto del vector a al vector b será en sentido antihorario.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image119_3.gif" ancho="76" alto="25">

Además, directamente de la definición se deduce que para cualquier factor escalar k (número) se cumple lo siguiente:

det A https://pandia.ru/text/78/214/images/image182_2.gif" width="56 height=32" height="32">

7.2 Encontrar el determinante de una matriz de tercer orden usando la regla del triángulo

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A cada elemento de una Matriz cuadrada (cuyo orden sea mayor o igual a tres) se le pueden asociar dos números llamados COMPLEMENTO MENOR o ALGEBRAICO. El menor de un elemento Aij de una Matriz A cuadrada (de cualquier orden) se llama DETERMINANTE DE LA MATRIZ y se obtiene de la Matriz A eliminando la fila y la columna en cuya intersección se encuentra el elemento Aij. El signo M es la designación de Menor.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image034_15.gif" ancho="72" alto="51 src=">.gif" ancho="35" alto="19">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image194_1.gif" ancho="96 altura=82" altura="82">

Sea A = alguna Matriz de tercer orden, entonces el determinante de la matriz A es igual a:

Nota: El determinante se puede calcular a partir de los elementos. cualquier cuerdas o cualquier columna de esta Matriz.

# Encuentra el determinante de la Matriz por los elementos de la primera fila y la primera columna:

https://pandia.ru/text/78/214/images/image201_0.gif" width="58" height="56 src=">

https://pandia.ru/text/78/214/images/image203_0.gif" width="253" height="34 src=">

7.3 DETERMINANTE DE MATRIZ de enésimo orden

Sea A - matriz cuadrada enésimo orden. Entonces, la Matriz Determinante de enésimo orden se verá así:

Habiendo descompuesto los elementos de 1 fila, encuentre los elementos de la Matriz A

DIV_ADBLOCK262">

2) a12=0*(2*0*1+1*0*0+1*2*0)-0*(0*0*0+1*1*1+2*0*2)=0

3) a13=2*(2*2*1+1*1*0+0*0*2)-2*(0*2*0+1*0*1+2*2*1)=0

4) a14=-1*(2*2*0+1*1*1+0*0*0)-1*(1*2*0+1*0*0+2*1*0)=- 1

6. PROPIEDADES BÁSICAS DEL DETERMINANTE

1. El determinante no cambiará si sus filas se intercambian con las columnas correspondientes (transposición)

2. Al reorganizar dos filas o columnas, la Definición cambiará su signo al contrario.

3. multiplicador total todos los elementos de una fila (columna) se pueden sacar del signo determinante

4. Un determinante con dos filas o columnas idénticas siempre es igual a cero.

5. Si los elementos de dos filas (columnas) del determinante son proporcionales, entonces el determinante es igual a cero.

6. Si en alguna fila o columna del determinante sumamos, respectivamente, los elementos de otra fila o columna, multiplicados por el mismo número, entonces el determinante no cambiará su valor.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image208_0.gif" width="48" height="12">etc.

Determinante triangular- este es el determinante para el cual todos los elementos que se encuentran encima (o debajo) de la diagonal principal son ceros, igual al producto elementos de la diagonal principal.

https://pandia.ru/text/78/214/images/image210_0.gif" width="37" height="28 src=">DIV_ADBLOCK263">

Si existe una Matriz A inversa, entonces la Matriz se llama INVERTIBLE. Encontrar una matriz cuadrada tiene gran importancia al resolver ecuaciones lineales del sistema.

17. Matriz inversa.

http://www. mathelp. *****/libro1/omatrix. htm

1. Encuentra el determinante de Matiritsa A

2. Encuentre el complemento algebraico de todos los elementos de la Matriz A (Aij) y escriba una nueva Matriz

3. Transponer la nueva Matrix

4. Multiplica la Matriz transpuesta por el inverso del determinante. (Por ejemplo: al número 6 el determinante inverso será el número)

Denotemos ∆ =det A. Para que una Matriz A cuadrada tenga inversa, es necesario y suficiente que la Matriz no sea degenerada (distinta de cero). Matriz, matriz inversa A, denotada por A-1, entonces B = A-1..gif" width="12" height="19 src=">.gif" width="82" height="34 src="> - plano de normalización multiplicador, cuyo signo se elige signo opuesto D, si es arbitrario, si D=0.

21. Curvas de 2ª (ecuación de una circunferencia).

Definición 11.1.Curvas de segundo orden en un plano se llaman líneas de intersección cono circular con planos que no pasan por su vértice.

Si dicho plano cruza todas las generatrices de una cavidad del cono, entonces en la sección resulta elipse, en la intersección de las generatrices de ambas cavidades – hipérbola, y si el plano de corte es paralelo a cualquier generador, entonces la sección del cono es parábola.

Comentario. Todas las curvas de segundo orden se especifican mediante ecuaciones de segundo grado en dos variables.

Clasificación de curvas de segundo orden.

Curvas no degeneradas

no degenerado, si pueden ocurrir las siguientes opciones:

Curva no degenerada segundo orden se llama central si

· elipse - proporcionada D> 0 y Δ I < 0;

un caso especial de una elipse - un círculo - siempre I 2 = 4D o a 11 = a 22,a 12 = 0;

elipse imaginaria (ni un solo punto real) - sujeta a Δ I > 0;

· hipérbole - proporcionada D < 0;

Una curva de segundo orden no degenerada se llama no central si Δ I = 0

· parábola - proporcionada D = 0.

Curvas degeneradas: La curva de segundo orden se llama degenerar, si Δ = 0. Pueden ocurrir las siguientes opciones:

· punto real en la intersección de dos líneas imaginarias (elipse degenerada) - siempre D > 0;

· un par de líneas reales que se cruzan (hipérbola degenerada) - siempre D < 0;

· parábola degenerada - proporcionada D = 0:

· un par de líneas paralelas reales - proporcionadas B < 0;

· una línea real (dos líneas paralelas fusionadas) - proporcionada B = 0;

· un par de líneas paralelas imaginarias (ni un solo punto real) - siempre B > 0.

22. Elipse y su ecuación.

Definición 11.2.Elipse es el conjunto de puntos en el plano para los cuales la suma de las distancias a dos puntos fijos es F 1 y F 2 de este avión, llamado trucos, es un valor constante.

Comentario. Cuando los puntos coinciden F 1 y F 2 la elipse se convierte en un círculo.

Comentario. Con una elección diferente del sistema de coordenadas, es posible que no se especifique la elipse ecuación canónica(11.1), sino una ecuación de segundo grado de diferente tipo.

Propiedades de la elipse:

1) Una elipse tiene dos ejes de simetría mutuamente perpendiculares (los ejes principales de la elipse) y un centro de simetría (el centro de la elipse). Si una elipse está dada por una ecuación canónica, entonces sus ejes principales son los ejes de coordenadas y su centro es el origen. Dado que las longitudes de los segmentos formados por la intersección de la elipse con los ejes principales son iguales a 2 A y 2 b (2a>2b), Eso eje principal, que pasa por los focos se denomina eje mayor de la elipse y el segundo eje mayor se denomina eje menor.

Luego https://pandia.ru/text/78/214/images/image264.gif" width="141" height="122 src=">

Derivemos la ecuación canónica de una hipérbola por analogía con la derivación de la ecuación de una elipse, usando la misma notación.

|r1 - r2 | = 2a, dónde. Si designamos b² = C² - a², desde aquí puede obtener https://pandia.ru/text/78/214/images/image267.gif" width="38" height="30 src=">.gif" width="87" height= "44 fuente=">, (11.3`)

para lo cual se intercambian los ejes real e imaginario manteniendo las mismas asíntotas.

4) Excentricidad de la hipérbola mi> 1.

5) Relación de distancia Rhode Island Del punto de hipérbola al foco. fi a la distancia di desde este punto hasta la directriz correspondiente al foco es igual a la excentricidad de la hipérbola.

La demostración se puede realizar del mismo modo que para la elipse.

23. Parábola.

Definición 11.8.Parábola es el conjunto de puntos del plano cuya distancia a algún punto fijo es F este plano es igual a la distancia a alguna línea recta fija. Punto F llamado enfocar parábolas, y la línea recta es su directora.

Para derivar la ecuación de una parábola, elegimos un sistema de coordenadas cartesiano de modo que su origen sea el punto medio de la perpendicular. FD, bajó del foco a la directriz, y los ejes de coordenadas se ubicaron paralelos y perpendiculares a la directriz. Sea la longitud del segmento FD

D O F x es igual a R. Entonces de la igualdad r = d se deduce que https://pandia.ru/text/78/214/images/image271.gif" width="101 height=38" height="38">,

Usando transformaciones algebraicas, esta ecuación se puede reducir a la forma:

y² = 2 píxeles, (11.4) llamado ecuación de parábola canónica.

Magnitud R llamado parámetro parábolas.

Propiedades de una parábola :

1) Una parábola tiene un eje de simetría (eje de parábola). El punto donde la parábola corta al eje se llama vértice de la parábola. Si una parábola está dada por una ecuación canónica, entonces su eje es el eje Oh, y el vértice es el origen de coordenadas.

2) Toda la parábola se encuentra en el semiplano derecho del plano. Oh.

Comentario. Usando las propiedades de las directivas de una elipse y una hipérbola y la definición de parábola, podemos probar la siguiente afirmación:

El conjunto de puntos en el plano para los cuales la relación mi la distancia a algún punto fijo a la distancia a alguna línea recta es un valor constante, es una elipse (con mi<1), гиперболу (при mi>1) o parábola (con mi=1).

Reducir una ecuación de segundo orden a forma canónica.

Definición 11.9. Línea definida ecuación general segundo orden

https://pandia.ru/text/78/214/images/image274.gif" width="103 height=19" height="19"> puedes configurar una matriz

https://pandia.ru/text/78/214/images/image276.gif" width="204" height="24 src="> (suponiendo que λ .

En el caso de que uno de valores propios matrices A es igual a 0, la ecuación (11.5) como resultado de dos transformaciones de coordenadas se puede reducir a la forma: , (11.8) que es la ecuación canónica de una parábola.

24. Coordenadas rectangulares en el espacio.

Sistema de coordenadas rectangulares en el espacio. formado por tres ejes de coordenadas mutuamente perpendiculares BUEY, oy Y ONZ. Los ejes de coordenadas se cortan en el punto oh, que se llama origen de coordenadas, en cada eje se selecciona una dirección positiva, indicada por flechas, y una unidad de medida para los segmentos en los ejes. Las unidades suelen ser las mismas para todos los ejes (lo cual no es obligatorio). BUEY- eje de abscisas, oy- eje de ordenadas, ONZ- eje aplicador.

Si pulgar mano derecha tomar por dirección X, señalando la dirección Y, y el promedio de la dirección z, entonces se forma bien sistema coordinado. Dedos similares de la mano izquierda forman el sistema de coordenadas izquierdo. En otras palabras, la dirección positiva de los ejes se elige de modo que cuando el eje gire BUEY en sentido antihorario 90° su dirección positiva coincide con la dirección positiva del eje oy, si esta rotación se observa desde la dirección positiva del eje ONZ. Es imposible combinar los sistemas de coordenadas derecho e izquierdo de modo que coincidan los ejes correspondientes (ver Fig. 2).

Posición del punto A en el espacio está determinado por tres coordenadas X, y Y z. Coordinar X igual a la longitud del segmento TRANSMISIÓN EXTERIOR., coordinar y- longitud del segmento JEFE., coordinar z- longitud del segmento SOBREDOSIS. en unidades de medida seleccionadas. Segmentos TRANSMISIÓN EXTERIOR., JEFE. Y SOBREDOSIS. están determinados por planos dibujados desde el punto A paralelo a los planos YOZ, XOZ Y XOY respectivamente. Coordinar X llamada abscisa del punto A, coordinar y- ordenada del punto A, coordinar z- aplicar punto A. Escríbelo así: .

Demos ahora el concepto del método de coordenadas en un plano, es decir, indicaremos un método que permite determinar la posición de puntos en un plano utilizando números.

Tomemos dos líneas rectas mutuamente perpendiculares y establezcamos una dirección positiva en cada una de ellas. Estas rectas, respecto de las cuales determinaremos la posición de los puntos en el plano, se denominan ejes de coordenadas. Los ejes de coordenadas normalmente se colocan como se muestra en la Fig. 6: uno es horizontal y la dirección positiva se elige de izquierda a derecha, y el otro es vertical y la dirección positiva es de abajo hacia arriba. Uno de los ejes (generalmente horizontal) se llama eje de abscisas (eje Ox) y el otro se llama

Eje de ordenadas (eje Oy). El punto de intersección de los ejes de coordenadas se llama origen de coordenadas (en la Fig. 6, el origen de coordenadas se indica con la letra O). Finalmente, elijamos una unidad de escala (siempre asumiremos que se selecciona la misma unidad de escala en ambos ejes de coordenadas).

Ahora la posición de cualquier punto en el plano se puede determinar mediante números: las coordenadas de este punto. En efecto, a cada punto M del plano le corresponden en los ejes coordenados dos puntos P y Q, que son sus proyecciones sobre estos ejes (Fig. 6) y, a la inversa, conociendo los puntos en los ejes coordenados, es posible construir un solo punto M en el plano para el cual P y Q son proyecciones sobre estos ejes. Por tanto, determinar la posición del punto M en el plano se reduce a determinar las posiciones de sus proyecciones P y Q sobre los ejes de coordenadas.

Pero ya sabemos que la posición de un punto sobre el eje está completamente determinada por la coordenada. Sea la coordenada del punto P en el eje de abscisas y y la coordenada del punto Q en el eje de ordenadas. Los números xey determinan completamente la posición del punto M en el plano y se denominan coordenadas del punto; en este caso se llama abscisa del punto M, y y es su ordenada.

Así, la abscisa de un punto es el valor de un segmento dirigido del eje Ox, cuyo comienzo es el origen de coordenadas y el final es la proyección del punto sobre este eje; La ordenada de un punto es el valor de un segmento dirigido del eje Oy, cuyo comienzo es el origen de las coordenadas y el final es la proyección del punto sobre el eje de ordenadas.

Entonces, la posición de cualquier punto en el plano se determina completamente especificando un par de números xey, el primero de los cuales es la abscisa del punto y el segundo es su ordenada.

Acordamos escribir las coordenadas del punto entre paréntesis, junto a la letra que indica este punto, poniendo en primer lugar la abscisa, en segundo la ordenada y separándolas con una coma: Cuando se indica en la Fig. 6 la ubicación de los ejes de coordenadas para todos los puntos del plano que se encuentran a la derecha del eje Oy (eje de ordenadas), la abscisa es positiva y para los puntos que se encuentran a la izquierda del eje Oy es negativa. Los puntos sobre el propio eje Oy tienen una abscisa igual a cero. Exactamente de la misma manera, los puntos del plano que se encuentran por encima del eje Ox (eje de abscisas) tienen una ordenada y positiva, y los puntos que se encuentran debajo del eje tienen un eje negativo. Los puntos del propio eje Ox tienen una ordenada igual a cero. El origen tiene coordenadas (0, 0).

Los ejes de coordenadas dividen el plano en cuatro partes llamadas cuartos o cuadrantes (a veces también llamados ejes de coordenadas).

esquinas). La parte del plano encerrada entre los semiejes positivos Ox y Oy se llama primer cuadrante. A continuación, se numeran los cuadrantes en sentido antihorario (Fig. 7). Para todos los puntos del 1er cuadrante para los puntos del 2do cuadrante en el 3er cuadrante y en el 4to cuadrante

Las coordenadas que se toman aquí para determinar la posición de un punto en el plano se llaman coordenadas rectangulares, ya que el punto M del plano se obtiene mediante la intersección de dos rectas PM y QM (Fig.6), que se encuentran en ángulo recto, y también cartesiana, que lleva el nombre del matemático y filósofo Descartes, quien en 1637 publicó el primer trabajo. sobre geometría analítica.

El sistema de coordenadas rectangular cartesiano no es el único sistema coordinado, que nos permite determinar las posiciones de puntos en el plano (ver § 11 de este capítulo), pero es el más simple y en el futuro lo usaremos principalmente. El método de coordenadas descrito conduce a la solución de dos problemas principales.

Problema I. Para un punto M dado, encuentre sus coordenadas.

Desde este punto M bajamos perpendiculares al eje. Las bases de estas perpendiculares (puntos P y Q) determinarán ambas coordenadas requeridas. La primera coordenada del punto M, su abscisa, es igual al valor del segmento dirigido del eje OR. La segunda coordenada del punto, su ordenada, es igual al valor del segmento dirigido del eje OQ.

Tarea I. Conociendo las coordenadas del punto M, construye este punto.

Tracemos a lo largo del eje Ox desde el punto O un segmento con una longitud de unidades hacia la derecha, si y hacia la izquierda, si. El final de este segmento, el punto P, será la proyección del punto M deseado sobre el Ox. eje, trazando a lo largo del eje Oy desde el punto O un segmento con una longitud de unidades hacia arriba, si y hacia abajo, si obtenemos el punto Q - la proyección del punto deseado sobre el eje Oy. Conociendo P y Q, es fácil construir el punto deseado M a partir de estos puntos, como proyecciones, para hacer esto es necesario trazar líneas rectas a través de P y Q, paralelas a los ejes de coordenadas; en la intersección de estas líneas se obtendrá el punto deseado

Comentario. Si aceptamos considerar los segmentos dirigidos RM y QM (Fig.6) como segmentos de ejes cuyas direcciones coinciden con las direcciones de los ejes de coordenadas paralelos a ellos, entonces la abscisa del punto M se expresará no solo por valor del segmento OP,

pero también un valor igual del segmento QM. La ordenada de un mismo punto quedará igualmente expresada tanto por el valor del segmento OQ como por el valor igual del segmento PM. A los segmentos dirigidos los llamaremos OP, QM, OQ y PM segmentos de coordenadas del punto M. Luego, al resolver los dos problemas principales considerados, no es necesario determinar ambas proyecciones del punto M, basta con determinar solo una. , por ejemplo, la proyección sobre el eje de abscisas. Entonces, en el problema 1 bajamos una perpendicular desde un punto dado M al eje de abscisas. Su base P determina la proyección del punto M sobre este eje. El valor del segmento dirigido OP dará la abscisa de un punto dado, y el valor del segmento RM dará la ordenada y.

Ejemplo. Construya un punto usando coordenadas. Coloque un segmento de 2 unidades a la derecha de O a lo largo del eje de abscisas; por el extremo P de este segmento trazamos una línea recta paralela al eje de ordenadas, y sobre ella trazamos un segmento de 3 unidades de largo desde P; el final de este segmento es el punto deseado M.

Así, en el sistema de coordenadas elegido, cada punto del plano corresponde a un par de coordenadas x e y bien definido y, a la inversa, cada par de números reales x, y define un único punto del plano cuya abscisa es x y cuyo ordenada es y. Por tanto, especificar un punto significa especificar sus coordenadas; encontrar un punto significa encontrar sus coordenadas.

Si introducimos un sistema de coordenadas en un plano o en un espacio tridimensional, podremos describir figuras geometricas y sus propiedades mediante ecuaciones y desigualdades, es decir, podremos utilizar métodos de álgebra. Por tanto, el concepto de sistema de coordenadas es muy importante.

En este artículo mostraremos cómo se define un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un plano y en un espacio tridimensional y descubriremos cómo se determinan las coordenadas de los puntos. Para mayor claridad, proporcionamos ilustraciones gráficas.

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Sistema de coordenadas cartesianas rectangulares en un plano.

Introduzcamos un sistema de coordenadas rectangular en el plano.

Para hacer esto, dibuje dos líneas mutuamente perpendiculares en el plano y seleccione en cada una de ellas. dirección positiva, indicándolo con una flecha, y selecciona sobre cada uno de ellos escala(unidad de longitud). Denotemos el punto de intersección de estas líneas con la letra O y considérelo punto de partida. Así que tenemos sistema de coordenadas rectangulares en la superficie.

Cada una de las rectas con origen O, dirección y escala seleccionada se llama línea de coordenadas o eje de coordenadas.

Un sistema de coordenadas rectangular en un plano generalmente se denota por Oxy, donde Ox y Oy son sus ejes de coordenadas. El eje Ox se llama eje x, y el eje Oy – eje y.

Ahora pongámonos de acuerdo sobre la imagen de un sistema de coordenadas rectangular en un plano.

Por lo general, la unidad de medida de longitud en los ejes Ox y Oy se elige para que sea la misma y se traza desde el origen en cada eje de coordenadas en la dirección positiva (marcada con un guión en los ejes de coordenadas y la unidad está escrita al lado de él), el eje de abscisas se dirige hacia la derecha y el eje de ordenadas se dirige hacia arriba. Todas las demás opciones para la dirección de los ejes de coordenadas se reducen a la expresada (eje Ox - hacia la derecha, eje Oy - arriba) girando el sistema de coordenadas en un cierto ángulo con respecto al origen y mirándolo desde el otro lado. del avión (si es necesario).

El sistema de coordenadas rectangulares a menudo se llama cartesiano, ya que René Descartes lo introdujo por primera vez en el plano. Aún más comúnmente, un sistema de coordenadas rectangular se llama sistema de coordenadas cartesiano rectangular, poniéndolo todo junto.

Sistema de coordenadas rectangulares en un espacio tridimensional.

El sistema de coordenadas rectangular Oxyz se establece de manera similar en el espacio euclidiano tridimensional, solo que no se toman dos, sino tres líneas mutuamente perpendiculares. En otras palabras, a los ejes de coordenadas Ox y Oy se les suma un eje de coordenadas Oz, que se denomina aplicar eje.

Dependiendo de la dirección de los ejes de coordenadas, se distinguen sistemas de coordenadas rectangulares derecho e izquierdo en el espacio tridimensional.

Si se ve desde la dirección positiva del eje Oz y la rotación más corta desde la dirección positiva del eje Ox a la dirección positiva del eje Oy ocurre en sentido antihorario, entonces el sistema de coordenadas se llama bien.

Si se ve desde la dirección positiva del eje Oz y la rotación más corta desde la dirección positiva del eje Ox a la dirección positiva del eje Oy ocurre en el sentido de las agujas del reloj, entonces el sistema de coordenadas se llama izquierda.

Coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas cartesiano en un plano.

Primero, considere la línea de coordenadas Ox y tome algún punto M en ella.

Cada número real corresponde a un único punto M en esta línea de coordenadas. Por ejemplo, un punto ubicado en una línea de coordenadas a una distancia del origen en la dirección positiva corresponde al número , y el número -3 corresponde a un punto ubicado a una distancia de 3 del origen en dirección negativa. El número 0 corresponde al punto de partida.

Por otro lado, cada punto M de la recta coordenada Ox corresponde a un número real. Este número real es cero si el punto M coincide con el origen (punto O). Este número real es positivo e igual a la longitud del segmento OM en una escala dada si el punto M se elimina del origen en la dirección positiva. Este número real es negativo e igual a la longitud del segmento OM con signo menos si el punto M se aleja del origen en la dirección negativa.

el numero se llama coordinar puntos M en la línea de coordenadas.

Consideremos ahora un plano con el sistema de coordenadas cartesiano rectangular introducido. Marquemos en este plano. punto arbitrario METRO.

Sea la proyección del punto M sobre la recta Ox, y sea la proyección del punto M sobre la recta de coordenadas Oy (si es necesario, consulte el artículo). Es decir, si por el punto M trazamos líneas perpendiculares a los ejes de coordenadas Ox y Oy, entonces los puntos de intersección de estas líneas con las líneas Ox y Oy son puntos y, respectivamente.

Deje que el número corresponda a un punto en el eje de coordenadas Ox y el número a un punto en el eje Oy.

Cada punto M del plano en un rectángulo dado sistema cartesiano coordenadas corresponden a un único par ordenado de números reales llamado coordenadas del punto M en la superficie. La coordenada se llama abscisa del punto M, A - ordenada del punto M.

La afirmación inversa también es cierta: cada par ordenado de números reales corresponde a un punto M del plano en sistema dado coordenadas

Coordenadas de un punto en un sistema de coordenadas rectangular en un espacio tridimensional.

Demostremos cómo se determinan las coordenadas del punto M en un sistema de coordenadas rectangular definido en un espacio tridimensional.

Sean y las proyecciones del punto M sobre los ejes de coordenadas Ox, Oy y Oz, respectivamente. Dejemos que estos puntos en los ejes de coordenadas Ox, Oy y Oz correspondan a numeros reales Y .