Temas cubiertos:

• 1. El concepto de proyección.
• 4. método monge
• 5. Proyección axonométrica

El concepto de proyección. Las imágenes de objetos en dibujos se obtienen mediante proyección. . Proyección es el proceso de construir una imagen de un objeto en un plano utilizando rayos proyectados. El resultado de este proceso es una imagen llamada proyección.

La palabra "proyección" traducida del latín significa lanzar hacia adelante, a lo lejos. La proyección se puede observar observando la sombra proyectada por un objeto en la superficie de una pared cuando es iluminado por una fuente de luz. gráficos de computadora boceto de proyección

Proyección se refiere al proceso que da como resultado imágenes (proyecciones en un plano), es decir. cuando en puntos caracteristicos Los rayos se extraen de la figura hasta que se cruzan con el plano, y los puntos resultantes de la intersección de los rayos con el plano se conectan mediante líneas rectas o curvas, según corresponda.

Proyección central (cónica). Habrá un plano P1 en el espacio, llamémoslo plano de proyección o plano de imagen. Tomemos cualquier punto S que no pertenezca al plano de proyección P1. Llamémoslo centro de proyección (Fig. 19).

Para proyectar la figura ABC, llamada original, es necesario trazar líneas rectas desde el punto S a través de los puntos A, B, C, llamados rayos proyectantes, hasta que se intersectan con el plano P1 en los puntos A1, B1, C1. Al conectarlos secuencialmente con líneas rectas, obtenemos la figura A1B1C1. Esta será la proyección central A1B1C1 de esta figura ABC sobre el plano de proyección P1.

Figura 19.

Proyección paralela (cilíndrica). En la proyección paralela, como en el caso de la proyección central, se toma el plano de proyección P1 y en lugar del centro de las proyecciones S se indica la dirección de proyección.

Establecemos la dirección de la proyección S no paralela al plano P1, considerando que el punto S, el centro de la proyección, se aleja hasta el infinito. La proyección original es la misma figura ABC, situada en el espacio. Para proyectar la figura ABC, dibujamos rayos proyectados a través de los puntos A, B, C paralelos a la dirección de proyección S hasta que se cruzan con el plano de proyección P1 en los puntos A1, B1, C1. Conectamos los puntos A1, B1, C1 con líneas rectas, obtenemos las figuras A1B1C1; ésta será una proyección paralela de la figura ABC sobre el plano P1. Este es el proceso de proyección paralela (Fig. 20).

Fig.20.

Si el original es una línea recta, entonces todos los rayos salientes de los puntos de esta línea recta se ubicarán en un plano, llamado plano de proyección.

El plano P, que pasa por las líneas de proyección BB1 y CC1, cruza el plano de proyección P1 a lo largo de una línea recta. Esta línea puede considerarse como una proyección de la línea, dado por puntos B y C. Dependiendo de la dirección de la proyección S al plano de proyección proyección paralela dividido en rectangular (ortogonal) y oblicuo proyección (Fig. 21).

Fig.21 Proyección rectangular y oblicua

Proyección rectangular , cuando la dirección de la proyección S con el plano de proyección forma un ángulo recto (Fig. 21a).

Proyección oblicua , cuando la dirección de proyección forma un ángulo menor de 90° con el plano de proyección (Fig. 21b).

método monge. La información y los métodos de construcción, determinados por la necesidad de imágenes planas de formas espaciales, se han acumulado gradualmente desde la antigüedad. Durante un largo período Imágenes planas se realizaron principalmente como imágenes visuales. Con el desarrollo de la tecnología, surgió la cuestión de utilizar un método que garantice la precisión y mensurabilidad de las imágenes, es decir, la capacidad de determinar con precisión la ubicación de cada punto de la imagen en relación con otros puntos o planos y mediante técnicas simples determinar los tamaños de segmentos de línea y formas. Poco a poco acumulado reglas separadas y las técnicas para construir tales imágenes fueron sistematizadas y desarrolladas en el trabajo del científico francés Gaspard Monge, publicado en 1799.

Proyección rectangular sí caso especial Proyección paralela. El método de las proyecciones ortogonales se llama método monge . Este método es el más común a la hora de preparar dibujos técnicos. No proporciona claridad de imagen, pero es simple y conveniente al realizar un dibujo y proporciona una alta precisión. método monge es una proyección paralela rectangular sobre dos mutuamente planos perpendiculares proyecciones. Este complejo de dos proyecciones ortogonales interconectadas revela la posición del objeto proyectado en el espacio. El método esbozado por Monge garantiza la expresividad, precisión y mensurabilidad de las imágenes de objetos en un plano, fue y sigue siendo el método principal para la elaboración de dibujos técnicos (Figura 22);

La palabra rectangular a menudo se reemplaza por la palabra ortogonal, formada a partir de las palabras lengua griega antigua, que denota “recto” y “ángulo”. En la siguiente presentación, el término proyecciones ortogonales se utilizará para referirse a un sistema de proyecciones rectangulares en planos mutuamente perpendiculares. La Figura 22 muestra dos planos mutuamente perpendiculares. Tomémoslos como planos de proyección. Uno de ellos, designado con la letra P1, se ubica horizontalmente; el otro, designado con la letra P2, es vertical. Este avión se llama plano frontal proyecciones, el plano P1 se llama plano horizontal proyecciones . Los planos de proyección P1 y P2 forman el sistema P1, P2.

La línea de intersección de los planos de proyección se llama eje de proyección . El eje de proyección divide cada uno de los planos P1 y P2 en semiplanos. Para este eje usaremos la notación x o la notación en forma de fracción P2 / P1.

Fig.22.

Proyección axonométrica. Si un objeto con ejes asignados coordenadas rectangulares posición delante del plano de proyección y proyecto rayos paralelos en un plano, que en este caso se llama plano de la imagen, entonces obtenemos proyección axonométrica.

En la Fig. La Figura 23 muestra el cubo, los ejes de coordenadas rectangulares x0, y0, z0 asignados al mismo, el plano de proyección P y imagen axonométrica Cuba.

Fig.23. Educación proyecciones axonométricas: a y b - dimétrico frontal; c y d - isométrico

Axonometria - una palabra griega, traducida significa medición a lo largo de ejes. Al construir proyecciones axonométricas, las dimensiones se colocan a lo largo de los ejes x, y, z.

Las proyecciones axonométricas son bastante visuales, por lo que en algunos casos se utilizan para explicar proyecciones rectangulares de máquinas y mecanismos complejos y sus partes individuales. En la proyección axonométrica, una figura se asocia con un sistema espacial de ejes de coordenadas, luego esta figura con los ejes de coordenadas se proyecta en un plano. Este avión se llama plano de proyecciones axonométricas.

Proyecciones axonométricas obtenidas por proyección rectangular de una figura con ejes de coordenadas, se denominan rectangulares, y los obtenidos por proyección oblicua se denominan oblicuo.

Plano de proyección Se llama plano en el que se obtiene la proyección de un objeto.

Proyección paralela

La visualización es una propiedad valiosa de las imágenes proyectadas centralmente. Sin embargo, en la práctica gran importancia Los dibujos de proyección también tienen otras cualidades, en particular, facilidad de construcción y reversibilidad. En este sentido, los dibujos en proyección central no son los más convenientes. Es por eso generalizado Utiliza el método de proyección paralela para construir imágenes de figuras espaciales.

Ponemos un avión PAG', que es el plano de proyección y la dirección de proyección s, no paralelo al plano de proyección PAG' de acuerdo con la Figura 1.2.2. Para proyectar un punto A espacio dibujamos una línea que se proyecta a través de él AUTOMÓVIL CLUB BRITÁNICO', paralelo a la dirección de proyección s. Punto de intersección A' Proyección de línea recta con plano. PAG' es paralelo proyección de un punto A al avión PAG'.

Figura 1.2.3 – Proyección paralela de paralelos en el espacio

Habiendo construido para líneas rectas AB Y CD planos de proyección AA¢B¢B Y CC¢D¢D, tenga en cuenta que estos planos son paralelos, como planos que tienen ángulos con, respectivamente lados paralelos (AB||CD; BВ¢ ||DD¢). Por lo tanto, los planos de proyección se cruzan con el plano de proyección. PAG" a lo largo de dos líneas rectas paralelas entre sí.

2) La proporción de segmentos que se encuentran en líneas paralelas se conserva en la proyección paralela..

Dejar AB Y CD– segmentos que se encuentran en líneas paralelas. Construyamos sus proyecciones en el avión. P¢ en dirección de proyección s(Figura 1.2.3). Dibujemos segmentos en los planos salientes. А¢В1 Y ¢D1, respectivamente paralelo y igual a segmentos AB Y CD. triangulos А¢B¢B1 Y ¢D¢D1 son similares, porque sus lados correspondientes son paralelos. De aquí

De ello se deduce que la relación en la que el punto B divide el segmento AC. se conserva en la proyección para el punto B′ que divide el segmento A "C′.

Figura 1.2.4 – División de un segmento en proporción dada con proyección paralela

Imagen de objetos espacio tridimensional en el avión llegar método de proyección.

Proyección Es un proceso que da como resultado imágenes que son proyecciones en un plano.

El aparato de proyección incluye objetos representados: puntos. A, B, rayos proyectantes i y plano de proyección PAG", en el que se obtiene una imagen de los objetos de acuerdo con la Figura 1.2.

Hay dos formas de construir proyecciones de objetos en un dibujo: centrales y paralelas.

Nombre del método de proyección	La esencia del método.
Proyección central	Todos los rayos que proyectan un objeto provienen de un punto. R, llamado centro de proyecciones (Figura 1.3). Proyecciones resultantes A B C" son llamados proyecciones centrales puntos A B C.
Proyección paralela	Todos los rayos proyectados pasan paralelos a la dirección predeterminada. S y, por tanto, entre sí (Figura 1.4). Esto se puede comparar con el caso del modo central de proyección, cuando el centro de las proyecciones S se elimina hasta el infinito y todos los rayos proyectados se vuelven paralelos. Al construir proyecciones. A B C" de esta manera se llaman proyecciones paralelas de puntos A B C.
Figura 1.3	Figura 1.4

Propiedades de proyección

Las proyecciones obtenidas con proyección central y paralela tienen una serie de propiedades:

Figura 1.5

Figura 1.6	Figura 1.7

Si el plano es paralelo al plano de proyecciones, entonces las proyecciones de sus figuras planas con proyección central son similares a las figuras mismas (Figura 1.9, A), y cuando son paralelos, son iguales a ellos (Figura 1.9, b).

Figura 1.9

1.5 Invariantes de proyección paralela (proyección rectangular)

La proyección ortogonal (rectangular) es un caso especial de proyección paralela, cuando todos los rayos proyectados son perpendiculares al plano de proyección. Las proyecciones ortogonales tienen todas las propiedades de las proyecciones paralelas, pero en la proyección rectangular, la proyección de un segmento, si no es paralela al plano de proyección, siempre es más pequeña que el segmento mismo (Figura 1.10). Esto se explica por el hecho de que el segmento en sí en el espacio es la hipotenusa. triángulo rectángulo, y su proyección es un cateto: A"B"= AB porque a..

Teorema de proyección ángulo recto. Si un lado de un ángulo recto es paralelo al plano de proyección y el otro no es perpendicular a él, entonces, en la proyección ortogonal, el ángulo recto se proyecta sobre este plano formando un ángulo recto.

Reversibilidad del dibujo. Proyectar en un plano de proyección produce una imagen que no permite determinar sin ambigüedades la forma y las dimensiones del objeto representado. Proyección A(Figura 1.8) no determina la posición del punto en sí en el espacio, ya que no se sabe a qué distancia está del plano de proyección. PAG". Cualquier punto del rayo proyectado que pase por el punto A, tendrá como proyección un punto A". Tener una proyección crea incertidumbre en la imagen. En tales casos, se habla de la irreversibilidad del dibujo, ya que es imposible reproducir el original utilizando dicho dibujo. Para eliminar la incertidumbre, la imagen se complementa con los datos necesarios. En la práctica utilizan varias maneras adiciones a un dibujo de vista única. Este curso examinará dibujos obtenidos mediante proyección ortogonal en dos o más planos de proyección mutuamente perpendiculares (dibujos complejos) y reproyectando una proyección auxiliar de un objeto en el plano axonométrico principal de proyecciones (dibujos axonométricos).

Figura 1.12
¡Atención, pregunta!	Piense, analice los dibujos propuestos y demuestre la validez de las invariantes enumeradas de proyección central y paralela (Figura 1.12).
¡Recordar!	1 Las propiedades consideradas (invariantes) de la proyección paralela se conservan en cualquier dirección de proyección. 2 especificaciones métricas formas geométricas al proyectar en paralelo caso general no se guardan (se produce una distorsión de los valores lineales y angulares).

Preguntas de control

1 que elementos geométricos¿Incluye un aparato de proyección?

2 ¿Qué métodos de proyección conoces?

3 ¿Qué superficies de proyección pueden producir rayos de proyección?

4 Enumere las principales propiedades de las proyecciones.

5 ¿Cuál es la proyección de un ángulo cuyo plano es paralelo al plano de proyecciones con proyección central?

6 ¿En qué imágenes geométricas degeneran las proyecciones de líneas rectas y planos de superficies que ocupan una posición de proyección?

7 ¿Cómo se lee el teorema de proyección en ángulo recto?

8 ¿Cómo entiendes el término “dibujo reversible”? ¿Cómo se consigue la reversibilidad de un dibujo?
CONFERENCIA N° 2

La proyección paralela puede considerarse un caso especial de proyección central.

Si el centro de las proyecciones en oficina central las proyecciones se transfieren al infinito, entonces los rayos proyectados pueden considerarse paralelos. Por tanto, el aparato de proyección paralela consta de un plano de proyección P y una dirección P. En la proyección central, los rayos proyectados emergen de un punto, y en la proyección paralela, son paralelos entre sí.

Dependiendo de la dirección de los rayos que se proyectan, la proyección paralela puede ser oblicua, cuando los rayos que se proyectan están inclinados con respecto al plano de proyección, y rectangular (ortogonal), cuando los rayos que se proyectan son perpendiculares al plano de proyección.

Veamos un ejemplo de proyección paralela oblicua.

Construyamos una proyección paralela A1B1 del segmento AB sobre el plano P1, para una dirección de proyección dada P, no P1. Para hacer esto, es necesario dibujar líneas salientes a través de los puntos A y B, paralelas a la dirección de la proyección P. Cuando las líneas salientes se cruzan con el plano P1, el resultado será proyecciones paralelas A1 y B1 de los puntos A y B. Al conectar las proyecciones paralelas A1 y B1 obtenemos una proyección paralela A1B1 del segmento AB.

De manera similar, es posible construir una proyección paralela A1B1C1D1 del cuadrilátero ABCD sobre el plano P1, para una dirección de proyección dada P no perpendicular a P1.

Para hacer esto, es necesario dibujar líneas salientes a través de los puntos A, B, C, D, paralelas a la dirección de proyección P. Cuando las líneas salientes se cruzan con el plano P1, las proyecciones paralelas A1, B1, C1, D1 de los puntos A, Se obtendrá B, C, D Al conectar las proyecciones paralelas A1, B1, C1, D1 obtenemos una proyección paralela A1B1C1D1 del cuadrilátero ABCD.

Propiedades de las proyecciones durante la proyección paralela:

Las primeras seis propiedades de la proyección central también se aplican a la proyección paralela. Enumeremos algunas propiedades más inherentes a la proyección paralela:

1. Las proyecciones de rectas paralelas son paralelas.

De la figura se puede ver que directamente AA 1, BB 1, SS 1 Y DD 1 formar dos planos paralelos a Y b. Estos dos planos se cruzan con P 1. Por lo tanto, las líneas de su intersección. A 1 B 1 Y C 1 D 1 será paralelo.

2. Si un punto divide la longitud de un segmento en relación Minnesota, entonces la proyección de este punto divide la longitud de la proyección del segmento en la misma proporción.

deja el punto CON pertenece al segmento AB, y |AC| : |SV| = 2:1. Construyamos una proyección paralela. A 1 B 1 segmento AB. Punto C 1 A 1 B 1. llevemos a cabo CA' || A 1 C 1 Y CB' || C 1 B 1, obtenemos dos similar a un triangulo CAC' Y broca'. De su similitud se desprende la proporcionalidad de los lados: |AC| : |SV| = |CA'| : |CB’|, Pero |CB'| = |C1B1|, A |CA'| = |A 1 C 1 |, de aquí |AC| : |SV| = |A 1 C 1 | : |C 1 B 1 |.

3. figura plana, paralelo al plano proyecciones, se proyecta sin distorsión.

Tomemos un triangulo A B C y proyectarlo en dos planos de proyección paralelos P 1' Y P 1. Como las longitudes de los segmentos son iguales |A 1 A 1 ‘| = |B 1 B 1 ‘| = |С 1 С 1 '| y los segmentos son paralelos, entonces los cuadriláteros A 1 A 1 ' B 1 B 1 ', B 1 B 1 ' C 1 C 1 ', C 1 C 1 ' A 1 A 1 ' son paralelogramos. Por eso, lados opuestos son iguales en longitud |A 1 B 1 | = |A 1 ‘B 1’|, |B 1 C 1 | = |B 1 ‘C 1’|, |A 1 C 1 | = |A 1 ‘C 1 ‘|, lo que significa que los triángulos son iguales.

De manera similar, se puede demostrar lo mismo para cualquier otra figura plana. La proyección paralela, a diferencia de la proyección central, es menos visual, pero aporta facilidad de construcción y mayor conexión con el original.

Proyección paralela(Fig. 1.6) puede considerarse como un caso especial de proyección central, en el que el centro de proyección se elimina hasta el infinito ( S∞). En la proyección paralela, se utilizan líneas de proyección paralelas, dibujadas en una dirección determinada con respecto al plano de proyección.

ciones. Si la dirección de proyección es perpendicular al plano de proyección, entonces las proyecciones se llaman rectangulares u ortogonales. en otros casos, oblicuo (en la Fig. 1.6, la dirección de proyección se indica mediante una flecha en ángulo con respecto al plano de proyección).

Con la proyección paralela se conservan todas las propiedades de la proyección central y también surgen las siguientes propiedades nuevas.

1. Las proyecciones paralelas de líneas mutuamente paralelas son paralelas y la relación entre las longitudes de los segmentos de dichas líneas es igual a la relación entre las longitudes de sus proyecciones.

si es heterosexual Minnesota Y kl(Fig. 1.7) son paralelos, entonces los planos salientes son paralelos, ya que las líneas que se cruzan en estos planos son mutuamente paralelas: - por condición,

En consecuencia, las proyecciones y son paralelas a las líneas de intersección de los planos paralelos p e y con el plano l.

Marquemos en la línea recta. Minnesota segmento arbitrario A B y en linea recta kl segmento arbitrario CD. Dibujemos en el plano p que pasa por el punto A recta y en el plano y que pasa por el punto C recta C – . Los segmentos son como segmentos de paralelos entre paralelos. Segmentos y por tanto. Segmentos, ya que todos sus lados son paralelos entre sí. De la semejanza de triángulos se sigue:

De lo comentado se desprende:

a) si la longitud de un segmento recto se divide por un punto en cualquier proporción, entonces la longitud de la proyección del segmento se divide por la proyección de este punto en la misma proporción (figura 1.8):

b) las proyecciones de segmentos de igual longitud de líneas rectas mutuamente paralelas son mutuamente paralelas e iguales en longitud.

Esto es obvio, ya que (ver Fig. 1.7) a será . Por lo tanto, con proyección oblicua, en el caso general, un paralelogramo, rombo, rectángulo, cuadrado se proyectan en un paralelogramo.

• 2. Una figura plana paralela al plano de proyecciones se proyecta mediante proyección paralela sobre este plano en la misma figura.
• 3. Transferencia paralela una figura en el espacio o un plano de proyección no cambia la apariencia y el tamaño de la proyección de la figura.

Las proyecciones paralelas, así como las centrales con un centro de proyección, tampoco proporcionan reversibilidad del dibujo.

Utilizando las técnicas de proyección paralela de un punto y una línea, puedes construir proyecciones paralelas de una superficie y un cuerpo.

Las proyecciones paralelas se utilizan para construir imágenes visuales de diversos dispositivos técnicos y sus partes.

Proyección rectangular (ortogonal)

Un caso especial de proyección paralela, en el que la dirección de proyección es perpendicular al plano de proyección, se llama rectangular o proyección ortogonal. La proyección rectangular (ortogonal) de un punto es la base de la perpendicular trazada desde el punto al plano de proyección. Proyección rectangular D 0 puntos D mostrado en la Fig. 1.9.

Junto con las propiedades de las proyecciones paralelas (oblicuas). proyección ortogonal tiene siguiente propiedad : las proyecciones ortogonales de dos rectas mutuamente perpendiculares, una de las cuales es paralela al plano de proyección y la otra no es perpendicular a él, son mutuamente perpendiculares.

En la Fig. 1.10 Demostremos que

La línea de proyección es perpendicular al plano de proyecciones, proyección y línea. VIRGINIA. Plano ) es perpendicular a la recta VIRGINIA, ya que es perpendicular a dos rectas que se cruzan de este plano (por condición, pero por construcción). La proyección es perpendicular al plano, ya que. Por tanto, la proyección de un plano sobre un plano es una línea recta. kl perpendicular a la proyección, y desde la línea kl la proyección coincide En °C 0, es decir, lo que había que demostrar.