Problema número 5922.
El propietario acordó con los trabajadores que cavarían un pozo con las siguientes condiciones: por el primer metro les pagaría 3.500 rublos y por cada metro siguiente, 1.600 rublos más que por el anterior. ¿Cuánto dinero tendrá que pagar el propietario a los trabajadores si cavan un pozo de 9 metros de profundidad?
Dado que el pago de cada metro siguiente difiere del pago del anterior en el mismo número, tenemos ante nosotros.
En esta progresión - el pago del primer contador, - la diferencia en el pago de cada contador siguiente, - el número de días laborables.
Suma de miembros progresión aritmética se encuentra mediante la fórmula:
Sustituyamos estos problemas en esta fórmula.
Respuesta: 89100.
Problema número 5943.
En la oficina de cambio podrás realizar una de dos operaciones:
· por 2 monedas de oro obtienes 3 de plata y una de cobre;
· por 5 monedas de plata obtienes 3 de oro y una de cobre.
Nicolás sólo tenía monedas de plata. Después de varias visitas a la oficina de cambio, sus monedas de plata se hicieron más pequeñas, no aparecieron monedas de oro, pero aparecieron 100 monedas de cobre. ¿Cuánto disminuyó la cantidad de monedas de plata de Nicolás??
Problema número 5960.
El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección en segmento unitario para el salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede llegar el saltamontes después de dar exactamente 5 saltos, empezando desde el origen?
Si el saltamontes da cinco saltos en una dirección (derecha o izquierda), terminará en puntos con coordenadas 5 o -5:
Tenga en cuenta que el saltamontes puede saltar tanto hacia la derecha como hacia la izquierda. Si realiza 1 salto a la derecha y 4 saltos a la izquierda (5 saltos en total), acabará en el punto de coordenada -3. Del mismo modo, si el saltamontes da 1 salto a la izquierda y 4 saltos a la derecha (5 saltos en total), acabará en el punto de coordenada 3:
Si el saltamontes da 2 saltos a la derecha y 3 saltos a la izquierda (5 saltos en total), acabará en el punto de coordenada -1. Del mismo modo, si el saltamontes realiza 2 saltos a la izquierda y 3 saltos a la derecha (5 saltos en total), acabará en el punto de coordenada 1:
Tenga en cuenta que si total los saltos son impares, entonces el saltamontes no volverá al origen de coordenadas, es decir, sólo podrá llegar a puntos con coordenadas impares:
Sólo hay 6 de estos puntos.
Si el número de saltos fuera par, entonces el saltamontes podría regresar al origen de coordenadas y todos los puntos en la línea de coordenadas que pudiera alcanzar tendrían coordenadas pares.
Respuesta: 6
Problema nº 5990
Un caracol sube a un árbol 2 m en un día y se desliza hacia abajo 1 m en una noche. La altura del árbol es de 9 m. ¿Cuántos días tardará el caracol en llegar a la cima del árbol?
Tenga en cuenta que en este problema debemos distinguir entre el concepto de "día" y el concepto de "día".
El problema pregunta exactamente cuánto tiempo días el caracol se arrastrará hasta la copa del árbol.
En un día el caracol sube a 2 m, y en un día el caracol se eleva a 1 m (sube 2 m durante el día y luego desciende 1 m durante la noche).
En 7 días el caracol sube 7 metros. Es decir, en la mañana del octavo día tendrá que gatear 2 m hasta la cima y en el octavo día recorrerá esta distancia.
Respuesta: 8 días.
Problema número 6010.
En todas las entradas de la casa mismo número pisos, y cada piso tiene el mismo número de departamentos. Además, el número de pisos de la casa. mas numero apartamentos en un piso, el número de apartamentos en un piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno. ¿Cuantos pisos tiene el edificio si hay 105 departamentos en total?
Para encontrar la cantidad de apartamentos en una casa, debe multiplicar la cantidad de apartamentos en el piso ( ) por la cantidad de pisos ( ) y multiplicar por la cantidad de entradas ( ).
Es decir, necesitamos encontrar ( ), con base en siguientes condiciones:
(1)
La última desigualdad refleja la condición. “el número de pisos de un edificio es mayor que el número de departamentos en un piso, el número de departamentos en un piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno”.
Es decir, ( ) es el número mayor.
Descompongamos 105 en factores primos:
Teniendo en cuenta la condición (1), .
Respuesta: 7.
Problema número 6036.
Hay 30 setas en la cesta: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 12 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 20 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas níscalos de leche de azafrán hay en la cesta?
Porque entre 12 setas hay al menos un níscalo de azafrán(o más) la cantidad de champiñones con leche debe ser menor o igual.
De ello se deduce que el número de níscalos de leche de azafrán es mayor o igual a .
Porque entre 20 hongos al menos un hongo(o más), el número de tapones de leche de azafrán debe ser menor o igual a
Luego encontramos que, por un lado, el número de nísperos de leche de azafrán es mayor o igual a 19 , y por otro lado - menor o igual a 19 .
Por tanto, el número de nísperos de leche de azafrán es igual 19.
Respuesta: 19.
Problema número 6047.
Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la séptima entrada del apartamento número 333, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía nueve pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En cada piso el número de apartamentos es el mismo; los números de apartamentos en el edificio comienzan con uno).
Que haya apartamentos en cada piso.
Entonces el número de apartamentos en las primeras seis entradas es igual a
Encontremos el máximo valor natural, que satisface la desigualdad ( es el número del último apartamento en la sexta entrada y es menor que 333.)
De aquí
El número del último apartamento en la sexta entrada es
La séptima entrada comienza desde el apartamento 325.
Por tanto, el apartamento 333 está en el segundo piso.
Respuesta: 2
Problema número 6060.
En la superficie del globo se dibujaron 17 paralelos y 24 meridianos con un rotulador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividen la superficie del globo? Un meridiano es un arco de círculo que conecta los polos norte y sur. paralelo es un círculo que se encuentra en un plano, paralelo al plano ecuador.
Imaginemos una sandía que cortamos en trozos.
Haciendo dos cortes de arriba hacia abajo (dibujando dos meridianos), cortaremos la sandía en dos rodajas. Por tanto, haciendo 24 cortes (24 meridianos), cortaremos la sandía en 24 rodajas.
Ahora cortaremos cada rebanada.
Si hacemos 1 corte transversal (paralelo), entonces cortaremos una rodaja en 2 partes.
Si hacemos 2 cortes transversales (paralelos), cortaremos una rodaja en 3 partes.
Esto quiere decir que haciendo 17 cortes cortaremos una loncha en 18 partes.
Entonces, cortamos 24 rebanadas en 18 pedazos y obtuvimos un pedazo.
En consecuencia, 17 paralelos y 24 meridianos dividen la superficie del globo en 432 partes.
Respuesta: 432.
Problema nº 6069
El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y Color verde. Si cortas un palo por las líneas rojas, obtendrás 5 piezas, si lo haces por las líneas amarillas, 7 piezas y si lo haces por las líneas verdes, 11 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de todas? tres colores?
Si haces 1 corte, obtendrás 2 piezas.
Si haces 2 cortes, obtendrás 3 piezas.
EN caso general: Si haces cortes, obtienes un trozo.
Atrás: para conseguir piezas es necesario hacer un corte.
Encontremos el número total de líneas a lo largo de las cuales se cortó el palo.
Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtienes 5 piezas. por lo tanto, hubo 4 líneas rojas;
si está en amarillo – 7 piezas - por lo tanto, hubo 6 líneas amarillas;
y si en los verdes - 11 piezas - por lo tanto, hubo 10 líneas verdes.
Por tanto, el número total de líneas es igual a . Si cortas un palo siguiendo todas las líneas, obtendrás 21 piezas.
Respuesta: 21.
Problema número 9626.
Hay cuatro gasolineras en la carretera de circunvalación: A, B, B y D. La distancia entre A y B es de 50 km, entre A y B es de 40 km, entre C y D es de 25 km, entre G y A es 35 km (todas las distancias se miden a lo largo periférico en la dirección más corta). Encuentra la distancia entre B y C.
Veamos cómo se pueden ubicar las gasolineras. Intentemos organizarlos así:
Con esta disposición, la distancia entre G y A no puede ser igual a 35 km.
Intentemos esto:
Con esta disposición, la distancia entre A y B no puede ser de 40 km.
Consideremos esta opción:
Esta opción satisface las condiciones del problema.
Respuesta: 10.
Problema número 10041.
La lista de tareas del cuestionario constaba de 25 preguntas. Por cada respuesta correcta, el alumno recibió 7 puntos, por una respuesta incorrecta se le descontaron 9 puntos y por no responder se le otorgaron 0 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas dio un alumno que obtuvo 56 puntos, si se sabe que se equivocó al menos una vez?
Permita que el estudiante dé respuestas correctas e incorrectas ( ). Como posiblemente respondió otras preguntas, obtenemos la desigualdad:
Además, según la condición,
Como la respuesta correcta suma 7 puntos y la respuesta incorrecta resta 9, y el estudiante termina con 56 puntos, la ecuación es:
Esta ecuación debe resolverse en números enteros.
Como 9 no es divisible por 7, debe ser divisible por 7.
Que así sea entonces.
En este caso, se cumplen todas las condiciones.
Problema nº 10056.
El rectángulo se divide en cuatro pequeños rectángulos mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 15, 18, 24. Calcula el área del cuarto rectángulo.
El área de un rectángulo es igual al producto de sus lados.
Los rectángulos amarillo y azul tienen un lado común, por lo que la razón de las áreas de estos rectángulos es igual a la razón de las longitudes de los otros lados (no iguales entre sí).
Los rectángulos blanco y verde también tienen un lado común, por lo que la razón de sus áreas es igual a la razón de los otros lados (no iguales entre sí), es decir, la misma razón:
Por la propiedad de proporción obtenemos
De aquí.
Problema nº 10071.
El rectángulo se divide en cuatro pequeños rectángulos mediante dos cortes rectos. Los perímetros de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 17, 12, 13. Calcula el perímetro del cuarto rectángulo.
Perímetro de un rectángulo igual a la suma las longitudes de todos sus lados.
Designemos los lados de los rectángulos como se indica en la figura y expresemos los perímetros de los rectángulos a través de las variables indicadas. Obtenemos:
Ahora necesitamos encontrar cuál es el valor de la expresión.
Restemos la segunda de la tercera ecuación y sumemos la tercera. Obtenemos:
Simplificando los lados derecho e izquierdo obtenemos:
Entonces, .
Respuesta: 18.
Problema número 10086.
La tabla tiene tres columnas y varias filas. Se colocó un número natural en cada celda de la tabla de modo que la suma de todos los números en la primera columna sea 72, en la segunda – 81, en la tercera – 91 y la suma de los números en cada fila sea mayor que 13. , pero menos de 16. ¿Cuántas filas hay en la tabla?
Encontremos la suma de todos los números de la tabla: .
Sea el número de filas de la tabla.
Según el problema, la suma de los números en cada línea. más de 13 pero menos de 16.
Como la suma de números es un número natural, sólo dos números naturales satisfacen esta doble desigualdad: 14 y 15.
Si suponemos que la suma de los números en cada fila es 14, entonces la suma de todos los números en la tabla es igual a y esta suma satisface la desigualdad.
Si suponemos que la suma de los números en cada fila es 15, entonces la suma de todos los números en la tabla es igual a y este número satisface la desigualdad.
Entonces, un número natural debe satisfacer el sistema de desigualdades:
El único natural que satisface este sistema es
Respuesta: 17.
Se sabe de los números naturales A, B y C que cada uno de ellos es mayor que 4 pero menor que 8. Adivinaron un número natural, luego lo multiplicaron por A, luego lo sumaron al producto resultante B y le restaron C. El resultado fue 165. ¿Qué número se adivinó?
Enteros A, B y C puede ser igual a los números 5, 6 o 7.
Sea el número natural desconocido igual a .
Obtenemos: ;
Consideremos varias opciones.
Sea A=5. Entonces B=6 y C=7, o B=7 y C=6, o B=7 y C=7, o B=6 y C=6.
Vamos a revisar: ;
(1)
165 es divisible por 5.
La diferencia entre los números B y C es igual o igual a 0 si estos números son iguales. Si la diferencia es igual a , entonces la igualdad (1) es imposible. Por lo tanto, la diferencia es 0 y
Sea A=6. Entonces B=5 y C=7, o B=7 y C=5, o B=7 y C=7, o B=5 y C=5.
Vamos a revisar: ; (2) La diferencia entre los números B y C es igual o igual a 0 si estos números son iguales. Si la diferencia es igual o 0, entonces la igualdad (2) es imposible, ya que -
número par
, y la suma (165 + un número par) no puede ser un número par.
Sea A=7. Entonces B=5 y C=6, o B=6 y C=5, o B=6 y C=6, o B=5 y C=5.
Vamos a revisar: ;
Obviamente, el número de la primera página después de las hojas descartadas es mayor que 352, lo que significa que puede ser 532 o 523.
Cada hoja caída contiene 2 páginas. Por tanto, hay un número par de páginas. 352 es un número par. Si sumamos un número par a un número par, obtenemos un número par. Por lo tanto, el número de la última página descartada es un número par y el número de la primera página después de las hojas descartadas debe ser impar, es decir, 523. Por lo tanto, el número de la última página descartada es 522. Entonces el resultado es 
hojas.
Respuesta: 85
Masha y el Oso comieron 160 galletas y un tarro de mermelada, empezando y terminando al mismo tiempo. Al principio, Masha comía mermelada y Bear, galletas, pero en algún momento cambiaron. El oso se come a ambos tres veces más rápido que Masha. ¿Cuántas galletas se comió el Oso si comieron la mermelada en partes iguales?
Si Masha y el oso comieron mermelada por igual y el oso comió tres veces más mermelada por unidad de tiempo, entonces comió mermelada en tres veces menos tiempo que Masha. En otras palabras, Masha comió mermelada tres veces más que Bear. Pero mientras Masha comía mermelada, el oso comía galletas. En consecuencia, el oso comió galletas tres veces más que Masha. Pero el Oso, además, comía tres veces más galletas por unidad de tiempo que Masha, por lo que al final comió 9 veces más galletas que Masha.
Ahora es fácil crear una ecuación. Deje que Masha se coma las galletas y luego el Oso se las comió. Juntos comieron las galletas. obtenemos la ecuación:
Respuesta: 144
En el mostrador de una florería hay 3 jarrones con rosas: naranja, blanca y azul. Hay 15 rosas a la izquierda del jarrón naranja y 12 rosas a la derecha del jarrón azul. Hay un total de 22 rosas en los jarrones. ¿Cuántas rosas hay en un jarrón naranja?
Como 15+12=27 y 27>22, por lo tanto, el número de flores en un jarrón se contó dos veces. Y este es un jarrón blanco, porque debería ser el jarrón que está a la derecha del azul y a la izquierda del naranja. Entonces, los jarrones están en este orden: 
De aquí obtenemos el sistema:
Restando la primera de la tercera ecuación, obtenemos O = 7.
Respuesta: 7
Diez pilares están conectados entre sí mediante cables de modo que de cada pilar salgan exactamente 8 cables. ¿Cuántos cables hay entre estos diez polos?
Solución
Simulemos la situación. Tengamos dos pilares y estén conectados entre sí mediante cables de modo que de cada pilar salga exactamente 1 cable. Entonces resulta que hay 2 cables que salen de los polos. Pero tenemos esta situación:
Es decir, aunque hay 2 cables provenientes de los postes, solo se estirará un cable entre los postes. Esto significa que la cantidad de cables extendidos es dos veces menor que la cantidad de cables salientes.
Obtenemos: - el número de cables salientes.
Número de cables tirados.
Respuesta: 40
De los diez países, siete firmaron un tratado de amistad con exactamente otros tres países, y cada uno de los tres restantes firmó un tratado de amistad con exactamente siete. ¿Cuántos contratos se firmaron?
Esta tarea es similar a la anterior: dos países firman uno acuerdo General. Cada acuerdo tiene dos firmas. Es decir, el número de acuerdos firmados es la mitad del número de firmas.
Encontremos el número de firmas:
Encontremos el número de contratos firmados:
Respuesta: 21
Tres rayos que emanan de un punto dividen el avión en tres. diferentes ángulos, medido en números enteros de grados. El ángulo mayor es 3 veces el menor. ¿Cuántos valores puede tomar el ángulo promedio?
Sea el ángulo más pequeño igual a , entonces el ángulo más grande es igual a . Como la suma de todos los ángulos es igual, el valor del ángulo promedio es igual.
El ángulo promedio debe ser mayor que el ángulo más pequeño y menor que el ángulo más grande.
Obtenemos un sistema de desigualdades:
Por tanto, toma valores en el rango de 52 a 71 grados, es decir, todos los valores posibles.
Respuesta: 20
Misha, Kolya y Lesha juegan al tenis de mesa: el jugador que perdió el juego da paso al jugador que no participó. Al final, resultó que Misha jugó 12 juegos y Kolya, 25. ¿Cuántos juegos jugó Lesha?
Solución
Se debe explicar cómo está estructurado el torneo: el torneo consta de un número fijo de juegos; el jugador que pierde en un determinado juego cede el paso a un jugador que no participó en ese juego. Al final del siguiente juego, el jugador que no participó ocupa el lugar del perdedor. En consecuencia, cada jugador participa en al menos uno de dos juegos consecutivos.
Averigüemos cuántos juegos hubo en total.
Dado que Kolya jugó 25 juegos, se jugaron al menos 25 juegos en el torneo.
Misha jugó 12 juegos. Dado que definitivamente participó en uno de cada dos juegos, no se jugaron más que juegos. Es decir, el torneo constaba de 25 partidos.
Si Misha jugó 12 juegos, Lesha jugó los 13 restantes.
Respuesta: 13
Al final del trimestre, Petya anotó todas sus calificaciones seguidas para una de las materias, eran 5, y entre algunas de ellas puso signos de multiplicación. El producto de los números resultantes resultó ser igual a 3495. ¿Qué nota obtiene Petya en un trimestre en esta materia si el profesor solo da notas 2, 3, 4 o 5 y la nota final en un trimestre es la media aritmética de todas las notas actuales, redondeadas según las reglas de redondeo? (Por ejemplo, 3,2 se redondea a 3; 4,5 a 5; 2,8 a 3)
Factoricemos 3495 en factores primos. Último dígito el número es 5, por lo tanto el número es divisible por 5; La suma de los dígitos es divisible por 3, por lo tanto el número es divisible por 3.
Lo tengo
Por tanto, las estimaciones de Petit son 3, 5, 2, 3, 3. Hallemos la media aritmética:
Respuesta: 3
Media aritmética 6 diferentes números naturales es igual a 8. ¿En cuánto se debe aumentar el mayor de estos números para que su media aritmética sea 1 más?
La media aritmética es igual a la suma de todos los números dividida por su número. Sea igual la suma de todos los números. Según las condiciones del problema, por tanto.
La media aritmética se volvió 1 más, es decir, se volvió igual a 9. Si uno de los números se incrementó en , entonces la suma aumentó en y se volvió igual a .
El número de números no ha cambiado y es igual a 6.
Obtenemos igualdad:
En la tarea número 5 del Examen Estatal Unificado en matemáticas de nivel básico, necesitamos calcular el valor de la expresión usando reglas diferentes: fórmulas de multiplicación abreviadas, conocimientos de trigonometría, propiedades de logaritmos y otros.
Teoría de la tarea número 5.
En esta tarea, además de las operaciones con grados, de las que hablamos en tareas anteriores, es necesario recordar :
Además, las tareas de conocimiento son muy comunes. propiedades del logaritmo :
Ideas sobre círculo trigonométrico , mediante el cual se pueden determinar los signos funciones trigonométricas:
Análisis de opciones típicas para las tareas No. 5 del Examen Estatal Unificado en matemáticas de nivel básico
Opción para la quinta tarea(1)
Encuentra el significado de la expresión.
Algoritmo de ejecución
- Representemos un ángulo de 390° teniendo en cuenta la periodicidad de la función tg con un ángulo menor.
- Hagamos la multiplicación.
Solución:
Es decir, tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)
tg 390° = tg (390° - 180°) = tg 210° = tg (210° - 180°) = tg 30°
Encontremos la tabla de valores de funciones trigonométricas (en materiales de referencia) valor tg del ángulo resultante.
tan 30° = √3/3
20 · √3 · (√3/3) = (20 · √3 · √3)/3 = (20 · 3)/3 = 20
Solución en vista general
Calculemos la expresión, teniendo en cuenta que la función tangente es periódica con un periodo de π radianes o 180°. Por lo tanto, un ángulo de 390° equivale a un ángulo
y obtenemos la expresión:
Opción para la quinta tarea(2)
Encuentra el significado de la expresión.
Algoritmo de ejecución
- Representemos un ángulo de 420° teniendo en cuenta la periodicidad de la función tg con un ángulo menor.
- Encontremos en la tabla de valores de funciones trigonométricas (en materiales de referencia) el valor tg del ángulo resultante.
- Hagamos la multiplicación.
Solución #1:
La función tg es periódica con un periodo de 180°, es decir, cada vez que el ángulo aumenta o disminuye 180°, se repite el valor tg.
tg α = tg (α + 180°) = tg (α - 180°)
tg 390° = tg (420° - 180°) = tg 240° tg (240° - 180°) = tg 60°
Encontremos en la tabla de valores de funciones trigonométricas (en materiales de referencia) el valor tg del ángulo resultante.
Sustituyamos el valor encontrado en esta expresión.
50 · √3 · √3 = -50 · 3 = -150
Solución #2:
Tenga en cuenta que la función tangente es periódica con un período de π radianes o 180°. Por lo tanto, la tangente de un ángulo de 420° es equivalente a la tangente de un ángulo de 420°.
obtenemos:
Respuesta: -150.
Opción para la quinta tarea(3)
Encuentra el significado de la expresión.
Algoritmo de ejecución
- Combinemos expresiones radicales bajo una raíz.
- Agreguemos una fracción debajo de la raíz.
- Reduzcamos la fracción debajo de la raíz.
- Saquemos los factores de raíz.
- Hagamos la multiplicación.
Solución:
Combinemos expresiones radicales bajo una raíz. Tenemos derecho a hacer esto usando la propiedad de la raíz cuadrada.
5/3 · √27 · √3 = 5/3 · √(27 · 3)
Agreguemos una fracción debajo de la raíz.
La raíz es una raíz cuadrada, por lo tanto, para ingresar una fracción bajo el signo de la raíz, debes elevarla al cuadrado. Es decir, multiplicar el numerador y el denominador por sí mismo.
(5/3) 2 = (5 5)/(3 3)
Reduzcamos la fracción debajo de la raíz por tres dos veces.
Representemos el producto bajo la raíz como producto de segundas potencias.
Saquemos los factores de debajo de la raíz y realicemos la multiplicación.
Solución general:
Opción para la quinta tarea (versión demo 2018)
Encuentre cos α si sen α = 0,8 y 90° ‹ α ‹ 180°.
Algoritmo de ejecución
- Seleccione las raíces que se adapten a las condiciones de la tarea.
Solución:
Anotemos lo principal. identidad trigonométrica.
pecado 2 α + cos 2 α = 1
Sustituyamos todos los datos conocidos en la identidad trigonométrica principal.
0,8 2 + cos 2 α = 1
Resolvamos la ecuación resultante para cos α.
cos 2 α – término desconocido. Para encontrar el término desconocido, debes restar el término conocido de la suma.
cos 2 α = 1 - 0,8 2
Para encontrar la segunda potencia de un número, debes multiplicar el número por sí mismo.
0,8 2 = 0,8 0,8 = 0,64
cos 2 α = 1 - 0,8 2 1 - 0,64 = 0,36
porque α = √0,36
cos α = 0,6 o -0,6
La condición 90° ‹ α ‹ 180° significa que -1 ‹ сos α ‹ 0.
Por eso esta condición satisface sólo una raíz -0,6.
Respuesta: -0,6.
Opción para la quinta tarea de 2017 (1)
Encuentra el valor de la expresión (2√13 −1)(2√13 +1).
Algoritmo de ejecución
En esta tarea, debes notar inmediatamente la fórmula de multiplicación abreviada: la diferencia de cuadrados (la última fórmula de multiplicación abreviada en la teoría anterior).
Solución:
Después de esto, la solución al problema se reduce a lo siguiente:
(2√13 −1)(2√13 +1) = (2√13) 2 - 1 2 = 4 13 - 1 = 51
Opción para la quinta tarea de 2017 (2)
Encuentra el valor de la expresión 5 log 5 6+1.
Algoritmo de ejecución
Primero, recuerda las propiedades de los grados y expande la expresión de la siguiente manera:
5 registro 5 6 5 1
Luego recuerde la definición y propiedad del logaritmo: esta es la segunda línea de nuestra teoría:
Solución:
Opción para la quinta tarea de 2019(1)
Encuentra el significado de la expresión. 
Algoritmo de ejecución
- Aplicamos la fórmula de multiplicación abreviada. a 2 –b 2 =(a-b)(a+b).
- Usamos la definición de raíz cuadrada: (√ a) 2 =a.
- Encuentra la diferencia resultante de números enteros.
Solución:
Opción para la quinta tarea de 2019(2)
Encuentra el significado de la expresión. 
Algoritmo de ejecución
- Aplicamos la identidad del registro. a(xy)= iniciar sesión una x+registro sí.
- Convertimos los factores bajo el signo del logaritmo a potencias.
- Solemos expresar bajo el signo del logaritmo los poderes santos a x b x =(ab) x .
- Usamos las propiedades de los logaritmos. X registro un segundo= iniciar sesión a b x.
- Aplicamos la identidad del registro. un un=1,.
Solución:
registro 6 27 + registro 6 8 = registro 6 27 8 = registro 6 3 3 2 3 = registro 6 (3 2) 3 = registro 6 6 3 = 3 registro 6 6 = 3
Opción para la quinta tarea de 2019(3)
Encuentra el significado de la expresión. 
Algoritmo de ejecución
- Ponemos el factor √6 entre paréntesis.
- Multiplicamos √24 y √6. Obtenemos √144. Este número es cuadrado perfecto: (√12) 2 .
- Multiplica √6 y √6. Obtenemos (√6) 2 .
- Usando la definición de raíz cuadrada (√ A) 2 =A, encontramos que (√12) 2 =12 y (√6) 2 =6.
- Encuentra la diferencia entre los números enteros resultantes.
Solución:
Opción para la quinta tarea de 2019(4)
Encuentra senα si 
Algoritmo de ejecución
- Apliquemos la identidad trigonométrica básica. Sustituyamos esto en la condición en la identidad. valor numérico para coseno.
- Realizamos la transformación de identidad y obtenemos un resultado numérico.
- Determinamos el signo del resultado en función del valor del ángulo α.
Solución:
Opción para la quinta tarea de 2019(5)
Encuentra el significado de la expresión.
Algoritmo de ejecución
- Realizamos la operación de primera prioridad: exponenciación (en el denominador). Para ello utilizamos los grados sagrados. (ab) 2 =a 2 b 2. A continuación, para el factor (√13) 2, aplicamos una fórmula que define el concepto de raíz cuadrada: (√ A) 2 =A.
- Realizamos la multiplicación en el denominador.
- Representamos el número 39 en el numerador como el producto de 3·13.
- Reduce la fracción en 13.
- Traducimos lo recibido fracción común a decimales.
Solución:
Respuesta: 0,75
Opción para la quinta tarea de 2019(6)
Encuentra el significado de la expresión.
Algoritmo de ejecución
- Aplicar al exponente 2log 3 7 logaritmos santos log por un x=(x/y)log b a. Obtenemos log 3 7 2 .
- Aplicamos el carácter sagrado de los logaritmos. a registro un segundo=b. Como resultado, el signo del logaritmo desaparece, dejando solo la expresión 7 2, que estaba debajo del signo del logaritmo.
- Cuadrado 7.
Solución:
2registro 3 7 registro 3 7 2
3 = 3 = 7 2 = 49
Opción para la quinta tarea de 2019(7)
Encuentra el significado de la expresión.
Algoritmo de ejecución
- Usamos las raíces sagradas √(a·b)=√a·√b. De esta forma, descomponemos √63 en factores √9 y √7.
- Agrupemos factores idénticos √7. Obtenemos (√7) 2.
- Basado en la definición de raíz cuadrada (√ A) 2 =A, representamos √9=(√3) 2 .
- Elevamos al cuadrado los números resultantes.
- Encontramos el producto final.
Solución:
Opción para la quinta tarea de 2019(8)
Encuentra el significado de la expresión.
Algoritmo de ejecución
- Usamos grados sagrados x a+b =x a ·x b. Obtenemos 2 factores, el primero de los cuales es igual a 7 y el segundo es una potencia con base 7 y un exponente que contiene un logaritmo.
- Para el segundo factor aplicamos las propiedades de los logaritmos. a registro a b = b.
- Encontramos el producto resultante.
Solución:
Opción para la quinta tarea de 2019(9)
Encuentra el significado de la expresión. 
Algoritmo de ejecución
- Para cos 390 0 utilizamos la fórmula de reducción cos (360 0 +α)=cos α. Obtenemos cos 30 0 =√3/2. Escribimos la expresión resultante como una fracción con denominador 2.
- Calculamos el producto √3·√3 elevándolo a una potencia. Para hacer esto, usamos la definición de raíz cuadrada: (√ A) 2 =A.
- Reduce 20 en el numerador y 2 en el denominador en 2.
- Encontramos el producto final.
Solución:
Opción para la quinta tarea de 2019(10)
Encuentra el significado de la expresión. 
Algoritmo de ejecución
- Transformamos la parte de la expresión entre paréntesis. Para hacer esto, representamos 49 como 7 2. Luego usamos la propiedad de los logaritmos log b a x =x registro b un y luego el registro de propiedades un un=1. Obtenemos 2.
- Usamos las propiedades de los logaritmos log. un un=1.
1). Cinco amigos se dieron la mano. ¿Cuántos apretones de manos se hicieron?
2). Diez personas se presentaron a la reunión y todos se dieron la mano. ¿Cuántos apretones de manos hubo?
3). De los diez países, tres han firmado un tratado de amistad con exactamente otros seis países, y cada uno de los siete restantes ha firmado un tratado de amistad con exactamente dos. ¿Cuántos contratos se firmaron?
4). De los diez países, siete firmaron un tratado de amistad con exactamente otros tres países, y cada uno de los tres restantes firmó un tratado de amistad con exactamente siete. ¿Cuántos contratos se firmaron?
5). Siete pilares están conectados entre sí mediante cables, de modo que de cada pilar salen exactamente 4 cables. ¿Cuántos cables hay entre estos diez polos?
6). Diez pilares están conectados entre sí mediante cables de modo que de cada pilar salgan exactamente 8 cables. ¿Cuántos cables hay entre estos diez polos?
Soluciones en youtube
1). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Los perímetros de los rectángulos superior izquierdo e inferior derecho son 45 y 36 respectivamente, consulte la figura. Encuentra el perímetro del rectángulo original.
2). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Los perímetros de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 67, 41 y 27, ver figura. Encuentra el perímetro del cuarto rectángulo.
3). El rectángulo se divide en cuatro pequeños rectángulos mediante dos cortes rectos. Los perímetros de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 17, 15 y 18. Calcula el perímetro del cuarto rectángulo.
4). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Los perímetros de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 20, 12 y 11. Calcula el perímetro del cuarto rectángulo.
Soluciones
1). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. cuadrados de tres de estos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 12, 18 y 30. Calcula el área del cuarto rectángulo.
2). El rectángulo se divide en cuatro pequeños rectángulos mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 3, 9 y 21. Calcula el área del cuarto rectángulo.
3). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 3, 6 y 10. Calcula el área del cuarto rectángulo.
4). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 5, 15 y 33. Calcula el área del cuarto rectángulo.
5). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 18, 15 y 20. Calcula el área del cuarto rectángulo.
6). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 18, 27 y 33. Calcula el área del cuarto rectángulo.
7). El rectángulo se divide en cuatro rectángulos más pequeños mediante dos cortes rectos. Las áreas de tres de ellos, comenzando desde arriba a la izquierda y luego en el sentido de las agujas del reloj, son 12, 15 y 30. Calcula el área del cuarto rectángulo.
Soluciones
1). La tabla tiene tres columnas y varias filas. Se colocó un número natural en cada celda de la tabla de modo que la suma de todos los números en la primera columna sea 137, en la segunda - 160 y en la tercera - 185, y la suma de los números en cada fila sea mayor que 24, pero menos de 27. ¿Cuántas filas hay en la tabla?
2). La tabla tiene tres columnas y varias filas. Se colocó un número natural en cada celda de la tabla de modo que la suma de todos los números en la primera columna sea 93, en la segunda - 107 y en la tercera - 123, y la suma de los números en cada fila sea mayor que 19, pero menos de 22. ¿Cuántas filas hay en la tabla?
Soluciones
1). El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la recta de coordenadas en los que puede llegar el saltamontes después de dar exactamente 5 saltos, empezando desde el origen?
2). El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la línea de coordenadas en los que puede terminar el saltamontes después de realizar exactamente 11 saltos, comenzando desde el origen?
3). El saltamontes salta a lo largo de la línea de coordenadas en cualquier dirección durante un segmento unitario por salto. ¿Cuántos puntos diferentes hay en la línea de coordenadas en los que puede terminar el saltamontes después de dar exactamente 12 saltos, comenzando desde el origen?
Soluciones
1). Las celdas de la mesa de 7 por 5 están pintadas de negro y colores blancos. Pares de células vecinas color diferente Hay 27 en total, solo hay 21 pares de celdas negras vecinas ¿Cuántos pares de celdas blancas vecinas hay?
2). Las celdas de una tabla de 3 por 8 están coloreadas en blanco y negro, de modo que hay 22 pares de celdas adyacentes de diferentes colores y 11 pares de celdas negras adyacentes. (Las celdas se consideran adyacentes si tienen lado común). ¿Cuántos pares de celdas vecinas son blancas?
3). Las celdas de la mesa de 4 por 7 están pintadas de blanco y negro. Solo hay 26 pares de celdas vecinas de diferentes colores y solo hay 9 pares de celdas negras vecinas. ¿Cuántos pares de celdas blancas vecinas hay?
Soluciones
1). En el mostrador de una florería hay 3 jarrones con rosas: naranja, blanca y azul. Hay 15 rosas a la izquierda del jarrón azul y 11 rosas a la derecha del jarrón blanco. Hay un total de 23 rosas en los jarrones. ¿Cuántas rosas hay en un jarrón naranja?
2). En el mostrador de una florería hay 3 jarrones con rosas: blanca, azul y roja. Hay 15 rosas a la izquierda del jarrón rojo y 12 rosas a la derecha del jarrón azul. Hay un total de 22 rosas en los jarrones. ¿Cuántas rosas hay en un jarrón blanco?
3). En el mostrador de una florería hay 3 jarrones con rosas: negra, verde y naranja. Hay 32 rosas a la izquierda del jarrón negro y 9 rosas a la derecha del jarrón naranja. Hay un total de 37 rosas en los jarrones. ¿Cuántas rosas hay en un jarrón verde?
Soluciones
1). El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo a lo largo de las líneas rojas, obtendrás 9 piezas, si lo cortas a lo largo de las líneas amarillas, 7 piezas y si lo cortas a lo largo de las líneas verdes, 6 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores?
2). El palo está marcado con líneas transversales de color rojo, amarillo y verde. Si cortas un palo por las líneas rojas, obtendrás 5 piezas, si lo haces por las líneas amarillas, 7 piezas y si lo haces por las líneas verdes, 11 piezas. ¿Cuántas piezas obtendrás si cortas un palo siguiendo las líneas de los tres colores?
Soluciones
En la cinta de lados diferentes desde el medio hay dos franjas finas: azul y roja. Si cortas la cinta a lo largo de la franja roja, una parte será 30 cm más larga que la otra. Si cortas la cinta a lo largo de la franja azul, una parte será 70 cm más larga que la otra. Encuentra la distancia (en centímetros) entre las franjas roja y azul.
Solución
1). Hay cuatro gasolineras en la carretera de circunvalación: A, B, C y D. La distancia entre A y B es de 65 km, entre A y B es de 50 km, entre B y D es de 35 km, entre G y A es de 45 km (todas las distancias medidas a lo largo de la carretera de circunvalación a lo largo del arco más corto). Encuentre la distancia (en kilómetros) entre B y C.
2). Hay cuatro gasolineras en la carretera de circunvalación: A, B, C y D. La distancia entre A y B es de 35 km, entre A y B es de 15 km, entre B y D es de 25 km, entre G y A es de 30 km (todas las distancias medidas a lo largo de la carretera de circunvalación a lo largo del arco más corto). Encuentre la distancia (en kilómetros) entre B y C.
Soluciones
1). Tres rayos que emanan de un punto dividen el plano en 3 ángulos diferentes, medidos en un número entero de grados. El ángulo mayor es 3 veces el menor. ¿Cuántos valores puede tomar el ángulo promedio?
2). Tres rayos que emanan de un punto dividen el plano en 3 ángulos diferentes, medidos en un número entero de grados. El ángulo mayor es 4 veces el menor. ¿Cuántos valores puede tomar el ángulo promedio?
Soluciones
1). Todas las entradas de la casa tienen el mismo número de pisos y todos los pisos tienen el mismo número de apartamentos. En este caso, el número de pisos de la casa es mayor que el número de apartamentos en el piso, el número de apartamentos en el piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno. ¿Cuantos pisos tiene un edificio si tiene 455 departamentos?
2). Todas las entradas de la casa tienen el mismo número de pisos y cada piso tiene el mismo número de apartamentos. En este caso, el número de pisos de la casa es mayor que el número de apartamentos en el piso, el número de apartamentos en el piso es mayor que el número de entradas y el número de entradas es más de uno. ¿Cuantos pisos tiene el edificio si hay 110 departamentos en total?
Soluciones
Hay quince apartamentos en la casa con números del 1 al 15. Cada apartamento está habitado por al menos uno y no más. tres personas. En los apartamentos del 1 al 12 inclusive viven sólo 14 personas y en los apartamentos del 11 al 15 sólo 13 personas. ¿Cuántas personas viven en esta casa?
Solución
El edificio tiene diecisiete apartamentos con números de apartamento del 1 al 17. Cada apartamento alberga al menos una y no más de cuatro personas. En los apartamentos del 1 al 11 inclusive viven un total de 13 personas y en los apartamentos del 7 al 17 inclusive viven un total de 31 personas. ¿Cuántas personas viven en esta casa?
Solución
En la cesta hay 35 setas: nísperos y setas con leche. Se sabe que entre 18 hongos hay al menos un níscalo de azafrán, y entre 19 hongos hay al menos un champiñón de leche. ¿Cuántas setas con leche hay en la canasta?
Soluciones
1). Masha y el Oso se comieron 100 galletas y un tarro de mermelada, empezando y terminando al mismo tiempo. Al principio, Masha comía mermelada y Bear, galletas, pero en algún momento cambiaron. El oso se come a ambos tres veces más rápido que Masha. ¿Cuántas galletas se comió el Oso si comieron la misma cantidad de mermelada?
2). Masha y el Oso comieron 51 galletas y un tarro de mermelada, empezando y terminando al mismo tiempo. Al principio, Masha comía mermelada y Bear, galletas, pero en algún momento cambiaron. El oso se come ambos cuatro veces más rápido que Masha. ¿Cuántas galletas se comió el Oso si comieron la misma cantidad de mermelada?
Soluciones
La lista de tareas del cuestionario constaba de 33 preguntas. Por cada respuesta correcta, el alumno recibió 7 puntos, por una respuesta incorrecta se le descontaron 12 puntos y por no responder se le otorgaron 0 puntos. ¿Cuántas respuestas correctas dio un alumno que obtuvo 70 puntos, si se sabe que se equivocó al menos una vez?
Solución
Si cada uno de los dos factores aumentara en 1, su producto aumentaría en 11. De hecho, cada uno de los dos factores aumentaría en 2. ¿Cuánto aumentó el producto?
Solución
1). Del libro se cayeron varias hojas consecutivas. El número de la última página antes de las hojas caídas es 476, el número de la primera página después de las hojas caídas está escrito con los mismos números, pero en diferente orden. ¿Cuántas hojas se cayeron?
2). Del libro se cayeron varias hojas consecutivas. El número de la última página antes de las hojas descartadas es 352, el número de la primera página después de las hojas descartadas está escrito con los mismos números, pero en diferente orden. ¿Cuántas hojas se cayeron?
Soluciones
El kvas de barril se puede comprar en botellas, y el costo del kvas en una botella consiste en el costo de la botella en sí y el kvas que se vierte en ella. El precio de una botella no depende de su volumen. Una botella de kvas de 1 litro cuesta 44 rublos, una botella de 2 litros cuesta 80 rublos. ¿Cuántos rublos costará una botella de kvas de 0,5 litros?
Solución
Se sabe de los números naturales A, B y C que cada uno de ellos es mayor que 5, pero menor que 9. Adivinaron un número natural, luego lo multiplicaron por A, luego lo sumaron al producto resultante B y le restaron C. El resultado fue 164. ¿Qué número se adivinó?
Solución
1). La media aritmética de 7 números naturales es 12. Se les suma un octavo número de modo que la media aritmética de estos ocho números es 14. Encuentra el octavo número.
2). La media aritmética de 6 números naturales diferentes es 8. ¿Cuánto se debe aumentar el mayor de estos números para que su media aritmética sea 1 mayor?
Soluciones
1). Un caracol trepa por un árbol 4 m en un día y se desliza 2 m hacia arriba durante la noche. La altura del árbol es de 12 m. ¿Cuántos días le tomará al caracol trepar hasta la cima del árbol? ¿base?
2). Un caracol trepa por un árbol 2 m en un día y se desliza 1 m hacia arriba durante la noche. La altura del árbol es de 11 m. ¿Cuántos días tardará el caracol en arrastrarse desde la base hasta la cima? ¿árbol?
Soluciones
1). Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la octava entrada del apartamento número 468, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía doce pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; la numeración de apartamentos en el edificio comienza desde uno).
2). Sasha invitó a Petya a visitarlo y le dijo que vivía en la duodécima entrada del apartamento número 465, pero se olvidó de decir el piso. Al acercarse a la casa, Petya descubrió que la casa tenía cinco pisos de altura. ¿En qué piso vive Sasha? (En todos los pisos el número de apartamentos es el mismo; la numeración de apartamentos en el edificio comienza desde uno).
Soluciones
En la superficie del globo se dibujan 15 paralelos y 20 meridianos con un rotulador. ¿En cuántas partes las líneas dibujadas dividieron la superficie del globo? Meridiano es un arco de círculo que conecta el Norte y polos sur. Un paralelo es un círculo que se encuentra en un plano paralelo al plano del ecuador.
Solución
1). Al final del trimestre, Petya anotó todas sus calificaciones seguidas para una de las materias, eran 5, y entre algunas de ellas puso signos de multiplicación. El producto de los números resultantes resultó ser igual a 3495. ¿Qué nota obtiene Petya en un trimestre en esta materia, si el profesor solo da notas "2", "3", "4" o "5" y la final ¿Es la nota de un trimestre la media aritmética de todas las notas actuales, redondeadas según las reglas de redondeo?
2). Al final del trimestre, Petya anotó todas sus calificaciones seguidas para una de las materias, eran 5, y entre algunas de ellas puso signos de multiplicación. El producto de los números resultantes resultó ser igual a 1590. ¿Qué nota obtiene Petya en el trimestre de esta materia, si el profesor solo da notas "2", "3", "4" o "5" y la final ¿La nota del trimestre es la media aritmética de todas las notas actuales, redondeada según las reglas de redondeo?
