El desplazamiento (en cinemática) es un cambio en la ubicación de un cuerpo físico en el espacio en relación con el sistema de referencia seleccionado. El vector que caracteriza este cambio también se llama desplazamiento. Tiene la propiedad de aditividad.
Velocidad (a menudo denotada por la velocidad inglesa o vitesse francesa) - vector cantidad fisica, que caracteriza la rapidez del movimiento y la dirección del movimiento de un punto material en el espacio en relación con el sistema de referencia seleccionado (por ejemplo, velocidad angular).
La aceleración (generalmente denotada en mecánica teórica) es la derivada de la velocidad con respecto al tiempo, cantidad vectorial, que muestra cuánto cambia el vector de velocidad de un punto (cuerpo) a medida que se mueve por unidad de tiempo (es decir, la aceleración tiene en cuenta no solo el cambio en la magnitud de la velocidad, sino también su dirección).
Aceleración tangencial (tangencial)– esta es la componente del vector de aceleración dirigida a lo largo de la tangente a la trayectoria en un punto dado de la trayectoria del movimiento. La aceleración tangencial caracteriza el cambio en el módulo de velocidad en movimiento curvilíneo.
Arroz. 1.10. Aceleración tangencial.
Dirección vectorial aceleración tangencialτ (ver Fig. 1.10) coincide con la dirección de la velocidad lineal o es opuesta a ella. Es decir, el vector de aceleración tangencial se encuentra en el mismo eje que el círculo tangente, que es la trayectoria del cuerpo.
aceleración normal
aceleración normal es la componente del vector de aceleración dirigida a lo largo de la normal a la trayectoria del movimiento en un punto dado de la trayectoria del cuerpo. Es decir, el vector de aceleración normal es perpendicular a la velocidad lineal de movimiento (ver figura 1.10). La aceleración normal caracteriza el cambio de velocidad en la dirección y se denota con la letra n. El vector de aceleración normal se dirige a lo largo del radio. curvatura de trayectoria.
Aceleración total
Aceleración total en el movimiento curvilíneo, consta de aceleraciones tangenciales y normales según la regla de la suma de vectores y está determinada por la fórmula:
(según el teorema de Pitágoras para un rectángulo rectangular).
La dirección de la aceleración total también está determinada por la regla de la suma de vectores:
Fortaleza. Peso. Las leyes de Newton.
La fuerza es una cantidad física vectorial, que es una medida de la intensidad de la influencia de otros cuerpos, así como de los campos, sobre un cuerpo determinado. Una fuerza aplicada a un cuerpo masivo provoca un cambio en su velocidad o la aparición de deformaciones en el mismo.
La masa (del griego μάζα) es una cantidad física escalar, una de las cantidades más importantes de la física. Inicialmente (siglos XVII-XIX) caracterizó la “cantidad de sustancia” en objeto físico, del cual, según las ideas de esa época, dependían tanto la capacidad de un objeto para resistir la fuerza aplicada (inercia) como las propiedades gravitacionales: el peso. Estrechamente relacionado con los conceptos de “energía” y “momento” (según ideas modernas- la masa equivale a la energía en reposo).
La primera ley de Newton
Existen sistemas de referencia llamados inerciales, con respecto a los cuales el punto material en ausencia influencias externas mantiene la magnitud y dirección de su velocidad indefinidamente.
Segunda ley de Newton
En un sistema de referencia inercial, la aceleración que recibe un punto material es directamente proporcional a la resultante de todas las fuerzas que se le aplican e inversamente proporcional a su masa.
tercera ley de newton
Los puntos materiales actúan entre sí en pares con fuerzas de la misma naturaleza, dirigidas a lo largo de la línea recta que conecta estos puntos, de igual magnitud y de dirección opuesta:
Legumbres. Ley de conservación del impulso. Impactos elásticos e inelásticos.
Impulso (Cantidad de movimiento) es una cantidad física vectorial que caracteriza la medida del movimiento mecánico de un cuerpo. En mecánica clásica, el momento de un cuerpo. igual al producto masa m de este cuerpo por su velocidad v, la dirección del impulso coincide con la dirección del vector velocidad:
La ley de conservación del momento (Ley de conservación del momento) establece que la suma vectorial del momento de todos los cuerpos (o partículas) de un sistema cerrado es un valor constante.
En la mecánica clásica, la ley de conservación del momento suele derivarse de las leyes de Newton. A partir de las leyes de Newton se puede demostrar que cuando se mueve en el espacio vacío, el impulso se conserva en el tiempo y, en presencia de interacción, la velocidad de su cambio está determinada por la suma de las fuerzas aplicadas.
Como cualquiera de las leyes fundamentales de conservación, la ley de conservación del impulso describe una de las simetrías fundamentales: la homogeneidad del espacio.
Impacto absolutamente inelástico Se llama interacción de impacto en la que los cuerpos se conectan (se pegan) entre sí y se mueven más lejos como un solo cuerpo.
Para un impacto completamente inelástico energía mecánica no se salva. Se transforma parcial o totalmente en energía interna cuerpos (calefacción).
Impacto absolutamente elástico Se llama colisión en la que se conserva la energía mecánica de un sistema de cuerpos.
En muchos casos, las colisiones de átomos, moléculas y partículas elementales obedecen a las leyes del impacto absolutamente elástico.
Con un impacto absolutamente elástico, junto con la ley de conservación del momento, se cumple la ley de conservación de la energía mecánica.
4. Tipos de energía mecánica. Trabajo. Fuerza. Ley de conservación de la energía.
En mecánica existen dos tipos de energía: cinética y potencial.
La energía cinética es la energía mecánica de cualquier cuerpo que se mueve libremente y se mide por el trabajo que el cuerpo podría realizar cuando frena hasta detenerse por completo.
Entonces, la energía cinética de un cuerpo en movimiento traslacional es igual a la mitad del producto de la masa de este cuerpo por el cuadrado de su velocidad: 
La energía potencial es la energía mecánica de un sistema de cuerpos, determinada por su posición relativa y la naturaleza de las fuerzas de interacción entre ellos. Numéricamente, la energía potencial de un sistema en su posición dada es igual al trabajo que realizarán las fuerzas que actúan sobre el sistema al moverlo desde esta posición a aquella donde la energía potencial se acepta convencionalmente. igual a cero
(En norte = 0). El concepto de "energía potencial" se aplica sólo a sistemas conservadores, es decir. Sistemas en los que el trabajo de las fuerzas actuantes depende únicamente de la posición inicial y final del sistema. 
Entonces, para una carga que pesa P elevada a una altura h, la energía potencial será igual a E n = Ph (E n = 0 en h = 0); para una carga unida a un resorte, E n = kΔl 2 / 2, donde Δl es el alargamiento (compresión) del resorte, k es su coeficiente de rigidez (E n = 0 en l = 0); para dos partículas con masas m 1 y m 2, atraídas según la ley de la gravitación universal,
, donde γ es la constante gravitacional, r es la distancia entre partículas (E n = 0 en r → ∞).
El término “trabajo” en mecánica tiene dos significados: trabajo como proceso en el que una fuerza mueve un cuerpo, actuando en un ángulo distinto de 90°; El trabajo es una cantidad física igual al producto de la fuerza, el desplazamiento y el coseno del ángulo entre la dirección de la fuerza y el desplazamiento:
1 julio es el trabajo realizado por una fuerza de 1 N cuando un cuerpo se mueve 1 m a lo largo de la línea de acción de la fuerza. Para determinar la velocidad de trabajo se introduce el valor "potencia".
El poder es una cantidad física, igual a la proporción trabajo realizado durante un período de tiempo a ese período de tiempo.
La potencia media a lo largo de un periodo de tiempo se distingue:
y potencia instantánea en en este momento tiempo:
Dado que el trabajo es una medida del cambio de energía, la potencia también se puede definir como la tasa de cambio de energía de un sistema.
La unidad de potencia del SI es el vatio, igual a un julio dividido por un segundo.
La ley de conservación de la energía es una ley fundamental de la naturaleza, establecida empíricamente, que establece que para un sistema físico aislado se puede introducir una cantidad física escalar, que es función de los parámetros del sistema y se llama energía, la cual se conserva a lo largo del tiempo. tiempo. Dado que la ley de conservación de la energía no se aplica a cantidades y fenómenos específicos, sino que refleja un patrón general que es aplicable en todas partes y siempre, no se le puede llamar ley, sino el principio de conservación de la energía.
movimiento lineal, velocidad lineal, aceleración lineal.
Emocionante(en cinemática) - cambio de ubicación cuerpo fisico en el espacio en relación con el sistema de referencia elegido. El vector que caracteriza este cambio también se llama desplazamiento. Tiene la propiedad de aditividad. La longitud del segmento es el módulo de desplazamiento, medido en metros (SI).
Puedes definir el movimiento como un cambio en el vector de radio de un punto: .
El módulo de desplazamiento coincide con la distancia recorrida si y sólo si la dirección del desplazamiento no cambia durante el movimiento. En este caso, la trayectoria será un segmento de recta. En cualquier otro caso, por ejemplo en el movimiento curvilíneo, de la desigualdad del triángulo se deduce que el camino es estrictamente más largo.
Vector D r = r -r 0 extraído de posición inicial mover un punto a su posición en un momento dado (incremento del radio vector del punto durante el período de tiempo considerado), se llama emocionante.
En movimiento recto el vector de desplazamiento coincide con la sección correspondiente de la trayectoria y el módulo de desplazamiento |D r| igual a la distancia recorrida D s.
Velocidad lineal de un cuerpo en mecánica.
Velocidad
Caracterizar el movimiento. punto material Se introduce una cantidad vectorial: la velocidad, que se define como rapidez movimiento y su dirección en un momento dado en el tiempo.
Deje que un punto material se mueva a lo largo de algunos trayectoria curvilínea para que en el momento del tiempo t corresponde al vector de radio r 0 (Fig. 3). Por un corto periodo de tiempo D. t punto seguirá el camino D s y recibirá un desplazamiento elemental (infinitesimal) Dr.
Vector de velocidad media
La dirección del vector velocidad promedio coincide con la dirección del Dr. Con una disminución ilimitada en D t la velocidad promedio tiende a un valor límite llamado velocidad instantánea v:
La velocidad instantánea v, por tanto, es una cantidad vectorial igual a la primera derivada del radio vector del punto en movimiento con respecto al tiempo. Dado que la secante en el límite coincide con la tangente, el vector de velocidad v se dirige tangente a la trayectoria en la dirección del movimiento (Fig. 3). A medida que D disminuye t camino D s se acercará cada vez más a |Dr|, por lo que el valor absoluto de la velocidad instantánea
Así, el valor absoluto de la velocidad instantánea es igual a la primera derivada de la trayectoria con respecto al tiempo:
En No movimiento uniforme - el módulo de velocidad instantánea cambia con el tiempo. EN en este caso disfrutar cantidad escalar á vñ - velocidad promedio movimiento desigual:
De la Fig. 3 se deduce que á vñ> |ávñ|, ya que D s> |Dr|, y sólo en el caso de movimiento rectilíneo
Si la expresión d s=v d t(ver fórmula (2.2)) integrarse a lo largo del tiempo que van desde t a t+D t, entonces encontramos la longitud del camino recorrido por el punto en el tiempo D t:
En caso movimiento uniforme valor numérico velocidad instantánea constantemente; entonces la expresión (2.3) tomará la forma
La longitud del camino recorrido por un punto durante un período de tiempo desde t 1 a t 2, dado por la integral
La aceleración y sus componentes.
En el caso de un movimiento desigual, es importante saber qué tan rápido cambia la velocidad con el tiempo. Una cantidad física que caracteriza la tasa de cambio de la velocidad en magnitud y dirección es aceleración.
consideremos movimiento plano, aquellos. un movimiento en el que todas las partes de la trayectoria de un punto se encuentran en el mismo plano. Deje que el vector v especifique la velocidad del punto. A en un momento dado t. Durante el tiempo D t el punto en movimiento se ha movido a la posición EN y adquirió una velocidad diferente de v tanto en magnitud como en dirección e igual a v 1 = v + Dv. Muevamos el vector v 1 al punto A y encuentre Dv (Fig. 4).
Aceleración media movimiento desigual en el rango de t a t+D t es una cantidad vectorial igual a la relación entre el cambio de velocidad Dv y el intervalo de tiempo D t
Aceleración instantánea y (aceleración) de un punto material en el momento del tiempo t Habrá un límite de aceleración media:
Por tanto, la aceleración a es una cantidad vectorial igual a la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo.
Descompongamos el vector Dv en dos componentes. Para hacer esto desde el punto A(Fig. 4) en la dirección de la velocidad v trazamos el vector cuyo módulo es igual a v 1. Obviamente, el vector , igual a , determina el cambio de velocidad a lo largo del tiempo D módulo t: . El segundo componente del vector Dv caracteriza el cambio de velocidad a lo largo del tiempo D t en dirección.
tangencial y aceleración normal.
aceleración tangencial- componente de aceleración dirigido tangencialmente a la trayectoria del movimiento. Coincide con la dirección del vector velocidad durante el movimiento acelerado y en dirección opuesta durante el movimiento lento. Caracteriza el cambio de módulo de velocidad. Generalmente se designa o (, etc. de acuerdo con qué letra se elige para denotar la aceleración en general en este texto).
En ocasiones se entiende por aceleración tangencial la proyección del vector aceleración tangencial -como se definió anteriormente- sobre el vector unitario de la tangente a la trayectoria, que coincide con la proyección del vector aceleración (total) sobre el vector unitario tangente, es decir, el coeficiente de expansión correspondiente en la base adjunta. En este caso no se utiliza una notación vectorial, sino “escalar” -como es habitual para la proyección o las coordenadas de un vector-.
La magnitud de la aceleración tangencial, en el sentido de la proyección del vector de aceleración sobre un vector unitario tangente de la trayectoria, se puede expresar de la siguiente manera:
Dónde - velocidad de avance a lo largo de la trayectoria, coincidiendo con el valor absoluto de la velocidad instantánea en el momento dado.
Si usamos la notación para el vector unitario tangente, podemos escribir la aceleración tangencial en forma vectorial:
Conclusión
La expresión de la aceleración tangencial se puede encontrar derivando con respecto al tiempo el vector velocidad, representado en términos del vector unitario tangente:
donde el primer término es la aceleración tangencial y el segundo es la aceleración normal.
La notación utilizada aquí es para vector unitario normal a la trayectoria y - para la longitud actual de la trayectoria (); la última transición también usa lo obvio
y, por consideraciones geométricas,
Aceleración centrípeta (normal)- Parte aceleración total punto, debido a la curvatura de la trayectoria y la velocidad de movimiento del punto material a lo largo de ella. Esta aceleración se dirige hacia el centro de curvatura de la trayectoria, que es lo que da origen al término. Formal y esencialmente el término aceleración centrípeta generalmente coincide con el término aceleración normal, diferenciándose más bien sólo estilísticamente (a veces históricamente).
La gente habla especialmente a menudo de aceleración centrípeta cuando estamos hablando de sobre el movimiento uniforme en un círculo o durante el movimiento más o menos cercano a este caso particular.
¿Dónde está la aceleración normal (centrípeta), - la velocidad lineal (instantánea) de movimiento a lo largo de la trayectoria, - (instantánea) velocidad angular de este movimiento con respecto al centro de curvatura de la trayectoria, es el radio de curvatura de la trayectoria en un punto dado. (La conexión entre la primera fórmula y la segunda es obvia, dado).
Las expresiones anteriores incluyen valores absolutos. Se pueden escribir fácilmente en forma vectorial multiplicando por - un vector unitario desde el centro de curvatura de la trayectoria hasta un punto dado:
Estas fórmulas son igualmente aplicables al caso de movimiento con velocidad constante (en valor absoluto) y a un caso arbitrario. Sin embargo, en el segundo hay que tener en cuenta que la aceleración centrípeta no es el vector aceleración completo, sino sólo su componente perpendicular a la trayectoria (o, lo que es lo mismo, perpendicular al vector velocidad instantánea); el vector de aceleración total incluye entonces también una componente tangencial (aceleración tangencial), coincidiendo la dirección con la tangente a la trayectoria (o, lo que es lo mismo, con la velocidad instantánea).
Conclusión
El hecho de que la descomposición del vector de aceleración en componentes, uno a lo largo de la tangente a la trayectoria del vector (aceleración tangencial) y el otro ortogonal a ella (aceleración normal), pueda ser conveniente y útil, es bastante obvio en sí mismo. Esto se ve agravado por el hecho de que cuando se mueve a velocidad constante, la componente tangencial será igual a cero, es decir, en este importante caso particular, solo queda la componente normal. Además, como se puede ver a continuación, cada uno de estos componentes tiene pronunciadas propiedades propias Tanto la estructura como la aceleración normal contienen en la estructura de su fórmula un contenido geométrico bastante importante y no trivial. Por no hablar del importante caso particular del movimiento en círculo (que, además, puede generalizarse al caso general prácticamente sin cambios).
Aceleración en fórmula cinemática. Aceleración en la definición cinemática.
¿Qué es la aceleración?
La velocidad puede cambiar mientras conduce.
La velocidad es una cantidad vectorial.
El vector velocidad puede cambiar en dirección y magnitud, es decir en tamaño. Para tener en cuenta tales cambios de velocidad, se utiliza la aceleración.
Definición de aceleración
Definición de aceleración
La aceleración es una medida de cualquier cambio en la velocidad.
La aceleración, también llamada aceleración total, es un vector.
Vector de aceleración
El vector de aceleración es la suma de otros dos vectores. Uno de estos otros vectores se llama aceleración tangencial y el otro se llama aceleración normal.
Describe el cambio en la magnitud del vector velocidad.
Describe el cambio de dirección del vector velocidad.
Cuando se mueve en línea recta, la dirección de la velocidad no cambia. En este caso, la aceleración normal es cero y las aceleraciones total y tangencial coinciden.
Con movimiento uniforme, el módulo de velocidad no cambia. En este caso, la aceleración tangencial es cero y las aceleraciones total y normal son las mismas.
Si un cuerpo realiza un movimiento uniforme rectilíneo, entonces su aceleración es cero. Y esto significa que los componentes de la aceleración total, es decir La aceleración normal y la aceleración tangencial también son cero.
Vector de aceleración total
El vector de aceleración total es igual a suma geométrica aceleraciones normal y tangencial, como se muestra en la figura:
Fórmula de aceleración:
a = a n + a t
Módulo de aceleración completo
Módulo de aceleración completo:
Ángulo alfa entre el vector de aceleración total y la aceleración normal (también conocido como el ángulo entre el vector de aceleración total y el vector de radio):
Tenga en cuenta que el vector de aceleración total no se dirige tangencialmente a la trayectoria.
El vector de aceleración tangencial se dirige a lo largo de la tangente.
La dirección del vector de aceleración total está determinada por la suma vectorial de los vectores de aceleración normal y tangencial.
Por ejemplo, un automóvil que comienza a moverse se mueve más rápido a medida que aumenta su velocidad. En el punto donde comienza el movimiento, la rapidez del automóvil es cero. Una vez que comienza a moverse, el coche acelera hasta una determinada velocidad. Si es necesario frenar, el coche no podrá detenerse instantáneamente, sino con el tiempo. Es decir, la velocidad del automóvil tenderá a cero: el automóvil comenzará a moverse lentamente hasta detenerse por completo. Pero la física no conoce el término "desaceleración". Si un cuerpo se mueve disminuyendo su velocidad, este proceso también se llama aceleración, pero con un signo “-”.
Aceleración media Se llama relación entre el cambio de velocidad y el período de tiempo durante el cual ocurrió este cambio. Calcule la aceleración promedio usando la fórmula:
¿dónde está esto? La dirección del vector aceleración es la misma que la dirección del cambio de velocidad Δ = - 0
donde 0 es velocidad inicial. En un momento en el tiempo t 1(ver figura a continuación) en el cuerpo 0. En un momento en el tiempo t 2 el cuerpo tiene velocidad. Basándonos en la regla de la resta de vectores, determinamos el vector de cambio de velocidad Δ = - 0. A partir de aquí calculamos la aceleración:
.
En el sistema SI unidad de aceleración llamado 1 metro por segundo por segundo (o metro por segundo al cuadrado):
.
Un metro por segundo al cuadrado es la aceleración de un punto que se mueve rectilíneamente, a partir del cual la velocidad de este punto aumenta 1 m/s en 1 segundo. En otras palabras, la aceleración determina la tasa de cambio en la velocidad de un cuerpo en 1 s. Por ejemplo, si la aceleración es de 5 m/s2, entonces la velocidad del cuerpo aumenta 5 m/s cada segundo.
Aceleración instantánea de un cuerpo (punto material) en un momento dado en el tiempo es una cantidad física que es igual al límite al que tiende la aceleración promedio cuando el intervalo de tiempo tiende a 0. En otras palabras, esta es la aceleración desarrollada por el cuerpo en un momento muy pequeño segmento tiempo:
.
La aceleración tiene la misma dirección que el cambio de velocidad Δ en períodos de tiempo extremadamente cortos durante los cuales la velocidad cambia. El vector de aceleración se puede especificar mediante proyecciones sobre los ejes de coordenadas correspondientes en sistema dado referencia (proyecciones a X, a Y, a Z).
Con un movimiento lineal acelerado, la velocidad del cuerpo aumenta en valor absoluto, es decir, v 2 > v 1 , y el vector aceleración tiene la misma dirección que el vector velocidad 2 .
Si la velocidad de un cuerpo disminuye en valor absoluto (v 2< v 1), значит, у вектора ускорения направление противоположно направлению вектора скорости 2 . Другими словами, в таком случае наблюдаем desacelerando(la aceleración es negativa y< 0). На рисунке ниже изображено направление векторов ускорения при прямолинейном движении тела для случая ускорения и замедления.
Si el movimiento ocurre a lo largo de una trayectoria curva, entonces la magnitud y dirección de la velocidad cambian. Esto significa que el vector de aceleración se representa como dos componentes.
Aceleración tangencial (tangencial) llaman a esa componente del vector aceleración que se dirige tangencialmente a la trayectoria en un punto dado de la trayectoria del movimiento. La aceleración tangencial describe el grado de cambio en el módulo de velocidad durante el movimiento curvilíneo.
Ud. vector de aceleración tangencialτ (ver figura arriba) la dirección es la misma que la de la velocidad lineal o opuesta a ella. Aquellos. el vector de aceleración tangencial está en el mismo eje que el círculo tangente, que es la trayectoria del cuerpo.
Aceleración centrípeta- componente de la aceleración de un punto, que caracteriza la velocidad de cambio en la dirección del vector velocidad para una trayectoria con curvatura (el segundo componente, la aceleración tangencial, caracteriza el cambio en el módulo de velocidad). Dirigido hacia el centro de curvatura de la trayectoria, que es de donde proviene el término. El valor es igual al cuadrado de la velocidad dividido por el radio de curvatura. El término "aceleración centrípeta" es equivalente al término " aceleración normal" Aquella componente de la suma de fuerzas que provoca esta aceleración se llama fuerza centrípeta.
Mayoría ejemplo sencillo La aceleración centrípeta es el vector de aceleración durante el movimiento circular uniforme (dirigido hacia el centro del círculo).
Aceleración rápida en proyección sobre un plano perpendicular al eje, aparece como centrípeto.
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Un n = v 2 R (\displaystyle a_(n)=(\frac (v^(2))(R))\ ) un norte = ω 2 R , (\displaystyle a_(n)=\omega ^(2)R\ ,)
Dónde un norte (\displaystyle a_(n)\ )- aceleración normal (centrípeta), v (\displaystyle v\ )- velocidad lineal (instantánea) de movimiento a lo largo de la trayectoria, ω (\displaystyle \omega \ )- velocidad angular (instantánea) de este movimiento con respecto al centro de curvatura de la trayectoria, R (\displaystyle R\ )- radio de curvatura de la trayectoria en un punto determinado. (La conexión entre la primera fórmula y la segunda es obvia, dado v = ω R (\displaystyle v=\omega R\ )).
Las expresiones anteriores incluyen valores absolutos. Se pueden escribir fácilmente en forma vectorial multiplicando por mi R (\displaystyle \mathbf (e)_(R))- vector unitario desde el centro de curvatura de la trayectoria hasta su punto dado:
a n = v 2 R e R = v 2 R 2 R (\displaystyle \mathbf (a) _(n)=(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(R)= (\frac (v^(2))(R^(2)))\mathbf (R) ) un norte = ω 2 R .(\displaystyle \mathbf (a) _(n)=\omega ^(2)\mathbf (R) .) Estas fórmulas son igualmente aplicables al caso de movimiento con velocidad constante (en valor absoluto) y a un caso arbitrario. Sin embargo, en el segundo hay que tener en cuenta que la aceleración centrípeta no es el vector aceleración completo, sino sólo su componente perpendicular a la trayectoria (o, lo que es lo mismo, perpendicular al vector velocidad instantánea); el vector de aceleración total también incluye una componente tangencial () aceleración tangencial a τ = d v / d t (\displaystyle a_(\tau )=dv/dt\ )
, en dirección coincidente con la tangente a la trayectoria (o, lo que es lo mismo, con la velocidad instantánea).
Motivación y conclusión. El hecho de que la descomposición del vector de aceleración en componentes, uno a lo largo de la tangente a la trayectoria del vector (aceleración tangencial) y el otro ortogonal a ella (aceleración normal), pueda ser conveniente y útil, es bastante obvio en sí mismo. Cuando se mueve con una velocidad de módulo constante, la componente tangencial se vuelve igual a cero, es decir, en este importante caso particular permanece componente normal. Además, como se puede ver a continuación, cada uno de estos componentes tiene propiedades y estructura claramente definidas, y la aceleración normal contiene un contenido geométrico bastante importante y no trivial en la estructura de su fórmula. Por no hablar del importante caso especial del movimiento circular.
Conclusión formal
La descomposición de la aceleración en componentes tangencial y normal (la segunda de las cuales es aceleración centrípeta o normal) se puede encontrar diferenciando con respecto al tiempo el vector velocidad, presentado en la forma v = v e τ (\displaystyle \mathbf (v) =v\,\mathbf (e) _(\tau )) a través del vector unitario tangente mi τ (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau )):
a = d v d t = d (v e τ) d t = d v d t e τ + v d e τ d t = d v d t e τ + v d e τ d l d l d t = d v d t e τ + v 2 R e n , (\displaystyle \mathbf (a) =(\frac (d\mathbf ( v) )(dt))=(\frac (d(v\mathbf (e) _(\tau )))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t ))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt))=(\frac (\mathrm (d) v)(\mathrm ( d) t))\mathbf (e) _(\tau )+v(\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dl))(\frac (dl)(dt))=(\ frac (\mathrm (d) v)(\mathrm (d) t))\mathbf (e) _(\tau )+(\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _( n)\ ,)Aquí usamos la notación para el vector unitario normal a la trayectoria y l (\displaystyle l\ )- para la longitud de la trayectoria actual ( l = l (t) (\displaystyle l=l(t)\ )); la última transición también usa lo obvio re l / re t = v (\displaystyle dl/dt=v\ ).
v 2 R e n (\displaystyle (\frac (v^(2))(R))\mathbf (e) _(n)\ )Aceleración normal (centrípeta). Además, su significado, el significado de los objetos incluidos en él, así como la prueba de que efectivamente es ortogonal al vector tangente (es decir, que mi norte (\displaystyle \mathbf (e)_(n)\ )- realmente un vector normal) - se desprenderá de consideraciones geométricas (sin embargo, el hecho de que la derivada de cualquier vector de longitud constante con respecto al tiempo sea perpendicular a este vector en sí es un hecho bastante simple; en este caso aplicamos esta afirmación para re mi τ re t (\displaystyle (\frac (d\mathbf (e) _(\tau ))(dt)))
Notas
Es fácil notar que el valor absoluto de la aceleración tangencial depende únicamente de la aceleración direccional, coincidiendo con su valor absoluto, a diferencia de valor absoluto aceleración normal, que no depende de la aceleración del suelo, sino de la velocidad del suelo.
Los métodos presentados aquí, o variaciones de los mismos, se pueden utilizar para introducir conceptos como la curvatura de una curva y el radio de curvatura de una curva (ya que en el caso de que la curva sea un círculo, R coincide con el radio de dicho círculo; no es demasiado difícil demostrar que el círculo está en el plano mi τ , mi norte (\displaystyle \mathbf (e)_(\tau ),e_(n)\ ) con centro en dirección mi norte (\displaystyle e_(n)\ ) desde un punto dado a una distancia R desde allí - coincidirá con la curva dada - trayectoria - hasta el segundo orden de pequeñez en la distancia hasta el punto dado).
Historia
Primero fórmulas correctas para aceleración centrípeta (o fuerza centrífuga) aparentemente fue obtenido por Huygens. Casi a partir de este momento, la consideración de la aceleración centrípeta se ha incluido en equipo convencional resolución de problemas mecánicos, etc.
Un poco más tarde, estas fórmulas jugaron un papel importante en el descubrimiento de la ley de la gravitación universal (la fórmula de la aceleración centrípeta se utilizó para obtener la ley de dependencia fuerza gravitacional desde la distancia hasta la fuente de gravedad, basado en la tercera ley de Kepler derivada de observaciones).
A siglo 19 La consideración de la aceleración centrípeta ya se está volviendo completamente rutinaria tanto para la ciencia pura como para las aplicaciones de ingeniería.
