Las matrices diagonales tienen la estructura más simple. Surge la pregunta de si es posible encontrar una base en la que la matriz operador lineal tendría una apariencia diagonal. Esa base existe.
que se dé espacio lineal R n y el operador lineal A que actúa en él; en este caso, el operador A toma R n en sí mismo, es decir, A:R n → R n .

Definición. Un vector x distinto de cero se denomina vector propio del operador A si el operador A transforma x en un vector colineal, es decir. El número λ se llama valor propio o valor propio del operador A, correspondiente al vector propio x.
Observemos algunas propiedades de los valores propios y los vectores propios.
1. Cualquier combinación lineal de vectores propios. El operador A correspondiente al mismo valor propio λ es un vector propio con el mismo valor propio.
2. Vectores propios El operador A con valores propios diferentes por pares λ 1 , λ 2 ,…, λ m son linealmente independientes.
3. Si los valores propios λ 1 =λ 2 = λ m = λ, entonces el valor propio λ corresponde a no más de m vectores propios linealmente independientes.

Entonces, si hay n vectores propios linealmente independientes , correspondientes a diferentes valores propios λ 1, λ 2, ..., λ n, entonces son linealmente independientes, por tanto, pueden tomarse como base del espacio R n. Encontremos la forma de la matriz del operador lineal A en base a sus vectores propios, para lo cual actuaremos con el operador A en base a vectores: Entonces .
Por lo tanto, la matriz del operador lineal A sobre la base de sus vectores propios tiene una forma diagonal, y los valores propios del operador A están a lo largo de la diagonal.
¿Existe otra base en la que la matriz tenga forma diagonal? La respuesta a esta pregunta viene dada por el siguiente teorema.

Teorema. La matriz del operador lineal A en la base (i = 1..n) tiene forma diagonal si y sólo si todos los vectores de la base son vectores propios operador a.

Regla para encontrar valores propios y vectores propios

. (*)

(1)
Dónde - matriz de operadores lineales.

El sistema (1) tiene solución distinta de cero si su determinante D es igual a cero

Ejemplo 12. El operador lineal A actúa en R 3 según la ley, donde x 1, x 2, .., x n son las coordenadas del vector en la base , , . Encuentre los valores propios y vectores propios de este operador.
Solución. Construimos la matriz de este operador:
.
Creamos un sistema para determinar las coordenadas de vectores propios:

Compilando Ecuación característica y resolverlo:

.
λ 1,2 = -1, λ 3 = 3.
Sustituyendo λ = -1 en el sistema, tenemos:
o
Porque , entonces hay dos variables dependientes y una variable libre.
Sea x 1 una incógnita libre, entonces Resolvemos este sistema de cualquier forma y encontramos decisión común de este sistema: El sistema fundamental de soluciones consta de una solución, ya que n - r = 3 - 2 = 1.
El conjunto de vectores propios correspondiente al valor propio λ = -1 tiene la forma: , donde x 1 es cualquier número distinto de cero. Elijamos un vector de este conjunto, por ejemplo, poniendo x 1 = 1: .
Razonando de manera similar, encontramos el vector propio correspondiente al valor propio λ = 3: .
En el espacio R3, la base consta de tres líneas vectores independientes, recibimos sólo dos vectores propios linealmente independientes, a partir de los cuales no se puede componer una base en R 3. En consecuencia, no podemos reducir la matriz A de un operador lineal a forma diagonal.

Ejemplo 13. Dada una matriz .
1. Demuestre que el vector es un vector propio de la matriz A. Encuentre el valor propio correspondiente a este vector propio.
2. Encuentre una base en la que la matriz A tenga forma diagonal.
Solución.
1. Si , entonces x es un vector propio

.
El vector (1, 8, -1) es un vector propio. Valor propio λ = -1.
La matriz tiene forma diagonal en una base que consta de vectores propios. Uno de ellos es famoso. Busquemos el resto.
Buscamos vectores propios del sistema:

Ecuación característica: ;
(3 + λ)[-2(2-λ)(2+λ)+3] = 0; (3+λ)(λ 2 - 1) = 0
λ 1 = -3, λ 2 = 1, λ 3 = -1.
Encontremos el vector propio correspondiente al valor propio λ = -3:

El rango de la matriz de este sistema es dos y igual al numero incógnitas, por lo que este sistema solo tiene la solución cero x 1 = x 3 = 0. x 2 aquí puede ser cualquier cosa distinta de cero, por ejemplo, x 2 = 1. Por lo tanto, el vector (0,1,0) es un vector propio , correspondiente a λ = -3. Vamos a revisar:
.
Si λ = 1, entonces obtenemos el sistema
El rango de la matriz es dos. Tachamos la última ecuación.
Sea x 3 una incógnita libre. Entonces x 1 = -3x 3, 4x 2 = 10x 1 - 6x 3 = -30x 3 - 6x 3, x 2 = -9x 3.
Suponiendo x 3 = 1, tenemos (-3,-9,1) - un vector propio correspondiente al valor propio λ = 1. Verifique:

.
Dado que los valores propios son reales y distintos, los vectores correspondientes a ellos son linealmente independientes, por lo que pueden tomarse como base en R 3 . Así, en la base , , la matriz A tiene la forma:
.
No todas las matrices de un operador lineal A:R n → R n se pueden reducir a forma diagonal, ya que para algunos operadores lineales puede haber menos de n vectores propios lineales independientes. Sin embargo, si la matriz es simétrica, entonces la raíz de la ecuación característica de multiplicidad m corresponde exactamente a m vectores linealmente independientes.

Definición. Una matriz simétrica se llama matriz cuadrada, en el que los elementos simétricos con respecto a la diagonal principal son iguales, es decir, en el que .
Notas. 1. Todos los valores propios de una matriz simétrica son reales.
2. Los vectores propios de una matriz simétrica correspondientes a valores propios diferentes por pares son ortogonales.
Como una de las muchas aplicaciones del aparato estudiado, consideramos el problema de determinar el tipo de curva de segundo orden.

Valores propios (números) y vectores propios.
Ejemplos de soluciones

Ser uno mismo

De ambas ecuaciones se deduce que .

Digámoslo entonces: .

Como resultado: – segundo vector propio.

repitamos puntos importantes soluciones:

– el sistema resultante ciertamente tiene una solución general (las ecuaciones son linealmente dependientes);

– seleccionamos la “y” de tal forma que sea entera y la primera coordenada “x” sea entera, positiva y lo más pequeña posible.

– comprobamos que la solución particular satisface cada ecuación del sistema.

Respuesta .

Había suficientes “puntos de control” intermedios, por lo que comprobar la igualdad es, en principio, innecesario.

EN varias fuentes información, las coordenadas de los vectores propios a menudo se escriben no en columnas, sino en filas, por ejemplo: (y, para ser honesto, yo mismo estoy acostumbrado a escribirlos en líneas). Esta opción es aceptable, pero a la luz del tema. transformaciones lineales técnicamente más conveniente de usar vectores de columna.

Quizás la solución te pareció muy larga, pero esto es sólo porque comenté el primer ejemplo con gran detalle.

Ejemplo 2

matrices

¡Entrenemos por nuestra cuenta! muestra aproximada terminar la tarea al final de la lección.

A veces necesitas hacer tarea adicional, a saber:

escribir la descomposición de la matriz canónica

¿Lo que es?

Si los vectores propios de la matriz se forman base, entonces se puede representar como:

¿Dónde hay una matriz compuesta por coordenadas de vectores propios? diagonal matriz con sus correspondientes valores propios.

Esta descomposición matricial se llama canónico o diagonal.

Veamos la matriz del primer ejemplo. Sus vectores propios independiente linealmente(no colineal) y forman una base. Creemos una matriz de sus coordenadas:

En diagonal principal matrices en el orden apropiado se ubican los valores propios y los elementos restantes son iguales a cero:
– Una vez más enfatizo la importancia del orden: “dos” corresponde al primer vector y, por lo tanto, se ubica en la primera columna, “tres” – al segundo vector.

Usando el algoritmo habitual para encontrar matriz inversa o Método de Gauss-Jordan encontramos . ¡No, eso no es un error tipográfico! - ante ti es raro, como Eclipse solar un evento cuando la inversa coincide con la matriz original.

queda por escribir descomposición canónica matrices:

El sistema se puede resolver usando transformaciones elementales y en siguientes ejemplos recurriremos a este método. Pero aquí el método "escolar" funciona mucho más rápido. De la tercera ecuación expresamos: – sustituimos en la segunda ecuación:

Como la primera coordenada es cero, obtenemos un sistema de cada ecuación del cual se sigue que .

Y otra vez preste atención a la presencia obligatoria de una relación lineal. Si sólo se obtiene una solución trivial , entonces el valor propio se encontró incorrectamente o el sistema se compiló/resolvió con un error.

Las coordenadas compactas dan el valor.

Vector propio:

Y una vez más comprobamos que la solución encontrada satisface todas las ecuaciones del sistema. En párrafos y tareas posteriores recomiendo tomar este deseo como regla obligatoria.

2) Para el valor propio, usando el mismo principio, obtenemos el siguiente sistema:

De la segunda ecuación del sistema expresamos: – sustituimos en la tercera ecuación:

Como la coordenada “zeta” es igual a cero, obtenemos un sistema de cada ecuación del cual se sigue dependencia lineal.

Dejar

Comprobando que la solución satisface todas las ecuaciones del sistema.

Por tanto, el vector propio es: .

3) Y finalmente, el sistema corresponde al valor propio:

La segunda ecuación parece la más simple, así que expresémosla y sustituyémosla en la primera y tercera ecuaciones:

Todo está bien: ha surgido una relación lineal que sustituimos en la expresión:

Como resultado, “x” e “y” se expresaron mediante “z”: . En la práctica, no es necesario lograr precisamente tales relaciones; en algunos casos es más conveniente expresar tanto a través como a través de . O incluso "entrenar", por ejemplo, de "X" a "I" y de "I" a "Z".

Digámoslo entonces:

Comprobamos que la solución encontrada satisface cada ecuación del sistema y escribe el tercer vector propio

Respuesta: vectores propios:

Geométricamente, estos vectores definen tres direcciones espaciales diferentes. ("Ahí y de vuelta"), según la cual transformación lineal transforma vectores distintos de cero (vectores propios) en vectores colineales.

Si la condición requería encontrar la descomposición canónica, entonces esto es posible aquí, porque diferentes valores propios corresponden a diferentes vectores propios linealmente independientes. haciendo una matriz a partir de sus coordenadas, una matriz diagonal de importante valores propios y encontrar matriz inversa .

Si, por condición, necesitas escribir matriz de transformación lineal en base a vectores propios, luego damos la respuesta en el formulario . ¡Hay una diferencia y la diferencia es significativa! Porque esta matriz es la matriz “de”.

problema con mas cálculos simples Para decisión independiente:

Ejemplo 5

Encuentra vectores propios de una transformación lineal dada por una matriz.

Cuando encuentres tus propios números, trata de no llegar hasta un polinomio de tercer grado. Además, las soluciones de su sistema pueden diferir de las mías; no hay certeza aquí; y los vectores que encuentre pueden diferir de los vectores de muestra hasta la proporcionalidad de sus respectivas coordenadas. Por ejemplo, y. Es más agradable desde el punto de vista estético presentar la respuesta en el formulario, pero está bien si te detienes en la segunda opción. Sin embargo, todo tiene límites razonables; la versión ya no tiene muy buena pinta.

Una muestra final aproximada de la tarea al final de la lección.

¿Cómo resolver el problema en el caso de múltiples valores propios?

Algoritmo general Sigue siendo el mismo, pero tiene sus propias características, y es aconsejable mantener algunas partes de la solución en un estilo académico más estricto:

Ejemplo 6

Encuentra valores propios y vectores propios

Solución

Por supuesto, escribamos con mayúscula la fabulosa primera columna:

Y, después de la descomposición trinomio cuadrático por multiplicadores:

Como resultado, se obtienen valores propios, dos de los cuales son múltiplos.

Encontremos los vectores propios:

1) Tratemos con un soldado solitario según un esquema "simplificado":

De las dos últimas ecuaciones se ve claramente una igualdad que, obviamente, debe sustituirse en la primera ecuación del sistema:

No encontrarás una mejor combinación:
Vector propio:

2-3) Ahora eliminamos un par de centinelas. EN en este caso podría funcionar ya sea dos o uno vector propio. Independientemente de la multiplicidad de las raíces, sustituimos el valor en el determinante. lo que nos trae el siguiente sistema homogéneo de ecuaciones lineales:

Los vectores propios son exactamente vectores.
sistema fundamental de soluciones

En realidad, durante toda la lección no hicimos más que encontrar los vectores del sistema fundamental. Sólo por el momento este término Realmente no lo necesitaba. Por cierto, esos estudiantes inteligentes que se perdieron el tema con trajes de camuflaje ecuaciones homogéneas, se verá obligado a fumarlo ahora.

La única acción fue eliminar líneas adicionales. El resultado es una matriz de uno por tres con un “paso” formal en el medio.
– variable básica, – variables libres. Hay dos variables libres, por lo tanto También hay dos vectores del sistema fundamental..

Expresemos la variable básica en términos de variables libres: . El factor cero delante de la "X" le permite tomar absolutamente cualquier valor (lo cual es claramente visible en el sistema de ecuaciones).

En el contexto de este problema, es más conveniente escribir la solución general no en una fila, sino en una columna:

El par corresponde a un vector propio:
El par corresponde a un vector propio:

Nota : los lectores sofisticados pueden seleccionar estos vectores oralmente, simplemente analizando el sistema , pero aquí se necesita algo de conocimiento: hay tres variables, rango de la matriz del sistema- uno, lo que significa sistema de decisión fundamental consta de 3 – 1 = 2 vectores. Sin embargo, los vectores encontrados son claramente visibles incluso sin este conocimiento, de forma puramente intuitiva. En este caso, el tercer vector se escribirá aún más “bellamente”: . Sin embargo, te advierto que en otro ejemplo puede que no sea posible una selección simple, por lo que la cláusula está destinada a personas con experiencia. Además, ¿por qué no tomarlo, digamos, como tercer vector? Después de todo, sus coordenadas también satisfacen cada ecuación del sistema, y ​​​​los vectores independiente linealmente. Esta opción, en principio, es adecuada, pero "torcida", ya que el "otro" vector es una combinación lineal de vectores del sistema fundamental.

Respuesta: valores propios: , vectores propios:

Ejemplo similar para solución independiente:

Ejemplo 7

Encuentra valores propios y vectores propios

Una muestra aproximada del diseño final al final de la lección.

Cabe señalar que tanto en el ejemplo 6 como en el 7 se obtiene un triple de vectores propios linealmente independientes y, por lo tanto, la matriz original es representable en la descomposición canónica. Pero este tipo de frambuesas no se encuentran en todos los casos:

Ejemplo 8

Solución: creemos y resolvamos la ecuación característica:

Ampliemos el determinante en la primera columna:

Realizamos mayores simplificaciones según el método considerado, evitando el polinomio de tercer grado:

– valores propios.

Encontremos los vectores propios:

1) No hay dificultades con la raíz:

No se sorprenda, además del kit, también hay variables en uso; aquí no hay diferencia.

De la tercera ecuación la expresamos y la sustituimos en la primera y segunda ecuación:

De ambas ecuaciones se sigue:

Vamos entonces:

2-3) Para múltiples valores obtenemos el sistema .

Escribamos la matriz del sistema y, usando transformaciones elementales, la llevemos a una forma paso a paso:

Encontrar valores propios y vectores propios de matrices es uno de los más tareas complejas álgebra lineal que surgen en el proceso de modelado y análisis de procesos de funcionamiento. sistemas dinámicos, modelado estadístico. Entonces, por ejemplo, los vectores propios de la matriz de covarianza de un vector aleatorio determinan las direcciones de los ejes principales del hiperelipsoide de dispersión de los valores de este vector, y los valores propios determinan el estiramiento o compresión del hiperelipsoide a lo largo sus ejes principales. En mecánica, los vectores propios y los números del tensor de inercia caracterizan la dirección de los ejes principales y los principales momentos de inercia de un cuerpo sólido.

Distinguir lleno (algebraico o de otro modo, matriz) problema de valores propios, lo que supone encontrar todos propios pares alguna matriz, y problemas de valores propios parciales, consistente, por regla general, en encontrar uno o más valores propios y posiblemente correspondiente a ellos vectores propios. Muy a menudo, en el último caso estamos hablando acerca de sobre cómo encontrar los valores propios de módulo más grandes y más pequeños; El conocimiento de tales características de la matriz permite, por ejemplo, sacar conclusiones sobre la convergencia de ciertos métodos iterativos, optimizar sus parámetros, etc.

El problema de los valores propios se puede formular de la siguiente manera: ¿para qué vectores y números distintos de cero? transformación lineal¿Un vector con la ayuda de una matriz no cambia la dirección de este vector en el espacio, sino que se reduce solo a "estirar" este vector en un factor? La respuesta a esta pregunta radica en soluciones no triviales de la ecuación.

, (1.2)

¿Dónde está la matriz identidad? Teóricamente, este problema se resuelve fácilmente: es necesario encontrar las raíces de los llamados característica ecuaciones

(1.3)

y, sustituyéndolos uno por uno en (1.2), obtener vectores propios de los correspondientes sistemas sobredeterminados.

Implementación práctica Este enfoque está asociado con una serie de dificultades que aumentan a medida que aumenta la dimensión del problema que se resuelve. Estas dificultades se deben al despliegue del determinante y calcular las raíces del polinomio resultante norteº grado, además de buscar linealmente decisiones independientes sistemas degenerados lineal ecuaciones algebraicas. En este sentido, un enfoque tan directo para resolver el problema algebraico de valores propios generalmente se usa solo para tamaños de matrices muy pequeños ( norte= 2, 3). Ya en norte> 4 especiales pasan a primer plano métodos numéricos soluciones a tales problemas, una de las cuales, basada en la matriz transformación de similitud, se discutirá más a fondo. Te recordamos que similar se llaman matrices y , Dónde CON es una matriz arbitraria no singular.

Enumeremos brevemente las principales propiedades de los valores propios y los vectores:

1. Si – par propio de matriz A, A – algún número, entonces También es un par adecuado para A. Esto significa que cada valor propio corresponde a un número infinito de vectores propios, que difieren sólo en un factor escalar.

2. dejar – par propio de matriz , donde – algunos Número Real. Entonces – par propio de matriz A. Así, sumando a esta matriz A la matriz diagonal no cambia sus vectores propios y se desplaza rango matriz original por número (a la izquierda cuando ). El espectro de una matriz es el conjunto de todos sus valores propios.

3. Si es un par propio de la matriz invertible, entonces – par adecuado de matriz.

4. Valores propios de diagonal y matrices triangulares son sus elementos diagonales, porque La ecuación característica (1.3) teniendo en cuenta (1.1) para tales matrices se puede escribir como:

.

La última igualdad muestra que Las matrices reales diagonales y triangulares sólo tienen valores propios reales.(liso norte teniendo en cuenta su posible multiplicidad). La realidad de los valores propios también es inherente a una clase muy importante de matrices simétricas en aplicaciones, que incluyen matrices de covarianza y tensores de inercia.

5. Si – par propio de matriz , Eso – par propio de matriz A Por tanto, la transformación de similitud mantiene sin cambios el espectro de cualquier matriz.

6. deja A– matriz de estructura de dimensión simple , y las matrices Y formado a partir de sus valores propios y vectores propios, respectivamente. Entonces la igualdad es verdadera. . Dado que para una matriz diagonal formada a partir de valores propios, los vectores propios pueden servir como vectores de unidad base original ( , ), luego, usando la propiedad 5 y tomando Y (aquellos. ), la propiedad 6 se puede formular de otra manera: si es un par propio de la matriz, entonces hay un par de matrices adecuado A.

Transformaciones de coordenadas lineales. Vectores propios y valores propios de una matriz, sus propiedades. Polinomio característico de una matriz, sus propiedades.

Diremos que sobre el conjunto de vectores R dado transformaciónA , si cada vector X R según alguna regla el vector AX R.

Definición 9.1. Conversión A llamado lineal, si para algún vector X Y en y para cualquier número real λ se cumplen las siguientes igualdades:

A(X + en )=AX +Aen ,A(λX ) =λAX . (9.1)

Definición 9.2. La transformación lineal se llama idéntico, si transforma cualquier vector X en ti mismo.

La transformación de identidad se denota SUX = X .

Considere un espacio tridimensional con una base. mi 1 , mi 2 , mi 3 , en el que se especifica una transformación lineal A. Aplicándolo a los vectores base, obtenemos los vectores. Ami 1 , Ami 2 , Ami 3 perteneciente a este espacio tridimensional. En consecuencia, cada uno de ellos se puede expandir de forma única en vectores base:

Ami 1 = un 11 mi 1 + un 21 mi 2 +a 31 mi 3 ,

Ami 2 = un 12 mi 1 + un 22 mi 2 + un 32 mi 3 , (9.2)

Ami 3 = un 13 mi 1 + un 23 mi 2 + un 33 mi 3 .

Matriz
llamado matriz de transformación linealA en la base mi 1 , mi 2 , mi 3 . Las columnas de esta matriz están formadas por los coeficientes de las fórmulas de transformación de bases (9.2).

Comentario. Obviamente, la matriz de transformación de identidad es la matriz de identidad. mi.

Para un vector arbitrario X =x 1 mi 1 +x 2 mi 2 +x 3 mi 3 el resultado de aplicarle una transformación lineal A será un vector AX , que se puede expandir en vectores de la misma base: AX =x` 1 mi 1 +x` 2 mi 2 +x` 3 mi 3 , donde las coordenadas X` i se puede encontrar usando las fórmulas:

X` 1 = un 11 X 1 +a 12 X 2 +a 13 X 3 ,

x` 2 = un 21 X 1 +a 22 X 2 +a 23 X 3 , (9.3)

X` 3 = a 31 X 1 + a 32 X 2 + a 33 X 3 .

Los coeficientes en las fórmulas de esta transformación lineal son elementos de las filas de la matriz. A.

Transformación matricial de transformación lineal.

al pasar a una nueva base.

Considere una transformación lineal A y dos bases en un espacio tridimensional: mi 1 , mi 2 , mi 3 Y mi 1 , mi 2 , mi 3 . Deje que la matriz C defina las fórmulas para la transición desde la base ( mi k) a base ( mi k). Si en la primera de estas bases la transformación lineal elegida está especificada por la matriz A, y en la segunda, por la matriz A, entonces podemos encontrar la conexión entre estas matrices, a saber:

A = C-1 A C (9.4)

En realidad,
, Entonces A
. Por otro lado, los resultados de aplicar la misma transformación lineal A en base ( mi k), es decir. , y en la base ( mi k ): respectivamente - conectado por matriz CON:
, de lo que se deduce que AC=A CON. Multiplicando ambos lados de esta igualdad desde la izquierda por CON-1, obtenemos CON - 1 CA = = C -1 A CON, lo que demuestra la validez de la fórmula (9.4).

Valores propios y vectores propios de una matriz.

Definición 9.3. Vector X llamado vector propio matrices A, si existe tal número λ, que se cumple la igualdad: AX = λ X , es decir, el resultado de aplicar a X transformación lineal especificada por la matriz A, es la multiplicación de este vector por el número λ . El número en sí λ llamado valor propio matrices A.

Sustituyendo en fórmulas (9.3) X` j = λ X j , obtenemos un sistema de ecuaciones para determinar las coordenadas del vector propio:

.

. (9.5)

este lineal sistema homogéneo tendrá solución no trivial sólo si su determinante principal es 0 (regla de Cramer). Escribiendo esta condición en la forma:

obtenemos una ecuación para determinar los valores propios λ , llamado Ecuación característica. Brevemente se puede representar de la siguiente manera:

| A - λ mi| = 0, (9.6)

ya que su lado izquierdo contiene el determinante de la matriz A-λE. Relativo polinómico λ | A - λ mi| llamado polinomio característico matrices a.

Propiedades del polinomio característico:

Propiedades de valores propios y vectores propios:

Si elegimos una base de los vectores propios X 1 , X 2 , X 3 , correspondiente a los valores propios λ 1 , λ 2 , λ 3 matrices A, entonces en base a esto la transformación lineal A tiene una matriz de forma diagonal:

(9.7) La prueba de esta propiedad se desprende de la definición de vectores propios.

Si los valores propios de la transformación A son diferentes, entonces sus correspondientes vectores propios son linealmente independientes.

Si el polinomio característico de la matriz A tiene tres raíces diferentes, entonces en alguna base la matriz A tiene una apariencia diagonal.

Encontremos los valores propios y vectores propios de la matriz. Creemos una ecuación característica:
(1-λ )(5 -λ )(1 -λ ) + 6 - 9(5 -λ ) - (1 -λ ) - (1 -λ ) = 0,λ ³ - 7 λ ² + 36 = 0, λ 1 = -2,λ 2 = 3,λ 3 = 6.

Encontremos las coordenadas de los vectores propios correspondientes a cada valor encontrado. λ. De (9.5) se deduce que si X (1) ={X 1 , X 2 , X 3 ) – vector propio correspondiente λ 1 = -2, entonces

- un sistema cooperativo pero incierto. Su solución se puede escribir en la forma X (1) ={a,0,-a), donde a es cualquier número. En particular, si requerimos que | X (1) |=1,X (1) =

Sustituyendo en el sistema (9.5) λ 2 =3, obtenemos un sistema para determinar las coordenadas del segundo vector propio - X (2) ={y 1 , y 2 , y 3 }:

, dónde X (2) ={b,- b, b) o, siempre que | X (2) |=1,X (2) =

Para λ 3 = 6 encuentra el vector propio X (3) ={z 1 , z 2 , z 3 }:

,X (3) ={C,2 C, C) o en la versión normalizada

X (3) =
Se puede notar que X (1) X (2) =ab – ab = 0,X (1) X (3) =C.A – C.A = 0,X (2) X (3) =antes de Cristo - 2antes de Cristo + antes de Cristo = 0. Por tanto, los vectores propios de esta matriz son ortogonales por pares.