núcleo del sistema operativo
Núcleo de red Sistema operativo(intérprete de comandos) proporciona el funcionamiento de la interfaz de usuario. Entre las funciones del núcleo se encuentran:
Controlar la ejecución de los procesos creándolos, finalizándolos o suspendiéndolos y organizando las interacciones entre ellos.
Programar el orden en que los procesos en ejecución reciben tiempo de CPU (programación). Los procesos funcionan con el procesador central en modo de tiempo compartido: el procesador central ejecuta el proceso, después de completar el intervalo de tiempo contado por el kernel, el proceso se suspende y el kernel activa la ejecución de otro proceso. Posteriormente, el kernel inicia el proceso suspendido.
Asignar RAM al proceso en ejecución. El núcleo del sistema operativo permite que los procesos compartan partes del espacio de direcciones bajo ciertas condiciones, al tiempo que protege el espacio de direcciones asignado al proceso de interferencias externas. Si el sistema requiere memoria libre, el kernel la libera intercambiando temporalmente el proceso a dispositivos de almacenamiento externos llamados dispositivos de intercambio. Si el kernel descarga procesos completos para descargar dispositivos, esta implementación del sistema UNIX se llama sistema de intercambio; si las páginas de memoria se envían al dispositivo de descarga, dicho sistema se denomina sistema de reemplazo de páginas.
Asignación de memoria externa para garantizar el almacenamiento eficiente de información y la recuperación de datos del usuario. Es en el proceso de implementación de esta función que el sistema de archivos. El kernel asigna memoria externa para los archivos del usuario, moviliza la memoria no utilizada, estructura el sistema de archivos de una forma comprensible y protege los archivos del usuario del acceso no autorizado.
Controle el acceso del proceso a dispositivos periféricos como terminales, dispositivos de cinta, unidades de disco y equipos de red.
El kernel implementa un número funciones necesarias para garantizar la ejecución de procesos a nivel de usuario, con excepción de las funciones que pueden implementarse en el propio nivel de usuario.
Características de los principales sistemas operativos de red
Sistema operativo netware Novell se centra en red local PC compatibles con IBM PC. Este sistema operativo de red, cuyo núcleo se carga en un servidor de archivos, es un sistema operativo en sí mismo. Las estaciones de trabajo cargan módulos del sistema operativo de la red, que proporcionan interacción con su núcleo e intercambio de mensajes con otras estaciones de trabajo. Al mismo tiempo, en las estaciones de trabajo se pueden utilizar varios sistemas operativos básicos. El sistema operativo de red asegura el funcionamiento de una red de cualquier estructura: monocanal, anillo, estrella, etc. Actualmente se utilizan varias versiones del sistema operativo de red NetWare Novell. La red Novell NetWare 2.2 está diseñada para organizar una red pequeña basada en un servidor de archivos con un procesador 80286. Para crear redes grandes y confiables, es más adecuada la red Novell NetWare 3.11 o 3.12 que se ejecuta en procesadores 80386 y superiores. La versión 3.11/3.12, a diferencia de la 2.2, funciona con un servidor de archivos dedicado y el número de estaciones de trabajo conectadas a un servidor puede llegar a 250. La red Novell NetWare 4.1 está diseñada para crear redes grandes que constan de muchos segmentos y contienen varios servidores. El número de estaciones de trabajo en esta versión puede llegar a 1000.
Ventajas del sistema:
servicios de archivos e impresión potentes y bien diseñados;
disponibilidad de medios de compresión operativa de información en discos;
potentes herramientas de administración para grandes redes Novell multiusuario y multiservidor;
la capacidad de crear redes con mayor tolerancia a fallas (paquete NetWare SFT III);
un gran número de programas de aplicación desarrollado por proveedores independientes;
Estructura jerárquica conveniente de un directorio distribuido.
Desventajas del sistema:
la necesidad de comprar un paquete NetWareSMP por separado para organizar el multiprocesamiento;
falta de herramientas sencillas de desarrollo de aplicaciones;
Protección débil de la memoria al ejecutar aplicaciones de servidor, lo que dificulta la depuración de programas y puede provocar una falla del sistema durante su funcionamiento.
Funciones del sistema operativo NetWare
soporte para compartir archivos,
proporcionar acceso a impresoras de red,
provisión de herramientas para trabajar con correo electrónico,
soporte para varios tipos de DBMS,
proporcionar acceso al servidor de archivos desde estaciones de trabajo que ejecutan varios sistemas operativos,
ofreciendo herramientas que permiten conectar segmentos de red remotos,
garantizar la "transparencia" del acceso de los usuarios locales y remotos a los recursos de la red,
ofrecer medios para el almacenamiento seguro de datos,
garantizar la protección de los recursos de la red contra el acceso no autorizado,
soporte para expandir dinámicamente volúmenes de múltiples segmentos en múltiples discos de servidor de archivos,
provisión de herramientas de gestión de recursos de red corporativa: un directorio unificado de recursos de red NDS en NetWare 4.1,
asegurando la transmisión y procesamiento de datos utilizando diferentes protocolos: SPX/IPX, TCP/IP, NetBIOS, AppleTalk,
soporte para el funcionamiento de superservidores en un modo de funcionamiento simétrico (NetWare 4.1 SMP OS).
Ventanas 95/98
Ventanas 95/98- sistema operativo de red de una red local peer-to-peer (el número de computadoras no supera los 10). Windows 95 es un sistema multitarea y multiproceso de 32 bits con prioridades. El sistema operativo proporciona una variedad de herramientas para el procesamiento de datos distribuidos. Crea un entorno para la arquitectura orientada a objetos y realiza una variedad de funciones relacionadas con la definición y cambio de la configuración de dispositivos externos y software que se ejecutan en la red. Se garantiza la protección contra fallos y la seguridad de los datos. Windows 95 funciona con cualquier tipo de datos: texto, sonido e imágenes, y utiliza una interfaz de usuario cómoda y simplificada que le permite trabajar con gráficos tridimensionales. Windows 95 tiene un módulo que es un buzón universal diseñado para almacenar mensajes de correo electrónico, correo de voz y fax. La mensajería dentro de un grupo de trabajo se realiza mediante Microsoft Mail. En el grupo de trabajo, debe asignar una máquina equipada con un módem fax como máquina de correo.
Microsoft Windows NT WS/Servidor 4.0
microsoftWindowsNTW.S./ Servidor 4.0 es un sistema operativo único y potente.
Durante su desarrollo se persiguieron los siguientes objetivos:
fiabilidad,
actuación,
portabilidad,
compatibilidad,
escalabilidad,
seguridad.
Windows NT es ideal para trabajar como estación de trabajo y servidor de red donde se requiere mayor estabilidad y alto rendimiento. Windows NT es una síntesis de versiones anteriores de Windows y de otros sistemas operativos. Se puede adaptar a diferentes tipos. hardware sin procesamiento completo. Una característica importante de un sistema operativo es su capacidad para trabajar con aplicaciones existentes.
Ventajas del sistema:
disponibilidad de una interfaz gráfica unificada;
simplicidad y facilidad de uso y administración;
servicios confiables de archivos e impresión;
desarrolló una interfaz API (ApplicationProgramInterface) para la programación de aplicaciones, facilitando el proceso de desarrollo de programas de aplicaciones;
la capacidad de implementar procesamiento de uno y varios procesadores (hasta 32 procesadores) en un solo paquete;
soporte para varias arquitecturas de procesador (Intel, Alpha, MIPS, etc.).
Desventajas del sistema:
débil flexibilidad del servicio de directorio (modelo de dominio) en comparación con servicios NOS similares NetWare y BanyanVINES 6.0;
Complejidad del sistema de seguridad al controlar el acceso dentro y entre dominios.
ventanas 2000
Windows2000 viene en tres versiones
Servidor avanzado de Windows 2000 (Por- viejo- Servidor empresarial)
Windows 2000 Profesional (Por- viejo- puesto de trabajo).Lugar de trabajo altamente productivo
Peculiaridadesventanas 2000:
Windows 2000 Professional incluye soporte ampliado para dispositivos, soporte para administración de energía móvil y una interfaz de usuario mejorada que lo convierte en la versión de Windows más fácil de usar jamás lanzada.
Se han agregado nuevos “asistentes” al sistema: “asistente de hardware”, que le permite conectar nuevos dispositivos al sistema de la manera más sencilla, “asistente de conexión de red”, que le ayuda a configurar rápidamente módems y conexiones de red, “asistente de impresora ”, que le ayuda a conectar rápidamente una impresora.
Ahora hay soporte para el intercambio en caliente de componentes. Esta característica será apreciada por los propietarios de portátiles que se ven obligados a reiniciar sus máquinas al conectar nuevos dispositivos.
Windows 2000 utiliza un nuevo sistema de archivos llamado NTFS5. Principal característica distintiva de este sistema de archivos: cifrado automático de datos en “segundo plano”.
El nuevo sistema ha reducido SIETE veces el número de reinicios requeridos después de instalar nuevas propiedades, lo que significa que el usuario no tendrá que reiniciar para que el sistema "acepte" los nuevos parámetros.
Nuevo servicio agregado búsqueda rápida datos, que le permitirán encontrar los archivos necesarios a alta velocidad debido a la indexación de datos
Se ha establecido una nueva política de seguridad. Este enfoque hace que el sistema sea muy resistente a diversas fallas.
Soporte de red mejorado. Desde el punto de vista del usuario, ahora será posible, sin entrar en detalles, acceder a los recursos de la red sin involucrar a un administrador del sistema siempre ocupado.
Windows 2000 tiene una nueva característica: crear un script de instalación que le permitirá instalar el sistema en discos. diferentes autos utilizando un único guión.
Tarea 1. Descubra si el sistema de vectores es linealmente independiente. El sistema de vectores estará especificado por la matriz del sistema, cuyas columnas están formadas por las coordenadas de los vectores.
.
Solución. Sea la combinación lineal 
igual a cero. Escribiendo esta igualdad en coordenadas, obtenemos el siguiente sistema ecuaciones:
.
Este sistema de ecuaciones se llama triangular. Ella tiene única decisión 
. Por lo tanto, los vectores 
independiente linealmente.
Tarea 2. Descubra si el sistema de vectores es linealmente independiente.
.
Solución. Vectores 
son linealmente independientes (ver Problema 1). Demostremos que el vector es una combinación lineal de vectores. 
. Coeficientes de expansión vectorial 
se determinan a partir del sistema de ecuaciones
.
Este sistema, al igual que el triangular, tiene una solución única.
Por tanto, el sistema de vectores. 
linealmente dependiente.
Comentario. Las matrices del mismo tipo que en el problema 1 se llaman triangular , y en el problema 2 – triangular escalonado . La cuestión de la dependencia lineal de un sistema de vectores se resuelve fácilmente si la matriz compuesta por las coordenadas de estos vectores es triangular escalonada. Si la matriz no tiene tipo especial, luego usando conversiones de cadenas elementales , preservando las relaciones lineales entre las columnas, se puede reducir a una forma triangular escalonada.
Transformaciones elementales líneas matrices (EPS) las siguientes operaciones sobre una matriz se denominan:
1) reordenamiento de cuerdas;
2) multiplicar una cadena por un número distinto de cero;
3) agregar otra cadena a una cadena, multiplicada por un número arbitrario.
Tarea 3. Encuentra el máximo linealmente subsistema independiente y calcular el rango del sistema vectorial
.
Solución. Reduzcamos la matriz del sistema usando EPS a una forma triangular escalonada. Para explicar el procedimiento, denotamos la línea con el número de la matriz a transformar con el símbolo . La columna después de la flecha indica las acciones en las filas de la matriz que se está convirtiendo que se deben realizar para obtener las filas de la nueva matriz.
.
Obviamente, las dos primeras columnas de la matriz resultante son linealmente independientes, la tercera columna es su combinación lineal y la cuarta no depende de las dos primeras. Vectores 
se llaman básicos. Forman un subsistema linealmente independiente máximo del sistema. , y el rango del sistema es tres.
Base, coordenadas
Tarea 4. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto. vectores geométricos, cuyas coordenadas satisfacen la condición 
.
Solución. El conjunto es un plano que pasa por el origen. Una base arbitraria en un plano consta de dos vectores no colineales. Las coordenadas de los vectores en la base seleccionada se determinan resolviendo el correspondiente sistema de ecuaciones lineales.
Hay otra forma de resolver este problema, cuando puedes encontrar la base usando las coordenadas.
Coordenadas 
los espacios no son coordenadas en el plano, ya que están relacionados por la relación 
, es decir, no son independientes. Las variables independientes y (se llaman libres) definen de forma única un vector en el plano y, por tanto, pueden elegirse como coordenadas en . Entonces la base 
consta de vectores que se encuentran y corresponden a conjuntos de variables libres 
Y 
, eso es .
Tarea 5. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto de todos los vectores en el espacio cuyas coordenadas impares son iguales entre sí.
Solución. Elijamos como en tarea anterior, coordenadas en el espacio.
Porque 
, luego variables libres 
determinan de forma única el vector desde y, por lo tanto, son coordenadas. La base correspondiente consta de vectores.
Tarea 6. Encuentre la base y las coordenadas de los vectores en esta base en el conjunto de todas las matrices de la forma 
, Dónde 
– números arbitrarios.
Solución. Cada matriz de es representable de forma única en la forma:
Esta relación es la expansión del vector con respecto a la base. 
con coordenadas 
.
Tarea 7. Encuentra dimensión y base. cáscara lineal sistemas vectoriales
.
Solución. Usando el EPS, transformamos la matriz de las coordenadas de los vectores del sistema a una forma triangular escalonada.
.
columnas 
las últimas matrices son linealmente independientes y las columnas 
expresado linealmente a través de ellos. Por lo tanto, los vectores 
formar una base 
, Y 
.
Comentario. base en se elige de forma ambigua. Por ejemplo, vectores 
también forma una base 
.
a 1 = { 3, 5, 1 , 4 }, a 2 = { –2, 1, -5 , -7 }, a 3 = { -1, –2, 0, –1 }.
Solución. Estan buscando decisión común sistemas de ecuaciones
a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ
Método de Gauss. Para ello, anotamos este sistema homogéneo en coordenadas:
Matriz del sistema
El sistema permitido tiene la forma: 
(r un = 2, norte= 3). El sistema es cooperativo e incierto. Su solución general ( X 2 – variable libre): X 3 = 13X 2 ; 3X 1 – 2X 2 – 13X 2 = 0 => X 1 = 5X 2 => X o = . La presencia de una solución particular distinta de cero, por ejemplo, indica que los vectores a
1 , a
2 , a
3
linealmente dependiente.
Ejemplo 2.
Averigua si este sistema vectores linealmente dependientes o linealmente independientes:
1. a 1 = { -20, -15, - 4 }, a 2 = { –7, -2, -4 }, a 3 = { 3, –1, –2 }.
Solución. Considere un sistema homogéneo de ecuaciones. a 1 X 1 + a 2 X 2 + a 3 X 3 = Θ
o en forma expandida (por coordenadas)
El sistema es homogéneo. Si no es degenerado, entonces tiene una solución única. Cuando sistema homogéneo– solución cero (trivial). Esto significa que en este caso el sistema de vectores es independiente. Si el sistema es degenerado, entonces tiene soluciones distintas de cero y, por tanto, es dependiente.
Comprobamos el sistema en busca de degeneración:
= –80 – 28 + 180 – 48 + 80 – 210 = – 106 ≠ 0.
El sistema no es degenerado y, por tanto, los vectores a 1 , a 2 , a 3 independiente linealmente.
Tareas. Descubra si un sistema dado de vectores es linealmente dependiente o linealmente independiente:
1. a 1 = { -4, 2, 8 }, a 2 = { 14, -7, -28 }.
2. a 1 = { 2, -1, 3, 5 }, a 2 = { 6, -3, 3, 15 }.
3. a 1 = { -7, 5, 19 }, a 2 = { -5, 7 , -7 }, a 3 = { -8, 7, 14 }.
4. a 1 = { 1, 2, -2 }, a 2 = { 0, -1, 4 }, a 3 = { 2, -3, 3 }.
5. a 1 = { 1, 8 , -1 }, a 2 = { -2, 3, 3 }, a 3 = { 4, -11, 9 }.
6. a 1 = { 1, 2 , 3 }, a 2 = { 2, -1 , 1 }, a 3 = { 1, 3, 4 }.
7. a 1 = {0, 1, 1 , 0}, a 2 = {1, 1 , 3, 1}, a 3 = {1, 3, 5, 1}, a 4 = {0, 1, 1, -2}.
8. a 1 = {-1, 7, 1 , -2}, a 2 = {2, 3 , 2, 1}, a 3 = {4, 4, 4, -3}, a 4 = {1, 6, -11, 1}.
9. Demuestre que un sistema de vectores será linealmente dependiente si contiene:
un dos vector igual;
b) dos vectores proporcionales.
Vectores, sus propiedades y acciones con ellos.
Vectores, acciones con vectores, espacio vectorial lineal.
Los vectores son una colección ordenada de un número finito de números reales.
Comportamiento: 1.Multiplicar un vector por un número: lambda*vector x=(lamda*x 1, lambda*x 2 ... lambda*x n).(3.4, 0, 7)*3=(9, 12,0.21)
2. Suma de vectores (pertenecen al mismo espacio vectorial) vector x + vector y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2, ... x n + y n,)
3. Vector 0=(0,0…0)---n E n – vector n-dimensional (espacio lineal) x + vector 0 = vector x
Teorema. Para que un sistema de n vectores, n-dimensional espacio lineal era linealmente dependiente, es necesario y suficiente que uno de los vectores sea una combinación lineal de los demás.
Teorema. Cualquier conjunto de n+ 1.º vectores de un espacio lineal de fenómenos de n dimensiones. linealmente dependiente.
Suma de vectores, multiplicación de vectores por números. Resta de vectores.
La suma de dos vectores es un vector dirigido desde el principio del vector hasta el final del vector, siempre que el principio coincida con el final del vector. Si los vectores están dados por sus expansiones en vectores unitarios básicos, entonces al sumar vectores, se suman sus coordenadas correspondientes.
Consideremos esto usando el ejemplo de un sistema de coordenadas cartesiano. Dejar
demostremos que
De la Figura 3 se desprende claramente que 
La cantidad de cualquier Número finito Los vectores se pueden encontrar usando la regla del polígono (Fig.4): para construir la suma de un número finito de vectores, es suficiente combinar el comienzo de cada vector posterior con el final del anterior y construir un vector que conecte el comienzo. del primer vector con el final del último.
Propiedades de la operación de suma de vectores:
En estas expresiones m, n son números.
La diferencia entre vectores se llama vector. El segundo término es un vector opuesto al vector en dirección, pero igual en longitud.
Así, la operación de restar vectores se reemplaza por una operación de suma.
Un vector cuyo comienzo está en el origen y final en el punto A (x1, y1, z1) se llama vector radio del punto A y se denota de forma sencilla. Dado que sus coordenadas coinciden con las coordenadas del punto A, su expansión en vectores unitarios tiene la forma
Un vector que comienza en el punto A(x1, y1, z1) y termina en el punto B(x2, y2, z2) se puede escribir como 
donde r 2 es el vector de radio del punto B; r 1 - vector de radio del punto A.
Por tanto, la expansión del vector en vectores unitarios tiene la forma
Su longitud es igual a la distancia entre los puntos A y B.
MULTIPLICACIÓN
Entonces en el caso problema de avión el producto de un vector por a = (ax; ay) por el número b se encuentra mediante la fórmula
a b = (ax b; ay b)
Ejemplo 1. Encuentra el producto del vector a = (1; 2) por 3.
3 a = (3 1; 3 2) = (3; 6)
Entonces, en el caso de un problema espacial, el producto del vector a = (ax; ay; az) por el número b se encuentra mediante la fórmula
a b = (ax b; ay b; az b)
Ejemplo 1. Encuentra el producto del vector a = (1; 2; -5) por 2.
2 a = (2 1; 2 2; 2 (-5)) = (2; 4; -10)
Producto escalar de vectores y 
¿Dónde está el ángulo entre los vectores y? si cualquiera, entonces
De la definición del producto escalar se deduce que 
donde, por ejemplo, es la magnitud de la proyección del vector sobre la dirección del vector.
Vector escalar cuadrado:
Propiedades del producto escalar:
Producto escalar en coordenadas
Si 
Eso 
Ángulo entre vectores
Ángulo entre vectores: el ángulo entre las direcciones de estos vectores (ángulo más pequeño).
Producto cruzado (Producto cruzado de dos vectores) - este es un pseudovector, perpendicular al plano, construido a partir de dos factores, que es el resultado de la operación binaria “multiplicación de vectores” sobre vectores en el espacio euclidiano tridimensional. El producto no es conmutativo ni asociativo (es anticonmutativo) y es diferente del producto escalar de vectores. En muchos problemas de ingeniería y física, es necesario poder construir un vector perpendicular a dos existentes: producto vectorial brinda esta oportunidad. El producto vectorial es útil para "medir" la perpendicularidad de vectores: la longitud del producto vectorial de dos vectores es igual al producto de sus longitudes si son perpendiculares y disminuye a cero si los vectores son paralelos o antiparalelos.
El producto vectorial se define sólo en espacios tridimensionales y heptadimensionales. El resultado de un producto vectorial, como un producto escalar, depende de la métrica del espacio euclidiano.
A diferencia de la fórmula para calcular las coordenadas de los vectores del producto escalar en un sistema de coordenadas rectangular tridimensional, la fórmula del producto vectorial depende de la orientación. sistema rectangular coordenadas o, en otras palabras, su “quiralidad”
Colinealidad de vectores.
Dos vectores distintos de cero (distintos de 0) se denominan colineales si se encuentran en rectas paralelas o en la misma recta. Un sinónimo aceptable, pero no recomendado, es el de vectores “paralelos”. Los vectores colineales pueden estar en la misma dirección (“codireccional”) o en dirección opuesta (en el último caso a veces se les llama "anticolineales" o "antiparalelos").
Producto mixto de vectores ( a B C)- producto escalar del vector a y el producto vectorial de los vectores b y c:
(a,b,c)=a ⋅(b ×c)
a veces llamado triple producto escalar vectores, probablemente debido al hecho de que el resultado es un escalar (más precisamente, un pseudoescalar).
Significado geométrico: El módulo del producto mezclado es numéricamente igual al volumen del paralelepípedo, formado por vectores(a B C) .
Propiedades
Trabajo mixto sesgado-simétrico con respecto a todos sus argumentos: es decir e. reorganizar dos factores cualesquiera cambia el signo del producto. De ello se deduce que el producto mezclado de la derecha sistema cartesiano coordenadas (en base ortonormal) es igual al determinante de una matriz compuesta por vectores y:
El producto mixto en el sistema de coordenadas cartesiano izquierdo (en base ortonormal) es igual al determinante de la matriz compuesta por vectores y, tomado con signo menos:
En particular,
Si dos vectores cualesquiera son paralelos, entonces con cualquier tercer vector forman un producto mixto igual a cero.
Si tres vectores son linealmente dependientes (es decir, coplanares, se encuentran en el mismo plano), entonces su producto mixto es igual a cero.
Sentido geométrico - Producto mixto por valor absoluto igual al volumen del paralelepípedo (ver figura) formado por los vectores y; el signo depende de si este triple de vectores es diestro o zurdo.
Coplanaridad de vectores.
Tres vectores (o numero mayor) se llaman coplanares si, reducidos a un origen común, se encuentran en el mismo plano
Propiedades de la coplanaridad
Si al menos uno de tres vectores- cero, entonces los tres vectores también se consideran coplanares.
Una terna de vectores que contiene un par de vectores colineales es coplanar.
Producto mixto de vectores coplanares. Este es un criterio para la coplanaridad de tres vectores.
Vectores coplanares- linealmente dependiente. Este es también un criterio de coplanaridad.
En el espacio tridimensional, 3 vectores no coplanares forman una base
Linealmente dependiente y linealmente vectores independientes.
Linealmente dependiente y sistemas independientes vectores.Definición. El sistema vectorial se llama linealmente dependiente, si hay al menos una combinación lineal no trivial de estos vectores igual a vector cero. De lo contrario, es decir si sólo una combinación lineal trivial de vectores dados es igual al vector nulo, los vectores se llaman independiente linealmente.
Teorema (criterio de dependencia lineal). Para que un sistema de vectores en un espacio lineal sea linealmente dependiente, es necesario y suficiente que al menos uno de estos vectores sea una combinación lineal de los demás.
1) Si entre los vectores hay al menos un vector cero, entonces todo el sistema de vectores es linealmente dependiente.
De hecho, si, por ejemplo, , entonces, asumiendo , tenemos una combinación lineal no trivial .▲
2) Si entre los vectores algunos forman un sistema linealmente dependiente, entonces todo el sistema es linealmente dependiente.
De hecho, sean linealmente dependientes los vectores , . Esto significa que existe una combinación lineal no trivial igual al vector cero. Pero entonces, suponiendo 
, también obtenemos una combinación lineal no trivial igual al vector cero.
2. Base y dimensión. Definición. Sistema de vectores linealmente independientes. 
espacio vectorial llamado base de este espacio si cualquier vector de se puede representar como una combinación lineal de vectores de este sistema, es decir para cada vector hay numeros reales 
tal que se cumple la igualdad. Esta igualdad se llama. descomposición vectorial según la base y los números son llamados coordenadas del vector con respecto a la base(o en la base) .
Teorema (sobre la unicidad del desarrollo con respecto a la base). Todo vector en el espacio se puede expandir hasta formar una base. de la única manera, es decir coordenadas de cada vector en la base se determinan de manera inequívoca.
Introducido por nosotros operaciones lineales sobre vectores hacer posible compilar varias expresiones Para cantidades vectoriales y transformarlos usando las propiedades establecidas para estas operaciones.
Con base en un conjunto dado de vectores a 1, ..., an, puedes crear una expresión de la forma
donde a 1, ... y n son números reales arbitrarios. Esta expresión se llama combinación lineal de vectores un 1, ..., un n. Los números α i, i = 1, n, representan coeficientes de combinación lineal. Un conjunto de vectores también se llama sistema de vectores.
En relación con el concepto introducido de combinación lineal de vectores, surge el problema de describir un conjunto de vectores que pueda escribirse como una combinación lineal de un sistema dado de vectores a 1, ..., a n. Además, surgen naturalmente preguntas sobre las condiciones bajo las cuales se produce la representación de un vector en forma de combinación lineal y sobre la unicidad de dicha representación.
Definición 2.1. Los vectores a 1, ... y n se denominan linealmente dependiente, si existe un conjunto de coeficientes α 1 , ... , α n tales que
α 1 a 1 + ... + α n а n = 0 (2.2)
y al menos uno de estos coeficientes es distinto de cero. Si el conjunto especificado de coeficientes no existe, entonces los vectores se llaman independiente linealmente.
Si α 1 = ... = α n = 0, entonces, obviamente, α 1 a 1 + ... + α n a n = 0. Teniendo esto en cuenta, podemos decir esto: vectores a 1, ..., y n son linealmente independientes si de la igualdad (2.2) se deduce que todos los coeficientes α 1 , ... , α n son iguales a cero.
El siguiente teorema explica por qué el nuevo concepto se denomina término "dependencia" (o "independencia") y proporciona un criterio simple para la dependencia lineal.
Teorema 2.1. Para que los vectores a 1, ..., y n, n > 1, sean linealmente dependientes, es necesario y suficiente que uno de ellos sea combinación lineal de los demás.
◄ Necesidad. Supongamos que los vectores a 1, ... y n son linealmente dependientes. Según la Definición 2.1 de dependencia lineal, en la igualdad (2.2) a la izquierda hay al menos un coeficiente distinto de cero, por ejemplo α 1. Dejando el primer término en el lado izquierdo de la igualdad, trasladamos el resto a lado derecho, cambiando de signo, como es habitual. Dividiendo la igualdad resultante por α 1, obtenemos
un 1 =-α 2 /α 1 ⋅ un 2 - ... - α n /α 1 ⋅ un n
aquellos. representación del vector a 1 como combinación lineal de los vectores restantes a 2, ..., a n.
Adecuación. Dejemos, por ejemplo, que el primer vector a 1 se pueda representar como una combinación lineal de los vectores restantes: a 1 = β 2 a 2 + ... + β n a n. Transfiriendo todos los términos del lado derecho al izquierdo, obtenemos a 1 - β 2 a 2 - ... - β n a n = 0, es decir una combinación lineal de vectores a 1, ..., a n con coeficientes α 1 = 1, α 2 = - β 2, ..., α n = - β n, igual a vector cero. En esta combinación lineal, no todos los coeficientes son cero. Según la Definición 2.1, los vectores a 1, ... y n son linealmente dependientes.
La definición y el criterio de dependencia lineal se formulan para implicar la presencia de dos o más vectores. Sin embargo, también podemos hablar de una dependencia lineal de un vector. Para realizar esta posibilidad, en lugar de "los vectores son linealmente dependientes", es necesario decir "el sistema de vectores es linealmente dependiente". Es fácil ver que la expresión "un sistema de un vector es linealmente dependiente" significa que este único vector es cero (en una combinación lineal solo hay un coeficiente y no debe ser igual a cero).
El concepto de dependencia lineal tiene una simple interpretación geométrica. Las siguientes tres afirmaciones aclaran esta interpretación.
Teorema 2.2. Dos vectores son linealmente dependientes si y sólo si colineal.
◄ Si los vectores a y b son linealmente dependientes, entonces uno de ellos, por ejemplo a, se expresa a través del otro, es decir a = λb para algún número real λ. Según la definición 1.7 obras vectores por número, los vectores a y b son colineales.
Sean ahora colineales los vectores a y b. Si ambos son cero, entonces es obvio que son linealmente dependientes, ya que cualquier combinación lineal de ellos es igual al vector cero. Sea uno de estos vectores distinto de 0, por ejemplo el vector b. Denotemos por λ la relación de longitudes de vectores: λ = |a|/|b|. Los vectores colineales pueden ser unidireccional o dirigido de manera opuesta. En el último caso, cambiamos el signo de λ. Luego, comprobando la Definición 1.7, estamos convencidos de que a = λb. Según el teorema 2.1, los vectores a y b son linealmente dependientes.
Observación 2.1. En el caso de dos vectores, teniendo en cuenta el criterio de dependencia lineal, el teorema demostrado se puede reformular de la siguiente manera: dos vectores son colineales si y sólo si uno de ellos se representa como producto del otro por un número. Este es un criterio conveniente para la colinealidad de dos vectores.
Teorema 2.3. Tres vectores son linealmente dependientes si y sólo si coplanar.
◄ Si tres vectores a, b, c son linealmente dependientes, entonces, según el teorema 2.1, uno de ellos, por ejemplo a, es una combinación lineal de los demás: a = βb + γс. Combinemos los orígenes de los vectores b y c en el punto A. Entonces los vectores βb, γс tendrán un origen común en el punto A y a lo largo según la regla del paralelogramo, su suma es aquellos. el vector a será un vector con origen A y el fin, que es el vértice de un paralelogramo construido sobre vectores componentes. Por tanto, todos los vectores se encuentran en el mismo plano, es decir, coplanares.
Sean coplanares los vectores a, b, c. Si uno de estos vectores es cero, entonces es obvio que será una combinación lineal de los demás. Basta tomar todos los coeficientes de la combinación lineal. igual a cero. Por tanto, podemos suponer que los tres vectores no son cero. Compatible comenzó estos vectores en punto común O. Sean sus extremos los puntos A, B, C, respectivamente (figura 2.1). Por el punto C trazamos rectas paralelas a rectas que pasan por pares de puntos O, A y O, B. Designando los puntos de intersección como A" y B", obtenemos un paralelogramo OA"CB", por tanto, OC" = OA" + OB". Vector OA" y el vector distinto de cero a = OA son colineales, por lo que el primero de ellos se puede obtener multiplicando el segundo por Número Realα:OA" = αOA. De manera similar, OB" = βOB, β ∈ R. Como resultado, obtenemos que OC" = α OA + βOB, es decir, el vector c es una combinación lineal de los vectores a y b. Según el teorema 2.1 , los vectores a , b, c son linealmente dependientes.
Teorema 2.4. Cualesquiera cuatro vectores son linealmente dependientes.
◄ Realizamos la demostración según el mismo esquema que en el Teorema 2.3. Considere cuatro vectores arbitrarios a, b, cy d. Si uno de los cuatro vectores es cero, o hay dos entre ellos vector colineal, o tres de los cuatro vectores son coplanares, entonces estos cuatro vectores son linealmente dependientes. Por ejemplo, si los vectores a y b son colineales, entonces podemos hacer su combinación lineal αa + βb = 0 con coeficientes distintos de cero, y luego agregar los dos vectores restantes a esta combinación, tomando ceros como coeficientes. Obtenemos una combinación lineal de cuatro vectores igual a 0, en la que hay coeficientes distintos de cero.
Por lo tanto, podemos suponer que entre los cuatro vectores seleccionados, ningún vector es cero, ningún dos es colineal y ningún tres es coplanar. Escojamoslos como comienzo común punto O. Entonces los extremos de los vectores a, b, c, d serán algunos puntos A, B, C, D (figura 2.2). Por el punto D dibujamos tres planos, paralelo a los planos OBC, OCA, OAB, y sean A", B", C" los puntos de intersección de estos planos con las rectas OA, OB, OS, respectivamente. Obtenemos el paralelepípedo OA"C"B"C"B"DA ", y los vectores a, b, c se encuentran en sus aristas que emergen del vértice O. Dado que el cuadrilátero OC"DC" es un paralelogramo, entonces OD = OC" + OC" . A su vez, el segmento OC" es una diagonal de el paralelogramo OA"C"B", de modo que OC" = OA" + OB" y OD = OA" + OB" + OC" .
Queda por señalar que los pares de vectores OA ≠ 0 y OA" , OB ≠ 0 y OB" , OC ≠ 0 y OC" son colineales y, por tanto, es posible seleccionar los coeficientes α, β, γ de modo que OA" = αOA, OB" = βOB y OC" = γOC. Finalmente obtenemos OD = αOA + βOB + γOC. En consecuencia, el vector OD se expresa a través de los otros tres vectores y los cuatro vectores, según el teorema 2.1, son linealmente dependientes.
