Sean un campo vectorial continuo a) k y un contorno cerrado orientado L en algún dominio G. Definición 1. La circulación de un vector a a lo largo de un contorno cerrado L se llama integral curvilínea 2do tipo del vector a a lo largo del contorno L. Aquí dr es un vector cuya longitud es igual al diferencial del arco L, y la dirección coincide con la dirección de la tangente a L, op- Fig. 31 determinado por la orientación del contorno (Fig. 31); el símbolo f significa que la integral se toma a lo largo del contorno alternativo L. b Ejemplo 1. calcular la circulación campo vectorial a lo largo de la elipse L: Por definición de circulación tenemos Ecuaciones paramétricas de esta elipse tienen la forma: , y, por tanto, . Sustituyendo estas expresiones en la fórmula (2), encontramos la Circulación del campo vectorial. Rotor de un vector Teorema de Stokes Rotor (vórtice) de un campo vectorial Definición invariante campo del rotor Significado físico rotor de campo Reglas para el cálculo del rotor 8.1. Rotor (vórtice) de un campo vectorial Consideremos el campo de un vector P, Q, R de los cuales son continuos y tienen derivadas parciales continuas de primer orden con respecto a todos sus argumentos. Definición 2. El rotor del vector "(M) es un vector denotado por el símbolo rot a y definido por la igualdad o, en una forma simbólica conveniente para recordar, este determinante se expande por los elementos de la primera fila, mientras que el Las operaciones de multiplicar los elementos de la segunda fila por los elementos de la tercera fila se entienden como operaciones de diferenciación, por ejemplo, Definición 3. Si en algún dominio G tenemos rot a = 0, entonces el campo del vector a en el dominio G se llama irrotacional. Ejemplo 2. Encuentre el rotor del vector 4 Según la fórmula (3) tenemos Dado que rot a es un vector, podemos considerar un campo vectorial: el campo del rotor del vector a. Suponiendo que las coordenadas del vector a tienen derivadas parciales continuas de segundo orden, calculamos la divergencia del vector rot a. Obtenemos Por tanto, el campo del vector rota es solenoidal. Teorema 7 (Stokes). La circulación del vector a a lo largo de un contorno cerrado orientado L es igual al flujo del rotor de este vector a través de cualquier superficie E atravesada por el contorno L. Se supone que las coordenadas del vector a tienen derivadas parciales continuas en alguna región G de espacio que contiene la superficie E, y que la orientación del vector unitario del punto normal a la superficie EC G está coordinada con la orientación del contorno L de modo que desde el final de la norma, el circuito alrededor del contorno en una dirección dada Se ve que se produce en el sentido contrario a las agujas del reloj. Considerando esto, y utilizando la definición de rotor (3), reescribimos la fórmula (4) de la siguiente forma: Consideremos primero el caso en el que una superficie lisa E y su contorno L se proyectan unívocamente sobre la región D del xOy. plano y su límite - contorno A, respectivamente (Fig. 32). La orientación del contorno L da lugar a una cierta orientación del contorno A. Para ser más precisos, supondremos que el contorno L está orientado de modo que la superficie E permanezca a la izquierda, de modo que el vector normal n a la superficie E es el eje oz esquina filosa 7 (cos 7 >0). Sean la ecuación de la superficie E y la función φ(x)y) continuas y tengan derivadas parciales continuas gf y ^ en zona cerrada D. Considere que la línea integral L se encuentra en la superficie E. Por lo tanto, usando la ecuación de esta superficie, podemos reemplazar r bajo el signo integral con ^(x, y). Las coordenadas del punto variable de la curva A son iguales a las coordenadas del punto correspondiente en la curva L y, por lo tanto, la integración sobre L puede reemplazarse por la integración sobre A. Apliquemos la fórmula de Green a la integral de la derecha. Ahora pasamos de la integral sobre la región D a la integral sobre la superficie E. Como dS = cos 7 da, de la fórmula (8) obtenemos que el vector normal n° a la superficie E está determinado por la expresión k. Desde aquí queda claro que. Por lo tanto, la igualdad (9) se puede reescribir de la siguiente manera: Considerando E una superficie lisa que se proyecta únicamente sobre los tres planos coordinados, igualmente estamos convencidos de la validez de las fórmulas Circulación de un campo vectorial. Rotor de un vector Teorema de Stokes Rotor (vórtice) de un campo vectorial Definición invariante de un rotor de un campo Significado físico de un rotor de un campo Reglas para calcular el rotor Sumando las igualdades término por término, obtenemos la fórmula de Stokes ( 5), o, en resumen, la Observación 1. Hemos demostrado que el campo del vector rota es solenoidal y, por lo tanto, el flujo del vector rota no depende del tipo de superficie E abarcada por el contorno L. Observación 2 La fórmula (4) se derivó bajo el supuesto de que la superficie £ se proyecta de manera única en los tres planos de coordenadas. Si no se cumple esta condición, entonces dividimos £ en partes de modo que cada parte condición especificada satisfecho, y luego usamos la aditividad de las integrales. Ejemplo 3. Calcule la circulación de un vector a lo largo de una línea 1) usando la definición; 2) según el teorema de Stokes. 4 1) Definamos la recta L paramétricamente: Entonces 2) Encuentre rota: Estiremos un trozo de plano sobre el contorno L Entonces. Definición invariante del rotor de campo A partir del teorema de Stokes, se puede obtener una definición invariante del rotor de campo, no relacionada con la elección del sistema de coordenadas. Teorema 8. La proyección del rotor a en cualquier dirección no depende de la elección del sistema de coordenadas y es igual a densidad superficial circulación del vector a a lo largo del contorno de la plataforma, perpendicular a esta dirección, Aquí (E) es una plataforma plana, perpendicular al vector yo; 5 - área de este sitio; L - el contorno del sitio, orientado de modo que el bypass del circuito sea visible desde el final del vector n en sentido antihorario; (E) M significa que el área (E) se contrae hasta el punto M, en el que se considera el vector rot a, y el vector normal n a esta área permanece igual todo el tiempo (Fig. 33). 4 Apliquemos primero el teorema de Stokes a la circulación (a,dr) del vector a, y luego a la circulación resultante integral doble- el teorema del valor medio: donde (el producto escalar se toma en algún punto medio Mf de la plataforma (E)). Como el área (E) se atrae al punto M, el punto promedio A/c también tiende al punto M y, debido a la supuesta continuidad de las derivadas parciales de las coordenadas del vector a (y por tanto la continuidad de rot a), tenemos obtener Dado que la proyección del vector rot a en una dirección arbitraria no depende de la elección del sistema de coordenadas, entonces el vector rota en sí es invariante con respecto a esta elección. De aquí obtenemos la siguiente definición invariante del rotor de campo: el rotor de campo es un vector cuya longitud es igual a la mayor densidad de circulación superficial en un punto dado, dirigido perpendicular al área en la que este mayor densidad se logra la circulación; en este caso, la orientación del vector rota es coherente con la orientación del contorno, en el que la circulación es positiva, según la regla del tornillo derecho. 8.3. El significado físico de un rotor de campo Dejemos que un cuerpo rígido gire alrededor eje fijo Yo con velocidad angular y. Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que el eje I coincide con el eje Oz (Fig. 34). Sea M(r) el punto del cuerpo que se estudia, donde Vector velocidad angular en nuestro caso es igual a from = wk, calcula el vector v velocidad lineal puntos M, de ahí la circulación del campo vectorial. Rotor de un vector Teorema de Stokes Rotor (vórtice) de un campo vectorial Definición invariante de un rotor de un campo Significado físico de un rotor de un campo Reglas para calcular un rotor Entonces, el vórtice de un campo de velocidad giratoria sólido es la misma en todos los puntos del campo, paralela al eje de rotación e igual al doble de la velocidad angular de rotación. 8.4. Reglas para calcular el rotor 1. Rotor vector constante c es igual al vector cero, 2. El rotor tiene la propiedad de linealidad de números constantes. 3. Rotor del producto función escalar u(M) al vector a(M) se calcula mediante la fórmula
Sabiendo en cada punto S, puedes encontrar la circulación por GRAMO alrededor S. Vamos a descomponerlo S en S:
Y 
- elemento normal al de la superficie
S.
dejar que todos S 0 , Entonces:
Teorema de Stokes:
Vector de circulación 
a lo largo de un contorno arbitrario GRAMO igual al flujo del vector 
a través de una superficie arbitraria S, limitado por este contorno.
3.7 Circulación y rotor del campo electrostático.
El trabajo de las fuerzas electrostáticas a lo largo de cualquier circuito cerrado es cero.
aquellos. La circulación del campo electrostático a lo largo de cualquier circuito es cero.
Tomemos cualquier superficie. S, basado en el contorno GRAMO.
Según el teorema de Stokes:
;
ya que esto es para cualquier superficie S, Eso
Hay una identidad:
aquellos. Las líneas de campo electrostático no circulan en el espacio.
3.8 Teorema de Gauss
Lo encontraremos 
campo electrostático. Para una carga puntual, la densidad de línea es numéricamente igual a 
Fluir 
a través de cualquier superficie cerrada es igual al número de líneas que salen, es decir comenzando con la carga “+” y terminando con la carga “-“:
El signo del flujo coincide con el signo. q, las dimensiones son las mismas.
Dejalo ser norte cargos puntuales q i .
El flujo del vector de intensidad del campo electrostático a través de una superficie cerrada es igual a la suma algebraica de las cargas contenidas dentro de esta superficie, dividida por 0.
4 Cálculo de campos usando el teorema de Gauss
4.1 Campo de una placa infinita cargada uniformemente.
4.2 Campo de una superficie esférica cargada uniformemente.
4.3 Campo de dos planos infinitos paralelos con cargas opuestas
4.4 Campo de una pelota cargada volumétricamente
4.1 Campo de una placa infinita cargada uniformemente
EN 
introducir el concepto de densidad superficial
- cargo por unidad de superficie.
Una placa infinita cargada con una densidad superficial constante. + . Las líneas de tensión son perpendiculares al plano considerado y se dirigen desde él en ambas direcciones.
Como superficie cerrada, construiremos un cilindro cuyas bases son paralelas al plano y el eje es perpendicular a él, porque las generatrices del cilindro son paralelas mi, Eso porque =0 y el flujo a través de la superficie lateral es 0, y flujo completo a través de un cilindro es igual a la suma de los flujos a través de su base.
mi'=mi''=mi,
Eso F= 2E S;
q = S
Resulta que mi no depende de la longitud del cilindro, es decir La superficie del campo a cualquier distancia es la misma en valor absoluto, es decir El campo de una placa cargada uniformemente es uniforme.
4.2 Campo de una superficie esférica cargada uniformemente
CON 
radio de superficie esférica R con carga común q.
Porque la carga se distribuye uniformemente, entonces el campo tiene simetría esférica, es decir las líneas planas están dirigidas radialmente.
Construyamos mentalmente una esfera de radio. r R. Porque r R, entonces toda la carga cae dentro de la superficie, según el teorema de Gauss:
En r R el campo disminuye con la distancia r según la misma ley que la de una carga puntual.
Si r' R, entonces la superficie cerrada no contiene cargas en su interior, se deduce que no hay campo electrostático dentro de una superficie esférica cargada uniformemente E=0.
4.3 Campo de dos planos infinitos paralelos con cargas opuestas
Dejemos que los planos estén cargados uniformemente con cargas opuestas con densidades superficiales. + Y - .
Encontramos el campo como una superposición creada por cada uno de los planos por separado.
Fuera del plato mi = 0(los márgenes se restan porque las líneas están dirigidas una hacia la otra).
En la zona entre aviones.
mi = mi + + mi -
Entonces 
Este teorema permite calcular la circulación de un vector a lo largo de un contorno de longitud finita utilizando el rotor de este vector.
Circulación campo vectorial a lo largo de un contorno cerrado orientado positivamente l igual a flujo del rotor este campo a través de cualquier superficie lisa S , basado en este contorno:
.
(2.12)
Para demostrar el teorema, considere un contorno con el área que cubre (figura 2.6). Todo el contorno se divide en contornos elementales de la misma orientación (Fig. 2.10).
La circulación a lo largo del circuito elemental es igual a 
.
Todos los contornos adyacentes ( 1 Y 2 en la Fig. 2.10) tienen la siguiente característica: en un límite común con el mismo valor de campo, la contribución a la circulación a lo largo de cada uno de los contornos adyacentes se producirá con un cambio de signo (para el contorno 1 -a b , y para 2 - b a ). En consecuencia, la contribución a la circulación de todos los tramos internos de los circuitos se compensa mutuamente, quedando sin compensar únicamente los tramos pertenecientes al circuito. l , lo que finalmente da (2.12) .
Un caso especial de (2.12) en el caso de un contorno ubicado en un plano es la fórmula de D. Green (M. Ostrogradsky-D. Green):
.
(2.13)
Las fórmulas (2.12) y (2.13) nos permiten reducir el cálculo de una integral curvilínea de segundo tipo al cálculo de una integral doble sobre la región. S .
La transición inversa según (2.12) se lleva a cabo de manera similar a (2.8).
2.4. Operador observador y operador de Laplace
La escritura de fórmulas de análisis vectorial se simplifica cuando se utiliza operador de radar
(operador W. Hamilton), que es un vector 
. Por sí solo, este vector no tiene significado, pero nos permite escribir de forma compacta las fórmulas (2.3), (2.5) y (2.9):
;
;
. (2.14)
Además, el operador nabla permite simplificar el cálculo de operadores diferenciales de orden superior.
Cabe señalar que con debe manipularse con cuidado y, al utilizarlo, debe recordar que este operador no solo es vector , pero también diferencial .
Por ejemplo, busquemos 
. Usando obtenemos 
. De acuerdo a las reglas diferenciación
El operador del producto actúa primero. primero
multiplicador y luego por segundo: . Como resultado obtenemos. El procedimiento de cálculo mediante coordenadas vectoriales requeriría un orden de magnitud más de operaciones.
Intenta obtener por tu cuenta la fórmula del desarrollo no incluido en (2.15) 
. La respuesta correcta se da al final. aplicaciones 1
.
Algunas identidades y operaciones de segundo orden.
;
;
;
;
operador de Laplace ( , laplaciano ) es un operador de segundo orden.
Como , se aplica tanto a escalar como a vector.
.
(2.17)
Cuando sistema cartesiano Las coordenadas (2.18) se simplifican:
Información sobre los sistemas de coordenadas curvilíneos que se utilizan a menudo en la teoría EMF ( cilíndrico Y esférico ) y las operaciones vectoriales en ellos se dan en Apéndice 2 .
2.5. Clasificación de campos vectoriales.
Campo vectorial 
se da de forma única si su rotor y su divergencia se conocen como funciones de coordenadas espaciales.
Dependiendo de los valores de estas funciones, existen potencial , vórtice (solenoidal ) campo y campo genérico .
Campo vectorial 
potencialmente
, si hay alguna función escalar Ud.
, que está asociado con 
de la siguiente manera: 
. Función Ud.
llamado potencial de campo escalar
.
Condición necesaria y suficiente potencialidad
es rotor igual a cero
(
).
solenoide
(vórtice
) se llama campo vectorial 
, en cada punto del cual 
(condición necesaria y suficiente), 
.
Campo vectorial solenoide 
se puede representar como 
. En este caso, la cantidad vectorial 
llamado potencial de campo vectorial
(
).
Nombre del campo de este tipo puede explicarse por el hecho de que fue descubierto en solenoide , – un inductor (puede ser con o sin núcleo), cuya longitud excede significativamente el diámetro.
Si el campo vectorial 
Y 
, eso es - campo genérico
.
Un campo vectorial arbitrario de tipo general se puede representar como la suma de las partes potencial y vórtice: 
, - donde en 
incluido fuentes de campo
(
), y en 
–vórtices de campo
(
).
Ahora, después de estudiar las operaciones integrales y diferenciales y los teoremas básicos del análisis vectorial, podemos comenzar a estudiar la base de la teoría de los campos electromagnéticos. El sistema de ecuaciones de Maxwell. .
Conociendo el rotor del vector a en cada punto de alguna superficie S (no necesariamente plana), se puede calcular la circulación de este vector a lo largo del contorno Г que limita S (el contorno también puede ser no plano). Para ello, dividimos la superficie en elementos muy pequeños. Por su pequeñez, estos elementos pueden considerarse planos.
Por lo tanto, de acuerdo con (11.23), la circulación del vector a a lo largo del contorno límite se puede representar en la forma
¿Dónde está la normal positiva al elemento de superficie?
De acuerdo con la fórmula (11.21), sumando la expresión (11.29) sobre todos , obtenemos la circulación del vector a a lo largo del contorno Г, limitando
Habiendo realizado el paso al límite, en el que todos los AS tienden a cero (su número crece sin límite), llegamos a la fórmula
(11.30)
La relación (11.30) se llama teorema de Stokes. Su significado es que la circulación del vector a a lo largo de un contorno arbitrario Г es igual al flujo del vector rota a través de una superficie arbitraria S limitada por un contorno dado.
Operador del observatorio Escribir fórmulas de análisis vectorial se simplifica y facilita enormemente si se introduce un operador diferencial vectorial, indicado por un símbolo y llamado operador de Nabla u operador de Hamilton. Este operador significa un vector con componentes. Por lo tanto,
Por sí solo, este vector no tiene significado. Adquiere significado cuando se combina con una función escalar o vectorial por la que se multiplica simbólicamente. Entonces, si multiplicas el vector y por un escalar, obtienes el vector
que es el gradiente de la función (ver (11.1)).
Si el vector y se multiplica escalarmente por el vector a, el resultado es un escalar
que no es más que la divergencia del vector a (ver (11.14)).
Finalmente, si multiplicas y por a vectorialmente, obtienes un vector con componentes: etc., que coinciden con las componentes rota (ver (11.25) - (11.27)).
Por lo tanto, usando la notación producto vectorial usando el determinante, podemos escribir
(11-34)
Por tanto, hay dos formas de anotar gradiente, divergencia y rotor:
La notación con y tiene varias ventajas. Por lo tanto, en lo que sigue usaremos dicha notación. Debe acostumbrarse a identificar el símbolo con las palabras “gradiente” (es decir, no diga “nabla” sino “gradiente phi”), el símbolo con las palabras “divergencia a” y, finalmente, el símbolo con las palabras “rotor a”. ”.
Al usar el vector y, debes recordar que es operador diferencial, actuando sobre todas las funciones a su derecha. Por lo tanto, al convertir expresiones que incluyen y, es necesario tener en cuenta tanto las reglas álgebra vectorial Así son las reglas calculo diferencial. Por ejemplo, la derivada del producto de funciones es igual a
De acuerdo a esto
Asimismo
El gradiente de alguna función es una función vectorial. Por lo tanto, se le pueden aplicar operaciones de divergencia y rotor.
