Ecuación de movimiento de un oscilador armónico. Oscilador armónico ideal

Los cuerpos que, al moverse, realizan oscilaciones armónicas se denominan osciladores armónicos. Veamos varios ejemplos de osciladores armónicos.

Ejemplo 1. Un péndulo de resorte es un cuerpo de masa.metro, capaz de oscilar bajo la acción de una fuerza elástica ingrávida (metro ballestas  metro cuerpo ) resortes (Fig. 4.2).

t

Fig.4.3. Péndulo físico.

Ejemplo 2. Un péndulo físico es un cuerpo rígido que oscila bajo la influencia de la gravedad alrededor de un eje horizontal en movimiento que no coincide con su centro de gravedad C (Fig. 4.3). El eje pasa por el punto O. Si el péndulo se desvía de la posición de equilibrio en un pequeño ángulo  y se suelta, oscilará, siguiendo la ecuación básica para la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido.
, Dónde j- momento de inercia péndulo con respecto al eje, M es el momento de fuerza que devuelve el péndulo físico a la posición de equilibrio. Es creado por la gravedad, su momento es igual a
(yo=SO). Como resultado obtenemos
. Esta es la ecuación de vibración diferencial para ángulos arbitrarios desviaciones. En ángulos pequeños, cuando
,
o, tomando
, obtenemos la ecuación diferencial de oscilación de un péndulo físico
.
Sus soluciones tienen la forma
o
y punto
.

. Así, con pequeñas desviaciones de la posición de equilibrio, el péndulo físico realiza oscilaciones armónicas con una frecuencia cíclica. Ejemplo 3.metroUn péndulo matemático es un punto material con masa.metro(una bola pesada de tamaño pequeño), suspendida en un peso ingrávido (en comparación conyo. bola), elástico, hilo inextensible largo momento de inercia de un punto material J = ml 2, luego de las fórmulas de un péndulo físico obtenemos expresiones para la frecuencia cíclica y el período de oscilación de un péndulo matemático

,
.

4. 4. Oscilaciones amortiguadas. @

En los ejemplos considerados de oscilaciones armónicas, la única fuerza que actúa sobre punto material(cuerpo), era fuerza cuasi elástica F y no tuvo en cuenta las fuerzas de resistencia que están presentes en cualquier sistema real. Por lo tanto, las oscilaciones consideradas pueden denominarse oscilaciones armónicas ideales no amortiguadas.

La presencia de una fuerza de resistencia del entorno en un sistema oscilatorio real conduce a una disminución de la energía del sistema. Si la pérdida de energía no se repone mediante el trabajo de fuerzas externas, las oscilaciones desaparecerán. Las oscilaciones amortiguadas son aquellas cuya amplitud disminuye con el tiempo.

Consideremos oscilaciones libres amortiguadas. A bajas velocidades, la fuerza de arrastre F C es proporcional a la velocidad v e inversamente proporcional a ella en la dirección
, donde r - coeficiente de arrastre ambiente. Usando Segunda ley de Newton, obtenemos la ecuación diferencial oscilaciones amortiguadas
,
,
. denotemos
,
. Entonces la ecuación diferencial toma la forma:

Fig.4.4. Dependencia del desplazamiento y amplitud de las oscilaciones amortiguadas con el tiempo.

Esta es una ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas. Aquí  0 es la frecuencia natural de las oscilaciones del sistema, es decir la frecuencia de oscilaciones libres en r=0,  - el coeficiente de amortiguación determina la tasa de disminución de la amplitud. Las soluciones a esta ecuación bajo la condición  0 son

o
.

La gráfica de la última función se muestra en la Fig. 4.4. La línea de puntos superior muestra la gráfica de la función.
, A 0 - amplitud en momento inicial tiempo. La amplitud disminuye con el tiempo según una ley exponencial,  - el coeficiente de atenuación es de magnitud inversa tiempo de relajación , es decir. tiempo durante el cual la amplitud disminuye e veces, ya que

,
, = 1, . Frecuencia y período de oscilaciones amortiguadas.
,
; con una resistencia muy baja del medio ( 2  0 2), el período de oscilación es casi igual a
.

A medida que  aumenta, el período de oscilación aumenta y en > 0, la solución de la ecuación diferencial muestra que no ocurren oscilaciones, pero que el sistema se mueve monótonamente hacia la posición de equilibrio. Este tipo de movimiento se llama aperiódico. Para caracterizar la tasa de atenuación de las oscilaciones, se utilizan dos parámetros más: la disminución de la amortiguación D y . decremento logarítmico

La disminución de la amortiguación muestra cuántas veces disminuye la amplitud de la oscilación durante un período T.

norte

Porque , Eso
, donde N es el número de oscilaciones por tiempo.

Oscilaciones de un oscilador armónico. Oscilador armónico llamado objeto físico, cuya evolución en el tiempo se describe mediante la ecuación diferencial

Dónde q– coordenada generalizada del oscilador armónico, t- tiempo, ? – frecuencia característica de un oscilador armónico. Dos puntos encima de la variable indican la segunda derivada con respecto al tiempo. Magnitud q realizando oscilaciones armónicas.
Problema con la reproducción del oscilador armónico papel central tanto en clásico como física cuántica.
Gran cantidad sistemas fisicos Se comportan como osciladores armónicos con pequeñas desviaciones del equilibrio. Estos incluyen matemáticas y péndulos físicos, vibraciones de átomos en moléculas y sólidos, circuitos eléctricos oscilatorios y muchos otros.
Las pequeñas oscilaciones de un péndulo son armónicas.

Función de energía, Lagrange y Hamilton.
Energía cinética oscilador armónico viene dado por la expresión

La energía potencial de un oscilador armónico viene dada por la expresión

En consecuencia, considerando el valor q coordenada generalizada, la función de Lagrange del oscilador armónico se escribe

.

Impulso generalizado

función de hamilton

.

Vibraciones forzadas
Bajo la influencia de una fuerza periódica externa con una frecuencia que no necesariamente coincide con la frecuencia natural del oscilador armónico, el oscilador realiza oscilaciones armónicas, cuya amplitud está determinada por el valor fuerza externa y la relación entre la frecuencia externa y la frecuencia natural del oscilador.
¿Oscilaciones forzadas de un oscilador armónico con frecuencia? 0 bajo la influencia de una fuerza con una frecuencia descrita por la ecuación?

Dónde F 0 – amplitud de la fuerza externa.
Una solución particular de esta ecuación que describe oscilaciones forzadas tiene la forma

.

Un oscilador armónico bajo la influencia de una fuerza externa realiza oscilaciones armónicas con una amplitud . cuando la amplitud oscilaciones forzadas tiende al infinito. Este fenómeno se llama resonancia.
Oscilador armónico con atenuación
Al tener en cuenta las fuerzas de fricción o resistencia de otro tipo, que conducen a la disipación de la energía del oscilador y su conversión en calor, la ecuación del oscilador armónico cambia. En particular, un caso muy común es cuando las fuerzas de resistencia son proporcionales a la tasa de cambio de la cantidad. q. Entonces la ecuación del oscilador armónico toma la forma

Tales oscilaciones decaen con el tiempo según la ley.

Oscilaciones forzadas de un oscilador armónico con amortiguación.
Bajo la acción de una fuerza externa periódica, incluso con atenuación, se establecen oscilaciones armónicas para el oscilador con una amplitud que depende de la fuerza aplicada, la relación de frecuencia y también de la cantidad de atenuación.
La amplitud de las oscilaciones forzadas, teniendo en cuenta la amortiguación, está determinada por la fórmula

.

Este es un valor finito en todas las frecuencias de la fuerza externa.
Un péndulo matemático con una pequeña desviación inicial de la vertical realiza oscilaciones armónicas con una frecuencia

circuito oscilatorio oscilador armónico, con frecuencia

Donde L es inductancia, C es capacitancia.
Consulte Oscilador cuántico para obtener más detalles.
Espectro valores propios y funciones propias
Funciones de onda primeros seis estados con números cuánticos de norte= 0 a 5. La coordenada generalizada se traza en el eje de ordenadas. El hamiltoniano del oscilador armónico se obtiene reemplazando el momento en la función hamiltoniana. pag en

.

El espectro del oscilador armónico es con ecuación estacionaria Schrödinger y viene dada por la fórmula

.

Aquí norte– número cuántico, va del cero al infinito. Los niveles de energía del oscilador armónico son equidistantes. rasgo característico oscilador armónico es que incluso en el estado fundamental el oscilador armónico tiene energía distinta de cero

Esta baja energía se llama energía de oscilaciones cero.
Funciones propias oscilador armónico correspondiente al número cuántico norte están dados por fórmulas

,

donde, un Hn(x)– Polinomios de Hermite.
cuando incluso norte las funciones propias del oscilador armónico están emparejadas, mientras que para Nepranu son impares. El hamiltoniano del oscilador armónico conmuta con el operador de reemplazo. incógnita en - incógnita(operador de paridad) y, por lo tanto, tiene funciones propias comunes con este operador.
Operadores de nacimiento y destrucción.
Si definimos el operador de nacimiento

Y el operador de destrucción.

,

.

Los operadores de creación y destrucción satisfacen la relación de conmutación:

Las funciones propias del oscilador armónico tienen entonces la forma

O, usando la notación vectorial ket y bra:

La acción total del operador natal sobre el operador armonioso está en el estado | n> conduce a una transición al estado | norte+1>:

Acción del operador de destrucción sobre el Estado | n> conduce a una transición al estado | n-1>:

Operador

Se llama operador de número de partículas porque la relación se cumple para él.

Reglas de selección
Cuando se emite o absorbe un fotón, las transiciones permitidas para un oscilador armónico son aquellas en las que el número cuántico n cambia en uno. Teniendo en cuenta el carácter equidistante de los niveles, esta regla de selección lleva a que, a pesar de numero infinito niveles, en el espectro absorción óptica¿O hay sólo una línea de radiación de un oscilador armónico con una frecuencia?
En los espectros de vibración reales de las moléculas, las desviaciones de esta regla son posibles debido a la anarmonicidad del potencial de interacción interatómico real, las transiciones de cuadrupolo, etc.

Oscilador armónico

Oscilador armónico(en mecánica clásica): un sistema que, cuando se desplaza de una posición de equilibrio, experimenta una fuerza restauradora F, proporcional al desplazamiento incógnita(según la ley de Hooke):

Dónde k- coeficiente de rigidez del sistema.

Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, entonces el sistema se llama simple o oscilador armónico conservador. Las vibraciones libres de dicho sistema son movimiento periódico cerca de la posición de equilibrio (vibraciones armónicas). La frecuencia y la amplitud son constantes y la frecuencia no depende de la amplitud.

Ejemplos mecánicos de oscilador armónico son un péndulo matemático (con pequeños ángulos de desviación), un péndulo de torsión y sistemas acústicos. Entre otros análogos de un oscilador armónico, cabe destacar el oscilador armónico eléctrico (ver circuito LC).

vibraciones libres

Oscilador armónico conservador

Como modelo de oscilador armónico conservador, tomamos una carga masiva metro, fijado al resorte por rigidez k .

Dejar incógnita- desplazamiento de la carga con respecto a la posición de equilibrio. Entonces, según la ley de Hooke, actuará sobre él una fuerza restauradora:

Entonces energía total tiene un valor constante

Movimiento armónico simple- este es el movimiento de un simple oscilador armónico, movimiento periódico que no es forzado ni amortiguado. Un cuerpo en movimiento armónico simple está expuesto a una sola fuerza variable, que en valor absoluto es directamente proporcional al desplazamiento. incógnita desde la posición de equilibrio y se dirige en la dirección opuesta.

Este movimiento es periódico: el cuerpo oscila alrededor de la posición de equilibrio según una ley sinusoidal. Cada oscilación posterior es igual a la anterior y el período, la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones permanecen constantes. Si asumimos que la posición de equilibrio está en un punto con coordenadas, igual a cero, entonces el desplazamiento incógnita cuerpo desde la posición de equilibrio en cualquier momento viene dada por la fórmula:

Dónde A- amplitud de oscilaciones, F- frecuencia, φ - fase inicial.

La frecuencia del movimiento está determinada. propiedades características sistema (por ejemplo, la masa de un cuerpo en movimiento), mientras que la amplitud y la fase inicial están determinadas por las condiciones iniciales: el desplazamiento y la velocidad del cuerpo en el momento en que comienzan las oscilaciones. Las energías cinética y potencial del sistema también dependen de estas propiedades y condiciones.

El movimiento armónico simple puede ser modelos matemáticos varios tipos movimientos como la oscilación de un resorte. Otros casos que pueden considerarse a grandes rasgos como movimiento armónico simple son el movimiento de un péndulo y las vibraciones de las moléculas.

El movimiento armónico simple es la base de algunas formas de analizar tipos de movimiento más complejos. Uno de estos métodos es el método basado en la transformada de Fourier, cuya esencia se reduce a la expansión de más tipo complejo movimientos en una serie de movimientos armónicos simples.

Cualquier sistema en el que se produzca movimiento armónico simple tiene dos propiedades clave:

1. Cuando un sistema pierde el equilibrio, debe haber una fuerza restauradora que tienda a devolver el sistema al equilibrio.
2. La fuerza de recuperación debe ser exacta o aproximadamente proporcional al desplazamiento.

El sistema carga-resorte satisface ambas condiciones.

Una vez que una carga desplazada se somete a una fuerza restauradora, acelera y tiende a regresar a su posición original. punto de partida, es decir, a la posición de equilibrio. A medida que la carga se acerca a la posición de equilibrio, la fuerza restauradora disminuye y tiende a cero. Sin embargo, en la situación incógnita = 0 la carga tiene una cierta cantidad de movimiento (impulso), adquirido debido a la acción de la fuerza restauradora. Por lo tanto, la carga sobrepasa la posición de equilibrio, comenzando a deformar el resorte nuevamente (pero ya en dirección opuesta). La fuerza restauradora tenderá a ralentizarlo hasta que la velocidad sea cero; y la fuerza nuevamente se esforzará por devolver la carga a su posición de equilibrio.

Mientras no haya pérdida de energía en el sistema, la carga oscilará como se describió anteriormente; Tal movimiento se llama periódico.

Un análisis más detallado mostrará que en el caso de un sistema carga-resorte, el movimiento es armónico simple.

Dinámica de simples movimiento armónico

Para vibraciones en un espacio unidimensional, teniendo en cuenta la Segunda Ley de Newton ( F= metro  d² incógnita/d t² ) y la ley de Hooke ( F = −kx, como se describió anteriormente), tenemos una ecuación diferencial lineal de segundo orden:

La solución de esta ecuación diferencial es sinusoidal; una solución es:

Dónde A, ω y φ - constantes, y la posición de equilibrio se toma como inicial. Cada una de estas constantes representa una importante propiedad fisica movimientos: A es la amplitud, ω = 2π F- frecuencia circular, y φ - fase inicial.

movimiento circular universal

En algunos casos, el movimiento armónico simple puede considerarse como una proyección unidimensional del movimiento circular universal. Si un objeto se mueve con una velocidad angular constante ω a lo largo de un círculo de radio r, cuyo centro es el origen del avión. x-y, entonces tal movimiento a lo largo de cada uno de ejes de coordenadas es armónico simple con amplitud r y frecuencia circular ω.

Un peso como un simple péndulo

En la aproximación de ángulos pequeños, el movimiento de un péndulo simple se acerca al armónico simple. El período de oscilación de dicho péndulo unido a una varilla de longitud ℓ con aceleración caída libre gramo viene dada por la fórmula

Esto muestra que el período de oscilación no depende de la amplitud y la masa del péndulo, sino que depende de la aceleración de la gravedad. gramo, por lo tanto, con la misma longitud del péndulo, en la Luna oscilará más lentamente, ya que allí la gravedad es más débil y menos valor aceleración en caída libre.

Esta aproximación es correcta sólo para ángulos de desviación pequeños, ya que la expresión para la aceleración angular es proporcional al seno de la coordenada:

Qué él ha hecho aceleración angular directamente proporcional al ángulo θ, y esto satisface la definición de movimiento armónico simple.

Oscilador armónico amortiguado

Tomando como base el mismo modelo, le sumaremos la fuerza de fricción viscosa. La fuerza de fricción viscosa está dirigida contra la velocidad de movimiento de la carga con respecto al medio y es proporcional a esta velocidad. Entonces fuerza completa, actuando sobre la carga, se escribe de la siguiente manera:

Realizando acciones similares, obtenemos una ecuación diferencial que describe oscilador amortiguado:

Aquí se introduce la designación: . El coeficiente se llama constante de atenuación. También tiene la dimensión de frecuencia.

La solución se divide en tres casos.

La amortiguación crítica es notable porque es en la amortiguación crítica cuando el oscilador tiende más rápidamente a la posición de equilibrio. Si la fricción es menos que crítica, alcanzará la posición de equilibrio más rápido, pero la “sobrepasará” debido a la inercia y oscilará. Si la fricción es mayor que la crítica, entonces el oscilador tenderá exponencialmente a la posición de equilibrio, pero cuanto más lentamente, mayor será la fricción.

Por lo tanto, en los relojes comparadores (por ejemplo, en los amperímetros), generalmente intentan introducir una atenuación crítica para que sus lecturas se puedan leer lo más rápido posible.

La amortiguación de un oscilador también suele caracterizarse por un parámetro adimensional llamado factor de calidad. El factor de calidad suele indicarse con la letra . Por definición, el factor de calidad es igual a:

Cuanto mayor sea el factor de calidad, más lentamente decaerán las oscilaciones del oscilador.

Un oscilador con amortiguación crítica tiene un factor de calidad de 0,5. En consecuencia, el factor de calidad indica el comportamiento del oscilador. Si el factor de calidad es mayor que 0,5, entonces el libre movimiento del oscilador representa oscilaciones; Con el tiempo, cruzará la posición de equilibrio un número ilimitado de veces. Un factor de calidad menor o igual a 0,5 corresponde a un movimiento no oscilatorio del oscilador; V libre circulación cruzará la posición de equilibrio como máximo una vez.

El factor de calidad a veces se denomina factor de ganancia del oscilador, ya que con algunos métodos de excitación, cuando la frecuencia de excitación coincide con la resonante, la amplitud de las oscilaciones resulta ser aproximadamente veces mayor que cuando se excita a baja frecuencia.

Además, el factor de calidad es aproximadamente igual al número de ciclos oscilatorios durante los cuales la amplitud de oscilación disminuye en un factor, multiplicado por .

En caso movimiento oscilatorio la atenuación también se caracteriza por parámetros tales como:

• tiempo de vida vibraciones (también conocidas como tiempo de decaimiento, es lo mismo tiempo de relajación) τ - tiempo durante el cual la amplitud de las oscilaciones disminuirá en mi una vez.

Vibraciones forzadas

Las oscilaciones del oscilador se denominan forzadas cuando se le aplica alguna influencia externa adicional. Este efecto se puede producir por varios medios y por varias leyes. Por ejemplo, la excitación de una fuerza es el efecto sobre una carga de una fuerza que depende únicamente del tiempo según una determinada ley. La excitación cinemática es el efecto sobre el oscilador por el movimiento del punto de unión del resorte a lo largo ley dada. También es posible verse afectado por la fricción cuando, por ejemplo, el medio con el que la carga experimenta fricción se mueve según una ley determinada.

Descubrimientos en el campo cuántico y otras áreas. Al mismo tiempo, se están inventando nuevos dispositivos y dispositivos mediante los cuales es posible realizar varios estudios y explicar los fenómenos del micromundo. Uno de esos mecanismos es un oscilador armónico, cuyo principio de funcionamiento era conocido por los representantes de las civilizaciones antiguas.

Dispositivo y sus tipos.

Un oscilador armónico es sistema mecanico, en movimiento, que se describe mediante un diferencial con coeficientes valor constante. Mayoría ejemplos simples tales dispositivos: una carga sobre un resorte, un péndulo, sistemas acústicos, movimiento partículas moleculares etc.

Convencionalmente, se pueden distinguir los siguientes tipos de este dispositivo:

Aplicación del dispositivo

Este dispositivo se utiliza en varios campos, principalmente para estudiar la naturaleza. sistemas oscilatorios. Se utiliza un oscilador armónico cuántico para estudiar el comportamiento de los elementos fotónicos. Los resultados de los experimentos se pueden utilizar en varios campos. Así, los físicos de un instituto estadounidense descubrieron que los átomos de berilio situados a distancias bastante grandes entre sí pueden interactuar a nivel cuántico. Además, el comportamiento de estas partículas es similar al de los cuerpos (bolas de metal) en el macrocosmos, moviéndose en un orden alternativo, similar a un oscilador armonioso. Los iones de berilio, a pesar de ser físicamente largas distancias, intercambió las unidades más pequeñas de energía (cuantos). Este descubrimiento permite avanzar significativamente en las tecnologías de TI y también proporciona una nueva solución en la producción de equipos informáticos y electrónicos.

El oscilador armónico se utiliza para estimar obras musicales. Este método se llama examen espectroscópico. Se encontró que el sistema más estable es una composición de cuatro músicos (cuarteto). A obras modernas La mayoría de ellos son anarmónicos.

Un oscilador armónico es una partícula que sufre un movimiento unidimensional bajo la acción de una fuerza cuasi elástica. La energía potencial de tal partícula tiene la forma

Expresando k en la fórmula (27.1) en términos de

Por lo tanto, en el caso unidimensional, la ecuación de Schrödinger (ver (21.5)) para el oscilador se ve así:

Energía total, oscilador). En teoría ecuaciones diferenciales Se demuestra que la ecuación (27.2) tiene soluciones finitas, inequívocas y continuas para valores del parámetro E iguales a

En la figura. 27.1 muestra el diagrama niveles de energía oscilador armónico. Para mayor claridad, los niveles están inscritos en la curva. energía potencial. Sin embargo, cabe recordar que en mecánica cuántica la energía total no se puede representar como la suma de energías T y U definidas con precisión (ver el último párrafo del párrafo anterior).

Los niveles de energía de un oscilador armónico son equidistantes, es decir, están espaciados a la misma distancia entre sí. El menos posible significado la energía es igual a . Este valor se llama energía de punto cero.

La existencia de energía de punto cero se confirma mediante experimentos que estudian la dispersión de la luz por cristales en bajas temperaturas. Resulta que la intensidad de la luz dispersada tiende no a cero a medida que disminuye la temperatura, sino a un cierto valor final, indicando que cuando cero absoluto vibraciones de los átomos en red cristalina no te detengas.

La mecánica cuántica nos permite calcular probabilidades varias transiciones sistema cuántico de un estado a otro. Estos cálculos muestran que para un oscilador armónico sólo son posibles transiciones entre niveles adyacentes. Durante tales transiciones, el número cuántico cambia en uno:

Condiciones impuestas a los cambios. números cuánticos durante las transiciones del sistema de un estado a otro, se denominan reglas de selección.

Por tanto, para un oscilador armónico existe una regla de selección expresada por la fórmula (27.4).

De la regla (27.4) se deduce que la energía de un oscilador armónico sólo puede cambiar en porciones /rto. Este resultado, que se obtiene naturalmente en la mecánica cuántica, coincide con lo que es muy ajeno a física clásica una suposición que Planck tuvo que hacer para calcular la emisividad de un cuerpo completamente negro (ver § 7). Tenga en cuenta que Planck asumió que la energía de un oscilador armónico sólo puede ser un múltiplo integral de Ha. En realidad, también hay energía cero, cuya existencia se estableció sólo después de la creación de la mecánica cuántica.