La ecuación de movimiento de un oscilador armónico tiene la forma. §15

El modelo más simple del movimiento vibratorio de los átomos en una molécula diatómica puede ser un sistema de dos masas. t/ y w?, conectados por un resorte elástico. La vibración de dos átomos con respecto al centro de masa se puede sustituir por la vibración de un equivalente.

masa relativa a la inicial punto cero R= 0, donde

R- distancia entre masas, Re- posición del punto de equilibrio.

En la consideración clásica, se supone que el resorte es ideal - la fuerza elástica F es directamente proporcional a la deformación - la desviación del equilibrio x = RR e, según la ley de Hooke:

Dónde A- constante elástica. Por tanto, la fuerza se dirige hacia el retorno a la posición de equilibrio.

Usando las leyes de Hooke y Newton juntas (F-ta), se puede escribir:

(que denota ). Se sabe que la solución de tal ecuación es

servir funciones armónicas

Dónde xo- amplitud, y

Usando la masa reducida /l obtenemos:

Una medida de la energía potencial de un sistema. V sirve trabajo

EN mecánica cuántica El análisis del movimiento oscilatorio para un modelo simple de oscilador armónico es bastante complejo. Se basa en resolver la ecuación de Schrödinger.

(y/- función de onda vibratoria, mi - energía total partículas) y está más allá del alcance de nuestra presentación.

Para un oscilador cuántico sólo es posible serie discreta valores de energía E y frecuencias de acuerdo con la fórmula E=hv. Además, el valor mínimo de la energía del oscilador no es cero. Esta cantidad se llama energía cero, corresponde al nivel de energía más bajo del oscilador y es igual a , su existencia se puede explicar con base en la relación de incertidumbre de Heisenberg.

Así, de acuerdo con mecánica cuántica la energía del oscilador armónico está cuantificada:

Dónde v- oscilatorio número cuántico, que puede tomar el valor y=0, 1, 2, 3,....

Cuando un oscilador interactúa con cuantos radiación electromagnética Se deben tener en cuenta tres factores: 1) población de niveles (probabilidad de encontrar una molécula en un momento dado). nivel de energía); 2) la regla de la frecuencia (Bohr), según la cual la energía de un cuanto debe corresponder a la diferencia de energía de dos niveles cualesquiera;

3) regla de selección para transiciones cuánticas: probabilidad de transición, es decir La intensidad de las líneas en el espectro de absorción está determinada por la cantidad. momento dipolar de transición (ver introducción teórica). En el caso del oscilador armónico más simple, la regla de selección se obtiene considerando las funciones de onda. Afirma que las transiciones sólo pueden ocurrir entre niveles adyacentes (“un paso”): el número cuántico vibratorio cambia en uno AV= 1. Dado que las distancias entre niveles adyacentes son las mismas, el espectro de absorción de un oscilador armónico debe contener solo una línea con una frecuencia

Dado que, de acuerdo con la distribución de Boltzmann a temperatura ambiente y más bajas temperaturas Cuando el nivel vibratorio más bajo está poblado, entonces la transición más intensa es desde lo más profundo. nivel bajo(d=0), y la frecuencia de esta línea coincide con la frecuencia de transiciones más débiles desde niveles superiores al nivel superior adyacente.

Gráficas de funciones de onda del oscilador armónico para diferentes significados Las energías se muestran en la Figura 2.3. Representan soluciones de la ecuación de Schrödinger para un oscilador armónico.

Dónde norte, - factor de normalización, H 0- polinomios de Hermite, x = RR e- desviación de la posición de equilibrio.

Momento dipolar de transición para transiciones vibratorias, R0(o METRO") igual a:

Dónde ju - momento dipolar moléculas; vacilación

funciones de onda sólida de los estados inicial y final, respectivamente. De la fórmula se desprende claramente que la transición está permitida,

si está en el punto de equilibrio: el momento dipolar de la molécula

cambios cerca de la posición del punto de equilibrio, (curva ju=f(R) no pasa por el máximo en este punto). La integral (el segundo factor de la fórmula) tampoco debe ser igual a cero. Se puede demostrar que esta condición se cumple si la transición ocurre entre niveles adyacentes, por lo tanto regla adicional selección Ai = 1.

En el caso de las moléculas diatómicas, los espectros vibratorios sólo se pueden observar en el caso de las moléculas heteronucleares; las moléculas homonucleares no tienen momento dipolar y no cambian durante las vibraciones. Los espectros de vibración del CO2 muestran vibraciones (estiramiento y flexión antisimétricos), en las que el momento dipolar cambia, pero no aparecen vibraciones simétricas, en las que permanece sin cambios.

Oscilador armónico

Oscilador armónico(en mecánica clásica): un sistema que, cuando se desplaza de una posición de equilibrio, experimenta una fuerza restauradora F, proporcional al desplazamiento incógnita(según la ley de Hooke):

Dónde k- coeficiente de rigidez del sistema.

Si F es la única fuerza que actúa sobre el sistema, entonces el sistema se llama simple o oscilador armónico conservador. Las oscilaciones libres de dicho sistema representan movimientos periódicos alrededor de la posición de equilibrio (oscilaciones armónicas). La frecuencia y la amplitud son constantes y la frecuencia no depende de la amplitud.

Ejemplos mecánicos de oscilador armónico son un péndulo matemático (con pequeños ángulos de desviación), un péndulo de torsión y sistemas acústicos. Entre otros análogos del oscilador armónico, cabe destacar el eléctrico. oscilador armónico(ver circuito LC).

vibraciones libres

Oscilador armónico conservador

Como modelo de oscilador armónico conservador, tomamos una carga masiva metro, fijado al resorte por rigidez k .

Dejar incógnita- desplazamiento de la carga con respecto a la posición de equilibrio. Entonces, según la ley de Hooke, actuará sobre él una fuerza restauradora:

Entonces energía total tiene un valor constante

Simple movimiento armónico - este es el movimiento de un simple oscilador armónico, movimiento periódico que no es forzado ni amortiguado. Un cuerpo en movimiento armónico simple está expuesto a una sola fuerza variable, que en valor absoluto es directamente proporcional al desplazamiento. incógnita desde la posición de equilibrio y se dirige en la dirección opuesta.

Este movimiento es periódico: el cuerpo oscila alrededor de la posición de equilibrio según una ley sinusoidal. Cada oscilación posterior es igual a la anterior y el período, la frecuencia y la amplitud de las oscilaciones permanecen constantes. Si asumimos que la posición de equilibrio está en un punto con coordenadas, igual a cero, entonces el desplazamiento incógnita cuerpo desde la posición de equilibrio en cualquier momento viene dada por la fórmula:

Dónde A- amplitud de oscilaciones, F- frecuencia, φ - fase inicial.

La frecuencia del movimiento está determinada. propiedades características sistema (por ejemplo, la masa de un cuerpo en movimiento), mientras que la amplitud y la fase inicial están determinadas por las condiciones iniciales: el desplazamiento y la velocidad del cuerpo en el momento en que comienzan las oscilaciones. Las energías cinética y potencial del sistema también dependen de estas propiedades y condiciones.

El movimiento armónico simple puede ser modelos matemáticos varios tipos movimientos como la oscilación de un resorte. Otros casos que pueden considerarse a grandes rasgos como movimiento armónico simple son el movimiento de un péndulo y la vibración de las moléculas.

El movimiento armónico simple es la base de algunas formas de analizar tipos de movimiento más complejos. Uno de estos métodos es el método basado en la transformada de Fourier, cuya esencia se reduce a la expansión de más tipo complejo movimientos en una serie de movimientos armónicos simples.

Cualquier sistema en el que se produzca movimiento armónico simple tiene dos propiedades clave:

1. Cuando un sistema pierde el equilibrio, debe haber una fuerza restauradora que tienda a devolver el sistema al equilibrio.
2. La fuerza de recuperación debe ser exacta o aproximadamente proporcional al desplazamiento.

El sistema carga-resorte satisface ambas condiciones.

Una vez que una carga desplazada se somete a una fuerza restauradora, acelera y tiende a regresar a su posición original. punto de partida, es decir, a la posición de equilibrio. A medida que la carga se acerca a la posición de equilibrio, la fuerza restauradora disminuye y tiende a cero. Sin embargo, en la situación incógnita = 0 la carga tiene una cierta cantidad de movimiento (impulso), adquirido debido a la acción de la fuerza restauradora. Por lo tanto, la carga sobrepasa la posición de equilibrio, comenzando a deformar el resorte nuevamente (pero ya en dirección opuesta). La fuerza restauradora tenderá a ralentizarlo hasta que la velocidad sea cero; y la fuerza nuevamente se esforzará por devolver la carga a su posición de equilibrio.

Mientras no haya pérdida de energía en el sistema, la carga oscilará como se describió anteriormente; Tal movimiento se llama periódico.

Un análisis más detallado mostrará que en el caso de un sistema carga-resorte, el movimiento es armónico simple.

Dinámica del movimiento armónico simple.

Para vibraciones en un espacio unidimensional, teniendo en cuenta la Segunda Ley de Newton ( F= metro  d² incógnita/d t² ) y la ley de Hooke ( F = −kx, como se describió anteriormente), tenemos una ecuación diferencial lineal de segundo orden:

La solución de esta ecuación diferencial es sinusoidal; una solución es:

Dónde A, ω y φ son cantidades constantes y la posición de equilibrio se toma como inicial. Cada una de estas constantes representa una importante propiedad fisica movimientos: A es la amplitud, ω = 2π F- frecuencia circular, y φ - fase inicial.

movimiento circular universal

En algunos casos, el movimiento armónico simple puede considerarse como una proyección unidimensional del movimiento circular universal. Si un objeto se mueve con una velocidad angular constante ω a lo largo de un círculo de radio r, cuyo centro es el origen del avión. x-y, entonces tal movimiento a lo largo de cada uno de ejes de coordenadas es armónico simple con amplitud r y frecuencia circular ω.

Un peso como un simple péndulo

En ángulos pequeños el movimiento péndulo simple está cerca de un armónico simple. El período de oscilación de dicho péndulo unido a una varilla de longitud ℓ con aceleración caída libre gramo viene dada por la fórmula

Esto muestra que el período de oscilación no depende de la amplitud y la masa del péndulo, sino que depende de la aceleración de la gravedad. gramo, por lo tanto, con la misma longitud del péndulo, en la Luna oscilará más lentamente, ya que allí la gravedad es más débil y menos valor aceleración en caída libre.

Esta aproximación es correcta sólo para ángulos de desviación pequeños, ya que la expresión para la aceleración angular es proporcional al seno de la coordenada:

¿Qué hace? aceleración angular directamente proporcional al ángulo θ, y esto satisface la definición de movimiento armónico simple.

Oscilador armónico amortiguado

Tomando como base el mismo modelo, le sumaremos la fuerza de fricción viscosa. La fuerza de fricción viscosa está dirigida contra la velocidad de movimiento de la carga con respecto al medio y es proporcional a esta velocidad. Entonces fuerza completa, que actúa sobre la carga, se escribe de la siguiente manera:

Realizando acciones similares, obtenemos ecuación diferencial, describiendo un oscilador amortiguado:

Aquí se introduce la designación: . El coeficiente se llama constante de atenuación. También tiene la dimensión de frecuencia.

La solución se divide en tres casos.

La amortiguación crítica es notable porque es en la amortiguación crítica cuando el oscilador tiende más rápidamente a la posición de equilibrio. Si la fricción es menos que crítica, alcanzará la posición de equilibrio más rápido, pero la “sobrepasará” debido a la inercia y oscilará. Si la fricción es mayor que la crítica, entonces el oscilador tenderá exponencialmente a la posición de equilibrio, pero cuanto más lentamente, mayor será la fricción.

Por lo tanto, en los relojes comparadores (por ejemplo, en los amperímetros), generalmente intentan introducir una atenuación crítica para que sus lecturas se puedan leer lo más rápido posible.

La amortiguación de un oscilador también suele caracterizarse por un parámetro adimensional llamado factor de calidad. El factor de calidad suele indicarse con la letra . Por definición, el factor de calidad es igual a:

Cuanto mayor sea el factor de calidad, más lentamente decaerán las oscilaciones del oscilador.

Un oscilador con amortiguación crítica tiene un factor de calidad de 0,5. En consecuencia, el factor de calidad indica el comportamiento del oscilador. Si el factor de calidad es mayor que 0,5, entonces el libre movimiento del oscilador representa oscilaciones; Con el tiempo, cruzará la posición de equilibrio un número ilimitado de veces. Un factor de calidad menor o igual a 0,5 corresponde a un movimiento no oscilatorio del oscilador; V libre circulación cruzará la posición de equilibrio como máximo una vez.

El factor de calidad a veces se denomina factor de ganancia del oscilador, ya que con algunos métodos de excitación, cuando la frecuencia de excitación coincide con la resonante, la amplitud de oscilación resulta ser aproximadamente veces mayor que cuando se excita a baja frecuencia.

Además, el factor de calidad es aproximadamente igual al número de ciclos oscilatorios durante los cuales la amplitud de oscilación disminuye en un factor, multiplicado por .

En el caso del movimiento oscilatorio, la amortiguación también se caracteriza por parámetros tales como:

• tiempo de vida vibraciones (también conocidas como tiempo de decaimiento, es lo mismo tiempo de relajación) τ - tiempo durante el cual la amplitud de las oscilaciones disminuirá en mi una vez.

Vibraciones forzadas

Las oscilaciones del oscilador se denominan forzadas cuando se le aplica alguna influencia externa adicional. Este efecto se puede producir por varios medios y por varias leyes. Por ejemplo, la excitación de una fuerza es el efecto sobre una carga de una fuerza que depende únicamente del tiempo según una determinada ley. La excitación cinemática es el efecto sobre el oscilador por el movimiento del punto de unión del resorte a lo largo ley dada. También es posible verse afectado por la fricción cuando, por ejemplo, el medio con el que la carga experimenta fricción se mueve según una ley determinada.

Conferencia 1

OSCILACIONES. ONDAS. ÓPTICA

Los primeros científicos que estudiaron las oscilaciones fueron Galileo Galilei y Christiaan Huygens. Galileo estableció la independencia del período de oscilación de la amplitud. Huygens inventó el reloj de péndulo.

Cualquier sistema que, cuando se perturba ligeramente desde su posición de equilibrio, presenta oscilaciones estables se llama oscilador armónico. EN física clásica tales sistemas son un péndulo matemático con pequeños ángulos de desviación, una carga con pequeñas amplitudes de oscilación, circuito electrico, consistente en elementos lineales capacitancia e inductancia.

(1.1.1)

Dónde incógnita A

Velocidad de un punto material oscilante.

A

.

Si un proceso que se repite periódicamente se describe mediante ecuaciones que no coinciden con (1.1.1), se llama anarmónico. Un sistema que realiza oscilaciones anarmónicas se llama oscilador anarmónico.

1.1.2 . Vibraciones libres de sistemas con un grado de libertad. forma compleja presentaciones vibraciones armónicas

En la naturaleza son muy comunes las pequeñas oscilaciones que realiza un sistema cerca de su posición de equilibrio. Si un sistema retirado de una posición de equilibrio se deja a su suerte, es decir, no actúan fuerzas externas sobre él, entonces dicho sistema funcionará libremente. oscilaciones no amortiguadas. Consideremos un sistema con un grado de libertad.

q

,

Dónde

, (1.1.4)

La expresión (1.1.5) coincide con la ecuación (1.1.3) de oscilaciones armónicas libres, siempre que

,

, Dónde A=Xe-iα

1.1.3 . Ejemplos movimientos oscilatorios varios naturaleza fisica

Oscilador armónico. Péndulos de resorte, físicos y matemáticos.

Oscilador armónico se llama sistema que oscila, descrito por una ecuación de la forma (140.6);

Las oscilaciones de un oscilador armónico son ejemplo importante movimiento periódico y sirve como modelo exacto o aproximado en muchos problemas de teoría clásica y física cuántica. Ejemplos de oscilador armónico son péndulos de resorte, físicos y matemáticos, circuito oscilatorio(para corrientes y tensiones tan pequeñas que los elementos del circuito podrían considerarse lineales).

1. Péndulo de primavera- es una carga de masa t, suspendido sobre un resorte absolutamente elástico y realizando oscilaciones armónicas bajo la acción fuerza elástica F = – kx, Dónde k- rigidez del resorte. Ecuación de movimiento de un péndulo

De las expresiones (142.1) y (140.1) se deduce que el péndulo de resorte realiza oscilaciones armónicas según la ley x=A con s (w 0 t + j) con frecuencia cíclica

La fórmula (142.3) es válida para vibraciones elásticas dentro de los límites dentro de los cuales se satisface la ley de Hooke (ver (21.3)), es decir, cuando la masa del resorte es pequeña en comparación con la masa del cuerpo. Energía potencial péndulo de primavera, según (141.5) y (142.2), es igual a

2. Péndulo físico- un cuerpo rígido que, bajo la influencia de la gravedad, oscila alrededor de un objeto estacionario eje horizontal, pasando por el punto ACERCA DE, no coincidiendo con el centro de masa CON cuerpos (Fig. 201).

Si el péndulo está inclinado desde su posición de equilibrio en un cierto ángulo a, entonces, de acuerdo con la ecuación de la dinámica del movimiento de rotación de un cuerpo rígido (18.3), el momento METRO La fuerza restauradora se puede escribir como

Dónde J- momento de inercia del péndulo con respecto al eje que pasa por el punto de suspensión Oh, yo- la distancia entre éste y el centro de masa del péndulo, F t = – mg sen a » – mg a. - fuerza restauradora (el signo menos se debe al hecho de que las direcciones Pie Y a siempre opuesto; pecado a » a corresponde a pequeñas oscilaciones del péndulo, es decir pequeñas desviaciones del péndulo respecto de la posición de equilibrio). La ecuación (142.4) se puede escribir como

idéntico a (142.1), cuya solución (140.1) se conoce:

De la expresión (142.6) se deduce que para pequeñas oscilaciones el péndulo físico realiza oscilaciones armónicas con una frecuencia cíclica w 0 (ver (142.5)) y período

Dónde L=J/(ml) - longitud reducida péndulo físico.

Punto ACERCA DE' en la continuación de la línea recta sistema operativo, distante del punto ACERCA DE suspensión del péndulo a una distancia de la longitud dada L, llamado centro de giro péndulo físico (Fig. 201). Aplicando el teorema de Steiner (16.1), obtenemos

es decir. OOO' siempre mas SO. Punto de suspensión ACERCA DE péndulo y centro de giro ACERCA DE' tener propiedad de intercambiabilidad: si el punto de suspensión se mueve al centro del giro, entonces el punto anterior ACERCA DE suspensión

se convertirá en el nuevo centro de oscilación y el período de oscilación del péndulo físico no cambiará.

3. Péndulo matemático- Este idealizado sistema formado por un punto material con masa T, suspendido de un hilo ingrávido e inextensible y oscilando bajo la influencia de la gravedad. Buena aproximación péndulo matemático Es una pequeña bola pesada suspendida de un hilo largo y delgado. Momento de inercia de un péndulo matemático.

Dónde yo- longitud del péndulo.

Dado que un péndulo matemático se puede representar como caso especial péndulo físico, Suponiendo que toda su masa está concentrada en un punto: el centro de masa, luego, sustituyendo la expresión (142.8) en la fórmula (1417), obtenemos una expresión para el período de pequeñas oscilaciones de un péndulo matemático.

Comparando las fórmulas (142.7) y (142.9), vemos que si la longitud reducida l El péndulo físico es igual a la longitud. yo péndulo matemático, entonces los períodos de oscilación de estos péndulos son los mismos. Por eso, longitud reducida de un péndulo físico- esta es la longitud de dicho péndulo matemático, cuyo período de oscilaciones coincide con el período de oscilaciones de un péndulo físico determinado.

Oscilador armónico ideal. La ecuación del oscilador ideal y su solución. Amplitud, frecuencia y fase de oscilaciones.

OSCILACIONES

VIBRACIONES ARMÓNICAS

Oscilador armónico ideal. La ecuación del oscilador ideal y su solución. Amplitud, frecuencia y fase de oscilaciones.

La oscilación es uno de los procesos más comunes en la naturaleza y la tecnología. Las oscilaciones son procesos que se repiten en el tiempo. Dudar edificios de gran altura y cables de alto voltaje bajo la influencia del viento, el péndulo de un reloj de cuerda y un automóvil sobre resortes mientras conduce, el nivel del río durante todo el año y la temperatura cuerpo humano en caso de enfermedad. El sonido son fluctuaciones en la presión del aire, las ondas de radio son cambios periódicos tensión eléctrica y campo magnético, la luz también es vibraciones electromagnéticas. Terremotos - vibraciones del suelo, flujos y reflujos - cambios en los niveles de los mares y océanos provocados por la atracción de la luna, etc.

Las oscilaciones pueden ser mecánicas, electromagnéticas, químicas, termodinámicas, etc. A pesar de tal diversidad, todas las oscilaciones se describen mediante las mismas ecuaciones diferenciales.

Un oscilador armónico puede considerarse lineal si el desplazamiento desde la posición de equilibrio es directamente proporcional a la fuerza perturbadora. La frecuencia de oscilación de un oscilador armónico no depende de la amplitud. Para un oscilador, se cumple el principio de superposición: si actúan varias fuerzas perturbadoras, entonces el efecto de su acción total se puede obtener como resultado de sumar los efectos de fuerzas activas por separado.

Las oscilaciones armónicas se describen mediante la ecuación (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Dónde incógnita-desplazamiento de la cantidad oscilante desde la posición de equilibrio, A– amplitud de oscilaciones, igual al valor desplazamiento máximo, - la fase de oscilaciones, que determina el desplazamiento en el momento del tiempo, - la fase inicial, que determina la magnitud del desplazamiento en el momento inicial, - la frecuencia cíclica de las oscilaciones.

El tiempo de una oscilación completa se llama período, donde es el número de oscilaciones completadas durante el tiempo.

La frecuencia de oscilación determina el número de oscilaciones realizadas por unidad de tiempo; está relacionada con la frecuencia cíclica mediante la relación , luego el período.

Así, la velocidad y aceleración del oscilador armónico también varía según ley armónica con amplitudes y respectivamente. En este caso, la velocidad está por delante del desplazamiento de fase en y de la aceleración en (figura 1.1.2).

De una comparación de las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico (1.1.1) y (1.1.2) se deduce que, o

Esta ecuación diferencial de segundo orden se llama ecuación del oscilador armónico. Su solución contiene dos constantes. A y , que están determinados por la tarea condiciones iniciales

.

Equilibrio estable Corresponde a una posición del sistema en la que energía potencial tiene un mínimo ( q– coordenada generalizada del sistema). La desviación del sistema de la posición de equilibrio conduce al surgimiento de una fuerza que tiende a hacer que el sistema regrese. El valor de la coordenada generalizada correspondiente a la posición de equilibrio se denota por , luego la desviación de la posición de equilibrio

Contaremos la energía potencial de valor mínimo. Aceptamos la función resultante y la expandimos a una serie de Maclaurin y dejamos el primer término de la expansión, tenemos: o

,

Dónde . Luego, teniendo en cuenta las notaciones introducidas:

, (1.1.4)

Teniendo en cuenta la expresión (1.1.4) para la fuerza que actúa sobre el sistema, obtenemos:

Según la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento del sistema tiene la forma: ,

y tiene dos soluciones independientes: y entonces solución general:

,

De la fórmula (1.1.6) se deduce que la frecuencia se determina solo propiedades propias sistema mecánico y no depende de la amplitud y las condiciones iniciales de movimiento.

La dependencia de las coordenadas de un sistema oscilante con respecto al tiempo se puede determinar mediante la forma de la parte real. expresión compleja , Dónde A=Xe-iα– amplitud compleja, su módulo coincide con la amplitud habitual y su argumento coincide con la fase inicial.

Manual del químico 21

Química y tecnología química.

Ley armónica del movimiento.

Mecánico, en el que el movimiento de rotación se convierte en movimiento oscilatorio (principalmente mecanismos excéntricos y de leva). La ley de movimiento del eslabón impulsado puede ser casi armónica. Estos excitadores se utilizan en algunos tipos de cribas, centrífugas vibratorias y mezcladores de tornillo sin fin.

EN mecanica clasica Para encontrar la ley del movimiento de un sistema de puntos (coordenadas qi en función del tiempo), es necesario resolver el sistema de ecuaciones de Newton. Con un sistema de coordenadas elegido arbitrariamente, la solución general de estas ecuaciones con potencial (VII, 7) no conduce a la forma armónica de q (t). Sin embargo, es fácil demostrar que con la ayuda de combinaciones lineales de las coordenadas q, - es posible construir nuevas coordenadas, cada una de las cuales cambia según una ley armónica con una cierta frecuencia (c. Tales coordenadas

De hecho, las vibraciones de dos átomos conectados por un enlace son similares a las vibraciones de un par de esferas unidas por un resorte. Para cambios pequeños, la fuerza restauradora es proporcional al desplazamiento, y si dicho sistema se pone en movimiento, las oscilaciones se describirán mediante la ley del movimiento armónico simple.

Las mejores condiciones de funcionamiento para el regenerador se crearían si el pistón no se moviera armoniosamente, sino que se detuviera al final de cada carrera. Sin embargo, se puede obtener una eficiencia bastante alta utilizando, debido a su simplicidad, la ley armónica del movimiento del pistón.

al dudar ambiente de trabajo En una tubería o en cualquier otro canal de presión, la distribución de las velocidades del flujo a lo largo de la sección transversal del flujo difiere de la ley que describe esta distribución en el caso de un movimiento estacionario del medio. Así, cuando el flujo laminar de líquido oscila en un tubo cilíndrico redondo, se altera la distribución parabólica de velocidades que, como se sabe en hidráulica, es característica del movimiento laminar estable del líquido en un tubo. En cambio armónico gradiente de presión a lo largo de la tubería, la distribución de velocidades se puede encontrar usando la fórmula (9.42). Para hacer esto, en lugar de (s), debes sustituir la imagen de Laplace de la ley armónica del cambio de gradiente de presión en la fórmula y luego realizar conversión inversa. La función (t, r) obtenida de esta forma se da en el trabajo.

Está claro que no es necesario implementar un ciclo con movimiento intermitente de pistones en los diseños de máquinas industriales. Para cualquier ley del movimiento del pistón, en particular para una armónica (para un accionamiento de manivela), la eficiencia termodinámica de una máquina Stirling ideal es igual a la unidad.

En estas instalaciones, se adoptó una ley de movimiento de las varillas simplificada, casi armónica: el varillaje articulado de cuatro barras de la máquina de bombeo fue reemplazado por mecanismos de manivela. Esta suposición es generalmente aceptada y, como lo han demostrado los experimentos, está completamente justificada en las condiciones de los experimentos.

Estado interno molécula diatómica definido si se especifica su estado capa de electrones, así como las características del movimiento de rotación de la molécula en su conjunto y el movimiento de vibración de los núcleos. Se considera que la rotación y las vibraciones son, en primera aproximación, independientes del estado electrónico de la molécula. El modelo más simple para describir los movimientos de rotación y vibración de una molécula diatómica es el modelo de rotador rígido - oscilador armónico, según el cual la rotación de la molécula como rotador rígido y las vibraciones de los núcleos según la ley armónica se consideran de forma independiente. Descripción clásica para este modelo ver cap. IV., 5. Escribamos en la misma aproximación la expresión para la energía de una molécula diatómica, utilizando las fórmulas de mecánica cuántica (VII.19), (VII.20) y (UP.22).

Un cambio en la amplitud de las vibraciones, así como una transición del modo de vibración armónico al de choque, se logra instalando excéntricas reemplazables, cuyo perfil está determinado por la ley del movimiento del empujador con la mesa de trabajo y un bloque de cilindros coaxiales montados en él.

En la sección e se observó que si la energía de las moléculas se expresa por la suma de un cierto número de términos que son cuadráticos ya sea con respecto a las coordenadas espaciales () o con respecto a los momentos (/z), entonces la forma de la distribución La ley no depende exactamente de cuántos términos se incluyen en la expresión de energía cinética y cuántos en la expresión de energía potencial. Sin embargo, la derivación de la ley se simplifica si consideramos mismo numero términos que expresan energía cinética potencial. Físicamente, esto corresponde a la suposición de que el movimiento total de las moléculas está representado por el número de 5 osciladores armónicos independientes. La energía de la molécula en este caso se puede escribir de la siguiente manera:

En espectrómetros con aceleración constante velocidad relativa El movimiento de la fuente y el absorbente cambia periódicamente según una ley lineal o armónica, lo que permite registrar el espectro en estudio en un intervalo de velocidad determinado. Normalmente, en tales espectrómetros, la información se registra en la memoria de un analizador multicanal que funciona en modo de tiempo, cuando los canales de memoria se abren sincrónicamente con el ciclo de velocidad.

Una de las expresiones leyes cuánticas es la discreción de los niveles de energía del cuerpo que realiza movimientos periódicos. Consideremos, como ejemplo, la oscilación armónica de un oscilador. La energía de un oscilador armónico clásico puede variar continuamente. Esta energía es igual a yA 2 ( valor más alto energía potencial en x = A). Constante elástica

Vibraciones forzadas. consideremos vibraciones longitudinales Sistema elástico lineal con un grado de libertad bajo la acción de una fuerza impulsora P si), que cambia según una ley armónica. Inicialmente, aceptamos el supuesto de que no existen fuerzas de resistencia inelásticas. La ecuación de movimiento en este caso (Fig. 3.7, a) tiene la forma tx = -Py + P (/), que después de sustituciones P = cx, dm = social y P (/) = Po sin (oi) da

Si estuviéramos tratando con sistema clasico, entonces, bajo ciertas condiciones iniciales, en principio, sería posible excitar un movimiento en el que solo una de las coordenadas normales cambiaría. Luego, cuando esta coordenada normal cambia, cambian todas las longitudes de enlace, los ángulos de enlace, etc. Se observaría proporcional a esta coordenada con coeficientes. Si las coordenadas normales cambiaran de acuerdo con una ley armónica, entonces todo parámetros geométricos las moléculas también cambiarían según una ley armónica, y todos los parámetros geométricos pasarían por sus valores de equilibrio en la misma fase. En la Fig. 8 2 se muestra un ejemplo de vibraciones normales para una molécula XY2 de tipo agua.

Si los electrones de una sustancia se desplazan ligeramente de sus posiciones de equilibrio, entonces están sujetos a una acción reparadora, cuya magnitud se supone que es proporcional al desplazamiento. En este caso, el movimiento de los electrones resulta ser una simple oscilación armónica. El paso de la luz a través de un sistema que contiene varios osciladores eléctricos de este tipo equivale a la aparición de un fuerza electrica, que, según la teoría de Maxwell, resulta ser uno de los componentes de las oscilaciones electromagnéticas de la luz. Cuando pasa la luz, el campo eléctrico cambia con la frecuencia correspondiente y afecta el movimiento del electrón oscilante según la ley de conservación de la energía. Velocidad (y por tanto energía cinética) la propagación de la luz en la materia es menor que en el vacío, por lo tanto, aumenta la energía cinética de los electrones que interactúan con la luz. Así, la luz tiende a cambiar el movimiento de los electrones en la molécula y actúa en dirección opuesta a la fuerza que tiende a mantener el electrón en su posición original.

Esta opción de medición también se puede implementar durante las vibraciones de torsión de una muestra tubular, si el cilindro exterior está instalado inmóvil, el cilindro interior está montado sobre una barra de torsión y el par que actúa sobre él se ajusta según la ley armónica. Si ahora medimos la diferencia de fase entre el par y el ángulo de rotación del cilindro, así como la amplitud del ángulo de torsión, entonces el esquema de cálculo para determinar O se reducirá a las fórmulas mencionadas anteriormente (VI. 15). y (VI.16). Sin embargo, si medimos la relación entre el par y la velocidad angular del cilindro, entonces esto corresponde problema sobre, b Determinar la impedancia del sistema.

En conclusión, observamos que desde el punto de vista de la completa y físicamente razonable descripción cuantitativa dinámica de fluidos, todos los modelos considerados son sólo una primera aproximación para describir la difusión y las oscilaciones en el agua, ya que en su construcción se utilizaron una serie de simplificaciones. Sólo en el límite de una vida sedentaria prolongada (esto puede ocurrir a bajas temperaturas) o con una fuerte electroestricción de las moléculas de agua en la capa de hidratación de los iones, se produce la aproximación armónica y modelo sencillo difusión por salto [tabla de ecuación (4-5). 4] son ​​legales. En altas temperaturas y en soluciones en las que los iones debilitan los enlaces entre las moléculas de agua, las vibraciones se vuelven marcadamente anarmónicas, ralentizadas por los movimientos de relajación y difusión. En este caso, el comportamiento del líquido es más acorde con el comportamiento del sistema. partículas libres[Ecuación (37)]. La suposición de que no existe correlación entre los movimientos de difusión y oscilatorios también es válida. tema controvertido. Recientemente, Raman et al.

En la siguiente sección. 11.3 filas serán desmontadas ejemplos simples, lo que permite estimar las contribuciones a la capacidad calorífica de los grados de libertad individuales descompuestos. En este caso, se prestará más atención a un sistema formado por partículas con dos posibles estados de energía, y un oscilador armónico, ya que usando su ejemplo es posible analizar de manera relativamente simple y al mismo tiempo bastante completa la relación entre el movimiento molecular y la capacidad calorífica del sistema. Para más sistemas complejos A menudo es fácil estimar la capacidad calorífica a temperaturas medias basándose en ley clásica distribución uniforme por grados de libertad.

Las leyes del movimiento de las micropartículas en la mecánica cuántica difieren significativamente de las clásicas. Por un lado, se comportan (por ejemplo, durante colisiones) como partículas con cargas y masas indivisibles, por otro lado, como ondas con una determinada frecuencia (longitud de onda) y caracterizadas por función de ondaа1з - propiedad, otrol Ver páginas donde se menciona el término Ley Armónica del Movimiento Notarios en Novoalekseevka Anuncios gratuitos en la sección Notarios en Novoalekseevka. Aún no hay anuncios, ¡sé el primero!

OSCILACIONES. ONDAS. ÓPTICA

OSCILACIONES

Conferencia 1

VIBRACIONES ARMÓNICAS

Oscilador armónico ideal. La ecuación del oscilador ideal y su solución. Amplitud, frecuencia y fase de oscilaciones.

La oscilación es uno de los procesos más comunes en la naturaleza y la tecnología. Las oscilaciones son procesos que se repiten en el tiempo. Los edificios de gran altura y los cables de alta tensión oscilan bajo la influencia del viento, el péndulo de un reloj de cuerda y un automóvil sobre resortes mientras conduce, el nivel del río durante todo el año y la temperatura del cuerpo humano durante la enfermedad. El sonido son fluctuaciones en la presión del aire, las ondas de radio son cambios periódicos en la intensidad del campo eléctrico y magnético, la luz también son fluctuaciones electromagnéticas. Terremotos - vibraciones del suelo, flujos y reflujos - cambios en los niveles de los mares y océanos provocados por la atracción de la luna, etc.

Las oscilaciones pueden ser mecánicas, electromagnéticas, químicas, termodinámicas, etc. A pesar de tal diversidad, todas las oscilaciones se describen mediante las mismas ecuaciones diferenciales.

Los primeros científicos que estudiaron las oscilaciones fueron Galileo Galilei y Christiaan Huygens. Galileo estableció la independencia del período de oscilación de la amplitud. Huygens inventó el reloj de péndulo.

Cualquier sistema que, cuando se perturba ligeramente desde su posición de equilibrio, presenta oscilaciones estables se llama oscilador armónico. En la física clásica, tales sistemas son un péndulo matemático con pequeños ángulos de desviación, una carga con pequeñas amplitudes de oscilación y un circuito eléctrico que consta de elementos lineales de capacitancia e inductancia.

Un oscilador armónico puede considerarse lineal si el desplazamiento desde la posición de equilibrio es directamente proporcional a la fuerza perturbadora. La frecuencia de oscilación de un oscilador armónico no depende de la amplitud. Para un oscilador, se cumple el principio de superposición: si actúan varias fuerzas perturbadoras, entonces el efecto de su acción total se puede obtener como resultado de la suma de los efectos de las fuerzas individuales que actúan.

Las oscilaciones armónicas se describen mediante la ecuación (Fig. 1.1.1)

(1.1.1)

Dónde incógnita-desplazamiento de la cantidad oscilante desde la posición de equilibrio, A– la amplitud de las oscilaciones, igual al valor del desplazamiento máximo, - la fase de oscilaciones, que determina el desplazamiento en el momento del tiempo, - la fase inicial, que determina el valor del desplazamiento en el momento inicial del tiempo, - la frecuencia cíclica de las oscilaciones.

El tiempo de una oscilación completa se llama período, donde es el número de oscilaciones completadas durante el tiempo.

La frecuencia de oscilación determina el número de oscilaciones realizadas por unidad de tiempo; está relacionada con la frecuencia cíclica mediante la relación , luego el período.

Velocidad de un punto material oscilante.

aceleración

Por tanto, la velocidad y la aceleración del oscilador armónico también cambian según la ley armónica con amplitudes y respectivamente. En este caso, la velocidad está por delante del desplazamiento de fase en y de la aceleración en (figura 1.1.2).

De una comparación de las ecuaciones de movimiento de un oscilador armónico (1.1.1) y (1.1.2) se deduce que, o

Esta ecuación diferencial de segundo orden se llama ecuación del oscilador armónico. Su solución contiene dos constantes. A y , que se determinan estableciendo las condiciones iniciales

.

Si un proceso que se repite periódicamente se describe mediante ecuaciones que no coinciden con (1.1.1), se llama anarmónico. Un sistema que realiza oscilaciones anarmónicas se llama oscilador anarmónico.

1.1.2 . Vibraciones libres de sistemas con un grado de libertad. Forma compleja de representación de vibraciones armónicas.

En la naturaleza son muy comunes las pequeñas oscilaciones que realiza un sistema cerca de su posición de equilibrio. Si un sistema retirado de una posición de equilibrio se deja a su suerte, es decir, no actúan fuerzas externas sobre él, entonces dicho sistema realizará oscilaciones libres y no amortiguadas. Consideremos un sistema con un grado de libertad.

El equilibrio estable corresponde a una posición del sistema en la que su energía potencial tiene un mínimo ( q– coordenada generalizada del sistema). La desviación del sistema de la posición de equilibrio conduce al surgimiento de una fuerza que tiende a hacer que el sistema regrese. El valor de la coordenada generalizada correspondiente a la posición de equilibrio se denota por , luego la desviación de la posición de equilibrio

Contaremos la energía potencial a partir del valor mínimo. Aceptamos la función resultante y la expandimos a una serie de Maclaurin y dejamos el primer término de la expansión, tenemos: o

,

Dónde . Luego, teniendo en cuenta las notaciones introducidas:

, (1.1.4)

Teniendo en cuenta la expresión (1.1.4) para la fuerza que actúa sobre el sistema, obtenemos:

Según la segunda ley de Newton, la ecuación de movimiento del sistema tiene la forma: ,

La expresión (1.1.5) coincide con la ecuación (1.1.3) de oscilaciones armónicas libres, siempre que

y tiene dos soluciones independientes: y , por lo que la solución general es:

,

De la fórmula (1.1.6) se deduce que la frecuencia está determinada únicamente por las propiedades intrínsecas del sistema mecánico y no depende de la amplitud ni de las condiciones iniciales de movimiento.

La dependencia de las coordenadas de un sistema oscilante con respecto al tiempo se puede determinar mediante la forma de la parte real de una expresión compleja. , Dónde A=Xe-iα– amplitud compleja, su módulo coincide con la amplitud habitual y su argumento coincide con la fase inicial.

1.1.3 . Ejemplos de movimientos oscilatorios de diversa naturaleza física.

Oscilaciones de una carga sobre un resorte.

Consideremos las oscilaciones de una carga sobre un resorte, siempre que el resorte no se deforme más allá de sus límites de elasticidad. Demostremos que dicha carga realizará oscilaciones armónicas con respecto a la posición de equilibrio (Fig. 1.1.3). De hecho, según la ley de Hooke, un resorte comprimido o estirado crea una fuerza armónica:

Dónde – coeficiente de rigidez del resorte, – coordenada de la posición de equilibrio, incógnita– coordenada de la carga (punto material) en el momento del tiempo, – desplazamiento desde la posición de equilibrio.

Coloquemos el origen de la coordenada en la posición de equilibrio del sistema. En este caso.

Si el resorte se estira una cantidad incógnita, luego suelte en el momento del tiempo t=0, entonces la ecuación de movimiento de la carga según la segunda ley de Newton tomará la forma -kx=ma, o , Y

(1.1.6)

Esta ecuación coincide en forma con la ecuación de movimiento (1.1.3) de un sistema que realiza oscilaciones armónicas buscaremos su solución en la forma:

. (1.1.7)

Sustituyendo (1.17) en (1.1.6), tenemos: es decir, la expresión (1.1.7) es una solución a la ecuación (1.1.6) siempre que

Si en el momento inicial la posición de la carga era arbitraria, entonces la ecuación de movimiento tomará la forma:

.

Consideremos cómo cambia la energía de una carga que sufre oscilaciones armónicas en ausencia fuerzas externas(Figura 1.14). si en este momento t=0 decirle a la carga el desplazamiento x=A, entonces su energía total será igual a la energía potencial del resorte deformado, la energía cinética es cero (punto 1).

Una fuerza actúa sobre la carga. F= -kx, tendiendo a devolverla a la posición de equilibrio, por lo que la carga se mueve con aceleración y aumenta su velocidad y, en consecuencia, su energía cinética. Esta fuerza reduce el desplazamiento de la carga. INCÓGNITA, la energía potencial de la carga disminuye, convirtiéndose en energía cinética. El sistema carga-resorte es cerrado, por lo que se conserva su energía total, es decir:

. (1.1.8)

En ese momento, la carga se encuentra en la posición de equilibrio (punto 2), su energía potencial es cero y su energía cinética es máxima. Velocidad máxima encontramos la carga a partir de la ley de conservación de la energía (1.1.8):

Debido a la reserva de energía cinética, la carga sí trabaja contra la fuerza elástica. – y pasa la posición de equilibrio. La energía cinética se convierte gradualmente en energía potencial. Cuando la carga tiene un desplazamiento negativo máximo – A, energía cinética semana=0, la carga se detiene y comienza a moverse a la posición de equilibrio bajo la acción de una fuerza elástica F= -kx. El movimiento adicional ocurre de manera similar.

Péndulos

Por péndulo queremos decir sólido, que oscila bajo la influencia de la gravedad. punto fijo o ejes. Hay péndulos físicos y matemáticos.

Un péndulo matemático es un sistema idealizado que consiste en un hilo ingrávido e inextensible del que se suspende una masa concentrada en un punto material.

Un péndulo matemático, por ejemplo, es una bola suspendida de un hilo largo y delgado.

La desviación del péndulo de la posición de equilibrio se caracteriza por el ángulo φ , que forma un hilo con una vertical (Fig. 1.15). Cuando el péndulo se desvía de la posición de equilibrio, se produce un momento de fuerzas externas (gravedad): , Dónde metro- peso, – longitud del péndulo

Este momento tiende a devolver el péndulo a la posición de equilibrio (similar a la fuerza cuasi elástica) y está dirigido en dirección opuesta al desplazamiento. φ , por lo que hay un signo menos en la fórmula.

La ecuación para la dinámica del movimiento de rotación de un péndulo tiene la forma: yoε=,

.

Consideraremos el caso de pequeñas oscilaciones, por lo tanto pecado φ ≈φ, denotar ,

tenemos: , o , y finalmente

Esta es la ecuación de vibraciones armónicas, su solución:

.

La frecuencia de oscilación de un péndulo matemático está determinada únicamente por su longitud y la aceleración de la gravedad, y no depende de la masa del péndulo. El período es:

Si un cuerpo oscilante no puede imaginarse como punto material, entonces el péndulo se llama físico (Fig. 1.1.6). Escribimos la ecuación de su movimiento en la forma:

.

En caso de pequeñas fluctuaciones , o =0 , donde . Esta es la ecuación de movimiento de un cuerpo que realiza oscilaciones armónicas. La frecuencia de oscilación de un péndulo físico depende de su masa, longitud y momento de inercia con respecto al eje que pasa por el punto de suspensión.

Denotemos. Magnitud se llama longitud reducida de un péndulo físico. Ésta es la longitud de un péndulo matemático cuyo período de oscilación coincide con el período de un péndulo físico determinado. Un punto en una línea recta que conecta el punto de suspensión con el centro de masa, que se encuentra a una distancia de una longitud determinada del eje de rotación, se llama centro de oscilación de un péndulo físico ( ACERCA DE'). Si el péndulo está suspendido en el centro de oscilación, entonces la longitud reducida y el período de oscilación serán los mismos que en el punto ACERCA DE. Así, el punto de suspensión y el centro de giro tienen propiedades de reciprocidad: cuando el punto de suspensión se transfiere al centro de giro, el punto de suspensión anterior se convierte en el nuevo centro de giro.

Un péndulo matemático que oscila con el mismo período que el físico considerado se llama isócrono a este péndulo físico.

1.1.4. Adición de oscilaciones (tiempos, figuras de Lissajous). Descripción vectorial de la suma de oscilaciones.

La suma de oscilaciones idénticamente dirigidas se puede realizar mediante el método diagramas vectoriales. Cualquier oscilación armónica se puede representar como un vector de la siguiente manera. Seleccionemos un eje incógnita con el punto de partida en el punto ACERCA DE(Figura 1.1.7)

desde el punto ACERCA DE construyamos un vector que forme un ángulo con eje incógnita. Deje que este vector gire con velocidad angular. Proyección de un vector sobre un eje incógnita es igual a:

es decir, realiza oscilaciones armónicas con una amplitud A.

Considere dos oscilaciones armónicas de la misma dirección y el mismo cíclico pequeño, dado por vectores Y . Desplazamientos de eje incógnita son iguales:

el vector resultante tiene una proyección y representa la oscilación resultante (Fig. 1.1.8), según el teorema del coseno. Así, la suma de oscilaciones armónicas se realiza mediante la suma de vectores.

Realicemos la suma de oscilaciones mutuamente perpendiculares. Dejemos que un punto material haga dos cosas mutuamente. vibraciones perpendiculares frecuencia:

.

El propio punto material se moverá a lo largo de una determinada trayectoria curvilínea.

De la ecuación de movimiento se sigue: ,

. (1.1.9)

De la ecuación (1.1.9) podemos obtener la ecuación de la elipse (Fig. 1.1.9):

Consideremos casos especiales de esta ecuación:

1. Diferencia de fase de oscilación α= 0. Al mismo tiempo aquellos. o Esta es la ecuación de una línea recta, y la oscilación resultante ocurre a lo largo de esta línea recta con amplitud (Fig. 1.1.10).a.

su aceleración es igual a la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo entonces la fuerza que actúa sobre el punto oscilante, según la segunda ley de Newton, es igual a

Es decir, la fuerza es proporcional al desplazamiento. incógnita y está dirigido contra el desplazamiento a la posición de equilibrio. Esta fuerza se llama fuerza restauradora. En el caso de una carga sobre un resorte, la fuerza restauradora es la fuerza elástica; en el caso de un péndulo matemático, es una componente de la fuerza de gravedad.

La fuerza restauradora en la naturaleza obedece a la ley de Hooke. F= -kx, Dónde

– coeficiente de fuerza restaurador. Entonces la energía potencial del punto oscilante es:

(la constante de integración se elige igual a cero, de modo que cuando INCÓGNITA).

OSCILADOR ANARMONICO

Consideremos un sencillo sistema fisico– un punto material capaz de oscilar sobre una superficie horizontal sin fricción bajo la influencia de la fuerza de Hooke (ver Fig. 2).

Si el desplazamiento de la carga es pequeño (mucho menor que la longitud del resorte no deformado) y la rigidez del resorte es igual a k, entonces la única fuerza que actúa sobre la carga es la fuerza de Hooke. Entonces la ecuación

El movimiento de la carga (Segunda Ley de Newton) tiene la forma.

Moviendo los términos al lado izquierdo de la igualdad y dividiéndolos por la masa del punto material (despreciamos la masa del resorte en comparación con m), obtenemos la ecuación de movimiento.

(*) ,

,

,

período de oscilación.

Luego, tomando la función

y habiéndolo diferenciado con respecto al tiempo, estamos convencidos, en primer lugar, de que la velocidad de movimiento de la carga es igual a

y en segundo lugar, después de repetidas diferenciaciones,

,

es decir, X(t) es realmente una solución a la ecuación de una carga sobre un resorte.

Tal sistema, en general cualquier sistema, mecánico, eléctrico u otro, que tenga una ecuación de movimiento (*), se llama oscilador armónico. Una función de tipo X(t) se llama ley de movimiento de un oscilador armónico, la cantidad
son llamados amplitud,cíclico o frecuencia natural,fase inicial. La frecuencia natural está determinada por los parámetros del oscilador, la amplitud y la fase inicial están especificadas por las condiciones iniciales.

La ley del movimiento X(t) representa oscilaciones libres. Estas oscilaciones se realizan mediante péndulos no amortiguados (matemáticos o físicos), corriente y voltaje en un circuito oscilatorio ideal y algunos otros sistemas.

Las oscilaciones armónicas pueden acumularse tanto en una como en diferentes direcciones. El resultado de la suma también es una oscilación armónica, por ejemplo,

.

Este es el principio de superposición (superposición) de vibraciones.

Los matemáticos han desarrollado una teoría de series de este tipo, que reciben el nombre de series de Fourier. También hay una serie de generalizaciones como las integrales de Fourier (las frecuencias pueden variar continuamente) e incluso las integrales de Laplace que funcionan con frecuencias complejas.

§15. Oscilador amortiguado. Vibraciones forzadas.

Real sistemas mecanicos Siempre tenga al menos un poco de fricción. El caso más sencillo es el de la fricción líquida o viscosa. Se trata de fricción, cuya magnitud es proporcional a la velocidad de movimiento del sistema (y, por supuesto, está dirigida en contra de la dirección del movimiento). Si el movimiento ocurre a lo largo del eje X, entonces la ecuación de movimiento se puede escribir (por ejemplo, para un peso sobre un resorte) en la forma

,

Dónde – coeficiente de fricción viscosa.

Esta ecuación de movimiento se puede transformar a la forma

.

Aquí
– coeficiente de atenuación, – sigue siendo la frecuencia natural del oscilador (que ya no se puede llamar armónico; es un oscilador amortiguado con fricción viscosa).

Los matemáticos pueden resolver este tipo de ecuaciones diferenciales. Se demostró que la solución es la función.

La última fórmula utiliza la siguiente notación: – amplitud inicial, frecuencia de oscilaciones débilmente amortiguadas
,
. Además, a menudo se utilizan otros parámetros que caracterizan la atenuación: disminución de la atenuación logarítmica
, tiempo de relajación del sistema
, factor de calidad del sistema
, donde el numerador es la energía almacenada por el sistema y el denominador es la pérdida de energía durante el período T.

En caso de fuerte atenuación
la solución tiene una forma aperiódica.

A menudo hay casos en los que, además de las fuerzas de fricción, actúa una fuerza externa sobre el oscilador. Entonces la ecuación de movimiento se reduce a la forma

,

la expresión de la derecha a menudo se llama fuerza reducida, la expresión misma
llama fuerza coercitiva. Para una fuerza impulsora arbitraria, no es posible encontrar una solución a la ecuación. Generalmente se considera una fuerza impulsora armónica del tipo
. Entonces la solución representa una parte amortiguada de tipo (**), que tiende a cero para tiempos largos, y oscilaciones constantes (forzadas).

Amplitud de oscilaciones forzadas.

,

y la fase de oscilaciones forzadas

.

Tenga en cuenta que a medida que la frecuencia natural se acerca a la frecuencia de la fuerza impulsora, la amplitud de las oscilaciones forzadas aumenta. Este fenómeno se conoce como resonancia. Si la amortiguación es grande, entonces el aumento resonante no es grande. Esta resonancia se llama "apagada". Con atenuaciones bajas, la amplitud de la resonancia "aguda" puede aumentar de manera bastante significativa. Si el sistema es ideal y no hay fricción en él, entonces la amplitud de las oscilaciones forzadas aumenta ilimitadamente.

Tenga en cuenta también que a la frecuencia de la fuerza motriz

Se alcanza el valor máximo de la amplitud de la fuerza motriz, igual a

.