1.21. 3OSCILACIONES FORZADAS Y AMORTIGUADAS

Ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas y su solución. Coeficiente de atenuación. Baraja logarítmicaTiempo de decaimiento.Factor de calidad de oscilaciónSistema corporal.Proceso aperiódico. Ecuación diferencial de oscilaciones forzadas y su solución.Amplitud y fase de oscilaciones forzadas. El proceso de establecimiento de oscilaciones. El caso de la resonancia.Autooscilaciones.

La amortiguación de oscilaciones es una disminución gradual de la amplitud de las oscilaciones a lo largo del tiempo, debido a la pérdida de energía por parte del sistema oscilatorio.

Las oscilaciones naturales sin amortiguación son una idealización. Las razones de la atenuación pueden ser diferentes. En un sistema mecánico, las vibraciones se amortiguan por la presencia de fricción. Cuando toda la energía almacenada en el sistema oscilatorio, las vibraciones cesarán. Por lo tanto la amplitud oscilaciones amortiguadas disminuye hasta convertirse en igual a cero.

Las oscilaciones amortiguadas, como las oscilaciones naturales, en sistemas de diferente naturaleza, pueden considerarse desde un único punto de vista: las características comunes. Sin embargo, características como la amplitud y el período requieren una redefinición, y otras requieren adiciones y aclaraciones en comparación con las mismas características para sus propias características. oscilaciones continuas. Señales generales y los conceptos de oscilaciones amortiguadas son los siguientes:

La ecuación diferencial debe obtenerse teniendo en cuenta la disminución durante el proceso de oscilación. energía vibratoria.

La ecuación de oscilación es una solución a una ecuación diferencial.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas depende del tiempo.

La frecuencia y el período dependen del grado de atenuación de las oscilaciones.

Fase y fase inicial tienen el mismo significado que para las oscilaciones continuas.

Mecánico oscilaciones amortiguadas.

Sistema mecánico : péndulo de resorte teniendo en cuenta las fuerzas de fricción.

Fuerzas que actúan sobre un péndulo. :

Fuerza elástica., donde k es el coeficiente de rigidez del resorte, x es el desplazamiento del péndulo desde la posición de equilibrio.

Fuerza de resistencia. Considere la fuerza de resistencia, proporcional a la velocidad v movimiento (esta dependencia es típica de una gran clase de fuerzas de resistencia): . El signo menos muestra que la dirección de la fuerza de resistencia es opuesta a la dirección de la velocidad del cuerpo. Coeficiente de resistencia r numéricamente igual a la fuerza resistencia que surge a una unidad de velocidad de movimiento corporal:

ley del movimiento péndulo de resorte: esta es la segunda ley de Newton:

metro a = F ex. + F resistencia

considerando que ambos , escribimos la segunda ley de Newton en la forma:

. (21.1)

Dividiendo todos los términos de la ecuación por m, moviéndolos todos a lado derecho, obtenemos ecuación diferencial oscilaciones amortiguadas:

Denotemos donde β – coeficiente de atenuación , , Dónde ω 0 – frecuencia de oscilaciones libres no amortiguadas en ausencia de pérdidas de energía en el sistema oscilatorio.

En la nueva notación, la ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas tiene la forma:

. (21.2)

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

Esta ecuación diferencial lineal se resuelve cambiando variables. Representemos la función x, dependiendo del tiempo t, en la forma:

Encontremos la primera y segunda derivada de esta función con respecto al tiempo, teniendo en cuenta que la función z también es función del tiempo:

, .

Sustituyamos las expresiones en la ecuación diferencial:

Presentemos términos similares en la ecuación y reduzcamos cada término en , obtenemos la ecuación:

Denotemos la cantidad .

Resolviendo la ecuación son las funciones , .

Volviendo a la variable x, obtenemos las fórmulas para las ecuaciones de oscilaciones amortiguadas:

De este modo , ecuación de oscilaciones amortiguadas es una solución a la ecuación diferencial (21.2):

Frecuencia amortiguada :

(por lo tanto, sólo la raíz real tiene significado físico).

Período de oscilaciones amortiguadas. :

(21.5)

El significado que se le dio al concepto de período para oscilaciones no amortiguadas no es adecuado para oscilaciones amortiguadas, ya que el sistema oscilatorio nunca regresa a su estado original debido a pérdidas de energía oscilatoria. En presencia de fricción, las vibraciones son más lentas: .

Período de oscilaciones amortiguadas. es el período mínimo de tiempo durante el cual el sistema pasa la posición de equilibrio dos veces en una dirección.

Para sistema mecánico péndulo de primavera tenemos:

, .

Amplitud de oscilaciones amortiguadas. :

Para un péndulo de resorte.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas no es un valor constante, sino que cambia con el tiempo, cuanto más rápido coeficiente más altoβ. Por lo tanto, la definición de amplitud dada anteriormente para oscilaciones libres no amortiguadas debe cambiarse para oscilaciones amortiguadas.

Para pequeñas atenuaciones amplitud de oscilaciones amortiguadas Se llama la mayor desviación de la posición de equilibrio durante un período.

Gráficos Los gráficos de desplazamiento versus tiempo y amplitud versus tiempo se presentan en las Figuras 21.1 y 21.2.

Figura 21.1 – Dependencia del desplazamiento en el tiempo para oscilaciones amortiguadas.

Figura 21.2 – Dependencia de la amplitud con el tiempo para oscilaciones amortiguadas

Características de las oscilaciones amortiguadas.

1. Coeficiente de atenuación β .

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas cambia según una ley exponencial:

Deje que la amplitud de la oscilación disminuya “e” veces durante el tiempo τ (“e” es la base del logaritmo natural, e ≈ 2,718). Entonces, por un lado, , y por otro lado, habiendo descrito las amplitudes Azat. (t) y Azat. (t+τ), tenemos . De estas relaciones se deduce que βτ = 1, por lo tanto .

Intervalo de tiempo τ , durante el cual la amplitud disminuye “e” veces, se llama tiempo de relajación.

Coeficiente de atenuación β – una cantidad inversamente proporcional al tiempo de relajación.

2. Decremento de amortiguación logarítmica δ - cantidad física, numéricamente igual logaritmo natural la relación de dos amplitudes sucesivas separadas en el tiempo por un período.

Si la atenuación es pequeña, es decir el valor de β es pequeño, entonces la amplitud cambia ligeramente durante el período y el decremento logarítmico se puede definir de la siguiente manera:

¿Dónde está Azat? (t) y Azat. (t+NT) – amplitudes de oscilaciones en el tiempo e y después de N períodos, es decir, en el tiempo (t + NT).

3. Factor de calidad q sistema oscilatorio – cantidad física adimensional, igual al producto el valor (2π) ν es la relación entre la energía W(t) del sistema en un momento arbitrario y la pérdida de energía durante un período de oscilaciones amortiguadas:

Como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces

Para valores pequeños del decremento logarítmico δ, el factor de calidad del sistema oscilatorio es igual a

donde N e es el número de oscilaciones durante las cuales la amplitud disminuye “e” veces.

Por tanto, el factor de calidad de un péndulo de resorte es: cuanto mayor sea el factor de calidad del sistema oscilatorio, menor será la atenuación y más durará el proceso periódico en dicho sistema. Factor de calidad del sistema oscilatorio - una cantidad adimensional que caracteriza la disipación de energía en el tiempo.

4. A medida que aumenta el coeficiente β, la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas disminuye y el período aumenta. En ω 0 = β, la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas se vuelve igual a cero ω zat. = 0, y Tzat. = ∞. En este caso, las oscilaciones pierden su carácter periódico y se denominan

aperiódico. En ω 0 = β, los parámetros del sistema responsables de la disminución de la energía vibratoria toman valores llamados . crítico Para un péndulo de resorte, la condición ω 0 = β se escribirá de la siguiente manera: de donde encontramos la cantidad

coeficiente de resistencia crítica:

Arroz. 21.3. Dependencia de la amplitud de las oscilaciones aperiódicas con el tiempo.

Vibraciones forzadas.

Consideremos el fenómeno de las oscilaciones si el exterior (forzando) la fuerza cambia con el tiempo ley armónica. En este caso, surgirán oscilaciones en los sistemas, cuya naturaleza, en un grado u otro, repetirá la naturaleza de la fuerza motriz. Estas oscilaciones se llaman forzado .

Signos generales de vibraciones mecánicas forzadas.

1. Considera forzado vibraciones mecánicas péndulo de resorte, sobre el que actúa un elemento externo. (convincente ) fuerza periódica . Las fuerzas que actúan sobre el péndulo, una vez retirado de su posición de equilibrio, se desarrollan en el propio sistema oscilatorio. Estas son la fuerza elástica y la fuerza de resistencia.

ley del movimiento (Segunda ley de Newton) se escribirá de la siguiente manera:

(21.6)

Dividamos ambos lados de la ecuación por m, tengamos en cuenta que y obtenemos ecuación diferencial oscilaciones forzadas:

Denotemos ( β – coeficiente de atenuación ), (ω 0 – frecuencia de oscilaciones libres no amortiguadas), fuerza que actúa sobre una unidad de masa. En estas notaciones ecuación diferencial Las oscilaciones forzadas tomarán la forma:

(21.7)

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden con un lado derecho distinto de cero. La solución de tal ecuación es la suma de dos soluciones.

– la solución general de una ecuación diferencial homogénea, es decir ecuación diferencial sin el lado derecho cuando es igual a cero. Conocemos tal solución: esta es la ecuación de oscilaciones amortiguadas, escrita con una precisión de una constante, cuyo valor está determinado por las condiciones iniciales del sistema oscilatorio:

Dónde .

Anteriormente comentamos que la solución se puede escribir en términos de funciones seno.

Si consideramos el proceso de oscilación de un péndulo a través de una trayectoria suficientemente brecha grande tiempo Δt después de activar la fuerza motriz (Figura 21.2), las oscilaciones amortiguadas en el sistema prácticamente se detendrán. Y entonces la solución a la ecuación diferencial del lado derecho será la solución.

La solución es una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea, es decir ecuaciones con el lado derecho. De la teoría ecuaciones diferenciales Se sabe que variando el lado derecho según la ley armónica, la solución será función armónica(sen o cos) con una frecuencia de cambio correspondiente a la frecuencia Ω de cambio del lado derecho:

donde A ampl. – amplitud de oscilaciones forzadas, φ 0 – cambio de fase , aquellos. la diferencia de fase entre la fase de fuerza motriz y la fase de oscilación forzada. Y amplitud A ampl. , y el cambio de fase φ 0 dependen de los parámetros del sistema (β, ω 0) y de la frecuencia de la fuerza impulsora Ω.

Período de oscilaciones forzadas. es igual (21.9)

Gráfico de vibraciones forzadas en la Figura 4.1.

Fig.21.3. Gráfico de oscilación forzada

Las oscilaciones forzadas en estado estacionario también son armónicas.

Dependencias de la amplitud de las oscilaciones forzadas y el cambio de fase de la frecuencia de la influencia externa. Resonancia.

1. Volvamos al sistema mecánico de un péndulo de resorte, sobre el que actúa una fuerza externa que varía según una ley armónica. Para tal sistema, la ecuación diferencial y su solución, respectivamente, tienen la forma:

, .

Analicemos la dependencia de la amplitud de oscilación y el cambio de fase de la frecuencia de la fuerza impulsora externa; para ello, encontraremos la primera y segunda derivadas de x y las sustituiremos en la ecuación diferencial.

Usemos el método del diagrama vectorial. La ecuación muestra que la suma de las tres vibraciones del lado izquierdo de la ecuación (Figura 4.1) debe ser igual a la vibración del lado derecho. El diagrama vectorial está elaborado para un momento arbitrario de tiempo t. A partir de ahí puedes determinar.

Figura 21.4.

, (21.10)

. (21.11)

Teniendo en cuenta el valor de , , obtenemos fórmulas para φ 0 y A ampl. sistema mecánico:

2. Estudiamos la dependencia de la amplitud de las oscilaciones forzadas de la frecuencia de la fuerza impulsora y la magnitud de la fuerza de resistencia en un sistema mecánico oscilante, utilizando estos datos construimos un gráfico. . Los resultados del estudio se reflejan en la Figura 21.5, que muestra que a una determinada frecuencia de la fuerza motriz la amplitud de las oscilaciones aumenta bruscamente. Y este aumento es mayor cuanto menor es el coeficiente de atenuación β. Cuando la amplitud de las oscilaciones se vuelve infinitamente grande.

El fenómeno de un fuerte aumento de la amplitud. oscilaciones forzadas a una frecuencia de fuerza impulsora igual a , se llama resonancia.

(21.12)

Las curvas de la figura 21.5 reflejan la relación y se llaman curvas de resonancia de amplitud .

Figura 21.5 – Gráficos de la dependencia de la amplitud de las oscilaciones forzadas de la frecuencia de la fuerza impulsora.

La amplitud de las oscilaciones resonantes tomará la forma:

Las vibraciones forzadas son sin amortiguar fluctuaciones. Las inevitables pérdidas de energía debidas a la fricción se compensan mediante el suministro de energía de una fuente externa de fuerza que actúa periódicamente. Hay sistemas en los que las oscilaciones no amortiguadas surgen no debido a influencias externas periódicas, sino como resultado de la capacidad de dichos sistemas para regular el suministro de energía de una fuente constante. Este tipo de sistemas se denominan autooscilante, y el proceso de oscilaciones no amortiguadas en tales sistemas es autooscilaciones.

En un sistema autooscilante se pueden distinguir tres elementos característicos: un sistema oscilatorio, una fuente de energía y un dispositivo de retroalimentación entre el sistema oscilatorio y la fuente. Como sistema oscilatorio se puede utilizar cualquier sistema mecánico capaz de realizar sus propias oscilaciones amortiguadas (por ejemplo, el péndulo de un reloj de pared).

La fuente de energía puede ser la energía de deformación de un resorte o la energía potencial de una carga en un campo gravitacional. Un dispositivo de retroalimentación es un mecanismo mediante el cual un sistema autooscilante regula el flujo de energía de una fuente. En la Fig. La figura 21.6 muestra un diagrama de la interacción de varios elementos de un sistema autooscilante.

Un ejemplo de un sistema mecánico autooscilante es un mecanismo de reloj con ancla progreso (Fig. 21.7.). La rueda dentada con dientes oblicuos está rígidamente unida a un tambor dentado, a través del cual se lanza una cadena con un peso. En el extremo superior del péndulo hay un ancla (ancla) con dos placas de material duro, dobladas a lo largo de un arco circular con el centro en el eje del péndulo. En los relojes de mano, el peso se reemplaza por un resorte y el péndulo se reemplaza por un equilibrador, un volante conectado a un resorte en espiral.

Figura 21.7. Mecanismo de reloj con péndulo.

El equilibrador realiza vibraciones de torsión alrededor de su eje. El sistema oscilatorio de un reloj es un péndulo o equilibrador. La fuente de energía es un peso elevado o un resorte enrollado. El dispositivo con el que se realiza. Comentario, es un ancla que permite que la rueda gire un diente en medio ciclo.

La retroalimentación la proporciona la interacción del ancla con la rueda. Con cada oscilación del péndulo, un diente de la rueda empuja la horquilla del ancla en la dirección del movimiento del péndulo, transfiriéndole una cierta porción de energía, que compensa las pérdidas de energía debidas a la fricción. Así, la energía potencial del peso (o resorte torcido) se transfiere gradualmente, en porciones separadas, al péndulo.

Los sistemas mecánicos autooscilantes están muy extendidos en la vida que nos rodea y en la tecnología. Las autooscilaciones se producen en máquinas de vapor, motores de combustión interna, campanas eléctricas, cuerdas de instrumentos musicales de arco, columnas de aire en los tubos de instrumentos de viento, cuerdas vocales al hablar o cantar, etc.

Ahora queremos hablar un poco sobre cómo se comportan las amplitudes de probabilidad a lo largo del tiempo. Decimos “un poco” porque, de hecho, el comportamiento en el tiempo incluye necesariamente el comportamiento en el espacio. Esto significa que si queremos describir el comportamiento con toda corrección y detalle, inmediatamente nos encontramos en una situación muy situación difícil. Ante nosotros surge nuestra dificultad habitual: estudiar algo de forma estrictamente lógica, pero absolutamente abstracta, o no pensar en el rigor, sino dar una idea del verdadero estado de las cosas, posponiendo un estudio más completo para más adelante. Ahora, hablando de la dependencia de las amplitudes de la energía, pretendemos elegir el segundo método. Se harán varias declaraciones. No intentaremos ser demasiado rigurosos aquí, simplemente le diremos lo que se ha encontrado para que pueda tener una idea de cómo se comportan las amplitudes a lo largo del tiempo. A medida que avance nuestra presentación, la precisión de la descripción aumentará, así que no se ponga nervioso al ver a un mago sacar cosas de la nada. Realmente surgen de algo intangible: del espíritu de experimentación y de la imaginación de muchas personas. Pero pasa por todas las etapas. desarrollo historico El tema es muy largo y simplemente habrá que saltarse algunas cosas. Podrías sumergirte en abstracciones y deducirlo todo estrictamente (pero difícilmente entenderías esto) o realizar muchos experimentos, confirmando con ellos cada una de tus afirmaciones. Elegiremos algo intermedio.

Un solo electrón en el espacio vacío puede, bajo ciertas condiciones, tener una energía muy específica. Por ejemplo, si está en reposo (es decir, no tiene desplazamiento, ni impulso, ni energía cinética), entonces tiene energía en reposo. Un objeto más complejo, por ejemplo un átomo, también puede tener cierta energía en reposo, pero también puede estar excitado internamente, es decir, excitado a un nivel de energía diferente. (Describiremos el mecanismo de esto más adelante). A menudo tenemos razón al suponer que un átomo en un estado excitado tiene cierta energía; sin embargo, en realidad esto sólo es cierto aproximadamente. El átomo no permanece excitado para siempre porque siempre busca descargar su energía interactuando con campo electromagnetico. Por lo tanto, siempre hay cierta amplitud para que surja un nuevo estado, con el átomo en un estado de excitación más bajo y el campo electromagnético en uno más alto. La energía total del sistema tanto antes como después es la misma, pero la energía del átomo disminuye. Por tanto, no es muy preciso decir que un átomo excitado tiene cierta energía; pero muchas veces conviene decirlo y no está muy equivocado.

[Por cierto, ¿por qué todo fluye en una dirección y no en otra? ¿Por qué un átomo emite luz? La respuesta tiene que ver con la entropía. Cuando la energía está en un campo electromagnético, se abren muchas cosas ante ella. diferentes caminos- hay tantos lugares diferentes donde puede llegar - que, buscando la condición de equilibrio, estamos convencidos de que en la posición más probable el campo resulta estar excitado por un fotón y el átomo no está excitado. Y el fotón tarda mucho tiempo en regresar y descubrir que puede excitar al átomo. Esto es completamente análogo al problema clásico: ¿por qué irradia una carga acelerada? No porque “quiera” perder energía, no, porque de hecho, cuando irradia, la energía del mundo sigue siendo la misma que antes. Es sólo que la emisión o la absorción siempre van en la dirección de aumentar la entropía.]

Los núcleos también pueden existir en diferentes niveles de energía, y en la aproximación cuando descuidan efectos electromagnéticos, tenemos derecho a decir que el núcleo en estado excitado permanece así. Si bien sabemos que no seguirá así para siempre, a menudo es útil comenzar con una aproximación algo idealizada que sea más fácil de ver. Además, en algunas circunstancias se trata de una aproximación jurídica. (Cuando introdujimos por primera vez las leyes clásicas de la caída de los cuerpos, no tomamos en cuenta la fricción, pero casi nunca sucede que no haya fricción alguna).

Además, también hay “partículas extrañas” con diferentes masas. Pero los más masivos se desintegran en otros más ligeros, por lo que nuevamente sería erróneo decir que su energía está determinada con precisión. Esto sería cierto si duraran para siempre. Entonces, cuando aproximadamente consideramos que tienen cierta energía, olvidamos que deben descomponerse. Pero ahora nos olvidaremos deliberadamente de tales procesos y luego, con el tiempo, aprenderemos a tenerlos en cuenta.

Sea un átomo (o un electrón, o cualquier partícula) que tenga cierta energía en reposo. Por energía nos referimos a la masa de ella en todo momento. La masa incluye cualquier energía interna; por tanto, la masa del átomo excitado difiere de la masa del mismo átomo, pero en el estado fundamental. (El estado fundamental significa el estado con la energía más baja). Llamémoslo "energía en reposo".

Para un átomo en reposo, la amplitud de la mecánica cuántica para detectarlo en algún lugar es la misma en todas partes; no depende de la posición. Esto, por supuesto, significa que la probabilidad de encontrar un átomo en cualquier lugar es la misma. Pero significa aún más. La probabilidad no podría depender de la posición y la fase de la amplitud aún podría variar de un punto a otro. Pero para una partícula en reposo, la amplitud total es la misma en todas partes. Sin embargo, depende del tiempo. Para una partícula en un estado de cierta energía, la amplitud para detectar la partícula en un punto en un instante es igual a

donde hay alguna constante. La amplitud de estar en tal o cual punto del espacio es la misma para todos los puntos, pero depende del tiempo según (5.1). Simplemente asumiremos que esta regla es siempre cierta.

Por supuesto, puedes escribir (5.1) así:

a es la masa en reposo de un estado atómico o partícula. Hay tres formas diferentes de determinar la energía: por frecuencia de amplitud, por energía en sentido clásico o sino masa inerte. Todos son iguales; es sencillo diferentes caminos expresar lo mismo.

Puede que le parezca extraño imaginar una “partícula” con las mismas amplitudes en cualquier lugar del espacio. Al fin y al cabo, entre otras cosas, siempre imaginamos una “partícula” como un pequeño objeto situado “en algún lugar”. Pero no olvide el principio de incertidumbre. Si una partícula tiene cierta energía, entonces también tiene un cierto impulso. Si la incertidumbre en el momento es cero, entonces la relación de incertidumbre dice que la incertidumbre en la posición debe ser infinita; Esto es exactamente lo que decimos cuando decimos que existe la misma amplitud para detectar una partícula en todos los puntos del espacio.

Si las partes internas del átomo están en un estado diferente con una energía total diferente, entonces la amplitud cambia de manera diferente con el tiempo. Y si no sabes en qué estado se encuentra el átomo, entonces habrá una cierta amplitud de ser en un estado y una cierta amplitud de ser en otro, y cada una de estas amplitudes tendrá su propia frecuencia. Entre estos dos componentes diferentes habrá interferencias como latidos, que pueden aparecer como una probabilidad variable. Habrá algo "cocinándose" dentro del átomo, incluso si está "en reposo" en el sentido de que su centro de masa no se moverá. Si el átomo tiene solo una energía específica, entonces la amplitud viene dada por la fórmula (5.1) y el cuadrado del módulo de amplitud no depende del tiempo. Por lo tanto, ves que si se determina la energía de una cosa y si haces una encuesta sobre la probabilidad de que haya algo en esa cosa, entonces la respuesta no depende del tiempo. Aunque las amplitudes en sí dependen del tiempo, si la energía es cierta, cambian como una exponencial imaginaria y su valor absoluto (módulo) no cambia.

Esta es la razón por la que a menudo decimos que un átomo en un cierto nivel de energía está en estado estacionario. Si mide algo en su interior, encontrará que nada (probablemente) cambia con el tiempo. Para que la probabilidad varíe en el tiempo tendría que haber interferencia entre dos amplitudes en dos frecuencias diferentes, lo que significaría que no se sabe cuál es la energía. Un objeto tendría una amplitud de estar en un estado con una energía y otra amplitud de estar en un estado de otra energía. Así describe la mecánica cuántica algo cuando el comportamiento de ese “algo” depende del tiempo.

Si hay un caso en el que dos se mezclan varios estados Con diferentes energías, entonces las amplitudes de cada uno de los dos estados cambian con el tiempo según la ecuación (5.2), digamos, como

Y si hay una combinación de estos dos estados, entonces aparecerán interferencias. Pero observe que sumar la misma constante a ambas energías no cambia nada. Si alguien más usara una escala de energía diferente, en la que todas las energías se desplazan en una constante (digamos, en ), entonces las amplitudes que aparecerían en estos dos estados, desde su punto de vista, serían

Todas sus amplitudes se multiplicarían por el mismo factor. , y en todas las combinaciones lineales, todas las interferencias tendrían el mismo factor. Calculando los módulos para determinar las probabilidades, llegaría a las mismas respuestas. Elegir un punto de referencia en nuestra escala energética no cambia nada; La energía se puede contar desde cualquier cero. Para problemas relativistas es más conveniente medir la energía de modo que la masa en reposo esté incluida en ella, pero para muchos otros propósitos no relativistas suele ser mejor restar una cantidad estándar de todas las energías que aparecen. Por ejemplo, en el caso de un átomo, suele ser conveniente restarle la energía, donde está la masa de sus partes individuales, el núcleo y los electrones, que, por supuesto, difiere de la masa del propio átomo. En otros problemas, es útil restar el número de todas las energías, donde está la masa de todo el átomo en el estado fundamental; entonces la energía restante es simplemente la energía de excitación del átomo. Esto significa que tenemos derecho a cambiar nuestra energía a cero muy, muy fuertemente, pero esto aún no cambia nada (siempre que todas las energías en este cálculo particular se desplacen en el mismo número). Con esto nos desprenderemos de las partículas en reposo.

Cualquier movimiento que se repita periódicamente se llama oscilatorio. Por lo tanto, las dependencias de las coordenadas y la velocidad de un cuerpo con el tiempo durante las oscilaciones se describen mediante funciones periódicas del tiempo. EN curso escolar Los físicos consideran vibraciones en las que las dependencias y velocidades del cuerpo son funciones trigonométricas. , o una combinación de los mismos, donde es un número determinado. Tales oscilaciones se llaman armónicas (funciones Y a menudo llamadas funciones armónicas). Para solucionar los problemas de vibraciones incluidos en el programa de un solo examen de Estado En física, es necesario conocer las definiciones de las principales características del movimiento oscilatorio: amplitud, período, frecuencia, frecuencia circular (o cíclica) y fase de oscilación. Demos estas definiciones y conectemos las cantidades enumeradas con los parámetros de la dependencia de las coordenadas del cuerpo con el tiempo, que en el caso de oscilaciones armónicas siempre se pueden representar en la forma

donde y son algunos números.

La amplitud de las oscilaciones es la desviación máxima de un cuerpo oscilante de su posición de equilibrio. Desde el máximo y valor mínimo el coseno en (11.1) es igual a ±1, entonces la amplitud de las oscilaciones del cuerpo que oscila (11.1) es igual a . El período de oscilación es el tiempo mínimo tras el cual se repite el movimiento de un cuerpo. Para la dependencia (11.1), el plazo se puede fijar a partir de las siguientes consideraciones. coseno - función periódica con punto. Por tanto, el movimiento se repite completamente a través de un valor tal que . De aquí obtenemos

La frecuencia circular (o cíclica) de las oscilaciones es el número de oscilaciones realizadas por unidad de tiempo. De la fórmula (11.3) concluimos que la frecuencia circular es la cantidad de la fórmula (11.1).

La fase de oscilación es el argumento de una función trigonométrica que describe la dependencia de la coordenada con el tiempo. De la fórmula (11.1) vemos que la fase de oscilaciones del cuerpo, cuyo movimiento se describe por la dependencia (11.1), es igual a . El valor de la fase de oscilación en el tiempo = 0 se llama fase inicial. Por dependencia (11.1) fase inicial oscilaciones es igual a . Evidentemente, la fase inicial de las oscilaciones depende de la elección del punto de referencia temporal (momento = 0), que siempre es condicional. Al cambiar el origen del tiempo, la fase inicial de las oscilaciones siempre se puede "hacer" igual a cero, y el seno en la fórmula (11.1) se puede "convertir" en un coseno o viceversa.

El programa del examen estatal unificado también incluye el conocimiento de fórmulas para la frecuencia de oscilaciones de resortes y péndulos matemáticos. Un péndulo de resorte es un cuerpo que puede oscilar sobre una superficie lisa. superficie horizontal bajo la acción de un resorte, cuyo segundo extremo está fijo (figura de la izquierda). Un péndulo matemático se llama cuerpo masivo, cuyas dimensiones pueden despreciarse, oscilando sobre un hilo largo, ingrávido e inextensible (figura de la derecha). El nombre de este sistema – “péndulo matemático” – se debe a que representa un matemático modelo de real ( físico) péndulo. Es necesario recordar las fórmulas para el período (o frecuencia) de oscilaciones de resortes y péndulos matemáticos. Para un péndulo de primavera

donde es la longitud del hilo, es la aceleración caida libre. Consideremos la aplicación de estas definiciones y leyes usando el ejemplo de resolución de problemas.

Para encontrar la frecuencia cíclica de las oscilaciones de la carga en tarea 11.1.1 Primero encontremos el período de oscilación y luego usemos la fórmula (11.2). Dado que 10 m 28 s son 628 s, y durante este tiempo la carga oscila 100 veces, el período de oscilación de la carga es 6,28 s. Por lo tanto, la frecuencia cíclica de las oscilaciones es 1 s -1 (respuesta 2 ). EN problema 11.1.2 la carga realizó 60 oscilaciones en 600 s, por lo que la frecuencia de oscilación es 0,1 s -1 (respuesta 1 ).

Para entender cual el camino pasará carga por 2,5 períodos ( problema 11.1.3), sigamos su movimiento. Después de un período, la carga regresará al punto de máxima deflexión, completando una oscilación completa. Por lo tanto, durante este tiempo la carga recorrerá la distancia, igual a cuatro amplitudes: a la posición de equilibrio - una amplitud, desde la posición de equilibrio hasta el punto de máxima desviación en la otra dirección - la segunda, de regreso a la posición de equilibrio - la tercera, desde la posición de equilibrio al punto de partida - el cuarto. Durante el segundo período, la carga volverá a pasar de cuatro amplitudes, y durante la mitad restante del período, dos amplitudes. Por tanto, la distancia recorrida es igual a diez amplitudes (respuesta 4 ).

La cantidad de movimiento del cuerpo es la distancia desde punto de partida al definitivo. Más de 2,5 períodos en tarea 11.1.4 el cuerpo tendrá tiempo de completar dos oscilaciones completas y media, es decir estará en la desviación máxima, pero en el otro lado de la posición de equilibrio. Por lo tanto, la magnitud del desplazamiento es igual a dos amplitudes (respuesta 3 ).

Por definición, la fase de oscilación es el argumento de una función trigonométrica que describe la dependencia de las coordenadas de un cuerpo oscilante con el tiempo. Por lo tanto la respuesta correcta es problema 11.1.5 - 3 .

Un período es el tiempo de oscilación completa. Esto significa que el regreso de un cuerpo al mismo punto desde el que comenzó a moverse no significa que haya transcurrido un período: el cuerpo debe regresar al mismo punto con la misma velocidad. Por ejemplo, un cuerpo que ha iniciado oscilaciones desde una posición de equilibrio tendrá tiempo de desviarse un máximo en una dirección, regresar, desviarse un máximo en la otra dirección y regresar nuevamente. Por lo tanto, durante el período el cuerpo tendrá tiempo de desviarse dos veces la cantidad máxima de la posición de equilibrio y regresar. En consecuencia, el paso desde la posición de equilibrio al punto de máxima desviación ( problema 11.1.6) el cuerpo pasa una cuarta parte del período (respuesta 3 ).

Las oscilaciones armónicas son aquellas en las que la dependencia de las coordenadas del cuerpo oscilante con el tiempo se describe mediante una función trigonométrica (seno o coseno) del tiempo. EN tarea 11.1.7 estas son las funciones y , a pesar de que los parámetros incluidos en ellas se designan como 2 y 2 . La función es una función trigonométrica del cuadrado del tiempo. Por tanto, sólo las vibraciones de cantidades y son armónicas (respuesta 4 ).

Durante las vibraciones armónicas, la velocidad del cuerpo cambia según la ley. , donde es la amplitud de las oscilaciones de velocidad (el punto de referencia temporal se elige de modo que la fase inicial de las oscilaciones sea igual a cero). De aquí encontramos la dependencia. energía cinética cuerpos de vez en cuando
(problema 11.1.8). Usando más conocidos fórmula trigonométrica, obtenemos

De esta fórmula se deduce que la energía cinética de un cuerpo cambia durante las vibraciones armónicas también según la ley armónica, pero con el doble de frecuencia (respuesta 2 ).

Detrás de la relación entre la energía cinética de la carga y la energía potencial del resorte ( problema 11.1.9) es fácil de seguir a partir de las siguientes consideraciones. Cuando el cuerpo se desvía al máximo de la posición de equilibrio, la velocidad del cuerpo es cero y, por lo tanto, la energía potencial del resorte es mayor que la energía cinética de la carga. Por el contrario, cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio, la energía potencial del resorte es cero y, por tanto, la energía cinética es mayor que la energía potencial. Por tanto, entre el paso de la posición de equilibrio y la deflexión máxima, se comparan una vez las energías cinética y potencial. Y dado que durante un período el cuerpo pasa cuatro veces desde la posición de equilibrio hasta la deflexión máxima o hacia atrás, durante el período la energía cinética de la carga y la energía potencial del resorte se comparan entre sí cuatro veces (respuesta 2 ).

Amplitud de las fluctuaciones de velocidad ( tarea 11.1.10) es más fácil de encontrar utilizando la ley de conservación de la energía. En el punto de máxima desviación, la energía del sistema oscilatorio es igual a energía potencial muelles , donde es el coeficiente de rigidez del resorte, es la amplitud de vibración. Al pasar por la posición de equilibrio, la energía del cuerpo es igual a la energía cinética. , donde es la masa del cuerpo, es la velocidad del cuerpo al pasar por la posición de equilibrio, que es velocidad máxima cuerpo en el proceso de oscilación y, por lo tanto, representa la amplitud de las oscilaciones de velocidad. Al equiparar estas energías, encontramos

(respuesta 4 ).

De la fórmula (11.5) concluimos ( problema 11.2.2), que su período no depende de la masa de un péndulo matemático, y con un aumento de longitud 4 veces, el período de oscilaciones aumenta 2 veces (respuesta 1 ).

El reloj es proceso oscilatorio, que se utiliza para medir intervalos de tiempo ( problema 11.2.3). Las palabras "el reloj tiene prisa" significan que el período de este proceso es menor de lo que debería ser. Por tanto, para aclarar el avance de estos relojes, es necesario aumentar el período del proceso. Según la fórmula (11.5), para aumentar el período de oscilación de un péndulo matemático, es necesario aumentar su longitud (respuesta 3 ).

Para encontrar la amplitud de las oscilaciones en problema 11.2.4, es necesario representar la dependencia de las coordenadas del cuerpo con el tiempo en forma de una única función trigonométrica. Para la función dada en la condición, esto se puede hacer usando la introducción ángulo adicional. Multiplicando y dividiendo esta función por y usando la fórmula de la suma funciones trigonométricas, obtenemos

¿Dónde está el ángulo tal que . De esta fórmula se deduce que la amplitud de las oscilaciones del cuerpo es (respuesta 4 ).

Características de oscilación

Fase Determina el estado del sistema, es decir, coordenadas, velocidad, aceleración, energía, etc.

Frecuencia cíclica caracteriza la tasa de cambio en la fase de oscilaciones.

El estado inicial del sistema oscilatorio se caracteriza por fase inicial

Amplitud de oscilación A- este es el mayor desplazamiento desde la posición de equilibrio

Período T- este es el período de tiempo durante el cual el punto realiza una oscilación completa.

Frecuencia de oscilación es el número de oscilaciones completas por unidad de tiempo t.

La frecuencia, la frecuencia cíclica y el período de oscilación están relacionados como

Tipos de vibraciones

Las oscilaciones que ocurren en sistemas cerrados se llaman gratis o propio fluctuaciones. Las oscilaciones que ocurren bajo la influencia de fuerzas externas se llaman forzado. También hay autooscilaciones(forzado automáticamente).

Si consideramos las oscilaciones según características cambiantes (amplitud, frecuencia, período, etc.), entonces se pueden dividir en armónico, desvanecimiento, creciente(así como diente de sierra, rectangular, complejo).

Con vibraciones libres en sistemas reales Siempre se produce pérdida de energía. La energía mecánica se gasta, por ejemplo, en realizar trabajos para superar las fuerzas de resistencia del aire. Bajo la influencia de la fricción, la amplitud de las oscilaciones disminuye y, después de un tiempo, las oscilaciones se detienen. Obviamente, ¿qué más poder Cuanto mayor sea la resistencia al movimiento, más rápido se detendrán las vibraciones.

Vibraciones forzadas. Resonancia

Vibraciones forzadas no están amortiguados. Por lo tanto, es necesario reponer las pérdidas de energía para cada período de oscilación. Para hacer esto, es necesario influir en el cuerpo oscilante con una fuerza que cambia periódicamente. Las vibraciones forzadas ocurren con una frecuencia igual a la frecuencia de los cambios en la fuerza externa.

Vibraciones forzadas

La amplitud de las vibraciones mecánicas forzadas alcanza valor más alto en el caso de que la frecuencia de la fuerza motriz coincida con la frecuencia del sistema oscilatorio. Este fenómeno se llama resonancia.

Por ejemplo, si tiramos periódicamente del cordón al compás de sus propias vibraciones, notaremos un aumento en la amplitud de sus vibraciones.

Si mueve un dedo mojado a lo largo del borde de un vaso, el vaso emitirá un sonido de timbre. Aunque no se nota, el dedo se mueve de forma intermitente y transfiere energía al cristal en ráfagas cortas, haciendo que el cristal vibre.

Las paredes del vaso también empiezan a vibrar si lo apuntas. onda de sonido con una frecuencia igual a la suya. Si la amplitud es muy grande, el cristal puede incluso romperse. Debido a la resonancia, cuando F.I. Chaliapin cantaba, los colgantes de cristal de los candelabros temblaban (resonaban). La aparición de resonancias también se puede observar en el baño. Si cantas suavemente sonidos de diferentes frecuencias, surgirá una resonancia en una de las frecuencias.

EN instrumentos musicales el papel de los resonadores lo desempeñan partes de sus carcasas. Una persona también tiene su propio resonador: esta es la cavidad bucal, que amplifica los sonidos producidos.

En la práctica hay que tener en cuenta el fenómeno de la resonancia. En algunos casos puede resultar útil, en otros puede resultar perjudicial. Fenómenos de resonancia puede causar daños irreversibles en varios sistemas mecánicos, por ejemplo, puentes mal diseñados. Así, en 1905, el Puente Egipcio en San Petersburgo se derrumbó mientras un escuadrón de caballos lo cruzaba, y en 1940, el Puente de Tacoma en Estados Unidos se derrumbó.

El fenómeno de la resonancia se utiliza cuando, con la ayuda de una pequeña fuerza, es necesario obtener un gran aumento en la amplitud de las vibraciones. Por ejemplo, lenguaje pesado. gran campana Se puede balancear usando una fuerza relativamente pequeña con una frecuencia igual a la frecuencia natural de la campana.

VIBRACIONES ARMÓNICAS

Pruebas en línea

Oscilación armónica

Ecuación de vibración armónica.

La ecuación de oscilación armónica establece la dependencia de las coordenadas del cuerpo con el tiempo.

La gráfica del coseno en el momento inicial tiene un valor máximo y la gráfica del seno tiene un valor cero en el momento inicial. Si comenzamos a examinar la oscilación desde la posición de equilibrio, entonces la oscilación repetirá una sinusoide. Si comenzamos a considerar la oscilación desde la posición de máxima desviación, entonces la oscilación se describirá mediante un coseno. O tal oscilación puede describirse mediante la fórmula del seno con una fase inicial.

Cambio de velocidad y aceleración durante la oscilación armónica.

No sólo las coordenadas del cuerpo cambian con el tiempo según la ley del seno o el coseno. Pero cantidades como la fuerza, la velocidad y la aceleración también cambian de manera similar. La fuerza y la aceleración son máximas cuando el cuerpo oscilante está en posiciones extremas, donde el desplazamiento es máximo, y son iguales a cero cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio. La velocidad, por el contrario, en posiciones extremas es cero, y cuando el cuerpo pasa por la posición de equilibrio alcanza su valor máximo.

Si la oscilación se describe por la ley del coseno.

Si la oscilación se describe según la ley del seno.

Valores máximos de velocidad y aceleración.

Habiendo analizado las ecuaciones de dependencia v(t) y a(t), podemos suponer que valores máximos la velocidad y la aceleración se toman cuando el factor trigonométrico es 1 o -1. Determinado por la fórmula

Las fórmulas para la dependencia de la velocidad con el tiempo y la aceleración con el tiempo se pueden obtener matemáticamente conociendo la dependencia de la coordenada con el tiempo. Similar al movimiento uniformemente acelerado, la dependencia v(t) es la primera derivada de x(t). Y la dependencia a(t) es la segunda derivada de x(t).

PREFACIO.

En este desarrollo metodológico, las oscilaciones y las ondas son un área extremadamente amplia. fenomeno fisico. Las oscilaciones (en sistemas mecánicos y electromagnéticos), las ondas (elásticas y electromagnéticas) son material educativo, que es necesario para estudiar disciplinas técnicas especiales en una universidad de ingeniería eléctrica.

El estudio de las vibraciones comienza con el estudio de las vibraciones mecánicas en varios sistemas oscilatorios mecánicos. El uso de analogías electromecánicas nos permite estudiar las oscilaciones electromagnéticas desde el punto de vista de las características generales de las oscilaciones, combinando el comportamiento de sistemas mecánicos y electromagnéticos. Luego se consideran las oscilaciones. sistemas conectados. Es metodológicamente correcto y conveniente comenzar el estudio de los procesos oscilatorios con una base bastante sistemas simples sueño un número grande grados de libertad, y luego pasar a sistemas con un número infinitamente grande de grados de libertad, como las ondas.

Ondas de agua, sísmicas, sonido, luz, ondas de radio: eso no es todo. procesos ondulatorios en naturaleza. el objetivo principal de este desarrollo es familiarizar a los estudiantes con las ideas básicas comunes a todos fenómenos ondulatorios, es decir. tanto para ondas electromagnéticas como elásticas.

En los apéndices se incluyen algunas cuestiones de carácter aplicado o cuestiones relacionadas con la clarificación del aparato matemático utilizado.

Al final del trabajo hay una lista. fuentes literarias, de los cuales - libros de texto recomendados para universidades - literatura adicional en la sección “Oscilaciones y ondas”, – libros de referencia, – desarrollos metodológicos departamentos.

OSCILACIONES.

1. Procesos oscilatorios (oscilaciones) Se denominan movimientos o cambios de estado que tienen distintos grados de repetibilidad en el tiempo.

Las oscilaciones se llaman periódico, si los valores de las cantidades físicas que cambian durante el proceso de oscilación se repiten en intervalos de tiempo iguales T, llamado período. Matemáticamente se escribe así:
.

2. Dependiendo de naturaleza física y se distinguen el mecanismo de excitación de las oscilaciones:

- vibraciones mecánicas(oscilaciones de péndulos, cuerdas, vigas, partes de máquinas y mecanismos, balanceo de barcos, mares agitados, fluctuaciones de presión durante la propagación del sonido en un gas, líquido, sólido, etc.);

Vibraciones electromagnéticas ( corriente alterna, fluctuaciones en la corriente, carga, vectores. mi Y h en circuitos oscilatorios, etc.);

-vibraciones electromecánicas(vibraciones de membranas telefónicas, difusores de altavoces electrodinámicos, etc.).

3. Los movimientos oscilatorios se diferencian de otros tipos de movimientos. Se caracterizan por algunos rasgos comunes. En el lenguaje de la teoría de la oscilación, las diferencias entre el movimiento oscilatorio de un cuerpo y los procesos en los circuitos electromagnéticos oscilatorios desaparecen si los abordamos desde el punto de vista. principios generales. Este enfoque se llama analogías electromecánicas.

4. Un sistema que vibra se llama sistema oscilatorio..

Oscilaciones que surgen como resultado de cualquier desviación inicial del sistema de su equilibrio estable, son llamados propias vibraciones.

Las oscilaciones que ocurren en un sistema bajo la influencia de una influencia externa variable se llaman oscilaciones forzadas.

5. Las características generales y conceptos comunes a los distintos sistemas oscilatorios son los siguientes:

ecuación diferencial (su forma es la misma para cualquier sistema oscilante);
ecuación de vibración;
amplitud;
frecuencia o período de oscilación;
fase;
fase inicial.

Consideremos las vibraciones en mecánica y sistemas electromagnéticos, resaltando exactamente los signos enumerados anteriormente.

Capítulo 1. VIBRACIONES ARMÓNICAS NATURALES.

§1.1. Vibraciones armónicas mecánicas.

1. Como sistema oscilatorio mecánico, en cuyo ejemplo consideraremos oscilaciones, elegimos péndulo de primavera: cuerpo pequeño ( punto material) con masa m suspendida sobre un resorte con rigidez k (Figura 2).

El resorte descargado tenía una longitud l 0 . Cuando el cuerpo estaba suspendido, el resorte se alargó en ∆l. La fuerza elástica resultante equilibró la fuerza de gravedad. Esta relación nos permite determinar Posición de equilibrio de un péndulo de resorte.. Si ahora el cuerpo se desplaza una distancia x con respecto a la posición de equilibrio, entonces la fuerza elástica y la fuerza de gravedad actuarán sobre el cuerpo.

La resultante de estas fuerzas es igual a:

El signo menos significa que la dirección de la fuerza F ex. y la dirección de desplazamiento x son opuestas. F ej. - fuerza elástica que se produce cuando un cuerpo se desplaza con respecto a la posición de equilibrio debido a la compresión o estiramiento del resorte (dependiendo de en qué dirección se desvía el cuerpo de la posición de equilibrio). Cualitativamente, la Figura 1.1 muestra el resultado de la acción. fuerza elástica(cuanto mayor sea el desplazamiento, mayor será el control F).

Figura 1.1 – Posiciones de un péndulo de resorte durante un período de oscilación.

Si un sistema oscila bajo la influencia de fuerzas que se desarrollan en el propio sistema oscilatorio sin Influencias externas y sin tener en cuenta las fuerzas de resistencia, entonces las oscilaciones se llaman oscilaciones naturales no amortiguadas.

La ausencia de amortiguación de oscilaciones es característica de un sistema oscilatorio ideal, que es Modelo físico procesos físicos reales.

2. Ecuación diferencial, correspondiente a las oscilaciones de un péndulo de resorte, se puede obtener a partir de la ley de su movimiento, que es la segunda ley de Newton m a = F.

Considerando que la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo
,
y la fuerza que actúa sobre el cuerpo es la fuerza elástica, determinada para pequeños desplazamientos del cuerpo desde la posición de equilibrio según la ley de Hooke, como obtenemos

o
.

Este ecuación diferencial de segundo orden para oscilaciones no amortiguadas. principal rasgo distintivo es el hecho de que la segunda derivada del desplazamiento con respecto al tiempo (es decir, la aceleración) es proporcional al desplazamiento. Una ecuación diferencial en la que la cantidad x aparece en cero o primer grado se llama lineal ecuación diferencial. En el futuro mostraremos que ecuaciones de este tipo son características de oscilaciones no amortiguadas en cualquier sistema oscilatorio ideal.

Transfiramos todos los términos de la ecuación a lado izquierdo y reducir la ecuación diferencial a la forma:

La cantidad, denotémosla, obtenemos

3. La solución a una ecuación diferencial de este tipo son las siguientes ecuaciones:

Estas soluciones se llaman ecuaciones de vibración, permiten calcular el desplazamiento x del péndulo de resorte en cualquier momento.

Las oscilaciones en las que las cantidades físicas que las caracterizan cambian según la ley del seno o el coseno se denominan armónico.

La diferencia entre los argumentos de las funciones seno y coseno es, es decir .
En lo que sigue, usaremos con mayor frecuencia la solución de la ecuación diferencial en la forma .

4. En la ecuación de vibración:

A - amplitud de desplazamiento– desviación máxima del péndulo respecto de la posición de equilibrio;

X - inclinación péndulo, es decir desviación del punto oscilante (cuerpo) de la posición de equilibrio en el momento t;

– fase de oscilación– cantidad que determina la posición del punto oscilante en cualquier instante t;

α – fase inicial determina la posición del péndulo en el momento inicial del tiempo (t = 0).

El periodo T se llama intervalo más pequeño el tiempo que tarda el sistema en volver a su posición original. Durante el período de oscilación, el sistema realiza una oscilación completa.

Frecuencia oscilaciones periódicas se llama cantidad igual al numero oscilaciones realizadas por unidad de tiempo.

La frecuencia cíclica o circular de las oscilaciones periódicas es la cantidad , igual al número de oscilaciones realizadas por unidad de tiempo.

Para un péndulo de resorte, la frecuencia y el período de las oscilaciones naturales, según los parámetros del sistema, tienen la forma:

5. Conociendo la ecuación para el desplazamiento de un péndulo de resorte, obtenemos ecuaciones similares para otras cantidades físicas. Encontremos la velocidad, la aceleración y la energía de oscilación si la ecuación para el desplazamiento de un péndulo de resorte se da en la forma .

La velocidad de oscilación de un péndulo es la primera derivada del desplazamiento:

La cantidad Aω 0 se llama amplitud de velocidad. La amplitud es una cantidad positiva (por definición).

Aceleración del péndulo:

Valor Aω 0 2 – amplitud de aceleración. Tanto el desplazamiento como la aceleración del péndulo cambian según la ley del coseno, pero difieren, además de en la amplitud, en el signo. La dirección de la aceleración coincide con la dirección de la fuerza elástica.

6. Dado que las vibraciones naturales en sistema ideal ocurren sin influencias externas, entonces el sistema oscilatorio está cerrado y para él se cumple lo siguiente: Ley de conservación de la energía mecánica.

Lleno energía mecánica péndulo de resorte es igual a:

La energía potencial de un punto material que oscila armoniosamente bajo la acción de una fuerza elástica es igual a:

La energía cinética del péndulo de resorte es igual a

La energía total de oscilación de un péndulo de resorte es igual a

La frecuencia de los cambios de energía cinética y potencial es 2 veces mayor que la frecuencia de los cambios de desplazamiento, velocidad y aceleración. En consecuencia, el período de cambio de estos tipos de energía. .

En la Figura 1.2 se presentan gráficos de cantidades físicas versus tiempo dentro de dos períodos de oscilación (la fase inicial se considera igual a cero α = 0).

Figura 1.2 – Gráficas de desplazamiento (x), velocidad (v), aceleración (a) dependiendo del tiempo t

§1.2. Dependencia de la amplitud y fase inicial de las oscilaciones de las condiciones iniciales.

Las soluciones de la ecuación diferencial de oscilaciones se determinan con una precisión de valor constante, por lo que existen innumerables soluciones de este tipo. La elección de la solución para un sistema oscilatorio específico dado se puede hacer especificando su comportamiento en el momento inicial, es decir condiciones iniciales. Por ejemplo, si simplemente desvías el péndulo estirando el resorte y luego lo sueltas con calma, o lo desvías y luego empujas el péndulo, los movimientos del péndulo serán diferentes. Consideremos la dependencia de los parámetros del sistema oscilatorio de las condiciones iniciales.

Sea en t = 0 el desplazamiento del sistema desde la posición de equilibrio igual a x 0, y velocidad de arranque v 0 . La oscilación armónica se describe mediante la ecuación. .

En t = 0 tenemos dos ecuaciones:

, .

Al elevar ambas ecuaciones al cuadrado y sumarlas, obtenemos la ecuación de amplitud:

Dividiendo una ecuación por otra obtenemos la relación para la fase inicial:

Por tanto, tanto la amplitud como la fase inicial de las oscilaciones dependen de las condiciones iniciales del sistema oscilatorio.

§1.3. Oscilaciones armónicas libres en un circuito LC.

1. El circuito electromagnético consta de condensador plano capacitancia C y un inductor (solenoide) con inductancia L. Tal circuito se llama contorno perfecto con parámetros distribuidos. El condensador está cargado, en una placa la carga es +q, en la otra (–q). Consideremos los procesos en el circuito LC durante un tiempo T, llamado período de oscilación.

Momento de tiempo t = 0. El condensador está cargado, la tecla “K” está abierta, no fluye corriente en el circuito:
yo = 0, ,

La llave está cerrada, una corriente de descarga fluye a través del circuito hasta que se igualan los potenciales de las placas del condensador. En

Cuando se descarga el condensador, la corriente de descarga se detendrá. El campo magnético en el inductor, no sostenido por la corriente, comenzará a disminuir. Una disminución en el campo magnético provocará una disminución flujo magnético a través del área de la bobina, habrá fem inducida. Irá por el circuito del circuito. corriente inducida la misma dirección que la corriente de descarga (regla de Lenz). Esto hará que el condensador se recargue. En

La dirección de la corriente de descarga en el circuito cambiará. La corriente de descarga fluirá a través del circuito hasta que se igualen los potenciales en las placas del capacitor.

En t = T el sistema volverá a su posición original.

En el circuito LC considerado, la energía se convierte de un tipo a otro y viceversa, energía total contorno - un valor constante.

Cambios periódicos vector de tensión mi campo eléctrico y vector de inducción magnética EN El campo magnético en un circuito LC oscilatorio cerrado se llama vibraciones electromagnéticas.

2. Usamos la segunda ley de Kirchhoff para obtener la ecuación diferencial. vibraciones electromagnéticas.

Para cualquier circuito cerrado, la suma algebraica de las caídas de tensión en todas sus secciones es igual a suma algebraica EMF actuando en este circuito (segunda ley de Kirchhoff).

La caída de voltaje a través de las placas del capacitor en el circuito LC es igual a

Donde q es la cantidad de carga en las placas, C es la capacitancia del capacitor. La fem inducida que se produce en un inductor cuando cambia la corriente en él está determinada por la fórmula: (Ley de Faraday para la autoinducción).

La segunda ley de Kirchhoff para el circuito LC tiene la forma:

Por definición, la intensidad de la corriente es igual a la primera derivada de la carga.

Transformemos la ecuación de la segunda ley de Kirchhoff, obtenemos

Denotamos , y finalmente obtenemos una ecuación de la forma:

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden cuyas soluciones son las ecuaciones:

Tanto la ecuación diferencial de las oscilaciones electromagnéticas como sus soluciones son similares a las obtenidas para un sistema mecánico (péndulo de resorte).

Las cantidades incluidas en las ecuaciones de oscilaciones electromagnéticas tienen el siguiente significado:

q 0 – amplitud de carga– carga máxima del condensador;

q – precio a cobrar en las placas del condensador en el momento t;

– fase de oscilación– la cantidad que determina la carga del condensador en cualquier momento t;

α – fase inicial determina la carga del condensador en el momento inicial (t = 0).

La frecuencia cíclica de las oscilaciones periódicas en el circuito LC es la cantidad.

El período de oscilación es igual a (la fórmula de thomson).

Determinemos la dependencia de la intensidad de la corriente, la FEM y la energía de oscilación con el tiempo en el circuito LC. Tomemos la ecuación para el cambio de carga en las placas del capacitor en la forma:

La intensidad de la corriente en el circuito está determinada por la relación:

La cantidad se llama amplitud de corriente.

La ecuación para EMF es:

Tamaño - amplitud del campo electromagnético.

La energía eléctrica y magnética cambia según las ecuaciones:

Energía total de oscilación en el circuito LC. no depende del tiempo (ley de conservación de la energía).

Los gráficos de cantidades físicas que caracterizan las oscilaciones electromagnéticas en el circuito LC en función del tiempo t son similares a los gráficos de oscilaciones mecánicas (ver Figura 1.2).

Si la carga en las placas cambia según la ley. , es decir. fase inicial α = 0, entonces su gráfica es la misma que la gráfica de desplazamiento.

El voltaje entre las placas del capacitor cambia según la misma ley que la carga del capacitor, solo que amplitud de voltaje habrá otro.

El cambio en la intensidad de la corriente es similar al cambio en la velocidad de un cuerpo durante oscilaciones mecánicas no amortiguadas. Bien. cambia a medida que W suda. y W magnético. - como pariente W. .

§1.4. Imagen gráfica vibraciones armónicas. Diagrama vectorial.

La solución a muchas preguntas de la teoría de las oscilaciones se simplifica enormemente si se utiliza método gráfico Imágenes de vibraciones armónicas en forma de vectores en un plano. Esta imagen se llama diagrama vectorial de oscilaciones(Figura 1.3).

Figura 1.3 – Diagrama vectorial de oscilaciones armónicas .

La secuencia de construcción de un diagrama vectorial de oscilaciones, dado por la ecuación , es así:

Entonces en cualquier momento el ángulo del vector A con el eje X es igual a . En consecuencia, la proyección del final del vector. A el eje X oscilará según la ley , y la proyección del propio vector. A en cualquier momento será igual al desplazamiento x del punto oscilante desde la posición de equilibrio. Si la fase inicial de oscilaciones es , entonces en el momento inicial el vector A lo colocamos desde el punto O a lo largo de la dirección del eje X.

Capítulo 2. ADICIÓN DE VIBRACIONES ARMÓNICAS

Un mismo cuerpo puede participar simultáneamente en dos o más movimientos. Un ejemplo sencillo es el movimiento de una pelota lanzada formando un ángulo con la horizontal. Podemos suponer que la pelota participa en dos movimientos independientes mutuamente perpendiculares: uniforme horizontalmente y uniformemente variable verticalmente. Un mismo cuerpo (punto material) puede participar en dos (o más) movimientos oscilatorios.

Bajo suma de oscilaciones comprender la definición de la ley de vibración resultante si el sistema oscilatorio participa simultáneamente en varios procesos oscilatorios. Hay dos casos límite: la suma de oscilaciones en una dirección y la suma de oscilaciones mutuamente perpendiculares.

§2.1. Adición de vibraciones armónicas de una dirección.

1. Suma de dos oscilaciones de la misma dirección.(oscilaciones codireccionales)

se puede hacer usando el método del diagrama vectorial (Figura 9) en lugar de sumar dos ecuaciones.

La figura 2.1 muestra los vectores de amplitud. A 1(t) y A 2 (t) oscilaciones agregadas en un momento arbitrario de tiempo t, cuando las fases de estas oscilaciones son respectivamente iguales Y . La suma de oscilaciones se reduce a la definición. . Aprovechemos que en un diagrama vectorial la suma de las proyecciones de los vectores que se suman es igual a la proyección de la suma vectorial de estos vectores.

La oscilación resultante corresponde en el diagrama vectorial al vector de amplitud y fase.

Figura 2.1 – Adición de oscilaciones codireccionales.

Magnitud vectorial A(t) se puede encontrar usando el teorema del coseno:

La fase de la oscilación resultante viene dada por la fórmula:

Si las frecuencias de las oscilaciones sumadas ω 1 y ω 2 no son iguales, entonces tanto la fase φ(t) como la amplitud A(t) Las fluctuaciones resultantes cambiarán con el tiempo. Las oscilaciones agregadas se llaman incoherente en este caso.

2. Dos vibraciones armónicas x 1 y x 2 se llaman coherente, si su diferencia de fase no depende del tiempo:

Pero dado que, para cumplir la condición de coherencia de estas dos oscilaciones, sus frecuencias cíclicas deben ser iguales.

La amplitud de la oscilación resultante obtenida sumando oscilaciones codireccionales con frecuencias iguales(oscilaciones coherentes) es igual a:

La fase inicial de la oscilación resultante es fácil de encontrar si proyectas los vectores A 1 y A 2 por ejes de coordenadas OX y OU (ver Figura 9):

Entonces, la oscilación resultante obtenida sumando dos oscilaciones codireccionales armónicas con frecuencias iguales también es una oscilación armónica.

3. Estudiemos la dependencia de la amplitud de la oscilación resultante de la diferencia en las fases iniciales de las oscilaciones sumadas.

Si, donde n es cualquier número entero no negativo

(n = 0, 1, 2…), entonces mínimo. Las oscilaciones sumadas en el momento de la suma estaban en antifase. Cuando la amplitud resultante es cero.

Si , Eso , es decir. la amplitud resultante será máximo. En el momento de la suma, las oscilaciones sumadas fueron en una fase, es decir. estaban en fase. Si las amplitudes de las oscilaciones sumadas son las mismas , Eso .

4. Adición de oscilaciones codireccionales con frecuencias desiguales pero similares..

Las frecuencias de las oscilaciones sumadas no son iguales, pero la diferencia de frecuencia mucho menos que ω 1 y ω 2. La condición para la proximidad de las frecuencias sumadas está escrita por las relaciones.

Un ejemplo de la suma de oscilaciones codirigidas con frecuencias similares es el movimiento de un péndulo de resorte horizontal, cuya rigidez elástica es ligeramente diferente k 1 y k 2.

Sean las amplitudes de las oscilaciones sumadas las mismas. , y las fases iniciales son iguales a cero. Entonces las ecuaciones de las oscilaciones sumadas tienen la forma:

, .

La oscilación resultante se describe mediante la ecuación:

La ecuación de oscilación resultante depende del producto de dos funciones armónicas: una con frecuencia , el otro – con frecuencia , donde ω está cerca de las frecuencias de las oscilaciones sumadas (ω 1 o ω 2). La oscilación resultante se puede considerar como oscilación armónica con una amplitud que varía según una ley armónica. Este proceso oscilatorio se llama late. En sentido estricto, la fluctuación resultante en caso general no es una oscilación armónica.

Valor absoluto Se toma el coseno porque la amplitud es una cantidad positiva. La naturaleza de la dependencia x res. durante el batido se muestra en la Figura 2.2.

Figura 2.2 – Dependencia del desplazamiento con el tiempo durante el batido.

La amplitud de los latidos cambia lentamente con la frecuencia. El valor absoluto del coseno se repite si su argumento cambia en π, lo que significa que el valor de la amplitud resultante se repetirá después de un intervalo de tiempo τ b, llamado periodo de tiempo(Ver Figura 12). El valor del período de latido se puede determinar a partir de la siguiente relación:

El valor es el período de paliza.

Magnitud es el período de la oscilación resultante (Figura 2.4).

§2.2. Adición de vibraciones mutuamente perpendiculares.

1. En la Figura 2.3 se presenta un modelo en el que se puede demostrar la suma de oscilaciones mutuamente perpendiculares. Un péndulo (un punto material de masa m) puede oscilar a lo largo de los ejes OX y OU bajo la acción de dos fuerzas elásticas dirigidas mutuamente perpendicularmente.

Figura 2.3

Las oscilaciones plegadas tienen la forma:

Las frecuencias de oscilación se definen como , , donde , son los coeficientes de rigidez del resorte.

2. Considere el caso de sumar dos oscilaciones mutuamente perpendiculares con las mismas frecuencias , que corresponde al estado (muelles idénticos). Entonces las ecuaciones de las oscilaciones sumadas tomarán la forma:

Cuando un punto participa en dos movimientos simultáneamente, su trayectoria puede ser diferente y bastante compleja. La ecuación para la trayectoria de las oscilaciones resultantes en el plano OXY cuando se suman dos mutuamente perpendiculares con frecuencias iguales se puede determinar eliminando ecuaciones originales para x e y tiempo t:

El tipo de trayectoria está determinado por la diferencia en las fases iniciales de las oscilaciones agregadas, que dependen de las condiciones iniciales (ver § 1.1.2). Consideremos las posibles opciones.

y si , donde n = 0, 1, 2…, es decir las oscilaciones agregadas están en fase, entonces la ecuación de trayectoria tomará la forma:

(Figura 2.3a).


Figura 2.3.a	Figura 2.3b

b) Si (n = 0, 1, 2...), es decir las oscilaciones agregadas están en antifase, entonces la ecuación de trayectoria se escribe de la siguiente manera:

(Figura 2.3b).

En ambos casos (a, b), el movimiento resultante del punto será una oscilación a lo largo de una línea recta que pasa por el punto O. La frecuencia de la oscilación resultante es igual a la frecuencia de las oscilaciones sumadas ω 0, se determina la amplitud por la relación:

El ángulo que forma la línea recta (trayectoria) con el eje OX se puede encontrar a partir de la ecuación:

(signo más – caso a, signo menos – caso b).

El resultado de la suma de oscilaciones mutuamente perpendiculares (casos a y b) es una oscilación llamada polarizado linealmente.

c) Si (n = 0, 1, 2...), entonces la ecuación de la trayectoria del movimiento resultante tomará la forma:

Esta es la ecuación de una elipse, sus ejes coinciden con los ejes de coordenadas OX y OU, y los tamaños de sus semiejes son iguales a y (Figura 2.4).

Figura 2.4

Punto resultante de la participación en dos mutuas vibraciones perpendiculares describe una elipse en el tiempo, igual al periodo oscilaciones plegadas.

3. Suma de oscilaciones mutuamente perpendiculares con múltiples frecuencias..

Se suman oscilaciones mutuamente perpendiculares, cuyas frecuencias no son iguales, pero , , donde a y b son números enteros.

Los períodos de oscilaciones a lo largo de los ejes OX y OU son respectivamente iguales a y . Relación de período .

La trayectoria de un punto que participa en oscilaciones mutuamente perpendiculares con múltiples frecuencias es una curva cerrada, cuya forma depende de la relación de amplitudes, frecuencias y fases iniciales de las oscilaciones agregadas. Estas trayectorias cerradas se denominan Figuras de Lissajous.

Capítulo 3. OSCILACIONES AMORTIGUADAS.

La amortiguación de las oscilaciones se llama disminución gradual amplitud de las oscilaciones en el tiempo, debido a la pérdida de energía por parte del sistema oscilatorio.

Las oscilaciones naturales sin amortiguación son una idealización. Las razones de la atenuación pueden ser diferentes. En un sistema mecánico, las vibraciones se amortiguan por la presencia de fricción. En un circuito electromagnético, las pérdidas de calor en los conductores que forman el sistema provocan una disminución de la energía de oscilación. Cuando se agote toda la energía almacenada en el sistema oscilatorio, las oscilaciones se detendrán. Por lo tanto la amplitud oscilaciones amortiguadas disminuye hasta llegar a ser igual a cero.

Las oscilaciones amortiguadas, como las oscilaciones naturales, en sistemas de diferente naturaleza, pueden considerarse desde un único punto de vista: las características comunes. Sin embargo, características como la amplitud y el período requieren una redefinición, y otras requieren adición y aclaración en comparación con las mismas características para las oscilaciones naturales no amortiguadas. Las características y conceptos generales de las oscilaciones amortiguadas son los siguientes:

La ecuación diferencial debe obtenerse teniendo en cuenta la disminución de la energía vibratoria durante el proceso de oscilación.

La ecuación de oscilación es una solución a una ecuación diferencial.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas depende del tiempo.

La frecuencia y el período dependen del grado de atenuación de las oscilaciones.

Fase y fase inicial tienen el mismo significado que para las oscilaciones continuas.

§3.1. Oscilaciones mecánicas amortiguadas.

Sistema mecánico: péndulo de resorte teniendo en cuenta las fuerzas de fricción.

Fuerzas que actúan sobre el péndulo:

Fuerza elástica. , donde k es el coeficiente de rigidez del resorte, x es el desplazamiento del péndulo desde la posición de equilibrio.

El poder de la resistencia. Consideremos la fuerza de resistencia proporcional a la velocidad v del movimiento (esta dependencia es típica de una gran clase de fuerzas de resistencia): . El signo menos muestra que la dirección de la fuerza de resistencia es opuesta a la dirección de la velocidad del cuerpo. El coeficiente de arrastre r es numéricamente igual a la fuerza de arrastre que surge a una unidad de velocidad de movimiento del cuerpo:

La ley del movimiento de un péndulo de resorte es la segunda ley de Newton:

metro a = F ex. + F resistencia

considerando que ambos , escribimos la segunda ley de Newton en la forma:

Dividiendo todos los términos de la ecuación por m y moviéndolos todos hacia el lado derecho, obtenemos ecuación diferencial oscilaciones amortiguadas:

Denotemos , donde β – coeficiente de atenuación, , donde ω 0 es la frecuencia de no amortiguado vibraciones libres en ausencia de pérdidas de energía en el sistema oscilatorio.

En la nueva notación, la ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas tiene la forma:

Esta es una ecuación diferencial lineal de segundo orden.

La ecuación de oscilaciones amortiguadas es una solución a la siguiente ecuación diferencial:

El Apéndice 1 muestra cómo obtener una solución a la ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas cambiando variables.

Frecuencia de oscilación amortiguada:

(por lo tanto, sólo la raíz real tiene significado físico).

Período de oscilaciones amortiguadas:

El período de oscilaciones amortiguadas es el período mínimo de tiempo durante el cual el sistema pasa la posición de equilibrio dos veces en una dirección.

Para el sistema mecánico de un péndulo de resorte tenemos:

, .

Amplitud de oscilaciones amortiguadas:

Para un péndulo de resorte.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas no es un valor constante, sino que cambia con el tiempo, cuanto más rápido, mayor es el coeficiente β. Por lo tanto, la definición de amplitud dada anteriormente para oscilaciones libres no amortiguadas debe cambiarse para oscilaciones amortiguadas.

Para pequeñas atenuaciones amplitud de oscilaciones amortiguadas Se llama la mayor desviación de la posición de equilibrio durante un período.

En las Figuras 3.1 y 3.2 se presentan gráficos de desplazamiento versus tiempo y amplitud versus tiempo.

Figura 3.1 – Dependencia del desplazamiento en el tiempo para oscilaciones amortiguadas.

Figura 3.2 – Dependencia de la amplitud con el tiempo para oscilaciones amortiguadas

§3.2. Oscilaciones electromagnéticas amortiguadas.

Las oscilaciones amortiguadas electromagnéticamente surgen en e sistema oscilatorio electromagnético, llamado LCR - circuito (Figura 3.3).

Figura 3.3.

Obtenemos la ecuación diferencial usando la segunda ley de Kirchhoff para un circuito LCR cerrado: la suma de las caídas de voltaje a través de la resistencia activa (R) y el capacitor (C) es igual a la fem inducida desarrollada en el circuito:

Caída de tensión:

En resistencia activa: , donde I es la intensidad de la corriente en el circuito;

En el capacitor (C): , donde q es la cantidad de carga en una de las placas del capacitor.

La EMF desarrollada en el circuito es la EMF inducida que se produce en el inductor cuando cambia la corriente en él y, por lo tanto, el flujo magnético a través de su sección transversal: (Ley de Faraday).

Sustituyamos los valores U R , U C en la ecuación que refleja la ley de Kirchhoff, obtenemos:

La intensidad de la corriente se determina como la derivada de la carga, entonces , y la ecuación diferencial tomará la forma:

Denotemos , y en esta notación obtenemos la ecuación diferencial de oscilaciones amortiguadas en la forma:

Resolver una ecuación diferencial o ecuación de oscilación para carga en las placas del condensador se ve así:

La amplitud de las oscilaciones de carga amortiguadas tiene la forma:

Frecuencia de oscilaciones amortiguadas en el circuito LCR:

Período de oscilaciones electromagnéticas amortiguadas:

Tomemos la ecuación de la carga en la forma , entonces ecuación de voltaje en las placas del condensador se puede escribir así:
.

La cantidad se llama amplitud de voltaje a través del capacitor.

Actual en el circuito cambia con el tiempo. Ecuación para la corriente en el contorno se puede obtener usando la relación y el diagrama vectorial.

La ecuación final para la corriente es:

Dónde - fase inicial.

No es igual a α, ya que la intensidad de la corriente no cambia según el seno, que sería la derivada de la carga, sino según el coseno.

La energía de las oscilaciones en el circuito consiste en la energía del campo eléctrico.

y energía del campo magnético

Energía total en cualquier momento:

Dónde W 0– energía total del circuito en el momento t=0 .

§3.3. Características de las oscilaciones amortiguadas.

1.Coeficiente de atenuación β.

La amplitud de las oscilaciones amortiguadas cambia según una ley exponencial:

El período de tiempo τ durante el cual la amplitud disminuye “e” veces se llama tiempo de relajación.

El coeficiente de amortiguación β es un valor inversamente proporcional al tiempo de relajación.

2. Decremento de amortiguación logarítmica δ- una cantidad física numéricamente igual al logaritmo natural de la relación de dos amplitudes sucesivas separadas en el tiempo por un período.

Si la atenuación es pequeña, es decir el valor de β es pequeño, entonces la amplitud cambia ligeramente durante el período y el decremento logarítmico se puede definir de la siguiente manera:

¿Dónde está Azat? (t) y Azat. (t+NT) – amplitudes de oscilaciones en el tiempo e y después de N períodos, es decir, en el tiempo (t + NT).

3. El factor de calidad Q de un sistema oscilatorio es una cantidad física adimensional igual al producto de la cantidad (2π) ν y la relación entre la energía W(t) del sistema en un momento arbitrario en el tiempo y la pérdida de energía durante un período de oscilaciones amortiguadas:

Como la energía es proporcional al cuadrado de la amplitud, entonces

Para valores pequeños del decremento logarítmico δ, el factor de calidad del sistema oscilatorio es igual a

donde N e es el número de oscilaciones durante las cuales la amplitud disminuye “e” veces.

Por tanto, el factor de calidad del circuito LCR del sistema electromagnético con baja amortiguación de oscilaciones es igual a , y el factor de calidad de un péndulo de resorte es . Cuanto mayor es el factor de calidad del sistema oscilatorio, menor es la amortiguación y más largo es el proceso periódico. en tal sistema durará.

4. A medida que aumenta el coeficiente β, la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas disminuye y el período aumenta. En ω 0 = β, la frecuencia de las oscilaciones amortiguadas se vuelve igual a cero ω zat. = 0, y Tzat. = ∞. En este caso, las oscilaciones pierden su carácter periódico y se denominan = ∞. En este caso, las oscilaciones pierden su carácter periódico y se denominan

En ω 0 = β, los parámetros del sistema responsables de la disminución de la energía vibratoria toman valores llamados En ω 0 = β, los parámetros del sistema responsables de la disminución de la energía vibratoria toman valores llamados. Para un péndulo de resorte, la condición ω 0 = β se escribirá de la siguiente manera: de donde encontramos la cantidad coeficiente de resistencia crítica:

Para el circuito LCR la condición te permite calcular resistencia de bucle crítico, en el que las oscilaciones perderán su periodicidad:

Capítulo 4. VIBRACIONES FORZADAS.

Hasta ahora hemos estudiado procesos en sistemas mecánicos bajo la influencia de fuerzas que se desarrollan en los propios sistemas. ¿Cuál será el comportamiento de los sistemas oscilatorios a los que se aplica la Fuerza externa? Para circuito electromagnético Surgirá una situación similar si se incluye una fuente EMF externa en el circuito del circuito.

Consideremos el fenómeno de las oscilaciones si el exterior (forzando) La fuerza o la fem externa cambian dependiendo del tiempo según una ley armónica. En este caso, surgirán oscilaciones en los sistemas, cuya naturaleza, en un grado u otro, repetirá la naturaleza de la fuerza impulsora o EMF de la fuente. Estas oscilaciones se llaman forzado.

Al considerar las vibraciones libres en sistemas mecánicos y electromagnéticos, estábamos convencidos de la completa analogía de las leyes de las vibraciones. La misma similitud se observó para las oscilaciones amortiguadas mecánicas y electromagnéticas. Cabe esperar similitudes entre las leyes de los sistemas mecánicos y electromagnéticos y durante las oscilaciones forzadas.

§4.1. Signos generales de oscilaciones mecánicas y electromagnéticas forzadas.

1. Consideremos las oscilaciones mecánicas forzadas de un péndulo de resorte, sobre el que actúa un externo ( convincente) fuerza periódica . Las fuerzas que actúan sobre el péndulo, una vez retirado de su posición de equilibrio, se desarrollan en el propio sistema oscilatorio. Estas son la fuerza elástica y la fuerza de resistencia.

La ley del movimiento (segunda ley de Newton) se escribirá de la siguiente manera:

Dividamos ambos lados de la ecuación por m, tengamos en cuenta que y obtenemos ecuación diferencial oscilaciones forzadas:

Denotemos (β – coeficiente de atenuación), (ω 0 – frecuencia de oscilaciones libres no amortiguadas), fuerza que actúa sobre una unidad de masa. En estas notaciones ecuación diferencial Las oscilaciones forzadas tomarán la forma:

Esta es una ecuación diferencial de segundo orden con un lado derecho distinto de cero. La solución de tal ecuación es la suma de dos soluciones.

– decisión común ecuación diferencial homogénea, es decir ecuación diferencial sin el lado derecho cuando es igual a cero. Conocemos tal solución: esta es la ecuación de oscilaciones amortiguadas, escrita con precisión a una constante, cuyo valor se determina condiciones iniciales sistema oscilatorio:

Dónde .

Anteriormente comentamos que la solución se puede escribir en términos de funciones seno.

Si consideramos el proceso de oscilación del péndulo después de un período de tiempo suficientemente grande Δt después de activar la fuerza motriz (Figura 22), entonces las oscilaciones amortiguadas en el sistema prácticamente se detendrán. Y entonces la solución a la ecuación diferencial del lado derecho será la solución.

La solución es una solución particular de la ecuación diferencial no homogénea, es decir ecuaciones con el lado derecho. De la teoría de ecuaciones diferenciales se sabe que con el lado derecho cambiando según una ley armónica, la solución será una función armónica (sen o cos) con una frecuencia de cambio correspondiente a la frecuencia Ω de cambio del lado derecho -lado:

donde A ampl. – amplitud de oscilaciones forzadas, φ 0 – cambio de fase, es decir. la diferencia de fase entre la fase de fuerza motriz y la fase de oscilación forzada. Y amplitud A ampl. , y el cambio de fase φ 0 dependen de los parámetros del sistema (β, ω 0) y de la frecuencia de la fuerza impulsora Ω.

El período de oscilaciones forzadas es igual a .

Gráfico de vibraciones forzadas en la Figura 4.1.

Figura 4.1 – Gráfico de oscilaciones forzadas.

2.Oscilaciones forzadas electromagnéticas..

El sistema electromagnético en el que se desarrollan oscilaciones forzadas es un LCR, un circuito con un fuente externa. Consideremos el caso en el que la fem fuente cambia según una ley armónica.