Puntos especiales aislados en línea. Serie de Laurent puntos singulares aislados y su clasificación.

Servicio de rangos de Taylor medios eficaces para estudiar funciones analíticas en un círculo zol Para estudiar funciones analíticas en un dominio de anillo, resulta posible construir expansiones en potencias positivas y negativas (z - zq) de la forma generalizando expansiones de Taylor. La serie (1), entendida como la suma de dos series, se denomina serie de Laurent. Está claro que la región de convergencia de la serie (1) es una parte comúnáreas de convergencia de cada una de las series (2). Encontrémosla. El área de convergencia de la primera serie es un círculo cuyo radio está determinado por la fórmula de Cauchy-Hadamard. Dentro del círculo de convergencia, la serie (3) converge a una función analítica, y en cualquier círculo de radio menor, converge. absoluta y uniformemente. La segunda fila es serie de potencias con respecto a una variable, la Serie (5) converge dentro de su círculo de convergencia a una función analítica de una variable compleja m-*oo, y en cualquier círculo de menor radio converge de manera absoluta y uniforme, lo que significa que el área de convergencia de la serie (4) es el exterior del círculo - Si entonces existe área general convergencia de las series (3) y (4): un anillo circular en el que la serie (1) converge a una función analítica. Además, en cualquier anillo converge absoluta y uniformemente. Ejemplo 1. Determinar el área de convergencia de la serie de rad Laurent Puntos singulares aislados y su clasificación M El área de convergencia de la primera fila es el exterior del círculo y el área de convergencia de la segunda fila es el dentro del círculo Así, estas series converge en una cola"o Teorema 15. Cualquier función f(z), univaluada y apolítica en un anillo circular puede representarse en este anillo como la suma de una serie convergente, cuyos coeficientes Cn están determinados y calculados de forma única según a las fórmulas donde 7p es un círculo de radio m. Fijemos R dentro del punto arbitrario z del anillo. Construyamos círculos con centro en el punto r, cuyos radios satisfagan las desigualdades y consideremos el nuevo anillo Po. teorema integral Cauchy para un dominio múltiplesmente conexo, transformamos por separado cada una de las integrales en la suma (8). Para todos los puntos £ a lo largo del círculo 7d* se satisface la relación de suma de la serie uniformemente convergente 1 1. Por lo tanto, la fracción ^ se puede representar en vi- / "/ multiplicando ambas partes por una función continua (O y realizando. integración término por término a lo largo del círculo, obtenemos que llevamos a cabo la transformación de la segunda integral de una manera ligeramente diferente. Para todos los puntos £ en el círculo ir> se cumple la siguiente relación. como la suma de una serie uniformemente convergente Multiplicando ambas partes por una función continua) e integrando término a lo largo del círculo 7/, obtenemos que Note que los integrandos en las fórmulas (10) y (12) son funciones analíticas en un anillo circular. Por lo tanto, según el teorema de Cauchy, los valores de las integrales correspondientes no cambiarán si reemplazamos los círculos 7/r y 7r/ con cualquier círculo. Esto nos permite combinar las fórmulas (10) y (12), reemplazando las integrales. el lado derecho de la fórmula (8) con sus expresiones (9) y (11), respectivamente, obtenemos la expansión deseada Dado que z - punto arbitrario anillo, entonces se sigue que la serie (14) converge a la función f(z) en todas partes de este anillo, y en cualquier anillo la serie converge a esta función de manera absoluta y uniforme. Demostremos ahora que la descomposición de la forma (6) es única. Supongamos que hay una expansión más. Entonces en todo el interior del anillo R tendremos En el círculo, la serie (15) converge uniformemente. Multipliquemos ambos lados de la igualdad (donde m es un número entero fijo e integremos ambas series término por término. Como resultado, obtenemos en el lado izquierdo y en el derecho - St. Por lo tanto, (4, = St. Dado que metro - número arbitrario, entonces la última igualdad prueba la unicidad de la descomposición. La serie (6), cuyos coeficientes se calculan mediante las fórmulas (7), se denomina serie de Laurent de la función f(z) en el anillo. poderes negativos se llama la parte correcta de la serie Laurent, y con las negativas, su parte principal. Las fórmulas (7) para los coeficientes de la serie de Laurent rara vez se utilizan en la práctica porque, por regla general, requieren cálculos engorrosos. Por lo general, si es posible, se utilizan expansiones de Taylor ya preparadas. funciones elementales. Debido a la unicidad de la descomposición, cualquier método legal conduce al mismo resultado. Ejemplo 2. Considere las expansiones de la función en serie de Laurent. Varias áreas, aceptar Fuiscia /(g) tiene dos puntos singulares: . En consecuencia, existen tres regiones anulares, con centro en el punto r = 0. En cada una de ellas la función f(r) es analítica: a) un círculo es un anillo, el exterior de un círculo (Fig. 27). Encontremos las expansiones de Laurent de la función /(z) en cada una de estas regiones. Representemos /(z) como una suma de fracciones elementales a) Círculo Transformamos la relación (16) de la siguiente manera. progresión geométrica, obtenemos Sustituya las expansiones encontradas en la fórmula (17): Esta expansión es la serie de Taylor de la función /(z). b) El anillo para la función -r permanece convergente en este anillo, ya que la Serie (19) para la función j^j para |z| > 1 diverge. Por tanto, transformamos la función /(z) de la siguiente manera: aplicando nuevamente la fórmula (19), obtenemos que Esta serie converge para. Sustituyendo las expansiones (18) y (21) en la relación (20), obtenemos c) El exterior del círculo para la función -z para |z| > 2 diverge, y la serie (21) para la fun- Representemos la función /(z) de la siguiente forma: /<*>Usando las fórmulas (18) y (19), obtenemos OR 1. Este ejemplo muestra que para la misma función f(z) la expansión de Laurent, en términos generales, tiene diferente tipo para diferentes anillos. Ejemplo 3. Encuentre el desarrollo de la octava serie de Laurent de una función Serie de Laurent Puntos singulares aislados y su clasificación en un dominio de anillo A Usamos la representación de la función f(z) de la siguiente forma: y transformamos el segundo término usando la fórmula para la suma de términos de una progresión geométrica, obtenemos Sustituyendo las expresiones encontradas en la fórmula (22), tenemos el Ejemplo 4. Expande la función en la serie de Laurent en el punto zq = 0. Para cualquier complejo tenemos Poner esto la expansión es válida para cualquier punto z Ф 0. En en este caso la región anular representa todo el plano complejo con un punto eliminado z - 0. Esta región se puede definir mediante la siguiente relación: Esta función es analítica en la región A partir de las fórmulas (13) para los coeficientes de la serie de Laurent, usando la misma Razonando como en el párrafo anterior, se pueden obtener las desigualdades de Kouiw. si la función f(z) está acotada en un círculo, donde M es una constante), entonces Puntos singulares aislados El punto zo se llama punto singular aislado de la función f(z) si hay una vecindad anular del punto ( este conjunto a veces se denomina vecindad perforada del punto 2o), en el que la función f(z) es única y analítica. En el punto zo mismo, la función es indefinida o no es inequívoca y analítica. Dependiendo del comportamiento de la función /(r) al acercarse al punto zo se distinguen tres tipos: puntos singulares. Un punto singular aislado se llama: 1) removible si hay un finito 2) pmusach si 3) un punto esencialmente singular si la función f(z) no tiene límite en El tipo de punto singular aislado está estrechamente relacionado con el naturaleza de la expansión de Laurent de la función por el centro perforado de . Teorema 16. Un punto singular aislado z0 de una función f(z) es un punto singular removible si y sólo si el desarrollo de Laurent de la función f(z) en una vecindad del punto zo no contiene una parte principal, es decir, tiene la forma Sea zo un punto singular removible. Entonces hay un finito, por lo tanto, la función f(z) está acotada en una vecindad prológica del punto z. En virtud de las desigualdades de Cauchy, dado que se puede elegir que p sea arbitrariamente pequeño, entonces todos los coeficientes están en potencias negativas (z). - 20) son iguales a cero: Por el contrario, digamos que la expansión de Laurent de la función /(r) en una vecindad del punto zq contiene sólo la parte correcta, es decir, tiene la forma (23) y, por tanto, es Taylor. Es fácil ver que para z -* z0 la función /(z) tiene un valor límite: Teorema 17. Un punto singular aislado zq de la función f(z) es removible si y sólo si la función J(z) es delimitado en algún barrio perforado del punto zq, Zgmechai no. Sea r un punto singular removible de la función /(r). Suponiendo que obtenemos que la función /(r) es analítica en algún círculo con centro en el punto r. Esto determina el nombre del punto: extraíble. Teorema 18. Un punto singular aislado zq de una función f(z) es un polo si y sólo si parte principal La expansión de Laurent de la función f(z) en una vecindad de un punto contiene un número finito (y positivo) de términos distintos de cero, es decir, tiene la forma 4 Sea z0 un polo. Desde entonces existe una vecindad perforada del punto z0 en la que la función f(z) es analítica y distinta de cero. Entonces en este barrio se define función analítica y En consecuencia, el punto zq es un punto singular removible (cero) de la función o donde h(z) es una función analítica, h(z0) Φ 0. Entonces h(zo) Φ 0 también es analítica, entonces la función u es analítica en una vecindad del punto zq, y por lo tanto, de donde obtenemos que Supongamos ahora que la función f(z) tiene una expansión de la forma (24) en una vecindad perforada del punto zо. Esto significa que en esta vecindad la función f(z) es analítica junto con la función. Para la función g(z) la expansión es válida, de la cual se puede ver que zq es un punto singular removible de la función g(z) y existe. Entonces la función en 0 tiende a ser el polo de la función. Es otro hecho simple. El punto Zq es un polo de la función f(z) si y sólo si la función g(z) = уй puede extenderse a una función analítica en una vecindad del punto zq estableciendo g(z0) = 0. El orden del polo de la función f(z) se llama orden cero de la función jfa. De los teoremas 16 y 18 se deduce la siguiente declaración. Teorema 19. Un punto singular aislado es esencialmente singular si y sólo si la parte principal de la expansión de Laurent en una vecindad perforada de este punto contiene infinitos términos distintos de cero. Ejemplo 5. El punto singular de la función es zo = 0. Tenemos Serie Laurent Puntos singulares aislados y su clasificación Por lo tanto, zo = O es un punto singular removible. Expansión de la función /(z) a una serie de Laurent en la vecindad Punto cero contiene sólo la parte correcta: Ejemplo7. /(z) = El punto singular de la función f(z) es zq = 0. Consideremos el comportamiento de esta función en los ejes real e imaginario: eje real en x 0, en el eje imaginario Por lo tanto, ni finito ni límite infinito f(z) no existe para z -* 0. Esto significa que el punto r = 0 es un punto esencialmente singular de la función f(z). Encontremos el desarrollo de Laurent de la función f(z) en las proximidades del punto cero. Para cualquier complejo C tenemos Set. Entonces la expansión Laurent contiene demonio. numero final términos con potencias negativas de z.

Modelos descritos por sistemas de dos autónomos. ecuaciones diferenciales.

Plano de fase. Retrato de fase. Método isoclínico. Principales isoclinas. Sostenibilidad estado estable. Sistemas lineales. Tipos de puntos singulares: nodo, silla, foco, centro. Ejemplo: reacciones químicas primer orden.

Los resultados más interesantes sobre modelización cualitativa de las propiedades de sistemas biológicos se obtuvieron utilizando modelos de dos ecuaciones diferenciales que permiten investigación cualitativa usando el método plano de fase. Considere un sistema de dos ecuaciones diferenciales ordinarias autónomas. vista general

(4.1)

P(x,y), Q(x,y)- funciones continuas, definido en alguna área GRAMO Plano euclidiano ( x, y ‑ Coordenadas cartesianas) y que tenga en esta región derivadas continuas de orden no inferior a la primera.

Región GRAMO puede ser ilimitado o limitado. Si las variables x,y tienen un significado biológico específico (concentraciones de sustancias, números de especies) con mayor frecuencia el área GRAMO representa el cuadrante positivo del semiplano derecho:

0 £ X< ¥ ,0 £ y< ¥ .

Las concentraciones de sustancias o el número de especies también pueden limitarse desde arriba mediante el volumen del recipiente o la superficie del hábitat. Entonces el rango de valores de las variables tiene la forma:

0 £ X< x 0 , 0 £ y< y 0 .

variables x,y cambio en el tiempo de acuerdo con el sistema de ecuaciones (4.1), de modo que cada estado del sistema corresponde a un par de valores variables ( x,y).

Por el contrario, cada par de variables ( x,y) corresponde a un determinado estado del sistema.

Considere un plano con ejes de coordenadas en el que se trazan los valores de las variables. x, y. cada punto METRO este plano corresponde a un determinado estado del sistema. Este plano se llama plano de fase y representa la totalidad de todos los estados del sistema. El punto M(x,y) se llama punto representativo o representativo.

Dejar entrar momento inicial tiempo t=t 0 coordenadas del punto de representación METRO 0 (X(t 0), y(t 0)). En cada momento siguiente en el tiempo t el punto de representación se desplazará de acuerdo con los cambios en los valores de las variables X(t), y(t). Colección de puntos METRO(X(t), y(t)) en el plano de fase, cuya posición corresponde a los estados del sistema en el proceso de cambio de variables a lo largo del tiempo x(t), y(t) según las ecuaciones (4.1), se llama trayectoria de fase.

Totalidad trayectorias de fase para diferentes valores iniciales de las variables proporciona un "retrato" fácilmente visible del sistema. Construcción retrato de fase le permite sacar conclusiones sobre la naturaleza de los cambios en las variables x,y sin conocimiento soluciones analíticas sistema original de ecuaciones(4.1).

Para representar un retrato de fase, es necesario construir un campo vectorial de direcciones de trayectorias del sistema en cada punto del plano de fase. Configurar el incrementoD t>0,obtenemos los incrementos correspondientes D X Y D y de expresiones:

D x=P(x,y)D t,

D y=Q(x,y)D t.

Dirección vectorial dy/dx en el punto ( x,y) depende del signo de las funciones P(x, y), Q(x, y) y puede ser dado por una tabla:

.(4.2)

Solución a esta ecuación y = y(x,c), o implícitamente F(x, y)=c, Dónde Con– constante de integración, da la familia de curvas integrales de la ecuación (4.2) - trayectorias de fase sistema (4.1) en el avión x,y.

método de isoclina

Para construir un retrato de fase utilizan método de isoclina – Se dibujan líneas en el plano de fase que cruzan las curvas integrales en un ángulo específico. La ecuación de isoclina se puede obtener fácilmente a partir de (4.2). Pongamos

Dónde A– un cierto valor constante. Significado A representa la tangente del ángulo de inclinación de la tangente a la trayectoria de fase y puede tomar valores de –¥ a + ¥ . Sustituyendo en su lugar dy/dx en (4.2) la cantidad A obtenemos la ecuación de isoclina:

.(4.3)

La ecuación (4.3) define en cada punto del plano una tangente única a la curva integral correspondiente, con excepción del punto donde P(x,y)= 0, Q (x, y) = 0 , en el que la dirección de la tangente se vuelve incierta, ya que el valor de la derivada se vuelve incierto:

.

Este punto es el punto de intersección de todas las isoclinas. punto especial. En él, las derivadas temporales de las variables desaparecen simultáneamente. X Y y.

Por tanto, en un punto singular, las tasas de cambio de las variables son cero. En consecuencia, el punto singular de las ecuaciones diferenciales de trayectorias de fase (4.2) corresponde a estado estacionario del sistema(4.1), y sus coordenadas son los valores estacionarios de las variables x, y.

De particular interés son principales isoclinas:

dy/dx=0, P(x, y)=0 – isoclina de tangentes horizontales y

dy/dx=¥ , q(x, y)=0 – isoclina de tangentes verticales.

Construyendo las isoclinas principales y encontrando su punto de intersección. (x,y), cuyas coordenadas satisfacen las condiciones:

De este modo encontraremos el punto de intersección de todas las isoclinas del plano de fase, en el que la dirección de las tangentes a las trayectorias de fase es incierta. Este - punto singular, que corresponde estado estacionario del sistema(Figura 4.2).

El sistema (4.1) tiene tantos estados estacionarios como puntos de intersección de las isoclinas principales en el plano de fase.

Cada trayectoria de fase corresponde a un conjunto de movimientos de un sistema dinámico, que pasan por los mismos estados y se diferencian entre sí sólo en el comienzo del cómputo del tiempo.

Si se satisfacen las condiciones del teorema de Cauchy, entonces a través de cada punto en el espacio x, y, t solo hay una curva integral. Lo mismo ocurre, debido a la autonomía, con las trayectorias de fase: una trayectoria de una sola fase pasa por cada punto del plano de fase.

Estabilidad en estado estacionario

Dejemos que el sistema esté en estado de equilibrio.

Entonces el punto representativo se ubica en uno de los puntos singulares del sistema, en el cual, por definición:

.

Si un punto singular es estable o no está determinado por si el punto representativo sale o no con una pequeña desviación del estado estacionario. En relación con un sistema de dos ecuaciones, la definición de estabilidad en el lenguajemi, dcomo sigue.

El estado de equilibrio es estable si para cualquier rango dado de desviaciones del estado de equilibrio (mi )puedes especificar el área d (mi ), rodeando el estado de equilibrio y teniendo la propiedad de que ninguna trayectoria que comience dentro de la región d , nunca llegará a la frontera mi . (Figura 4.4)

Para una gran clase de sistemas: sistemas rugosos – cuya naturaleza de comportamiento no cambia con un pequeño cambio en la forma de las ecuaciones, se puede obtener información sobre el tipo de comportamiento en las proximidades de un estado estacionario examinando no el original, sino uno simplificado. linealizado sistema.

Sistemas lineales.

Consideremos un sistema de dos ecuaciones lineales:

.(4.4)

Aquí a B C D- constantes, x,y- Coordenadas cartesianas en el plano de fase.

Buscaremos una solución general en la forma:

.(4.5)

Sustituyamos estas expresiones en (4.4) y reduzcamos por mi yo t:

(4.6)

Sistema algebraico de ecuaciones (4.6) con incógnitas A, B tiene solución distinta de cero sólo si su determinante, compuesto por coeficientes de las incógnitas, es igual a cero:

.

Ampliando este determinante, obtenemos la ecuación característica del sistema:

.(4.7)

Resolver esta ecuación da los valores del exponente.yo 1,2 , para el cual son posibles valores distintos de cero A Y B soluciones a la ecuación (4.6). Estos significados son

.(4.8)

Si la expresión radical es negativa, entoncesyo 1,2 números conjugados complejos. Supongamos que ambas raíces de la ecuación (4.7) tienen partes reales distintas de cero y que no hay raíces múltiples. Entonces la solución general del sistema (4.4) se puede representar como una combinación lineal de exponenciales con exponentesyo 1 , yo 2 :

(4.9)

Para analizar la naturaleza de las posibles trayectorias del sistema en el plano de fase, utilizamos transformación de coordenadas lineal homogénea, que llevará al sistema a forma canónica:

,(4.10)

permitiendo una representación más conveniente en el plano de fase en comparación con el sistema original (4.4). Introduzcamos nuevas coordenadas.ξ , η según las fórmulas:

(4.1)

Del curso de álgebra lineal se sabe que en el caso de desigualdad cero las partes realesyo 1 , yo 2 el sistema original (4.4) siempre se puede transformar mediante transformaciones (4.11) a la forma canónica (4.10) y se puede estudiar su comportamiento en el plano de fases.ξ , η . Consideremos los diversos casos que pueden presentarse aquí.

Raíces λ 1 , λ 2 – válido y del mismo signo

En este caso los coeficientes de transformación son reales, nos movemos del plano realx, yal plano real ξ, η. Dividiendo la segunda de las ecuaciones (4.10) por la primera, obtenemos:

.(4.12)

Integrando esta ecuación encontramos:

Donde .(4.13)

Acordemos entender por λ 2 la raíz de la ecuación característica con un módulo grande, que no viola la generalidad de nuestro razonamiento. Entonces, dado que en el caso considerado las raíces λ 1 , λ 2 – válido y del mismo signo,a>1 , y estamos ante curvas integrales de tipo parabólica.

Todas las curvas integrales (excepto el eje η , que corresponde a ) toque en el origen del eje ξ, que también es la curva integral de la ecuación (4.11). El origen de las coordenadas es un punto especial.

Averigüemos ahora la dirección del movimiento del punto representativo a lo largo de las trayectorias de fase. Si λ 1 , λ 2 son negativos, entonces, como se puede ver en las ecuaciones (4.10), |ξ|, |η| disminuir con el tiempo. El punto de representación se acerca al origen de coordenadas, pero nunca llega a él. De lo contrario, esto contradeciría el teorema de Cauchy, que establece que sólo una trayectoria de fase pasa por cada punto del plano de fase.

Un punto tan especial por el que pasan curvas integrales, como una familia de parábolas. pasa por el origen de coordenadas y se llama nodo (Fig. 4.5)

Estado de equilibrio del tipo de nodo en λ 1 , λ 2 < 0 es Lyapunov estable, ya que el punto de representación se mueve a lo largo de todas las curvas integrales hacia el origen de coordenadas. Este nudo estable. Si λ 1 , λ 2 > 0, entonces |ξ|, |η| aumenta con el tiempo y el punto de representación se aleja del origen de coordenadas. En este caso, el punto especial– nodo inestable .

En el plano de fase x,y Se conservará el carácter cualitativo general del comportamiento de las curvas integrales, pero las tangentes a las curvas integrales no coincidirán con los ejes de coordenadas. El ángulo de inclinación de estas tangentes vendrá determinado por la relación de los coeficientes α , β , γ , δ en las ecuaciones (4.11).

Raíces λ 1 , λ 2 – son válidos y de diferentes signos.

Convertir de coordenadas x, y a coordenadas ξ, η otra vez real. Las ecuaciones para las variables canónicas nuevamente tienen la forma (4.10), pero ahora los signos de λ 1 , λ 2 son diferentes. La ecuación de trayectorias de fase tiene la forma.:

Donde, (4.14)

Integrando (4.14), encontramos

(4.15)

Este la ecuación define una familia de curvas de tipo hiperbólico, donde ambos ejes coordenados– asíntotas (en a=1 tendríamos una familia de hipérbolas equiláteras). Los ejes de coordenadas en este caso también son curvas integrales.– estas serán las únicas curvas integrales que pasan por el origen. Cadade los cuales consta de trayectorias de tres fases: de dos movimientos hacia un estado de equilibrio (o desde un estado de equilibrio) y desde un estado de equilibrio. Todas las demás curvas integrales– Son hipérbolas que no pasan por el origen (Fig. 4.6) Este punto especial se llama "sillín ». Las líneas de nivel cerca de una silla de montaña se comportan de manera similar a las trayectorias de fase en las proximidades de una silla de montaña.

Consideremos la naturaleza del movimiento del punto representativo a lo largo de trayectorias de fase cercanas al estado de equilibrio. Dejemos, por ejemplo,λ 1 >0 , λ 2<0 . Entonces el punto de representación colocado sobre el eje. ξ , se alejará del origen y se colocará en el eje. η – se acercará indefinidamente al origen de coordenadas, sin alcanzarlo en un tiempo finito. Dondequiera que esté el punto representativo en el momento inicial (con excepción del punto singular y los puntos en la asíntota η =0), eventualmente se alejará del estado de equilibrio, incluso si inicialmente se mueve a lo largo de una de las curvas integrales hacia el punto singular.

Es obvio que un punto singular como una silla de montar siempre es inestable . Sólo bajo condiciones iniciales especialmente seleccionadas en la asíntotaη =0 el sistema se acercará a un estado de equilibrio. Sin embargo, esto no contradice la afirmación sobre la inestabilidad del sistema. si contamos, que todos los estados iniciales del sistema en el plano de fase son igualmente probables, entonces la probabilidad de tal estado inicial que corresponda al movimiento en la dirección A el punto singular es igual a cero. Por tanto, cualquier movimiento real sacará al sistema del estado de equilibrio.Volviendo a las coordenadasx, y,obtendremos la misma imagen cualitativa de la naturaleza del movimiento de trayectorias alrededor del origen de coordenadas.

El límite entre los casos considerados de un nodo y una silla de montar es el caso Cuando uno de los indicadores característicos, por ejemplo λ 1 , desaparece, lo que ocurre cuando el determinante del sistema- expresión anuncio-bc=0(ver fórmula 4.8 ). En este caso, los coeficientes de los lados derechos de las ecuaciones (4.4) son proporcionales entre sí.:

y el sistema tiene como estados de equilibrio todos los puntos de la recta:

Las curvas integrales restantes son una familia de rectas paralelas con un coeficiente angular , a lo largo del cual los puntos representativos se acercan al estado de equilibrio o se alejan de él, dependiendo del signo de la segunda raíz de la ecuación característica λ 2 = a+d.(Figura 4.7 ) En este caso, las coordenadas del estado de equilibrio dependen del valor inicial de las variables.

Raíces λ 1 , λ 2 – complejoconjugado

En este caso, de verdad.X Y y Lo haremos tener conjugados complejos ξ , η (4.10) . Sin embargo, introduciendo otra transformación intermedia también es posible reducir la consideración a una transformación lineal homogénea real. Pongamos:

(4.16)

Dónde a, b, Y u,v – valores actuales. Se puede demostrar que la transformación dex, y A u, v es, según nuestros supuestos, real, lineal, homogéneo con un determinante diferente de cero. En virtud de las ecuaciones(4.10, 4.16) tenemos:

dónde

(4.17)

Dividiendo la segunda de las ecuaciones por la primera, obtenemos:

que es más fácil de integrar, si vamos al sistema de coordenadas polares (r, φ ) . Después de la sustitución obtenemos de donde:

.(4.18)

Así, en el plano de fasetú, vEstamos tratando con una familia de espirales logarítmicas, cada una de las cuales tienePunto asintótico en el origen.Un punto singular, que es el punto asintótico de todas las curvas integrales que tienen forma de espirales., anidado en cadaamigo se llama enfocar ( Fig.4.8 ) .

Consideremos la naturaleza del movimiento del punto representativo a lo largo de trayectorias de fase. Multiplicando la primera de las ecuaciones (4.17) portu, y el segundo en v y sumando obtenemos:

Dónde

Dejar a 1 < 0 (a 1 = Reλ ) . El punto de representación se acerca entonces continuamente al origen de coordenadas, sin llegar a él en un tiempo finito. Esto significa que las trayectorias de fase son espirales torcidas y corresponden a oscilaciones amortiguadas. variables. Este - enfoque constante .

En el caso de un foco estable, como en el caso de un nodo estable, no solo se cumple la condición de Lyapunov, sino también un requisito más estricto. Es decir, para cualquier desviación inicial, el sistema, con el tiempo, volverá tan cerca como se desee de la posición de equilibrio. Tal estabilidad, en la que las desviaciones iniciales no solo no aumentan, sino que decaen, tendiendo a cero, se llama estabilidad absoluta .

Si en la fórmula (4.18) a 1 >0 , entonces el punto representativo se aleja del origen y estamos ante enfoque inestable . Al pasar de un aviónu,val plano de faseX, ylas espirales también seguirán siendo espirales, pero se deformarán.

Consideremos ahora el caso en el quea 1 =0 . Trayectorias de fase en el avión.tú, vhabrá círculos que en el aviónx, ycorresponden a elipses:

Así, cuandoun 1=0 a través de un punto especialx= 0, y= 0 no pasa ninguna curva integral. Un punto singular aislado, cerca del cual las curvas integrales son curvas cerradas, en particular, elipses incrustadas entre sí y que encierran el punto singular, se llama centro.

Por tanto, son posibles seis tipos de estados de equilibrio, dependiendo de la naturaleza de las raíces de la ecuación característica (4.7). Vista de trayectorias de fase en un avión. x,y Para estos seis casos se muestra en la Fig. 4.9.

Arroz. 4.9.Tipos de retratos de fase en las proximidades de un estado estacionario para un sistema de ecuaciones lineales (4.4).

Los cinco tipos de estados de equilibrio son aproximados; su carácter no cambia con cambios suficientemente pequeños en los lados derechos de las ecuaciones (4.4). En este caso, los cambios no sólo en los lados derechos, sino también en sus derivadas de primer orden deberían ser pequeños. El sexto estado de equilibrio –el centro– no es difícil. Con pequeños cambios en los parámetros del lado derecho de las ecuaciones, se convierte en un foco estable o inestable.

Diagrama de bifurcación

Introduzcamos la siguiente notación:

. (4.11)

Entonces la ecuación característica se escribirá como:

. (4.12)

Considere un plano con coordenadas cartesianas rectangulares. s , D y marque en él las áreas correspondientes a uno u otro tipo de estado de equilibrio, que está determinado por la naturaleza de las raíces de la ecuación característica.

.(4.13)

La condición para la estabilidad del estado de equilibrio será la presencia de una parte real negativa de yyo 1 y yo 2 . Una condición necesaria y suficiente para ello es el cumplimiento de las desigualdades.s > 0, D > 0 . En el diagrama (4.15), esta condición corresponde a puntos ubicados en el primer cuarto del plano de parámetros. Un punto singular será un foco siyo 1 y yo 2 complejo. Esta condición corresponde a aquellos puntos del plano para los cuales , aquellos. puntos entre dos ramas de una parábolas 2 = 4 D. Puntos del eje s = 0, D>0, corresponden a estados de equilibrio del tipo centro. Asimismo,yo 1 y yo 2 - son válidos, pero de diferentes signos, es decir un punto singular será una silla de montar si D<0, etc. Como resultado, obtendremos un diagrama de la partición del plano de parámetros. s, D, en áreas correspondientes a diferentes tipos de estados de equilibrio.

Arroz. 4.10. Diagrama de bifurcación

para un sistema de ecuaciones lineales 4.4

Si los coeficientes del sistema lineal a B C D dependen de un determinado parámetro, luego, cuando este parámetro cambia, los valores también cambiaráns , D . Al traspasar fronteras, el carácter del retrato de fase cambia cualitativamente. Por lo tanto, tales límites se denominan bifurcación: en lados opuestos del límite, el sistema tiene dos retratos de fase topológicamente diferentes y, en consecuencia, dos tipos diferentes de comportamiento.

El diagrama muestra cómo pueden ocurrir tales cambios. Si excluimos casos especiales (el origen de las coordenadas), es fácil ver que la silla puede transformarse en un nodo, estable o inestable, al cruzar el eje de ordenadas. Un nudo estable puede ir a una silla de montar o a un foco estable, etc. Tenga en cuenta que las transiciones nodo estable - foco estable y nodo inestable - foco inestable no son bifurcaciones, ya que la topología del espacio de fase no cambia. Hablaremos más sobre la topología del espacio de fases y las transiciones de bifurcación en la Clase 6.

Durante las transiciones de bifurcación, la naturaleza de la estabilidad de un punto singular cambia. Por ejemplo, un foco estable a través del centro puede convertirse en un foco inestable. Esta bifurcación se llama Bifurcación de Andronov-Hopf por los nombres de los científicos que lo estudiaron. Durante esta bifurcación en sistemas no lineales, nace un ciclo límite y el sistema se vuelve autooscilante (ver Conferencia 8).

Ejemplo. Sistema de reacción química lineal.

Sustancia X fluye desde el exterior a una velocidad constante, se convierte en la sustancia Y y a una velocidad proporcional a la concentración de la sustancia Y, se elimina de la esfera de reacción. Todas las reacciones son de primer orden, a excepción de la entrada de sustancia desde el exterior, que es de orden cero. El esquema de reacción es el siguiente:

(4.14)

y se describe mediante el sistema de ecuaciones:

(4.15)

Obtenemos concentraciones estacionarias igualando los lados derechos a cero:

.(4.16)

Consideremos el retrato de fases del sistema. Dividamos la segunda ecuación del sistema (4.16) por la primera. Obtenemos:

.(4.17)

La ecuación (4.17) determina el comportamiento de las variables en el plano de fase. Construyamos un retrato de fase de este sistema. Primero, dibujemos las isoclinas principales en el plano de fase. Ecuación de isoclina de tangentes verticales:

Ecuación de isoclina de tangentes horizontales:

El punto singular (estado estacionario) se encuentra en la intersección de las isoclinas principales.

Ahora determinemos en qué ángulo los ejes de coordenadas se cruzan con las curvas integrales.

Si x= 0, entonces.

Por tanto, la tangente de la tangente a las curvas integrales. y=y(x), intersectando el eje de ordenadas x=0, es negativo en el semiplano superior (recordemos que las variables x,y tienen valores de concentración, y por lo tanto sólo nos interesa el cuadrante superior derecho del plano de fase). En este caso, la tangente del ángulo tangente aumenta con la distancia al origen.

Considere el eje y= 0. En el punto donde este eje intersecta las curvas integrales, se describen mediante la ecuación

En la tangente de la pendiente de las curvas integrales que cruzan el eje de abscisas es positiva y aumenta de cero a infinito al aumentar X.

En .

Luego, con un aumento adicional, la tangente del ángulo de inclinación disminuye en valor absoluto, permanece negativa y tiende a -1 en X ® ¥ . Conociendo la dirección de las tangentes a las curvas integrales en las isoclinas principales y en los ejes de coordenadas, es fácil construir la imagen completa de las trayectorias de fase.

Establezcamos la naturaleza de la estabilidad del punto singular utilizando el método de Lyapunov. El determinante característico del sistema tiene la forma:

.

Ampliando el determinante, obtenemos la ecuación característica del sistema: , es decir. Las raíces de la ecuación característica son ambas negativas. En consecuencia, el estado estacionario del sistema es un nodo estable. En este caso, la concentración de la sustancia. X tiende a un estado estacionario siempre de forma monótona, la concentración de la sustancia Y puede pasar por min o max. Los modos oscilatorios son imposibles en un sistema así.

Conceptos básicos y definiciones:

El cero de la función analítica f(z) es el punto “a” para el cual f(a)=0.

Un cero de orden “n” de una función f(z) es un punto “a” si fn(a)¹0.

Un punto singular “a” se llama punto singular aislado de una función f(z) si hay una vecindad de este punto en la que no hay puntos singulares distintos de “a”.

Hay tres tipos de puntos singulares aislados: .

1 puntos singulares removibles;

3 puntos esencialmente singulares.

El tipo de punto singular se puede determinar en función del comportamiento de una función dada en el punto singular encontrado, así como de la forma de la serie de Laurent obtenida para la función en la vecindad del punto singular encontrado.

Determinar el tipo de un punto singular por el comportamiento de la función en él.

1. Puntos singulares removibles.

Se dice que un punto singular aislado a de una función f(z) es removible si existe un límite finito.

2.Polos.

Un punto singular aislado a de una función f(z) se llama polo si .

3. Puntos esencialmente singulares.

Un punto singular aislado a de una función f(z) se llama punto esencialmente singular si no existe ni finito ni infinito.

Existe la siguiente relación entre los ceros y los polos de la función.

Para que el punto a sea un polo de orden n de la función f(Z), es necesario y suficiente que este punto sea un cero de orden n para la función .

Si n=1 el polo se llama simple.

Definición: Un punto singular aislado de naturaleza inequívoca se denomina:

a) removible si falta la parte principal de la descomposición;

b) un polo, si la parte principal contiene un número finito de términos;

c) un punto esencialmente singular si la parte principal contiene número infinito miembros.

a) Así, en la vecindad de un punto singular removible, la expansión tiene la forma:

expresa la función en todos los puntos del círculo |z-a|

En el centro z=a la igualdad no es verdadera, porque la función en z=a tiene una discontinuidad y el lado derecho es continuo. Si se cambia el valor de la función en el centro, tomándolo igual al valor del lado derecho, entonces se eliminará el espacio, de ahí el nombre, removible.

b) En las proximidades de un polo de orden m, el desarrollo en serie de Laurent tiene la forma:

c) En las proximidades de un poste simple

Deducciones y fórmulas para calcularlas.

El residuo de una función analítica f(z) en un punto singular aislado z 0 es un número complejo igual al valor de la integral , tomado en dirección positiva a lo largo del círculo L con centro en el punto z 0 que se encuentra en el dominio de analiticidad de la función f(z) (es decir, en el anillo 0<|z-z0|

El residuo de la función f(z) en un punto singular aislado z 0 se denota con el símbolo Res f(z 0) o Res (f(z); z 0). De este modo,

Resf(z 0)= . (22.15.1)

Si ponemos n=-1 en la fórmula (22.15.1), obtenemos:

C -1 =

o Res f(z 0)= C -1 ,

aquellos. el residuo de la función f(z) con respecto al punto singular z 0 es igual al coeficiente del primer término con exponente negativo en el desarrollo de la función f(z) en la serie de Laurent.

Cálculo de deducciones.

Puntos singulares regulares o removibles. Obviamente, si z=z 0 es un punto singular regular o removible de la función f(z), entonces Res f(z 0)=0 (la expansión de Laurent en estos casos carece de la parte principal, por lo que c-1=0) .

Polo. Sea el punto z 0 un polo simple de la función f(z). Entonces la serie de Laurent para la función f(z) en las proximidades del punto z 0 tiene la forma:

De aquí

Por lo tanto, pasando esta igualdad al límite en z --z 0, obtenemos

Resf(z0)=

Punto esencialmente especial. Si el punto z 0 es un punto esencialmente singular de la función f(z), entonces para calcular el residuo de la función en este punto, el coeficiente c-1 en la expansión de la función en serie de Laurent generalmente se determina directamente.

Clasificación de eventos. Suma, producto de eventos, sus propiedades, representación gráfica.

Los eventos se dividen en:

1. Aleatorio

2. confiable

3. Imposible

Confiable es un evento que necesariamente ocurre en determinadas condiciones (la noche sigue a la mañana).

Un evento aleatorio es un evento que puede suceder o no (aprobar un examen).

Un evento imposible es un evento que no ocurrirá bajo determinadas condiciones (sacar un lápiz verde de una caja que contiene solo lápices rojos).

Punto singular

en matemáticas.

1) Un punto singular de una curva definida por la ecuación F ( x,y) = 0, - punto M 0 ( x 0 , y 0), en el que ambas derivadas parciales de la función F ( x,y) ir a cero:

Si no todas las segundas derivadas parciales de la función F ( x,y) en el punto M 0 son iguales a cero, entonces el O. t se llama doble. Si, junto con las primeras derivadas que desaparecen en el punto M0, todas las segundas derivadas, pero no todas las terceras derivadas, desaparecen, entonces la ecuación se llama triple, etc. Al estudiar la estructura de una curva cerca de un doble O.t., el signo de la expresión juega un papel importante.

Si Δ > 0, entonces el circuito abierto se llama aislado; por ejemplo, en la curva y 2 - x 4 + 4x 2= 0 el origen de coordenadas es un O. t. aislado (ver. arroz. 1 ). Si Δ x 2 + y 2 + a 2) 2 - 4a 2 x 2 - un 4= 0 el origen de las coordenadas es el nodal O. t. arroz. 2 ). Si Δ = 0, entonces el punto general de la curva está aislado o se caracteriza por el hecho de que diferentes ramas de la curva tienen una tangente común en este punto, por ejemplo: a) punto cúspide del primer tipo - diferentes ramas de la curva se ubican en lados opuestos de la tangente común y forman un punto, como una curva y 2 - x 3= 0 (ver arroz. 3 , a); b) punto cúspide del segundo tipo: diferentes ramas de la curva se encuentran a un lado de la tangente común, como una curva (y-x2)2-x5= 0 (ver arroz. 3 , b); c) punto de auto-toque (para una curva y 2 - x 4= 0 el origen es el punto de auto-toque; (cm. arroz. 3 , V). Junto al O. t indicado hay muchos otros O. t con nombres especiales; por ejemplo, el punto asintótico es el vértice de una espiral con un número infinito de vueltas (ver. arroz. 4 ), punto de terminación, punto de esquina, etc.

2) Un punto singular de una ecuación diferencial es un punto en el que tanto el numerador como el denominador del lado derecho de la ecuación diferencial desaparecen simultáneamente (Ver Ecuaciones diferenciales)

donde P y Q son funciones continuamente diferenciables. Suponiendo que O. t está ubicado en el origen de coordenadas y usando la fórmula de Taylor (ver fórmula de Taylor), podemos representar la ecuación (1) en la forma.

donde P 1 ( x,y) y P 1 ( x,y) - infinitesimal con respecto a

Es decir, si λ 1 ≠ λ 2 y λ 1 λ 2 > 0 o λ 1 = λ 2, entonces el O. t es un nodo; todas las curvas integrales que pasan por puntos en una vecindad suficientemente pequeña de un nodo entran en él. Si λ 1 ≠ λ 2 y λ 1 λ 2 i β, α ≠ 0 y β ≠ 0, entonces el punto general es un foco; todas las curvas integrales que pasan por puntos en una vecindad suficientemente pequeña del foco representan espirales con un número infinito de vueltas en cualquier vecindad arbitrariamente pequeña del foco. Si, finalmente, λ 1,2 = ± iβ, β ≠ 0, entonces el carácter de O. t no está determinado únicamente por términos lineales en las expansiones de P ( x,y) y Q ( x,y), como ocurrió en todos los casos anteriores; aquí O. t puede ser un foco o centro, o puede tener un carácter más complejo. En la vecindad del centro, todas las curvas integrales son cerradas y contienen el centro dentro de sí mismas. Entonces, por ejemplo, el punto (0, 0) es un nodo para las ecuaciones en" = 2u/x(λ 1 = 1, λ 2 = 2; ver arroz. 5 , a) y y" = u/x(λ 1 = λ 2 = 1; ver arroz. 5 , b), silla para la ecuación y" = -y/x(λ 1 = -1, λ 2 = 1 ; cm. arroz. 6 ), el foco de la ecuación y" =(x + y) / (x - y) (λ 1 = 1 - i, λ 2 = 1 + i; cm. arroz. 7 ) y el centro de la ecuación y" = -x/y(λ1 = -i, λ2 = i; cm. arroz. 8 ).

Si x, y) y Q ( x,y) analítico, una vecindad de un GP de orden superior se puede dividir en regiones: D 1 - llena de curvas integrales, ambos extremos incluidos en el GP (regiones elípticas), D 2 - lleno de curvas integrales, un extremo incluido en el GP . (regiones parabólicas), y D 3 - regiones delimitadas por dos curvas integrales incluidas en la teoría general, entre las cuales se ubican curvas integrales de tipo hiperbólico (regiones hiperbólicas) (ver. arroz. 9 ). Si no hay curvas integrales incluidas en un orbital t, entonces el orbital t se llama punto de tipo estable. La vecindad de un oscilador estable consta de curvas integrales cerradas que contienen una ósmosis dentro de sí, entre las cuales hay espirales (ver Fig. arroz. 10 ).

El estudio de ecuaciones diferenciales, es decir, esencialmente el estudio del comportamiento de familias de curvas integrales en la vecindad de ecuaciones diferenciales, constituye una de las ramas de la teoría cualitativa de ecuaciones diferenciales y juega un papel importante en aplicaciones, en particular en cuestiones de estabilidad del movimiento (obras de A. M. Lyapunov a, A. Poincaré, etc.).

3) Un punto singular de una función analítica de un solo valor es el punto en el que se viola la analiticidad de la función (ver Funciones analíticas). Si hay un barrio de O. t. a, libre de otros O. t., luego señale A llamado aislado O. t. A- una teoría general aislada y hay una a finita se llama teoría general removible cambiando adecuadamente la definición de una función en un punto a (o redefiniéndola en este punto, si la función en él no está definida en absoluto), es decir, asumiendo F(a)= segundo, es posible lograrlo a se convertirá en un punto ordinario de la función corregida. Por ejemplo, punto z= 0 es un O.t. extraíble para la función f 1 ( z) = F(z), Si z≠ 0, y F 1 (0), = 1, punto z= 0 es un punto ordinario [ F 1 (z) es analítico en el punto z= 0]. Si A- un O. t aislado y a se llama polo o punto no esencial de una función. F(z), si la serie Laurent) funciona F(z) en las proximidades de un O. t aislado no contiene potencias negativas. z-a, Si A- O. t. extraíble, contiene un número finito de grados negativos z-a, Si A- polo (en este caso el orden del polo R se define como el grado más alto de a - un punto esencialmente especial. Por ejemplo, para la función

pag = 2, 3,…)

punto z= 0 es el polo del orden R, para la función

punto z= 0 es un punto esencialmente singular.

En el límite del círculo de convergencia de una serie de potencias debe haber al menos un O.t de la función representada dentro de este círculo por los datos. serie de potencias. Todos los puntos límite del dominio de existencia de una función analítica única (límite natural) son los límites de esta función. Por tanto, todos los puntos del círculo unitario | z| = 1 son especiales para la función

Para una función analítica multivaluada, el concepto de “O. T." más difícil. Además del O. t., en hojas individuales de la superficie de Riemann de una función (es decir, el O. t. de elementos analíticos de un solo valor), cada punto de ramificación es también el O. t. Los puntos de ramificación aislados de una superficie de Riemann (es decir, puntos de ramificación que en alguna vecindad de ellos no hay otras funciones O.t. en ninguna hoja) se clasifican de la siguiente manera. Si a es un punto de ramificación aislado de orden finito y hay un a finito, se llama polo crítico. Si A- un punto de ramificación aislado de orden infinito y a se denomina O.t trascendental. Todos los demás puntos de ramificación aislados se denominan puntos críticos esencialmente singulares. Ejemplos: punto z= 0 es el punto crítico ordinario de la función f ( z) = iniciar sesión z y el punto crítico esencialmente singular de la función F (z) = pecado en z.

Toda teoría general, excepto una removible, es un obstáculo para la continuación analítica, es decir, la continuación analítica a lo largo de una curva que pasa por un problema general irreductible es imposible.

Gran enciclopedia soviética. - M.: Enciclopedia soviética. 1969-1978 .

Mira qué es un “Punto singular” en otros diccionarios:

Puntos aquí. Véase también punto singular (ecuaciones diferenciales). Una característica o singularidad en matemáticas es un punto en el que un objeto matemático (generalmente una función) no está definido o tiene un comportamiento irregular (por ejemplo, un punto en el que ... ... Wikipedia

Una función analítica es un punto en el que se violan las condiciones de analiticidad. Si la función analítica f(z) está dada en una determinada vecindad del punto z0 en todas partes... Enciclopedia física

Una función analítica es el punto en el que se viola la analiticidad de la función... Gran diccionario enciclopédico

punto singular- - [Ya.N.Luginsky, M.S.Fezi Zhilinskaya, Yu.S.Kabirov. Diccionario inglés-ruso de ingeniería eléctrica e ingeniería energética, Moscú, 1999] Temas de ingeniería eléctrica, conceptos básicos EN punto singular ... Guía del traductor técnico

1) Una función analítica f(z) es un obstáculo para la continuación analítica de un elemento de una función f(z) de una variable compleja z a lo largo de algún camino en el plano de esta variable. Dejemos que la función analítica f(z) esté definida por algunos... ... Enciclopedia Matemática

Función analítica, el punto en el que se viola la analiticidad de la función. * * * PUNTO ÚNICO PUNTO ÚNICO de una función analítica, el punto en el que se viola la analiticidad de la función... diccionario enciclopédico

punto singular- ypatingasis taškas statusas T sritis automatika atitikmenys: engl. punto singular vok. singulärer Punkt, m rus. punto singular, f pranc. punto particular, m; punto singular, m … Automatikos terminų žodynas

punto singular- ypatingasis taškas statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. punto singular vok. singulärer Punkt, m rus. punto singular, f pranc. punto singular, m … Fizikos terminų žodynas

Dejar zq es el punto singular de la función /(r), t.s. f(z) pero es analítico en este punto (en particular, puede que no esté definido en él). Si hay una vecindad tan perforada del punto. zq (es decir, el conjunto O z - zq f(z) es aialita, entonces zo llamado punto singular aislado funciones f(z). Esta definición sigue siendo la misma en el caso de zn = oo, si el yodo es perforado por las proximidades del punto zq = oo entender conjunto z> I - el exterior de un círculo con centro en el origen. En otras palabras, un punto especial zq se llama aislado si existe una vecindad de este punto en la que están presentes otros puntos singulares distintos de zq. A lo largo de lo que sigue consideramos sólo puntos singulares de un carácter único (la función f(z) se supone que no es ambiguo).

Dependiendo del comportamiento de la función. f(z) en z -> zq Hay tres tipos de puntos singulares. Punto singular aislado funciones zq f(z) llamado:

1) punto singular removible, si hay un límite finito

2) polo, si hay un límite

3) esencialmente un punto especial, Si f(z)) no tiene límite finito ni infinito en z-> zq.

Ejemplo 26.1. Demostremos que se realizan los tres tipos de puntos singulares. Consideremos F(z)= Punto zq = 0 está aislado

Punto especial de esta función. Usando la fórmula (22.12), obtenemos la expansión

de lo cual se deduce que existe lim fi(z)= 1. Por lo tanto zq = 0 es

es un punto singular removible de la función fi(z).

Función f‘j(z) =---tiene un polo en un punto zo= 1 porque

2 r" X

Consideremos ahora la función )z(z)= e 1 ^ r y demuestre que zo = O es un punto esencialmente singular de esta función. Al esforzarse z poner a cero a lo largo del eje real los límites izquierdo y derecho de la función /z (z) diferente: lim Con 1 / 1 = 0, límite s 1 /* = os. Esto implica,

x->0-0 x->0+O

Qué f:i(z) no tiene límite finito ni infinito en 2 -> Ah, eso es. zq = O es un punto esencialmente singular de esta función. (Tenga en cuenta que a medida que el punto tiende z-iy a cero a lo largo de la función del eje imaginario

no tiene ningún límite.)

Por supuesto, existen puntos singulares no aislados. Por ejemplo. la función tiene polos en los puntos zn = -, PAG= ±1, ±2,...

Por eso, Zq = 0 es un punto singular no aislado de esta función: en cualquier vecindad (por pequeña que sea) de este punto hay otros puntos singulares gp.

Dejar zo- punto singular finito aislado de una función f(z). Entonces f(z) es similar en algún barrio perforado del punto 0 Zo zo esta vecindad puede considerarse como un anillo con radio interno r = 0. Según el teorema 25.1, en la vecindad considerada la función f(z) se puede ampliar a una serie de Laurent (25.2). Demostraremos que el comportamiento de la función en 2 -> zq (es decir, el tipo de punto singular zo) depende del tipo de la parte principal de la expansión (25.2); Esta circunstancia explica el origen del término “parte principal”.

Teorema 2G.2. Un punto singular aislado zo de una función f(z) es removible si y sólo si la expansión de Lorapov en una vecindad perforada de este punto tiene oid

aquellos. consta solo de la parte correcta, y todos los coeficientes de la parte principal son iguales a la viñeta.

Prueba. 1. dejar zo- punto singular extraíble. Demostremos que la expansión de Laurent de la función f(z) tiene la forma (26.1). Desde el punto especial zo removible, entonces hay un finito limite limite f(z) = A. Por eso, f(z) está limitado en alguna vecindad perforada del punto 0 z - zq zo, aquellos. )(z) para todos z de esta vecindad. tomemos cualquier r. U р /?|, y utilice las fórmulas (25.3) para los coeficientes de la serie de Laurent:

Para los coeficientes de la parte principal de la expansión. norte =- 1,-2,... Para tales valores PAG tenemos p~p-e 0 en R-> 0. Desde el valor R se puede elegir arbitrariamente pequeño, entonces Señor~" puede ser tan pequeño como se desee. Desde |s t,| ^ señor~p y cn no dependen de p, entonces cn = 0 en Y= - 1, -2,..., que es lo que faltaba demostrar.

2. Supongamos ahora que el desarrollo de Laurent tiene la forma (26.1). La serie (26.1) es una serie de potencias y. por tanto, converge no sólo en la zona perforada, sino también en toda la zona circundante. z-zq incluyendo el punto zo; su cantidad S(z) es analítico en z y S(z) = )(z) a las 0 z - zo r. Por lo tanto hay un límite finito lim )(z)= Pt 5(g) = 5(th) - Por lo tanto, el punto singular zq

Z->Zo Z-*Zo

retirable. El teorema ha sido demostrado.

Comentario. De la demostración del teorema se deduce que en una vecindad perforada 0 z - zo de un punto singular removible la función f(z) coincide con la función 5(r), que es analítica en toda la vecindad z - Zo. Por lo tanto, si establecemos /(th) = S(zq), luego, sin cambiar los valores de la función f(z) en cualquier punto de la vecindad perforada, haremos que esta función sea analítica en Go, es decir, "Eliminemos" la característica. Esto explica el término "función extraíble". Es natural considerar tales puntos como puntos regulares y no singulares de la función. f(z).

Consideremos, por ejemplo, la función

En el ejemplo 26.1 se demostró que Pm Nr) = 1. es decir punto singular

zq = 0 extraíble. Si establecemos /i(0) = 1, eliminamos la singularidad y obtenemos una función que es analítica en el punto zq = 0 (y en todo el plano C).

Caractericemos ahora los polos en términos de expansiones de Laurent.

Teorema 26.3. Un punto singular aislado Zo de una función f(z) es un polo si y sólo si, cuando la parte principal del desarrollo de Laurent con centro Zq tiene sólo un número finito de elementos distintos

desde cero coeficientes con n:

Prueba. 1. dejar zq - polo, es decir límite/( z) = oo.

Demostremos que la expansión de Laurent de la función f(z) tiene la forma (2G.2). desde lim f(z)=oo. entonces hay una vecindad perforada del punto

ki zq. donde f(z) es analítico y no tiene ceros. Entonces la función gramo(z) = 1 /f(z) también será analítico en este vecindario perforado, y lim gramo(z)= 0. Por lo tanto, Zo es removible *-? *0

punto singular de la función g(z). definamos gramo(z) en el punto zo, poniendo g(zo)= 0. Entonces gramo(z) se volverá analítico en toda la vecindad del punto (no perforado) z0, y z 0 será su cero aislado. Denotemos por norte multiplicidad (orden) de este cero. Como se mostró en §23, en las proximidades del punto función zq gramo(z) se puede representar en la forma (ver (23.2))

y (z$)f 0 y y>(z) es analítico en alguna vecindad del punto zo- Porque IP(z) continuo en un punto zo Y g>(zo) Ф 0" entonces IP(z) no tiene ceros en alguna vecindad de este punto. Por lo tanto la función 1 /-p(z) también será analítico en esta vecindad y, por lo tanto, se expande en ella en una serie de Taylor:

Abriendo los paréntesis y cambiando las designaciones de los coeficientes, escribimos la última expansión en la forma

donde c_jv = 1>o f 0. Así, la parte principal del desarrollo de Laurent de la función /(r) contiene sólo un número finito de términos; hemos llegado a la igualdad deseada (26.2).

2. Deja entrar la zona perforada de puntos. th función )(z) está representado por la expansión de Laurent (26.2) (para una forma más detallada, ver (26.3)), la parte principal de la cual contiene sólo un número finito de términos, y Con- d" F 0. Es necesario demostrar que Zq - polo de función f(z). Multiplicando la igualdad (26.3) por (GRAMO - GRAMO o) iV , obtenemos la función

La serie de (26.4) es una serie de potencias que converge a una función analítica no sólo en el punto perforado, sino también en toda la vecindad del punto. Zq. Por lo tanto la función h(z) se volverá analítico en este vecindario si lo definimos más detalladamente poniendo h(zo)= s_dg F 0. Entonces

Por tanto, el punto th es un polo y se demuestra el teorema 26.3.

Multiplicidad (orden) de la función cero. gramo(z)= 1//(r) se llama orden de polosésimas funciones /(r). Si NORTE- el orden del polo de th, entonces gramo(z)= (g - Zo) Nip(z), y ve) F 0 y, como se muestra en la primera parte de la demostración del teorema 26.3, la expansión de la función /(r) tiene la forma (26.3), donde c_/v F 0. Por el contrario, si /(r) se expande en la serie (26.3) y e-i F 0, entonces

t.s. NORTE- orden del polo de la función /(r). De este modo, orden de los polos de la función zq/(GRAMO) es igual al número del coeficiente más alto distinto de cero de la parte principal de la expansión de Laurent en la vecindad perforada del punto zq(es decir, igual a este número NORTE, que s_dg F 0 y sp= 0 en PAG > NORTE).

Probemos la siguiente afirmación, que es conveniente para las aplicaciones.

Corolario 26.4. El punto zq es un polo de orden N de la ficción/(GRAMO) entonces y sólo cuando/(GRAMO) representable en la forma

donde h(z) es una función analítica en las proximidades del punto th y h(zo) f 0.

Prueba. Función cp(z) = l/h(z) es analítico en alguna vecindad del punto h. La condición del Corolario 26.4 es equivalente a lo siguiente:

Es por eso zq - multiplicidad cero norte funciones g(z). y por tanto el polo de la multiplicidad norte funciones /(2).

II Ejemplo 26.5. Encuentra puntos singulares aislados de una función. y determinar su tipo.

Solución: Los puntos en los que (z 2 + 1 )(z+ Z) 2 = 0. Si z 2 L- 1 = 0, entonces 2 = ± g Si (z 4- 3) 2 = 0, entonces z= -3. Por lo tanto la función tiene tres puntos singulares. z= gramo, 22 = -gramo, z3 = - 3. Considere z:

GRAMO- polo de primer orden (usamos el Corolario 26.4). Se puede demostrar de manera similar que 22 = -i también un polo de primer orden. Para 2z tenemos:

Pasemos a considerar puntos esencialmente singulares.

Teorema 26.6. Un punto singular aislado zq de una función f(z) es esencialmente singular si y sólo si la parte principal del desarrollo de Laurent con centro zq tiene infinitos puntos distintos de. cero, coeficientes de la p.

Prueba. El teorema 26.6 se deriva directamente de los teoremas 26.2 y 26.3. De hecho, si el punto zq es esencialmente especial, entonces la parte principal de la expansión de Laurent no puede estar ausente o contener un número finito de términos (de lo contrario, el punto Zq será removible o un poste). Por tanto, el número de términos de la parte principal debe ser infinito.

Por el contrario, si la parte principal contiene infinitos términos, entonces Zq no puede ser ni un punto removible ni un polo. De ello se deduce que este punto es esencialmente especial.

Según la definición, un punto esencialmente singular se caracteriza por el hecho de que la función /(2) no tiene límite finito ni infinito para z->zq. El siguiente teorema da una idea más completa de cuán irregular es el comportamiento de una función en la vecindad de un punto esencialmente singular.

Teorema 26.7 (teorema de Sokhotsky). Si zq es esencial para los individuos, el punto de la función f(z), entonces para cualquiera Número complejo L, incluyendo A = Vaya, existe una secuencia de puntos z n tal que z n -> zo y Lim f(zn) = A.

p->os

Prueba. Consideremos primero el caso Una = oh. En la primera parte de la demostración del Teorema 2G.2 establecimos que si f(z) está acotado en alguna vecindad perforada del punto r, entonces todos los coeficientes c", norte = - 1,- 2,... de la parte principal son iguales a cero (y, por tanto, la singularidad en go es removible). Dado que por condición th es un punto singular esencial, entonces en cualquier vecindad perforada del punto th la función f(r) es ilimitada. Tomemos una vecindad fuerte 0 Z tal que f(zi) > 1 (si |/(r)| z - zo I/2 hay un punto z-2 , en el que |/(yy)| > 2, etc.: en el barrio perforado O 71. Es obvio que rn -e go y lim /(r“) = oo. Por tanto, en el caso A = oo, Teorema 26.7

probado.

Déjalo ahora una f oh. Supongamos primero que hay una vecindad perforada 0

= -yy---- será analítico en este vecindario perforado y, en consecuencia,

/(G) - A

En consecuencia, go es un punto singular aislado de la función Φ(r). Te lo mostraremos. que r es un punto esencialmente singular de Φ(r). Esto puede que no sea verdad. Entonces existe un límite lim Ф(r), finito o infinito. Por un momento

/(r) = A + , entonces también existe Hsh /(r), lo que contradice la condición

F(g) ~ :-*z 0

Veo el teorema. Por tanto, r0 es un punto esencialmente singular de la función Φ(r). Según lo demostrado anteriormente, existe una secuencia de puntos r n tal que r n th y lim Ф(r n) = oo. De aquí

Hemos demostrado el enunciado requerido bajo el supuesto de que /(r) F.A. en alguna vecindad perforada del punto de partida. Supongamos ahora que esto es falso, es decir, en cualquier vecindad perforada arbitrariamente pequeña del punto th existe tal punto GRAMO", que /(r") = L. Entonces, para cualquier PAG en la vecindad perforada 0 f(z u) = А Por lo tanto, la afirmación deseada es verdadera. PAG-yuo

en todos los casos, y se demuestra el teorema 26.7.

Según el teorema 26.7 (Sokhotsky), en cualquier vecindad perforada (arbitrariamente pequeña) de un punto esencialmente singular, la función /(r) toma valores arbitrariamente cercanos a cualquier número de la extensión extendida plano complejo CON.

Para estudiar puntos singulares aislados, suelen ser útiles las ya conocidas expansiones de Taylor de funciones elementales básicas.

Ejemplo 2G.8. Determinar el tipo de punto singular zq = 0 para la función

Resuelto y e. Expandamos el numerador y el denominador en una serie de Taylor en potencias de g. Sustituyendo en (22.11) 3. z en lugar de r y restar 1, obtenemos

Usando (22.12), obtenemos el desarrollo del denominador:

Las series en estos desarrollos convergen en todo el plano complejo €. Tenemos

y /2(2) son anaríticos en una vecindad del punto zo = 0 (e incluso en todo el plano) y /2(20) F 0, entonces h(z) también es analítico en alguna vecindad del punto gF 0. Según el Corolario 26.4, el punto Zo = 0 es el polo del orden N=4.

II Ejemplo 26.9. Encuentra puntos singulares de una función. f(z)= sin j - y determinar su tipo.

R e en e i e. La función tiene un único punto singular finito. zq = 1. En otros puntos de C la función w =--- analítico; de ahí la función pecado w será analítico.

Sustituyendo en el desarrollo del seno (22.12) - en lugar de r, obtenemos

Tenemos descomposición funciones pecado-en la serie de Laurent en una vecindad perforada del punto 2o = 1. Dado que la expansión resultante contiene infinitos términos con potencias negativas (r - 1), entonces zq = 1 es un punto esencialmente singular (en este caso, la expansión de Laurent consta sólo de la parte principal y falta la parte regular).

Tenga en cuenta que fue posible establecer la naturaleza de la singularidad en este caso directamente a partir de la definición, sin recurrir a la expansión en serie. De hecho, hay secuencias (r",) y (2") que convergen a zo= 1, y tal que f(z"n)= 1, /(2") = 0 (indique dichas secuencias usted mismo). Entonces, f(z) no tiene límite en z-> 1 y por lo tanto punto zq - 1 es esencialmente especial.

Introduzcamos el concepto de expansión de Laurent de una función en la vecindad de un punto. Zq = 00 y considere la conexión entre la expansión y la naturaleza de la singularidad en este punto. Tenga en cuenta que las definiciones de un punto singular aislado y su tipo (extraíble, polar o esencialmente singular) se trasladan al caso zq = oc sin cambios. Pero los teoremas 26.2. 26.3 y 26.6, relacionados con la naturaleza de las expansiones de Laurent, deben cambiarse. El punto es que los miembros cn(z- 2o) pág. PAG= -1,-2,..., parte principal, definiendo la “irregularidad” de la función cerca punto final Zq, como 2 tiende a oo, se comportarán “correctamente” (tienden a 0). Por el contrario, los miembros de la parte correcta con PAG= 1,2,... tenderá a oo; determinan la naturaleza de la característica en Zq = oo. Por tanto, la mayor parte de la ampliación en las proximidades de oo consistirá en términos con poderes positivos PAG, y el correcto - con negativos.

Introduzcamos una nueva variable. w = 12. Función televisión = 1/2, extendido de modo que u(oo) = 0, uno a uno y mapea conformemente la vecindad z > R puntos zq = 00 en las proximidades de |w| wq = 0. Si la función f(z) análisis en el barrio pinchado R z Zq = oc, entonces la función G(w) = f(l/w) será analítico en la gran vecindad 0 wo = 0. Dado que en 2 -> oo habrá w-> 0, entonces

Es por eso G(w) tiene en el punto wq = 0 es una característica del mismo tipo que f(z) en el punto Zq = 00. Expandamos la función G(w) en una serie de Laurent en una vecindad perforada del punto wo = 0:

Las sumas del lado derecho de (26.5) representan las partes regular y principal del desarrollo, respectivamente. Pasemos a la variable. z, sustituyendo w = 1/z:

Designando PAG= -A*, 6* = 6_° = s p y notando que G(l/z) = f(z)), obtenemos

La descomposición (2G.G) se llama Expansión de Laurent de la función f(z) en una vecindad perforada del punto zq=oo. La primera suma en (2G.6) se llama la parte correcta, y la segunda suma es parte principal de esta descomposición. Dado que estas sumas corresponden a las partes correcta y principal del desarrollo (26.5), entonces los análogos de los teoremas 26.2, 26.3 y 26.6 son válidos para el desarrollo (26.6). Por tanto, el siguiente teorema será análogo al teorema 26.2.

Teorema 26.10. Punto singular aisladozq - SO (funciones/(GRAMO) es removible si y solo si la expansión de Laurent en un vecindario perforado de este punto tiene la forma

t.s. consta sólo de la parte correcta.

Pongamos /(oo) = co. Función definida por la serie (26.7) que converge en la vecindad z > R punto 2o = oc, llamado analítico en el punto z o = oo. (Tenga en cuenta que esta definición es equivalente a la analiticidad de la función G(w) en el punto wo = 0.)

Ejemplo 26.11. Investiga el punto singular zq = oo de la función.

Como el límite es finito, entonces zo = oo es un punto singular removible de la función /(r). Si ponemos /(oo) = lim J(z)= 0, entonces f(z) se volverá analítico

tic en el punto Zo= os. Indiquemos cómo encontrar el desarrollo correspondiente (26.7). Pasemos a la variable. w = 1 fz. Sustituyendo z= 1 /?е, obtenemos

(la última igualdad es válida en una vecindad perforada del punto w0 = 0, pero definiremos con más detalle (7(0) = 0). La función resultante tiene puntos singulares w =±yo, w =-1/3, y en el punto Wq = 0 es analítico. Función de despliegue G(w) por grados w(como se hizo en el ejemplo 25.7) y sustituyendo en la serie de potencias resultante w = 1/z, podemos obtener el desarrollo (26.7) de la función f(z).

Teorema 26.3 para el caso zo= oo se reescribirá de la siguiente forma.

Teorema 26.12. Punto singular aislado th = os la función f(z) es un polo si y sólo si la parte principal del desarrollo de Laurent (26.6) tiene sólo un número finito de coeficientes distintos de cero Con":

Aquí la serie es la parte regular y el polinomio entre paréntesis es la parte principal del desarrollo. La multiplicidad de polos en oc se define como la multiplicidad de polos wq = 0 funciones G(z). Es fácil ver que la multiplicidad del polo coincide con el número norte en (26.8).

Q p | (yo 2 + 1)(z+3) 2

Tarea. Demuestre que la función f(z)) =-- -- tiene en

punto zo = oo polo de orden 3.

El teorema 26.6 sobre un punto esencialmente singular puede reescribirse para el caso zo= os casi palabra por palabra, y no nos detenemos en esto en detalle.